Fracciones Parciales con Denominadores Lineales Diferentes. Corresponde a cada Factor Lineal ( ax + b ) , del Denominador habrá una Fracción Parcial A
Donde A , es constante
ax + b
con Denominadores Lineales Repetidos n
( ax + b )
Corresponde a cada Factor Lineal Repetido
del Denominador habrá una
Fracción Parcial A1 ax + b
+
A2
( ax + b )
2
+
.... +
A n
Donde A Donde A1 , A 2,…, A y A n ≠ 0 A n son constantes y A
n
( ax + b )
con Denominadores Cuadráticos Diferentes 2
Si ax + bx + c , es un Factor del Denominador Denominador que no es Producto de 2 Factores Lineales Reales, entonces corresponde a este un Factor Cuadrático, habrá una Fracción Parcial Ax + B ax
2
Donde A y B , son constantes
bx + c
+
con Denominadores Cuadráticos Repetidos. Si ax
2
bx + c , no es el Producto de 2 Factores Lineales Reales, entonces
+
(
correspondiente al Factor Repetido ax 2 + bx + c
) , del Denominador habrá n , n
Fracciones Parciales A1 x + B1 2 ax + bx + c
+
A2 x + B 2 ax 2 + bx + c
(
)
2
+
....
A n x + B n ax 2 + bx + c
(
)
n
Donde A Donde A1 , B1, A 2, B 2, …., A n, B n, donde A donde A n y B n no son nulas simultáneamente
[email protected]
Fracciones Parciales con Denominadores Lineales Diferentes. 2
1. 2 x x + x − 6 En esta fracción tenemos una Fracción Impropia, pues los exponentes del Numerador y el Denominador, son iguales (2) tenemos que dividir. Para encontrar la Parte Entera y la Parte Fraccionaria, equivalentes de la fracción 1
x
2
+
x − 6 x 2 + 0 x + 0 - x 2 + x − 6 ----------0+ x-6
Por lo tanto x − 6 x
2
+
x − 6
=
1+
−
x + 6
( x + 3)( x − 2)
Aplicamos Factorización en el Denominador −
x
2
x + 6 +
x − 6
=
−
x + 6
( x + 3)( x − 2)
Expresamos la Fracción como una Suma de Fracciones Parciales −
x + 6
( x + 3)( x − 2)
=
A ( x + 3)
+
B ( x − 2)
Factores Lineales Diferentes
Existen 2 Método para Resolver Fracciones Parciales Sustitución Igualación de Coeficiente Coeficientes s
[email protected]
Fracciones Parciales con Denominadores Lineales Diferentes. 2
1. 2 x x + x − 6 En esta fracción tenemos una Fracción Impropia, pues los exponentes del Numerador y el Denominador, son iguales (2) tenemos que dividir. Para encontrar la Parte Entera y la Parte Fraccionaria, equivalentes de la fracción 1
x
2
+
x − 6 x 2 + 0 x + 0 - x 2 + x − 6 ----------0+ x-6
Por lo tanto x − 6 x
2
+
x − 6
=
1+
−
x + 6
( x + 3)( x − 2)
Aplicamos Factorización en el Denominador −
x
2
x + 6 +
x − 6
=
−
x + 6
( x + 3)( x − 2)
Expresamos la Fracción como una Suma de Fracciones Parciales −
x + 6
( x + 3)( x − 2)
=
A ( x + 3)
+
B ( x − 2)
Factores Lineales Diferentes
