Lanzamiento horizontal Una pelota de béisbol se proyecta horizontalmente en el vacío desde un punto O con velocidad . Si la tierra no ejerciera ninguna atracción sobre la pelota, y se supone nula la resistencia del aire, la pelota se movería en el vacío y en tiempos t1, t2, t3?ocuparía posiciones tales como A, B, C, D ,?y el movimiento sería rectilíneo uniforme de velocidad constante . Sin embargo como la pelota está sometida a la atracción gravitatoria, a la vez que se mueve horizontalmente, cae verticalmente con aceleración constante - y al final de los tiempos indicados, las posiciones de la pelota son, respectivamente, A', B',C',D' ,?La curva que une a estos puntos corresponde a una parábola .
La trayectoria seguida por la pelota puede considerarse como el resultado de dos movimientos: Uno horizontal uniforme a lo largo del eje x y de velocidad constante , y otro vertical de caída, uniformemente variado a lo largo del eje y de aceleración constante . Ecuaciones de la velocidad La componente horizontal de la velocidad será de magnitud constante a través de todo el recorrido e igual a . Esto se debe a que el movimiento en esta dirección es con velocidad constante. En toda la trayectoria la componente horizontal ( ) será la misma velocidad inicial; esto es . En módulo:
La componente vertical en un instante de tiempo cualquiera, viene dada por: La magnitud de la velocidad resultante V, viene dada en módulo por la expresión:
Para determinar la dirección del vector , es decir el ángulo a que forma basta con aplicar la relación trigonométrica
con el eje x ,
Luego: Recordar que el vector velocidad siempre es tangente a la trayectoria descrita por la partícula
Ecuaciones del desplazamiento Como se puede notar el movimiento tiene simultáneamente un desplazamiento horizontal ( ) y un desplazamiento vertical ( ) en un instante de tiempo cualesquiera.
La ecuación de desplazamiento horizontal (X) en módulo, es la misma del movimiento rectilíneo uniforme puesto que la rapidez en ese sentido es constante El desplazamiento vertical (y) en módulo se calcula como si el cuerpo se moviese en caída libre
La posición a lo largo del eje y, en el tiempo t. El desplazamiento total (d) en módulo viene dado por:
La dirección del desplazamiento se obtiene aplicando la definición de tangente El tiempo de vuelo ( ) Es el tiempo transcurrido desde el momento del lanzamiento hasta tocar el suelo. Recuerde que la cantidad subradical será siempre positiva El alcance horizontal ( R ) es el desplazamiento horizontal en el tiempo de vuelo. La ecuación para calcular el alcance horizontal, pero con
Ecuación de la Trayectoria La idea consiste en demostrar que la trayectoria del proyectil es parabólica. En efecto, el desplazamiento horizontal para un cierto tiempo t viene dado por:
de donde :
(a)
Por otra parte, el desplazamiento vertical al mismo tiempo t es: (b)
Como el tiempo para ambos desplazamientos es el mismo, podemos sustituir t de la ecuación (a) en tde la ecuación (b) quedando:
Como , y g son constantes se pueden sustituir lo que está dentro del paréntesis por k, adoptando la expresión la forma siguiente: que corresponde a la ecuación de una parábola.
Por lo tanto las coordenadas ( x ,y ) que determinan la posición de la partícula en el plano serán:
Ejemplo Un avión vuela con una velocidad horizontal constante de 600km/h a una altura de 6 km y se dirige hacia un punto que se encuentra directamente arriba de su objetivo ¿ Cuál es el ángulo de mira al que debe arrojarse un paquete de supervivencia para que llegue a su objetivo? Solución Se escoge un referencial fijo respecto de la Tierra con su origen 0 en el punto que se
suelta el paquete, cuya velocidad en el momento de ser soltado, es igual a la del avión. = 600 Km/h = 166,66 m/seg De aquí que la velocidad inicial del paquete Vo sea horizontal y su magnitud sea de 600 Km/h. El ángulo de tiro es cero. El tiempo de vuelo se calcula con la expresión = 34,99 seg ( No depende de la rapidez del avión cuando el tiro es horizontal) El alcance horizontal es R=
.
