REPÚBLICA DE BOLIVIA UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN ANDRÉS FACULTAD DE INGENIERIA
AREA DE FISICA
Materia: Laboratorio de Física III Nivel: Fis 200 L Grupo: I Gestión Académica: II/2010 No. De experimento: 12 Título del Experimento: Figuras de Lissajous Apellido y nombre del Docente: Ing. Murguía, Humberto Apellido y nombre del Auxiliar: Aux. Doc. Aguilar Cristian Apellido y nombre del Alumno: Contreras Useglio, Rolando Miguel Carrera: Ing. Química Fecha de Realización: 22/10/10 Fecha de Entrega: 29/10/10
La Paz – Bolivia 1
Figuras de Lissajous Índice Resumen Contenido
Pag
FIGURAS DE LISSAJOUS ............................................................................................................................................. 3 1.
2. 3. 4. 5. 6. 7.
8.
9.
OBJETIVOS ....................................................................................................................................................................... 3 1.1 Objetivos Generales .................................................................................................................................................... 3 1.2 Objetivos Específicos ................................................................................................................................................... 3 JUSTIFICACIÓN .................................................................................................................................................................. 3 HIPÓTESIS ........................................................................................................................................................................ 3 VARIABLES ....................................................................................................................................................................... 3 LIMITES Y ALCANCES ........................................................................................................................................................... 3 MARCO TEÓRICO ............................................................................................................................................................... 3 MARCO CONCEPTUAL ......................................................................................................................................................... 5 7.1 Figura de Lissajous ...................................................................................................................................................... 5 7.2 Uso en logotipos .......................................................................................................................................................... 5 PROCEDIMIENTO EXPERIMENTAL........................................................................................................................................... 7 8.1 Angulo de fase ............................................................................................................................................................. 7 8.2 Frecuencia ................................................................................................................................................................... 7 ANÁLISIS Y TRATAMIENTO DE DATOS ...................................................................................................................................... 8 9.1 Cálculos ....................................................................................................................................................................... 8 9.1.1 Angulo de fase ......................................................................................................................................................................... 8 9.1.2 Frecuencia ............................................................................................................................................................................... 9
9.2 Cuestionario .............................................................................................................................................................. 10 10. CONCLUSIONES ........................................................................................................................................................... 12 11. BIBLIOGRAFÍA ............................................................................................................................................................. 12 12. ANEXOS .................................................................................................................................................................... 13
2
Figuras de Lissajous 1. Objetivos 1.1 Objetivos Generales Utilizar el modo X-Y del osciloscopio Estudiar las Figuras de Lissajous. 1.2 Objetivos Específicos Medir el modulo del ángulo de fase. Verificar la frecuencia de una señal senoidal por el método de las Figuras de Lissajous.
2. Justificación Realizamos el presente experimento de laboratorio pretendiendo los siguientes puntos: La intención que tenemos es estudiar las Figuras del Lissajous hacia la aplicación en la electrónica, éstas son utilizadas para la medida de fase de señales sinusoidales. También se emplean las Figuras de Lissajous en la elaboración de logotipos. Nos permitió estudiar la relación que guardan las Figuras de Lissajous en función de la frecuencia, ya que al realizar variaciones en la misma, se puede observar la formación de distintos bucles en las figuras.
3. Hipótesis En el presente trabajo se procedió a estudiar las Figuras de Lissajous. De esa manera se procedió a realizar las Figuras de Lissajous con la ayuda del osciloscopio y los generadores, observándose el ángulo de fase y las dimensiones de las Figuras. En el presente informe procederemos a verificar el análisis realizado de forma teórica, validando las Figuras obtenidas mediante un análisis de los bucles que presenten las mismas.
4. Variables Las variables a ser tomadas en cuenta son: Las dimensiones A y B [div], que equivalen a los lados mayor y menor en las Figuras de Lissajous. El ángulo de fase ( ) con que la señal vy está desfasada con respecto de vx. La frecuencia angular ( ) La frecuencia (f) dada por los generadores de funciones empleados en la presente práctica de laboratorio. Número de Bucles Verticales ( ) Número de Bucles Horizontales ( ) Los Voltajes (vx y vy) leídos de las oscilaciones dadas por el osciloscopio, tanto en el eje x como en el eje y.
