INTEGRALES DE LINEA EN COORDENADAS POLARES POL ARES Una trayectoria en el plano descrita en coordenadas polares es dado por:
γ : α ⃗α ( θ )=( x , y )=( rcosθ,rsenθ cosθ ,rsenθ ) donde γ : ⃗ α α ( θ )=( r ( θ ) cosθ,r ( θ ) senθ ) , Calculando la derivada se tiene
r= r (θ )
θ ∈[ α , β ]
⃗α ( θ )= r ( θ ) ( cosθ α cosθ , senθ senθ) + r ( θ)(− senθ,cosθ) '
'
F ( x , y ) en coordenadas polares estaría dado por: ⃗
El campo vectorial
G ( r , θ ) = F ( rcos rcos ,rsenθ ) ⃗
⃗
∫G d r ⃗
Luego la integral de línea
⃗
en coordenadas polares donde
γ
γ : r =r ( θ ) esta
dado por: β
∫ G d r=∫ F ( α α⃗ ) d α α⃗ =∫ F ( α ⃗α ( θ ) ) . ⃗α ' (θ ) dθ ⃗
⃗
⃗
γ
⃗
γ
α
β
¿∫ F ( r ( θ ) cosθ,r ( θ ) senθ ) . α⃗ ' (θ ) dθ ⃗
α
Ejemplo 1.
Calcular
∫ ( y − z ) dx +( z− x ) dy +( x− y ) dz γ
de las superfic superficies ies
2
2
2
x + y + z = a
2
donde
y = x tan α ,
,
γ es la intersección
(0 < α < π )
recorrida
en sentido contrario al del movimiento de las agujas del reloj, si se observa de la parte positiva del eje X. !ora parametri"amo parametri"amos s la curva 2
2
2
2
2
x + x tg α + z = a 2
2
2
sec α . x + z = a x
2
2
{
2
2
2
( 1 + tg α ) x + z = a 2
, de donde
2
γ : x + y + z = a y = xtgα 2
2
2
, #ue e$presamos en la forma
2
+ z 2 =1 ( elipse elipse enel en el plano plano XZ ) 2 2 a cos α a Cuya parametri"ación la elipse se tiene
x =acosα acosα . senθ , z =acosθ
y = xtgα = acosα . senθ .tgα =asenθ.senα
Como
%or lo tanto la parametri"ación de la curva es:
{
x =acosαsenθ γ : y = asenαsenθ , z =acosθ
0 ≤θ ≤ 2 π
!ora calculamos la integral de línea:
∫ ( y − z ) dx +( z− x ) dy +( x− y ) dz γ 2 π
¿ ∫ [ ( asenαsenθ− acosθ ) acosαcosθ + ( acosθ − acosαsenθ ) asenαcosθ+ ( acosαsenθ− asenαsenθ ) (−asenθ ) ] dθ 0
2 π
¿ ∫ [ a senαcosαsenθcosθ −a cosα cos θ + a senα cos θ − a senαcosαsenθcosθ−a cosα sen θ + a senα sen 2
2
2
2
2
2
2
0
2 π
¿ ∫ [− a2 cosα ( cos 2 θ + sen2 θ ) + a2 senα (cos 2 θ + sen2 θ )] dθ 0
2 π
¿ ∫ (−a2 cosα + a2 senα ) dθ= a2 (senα − cosα ) 2 π 0
∫ ( y − x ) dx +( z− x ) dy+ ( x − y ) dz=2 π a ( senα −cosα ) 2
∴
γ
Ejercicios desarrollados
∫ ( x+ y ) dS
1. Calcular la integral 2
&ea:
{
2
2
x + y + z =
circunferencia
2
C
2
2
2
,
, donde C es una cuarta parte de la
y = x situada en el primer octante.
2
x + y + z = y = x
'nterceptando las dos superficies tenemos 2
2
2
2
2
x + y + z = ⇒ x +
z
2
2
=
2
2
( elipse )
2
2
2
%arametri"ando tenemos:
y = x ⇒ y = Como
[ a , ! ] " ⃗α :
3
⃗α ( θ )
#e donde ⃗ α ' (θ )
√ 2
cosθ, z= senθ
cosϑ , luego la curva parametri"ada es e$presado por:
√ 2
( − =( =
x =
)
cosθ cosθ π , , senθ , 0 ≤ θ ≤
√ 2
√ 2
2
senθ − senθ , ,cosθ
√ 2
√ 2
)
‖⃗α ' ( θ )‖=
⇒
dS =‖⃗ α (θ )‖dθ = dθ ⇒ dS= dθ '
Como
π 2
π 2
2
∫ ( x+ y ) dS=∫ √ 2 cosθ.dθ =√ 2 ∫ cosθdθ C
2
0
0
π
¿ √ 2 senθ ¿02 =√ 2 2 2
∫ ( x+ y ) dS =√ 2
∴
2
C
∫ xyz dS
2. Calcular la integral curvilínea
circunferencia
&ea
{
2
2
2
2
x + y + z =
2
2
C
2
2
, donde C es una cuarta parte de la
2
x + y =
,
2
4
situada en el primer octante.
2
x + y + z = $ ( 1 ) 2 C : 2 2 x + y = $ ( 2 ) 4
%arametri"ando la curva C se tiene: de la ecuación ()* proyectamos al plano X+
{
x =
2
cosθ
y = senθ
,
[ ]
θ ∈ 0,
π 2
2
!ora reempla"ando (-* en (* tenemos:
(-*
4
2 2
cos θ + :
2 2
2
sen θ + z =
4
2
⇒ z
=
√ 3
2
Luego la curva parametri"ada es dado por:
(
[ a , ! ] " = cosθ, senθ , √ 3 ⃗α : 3
⃗α ( θ )
/e donde
Como
2
⃗ ' ( θ )= α
(
2
2
− senθ cosθ ,
2
2
)
)
, 0≤ θ ≤
‖⃗α ' ( θ )‖= 2
' dS =‖⃗ α (θ )‖dθ = dθ dS = dθ 2
2
2
⇒
π
3
∫ xyz dS =∫ 8 C
¿
√ 3 senθ.cosθ
0
4
16
2
⇒
π
π
√ 3
2
sen θ 2
|= π 2
0
4
32
√ 3
2
dθ =
2
4
16
√ 3
∫ senθcosθdθ 0