Existen 2 Método para Resolver Fracciones Parciales Sustitución Igualación de Coeficiente Coeficientes s
[email protected]
Fracciones Parciales con Denominadores Lineales Diferentes. Utilizaremos el Método de Sustitución, el cual consiste, en asignar valores arbitrarios a la Variable (x), en particular dar valores que anulen los factores existentes en la ecuación. Algunos de ellos los encontraremos despejando (x) de cada Factor −
x
2
x + 6 +
x − 6
=
A ( x + 3)
+
x=-3
B ( x − 2)
x= 2
Para eliminar los denominadores, y encontrar la expresión que vamos a evaluar, multiplicamos todos los numeradores, por x 2 + x − 6
(− x + 6)[ x 2 + x − 6] x
2
+
x − 6
=
A[ x 2 + x − 6] B[ x 2 + x − 6] ( x + 3)
+
( x − 2)
A( x − 2) + B ( x + 3) = − x + 6
Con x = - 3 A( x − 2) + B ( x + 3) = − x + 6 A( −3 − 2) + B( −3 + 3) = 3 + 6 A( −5) + B (0) = 9
−
5 A = −9
A = −
9 5
(2)
[email protected]
Fracciones Parciales con Denominadores Lineales Diferentes. Con x = 2 A( x − 2) + B ( x + 3) = − x + 6 A( 2 − 2) + B( 2 + 3)
2+6
= −
A(0) + B (5) = 4 5 B
B
=
=
4
4 5
(3)
Sustituimos (2) y (3) en (1) x − 6 x
2
+
x − 6
x − 6 x
2
+
x − 6
x − 6 x
2
x
2
+
x − 6
x − 6 +
x − 6
=
A ( x + 3)
−
=
=
=
+
B ( x − 2)
9
5 ( x + 3)
−
4 +
9
5( x + 3) 4 5( x − 2)
5 ( x − 2)
+
−
4 5( x − 2) 9 5( x + 3)
Solución:
x − 6 x
2
+
[email protected]
x − 6
=
4 5( x − 2)
−
9 5( x + 3)
Fracciones Parciales con Denominadores Lineales Diferentes.
2.
5 x − 2
x
2
−
4
Aplicamos Factorización en el Denominador 5 x − 2
x
2
−
4
=
5 x − 2 ( x − 2)( x + 2)
Factores Lineales Diferentes
Expresamos la Fracción como una Suma de Fracciones Parciales 5 x − 2
x
2
−
4
=
A ( x − 2)
+
B ( x + 2)
Utilizaremos el Método de Sustitución, el cual consiste, utilizar los Valores de (x) con los cuales se hace (0), el cual encontraremos despejando (x) de cada Factor 5 x − 2
x
2
−
4
=
A ( x − 2)
+
B ( x + 2)
x=2
x= -2
Para eliminar los denominadores, y encontrar la expresión que vamos a evaluar, multiplicamos todos los numeradores, por x 2 − 4
(5 x − 2 ) x 2 − 4 x
2
−
4
=
A x 2 − 4 ( x − 2)
A( x + 2) + B ( x − 2)
=
+
B x 2 − 4 ( x + 2)
5 x − 2
[email protected]
Fracciones Parciales con Denominadores Lineales Diferentes. Con x = 2 A( x + 2) + B ( x − 2) A( 2 + 2) + B( 2 − 2)
=
=
5 x − 2
5(2) − 2
A( 4) + B(0) = 8 4 A = 8
(2)
A = 2
Con x = - 2 A( x + 2) + B( x − 2) = 5 x − 2 A( −2 + 2) + B( −2 − 2) = 5( −2) − 2 A(0) + B( −4) = −12
−
4 B = −12
B = 3
(3)
Sustituimos (2) y (3) en (1) 5 x − 2
x
2
−
4
5 x − 2
x
2
−
4
=
=
A ( x − 2) 2 ( x − 2)
+
+
B ( x + 2)
(1)
3 ( x + 2)
Solución:
[email protected]
5 x − 2
x
2
−
4
=
2 ( x − 2)
+
3 ( x + 2)
Fracciones Parciales con Denominadores Lineales Diferentes.
3.
