Integración de funciones racionales por fracciones parciales. 18 ejercicios resueltos. Enunciados tomados del libro de Calculo de James Stewart

Evalúe las siguientes integrales: 1.

x

2

1 dx 2  9

Solución- J uan Beltrán: 1   x 2  9  2 dx ( 1 ) 1 1  2 2 2  x  9   x  3   x  3 2



1



( 2 ),

A B C D    , 2 2  x  3  x  3   x  3  x  3 



 x  3  x  3 2 2 2 2 1  A  x  3  B  x  3   x  3  C  x  3  D  x  3   x  3  , 1  A  x 2  6 x  9   B  x 2  9   x  3  C  x 2  6 x  9   D  x 2  9   x  3 ,



1  Ax 2  6 Ax  9 A  Bx 3  3Bx 2  9 Bx  27 B  Cx 2  6Cx  9C  Dx 3



2

2

 3Dx 2  9 Dx  27 D, 

1   B  D  x 3   A  3B  C  3D  x 2   6 A  9 B  6C  9 D  x 

 9 A  27 B  9C  27 D 

(3)

Como ( 2 ) es una iden tidad, los coeficientes del miembro izquierdo deben ser iguales a los correspondientes del miembro derecho; de tal manera que: BD0   A  3B  C  3D  0   6 A  9 B  6C  9 D  0  9 A  27 B  9C  27 D  1

(4)

La solución del sistema de 4  4 ( 3 ), es: 1 1 1 1 A , B , C , D (5) 36 108 36 108 Sustituyendo ( 5 ) en ( 2 ), se obtiene la forma de fracciones parci ales del integrando en ( 1 ) ; de tal manera que: 

 1 1 1 1     dx  2 108  x  3 36  x  3 2 108  x  3   36  x  3  1 1 1 1 1 1 1 1 dx  dx  dx  dx, 2 2     36  x  3 108 x  3 36  x  3 108 x  3





x

2



x

2



x

2

1 1  1  1 1  1  1 dx    ln x  3    ln x  3  C ,     2 36  x  3  108 36  x  3  108  9 1  9

2

dx  

1  1 1  1 x3  ln  C;   36  x  3 x  3  108 x  3

1 1 x3 x dx  ln  C. 2 2 108 x  3 18( x  9)  9

x4  x 4  1 dx Solución- Jua n Beltrán: 2.

x4  x 4  1 dx ( 1 ) Dividimos el integrando en ( 1 ), para hallar la parte entera y la fracción propia, luego expresamos dicha fracci ón como una suma de frac cion es parciales: x4 1 1 4 (2) 4 x 1 x 1 1 1 1  2  , 4 2 x  1  x  1  x  1  x  1  x  1  x 2  1 

1 A B Cx  D    2 2 x  1 x  1 x 1  x  1  x  1  x  1



1  A( x  1)( x 2  1)  B ( x  1)( x 2  1)  (Cx  D)( x 2  1),



1  Ax 3  Ax 2  Ax  A  B x 3  Bx 2  Bx  B  Cx 3  Dx 2  Cx  D,



1  ( A  B  C)x3   A  B  D x 2   A  B  C  x   A  B  D

( 3 ),

( 4 ),

Como ( 4 ) es una identidad, los coeficientes de ambos miembros son respectivamente iguales; de tal man era que: A  B  C  0 A  B  D  0   A  B  C  0 A  B  D  1 

(5)

La solución del sistema ( 5 ) es: 1 1 1 A  , B   , C  0, D   4 4 2 Sustituyendo los valores anteriores en ( 3 ), luego en ( 2 ), la integral ( 1 ) queda:  x4 1 1 1  x 4  1 dx    1  4  x  1  4  x  1  2  x 2  1   



dx,   

1 1 1 1 1 1 dx   dx   2 dx,  4 x 1 4 x 1 2 x 1 1 x4 1 1 1  x 4  1 dx  x  4 ln x  1  4 ln x  1  2 tan 1 x  C; x4 1 x 1 1  x 4  1 dx  x  4 ln x  1  2 t an 1 x  C.

x

x



4

4

dx   dx 

3.

t

t4  t2 1 2

 1  t 2  4 

dt

2

Solución- Juan Belt r á n:

t

t4  t2 1 2

 1  t 2  4 

2

dt

(1)