= 166,66 m/seg X 34,99 seg
R = 5831,43 m = 5831,4 m = x
De modo que el ángulo de mira f se define como
La hipótesis de Galileo nos enseña a escribir las ecuaciones del tiro horizontal. Consideramos un objeto que se lanza horizontalmente con una velocidad inicial vo y desde una cierta altura H. El movimiento teórico del avance horizontal ha de ser uniforme y, en consecuencia, tendrá la
siguiente ecuación de la posición:
x = vo·t Para variaciones de la altura pequeñas, el movimiento teórico de caída vertical ha de ser uniformemente acelerado, igual que una caída libre con aceleración g. Cumplirá la siguiente ecuación de la posición:
y = H – (½) g·t2 De acuerdo con la hipótesis de Galileo, el movimiento real debería ser una composición de ambos movimientos, de tal forma que sus sucesivas posiciones estén determinadas por un vector de posición de componentes x, y. Para comprobar si se cumple la proposición de Galileo bajo estas premisas, eliminamos la variable t entre ambas ecuaciones y obtenemos la siguiente expresión:
y = H - (g/2vo2)x2 En esta expresión la altura H, la gravedad g y la velocidad horizontal vo, son constantes. Por tanto, la ecuación obtenida es la ecuación de una parábola descendente en el plano XY, tal como afirma la proposición de Galileo. Para profundizar en el estudio teórico del lanzamiento horizontal puedes utilizar la animación adjunta. Se permite modificar la altura H, la gravedad g y la velocidad horizontal vo, del lanzamiento. La simulación dibuja a intervalos regulares de tiempo posiciones sucesivas del proyectil, así como los vectores que representan en cada instante su velocidad y su aceleración. Hemos incorporado en la pantalla un medidor de alcances y alturas con el que se puede comprobar en cada instante el
Haz clic en la imagen para descargar esta animación. Si no lo tienes instala Modellus 2.5 (32 bits) o Modellus 3 (64 bits)
cumplimiento de la relación anterior. Otra animación interesante sobre el tiro horizontal se encuentra en Educaplus.
Problema n° 1) Un piloto, volando horizontalmente a 500 m de altura y 1080 km/h, lanza una bomba. Calcular: a) ¿Cuánto tarda en oír la explosión?. b) ¿A qué distancia se encontraba el objetivo?. Problema n° 2) Un avión que vuela a 2000 m de altura con una velocidad de 800 km/h suelta una bomba cuando se encuentra a 5000 m del objetivo. Determinar: a) ¿A qué distancia del objetivo cae la bomba?. b) ¿Cuánto tarda la bomba en llegar al suelo?. c) ¿Dónde esta el avión al explotar la bomba?. Problema n° 3) Un proyectil es disparado desde un acantilado de 20 m de altura en dirección paralela al río, éste hace impacto en el agua a 2000 m del lugar del disparo. Determinar: a) ¿Qué velocidad inicial tenía el proyectil?. b) ¿Cuánto tardó en tocar el agua?. Problema n° 4) Una pelota esta rodando con velocidad constante sobre una mesa de 2 m de altura, a los 0,5 s de haberse caído de la mesa esta a 0,2 m de ella. Calcular: a) ¿Qué velocidad traía?. b) ¿A qué distancia de la mesa estará al llegar al suelo?. c) ¿Cuál era su distancia al suelo a los 0,5 s?. Problema n° 5) Un avión vuela horizontalmente con velocidad vA = 900 km/h a una altura de 2000 m, suelta una bomba que debe dar en un barco cuya velocidad es vB = 40 km/h con igual dirección y sentido. Determinar: a) ¿Qué tiempo tarda la bomba en darle al barco?. b) ¿Con qué velocidad llega la bomba al barco?. c) ¿Qué distancia recorre el barco desde el lanzamiento hasta el impacto?. d) ¿Cuál será la distancia horizontal entre el avión y el barco en el instante del lanzamiento?. e) ¿Cuál será la distancia horizontal entre el avión y el barco en el instante del impacto?. Publicado por Javier de Lucas el 18:44
TIRO PARABÓLICO