4 x − 2
x
3
−
x
2
−
2 x
Aplicamos Factorización en el Denominador 4 x − 2
x
3
−
x
2
−
2 x
=
4 x − 2
x ( x − 2)( x + 1)
Factores Lineales Diferentes
Expresamos la Fracción como una Suma de Fracciones Parciales 4 x − 2
x ( x − 2)( x + 1)
=
A x
+
B ( x − 2)
+
C ( x + 1)
Utilizaremos el Método de Sustitución que consiste, utilizar los Valores de (x) con los cuales se hace (0), el cual encontraremos despeando (x) de cada Factor 4 x − 2
x ( x − 2)( x + 1)
=
A x
+
B ( x − 2)
x=0
+
C ( x + 1)
x= 2
x = -1
Para eliminar los denominadores, y encontrar la expresión que vamos a evaluar, multiplicamos todos los numeradores, por [ x ( x − 2)( x + 1)]
(4 x − 2)[ x ( x − 2)( x + 1)] x ( x − 2)( x + 1)
=
A[ x ( x − 2)( x + 1)] B[ x ( x − 2)( x + 1)] x
+
( x − 2)
A( x − 2)( x + 1) + Bx ( x + 1) + Cx ( x − 2)
=
[email protected]
+
4 x − 2
C [ x ( x − 2)( x + 1)] ( x + 1)
Fracciones Parciales con Denominadores Lineales Diferentes. Con x = 0 A( x − 2)( x + 1) + Bx ( x + 1) + Cx( x − 2)
=
A(0 − 2)(0 + 1) + B(0)(0 + 1) + C (0)(0 − 2) A( −2)) + B (0) + C (0)
−
=
4 x − 2
=
4(0) − 2
4 (0 ) − 2
2 A = −2
(2)
A = 1
Con x = 2 A( x − 2)( x + 1) + Bx ( x + 1) + Cx ( x − 2) = 4 x − 2 A( 2 − 2)( 2 + 1) + B ( 2)( 2 + 1) + C ( 2)( 2 − 2) = 4( 2) − 2 A(0) + B(6) + C (0) = 8 − 2 6 B
B
=
=
1
6
(3)
[email protected]
Fracciones Parciales con Denominadores Lineales Diferentes.
Con x = - 1 A( x − 2)( x + 1) + Bx ( x + 1) + Cx ( x − 2) = 4 x − 2 A( −1 − 2)( −1 + 1) + B( −1)(−1 + 1) + C ( −1)(−1 − 2)
=
4( −1) − 2
A( 0) + B (0) + C (3) = −6 3C = −6
C = −2
(4)
Sustituimos (2), (3) y (4) en (1) 4 x − 2
x ( x − 2)( x + 1) 4 x − 2
x ( x − 2)( x + 1)
=
=
A x 1
x
+
+
B ( x − 2) 1 ( x − 2)
Solución:
+
−
C ( x + 1)
(1)
2 ( x + 1)
4 x − 2
x ( x − 2)( x + 1)
[email protected]
=
1
x
+
1 ( x − 2)
−
2 ( x + 1)
Fracciones Parciales con Denominadores Lineales Repetidos
1.
4 x 2 − 13 x
( x + 3)( x − 2)2 Expresamos la Fracción como una Suma de Fracciones Parciales 4 x 2 − 13 x
( x + 3)( x − 2)
2
=
A
+
( x + 3)
B ( x − 2)
+
C
(1)
( x − 2)2
Repetidos Factores Lineales
Utilizaremos el Método de Sustitución, el cual consiste, utilizar los Valores de (x) con los cuales se hace (0), el cual encontraremos despejando (x) de cada Factor 4 x 2 − 13 x
( x + 3)( x − 2)
2
=
A ( x + 3)
+
B ( x − 2)
x = -3
+
C
( x − 2)2
x= 2
con Denominadores Lineales Repetidos Para eliminar los denominadores, y encontrar la expresión que vamos a evaluar, multiplicamos todos los numeradores, por ( x + 3)( x − 2 )2
(4 x
2
−
13 x ) ( x + 3)( x − 2)
2
( x + 3)( x − 2)2
A ( x + 3)( x − 2 )
2
= 2
A ( x − 2 )
( x + 3)
B ( x + 3)( x − 2)
2
+
( x − 2)
2
+
B ( x − 2)( x + 3) + C ( x + 3 ) = 4 x 2 − 13 x
+
[email protected]
C ( x + 3)( x − 2)
( x − 2)2
Fracciones Parciales
