LABORATORIO #4
Oscilación de un Péndulo Simple 1. Introducción En esta experiencia estaremos comparando el comportamiento experimental de un péndulo que realiza oscilaciones pequeñas contra los modelos matemáticos del mismo. Para realizar esto primero obtendremos el comportamiento experimental del péndulo. Mediante un desplazamiento inicial de 10° o menos haremos oscilar el péndulo. La magnitud del desplazamiento inicial nos permite suponer oscilaciones pequeñas. Mediremos el comportamiento del péndulo para obtener su comportamiento empíricamente. Paralelamente modelaremos matemáticamente el péndulo de dos formas distintas, asumiendo una masa puntual y asumiendo una masa esférica. Para visualizar el modelo utilizaremos graficas en función del tiempo en dos programas: Simulink de de Matlab y en Excel. Una vez obtenido el comportamiento empírico del péndulo lo estudiaremos a través de gráficas en Excel. Finalmente compararemos la efectividad de los diferentes modelos mediante el cálculo del error entre las frecuencias de oscilación resultantes.
2. Resultados Para este experimento utilizamos una esfera cuyos cu yos parámetros se especifican a continuación: Tabla 1. Parámetros de la esfera utilizada en la experiencia Diámetro de la Masa de la Momento de inercia esfera esfera esfera 2.9 cm 522 g 126.15 g·cm²
de
la
El momento de inercia lo calculamos con respecto al centro de gravedad de la misma. Ahora se tomaron datos y se hicieron cálculos del modelo del péndulo simple para los siguientes valores de longitud del hilo que se fijó a la esfera y al marco. 1. Para y
()
a) Método experimental:
(()) Se midió experimentalmente el periodo promedio de 3 oscilaciones y a partir de eso se calculó
,
y
Luego utilizando el modelo del péndulo simple, resolvimos la ecuación diferencial para las condiciones iniciales dadas.
̈ ̈ () () ̇ () () ̇() ̈ ()
Evaluamos las constantes
y
con las condiciones iniciales
Por tanto la solución nos queda:
Para la velocidad y la aceleración tenemos que:
Las gráficas de cada función se muestran a continuación:
Posición (θ) 0.2
0.1
0 0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
-0.1 Posición (θ) -0.2
Figura 1. Gráfica de la posición para las condiciones iniciales (CI) indicadas anteriormente y el experimental.
Velocidad (θ') 1 0.5 0 0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
-0.5 -1 Velocidad (θ')
Figura 2. Gráfica de la velocidad para las CI indicadas anteriormente y el
experimental.
Aceleración (θ'') 4 2 0 0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
-2 -4 Aceleración (θ'')
Figura 3. Grafica de la aceleración para las CI indicadas anteriormente y el b) Método Analítico asumiendo la esfera como una masa puntual
experimental.
Asumiendo que la esfera es una masa puntal conectada al extremo del hilo el modelo matemático sería igual a:
Donde la
̈ ⁄ y la solución de la ecuación quedaría de la siguiente manera
Solución de la ecuación:
Evaluamos las constantes
() () ̇ () ( ) ̇ () () ̇() ̈ () y
con las condiciones iniciales
Por tanto la solución nos queda:
Para la velocidad y la aceleración tenemos que:
Las gráficas de cada función se muestran a continuación:
Posición (θ) 0.2 0.1 0 0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
-0.1 -0.2 Posición (θ)
Figura 4. Gráfica de la posición para las CI indicadas anteriormente y el
para masa puntual.
Velocidad (θ') 1 0.5 0 0
0.5
1
1.5
2
-0.5 -1 Velocidad (θ')
2.5
3
3.5
Figura 5. Gráfica de la velocidad para las CI indicadas anteriormente y el
para masa puntual
Aceleración (θ'') 4 3 2 1 0 -1 0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
-2 -3 -4 Aceleración (θ'')
Figura 6. Grafica de la aceleración para las CI indicadas anteriormente y el
para masa puntual
c) Método Analítico asumiendo la esfera como una masa esférica
Asumiendo que la esfera se modela como una masa esférica y que la distancia del hilo ahora es desde el marco hasta el centro de la esfera, la ecuación diferencial sería la siguiente:
Dónde:
̈ () () ( ) ̈ () () ( ⁄ () ) ⁄ () ( ) ()( ) ()
Reemplazando en la ecuación diferencial nos queda que:
De esta ecuación obtenemos que:
La solución de esta ecuación diferencial será:
Con las constantes
y
() ̇() ̈ ()
, evaluadas con las condiciones iniciales y cuyos valores son:
Por tanto la solución nos queda:
Para la velocidad y la aceleración nos queda:
Las gráficas de cada función se muestran a continuación:
Para Simulink se utilizó el siguiente diagrama de bloques:
Figura7. Diagrama de bloques realizado en Simulink.