El tiro parabólico es un ejemplo de movimiento realizado por un cuerpo en dos dimensiones o sobre un plano. Algunos ejemplos de cuerpos cuya trayectoria corresponde a un tiro parabólico son: proyectiles lanzados desde la superficie de la Tierra o desde un avión, el de una pelota de fútbol al ser despejada por el portero, el de una pelota de golf al ser lanzada con cierto ángulo respecto al eje horizontal. El tiro parabólico es la resultante de la suma vectorial del movimiento horizontal uniforme y de un movimiento vertical rectilíneo uniformemente variado. El tiro o movimiento parabólico es de dos clases: TIRO PARABÓLICO HORIZONTAL Se caracteriza por la trayectoria o camino curvo que sigue un cuerpo al ser lanzado al vacío, resultado de dos movimientos independientes: un movimiento horizontal con velocidad constante y otro vertical, el cual se inicia con una velocidad cero y va aumentando en la misma proporción de otro cuerpo que se dejara caer del mismo punto en el mismo instante. La forma de la curva descrita es abierta, simétrica respecto a un eje y con solo foco, es decir, es una parábola. Por ejemplo en la figura 1 sé gráfica el descenso al mismo tiempo de dos pelotas, solo que la pelota del lado derecho es lanzada con una velocidad horizontal de 15 m/s. Al término del primer segundo ambas pelotas han recorrido 4.9 m en su caída, sin embargo, la pelota de la derecha también ha avanzado 15 m respecto a su posición inicial. A los dos segundos ambas pelotas ya han recorrido 19.6 m en su caída, pero la pelota de la derecha ya lleva 30 m recorridos de su movimiento horizontal. Si se desea calcular la distancia recorrida en forma horizontal puede hacerse con la expresión: d = vt, pues la pelota lanzada con una velocidad horizontal tendrá una rapidez constante durante su recorrido horizontal e independiente de su movimiento vertical originado por la aceleración de la gravedad durante su caída libre. La trayectoria descrita por un proyectil cuya caída es desde un avión en movimiento, es otro ejemplo de tiro parabólico horizontal. Supongamos que un avión vuela a 250 m/s y deja caer un proyectil, la velocidad adquirida por dicho proyectil en los diferentes momentos de su caída libre, se puede determinar por medio del método del paralelogramo; para ello, basta representar mediante vectores las componentes horizontal y vertical del movimiento. Al primer segundo de su caída la componente tendrá un valor de 9.8 m/s, mientras la componente horizontal de su velocidad será la misma que llevaba el avión al soltar el proyectil, es decir, 250 m/s. Trazamos el paralelogramo y obtenemos la resultante de las dos velocidades. Al instante dos segundo la componente vertical tiene un valor de 19.6 m/s y la horizontal, como ya señalamos, conserva su mismo valor: 250 m/s. Así continuaríamos hasta que el proyectil llegue al suelo. En la figura 2 vemos cuáles serían las componentes rectangulares de la velocidad de un cuerpo, el cual sigue una trayectoria parabólica horizontal. Componentes rectangulares de la velocidad resultante (VR) de un cuerpo que sigue una trayectoria parabólica horizontal. Se observa como la velocidad horizontal (VH) permanece constante, mientras la velocidad vertical (VV) aumenta durante su caída libre por acción de la gravedad de la Tierra. Resolución de 5 problemas de Tiro Parabólico Horizontal:
Se lanza una piedra horizontalmente con una velocidad de 25 m/s desde una altura de 60 m Calcular: • • •
El tiempo que tarda en llegar al suelo. La velocidad vertical que lleva a los 2 segundos. La distancia a la que cae la piedra.
Una pelota es lanzada horizontalmente desde una ventana con una velocidad inicial de 10 m/s y cae al suelo después de 5 segundos. Calcular: A que altura se encuentra la ventana. A que distancia cae la pelota de la base del edificio. Un proyectil se lanza con una velocidad inicial de 200 m/s, si se desea que dé en un blanco localizado a 2500 m,.Calcular:El ángulo con el cual debe ser lanzado.El tiempo que tarda en llegar al blanco. Un proyectil es lanzado con una velocidad inicial de 400 y un ángulo de elevación de 35º. Calcular: • • •
El tiempo que dura en el aire. La altura máxima alcanzada por el proyectil. El alcance horizontal del proyectil.
