INTRODUCCIÓN Este trabajo explica algunas de las propiedades de las fórmulas de ángulo múltiple. En primer lugar expresaremos de forma concisa las fórmulas de ángulo múltiple de las funciones trigonométricas e hiperbólicas. Posteriormente utilizaremos estas fórmulas para hallar las ecuaciones implícitas de las figuras de Lissajous. Una figura de Lissajous es la trayectoria de un punto móvil cuyas coordenadas rectangulares son movimientos armónicos simples. Se dice que un punto sigue un movimiento vibratorio armónico simple (m.a.s.) cuando su posición en función del tiempo es una sinusoide sinusoide.. Es un movimiento periódico de vaivén, en el que un cuerpo oscila a un lado y a otro de su posición de equilibrio en una dirección determinada y en intervalos iguales de tiempo. Una partícula sometida a este tipo de movi ovimi mieento tendrá ndrá un punt unto cent entral ral, alred rededor dor del del cual osci scilará. rá. Las curvas curvas de Lissa Lissajo jous, us, tambi también én conoc conocida ida como como figur figuraa de Lissa Lissajou jouss o curva curva de Bowditch, Bowditch, es la gráfica del sistema de ecuaciones paramétricas correspondiente a la superposición de dos movimientos armónicos simples en direcciones direcciones perpendiculares: perpendiculares:
La trayectoria resultante dependerá de la relación de las frecuencias y de la diferencia de fase. Esta familia de curvas fue investigada por Nathaniel por Nathaniel Bowditch en 1815 y después, con mayores detalles, por Jules por Jules Antoine Lissajous .
LAS CURVAS DE LISSAJOUS PROPIEDADES: La aparienc apariencia ia de la figura figura es muy sensibl sensiblee a la relació relaciónn , esto es, la relación relación entre las frecuencias de los movimientos en x e y. Para un valor de 1, la figura es una A = B, δ = π/2 radianes) elipse, elipse , con los casos especiales del círculo ( A radianes) y de las rectas (δ = 0) incluidos. Otra de las figuras simples de Lissajous es la parábola (a/b = 2, δ = π/2). π/2). Otros valores de esta relación producen curvas más complicadas, las cuales sólo son cerradas si es un número racional, racional , esto esto es, si y son son conmen conmensur surabl ables. es. Entonc Entonces es existirán dos números naturales, n x y ny, tales que
Y, obviamente, el periodo del movimiento resultante es el valor de T
Obtenido utilizando los valores más pequeños que satisfagan la relación (fracción irreducible). La apariencia de estas curvas a menudo sugiere un nudo de tres dimensiones u otros tipos de nudos, incluyendo los conocidos como nudos de Lissajous, proyección en el plano de las figuras de Lissajous.
Figuras de Lissajous y Polinomios de Chebyshev Formulas de Angulo Múltiple
Para la función coseno, las fórmulas de ángulo múltiple se pueden expresar usando los polinomios de Chebyshev. Estos polinomios están definidos por la relación de recurrencia.
Los ocho primeros polinomios con sus correspondientes fórmulas de ángulo múltiple son:
Observamos que los polinomios de Chebyshev cumplen la propiedad.
Demostración Por inducción sobre n. Para los valores iniciales n=1, n=0 tenemos:
Supongamos que la fórmula es cierta para todo valor de k < n, Aplicando la fórmula de la diferencia de cosenos es decir:
por hipótesis de inducción sabemos que:
Luego
Sustituyendo en la fórmula de recurrencia recurrencia.
x=cos(a),
en la formula de
Tenemos que
Por tanto
Observemos que la fórmula anterior también se verifica para valores complejos del argumento, puesto que la fórmula de la diferencia de cosenos es cierta para argumento complejo. Una consecuencia de este hecho es que la fórmula de argumento múltiple para el coseno hiperbólico es:
En efecto
Una propiedad que será utilizada posteriormente es:
Demostración En efecto
Como
la igualdad queda demostrada.