Con x = - 3 A ( x − 2)
2
B ( x − 2)( x + 3) + C ( x + 3) = 4 x 2 − 13 x
+
2
A (− 3 − 2) A (− 5)
2
B (−3 − 2)(− 3 + 3) + C (− 3 + 3) = 4 (− 3)
2
+
B(−5)(0) + C (0) = 4(9) + 39
+
25 A = 36 + 39
A =
75 25
A = 3
(2)
con Denominadores Lineales Repetidos Con x = 2
[email protected]
−
13(−3)
Fracciones Parciales A ( x − 2)
2
B ( x − 2)( x + 3) + C ( x + 3) = 4 x 2 − 13 x
+
B(2 − 2)(2 + 3) + C (2 + 3) = 4 (2 )
2
A (2 − 2)
2
+
−
13(2)
B(0)(5) + C (5) = 4(4) − 26
A (0 )
2
+
5C = 16. − 26
C = −
10 5
(3)
C = −2
Con x = 0 A ( x − 2)
2
B( x − 2)( x + 3) + C ( x + 3) = 4 x 2 − 13 x
+
B(0 − 2)(0 + 3) + C (0 + 3) = 4 (0)
2
A (0 − 2 )
2
+
B(−2)(3) + C (3) = 0
2
A (− 2)
+
4 A − 6 B + 3C = 0 4[3] − 5 B + 3[− 2] = 0 12 − 6 B − 6 = 0
−
6 B
B
=
B
=
=
6 − 12
−
6
−
6
1
(4)
[email protected]
−
13(0)
Fracciones Parciales con Denominadores Lineales Repetidos Sustituimos (2), (3) y (4) en (1)
4 x 2 − 13 x
( x + 3)( x − 2)
2
4 x 2 − 13 x
( x + 3)( x − 2)2
=
=
A ( x + 3)
3 ( x + 3)
Solución:
+
+
B ( x − 2)
1 ( x − 2)
+
−
C
(1)
( x − 2)2 2
( x − 2)2
4 x 2 − 13 x
( x + 3)( x − 2)
2
=
[email protected]
3 ( x + 3)
+
1 ( x − 2)
−
2
( x − 2)2
Fracciones Parciales con Denominadores Cuadráticos Diferentes
1.
2 x + 3 x. − 1 ( x − 2)( x 2 + 5)
Expresamos la Fracción como una Suma de Fracciones Parciales 2 x + 3 x. − 1 ( x − 2)( x 2 + 5)
=
A ( x − 2)
+
Bx + C ( x 2 + 5)
Existen 2 Método para Resolver Fracciones Parciales Sustitución Igualación de Coeficientes
En este ejemplo tenemos un denominador lineal (x - 2), por lo cual, nos ayudaremos con los 2 métodos
El Método de Sustitución, nos ayudara a encontrar el valor de (A), así resolveremos mas fácil el sistema de ecuaciones.
Utilizaremos el Método de Sustitución, el cual consiste, en asignar valores arbitrarios a la Variable (x), en particular dar valores que anulen los factores existentes en la ecuación. Algunos de ellos los encontraremos despejando (x) de cada Factor 2 x + 3 x. − 1 ( x − 2)( x 2 + 5)
=
A ( x − 2)
+
Bx + C ( x 2 + 5)
x= 2
[email protected]
Fracciones Parciales con Denominadores Cuadráticos Diferentes Con x = 2 2 x + 3 x. − 1 ( x − 2)( x 2 + 5)
=
A ( x − 2)
+
Bx + C
A( x 2 + 5) + ( Bx + C )( x − 2) 2
A([2]
+
(1)
( x 2 + 5)
=
x
2
+
3 x − 1 2
5) + ( Bx + C )([2] − 2) = [2]
A( 4 + 5) + ( Bx + C )(0)
=
+
3[2] − 1
4 + 6 −1
9 A = 10 − 1
A =
9 9
A = 1
(2)
Ahora realizamos las Multiplicaciones A( x 2 + 5) + ( Bx + C )( x − 2) = x 2 + 3 x. − 1 A x 2 + A5 + B x 2 − 2 Bx + Cx − 2C = x 2 + 3 x. − 1
Ahora aplicamos el Método de Igualación de Coeficientes, el cual consiste en formar un Sistema de Ecuaciones con los Coeficientes de Potencias Iguales de [x], e igualarlas con el valor del Coeficiente de la misma Potencia de [x], en el Numerador.