TIRO PARABÓLICO OBLICUO Se caracteriza por la trayectoria que sigue un cuerpo cuando que es lanzado con una velocidad inicial que forma un ángulo con eje horizontal. Resolución de 4 problemas de Tiro Parabólico Horizontal: 1. un jugador le pega a una pelota con un ángulo de 37º con respecto al plano horizontal, comunicándole una velocidad inicial de 15 m/s. 2. Calcular el angulo de elevación con el cual debe ser lanzado un proyectil que parte a una velocidad de 350 m/s para batir un blanco situado al mismo nivel que el arma y a 4000 m de distancia. 3. Un avión vuela horizontalmente con una velocidad de 800 km./h y deja caer un proyectil desde una altura de 500 m respecto al suelo. Calcular:
• •
Cuanto tiempo transcurre antes de que el proyectil se impacte en el suelo. Qué distancia horizontal recorre el proyectil después de iniciar su caída.
4. Un jugador batea una pelota con una velocidad inicial de 22 m/s y con un ángulo de 40º respecto al eje horizontal. Calcula: • •
La altura máxima alcanzada por la pelota. El alcance horizontal de la pelota.
FÌSICANET FÌSICA- CIMEMATICA
Contenido Ejercicios de Cinemática: Tiro parabólico.
Resolver los siguientes problemas: Problema n° 1) Se lanza un proyectil con una velocidad inicial de 200 m/s y una inclinación, sobre la horizontal, de 30°. Suponiendo despreciable la pérdida de velocidad con el aire, calcular: a) ¿Cuál es la altura máxima que alcanza la bala?. b) ¿A qué distancia del lanzamiento alcanza la altura máxima?. c) ¿A qué distancia del lanzamiento cae el proyectil?. Respuesta: a) 2.038,74 m b) 1.732,05 m c) 3.464,1 m ¡Gracias Manuel por la corrección a éste ejercicio!. Problema n° 2) Se dispone de un cañón que forma un ángulo de 60° con la horizontal. El objetivo se encuentra en lo alto de una torre de 26 m de altura y a 200 m del cañón. Determinar: a) ¿Con qué velocidad debe salir el proyectil?. b) Con la misma velocidad inicial ¿desde que otra posición se podría haber disparado?. Respuesta: a) 49,46 m/s b) 17 m Problema n° 3) Un chico patea una pelota contra un arco con una velocidad inicial de 13 m/s y con un ángulo de 45° respecto del campo, el arco se encuentra a 13 m. Determinar: a) ¿Qué tiempo transcurre desde que patea hasta que la pelota llega al arco?. b) ¿Convierte el gol?, ¿por qué?. c) ¿A qué distancia del arco picaría por primera vez?. Respuesta: a) 1,41 s b) No
c) 17,18 m Problema n° 4) Sobre un plano inclinado que tiene un ángulo α = 30°, se dispara un proyectil con una velocidad inicial de 50 m/s y formando un ángulo β = 60° con la horizontal. Calcular en que punto del plano inclinado pegará. Respuesta: 165,99 m Problema n° 5) Un cañón que forma un ángulo de 45° con la horizontal, lanza un proyectil a 20 m/s, a 20 m de este se encuentra un muro de 21 m de altura. Determinar: a) ¿A qué altura del muro hace impacto el proyectil?. b) ¿Qué altura máxima logrará el proyectil?. c) ¿Qué alcance tendrá?. d) ¿Cuánto tiempo transcurrirá entre el disparo y el impacto en el muro?. Respuesta: a) 9,75 m b) 10,2 m c) 40,82 m d) 1,41 s Problema n° 6) Un mortero dispara sus proyectiles con una velocidad inicial de 800 km/h, ¿qué inclinación debe tener el mortero para que alcance un objetivo ubicado a 4000 m de este?. Respuesta: 26° 16´ 16"
Responder el siguiente cuestionario: Pregunta n° 1) En el tiro parabólico ¿qué tipo de movimiento se manifiesta en el eje "x"?. Pregunta n° 2) En el tiro parabólico ¿qué tipo de movimiento se manifiesta en el eje "y"?. Pregunta n° 3) ¿En qué posición es nula la velocidad en el eje "y"?. • Si utilizaste el contenido de esta página no olvides citar la fuente "Fisicanet"
COMPOSICIÓN DE MOVIMIENTOS Física
Movimiento Parabólico La composición de un movimiento uniforme y otro uniformemente acelerado resulta un movimiento cuya trayectoria es una parábola. • •
Un MRU horizontal de velocidad vx constante. Un MRUA vertical con velocidad inicial voy hacia arriba.