Fórmulas para la función seno Derivando la formula cos(na)= T n(cosna) podemos obtener una fórmula de ángulo múltiple para la función seno. ¡En efecto Es decir
Al polinomio
Se le llama polinomio de Chebyshev de segunda clase de grado n. Usando estos polinomios la fórmula de ángulo múltiple de la función seno se expresa Análogamente para el seno hiperbólico tenemos la fórmula Que se deduce derivando la fórmula de argumento múltiple para el coseno hiperbólico. Los siete primeros polinomios de Chebyshev de segunda clase con sus correspondientes fórmulas de ángulo múltiple son:
Una fórmula que expresa en función de sen(na) es:
Demostración
Si n es impar basta despejar el seno en la formula
Si n par es par tenemos que
Derivando
Despejando el seno del ángulo múltiple
Los polinomios de Chebyshev de primera y segunda clase están relacionados por la fórmula:
En efecto
Por tanto
Dividiendo por sen(a)
Sustituyendo cos(a) por x y despejando T n obtenemos
Los polinomios de Chebyshev de segunda clase satisfacen la siguiente relación
Demostración: Es claro que
Veamos que satisfacen la relación de recurrencia. Derivando la relación
Obtenemos
Sustituyendo
Operando
Dividiendo por obtenemos n-2 Por tanto
Las fórmulas de recurrencia anteriores son interesantes desde el punto de vista teórico y permiten hallar los polinomios de Chebyshev para valores pequeños de n. Pero para valores moderados de n son completamente inútiles. Por fortuna disponemos de las siguientes fórmulas explicitas de los polinomios de Chebyshev de primera y de segunda clase para n mayor que cero.
Y
Estas fórmulas se pueden demostrar por inducción. Demostraremos la fórmula para los polinomios de Chebyshev de segunda clase.
Demostración Para n = 1 y n = 2 se cumplen. En efecto
Demostremos que si se cumple para k < n entonces se cumple para n: Sabemos que Usando la hipótesis de inducción podemos afirmar que
Operando y renombrando el índice del segundo sumatorio
Haciendo el cambio de índices k = j +1 en el segundo sumatorio
Tenemos dos casos. Si n es impar
Luego la propiedad de los números combinatorios
Si n es par
Luego también en este caso
Estos ejemplos son útiles para mostrar algunas de las propiedades de las curvas de Lissajous. Por ejemplo, en el caso del segmento de recta, la parábola, o la cúbica de Tchirhaus el punto móvil gira y regresa por el mismo camino. Estos casos los designaremos como casos degenerados. En los casos no degenerados, el punto nunca invierte la dirección. La terminología puede no ser la mejor pero es útil para identificar los casos fácilmente. Una curva de Lissajous es degenerada cuando m es par y o m es impar y
donde d = mq - np . En el caso degenerado, la curva puede determinarse
cuando t varía en un intervalo de longitud π. Notemos que cualquier intervalo de esta
longitud no describe la curva completamente. Esta discusión sobre el parámetro es importante si, en la definición de curva paramétrica, se exige la condición de que la aplicación sea localmente inyectiva. En geometría analítica plana una curva se define por su ecuación implícita f ( x, y) = 0 . Si
f ( x, y ) = ∑ aij x i y j
es un polinomio, se le llama curva algebraica y curva
trascendente si f es una función trascendente. Las curvas de Lissajous son curvas algebraicas. La ecuación implícita de una curva de Lissajous se obtiene eliminando el parámetro t de las ecuaciones paramétricas. Este proceso puede realizarse como sigue: 1. Expresar x e y en términos de cos mt , sin mt , cos nt , and sin nt usando las fórmulas de la suma y de la diferencia de dos ángulos. 2. Expresar las funciones trigonométricas de los ángulos múltiples en términos de sin t y cos t. 3. Expresar las funciones sin t & cos t en términos de u = tan(t / 2) usando las conocidas fórmulas sin t
=
2u 1+ u2
,
cos t =
1−u2 1 + u2
.