Reordenamos Términos A x 2 + B x 2 − 2 Bx + Cx + 5 A − 2C = x 2 + 3 x. − 1
[email protected]
Fracciones Parciales con Denominadores Cuadráticos Diferentes Sistema de Ecuaciones: x x
2
A
+
B
=
1
Ecc. 1
- 2 B
+
C
=
3
Ecc. 2
- 2C
=
-1
Ecc. 3
5 A
En Ecuación [1], sustituimos valor de [A = 1], para encontrar el valor de [B]. A
+
B
=
1
[1]
+
B
=
1
B
B
1−1
=
=
(3)
0
En Ecuación [2], sustituimos valor de [B = 0], para encontrar el valor de [C]. - 2 B - 2[0]
C = 3
+
+
C C
=
=
3 3
(4)
[email protected]
Fracciones Parciales con Denominadores Cuadráticos Diferentes
Sustituimos [2, 3, 4], en (1). 2 x + 3 x. − 1 ( x − 2)( x 2 + 5)
=
2 x + 3 x. − 1 ( x − 2)( x 2 + 5)
=
2 x + 3 x. − 1 ( x − 2)( x 2 + 5)
=
A ( x − 2) 1 ( x − 2) 1 ( x − 2)
+
+
+
Bx + C ( x 2 + 5)
(1)
[0] x + 1 ( x 2 + 5) 1 ( x 2 + 5)
Solución:
2 x + 3 x. − 1 ( x − 2)( x 2 + 5)
[email protected]
=
1 ( x − 2)
+
1 ( x 2 + 5)
Fracciones Parciales con Denominadores Cuadráticos Diferentes
2.
5 x 2 − 8 x + 5 ( x − 2)( x 2 − x + 1)
Expresamos el Integrando como una Suma de Fracciones Parciales 5 x 2 − 8 x + 5 ( x − 2)( x 2 − x + 1)
=
A ( x − 2)
+
Bx + C ( x 2 − x + 1)
En este ejemplo tenemos un denominador lineal (x - 2), nos ayudaremos con los 2 métodos
El Método de Sustitución, nos ayudara a encontrar el valor de (A), así resolveremos mas fácil el sistema de ecuaciones.
Utilizaremos el Método de Sustitución, el cual consiste, en asignar valores arbitrarios a la Variable (x), en particular dar valores que anulen los factores existentes en la ecuación. Algunos de ellos los encontraremos despejando (x) de cada Factor 5 x 2 − 8 x + 5 ( x − 2)( x 2 − x + 1)
=
A ( x − 2)
+
Bx + C ( x 2 − x + 1)
x= 2
[email protected]
Fracciones Parciales con Denominadores Cuadráticos Diferentes Con x = 2 5 x 2 − 8 x + 5 ( x − 2)( x 2 − x + 1)
=
A ( x − 2)
+
Bx + C
(1)
( x 2 − x + 1)
A( x 2 − x + 1) + ( Bx + C )( x − 2) = 5 x 2 − 8 x + 5 2
A([2]
−
2
[2] + 1) + ( Bx + C )([2] − 2) = 5[2]
−
8[2] + 5
A(4 − 2 + 1) + ( Bx + C )(0) = 20 − 16 + 5 3 A = 9
A =
9 3
A = 3
(2)
Ahora realizamos las Multiplicaciones A( x 2 − x + 1) + ( Bx + C )( x − 2) = 5 x 2 − 8 x + 5 A x 2 − Ax + A + B x 2 − 2 Bx + Cx − 2C = 5 x 2 − 8 x + 5
Ahora aplicamos el Método de Igualación de Coeficientes, el cual consiste en formar un Sistema de Ecuaciones con los Coeficientes de Potencias Iguales de [x], e igualarlas con el valor del Coeficiente de la misma Potencia de [x], en el Numerador.