5. Limites y alcances Debido a las condiciones en las que se realizó el experimento se consideran las siguientes limitaciones y los alcances de la práctica: El material con el que se trabaja no se encuentra del todo calibrado, por lo que se producen algunos errores en el desarrollo de la práctica. Es importante recalcar que al momento de realizar la lectura de valores, los mismos se ajustaban de forma que se llegaba a cometer de alguna manera un error de lectura, más específicamente de paralaje.
6. Marco teórico Una figura de Lissajous es la representación grafica en el plano x-y de ecuación paramétricas que tiene la forma:
Las figuras de Lissajous pueden obtenerse en un osciloscopio trabajando en el modo X-Y e introduciéndole señales que tengan la forma de la ecuaciones (1) y (2; es decir, 3
se introduce al canal 2 y se traza en el eje horizontal de la pantalla (eje x) y se introduce al canal 1 y se traza en el eje vertical (eje y); entonces, ambos ejes representan voltajes y la combinación de los trazos da una representación de la figura de Lissajous correspondiente. Si en (3) y (4) , se tiene:
Combinando estas ecuaciones se obtiene:
Luego, la figura de Lissajous es una recta que pasa por el origen y que tiene pendiente Si en (3) y (4)
.
, se tiene:
Elevando estas ecuaciones al cuadrado y sumándolas, se obtiene Luego, la figura de Lissajous es un círculo de radio . De manera más general, si en (3) y (4) solo ocurre que
, se tiene:
Y la figura de Lissajous es una elipse como la representada en la Figura 1. El modulo del ángulo , que es el ángulo de fase con que la señal retrasada respecto de la señal , puede obtenerse mediante:
esta
Siendo A y B las dimensiones mostradas en la Figura 1. Figura 1 Finalmente, en general, las Figuras de Lissajous pueden ser muy complejas y solo son cerradas, o sea, recorren un mismo lugar geométrico, si es un numero racional. La forma de las figuras depende de ese número y de . En la Figura 2 se representan figuras de Lissajous para dos casos particulares. De la forma de las figuras de Lissajous puede determinarse la relación entre las frecuencias y , que está dada por: Figura 2 Donde m es el número de bucles verticales y n es el número de bucles horizontales de la figura de Lissajous, como se aprecia en la Figura 2.
4
7. Marco conceptual 7.1 Figura de Lissajous Una figura de Lissajous es la trayectoria de un punto móvil cuyas coordenadas rectangulares son movimientos armónicos simples. Se dice que un punto sigue un movimiento vibratorio armónico simple (m.a.s.) cuando su posición en función del tiempo es una sinusoide. Es un movimiento periódico de vaivén, en el que un cuerpo oscila a un lado y a otro de su posición de equilibrio en una dirección determinada y en intervalos iguales de tiempo. Una partícula sometida a este tipo de movimiento tendrá un punto central, alrededor del cual oscilará. Las figuras de Lissajous fueron descubiertas por el astrónomo y matemático americano Nathaniel Bowditch en 1815 cuando estudiaba el movimiento del péndulo compuesto. La intención del articulo es enfocar las figuras lissajous hacia la aplicación en la electrónica, las figuras lissajous son muy utilizadas para la medida de fase de señales sinosuidales. Las “curvas de Lissajous”, se puede utilizar igualmente para averiguar el desfase en grados existente entre dos señales distintas de la misma frecuencia. Hacemos trabajar el osciloscopio con deflexión horizontal exterior (se coloca ext en el osciloscopio), aplicando a sus entradas horizontal y vertical (X/Y) las dos señales que se desean comparar. Mediante esta conexión se formará en la pantalla una “curva de Lissajous” que debidamente interpretada nos dará la diferencia de fase existente entre las dos formas de onda que se comparan. Si las señales tienen la misma fase, la figura resultante será una recta inclinada que sube de izquierda a derecha. El ángulo de inclinación dependerá de la amplitud de las dos señales. Cuando el ángulo de fase entre ambas señales cambie, la figura de Lissajous variará. Las figuras de lissajous son la combinación de dos movimientos armónicos, que dan lugar a interesantes figuras, que por lo general son siméricas. Podemos reproducir estas curvas en el osciloscopio, poniéndolo