UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA SEDE MEDELLÍN ESCUELA DE FÍSICA LABORATORIO DE FÍSICA MECÁNICA PRÁCTICA: SEGUNDA LEY DE NEWTON: -MOVIMIENTO RECTILÍNEO-
FUNDAMENTO TEÓRICO: •
Marco de referencia y sistema de coordenadas.
•
Movimiento Uniformemente Variado.
•
Segunda ley de Newton.
•
Regresión cuadrática.
TRABAJO ANALÍTICO: En la Figura 1 se ilustra el sistema mecánico que se utilizará en ésta práctica para verificar la segunda ley de Newton.
Figura 1: Montaje experimental
Suponiendo la polea ideal (de masa nula y sin fricción en el eje) y despreciando la fricción entre la masa m1 y la mesa, la aceleración lineal con la que desciende la masa m2 (que es igual en magnitud a la aceleración con la que se desplaza m1 ) es:
m2 a= g m1 + m2
[1]
En donde g es la aceleración de la gravedad. Plantear la segunda ley de Newton y demostrar la expresión anterior (emplear papel y lápiz y entregar el análisis al monitor o profesor).
1
TRABAJO PRÁCTICO: PARTE A: Cálculo del valor que se considerará convencionalmente verdadero de la aceleración Medir las masas m1 , m2 y posteriormente calcular el valor de la aceleración
a
con la ecuación 1 (este será el valor que se considerará convencionalmente verdadero). Para el cálculo tomar la aceleración de la gravedad en la ciudad de Medellín igual a 9,78 m.s -2 .
a = 7.899 m.s -2
2 2 g ua = m2 um1 + m12um2 2 (Demostrar) 2 ( m1 + m2 ) Por lo tanto el valor de la aceleración reporta así,
a
[2]
que se considerará como convencionalmente verdadero se
a = 7.899 m.s -2 ± 0.003 m.s -2
PARTE B: Medida de la aceleración angular de la polea
Realizar el montaje ilustrado en la foto de la Figura 2: ubicar la fotocompuerta de tal forma que el haz de luz sea interrumpido por los “radios” de la polea durante su rotación.
Figura 2: Montaje experimental
2
• La fotocompuerta se conecta al PC de la siguiente forma: una terminal a un puerto USB (para alimentar eléctricamente el Diodo Emisor de Luz –LED-) y la otra terminal a la entrada del micrófono (para entrar la señal de respuesta al PC). • Activar el Sonoscopio Virtual de la plataforma software PhysicsSensor. • Atender la explicación del profesor o del monitor sobre el manejo de este sistema hardwaresoftware. Si se realiza la captura de la señal con en el sonoscopio virtual mientras la polea gira, y si luego se presiona la opción sonograma, una señal similar a la de la Figura 3 se desplegará. Los picos que aparecen son el resultado de las repetidas interrupciones que hacen los “radios” de la polea al haz de luz de la fotocompuerta. Esta señal permite medir los instantes para diferentes posiciones angulares de alguna de las líneas radiales (cualquiera que se elija) de la polea.
Figura 3: Señal desplegada en el sonoscopio debido a las interrupciones del haz de luz de la fotocompuerta con el giro de la polea
Considerando que el instante t = 0 la posición angular de alguna de las líneas radiales de la polea (que en la práctica es cualquiera) es θ =θ0 (por comodidad es posible tomar θ0 = 0 ) y teniendo en cuenta que ésta gira con aceleración angular constante α , la posición angular θ en cualquier instante es:
1 θ = θ 0 + ω0 t + α t 2 2
[3]
Verificar que la fotocompuerta está encendida. Activar el sonoscopio y dejar caer la masa m 2 : la polea girará a través de la fotocompuerta. Mediante un análisis de la señal correspondiente en el sonoscopio (el software da la opción de guardar los datos por si es necesario un análisis posterior de los mismos), obtener los datos para llenar las dos primeras columnas en blanco de la Tabla 3. Repetir el procedimiento otras 4 veces (garantizar las mismas condiciones) y terminar de llenar la Tabla 3. Posteriormente, llenar también la tabla 4. Tabla 3
3
t Posición 1 Posición 2 Posición 3 Posición 4 Posición 5 Posición 6 Posición 7 Posición 8 Posición 9 Posición 10 Posición 11 Posición 12 Posición 13 Posición 14 Posición 15
