Parciales resueltos calculo diferencial unalmed

A-0

Escuela Escuela de Matem´ Matematicas. a ´ticas. Universidad Nacional de Colombia, Sede Medell´ Medell´ın.

En los ejercicios 1 a 5 complete en el espacio señalado. nalado. El procedimiento no se tendr´ a en cuenta al calificar. calificar.

1. (15%) Marque Marque si el enunciado enunciado es verdadero o falso. (a) La función x on x 2 e−|

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es una función on par

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F

5. (16%) En el panel superior se muestra la gráfica afica de la función on f y y en la parte de abajo, el resultado de aplicar sucesivamente transformaciones elementales sobre f . f . Escr Escrib ibaa encim encimaa de cada gr´ afica, afica, la fórmula ormula correspondiente en t´ erminos erminos de la funci´ on f on f ..

(b) Si g Si g es una función on creciente entonces

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(c) Si una población on de bacterias se multiplica por si misma cada hora, entonces el numero de bacterias es una función on exponencial del tiempo. V F (d) Toda funci´ on on lineal es invertible

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Calcule: (a) Dom( Dom(f g) g ) = ◦

(b) (g f )(3) f )(3) = = ◦

(c) f ( f (g −1 (3)) = (3)) =

4. (6%) Suponga que usted conoce el ángulo angulo θ = cos−1 (1/ (1/6). 6). Exprese, en t´ erminos erminos de θ , todos los ángulos angulos en el intervalo [ 2π, 2π ] que tienen coseno igual a 1/ 1 /6. −

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Escuela de Matem´ aticas. Universidad Nacional de Colombia, Sede Medell´ın.

6. (24%) Usted quiere comprar cierta producto qu´ımico por internet, y tiene dos opciones. •

•

El proveedor A le cobra 15 dólares por litro, además de un cargo fijo de 10 dólares por la transacci´ on. Con el proveedor B la transacción es gratis. El costo por litro es de 20 dólares para compras menores a los 5 litros, y de 10 dólares por litro, por cada litro que se compre en exceso de los 5 litros.

(a) Sea x el número de litros a comprar y A(x), B(x) el valor a pagar con cada proveedor por x litros. Escriba las f´ ormulas de A(x) y B (x).

(b) Grafique en el siguiente plano las funciones A y B .

(c) Use las fórmulas de A(x) y B(x) para calcular los valores de x para los cuales sale m´ as barato comprar con el proveedor A.

A-0


7. (21%) En el año de su fundació n, el área construida de la población de Aposentos Tuta era de tres hect´ areas y se ha venido duplicando cada 10 años. (a) Sea t el tiempo en años desde la fundación de Aposentos Tuta y A el área construida en hect´ areas. Halle una f´ ormula para A(t) (b) Calcule A −1 (x) y explique su significado. (c) Cuánto tiempo tard´ o el área construida en triplicar su valor inicial?

B-0


En los ejercicios 1 a 5 complete en el espacio señalado. El procedimiento no se tendr´ a en cuenta al calificar.

1. (15%) Marque si el enunciado es verdadero o falso. (a) Si g es una función creciente entonces

5. (16%) En el panel superior se muestra la gráfica de la función f y en la parte de abajo, el resultado de aplicar sucesivamente transformaciones elementales sobre f . Escriba encima de cada gr´ afica, la fórmula correspondiente en términos de la funci´ on f .

f (x) = 4 g(1 2x) −

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es también creciente.

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(b) Si una población de bacterias se multiplica por si misma cada hora, entonces el numero de bacterias es una función lineal del tiempo. V F (c) Una función par no puede ser invertible

V

F

(d) cos−1 (cos(π )) = π

V

F

3

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(e) La función x e

es una función par

V

F

2. (6%) Suponga que usted conoce el ángulo θ = cos−1 (1/6). Exprese, en términos de θ , todos los ángulos en el intervalo [ 2π, 2π ] que tienen coseno igual a 1/6.

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3. (9%) Considere las siguientes funciones dadas por tablas x 1 f (x) 0 g(x) 6

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(b) (f g)(3) = ◦

(c) f −1 (g(3)) =

4. (9%) Halle la fórmula de la parábola que se muestra en la figura

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B-0


6. (24%) Usted quiere comprar cierta producto qu´ımico por internet, y tiene dos opciones. •

•

Con el proveedor A, el costo por litro es de 20 dólares para compras menores a los 5 litros, y de 10 dólares por litro, por cada litro que se compre en exceso de los 5 litros. El proveedor B le cobra 15 dólares por litro, además de un cargo fijo de 10 dólares por la transacci´ on.

(a) Sea x el número de litros a comprar y A(x), B(x) el valor a pagar con cada proveedor por x litros. Escriba las f´ ormulas de A(x) y B (x).


(c) Use las fórmulas de A(x) y B(x) para calcular los valores de x para los cuales sale m´ as barato comprar con el proveedor B.

B-0


7. (21%) En el año de su fundació n, el área construida de la población de Aposentos Tuta era de cinco hect´ areas y se ha venido triplicando cada 20 años. (a) Sea t el tiempo en años desde la fundación de Aposentos Tuta y A el área construida en hect´ areas. Halle una f´ ormula para A(t) (b) Calcule A −1 (x) y explique su significado. (c) Cuánto tiempo tardó el área construida en duplicar su valor inicial?