Reordenamos Términos
A x 2 + B x 2 − Ax − 2 Bx + Cx + A − 2C = 5 x 2 − 8 x + 5
[email protected]
Fracciones Parciales con Denominadores Cuadráticos Diferentes
Sistema de Ecuaciones: x
2
A
x
-A −
=
5
Ecc. 1
2 B + C
=
−
+ −
2 B
B
- 2C
=
8
Ecc. 2
Ecc. 3
5
En Ecuación [1], sustituimos valor de [A = 3], para encontrar el valor de [B]. A
+
[3] B
+
=
=
B
5 5
=
5−3
=
B
B
(3)
2
En Ecuación [2], sustituimos valor de [A = 3], para encontrar el valor de [C]. -A
−
B
-3
−
+
2[ 2]
C
+
=
C
−
=
8
−
8
C = −8 + 7
C = −1
(4)
[email protected]
Fracciones Parciales con Denominadores Cuadráticos Diferentes Sustituimos [2, 3, 4], en (1). 5 x 2 − 8 x + 5 ( x − 2)( x 2 − x + 1)
=
5 x 2 − 8 x + 5 ( x − 2)( x 2 − x + 1)
=
A ( x − 2) 3 ( x − 2)
Solución:
+
+
Bx + C
2 x − 1 ( x
2
−
x + 1)
5 x 2 − 8 x + 5 ( x
(1)
( x 2 − x + 1)
−
2)( x
2
−
x + 1)
[email protected]
=
3 ( x
−
2)
+
2 x − 1 ( x
2
−
x + 1)
Fracciones Parciales con Denominadores Cuadráticos Diferentes
3.
7 x 2 − 11 x + 6 ( x − 1)(2 x 2 − 3 x + 2)
Expresamos el Integrando como una Suma de Fracciones Parciales 7 x 2 − 11 x + 6 ( x − 1)(2 x 2 − 3 x + 2)
=
A ( x − 1)
+
Bx + C ( 2 x 2 − 3 x + 2)
En este ejemplo tenemos un denominador lineal (x - 1), nos ayudaremos con los 2 métodos
El Método de Sustitución, nos ayudara a encontrar el valor de (A), así resolveremos mas fácil el sistema de ecuaciones.
Utilizaremos el Método de Sustitución, el cual consiste, en asignar valores arbitrarios a la Variable (x), en particular dar valores que anulen los factores existentes en la ecuación. Algunos de ellos los encontraremos despejando (x) de cada Factor 7 x 2 − 11 x + 6 ( x − 1)(2 x 2 − 3 x + 2)
=
A ( x − 1)
+
Bx + C ( 2 x 2 − 3 x + 2)
x= 1
[email protected]
Fracciones Parciales con Denominadores Cuadráticos Diferentes Con x = 1 7 x 2 − 11 x + 6 ( x − 1)(2 x 2 − 3 x + 2)
=
A ( x − 1)
+
Bx + C (2 x 2 − 3 x + 2)
(1)
A(2 x 2 − 3 x + 2) + ( Bx + C )( x − 1) = 7 x 2 − 11 x + 6 2
A(2 [1]
−
2
3[1] + 2) + ( B[1] + C )([1] − 1) = 7 [1]
−
11[1] + 6
A(2 − 3 + 2) + ( B + C )(0) = 7 − 11 + 6
A = 2
(2)
Ahora realizamos las Multiplicaciones A(2 x 2 − 3 x + 2) + ( Bx + C )( x − 1) = 7 x 2 − 11 x + 6 2 A x 2 − 3 Ax + 2 A + B x 2 − Bx + Cx − C = 7 x 2 − 11 x + 6
Ahora aplicamos el Método de Igualación de Coeficientes, el cual consiste en formar un Sistema de Ecuaciones con los Coeficientes de Potencias Iguales de [x], e igualarlas con el valor del Coeficiente de la misma Potencia de [x], en el Numerador.