θ
θ
(°)
(rad)
EVENTO 1 t (s)
EVENTO 2 t (s)
EVENTO 3 t (s)
EVENTO 4 t (s)
EVENTO PROMEDI 5 O t (s) (s)
0 36 72 108 144 180 216 252 288
0,000 0,628 1,257 1,885 2,513 3,142 3,770 4,398 5,027
0 0,0156 0,0320 0,0460 0,0608 0,0756 0,0896 0,1027 0,1167
0 0,0148 0,0304 0,0452 0,0592 0,0731 0,0871 0,1003 0,1134
0 0,0156 0,0312 0,0460 0,0608 0,0748 0,0896 0,1036 0,1167
0 0,0156 0,0296 0,0444 0,0583 0,0723 0,0855 0,0986 0,1118
0 0,0148 0,0287 0,0427 0,0567 0,0707 0,0830 0,0962 0,1093
0 0,01528 0,03038 0,04486 0,05916 0,0733 0,08696 0,10028 0,11358
324
5,655
0,1299
0,1266
0,1299
0,1241
0,1217
0,12644
360
6,283
0,1422
0,1389
0,1430
0,1365
0,1340
0,13892
396
6,912
0,1554
0,1513
0,1554
0,1488
0,1463
0,15144
432
7,540
0,1677
0,1636
0,1677
0,1611
0,1578
0,16358
468
8,168
0,1800
0,1751
0,1800
0,1726
0,1694
0,17542
504
8,796
0,1916
0,1875
0,1924
0,1842
0,1809
0,18732
Tabla 4 PROMEDIOS t (s)
θ (rad)
ut (s)
u θ (rad)
0,0000 0,0153 0,0304 0,0449 0,0592 0,0733 0,0870 0,1003 0,1136 0,1264 0,1389 0,1514 0,1636 0,1754 0,1873
0,000 0,628 1,257 1,885 2,513 3,142 3,770 4,398 5,027 5,655 6,283 6,912 7,540 8,168 8,796
0,0004 0,0004 0,0004 0,0004 0,0004 0,0004 0,0004 0,0004 0,0004 0,0004 0,0004 0,0004 0,0004 0,0004 0,0004
0,02 0,02 0,02 0,02 0,02 0,02 0,02 0,02 0,02 0,02 0,02 0,02 0,02 0,02 0,02
4
Usar PhysicsSensor para hacer una regresión cuadrática de La gráfica obtenida es: Insertar aquí la gráfica
θ
θ
vs t (emplear los datos de la tabla 4).
vs t
2 Los coeficientes de la parábola ( θ = c1t + c 2 t + c 3 ) obtenida son:
c1 =36.2 rad.s -2 ±0.3 rad.s -2
c 2 =40.15 rad.s -1 ±0.06 rad.s -1
c3 = 0.004 rad ± 0.003 rad
Del coeficiente c1 obtener el valor de la aceleración angular de la polea:
5
1 α = c1 ⇒ α = 2c1 2 Por lo tanto, α=72.4
rad.s -2
La incertidumbre es,
uα = 2u c1 Por lo tanto, uα =0.6 rad.s -2
En definitiva la aceleración de la angular se reporta así,
α= 72.4
rad.s -2 ±0.6 rad.s -2
PARTE C: Cálculo de la aceleración tangencial de los puntos del borde de la polea La aceleración tangencial aT de los puntos del borde de la polea cumplen,
aT = α R en donde
[4]
R corresponde al radio de la polea.
Medir el radio de la polea,
R = 0,02465
m ± 0.00003
m
Empleando la ecuación [4] y el resultado de la aceleración angular de la polea (medida realizada en la PARTE B), se obtiene:
6
aT = 1,787 m.s -2 La incertidumbre es,
u aT =
( R uα ) 2 + ( α u R ) 2
y por lo tanto,
u aT = 0,02 m.s -2 En definitiva la medida de la aceleración tangencial de los puntos de la periferia de la polea se reporta así,
aT =0,02
m.s -2 ± 0.02 m.s -2
PARTE D: Cálculo del porcentaje de error Si la cuerda es inextensible y no se desliza sobre la polea, se cumple que la magnitud de la aceleración tangencial aT de los puntos del borde de la polea y la magnitud de la aceleración lineal a de la masa m2 son iguales,
a = aT
[5]
Suponiendo como valor convencionalmente verdadero de la aceleración lineal a corresponde al valor obtenido empleando la ecuación [1] (análisis realizado empleando la segunda ley de Newton), el porcentaje de error comparado con el valor obtenido empleando la ecuación [5], se obtiene:
% de error = 5,0270 %
Resumen de los resultados:
7
Tabla 5 Valor convencionalmente verdadero (Calculado empleando la segunda ley de Newton)
Medida de la aceleración con el uso de la fotocompuerta
a =1,88 m.s -2
a =1,79 m.s -2 ± 0,02 m.s -2
% DE ERROR
5.0270 %
Conclusiones:
Se obtuvo un porcentaje de error relativamente bajo, lo que nos indica que hubo una buena toma de datos experimentales. Observando la incertidumbre, se puede concluir que es baja debido a que fue precisa la toma de datos,
Se sugiere redactar las conclusiones teniendo en cuenta los siguientes parámetros: • Respecto al porcentaje de error. • Respecto a la incertidumbre. • Sugerencias para mejorar los resultados. • Otras que se consideren pertinentes.