Expresemos el integrando en ( 1 ) como una suma de fracciones parciales:

t 

t4  t2 1 2

 1  t  4  2

2



At  B Ct  D Et  F   t 2  1  t 2  4 2 t 2  4

( 2 ),

t 4  t 2  1   At  B   t 2  4    Ct  D   t 2  1   Et  F   t 2  1  t 2  4  , 2



t 4  t 2  1   At  B   t 4  8t 2  16    Ct  D   t 2  1   Et  F   t 4  5t 2  4  ,



t 4  t 2  1  At 5  Bt 4  8 At 3  8 Bt 2  16 At  16 B  Ct 3  Dt 2  Ct  D  Et 5  Ft 4  5 Et 3  5 Ft 2  4 Et  4 F ,



t 4  t 2  1   A  E  t 5   B  F  t 4   8 A  C  5 E  t 3   8B  D  5F  t 2 

 16 A  C  4 E  t   16 B  D  4 F 

( 3 ),

Como ( 3 ) es una identidad, los coeficientes de ambos miembros son respectivame n t e iguales; de tal manera que: A E  0   B F 1  8 A  C  5E  0   8B  D  5F  1  16 A  C  4 E  0   16 B  D  4 F  1

(4)

La solución del sistema ( 4 ) es: 1 13 8 A  0, B  , C  0, D   , E  0, f  9 3 9 Sustituyendo los valores anteriores en ( 2 ), la integral ( 1 ) queda: 

 8 dt ,   t 2  1  t 2  4  2  9  t 2  1 3  t 2  4  2 9  t 2  4     4 2 t  t 1 1 1 13 1 8 1   t 2  1  t 2  4  2 dt  9   t 2  1 dt  3   t 2  4  2 dt  9   t 2  4  dt , t4  t2 1

  

t t

dt   

t4  t2 1 2

 1  t  4  2

 1  t 2  4 



13



2

dt 

1 13 1 8 1 tan  1 t   dt   tan  1 2 2 9 3  t  4 9 2

2

dt 

1 13 1 4 tan  1 t   dt  tan  1 2t  C1 2 9 3  t 2  4 9

t4  t2 1 2

1

t  C , 1 2 

(5)

La integral en ( 5 ) se resuelve por sustitución trigonométrica, veamos: 1 dt   t 2  4  2 dt    t 2  4  2 ( 6 ) Sea t  2 tan  ,  dt  2sec 2  d Sustitiuyendo ( 7 ) en ( 6 ), s e obtiene:



1

t

2

t

2

 4

2

dt  

2sec 2  d

 4 tan 2   4 

1 1 d dt    2 8 sec 2   4

2

t

(7)  2

2sec 2  d

16  tan 2   1

2



1 sec 2  d , 8   sec 2   2

1 1 dt   cos 2  d 2 8  4

(8)

La integral en ( 8 ) se resuelve por el método de integración por partes:

 cos

2

 d   cos  cos  d

Sea u  cos  ,  du   sen  d dv  cos  d , v  sen  De tal manera que:

 cos  d  sen  cos    sen  d  sen  cos   (1  cos  cos  d  sen  cos    d   cos  d , 2  cos  d  sen  cos     c; 2

 

2

2

2

 cos t



 ) d ,

2

1 1  d  sen  cos     C 2 2 sustituyendo ( 9 ) en ( 8 ), se obtiene:



2

t

2

2

2

(9)

1 1 1 1 dt   sen  cos     C , 2 8 2 2   4 1 1 1 dt  sen  cos     C 2 16 16  4

( 10 )

De ( 7 ), se tiene que: t    tan  1 (t / 2) ( 11 ) 2 t t  2 tan   tan   : con este dato se construye el triángulo 2 rectángulo que aparece en la Fig.1 : t  2 tan   tan  

Del triángulo rectángulo de F i g . 1 , se deduce que: t 2 sen   , cos   ( 12 ) 2 2 t 4 t 4 sustituyendo ( 1 1 ) y ( 12 ) en ( 1 0 ), se obtiene: 1 1 t 2 1   t 2  4  2 dt  16 t 2  4 t 2  4  16 tan 1 2t  C ,

t



1 2

 4

2

dt 

1 t 1  tan  1 (t / 2)  C 2 8 t  4 16

( 13 )

Por último, sustituyendo ( 13 ) en ( 5 ), se obtiene: t 4  t2 1 1 13  1 t 1   t 2  1  t 2  4  2 dt  9 tan 1 t  3  8 t 2  4  16 tan 1

t  2 

4 tan  1 2t  C ; 9



t4  t2 1 1 13 t 13 4   t 2  1  t 2  4  2 dt  9 tan 1 t  24 t 2  4  48 tan 1 2t  9 tan 1 2t  C;



t4  t2 1 1 13 t 25   t 2  1  t 2  4  2 dt  9 tan 1 t  24 t 2  4  144 tan 1 2t  C.