Reordenamos Términos
2 A x 2 + B x 2 − 3 Ax − Bx + Cx + 2 A − C = 7 x 2 − 11 x + 6
[email protected]
Fracciones Parciales con Denominadores Cuadráticos Diferentes Sistema de Ecuaciones: x x
2
2 A
-3 A 2 A
+
B
B
−
C
+
- C
Ecc. 1
7
=
=
=
−
11
Ecc. 2 Ecc. 3
6
En Ecuación [1], sustituimos valor de [A = 23], para encontrar el valor de [B]. 2 A 2[2]
B
B
=
B
+
7 7
=
7−4
=
=
B
+
(3)
3
En Ecuación [3], sustituimos valor de [A = 2], para encontrar el valor de [C]. 2 A
−
2[ 2]
−
C C
−
C = 6 − 4
−
C = 2
C = 2
=
=
6 6
(4)
[email protected]
Fracciones Parciales con Denominadores Cuadráticos Diferentes Sustituimos [2, 3, 4], en (1). 7 x 2 − 11 x + 6 ( x − 1)(2 x 2 − 3 x + 2)
=
7 x 2 − 11 x + 6 ( x − 1)(2 x 2 − 3 x + 2)
=
Solución:
A ( x − 1) 2 ( x − 1)
+
+
Bx + C
(1)
(2 x 2 − 3 x + 2) 3 x − 2 (2 x 2 − 3 x + 2)
7 x 2 − 11 x + 6 ( x − 1)(2 x 2 − 3 x + 2)
[email protected]
=
2 ( x − 1)
+
3 x − 2 (2 x 2 − 3 x + 2)
Fracciones Parciales con Denominadores Cuadráticos Repetidos.. x
1.
3
4 x 2 + 9 x. − 5
−
( x
2
2
−
2 x + 3)
Expresamos la Fracción como una Suma de Fracciones Parciales x
3
4 x 2 + 9 x. − 5
−
( x
2
2
−
2 x + 3)
=
Ax + B
( x
2
2 x + 3)
−
Cx + D
+
( x
2
2
−
2 x + 3)
(1)
Factores Cuadráticos Repetidos
Existen 2 Método para Resolver Fracciones Parciales Sustitución Igualación de Coeficientes
Para eliminar los denominadores, multiplicamos todos los numeradores, por
( x x
3
−
( x
2
2
−
2 x + 3)
4 x 2 + 9 x. − 5 2
2
−
2 x + 3)
=
Ax + B
( x
2
−
2 x + 3)
+
2
( x 3 − 4 x 2 + 9 x. − 5) ( x 2 − 2 x + 3)
( x
2
2
−
2 x + 3)
Cx + D
( x
2
2
−
2 x + 3)
2
=
( Ax + B) ( x 2 − 2 x + 3)
( x
2
−
2 x + 3)
2
+
(Cx + D ) ( x 2 − 2 x + 3)
( x
2
2
−
2 x + 3)
( Ax + B )( x 2 − 2 x + 3) + (Cx + D) = x 3 − 4 x 2 + 9 x − 5
A x 3 − 2 A x 2 + 3 Ax + B x 2 − 2 Bx + 3 B + Cx + D
=
x
3
−
4 x 2 + 9 x − 5
Ahora aplicamos el Método de Igualación de Coeficientes, el cual consiste en formar un Sistema de Ecuaciones con los Coeficientes de Potencias Iguales de [x], e igualarlas con el valor del Coeficiente de la misma Potencia de [x], en el Numerador.
[email protected]
Fracciones Parciales con Denominadores Cuadráticos Repetidos. Organizamos Términos A x 3 − 2 A x 2 + B x 2 + 3 Ax − 2 Bx + Cx + 3 B + D
=
x
3
−
4 x 2 + 9 x − 5
Sistema de Ecuaciones: x x x
3 2
A = 1 - 2 A 3 A 3 B
Ecc. 1
+
B
- 2 B +
D
= −
Ecc. 2
4
+
C
=
-5
=
9
Ecc. 3 Ecc. 4
Valor de [A]: A = 1
(2)
En Ecuación [2], sustituimos valor de [A = 1], para encontrar el valor de [B]. −
2 A
+
B
=
−
4
−
2[1]
+
B
=
−
4
−
4+2
B
=
B
= −
2
(3)
[email protected]
Fracciones Parciales con Denominadores Cuadráticos Repetidos. En Ecuación [3], sustituimos valor de [A =1] y [B = -2], para encontrar el valor de [C]. 3 A
- 2 B
3[1]
- 2[ −2]
3
+
4
C
+
+
C
+
9
=
C
=
9
9
=
C = 9 − 7
(4)
C = 2
En Ecuación [4], sustituimos valor de [B = -2], para encontrar el valor de [D]. 3 B
+
3[-2] -6
D
D
+
+
=
D = 1
=
D
D
−
−
=
=
5
+
5
−
−
5
5
6
(5)
[email protected]
Fracciones Parciales con Denominadores Cuadráticos Repetidos. Sustituimos [2, 3, 4, 5], en (1).