Figura 8. Gráficas de la posición para las CI indicadas anteriormente y el Simulink y Excel respectivamente.
para la masa esférica, en
Figura 9. Gráfica de la velocidad para las CI indicadas anteriormente y el Simulink y Excel respectivamente.
Figura 10. Grafica de la aceleración para las CI indicadas anteriormente y el Simulink y Excel respectivamente.
para masa esférica, en
para masa esférica, en
Tabla 2. Valores de la frecuencia angular natural, frecuencia natural, periodo natural.
⁄] [[ []
Experimental
Masa puntual
4.33 0.688 1.453
3.98 0.633 1.580
Masa esférica
% error 1
3.93 0.625 1.600
8.79% 8.69% 8.04%
% error 2
10.18% 10.08% 9.19%
% error 3
1.27% 1.28% 1.25%
En la tabla 2 se aclara que: El % de error 1 es entre el valor experimental y el de masa puntual. El % de error 2 es entre el valor experimental y el de masa esférica. El % de error 3 es entre el valor de masa puntual y el de masa esférica
Según lo que podemos observar en la tabla 2, los errores incurridos por utilizar los diferentes modelo son aceptables tanto para el modelo de masa puntual como para el modelo de masa esférica, aunque para la masa puntual el error es menor que para la masa esférica, y esto se puede deber a la falta de exactitud a la hora de resolver la ecuación diferencial para ese modelo, también a la hora de tomar los datos, se pudo incurrir en error cuando se midió el diámetro de la esfera, o a la hora de realizar las oscilaciones con el péndulo. También podemos ver por la columna de % error 3, que la aproximación de la esfera a una masa puntual causa un error en el resultado aceptable y que este modelo puede ser usado sin problemas debido a su sencillez matemática y esto no causa una desviación tan grande del valor real.
() () ̈ ̈ () () ̇ () ()
2. Para
y
a) Método experimental:
Se midió experimentalmente el periodo promedio de 3 oscilaciones y partir de eso se calculó la
y
Luego utilizando el modelo del péndulo simple, resolvimos la ecuación diferencial para las condiciones iniciales dadas.
Evaluamos las constantes
y
Por tanto la solución nos queda:
con las condiciones iniciales
Para la velocidad y la aceleración tenemos que:
̇() ̈ ()
Las gráficas de cada función se muestran a continuación:
Posición (θ) 0.2 0.15 0.1 0.05 0 -0.05 0
0.5
1
1.5
2
2.5
-0.1 -0.15 -0.2 Posición (θ)
Figura 11. Gráfica de la posición para las CI indicadas anteriormente y el
experimental
Velocidad (θ') 1.5 1 0.5 0 0
0.5
1
1.5
2
2.5
-0.5 -1 -1.5 Velocidad (θ')
Figura 12. Gráfica de la velocidad para las CI indicadas anteriormente y el
experimental
Aceleración (θ'') 8 6 4 2 0 -2 0
0.5
1
1.5
2
2.5
-4 -6 -8 Aceleración (θ'')
Figura 13. Grafica de la aceleración para las CI indicadas anteriormente y el
experimental
b) Método Analítico asumiendo la esfera como una masa puntual Tomando la asunción de que la esfera es una masa puntal conectada al extremo del hilo el modelo matemático sería igual a:
Donde la
̈ ⁄ () () ̇ () ( ) ̇ () () ̇() ̈ () y la solución de la ecuación quedaría de la siguiente manera
Solución de la ecuación:
Evaluamos las constantes
y
con las condiciones iniciales
Por tanto la solución nos queda:
Para la velocidad y la aceleración tenemos que:
Posición (θ) 0.2 0.1 0 0
0.5
1
1.5
2
2.5
-0.1 -0.2 Posición (θ)
Figura 14. Gráfica de la posición para las CI indicadas anteriormente y el
para masa puntual
Velocidad (θ') 1.5 1 0.5 0 -0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
-1 -1.5 Velocidad (θ')
Figura 15. Gráfica de la velocidad para las CI indicadas anteriormente y el
para masa puntual
Aceleración (θ'') 8 6 4 2 0 -2 0
0.5
1
1.5
2
2.5
-4 -6 -8 Aceleración (θ'')
Figura 16. Grafica de la aceleración para las CI indicadas anteriormente y el
para masa puntual
c) Método Analítico asumiendo la esfera como una masa esférica
Tomando la asunción de que la esfera se modela como una masa esférica y que la distancia del hilo ahora es desde el marco hasta el centro de la esfera, la ecuación diferencial sería la siguiente:
Dónde:
̈ () () ( ) ̈ () () (( ⁄) )(( )) ⁄ () () () ̇() ̈ ()
Reemplazando en la ecuación diferencial nos queda que:
De esta ecuación obtenemos que:
La solución de esta ecuación diferencial será:
Con las constantes
y
, evaluadas con las condiciones iniciales y cuyos valores son:
Por tanto la solución nos queda:
Para la velocidad y la aceleración nos queda:
Las gráficas de cada función se muestran a continuación: Para Simulink se utilizó el diagrama de bloques de la figura 7.