4.

x

 x  6 dx

Solución- Juan Beltr á n: x



6 

6

 x  6 d x    1  x  6  dx   dx   x  6 dx; 

x

 x  6 d x  x  6 ln x  6  C.

5.

x9

  x  5  x  2  dx

Solución- Juan Beltrán: x9   x  5  x  2  dx

(1)

Expresemos el integrando como una sum de fracciones parciales: x9 A B   ( 2 ),  x  5  x  2  x  5 x  2 x9 A B    x  5   x  2    ,  x5 x2  x  5  x  2



 x  5  x  2 



x  9  A( x  2)  B ( x  5)  x  9  Ax  2 A  Bx  5B,



x  9   A  B  x    2 A  5B 

(3)

como ( 3 ) es una identidad, los coeficientes del miembro izquierdo son iguales a los correspondientes del miembro der e cho; de tal modo que: A B 1 (i)  (4)   2 A  5 B   9 ( ii)  Para resolver el sistema ( 4 ), multiplicamos la ecuación ( i ) por 2 y, la ecuación resultante, la sumamos con la ( ii ): 2 A  2B  2  2 A  5B   9 7B  7  B  1 

A 1  1



( 5),

 (4) en ( ii ) ;

A  2 (6) Sustituyendo ( 5 ) y ( 6 ) en ( 2 ) la integral ( 1 ) queda: x9



  x  5  x  2  dx    

x9

2 1  1 1  dx   dx; dx  2  x5 x2 x5 x2

  x  5  x  2  dx  2 ln x  5  ln x  2  C.

1 dx x 1 Solución- Juan Beltrán: 3 3 1 1 2 x 2  1 dx  2  x  1  x  1 dx 6.



3

2

2

1

 x  1  x  1



A B  x 1 x 1

(1)

( 2 ),

1   x  1  x  1 

A B   , x  1 x 1   1  A( x  1)  B ( x  1)  1  Ax  A  Bx  B, 1  ( A  B ) x  ( A  B ) ( 3 ); A B  0 (i) A  B  1 ( ii )

  



1 (4) 2 sustituyendo ( 4 ) en ( i ), se obtiene: 1 1 B0 B (5) 2 2 Susitiuyendo ( 4 ) y ( 5 ) en ( 2 ), la in tegral definida ( 1 ) queda: 1 A 

2A



3

2

3 1 1 1 dx     2 2  x  1 x 1 2  x  1  2



1 3 dx  2 2   

1 1   x  1  x  1



dx 

Aplicamos el Teorema fundamental del cálculo para obtener: 3 1 1 x 1   1 3 1 2 1  1 2 1 2 x 2  1 dx  2  ln x  1  2   2  ln 3  1  ln 2  1   2  ln 4  ln 3  ,   3 3 1 1 1 1 1 1 3 2 x 2  1 dx  2  ln 2  ln 3   2 x 2  1 dx  2 ln 2 . 3



ax dx  bx Solución- Juan Beltrán: ax ax a  x 2  b x dx   x  x  b  dx    x  b  dx; 7.



x

2

x

2

ax dx  a ln x  b  C.  bx

x3  2x 2  4 3 x 3  2 x 2 dx Solución- Juan Beltr á n: 8.

4

x3  2x 2  4 3 x 3  2 x 2 dx ( 1 ) Como el numerador y denominador en ( 1 ) son del mismo grado, efectuamos la división: 4

x3  2x 2  4  x3  2x 2 4

x3  2x2 1

x3  2x 2  4 4 4 1 3  1 2 3 2 2 x  2x x  2x x  x  2



4 Ax  B C   2 x 2 x x  x  2 2

  



(2)

( 3 ),

Ax  B C  2    4   Ax  B   x  2   Cx , 2 x  2 x   Ax  B C  2 2 4  x 2  x  2      4  A x  2 Ax  Bx  2 B  Cx , 2 x2 x  2 4  Ax  Bx  2 Ax  2 B  Cx 2  4   A  C  x 2    2 A  B  x  2 B; 4  x 2  x  2  