en posición XY, y aplicando dos señales de distinta o igual frecuencia y desfase. Aplicando dos sinusoides se pueden lograr miles de figuras. En matemáticas, la curva de Lissajous, también conocida como figura de Lissajous o curva de Bowditch, es la gráfica del sistema de ecuaciones paramétricas correspondiente a la superposición de dos movimientos armónicos simples en direcciones perpendiculares: Esta familia de curvas fue investigada por Nathaniel Bowditch en 1815 y después, con mayores detalles, por Jules Antoine Lissajous. Propiedades La apariencia de la figura es muy sensible a la relación , esto es, la relación entre las frecuencias de los movimientos en x e y. Para un valor de 1, la figura es una elipse, con los casos especiales del círculo (A = B, δ = π/2 radianes) y de las rectas (δ = 0) incluidos. Otra de las figuras simples de Lissajous es la parábola (a/b = 2, δ = π/2). Otros valores de esta relación producen curvas más complicadas, las cuales sólo son cerradas si es un número racional, esto es, si y son conmensurables. Entonces existirán dos números naturales, nx y ny, tales que
y, obviamente, el periodo del movimiento resultante es el valor de T obtenido utilizando los valores más pequeños que satisfagan la relación (fracción irreducible). La apariencia de estas curvas a menudo sugiere un nudo de tres dimensiones u otros tipos de nudos, incluyendo los conocidos como nudos de Lissajous, proyección en el plano de las figuras de Lissajous. 7.2 Uso en logotipos Las figuras de Lissajous son usadas como logotipos. Ejemplos de estos logotipos son el de Australian Broadcasting Corporation (a = 1, b = 3, δ = π/2) y el del Lincoln Laboratory at MIT (a = 8, b = 6, δ = 0). Las curvas de Lissajous pueden ser trazadas mecánicamente por medio de un armonógrafo.
5
6
8. Procedimiento experimental 8.1 Angulo de fase Montar el circuito de la Figura 3 con el osciloscopio en el modo básico. El voltaje sobre la conexión RLC, , debe ser senoidal con y nivel DC nulo. Llenar la Tabla 1 de la Hoja de Datos; para ello, se deberá trabajar en los modos X-Y y básico del osciloscopio. Para pasar al modo X-Y, todos los botones VERTICAL MODE deben estar liberados. Para cada frecuencia, en el modo X-Y, debe hacer que la elipse ocupe un cuadrado de 6.0 divisiones de lado en la pantalla del osciloscopio. Las dimensiones de la elipse en la pantalla pueden ajustarse con los controles VOLTS/DIV y VARIABLE de ambos canales. La posición de la elipse puede ajustarse con el control
y con el control
POS del canal 1. La dimensión de B debe medirse centrado
la elipse horizontalmente en la pantalla. El ángulo de fase , se debe medir en el modo básico del osciloscopio. Para dibujar la figura de Lissajous. La casilla de frecuencia en blanco de la Tabla 1 se incluido para la frecuencia de resonancia de la conexión RLC que debe ser ubicada y anotada.
Figura 3
8.2 Frecuencia Montar el circuito de la Figura 4 con el osciloscopio en el modo básico. Del generador 2 obtener una señal senoidal con y nivel DC nulo. Del generador 1 obtener una señal senoidal con y nivel DC nulo. Liberar todos los botones VERTICAL MODE del osciloscopio y pasar al modo X-Y para observar la figura de Lissajous correspondiente. Debido a que se usan dos generadores independientes es una tanto difícil obtener una figura estable; por ello, deberá ajustarse con mucho cuidado la frecuencia de la señal del generador 1 de manera de obtener una figura lo mas estable posible con los bucles abiertos y simétricos. Dibujar la figura obtenida. De manera similar, obtener y dibujar las figuras de Lissajous para las frecuencias de la señal del generador 1, , indicadas en la Hoja de Datos.
7
9. Análisis y tratamiento de datos 9.1 Cálculos 9.1.1 Angulo de fase Dibujar la figura de Lissajous obtenida para Gráfica obtenida en el laboratorio:
. Gráfica obtenida con un graficador:
En base a la Tabla 1 de la Hoja de Datos, elaborar una tabla comparativa calculado con la ecuación (13). Incluir en la tabla las diferencias porcentuales de Según los datos obtenidos en la práctica de laboratorio, tenemos: . 2000 6,0 4088 6,0 6017 6,0 6693 6,0 8017 6,0 10013 6,0 20039 6,0 Procedemos a calcular Para :
5,6 4,7 1,6 0,0 2,6 4,4 5,8
; siendo respecto de
, el valor .