Tenemos entonces una parametrización racional de la curva,
x = r( u) , y = s( u).
4. Eliminar el parámetro u. El proceso anterior puede hacerse, algunas veces simplemente, pero generalmente de una forma complicada que requiere tiempo y el uso de herramientas de eliminación algebraica. Esta dificultad se pone de manifiesto cuando aplicamos este proceso a alguna de las ecuaciones paramétricas citadas en la lista anterior. Probaremos que las ecuaciones implícitas de las curvas de Lissajous pueden hallarse usando los polinomios de Chebyshev.
Encontrando las ecuaciones implícitas de Lissajous
Dadas las curvas de Lissajous que se pueden definir por las ecuaciones paramétricas Teorema 1. Dada la curva de Lissajous
Donde p, q son números reales y m impar. Llamemos Las coordenadas x, e y de la curva de Lissajous satisfacen la ecuación
Demostración: Aplicando la propiedad característica de los polinomios de Chebyshev y la correspondiente para m impar para la función seno tenemos que:
Aplicando las fórmulas de la suma de dos ángulos
Este es un sistema lineal en las incógnitas cos(mnt) y con determinante
Si Δ=cosδ≠0, aplicando la regla de Cramer
Elevando al cuadrado y sumando miembro a miembro
Luego
Quedando así demostrada la primera fórmula. Si Δ=cosδ=0 el sistema anterior es compatible sólo cuando los coeficientes son proporcionales, es decir cuando
Por tanto
Multiplicando la primera por cos(np) y la segunda por sen(np) y restando ambas ecuaciones queda
Por tanto
Es natural preguntarnos si el recíproco del teorema anterior es cierto, es decir si un punto que satisface la ecuación cartesiana satisface las ecuaciones paramétricas. La respuesta es “sí” en el primer caso y este hecho se demuestra en el teorema 2. Teorema 2. Si un punto (a, b) satisface la ecuación cartesiana
Con m impar y cosδ ≠0,
Es decir la curva descrita por la ecuación dada es una unión finita de curvas de Lissajous. Observaciones: 1) Notemos que en una curva de Lissajous siempre podemos tomar p = 0. Basta realizar el cambio de parámetro
2) La ecuación cartesiana nos determina n, p y senδ. El ángulo δ puede tomar una infinidad de valores.
Demostración Sabemos que:
Teniendo en cuenta la identidad trigonométrica
Tenemos:
Por tanto
Dividiendo por cos2δ
Luego existe un valor θ tal que
Despejando
Luego
Por tanto podemos haciendo a=cosα y b=senβ tenemos que
Y
Sea Haciendo
Se deduce el resultado enunciado. Cuando m es par se tienen resultados análogos que se enuncian en los teoremas siguientes. Teorema. 3 Dada la curva de Lissajous
Donde p, q son Números reales y m par. Llamemos
Entonces la ecuación cartesiana de la curva de Lissajous es:
Teorema 4. Si un punto (a, b) satisface la ecuación cartesiana
Con m par y senδ≠0,
Es decir la curva descrita por la ecuación dada es una unión finita de curvas de Lissajous. Las demostraciones de los teoremas 3 y 4 son análogas a las de los teoremas 1 y 2 y no las haremos. Resumiendo la curva de Lissajous definida por la ecuación paramétrica coincide con la definida por su ecuación cartesiana cuando m es impar y cosδ es distinto de cero o cuando m es par y senδ es distinto de cero Diremos entonces que la curva de Lissajous es no degenerada y en caso contrario decimos que es degenerada. Cuando la curva de Lissajous es degenerada la ecuación paramétrica es sólo un arco de la curva definida por la ecuación cartesiana. Apliquemos los teoremas a algunos ejemplos seleccionados 1. Alforja La alforja es la curva de ecuaciones paramétricas
En este caso m =1 es impar y
Cuando Es decir cuando
Podemos aplicar la formula
Es decir
Operando nos queda
Como cosβ=0, tenemos que la ecuación de la curva es
Que es la ecuación de una parábola. Observemos que en este caso la curva parametrizada es un arco de parábola. Cuando cos β ≠0, tenemos,
Operando queda
Multiplicando por
Llamando Queda
O bien
Que es la ecuación cartesiana de la alforja
Cuando b=0 la alforja se llama Lemniscata de Gerono
2) Cúbica Crunodal
En este caso m =2 es par y
La fórmula es por tanto Sustituyendo
Operando
Esta curva se llama cúbica con punto doble o cúbica crunodal.