AC  0    2 A  B  0   2B  4 

(4)

la solución del sistema ( 4 ) es: A   1, B   2, C  1 sustituyendo estos valo res en ( 3 ), la integral ( 1 ) queda: 4 x3  2x 2  4   x  2  1   dx  4  1  x  2  1  dx, dx  1   3 x 3  2 x 2 3   x 2 x  2   3  x2 x2  3 2 4 x  2x  4 4 1 2 1    3 x 3  2 x 2 dx  3  1  x  x 2  x  2  dx aplicando el teorema fundam en t al del cálculo, se tiene que: 4



4

3

x3  2x 2  4 2 dx   x  ln x   ln( x  2)  3 2 x x  2x  

4  ln 4    





4

3

4



3

2 2  ln(4  2)   3  ln 3   ln(3  2) , 4 3  

x3  2x 2  4 1 2 dx  4  2 ln 2   ln 2   3  ln 3   ln1, 3 2 2 3 x  2x  

x3  2x 2  4 1  2  3 x 3  2 x 2 dx  4  ln 2  2   3  ln 3  3  0  , 4 x3  2x 2  4 1 2 3 x 3  2 x 2 dx  4  ln 2  2  3  ln 3  3 , 4 x3  2x 2  4 2 7 3 x 3  2 x 2 dx  l n 3  6 . 4

4 y 2  7 y  12 1 y( y  2)( y  3) dy Solución- Juan Bel t r á n: 8.

2

4 y 2  7 y  12 1 y( y  2)( y  3) dy ( 1 ) Expresemos el integrando en ( 1 ) como una suma de fracciones parciales : 2

4 y 2  7 y  12 A B C    y ( y  2)( y  3) y y  2 y  3

( 2 ),



 A B C    , y y  2 y 3   4 y 2  7 y  12  A( y  2)( y  3)  By ( y  3)  Cy ( y  2),



4 y 2  7 y  12  Ay 2  Ay  6 A  By 2  3By  Cy 2  2Cy,



4 y 2  7 y  12   A  B  C  y 2    A  3B  2C  y  6 A;



A B C  4



4 y 2  7 y  12  y ( y  2)( y  3) 

 A  3B  2C   7    6 A   12 



 (3)

la solución del sistema ( 3 ) es: 9 1 A  2, B  , C  5 5 sustituyendo estos valores en ( 2 ), la integral definida ( 1 ), q ueda:



2

1





2

1

2 2  4 y 2  7 y  12 9 1 dy      dy , 1 y ( y  2)( y  3) y 5 y  2 5 y  3      

4 y 2  7 y  12 9 1 dy   2 ln y  ln y  2  ln y  3   y ( y  2)( y  3) 5 5 

2

, 1

4 y 2  7 y  12 9 1 9 1   1 y( y  2)( y  3) dy  2 ln 2  5 ln(2  2)  5 ln 2  3   2 ln1  5 ln(1  2)  5 ln 1  3  2 4 y 2  7 y  12 9 1 9 1    1 y( y  2)( y  3) dy  2 ln 2  5 ln 4  5 ln1   2 ln1  5 ln 3  5 ln 2  , 2 4 y 2  7 y  12 18 9 1    1 y( y  2)( y  3) dy  2 ln 2  5 ln 2  0   0  5 ln 3  5 ln 2  ; 2 4 y 2  7 y  12 27 9  1 y( y  2)( y  3) dy  5 ln 2  5 ln 3 . 2

9.

1

 ( x  5)

dx ( x  1) Solución- Juan Beltr án: 1  ( x  5) 2 ( x  1) dx ( 1 ) Expresemos el integrando de ( 1 ) como una suma de fracciones parciales: 1 A B C    ( 2 ), 2 2 ( x  5) x  1 ( x  5) ( x  1) ( x  5) 2



A B C    , 2 ( x  5) x  1   ( x  5)  1  A( x  1)  B ( x  5)( x  1)  C ( x  5) 2 ,



1  Ax  A  Bx 2  4 Bx  5 B  Cx 2  10Cx  25C ,



1   B  C  x 2   A  4 B  10C  x    A  5B  25C 





1  ( x  5) 2 ( x  1) 

(3)

en la identidad ( 3 ), los coefici entes resp ectivos de los términos de ambos miembros deben ser iguales; de tal manera que: BC  0   A  4 B  10C  0   A  5B  25C  1

(4)

la solución del sistema ( 4 ) es: 1 1 1 A , B , C  6 36 36 sustituyendo estos valores en ( 2 ), la integral ( 1 ) queda:  1 1 1 1 dx  2  ( x  5) ( x  1)    6( x  5) 2  36( x  5)  36  x  1 1



 ( x  5)



 ( x  5)