-72 -54 -18 0 21,6 43,2 72
de la siguiente manera:
Y para calcular su respectiva diferencia porcentual:
De la misma forma se calculan para los demás valores, obteniéndose así la tabla:
68,96 51,57 15,47 0,00 25,68 47,17 75,16
72,0 54,0 18,0 0,0 21,6 43,2 72,0
Dif. Por.[%] 4,41 4,72 16,38 0,00 15,89 8,41 4,21
8
9.1.2 Frecuencia Dibujar las figuras de Lissajous obtenidas para diferentes frecuencias, Sabiendo que Para
se mantiene constante, procedemos a variar
, y verificar en cada caso la ecuación (14). :
:
Procedemos a analizar la ecuación (14): Simplificando obtenemos: Reemplazando datos tenemos: Donde obtenemos la relación:
Donde verificamos que la figura tiene 1 bucle vertical y 3 bucles horizontales. De la misma manera se realizarán los análisis posteriores. Para : Empleando la ecuación (14), y reemplazando datos obtenemos: Donde obtenemos la relación:
Donde verificamos que la figura tiene 1 bucle vertical y 2 bucles horizontales. Para : Empleando la ecuación (14), y reemplazando datos obtenemos: Donde obtenemos la relación:
Donde verificamos que la figura tiene 2 bucles verticales y 3 bucles horizontales. Para : Empleando la ecuación (14), y reemplazando datos obtenemos: Donde obtenemos la relación:
Donde verificamos que la figura tiene 1 bucle vertical y 1 bucle horizontal. Como es una relación de 1:1 y tomando en cuenta un ángulo nulo, observamos una gráfica lineal.
9
Para : Empleando la ecuación (14), y reemplazando datos obtenemos: Donde obtenemos la relación:
Donde verificamos que la figura tiene 4 bucles verticales y 3 bucles horizontales. Para : Empleando la ecuación (14), y reemplazando datos obtenemos: Donde obtenemos la relación:
Donde verificamos que la figura tiene 3 bucles verticales y 2 bucles horizontales. Para Empleando la ecuación (14), y reemplazando datos obtenemos: Donde obtenemos la relación:
Donde verificamos que la figura tiene 2 bucles verticales y 1 bucle horizontal. Para : Empleando la ecuación (14), y reemplazando datos obtenemos: Donde obtenemos la relación:
Donde verificamos que la figura tiene 3 bucles verticales y 1 bucle horizontal.
9.2 Cuestionario Demostrar analíticamente que si en las ecuaciones (3) y (4)
, la figura
de Lissajous es una parábola y dibujarla.
De la ecuación (b)
De la ecuación (a)
Reemplazando la ecuación (d) en (c)
La ecuación (e) se asemeja a ecuación general de una parábola
10
Y su correspondiente gráfica será:
Dibujar la figura de Lissajous para
.
De donde confirmamos que la Figura de Lissajous tiene 5 bucles verticales y 4 bucles horizontales. ¿Por qué la Figura de Lissajous tiene más bucles verticales que horizontales si Si es porque según la fórmula:
?
Debe cumplirse que: Por lo tanto, como m representa el número de bucles verticales y n el número de bucles horizontales, por esa razón se tendrá que cumplir que la Figura de Lissajous tenga mayor número de bucles verticales que horizontales. Mostrar que en el modo básico del osciloscopio, el despliegue de una señal en función del tiempo puede considerarse una “Figura de Lissajous”. Para ello deberá mostrarse como el osciloscopio convierte una función v=f(t) en una función y=f(x) que despliega en su pantalla. El osciloscopio debe de realizar el proceso mostrado en la figura de la derecha. Como se puede observar se realiza la gráfica de las funciones tanto horizontalmente como verticalmente. Posteriormente, se procede a unir dichas intersecciones obteniendo Así la figura de lissajous correspondiente. De esa manera es como se puede obtener una figura de Lissajous Partiendo del modo básico de un osciloscopio. ¿En qué dispositivo mecánico se describe una figura de Lissajous? Existen muchos dispositivos mecánicos que se describen con una figura de Lissajous, entre los cuales podemos mencionar el “péndulo simple”.