x
x
3
−
4 x 2 + 9 x. − 5
( x
2
3
4 x 2 + 9 x. − 5
−
( x
2
−
−
2 x + 3)
2
2 x + 3)
2
Solución:
=
=
Ax + B
( x
2
−
2 x + 3)
x − 2
( x
x
3
2
−
−
2 x + 3)
+
+
Cx + D
( x
( x 2 − 2 x + 3)
−
2 x + 3)
2
(1)
2 x + 1
( x
4 x 2 + 9 x. − 5 2
2
2
=
−
2 x + 3)
2
x − 2
( x
2
[email protected]
−
2 x + 3)
+
2 x + 1 2
( x 2 − 2 x + 3)
Fracciones Parciales con Denominadores Cuadráticos Repetidos.
2.
3 x 3 − 6 x 2 + 7 x. − 2
( x
2
−
2
2 x + 2 )
Expresamos la Fracción como una Suma de Fracciones Parciales 3 x 3 − 6 x 2 + 7 x. − 2
( x
2
2
−
2 x + 2 )
=
Ax + B
( x
2
−
2 x + 2 )
+
Cx + D
( x
2
2
−
2 x + 2 )
(1)
Factores Cuadráticos Repetidos
Para eliminar los denominadores, multiplicamos todos los numeradores, por
( x
2
2
−
2 x + 2 )
3 x 3 − 6 x 2 + 7 x. − 2
( x
2
2
−
2 x + 2 )
=
Ax + B
( x
2
−
2 x + 2 )
+
2
(3 x3 − 6 x 2 + 7 x. − 2) ( x 2 − 2 x + 2 )
( x
2
2
−
2 x + 2 )
(3 x3 − 6 x 2 + 7 x. − 2)
Cx + D
( x
2
2
−
2 x + 2 )
2
=
( Ax + B ) ( x 2 − 2 x + 2 )
( x
2
−
2 x + 2 )
+
(Cx + D)
2
=
( Ax + B) ( x 2 − 2 x + 2 )
2
+
(Cx + D ) ( x 2 − 2 x + 2 )
( x
2
2
−
2 x + 2 )
A x 3 − 2 A x 2 + 2 Ax + B x 2 − 2 Bx + 2 B + Cx + D = 3 x3 − 6 x 2 + 7 x. − 2
Ahora aplicamos el Método de Igualación de Coeficientes, el cual consiste en formar un Sistema de Ecuaciones con los Coeficientes de Potencias Iguales de [x], e igualarlas con el valor del Coeficiente de la misma Potencia de [x], en el Numerador.
[email protected]
Fracciones Parciales con Denominadores Cuadráticos Repetidos. Organizamos Términos A x 3 − 2 A x 2 + B x 2
+
2 Ax − 2 Bx + Cx + 2 B + D = 3 x3 − 6 x 2 + 7 x. − 2
Sistema de Ecuaciones: x x x
3 2
A = 3 - 2 A
+
2 A
Ecc. 1 B
= −
- 2 B
2 B
+
D
Ecc. 2
6
+
C
=
-2
=
7
Ecc. 3 Ecc. 4
Valor de [A]
(2)
A = 3
En Ecuación [2], sustituimos valor de [A = 3], para encontrar el valor de [B]. −
2 A
−
2[3]
+
B
=
−
B
=
0
+
B B
=
=
−
6
−
6
6+6
(3)
[email protected]
Fracciones Parciales con Denominadores Cuadráticos Repetidos. En Ecuación [3], sustituimos valor de [A = 3] y [B = 0], para encontrar el valor de [C]. 2 A
- 2 B
2[3]
- 2[0]
6
0
+
C
+
+
7
=
+
C
=
C
=
7
7
C = 7 − 6
(4)
C = 1
En Ecuación [4], sustituimos valor de [B = 0], para encontrar el valor de [D]. 3 B 3[0] -6
D
+
+
+
D
=
D
= −
D
D
−
2
=
−
=
−
=
2
+
2
−
2
2
0
(5)
[email protected]