 ( x  5)

dx  



dx, 

1 1 1 1 1 1 dx  dx  dx, 6  ( x  5) 2 36  ( x  5) 36  x  1

2

( x  1)

1

1 1  1 1 dx      ln x  5  ln x  1  C ;  6  ( x  5)  36 36 ( x  1)

2

1 2

( x  1)

dx 

1 1 x 1  ln  C. 6( x  5) 36 x  5

x3  4  x 2  4 dx Solución- Juan Belt rán:

10.

x3  4  x 2  4 dx ( 1 ) Dividimos el integrando, pués el grado del polinomio del numerador es mayor que el del denominador: x3 4  x3  4x  4x  4

x2  4 x

esto es: x3  4 4x  4  x 2 x2  4 x 4 sustituimos ( 2 ) en ( 1 ):

† †

(2)

x3  4 4x  4  4x 4   x 2  4 dx    x  x 2  4  dx   xdx   x 2  4 dx   x 2  4 dx  C1 1  xdx  2 x 2  C 2 ( 4) 4 x dx  x 2  4 (5)

(3)

sea u  x 2  4,  du  2 xdx  2du  4 xdx ( 6 ), 4 xdx 2du  ( 6 ) en ( 5 ) ,  x 2  4   u  2 ln u  C3  ln u 2  C3 2 4 xdx   x 2  4  ln  x 2  4   C3 ( 7 ) 4 1  1  x   x †  x 2  4 dx  4 x 2  2 2 dx  4  2 tan 1  2    C 4  2 tan 1  2   C4 ( 8 ) Sustituyendo ( 4 ), ( 7 ) y ( 8 ) en ( 3 ), y reuniendo las constantes en C , se tiene: 2 x3  4 1  x  x 2  4 dx  2 x 2  ln  x 2  4   2 tan 1  2   C.

5 x 2  3x  2  x 3  2 x 2 dx Solución- Juan Beltrá n:

11.

5x 2  3x  2 5 x 2  3x  2 dx   x3  2x 2  x 2  x  2  dx

(1)

Expresemos el integrando como una suma de fracciones parciales: 5 x 2  3x  2 Ax  B C   2 2 x2 x x  x  2

(2) ,



Ax  B C   , 2 x2 x   5 x 2  3 x  2   Ax  B   x  2   Cx 2 ,



5 x 2  3 x  2  Ax 2  2 Ax  Bx  2 B  Cx 2 ,



5x 2  3x  2   A  C  x 2   2 A  B  x  2B



5 x 2  3 x  2  x 2  x  2  

(2)

En la identidad ( 2 ), se cumple: AC  5   2 A  B  3 2 B   2 

(3)

la solución del sistema ( 3 ) es: A  2, B   1, C  3 sustituyendo estos valores en (2), (1) queda:



5x 2  3x  2 3  2 1 3  2x  1  x 3  2 x 2 dx    x 2  x  2  dx   x dx   x 2 dx   x  2 dx; 5 x 2  3x  2 1  x 3  2 x 2 dx  2 ln x  x  3l n x  2  C.

12.

10

  x  1  x

2

 9

dx

Solución- Juan Beltrá n: 10   x  1  x 2  9  dx

(1)

Expresemos el integrando como una suma de fracciones parciales: 10 A Bx  C   2 ( 2 ), 2 x  1 x 9  x  1  x  9 



A Bx  C  2  2   10  A  x  9    Bx  C   x  1 , x  1 x 9   2 2 10  Ax  9 A  Bx  Cx  Bx  C ,



10   A  B  x 2    B  C  x   9 A  C 



10   x  1  x 2  9  

(3)

como ( 3 ) es una identidad, los coeficientes de ambos m iembros son respectivamente congruentes; de tal manera que: A B  0  

 B  C  0 9 A  C  10 

(4)

la solución del sistema ( 4 ) es: A  1, B   1, C   1 sustituyendo estos valores en ( 2 ), la integral ( 1 ) queda: 10

  x  1  x

2

10

1 x 1   2 dx, x  1 x 9 

 9

dx   

 9

dx  

1 x 1 dx   2 dx   2 dx, x 1 x 9 x 9



  x  1  x



  x  1  x

†

x

sea

u  x 2  9,  du  2 xdx  xdx 

2

10

xdx 2 9

2

1 x x dx  ln x  1  tan  1    2 dx  c 3 3 x 9  9  

(5)

(6) 1 du 2

( 7 ),

1 du 1 1  ln u  c1  ln  x 2  9   c1  ( 7 ) en ( 6 ) ( 8 )  2 u 2 2 sustituyendo ( 8 ) en ( 5 ) y conjugando las constantes como C, se obtiene: 