Figura 17. Gráfica de la posición para las CI indicadas anteriormente y el Simulink y Excel respectivamente.
Figura 18. Gráfica de la velocidad para las CI indicadas anteriormente y el Simulink y Excel respectivamente.
para masa esférica, en
para masa esférica, en
Figura 19. Grafica de la aceleración para las CI indicadas anteriormente y el Simulink y Excel respectivamente.
para masa esférica, en
Tabla 3. Valores de la frecuencia angular natural, frecuencia natural, periodo natural.
⁄] [[ []
Experimental
5.97 0.950 1.053
Masa puntual
5.76 0.917 1.090
Masa esférica
% error 1
5.62 0.894 1.118
3.65% 3.60% 3.40%
% error 2
6.23% 6.26% 5.81%
% error 3
2.49% 2.57% 2.50%
De la tabla 3 se aclara que: El % de error 1 es entre el valor experimental y el de masa puntual. El % de error 2 es entre el valor experimental y el de masa esférica. El % de error 3 es entre el valor de masa puntual y el de masa esférica Como vimos en la tabla anterior el error es pequeño y aceptable, pero cabe resaltar que el error de esta medición es menor que en la medición anterior, pero sin embargo la diferencia entre lo valores obtenidos analíticamente es mayor que la medición anterior, lo que nos indica que la aproximación que se incurre al utilizar el modelo de masa puntual es menos exacta para distancias menores del hilo que sostiene la esfera, y esto se justifica ya que a medida que la longitud del hilo es menor, la distancia del radio de la esfera ,la cual se desprecia cuando utilizamos el modelo de masa puntual, es más significativa y esto incurre en un error mayor.
Conclusiones Podemos concluir que un sistema de péndulo simple a primera instancia, si obtenemos la ecuación diferencial que explica la dinámica del sistema, observamos que la misma no es lineal, debido al termino , pero esta ecuación es posible linealizarla con solo aproximar el termino anterior a , para ángulos menos de 10°, si hacemos esa linealización la ecuación diferencial resultante es muy parecida o idéntica a la ecuación diferencial para el sistema masa-resorte, por lo cual ambas tendrán una solución similar, a diferencia de la frecuencia angular que para el caso de péndulo simple
√ ⁄ es
asumiendo el modelo de masa puntual.
También podemos pudimos observar que a medida que la longitud del hilo aumentaba la frecuencia angular disminuye, lo que provoca que el periodo sea más grande, es decir que las oscilaciones sean más largas, también en esta experiencia obtuvimos la frecuencia angular por dos métodos analíticos, uno aplicando un modelo donde asumimos que la esfera es una masa puntual y otro donde la esfera es una masa esférica, y notamos que para longitudes más grandes del hilo, el modelo de masa puntual presentaba menos error en comparación con el de masa esférica, ya que la distancia del radio de la esfera que se desprecia cuando aplicamos la masa puntual se vuelve más insignificante a medida que la longitud del hilo aumenta por tanto, para longitudes considerablemente grandes con respecto al radio de la esfera, aplicar el modelo de masa puntual presentará resultado con un grado de error aceptable para fines de cálculos de ingeniería