Observemos que es una curva de Lissajous degenerada y que la curva parametrizada es un arco de la cúbica con forma de letra alfa.
Otro Ejemplo con m par
En este caso m =2 es par y
La fórmula es por tanto Sustituyendo
Operando
O bien
Ejemplo de curva reducible La curva definida por las ecuaciones
Satisface la ecuación Esta ecuación nos determina cuatro componentes irreducibles que corresponden a las cuatro curvas de Lissajous siguientes:
Las cuatro gráficas juntas
Observemos que la curva parametrizada inicial satisface también las ecuaciones
O eligiendo el parámetro p =0
Cualquiera de estas dos ecuaciones paramétricas nos generan
Otros ejemplos son Ecuaciones Paramétricas
Ecuación Implícita
x = cos2t y = sin(3t − 5π /12)
( 4 x
x = cos(3t + π / 4) y = sin t
x 2
x = cos4t y = sin3t x = cos5t y = sin(3t − π / 2)
4 x 3 − 3 x = 8 y 4
3
+
−
3 x )
2
+
( 2 y
(4 y 3 − 3 y ) 2
3 x − 4 x 3
=
−
−
−
16 y 5
2
1)
−
3 ( 4 x 3
−
3 x )( 2 y 2
−
1)
=
1 4
2 x(4 y 3 − 3 y ) = 1 2
8y2
−
2
+
1
20 y 3 + 5 y
Conjetura I. Cada una de las ecuaciones implícitas (3)-(6) determina una curva formada por un número finito de figuras de Lissajous. Conjetura II. Los polinomios en dos variables que definen las ecuaciones (3)-(6) son irreducibles en R si y solo si m y n son primos entre si. Se llaman "Figuras de Lissajous". Básicamente a la generación de una gráfica bidimensional a partir de la parametrización de dos curvas que describen una función armónica. Los Lectores con calculadoras gráficas pueden ver sus formas, y aquellas otras curvas de Lisssajous que no aparecen en la relación . Ecuaciones Paramétricas
Nombre
x = rcos t y = rsin t
Circunferencia
x= acos( t− π / 2) y = bsin t
Segmento
x = acos t y = bsin t x = acos t y= ( a/ 2)sin 2 t
x = − cos2 t y= 2
psin t
x = cos2 t
Ecuación Implícita 2
x
x a
+
−
2
y
y b
2
=
r
=
0
Elipse
x2 / a2 + y2 / b2
Lemniscata de Gerono
x4
=
a2 ( x2 − y2 )
Letra C (Parábola)
y2
=
2 p( x+ 1)
=
1
y = sin(3t + π / 2)
Cúbica deTschirnhaus
2 3 2 y = 4 x − 3 x+ 1
x = cos t y = sin3t
El Logo de la ABC
(4 x3 − 3 x) 2 + y2
x = 2 2 cos t y = 2 sin(2t + 5π / 4)
Alforja
=
1
x4 + 4 x2 ( y− 2) + 8( y −1)2
=
0
Estos ejemplos son útiles para mostrar algunas de las propiedades de las curvas de Lissajous. Por ejemplo, en el caso del segmento de recta, la parábola, o la cubica de Tchirhaus el punto móvil gira y regresa por el mismo camino. Estos casos los designaremos como casos degenerados. En los casos no degenerados, el punto nunca invierte la dirección. La terminología puede no ser la mejor pero es útil para identificar los casos fácilmente.