10

  x  1  x

2

 9

1 x 1 dx  l n x  1  tan  1   ln  x 2  9   C . 3 3   2

13.

x3  x 2  2x  1 dx 2  1  x 2  2 

x

Solución- Juan Beltrá n: x3  x 2  2x  1   x 2  1  x 2  2  dx

(1)

Expresemos el integrando como una suma de fracciones parciales: x 3  x 2  2 x  1 Ax  B Cx  D    x 2  1  x 2  2  x 2  1 x 2  2

( 2 ),



Ax  B Cx  D   2 , x 2   x2 1 x 3  x 2  2 x  1   Ax  B   x 2  2    Cx  D   x 2  1 ,



x 3  x 2  2 x  1  Ax 3  Bx 2  2 Ax  2 B  Cx 3  Dx 2  Cx  D,



x 3  x 2  2 x  1   A  C  x 3   B  D  x 2   2 A  C  x   2B  D 



x 3  x 2  2 x  1   x 2  1  x 2  2  

(3)

como ( 3 ) e s un a identidad, los coeficientes en ambos miembros son respectivamente iguales; de tal manera que: AC 1  B  D  1   2 A  C  2 2 B  D  1 

(4)

la solu ción del sistema ( 4 ) es : A  1, B  0, C  0, D  1 sustituyendo estos valores en ( 2 ), la integral ( 1 ) queda: x3  x 2  2x  1 x 1  x 1    x 2  1  x 2  2  dx    x 2  1  x 2  2  dx   x 2  1 dx   x 2  2 dx xdx 2 1

†

x

se a

u  x 2  1,  du  2 xdx  xdx 

(5) 1 du 2

(6)

sustituimos ( 6 ) en ( 5 ): xdx 1 du 1 1  x 2  1  2  u  2 ln u  c1  2 ln  x 2  1  c1 ( 7 )  x  1 1 1 † dx  tan  1   c2 ( 8 ) 2  x 2  2 dx   2 2 2   x  2

 

Sustituyendo ( 7 ) y ( 8 ) en ( 4 ), se obtiene:  x3  x 2  2x  1 1 1   x 2  1  x 2  2  dx  2 ln  x 2  1  2 tan 1 

x    C. 2

(4)

x4 dx  2x  5 Solución- Juan Beltrán:

14.

x

2

 x  1  3 x4 x 1 3 dx   x 2  2x  5  x 2  2 x  5 dx   x 2  2 x  5    x 2  2 x  1  4 dx, 

x

2

x4 x 1 3 dx   2 dx   dx 2  2x  5 x  2x  5  x  1  4

 x  1 dx

(1)

†

x

sea

u  x 2  2 x  5,  du  (2 x  2) dx  2( x  1)dx  ( x  1)dx 

2

(2)

 2x  5

1 du 2

(3)

sustituyendo ( 3 ) en ( 2 ), se obtiene:

 x  1 dx

x  †



1 du 1  ln u  c1 , 2 u 2

 2x  5  x  1 dx 1  x 2  2 x  5  2 ln x 2  2 x  5  c1 ( 4 ) 1 3 x 1 3 dx  tan  1   c2 ( 5 ) 2 2  2   x  1  2 2 2

sustituyendo ( 4 ) y ( 5 ) en ( 1 ), se obtiene:



x

2

x

2

x4 1 3 x 1 dx  ln x 2  2 x  5  c1  tan  1   c2 ; 2 2  2x  5  2  x4 1 3 x 1 d x  ln x 2  2 x  5  tan  1   C 2 2  2x  5  2 

 C  c2  c2  .

1 dx 1 Solución- Juan Be ltrá n: 1 1  x 3  1 dx    x  1  x 2  x  1 dx

15.

x

3

(1)

Expresemos el integrando en ( 1 ) como una suma de fracciones parciales: 1 A Bx  C   2 ( 2 ), 2 x  1 x  x 1  x  1  x  x  1