C-0



1. (15%) Marque si el enunciado es verdadero o falso. (a) La función: x sen(1/x) es una función par

V

F

5. (16%) En el panel superior se muestra la gráfica de la función f y en la parte de abajo, se indican transformaciones elementales sucesivas sobre f . Use los planos cartesianos dados para hacer la gráfica de cada una de las funciones indicadas. ! ! " " "

(b) Si el número de individuos en una población aumenta 20% cada a˜ no, podemos decir que la población es una función lineal del tiempo V F

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(c) Si g es una función periódica de periodo 3 entonces

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f (x) = 2g(1 x) + 4 −

es también periódica con el mismo periodo.

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(e) Si f es una función impar, entonces es invertible V

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(d) tan(tan−1 (π)) = π

2. (9%) Considere la siguiente tabla de valores para x, y

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4. (9%) Para las funciones definidas en el siguiente gráfico, calcule las cantidades indicadas ●

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3. (6%) Suponga que usted conoce el ángulo θ = cos−1 (1/6). Exprese, en términos de θ , todos los ángulos en el intervalo [ 2π, 2π ] que tienen coseno igual a 1/6.

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Halle la fórmula de un polinomio de grado dos que cumpla con los datos de la tabla.

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C-0


6. (24%) Los siguientes autos parten al mismo tiempo a viajar en la misma dirección sobre una carretera que comienza en Guarne: •

•

El auto A comienza en Guarne con una velocidad de 60 Km/h por los primeros 120 Km, y a partir de all´ı, viaja con velocidad de 30 km/h. El auto B empieza 20 km adelante de Guarne y viaja a velocidad constante de 40 Km/h.

(a) Sea t el tiempo en horas desde que los autos comenzaron el viaje y A(t), B(t) las distancias entre cada auto y Guarne. Escriba las f´ ormulas de A(t) y B (t).


(c) Use las fórmulas de A(t) y B (t) para calcular los valores de t para los cuales el auto A estuvo adelante del B

C-0


7. (21%) Desde que se comenz´ o un tratamiento, el radio de un tumor que inicialmente era de 35 mm, se ha ido reduciendo a su tercera parte cada dos meses. (a) Sea t el tiempo en meses desde que se inició el tratamiento y R el radio del tumor. Halle una fórmula para R(t) (b) Calcule R −1 (x) y explique su significado. (c) Cuánto tiempo tardó el radio del tumor en reducirse a la décima parte de su tamaño original?

D-0



1. (15%) Marque si el enunciado es verdadero o falso. (a) Si el número de individuos en una población aumenta 20% cada a˜ no, podemos decir que la población es una función exponencial del tiempo V F

5. (16%) En el panel superior se muestra la gráfica de la función f y en la parte de abajo, se indican transformaciones elementales sucesivas sobre f . Use los planos cartesianos dados para hacer la gráfica de cada una de las funciones indicadas. ! ! " " " # $

(b) Si f es una función periódica entonces

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!$

g(x) = f (2x) + 4

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es también periódica.

V

F

V

F

(d) Si f es una función impar, entonces es invertible V

F

(c) La función: x cos(1/x) es una función par

−1

(e) cos

(cos(2π )) = 2π

V

F

2. (9%) Considere la siguiente tabla de valores para x, y

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5 20

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y =

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4. (9%) Para las funciones definidas en el siguiente gráfico, calcule las cantidades indicadas ●

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(a) Dom(f g) = ◦

(b) (f g)(8) = ◦

(c) g(f −1 (3) + 1) =

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3. (6%) Suponga que usted conoce el ángulo θ = sin−1 (1/3). Exprese, en términos de θ , todos los ángulos en el intervalo [ 2π, 2π ] que tienen seno igual a 1/3.

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Halle la fórmula de un polinomio de grado dos que cumpla con los datos de la tabla.

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6. (24%) Los siguientes autos parten al mismo tiempo a viajar en la misma dirección sobre una carretera que comienza en Medell´ın: •

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El auto A empieza 20 km adelante de Guarne y viaja a velocidad constante de 40 Km/h. El auto B comienza en Guarne con una velocidad de 60 Km/h por los primeros 120 Km, y a partir de all´ı, viaja con velocidad de 30 km/h.

(a) Sea t el tiempo en horas desde que los autos comenzaron el viaje y A(t), B(t) las distancias entre cada auto y Guarne. Escriba las f´ ormulas de A(t) y B (t).


(c) Use las fórmulas de A(t) y B (t) para calcular los valores de t para los cuales el auto B estuvo adelante del A

D-0


7. (21%) Desde que se comenz´ o un tratamiento, el radio de un tumor que inicialmente era de 35 mm, se ha ido reduciendo a su tercera parte cada dos meses. (a) Sea t el tiempo en meses desde que se inició el tratamiento y R el radio del tumor. Halle una fórmula para R(t) (b) Calcule R −1 (x) y explique su significado. (c) Cuánto tiempo tardó el radio del tumor en reducirse a la décima parte de su tamaño original?

Parciales resueltos calculo diferencial unalmed

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