APLICACIONES Sus aplicaciones son variadas. Por ejemplo, algunos lectores ópticos, de esos que hay en los supermercados que sirven para verificar los precios, tienen un arreglo mecánico que permite la lectura del código de barras a través de un haz de luz que generan las figuras de lissajous. También sirven para encriptar datos que son comunicados por fibras ópticas, es decir, para que, en caso de que alguien robe la señal, no pueda descifrarla con facilidad. También sirve para el manejo de señales en instrumentación industrial. Uso en logotipos Las figuras de Lissajous son usadas como logotipos. Ejemplos de estos logotipos son el de Australian Broadcasting Corporation (a = 1, b = 3, δ = π/2) y el del Lincoln Laboratory at MIT ( a = 8, b = 6, δ = 0). Las curvas de Lissajous pueden ser trazadas mecánicamente por medio de un armonógrafo.
En la electrónica OSCILOSCOPIO
El osciloscopio es un instrumento que permite visualizar fenómenos transitorios así como formas de ondas en circuitos eléctricos y electrónicos. Por ejemplo en el caso de los televisores, las formas de las ondas encontradas de los distintos puntos de los circuitos están bien definidas, y mediante su análisis podemos diagnosticar con facilidad cuáles son los problemas del funcionamiento.
¿Qué podemos hacer con un osciloscopio? •
Medir directamente la tensión (voltaje) de una señal.
•
Medir directamente el periodo de una señal.
•
Determinar indirectamente la frecuencia de una señal.
•
Medir la diferencia de fase entre dos señales.
•
Determinar que parte de la señal es DC y cual AC.
•
Localizar averías en un circuito. •
Determinar que parte de la señal es ruido y como varia este en el tiempo.
Maquina de Hilar de Hans En 1967, la última máquina de hilar de Hans, un doctor suizo, el artista, y el investigador, publicaron el und bilingüe Dynamik/Cymatics de Struktur del ihrer del mit de Schwingungen del libro Kymatik - del und de Wellen - la estructura y la dinámica de ondas y de vibraciones. En esta máquina de hilar del libro, como Chladni doscientos años anterior, demostrado qué sucede cuando uno toma los varios materiales como la arena, esporas, limaduras del hierro, agua, y sustancias viscosas, y las coloca en las placas y las membranas del metal que vibran. Qué entonces aparece están las formas y los patrones del movimiento que varían de la haber ordenado casi perfectamente e inmóviles a las que turbulento estén desarrollando, orgánicos, y constantemente en el movimiento. La máquina de hilar hizo uso osciladores cristalinos y una invención sus el propios por el nombre del tonoscope para fijar vibrar de estas placas y de las membranas. Esto era un paso adelante importante. La ventaja con los osciladores cristalinos es que uno puede determinarse exactamente que la frecuencia y amplitude/volume uno desea. Era posible ahora investigar y seguir un tren continuo de los acontecimientos en los cuales uno tenía la posibilidad de cambiar la frecuencia o la amplitud o ambas. El tonoscope fue construido para hacer la voz humana visible sin ningún aparato electrónico como acoplamiento intermedio. Esto rindió la posibilidad asombrosa de poder ver la imagen física de la vocal, del tono o de la canción un humano producido directamente. ¡(SE abajo) podría usted oír no solamente una melodía - usted podría verla, también! La máquina de hilar llamó este nuevo campo de cymatics de la investigación, que viene del kyma griego, onda. Cymatics se podía traducir como: el estudio de cómo las vibraciones, en el amplio sentido, generan e influencian patrones, formas y procesos móviles. ¿Qué la máquina de hilar de Hans encontró en sus investigaciones? En el primer lugar, la máquina de hilar produjo las figuras de Chladni y las figuras de Lissajous en sus experimentos. Él descubrió también eso si él vibró una placa en una frecuencia específica y la amplitud - vibración - las formas y los patrones del movimiento característicos de esa vibración apareció en el material en la placa. Si él cambió la frecuencia o la amplitud, el desarrollo y el patrón fueron cambiados también. Él encontró que si él aumentó la frecuencia, la complejidad de los patrones aumentó, el
número de elementos llegó a ser mayor. Si por otra parte él aumentó la amplitud, los movimientos llegaron a ser más rápidos y turbulentos y podrían incluso crear las erupciones pequeñas, donde el material real fue lanzado para arriba en el aire. Las formas, las figuras y los patrones del movimiento que aparecieron demostraron ser sobre todo una función de la frecuencia, de la amplitud, y de las características inherentes de los varios materiales. ¡Él también descubrió que bajo ciertas condiciones él podría realizar el cambio de las formas continuamente, a pesar de el suyo que alteraba ni frecuencia ni amplitud!