A Bx  C   2 , x  1 x  x 1  1  A  x 2  x  1   Bx  C   x  1 ,



1  Ax 2  Ax  A  Bx 2  Cx  Bx  C ,



1   A  B x2   A  B  C  x   A  C 



1   x  1  x 2  x  1 

(3)

como ( 3 ) es una identidad, los coeficientes en ambos miembros son respectivame n t e iguales; de tal modo que: A B  0   A  B  C  0 (4)  AC 1  la solución del sistema ( 4 ) es: 1 1 2 A , B , C  ( 5) 3 3 3 sustituyendo ( 5 ) en ( 2 ), la integral ( 1 ) queda:

x 



 1 1 x2 dx      3( x  1) 3  x 2  x  1 1 

3



1 1 x2 dx   dx   2 dx,   3( x  1) 3 x  x 1 

 x 1  3  2 1 1 1   2 dx  dx   x 3  1  3( x  1) 3  x 2  x  1 dx,  x 1  3  2 1 1 1 1   2 dx, dx  dx   x3 1 3  ( x  1) 3  x2  x 1 1 1 1 1 1 2x  1 3 1 dx   dx    2 dx   2 dx , 3 ( x  1) 3 2 x  x 1 2 x  x 1  1



x



1 1 1 1 dx  dx    x3 1 3  ( x  1) 6

3









 dx , 1 3 2  x  x  4  4     

2x  1  x 2  x  1 dx  3 

1

 



  dx , 2 2  x 1  3      2    2          1   x      1 1 1 2 2  x 3  1 dx  3 ln x  1  6  ln x 2  x  1  3  3 tan 1  3  C ,      2          2x  1        1 1 1 2 2   C ; 2 1 dx  ln x  1  ln x  x  1  3 tan     x3 1 3 6 3   3      2        2x  1  1 1 1 1  x 3  1 dx  3 ln x  1  6 ln x 2  x  1  3 ta n 1  3   C. 1 1 1 1  x 3  1 dx  3  ( x  1) dx  6 









2x  1  x 2  x  1 dx  3

1

x3  2x 0 x 4  4 x 2  3 dx Solución- Juan Beltrá n:

16.

1



1

0

 x 3  2 x  dx

(1)

x 4  4x 2  3

Sea u  x 4  4x 2  3 

( 2 ),

du   4 x 3  8 x  dx  4  x 3  2 x  dx   x 3  2 x  dx 

1 du 4

u (0)  3 y u (1)  8 ( 4 ) Susti t i u yendo ( 2 ), ( 3 ) y ( 4 ) en ( 1 ), se obtiene:



1





1 8 du , 4 3 u

x  4x  3 3 1  x  2x dx 8 1 1 0 x 4  4 x 2  3  4  ln u  3  4  ln 8  ln 3 3 1  x  2x  dx 0 x 4  4 x 2  3  0.2 45 . 0



 x 3  2 x  dx 4

2

 TFC ;

(3)

17.

 x x

dx 2  4

2

Solución- Juan Bel trán: dx  x  x 2  4 2 (1 ) Expresemos el integrando en ( 1 ) como una suma de fracciones parciales: 1 A Bx  C Dx  E    2 ( 2 ), 2 2 2 2 x x  4 x  x  4 x  4   

 A 2 Bx  C Dx  E  1  x  x 2  4    , x2  4   x  x 2  4 2  



1  A  x 2  4    Bx  C  x   Dx  E  x  x 2  4  ,



1  Ax 4  8 Ax 2  16 A  Bx 2  Cx  Dx 4  Ex 3  4 Dx 2  4 Ex,



1   A  D  x 4  Ex 3   8 A  B  4 D  x 2   C  E  x  16 A

2

(3)

como ( 3 ) es una identidad, los coeficiente s de lo s términos en ambos miembros son respectivamente iguales; de tal modo que: A D  0   E0  8 A  B  4D  0  CE0  16 A  1 

(4)

la solución del sistema ( 4 ) es: 1 1 1 A  , B   , C  0, D   , E  0 16 4 16 sustituyendo estos valores en ( 2 ), la integral ( 1 ) queda:

 x x

dx  4

2

2









1 x x   2  16 x 4  x 2  4  16  x 2  4 

 

dx, 

dx 1 1 1 x 1 x  dx   dx   2 dx, 2 2  2 16 x 4 16 x 4  4  x  4



 x x

2



 x x

dx 1 1 1 2 xdx 1 2 xdx  dx    , 2 2  2 16 x 8  x 2  4 32  x 2  4  4



 x x

2



 x x

dx 1 1 1  ln x   ln  x 2  4   C. 2 2 2 16 3 2 8 x  4    4

dx 1 1 1  1 2  ln x    2  32 ln  x  4   C ; 2 16 8 x  4    4

18.

x 2  3x  7   x 2  4 x  6  2 dx

Solución- Juan Beltrá n: x 2  3x  7

x

2

 4 x  6

2

dx

(1)