11
10. Conclusiones Finalmente, en las conclusiones procedemos a analizar los objetivos propuestos inicialmente: A simple vista podemos afirmar que hemos logrado cumplir con todos los objetivos, ya que se ha procedido a Medir el modulo del ángulo de fase, Verificar la frecuencia de una señal senoidal por el método de las Figuras de Lissajous, Utilizar el modo X-Y del osciloscopio, llegándose de esa manera a Estudiar las Figuras de Lissajous finalmente realizados los cálculos se ha obtenido la diferencia porcentual para cada caso, llegándose a sacar varias conclusiones. De esa manera podemos ver que hemos cumplido con los objetivos inicialmente planteados del trabajo realizado en el laboratorio. Profundizando un poco más sobre el informe realizado, podemos observar los siguientes puntos importantes: Durante la práctica, se ha llegado a invertir a realizar una importante observación en el laboratorio, ya que debido a fallas presentadas por los generadores de funciones ya que los mismos. Se pudo observar también que al momento de tomar datos, las dimensiones de la pantalla del osciloscopio no eran suficientes como para realizar una toma de datos con mayor exactitud. Por lo que podemos prevenir que se han cometido errores desde la toma de datos en la presente práctica de laboratorio. De acuerdo a los cálculos de los errores realizados en el transcurso del presente informe, se pueden apreciar errores relativamente bajos, al momento de comparar los ángulos de fase. El error producido en dicha práctica se explica mediante varios factores entre ellos el más importante a mencionar es debido a la lectura de datos cuando en la pantalla del osciloscopio se excede la cantidad de cuadros desde el origen. Para la toma de datos, al momento de graficar las Figuras de Lissajous se ha hecho complicado ya que las Figuras en el osciloscopio oscilaban de manera continua por lo que ha sido mejor basarse en los bucles que debía tener cada figura antes de realizar la gráfica. Como en todo laboratorio, es importante tener en cuenta los siguientes aspectos: En el desarrollo de una práctica de laboratorio, jamás los resultados van a ser iguales a los obtenidos de forma ideal. Es decir, que de manera real, estábamos obviando factores que desde un inicio nos implicaban un error, llegándose a cometer un pequeño error. Ahora añadiendo a eso, en el laboratorio siempre contamos con otro tipo de errores como errores de lectura (en este caso lo más probable es que se haya dado los errores de cero y el de paralaje, también se produjeron errores fuera de nuestro alcance), errores instrumentales (que siempre se dan y en este caso sería la graduación de los equipos de laboratorio que no permitieron obtener resultados más exactos), lo que en nuestro caso sumando todo eso han ocasionado pequeños errores al momento de obtener los ángulos de fase y especialmente para realizar las Figuras de Lissajous. Pero finalmente, y como tal podemos concluir que la práctica se ha realizado de forma correcta debido a que se ha llegado a cumplir con los objetivos inicialmente planteados, podemos concluir y afirmar que se ha realizado un buen trabajo en el laboratorio.
11. Bibliografía Ing. Manuel, Soria. Guía de experimentos de Física Básica III. Figuras de Lissajous. Edición: 6º Edición. Lugar de Publicación: La Paz, Bolivia. Fecha de Publicación: Agosto del 2009. Fecha de Consulta: 15 de Noviembre de 2010. Alvarez - Huayta. Medidas y Errores. Errores. Edición: Tercera. Lugar de publicación: La Paz – Bolivia. Fecha de Publicación: 2008. Fecha de Consulta: 15 de Noviembre de 2010.
12
Ing. Levy, C. Que debe considerar al elaborar un informe de experimento para laboratorio de Física?. Edición: Desconocida. Lugar de Publicación: La Paz, Bolivia. Fecha de Publicación: Enero del 2004. Fecha de Consulta: 15 de Noviembre de 2010. Wikipedia. Enciclopedia Libre. Figuras de Lissajous. [En línea]. . Lugar de Publicación: Desconocido. Fecha de Publicación: 15 de Julio de 2010. Fecha de Consulta: 15 de Noviembre de 2010. Anónimo. Figuras de Lissajous. [En línea]. .Lugar de Publicación: Desconocido. Fecha de Publicación: Desconocida. Fecha de Consulta: 15 de Noviembre de 2010.
12. Anexos
13