El experimento de Lissajous Lissajous, físico francés del siglo XIX, realizó un importante experimento que consistió en proyectar un rayo de luz sobre un espejo que hacía vibrar mediante el uso de sonidos agudos y graves. Este rayo de luz dibujaba figuras sobre el espejo que dependían de la frecuencia del sonido. El experimento de Lissajous es similar al aparato que se utiliza en la actualidad para realizar espectáculos de luz láser. La utilidad del mismo se basaba en la posibilidad de determinar frecuencias de sonidos y señales de radio. Una señal de frecuencia conocida se aplicaba al eje horizontal de un osciloscopio (medidor de ondas), y la señal que se quería medir, al eje vertical. La figura resultante se asemejaba a una función simétrica.
LAS VIBRACIONES MECANICAS Y SU APLICACION AL MANTENIMIENTO PREDICTIVO A través de sensores se interpretan las intenciones motrices . Curvas de Lissajous.- El objetivo de este experimento consiste en ver en la práctica el resultado de las figuras atraves de las vibraciones. Consta de un motor conectado a una pequeña placa.
Dibujando las figuras de Lissajous
Se puede hacer de forma sencilla en casa, coger una botella de plástico colgarla por su parte trasera con una cuerda y dejarla caer en forma de péndulo con tierra en su interior, eso sí cumpliendo la condición de siempre arriba tener un nudo inferior y abajo antes de la botella un nudo superior: Tal y como nos explican, la relación de distancia de la flecha L y la flecha D marcarán el destino del dibujo a realizar: su amplitud y su cantidad de arena depositada en el punto cumbre o donde más está parada y por lo tanto deposita más arena.
Un tercer procedimiento para obtener estas figuras es el de utilizar un láser que se refleja en dos espejos, dispuestos cada uno de ellos sobre un altavoz que se conecta a una determinada frecuencia, tal y como puede verse en la siguiente imagen.
La vibración de los altavoces los espejos vibren en planos perpendiculares, con lo que la luz reflejada da lugar a figuras como éstas:
Una variante de este experimento es la composición de movimientos circulares. Si hacemos reflejarse la luz de un láser sobre dos espejos enfrentados que pueden girar con velocidades variables, al estar unido cada uno de ellos a un motor eléctrico, podemos obtener unas curvas como las que podemos ver a continuación. Una de las imágenes corresponde al dispositivo experimental que permite la obtención de dichas figuras.
BIBLIOGRAFÍA 1. R. L. Burden y J. D. Faires, Análisis Numérico, Grupo Editorial IberoAmericana, 1985. 2. F. Cajori, A History of Mathematics, Chelsea, 1999) 3. J. Castiñeira Merino, Lissajous Figures and Chebyshev Polynomials, The College Mathematics Journal 34 (2003) #2, 122-127. 4. Eli Maor, Trigonometric Delights, Princenton University Press, 1998. 5. J. W. Rutter, Geometry of Curves, Chapman & Hall, 2000. 6. Vinogradov y otros, Enciclopedia de las Matemáticas, Editorial Mir-Rubiños, 1994.