Expresemos el integrando en ( 1 ) como una suma de fracciones parciales: x 2  3x  7

 x 2  4x  6



2

Ax  B

 x 2  4 x  6

2



Cx  D x  4x  6 2

( 2 ),



Ax  B Cx  D   ,   x 2  4x  6 2 x 2  4 x  6    2 2 x  3 x  7   Ax  B    Cx  D   x  4 x  6  ,



x 2  3 x  7  Ax  B  Cx 3  4Cx 2  6Cx  Dx 2  4 Dx  6 D,



1  Cx 3    4C  D  x 2   A  6C  4 D  x   B  6 D 





x 2  3x  7   x 2  4 x  6   2

(3)

com o ( 3 ) es una identidad, los coeficientes de los términos en ambos miembros son respectivamente iguales; de tal modo que: C0    4C  D  1   A  6C  4 D   3  B  6D  7

(4)

la soluci ón d el sistema ( 4 ) es: A  1, B  1, C  0, D  1 sustituyendo estos valores en ( 2 ), la integral ( 1 ) queda:  1 dx,   x 2  4x  6 2   x 2  4x  6 2 x 2  4x  6      x  2  3  x 2  3x  7 1   dx     x 2  4x  6 2    x 2  4 x  6  2 x 2  4 x  6 dx,   2 x  3x  7 x2 3 1   x 2  4 x  6  2 dx    x 2  4 x  6  2 dx    x 2  4 x  6  2 dx   x 2  4 x  6 dx x 2  3x  7

†

 x  2  dx

x

2

 4x  6

2



dx   

x 1



(6)

sea u  x 2  4 x  6,  du  (2 x  4)dx  ( x  2)dx  sustituyendo ( 7 ) en ( 6 ), se obtiene:

1 du 2

(7)

(5)

†

x2

x

2

x

2

 4 x  6

dx 

2

1 du 1 1   c1    c1 2  2 2 u 2u 2  x  4x  6

(8)

3 3 dx dx   dx  3 2 2 2 2  4 x  6  x  4 x  4  2  ( x  2) 2  2 

(9)

sea 2tan    x  2  , 

2 sec 2  d  dx

( 10 )

sustituyendo ( 10 ) en ( 9 ), se o b t ie ne: 3   x 2  4 x  6  2 dx  3 

x



x



x

3 2

2

 4x  6

2

dx  3 2 

2tan 



2

2



2

sec 2  d

4  tan   1 2

2

 3 2

sec 2  d , 2  2tan 2  2 

 3 2

sec 2  d

4  sec   2

2



3 2 d ,  4 sec 2 

3 3 2 3 2 1 dx  cos 2  d  sen  cos     c 2  ,   2  4 4  2   4x  6 3

2



2 sec 2  d

 4x  6

2

dx 

3 2  sen  cos     c2  8  x2  2  

de ( 10 ) se desprende que   tan  1 

( 11 )

( 12 )

a partir de de ( 10 ) se construye la Fig . 1 . De dicho esquema se deduce que; x2 2 y cos   2 x  4x  6 x  4x  6 Sustituyendo ( 12 ) y ( 13 ) en ( 1 1 ), se obtiene: sen  

x 

x

2

3 2

2

 4x  6

2

dx 

3 2 8 

x2 2 x  4x  6

( 13 )

  x2 2  tan  1   c 2 ,  2  x 2  4x  6  

 x2  3 3 2  2  x  2 dx   tan  1  c  2  2  2 8  x  4x  6 2  4x  6    

( 14 )

x

†

1 1 dx   dx  4x  6 ( x  2) 2  2

2

( 15 )

sea u  x  2,  du  dx ( 16 ), 1 1   x 2  4 x  6 dx   u 2  2 du  ( 16 ) en ( 15 ) , 1 1 u 1 x2   x 2  4 x  6 dx  2 tan 1 2  c4  2 tan 1 2  c4 ( 17 ) Por último, susti tuy e n d o ( 8 ), ( 14 ) y ( 17 ) en ( 5 ), se obtiene: x 2  3x  7

x

2

 4 x  6

2

dx 

 1 3 2  2  x  2 1 x2 1  x  2    tan tan  1 C      2 2   8 x  4 x  6 2  x  4x  6 2 2 2      x2 1 3  x  2 3 2 1 x2    tan  1   tan  1  C;  2 2 4 8 x  4x  6 2  x  4x  6 2  2 2  



x 2  3x  7

x

2

 4 x  6

2

dx 

 x2 3x  8 7 2  tan  1  . 8 4( x  4 x  6) 2   2