TAREA: En la Figura 4 se ilustra la denominada Máquina de Atwood, sistema mecánico muy utilizado para verificar la segunda ley de Newton.
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Figura 4: Máquina de Atwood
Suponiendo la polea ideal (de masa nula y sin fricción en el eje), la aceleración con la que desciende la masa m2 (que es igual en magnitud a la aceleración con la cual asciende m1 ) es:
m − m1 a= 2 g m1 + m2
[6]
donde g es la aceleración de la gravedad (se consideró que m2 > m1 ). Plantear la segunda ley de Newton y demostrar la expresión anterior. Empleando los datos de masa obtenidos en la práctica sobre movimiento circular (donde se empleó el mismo sistema), calcular la aceleración lineal a utilizando la expresión [6] y compararlo con el valor obtenido en dicha práctica (calcular el porcentaje de error).
Valor convencionalmente verdadero (Calculado empleando la segunda ley de Newton)
a = 3.112 m.s -2
•
Medida de la aceleración lineal con el uso de la fotocompuerta
a = 2.963 m.s -2 ± 0.001 m.s -2
% DE ERROR
4,788%
Con base en los datos obtenidos hacer un estimativo de la tensión en la cuerda.
Luego, T = 0,058*(9,78) + 0,030(3.112) T= 0.661 Demostraciones: •
Demostración de la Ecuación (1) de aceleración:
1) Suponiendo que la polea de la figura 1 es ideal (de masa nula y sin fricción en el eje), la aceleración con la que desciende la masa m2 (que es igual en magnitud a la aceleración con la cual asciende m1 ) - Nota:
se consideró que m2 > m1
Figura 1 Se aplica la segunda ley de newton realizando los diagramas de cuerpo libre para m1 y para m2 así:
Para m1 :
9
Condiciones iniciales
T
m1
(1)
Para m2 :
T Condiciones iniciales
m2
(2)
2) De (1) y (2) despejamos T: (1*)
(2*) 3) Se iguala las T: (1*) = (2*)
Y despejamos la aceleración (a), dando como resultado:
•
Demostración de la incertidumbre de la aceleración teórica Ecuación (2):
10
1. Partiremos de la siguiente expresión para determinar los parámetros pertinentes para reemplazar en la ecuación genérica a fin de determinar la incertidumbre de la aceleración
m − m1 a= 2 g (1) m1 + m2 2. Para hallar la incertidumbre entonces aplicamos la siguiente expresión genérica mencionada en el numeral anterior, la cual es equivalente a: 2
2
∂a ∂a ∆a = ± ∂m ∆m1 + ∂m ∆m2 (2) 1 2
3. Resolviendo las derivadas parciales indicadas en la ecuación (2)
( − 1)( m1 + m2 ) − ( m2 − m1 )(1) −m −m −m +m ∂ a m2 − m1 − 2m2 g g ⇒ 1 2 22 1 g ⇒ = g ⇒ 2 ∂ m1 m1 + m2 ( m1 + m2 ) ( m1 + m2 ) ( m1 + m2 ) 2 (1)( m1 + m2 ) − ( m2 − m1 )(1) m +m −m +m ∂ a m2 − m1 2m1 g g ⇒ 1 2 2 2 1 g ⇒ = g ⇒ 2 (m + m ) ∂ m2 m1 + m2 ( m1 + m2 ) ( m1 + m2 ) 2 1 2 4. Reemplazamos las derivadas parciales en (2) 2
− 2m2 g 2m1 g ∆a = ± ∆m1 + ∆m2 2 2 ( m1 + m2 ) ( m1 + m2 )
2
5. Simplificamos la expresión al máximo:
( − 2) 2 ( m ) 2 ( g ) 2 ( 2) 2 ( m ) 2 ( g ) 2 2 2 2 1 ∆a = ± ( ∆ m ) + ( ∆ m ) 1 2 ( m + m )2 2 (m + m )2 2 1 2 2 1
(
)
(
)
4g 2 2 2 2 ∆a = ± m 2 ( ∆m1 ) + m12 ( ∆m2 ) 4 ( m1 + m2 )
( )
( )
2
2g ( m22 )( ∆m1 ) 2 + ( m12 )( ∆m2 ) 2 ∆a = ± 2 ( m1 + m2 ) Y finalmente nos queda:
11
2( g ) 2 2 ∆ateorica = ± m 22 ( ∆m1 ) + m12 ( ∆m2 ) 2 ( m1 + m2 )
( )
( )
12