Este movimiento está estudiado desde la antigüedad. Se recoge en los libros más antiguos de balística para aumentar la precisión en el tiro de un proyectil. Denominamos proyectil a todo cuerpo que una vez lanzado se mueve solo bajo la aceleración de la gravedad.
1. Disparo de proyectiles. Consideremos un cañón que dispara un obús desde el suelo (y0=0) con cierto ángulo θ menor de 90º con la horizonta l. Las ecuaciones del movimiento, resultado de la composición de un movimiento uniforme a lo largo del eje X, y de un movimiento uniformemente acelerado a lo largo del eje Y, son las siguientes:
Las ecuaciones paramétricas de la trayectoria son x=v0·cosθ·t y=v0·senθ·t-gt2/2 Eliminado el tiempo t, obtenemos la ecuación de la trayectoria (ecuación de una parábola)
Propuesta de trabajo.
Un cañón dispara obuses con una velocidad inicial de 15 m/s. Calcula el alcance y el tiempo que el obús permanece en el aire para ángulos de 30º, 45º y 60º. Observa las leyendas en verde de la pizarra y detén el botón del tiempo cuándo la altura sea cero o muy próxima a cero. En este momento la velocidad de llegada y salida coinciden. Repite la experiencia para una velocidad inicial de 30 m/s. ¿qué conclusiones sacas?
1.1. Alcance. El alcance horizontal de cada uno de los proyectiles se obtiene para y=0.
Su valor máximo se obtiene para un ángulo θ =45º, teniendo el mismo valor para θ =45+a , que para θ =45-a. Por ejemplo, tienen el mismo alcance los proyectiles disparados con ángulos de tiro de 30º y 60º, ya que sen(2·30)=sen(2·60).
1.2. Altura máxima. La altura máxima que alcanza un proyectil se obtiene con vy=0.
Su valor máximo se obtiene para el ángulo de disparo θ =90º.
1.3.Resumen. Tiempo de vuelo
Alcance máximo
Altura máxima
Alcance de un proyect il para una velocid ad inicial de 60 m/s y diverso s ángulos de tiro.
Propuesta de trabajo.
1.-Se lanza
un cuerpo desde el origen con velocidad horizontal de 40 m/s, y con un ángulo de 60º. Calcular la máxima altura y el alcance horizontal. 2.Un cañón dispara una bala con una velocidad de 46 m/s haciendo un ángulo de 30º por encima de la horizontal. Calcular el alcance, el tiempo de vuelo, y las componentes de la velocidad de la bala. Hallar también la altura máxima.
1.4.Tiro parabólico con altura inicial.
Se dispara un proyectil desde una altura h sobre un plano horizontal con velocidad inicial v0, haciendo un ángulo θ con la horizontal. Para describir el movimiento establecemos un sistema de referencia como se indica en la figura. Las componentes de la velocidad del proyectil en función del tiempo son: vx=v0·cosθ vy=v0·senθ-g·t La posición del proyectil en función del tiempo es x= v0·cosθ·t y= h+v0·senθ·t-g·t2/2 Estas son las ecuaciones paramétricas de la trayectoria, ya que dado el tiempo t, se obtiene la posición x e y del proyectil.
Procediendo de igual manera podemos deducir las ecuaciones del alcance máximo, altura máxima y tiempo de vuelo. 3.Un cañón dispara una bala desde lo alto de un acantilado de 200 m de altura con una velocidad de 46 m/s haciendo un ángulo de 30º por encima de la horizontal. Calcular el alcance, el tiempo de vuelo, y las componentes de la velocidad de la bala al nivel del mar. Hallar también la altura máxima. (Hallar primero, las componentes
horizontal y vertical de la velocidad inicial ¿QUÉ DIFERENCIAS OBSERVAS?
Luis Ramírez Vicente
© Ministerio de Educación. Año 2006
Los contenidos de esta unidad didáctica están bajo una licencia de Creative Commons si no se indica lo contrario.
