INSTITUTO TECNOLÓGICO DE LA CHONTALPA
Carrera: Ing. Petrolera
Asignatura: Dinámica
Nombre del docente: Álvaro Lázaro Hernández
Nombre del estudiante: Remigio Hernández Jiménez
Unidad: 4y5
Grupo: A
Contenido Unidad 4 Cinética de sistema de partículas.
4.1. Impulso y cantidad de movimiento para una partícula 4.1.1 principio del impulso y la cantidad de movimiento. 4.1.2. Impacto 4.1.3. Cantidad de movimiento lineal y angular para un sistema de partículas.
Unidad 5 Cinética de los cuerpos rígidos.
5.1. Ecuaciones del movimiento de un cuerpo rígido. 5.2. Momento angular de un cuerpo rígido en el plano. 5.3. Movimiento de un cuerpo rígido. 5.3.1 principio de D alembert 5.3.2 traslación, rotación centroidal y movimiento general. 5.4 trabajo y energía. 5.4.1 trabajo de una fuerza. 5.4.2 energía cinética 5.4.3 principio de la conservación de la energía. 5.4.4 potencia.
5.4.5 principio del impulso y de la cantidad de movimiento.
CINETICA DE SISTEMAS DE PARTICULAS
4.1 IMPULSO Y CALIDAD DE MOVIMIENTO PARA UNA PARTÍCULA Y UN SISTEMA DE PARTÍCULA. Existen varias aplicaciones para el impulso y seguramente todos usamos siquiera alguna vez alguna de estas aplicaciones o simplemente no nos damos cuenta de todo la que sucede en realidad, por ejemplo al jugar billar, el taco transmite energía a la bola mediante un choque y a su vez, la bola también transmite energía potencial al chocar con otras bolas. Una gran parte de nuestra información acerca de las partículas atómicas y nucleares, se obtiene experimentalmente observando los efectos de choque entre ellas. A una mayor escala cuestiones como las propiedades de los gases se pueden entender mejor en función de choques de las partículas, y encontraremos que de los principios de la conservación de la cantidad de movimiento y de la conservación de la energía, podemos deducir mucha información acerca de los fenómenos de choques. Impulso
El impulso es el producto entre una fuerza y el tiempo durante el cual está aplicada. Es una magnitud vectorial. El módulo del impulso se representa como el área bajo la curva de la fuerza en el tiempo, por lo tanto si la fuerza es constante el impulso se calcula multiplicando la F por Δt, mientras que si no lo es se calcula integrando la fuerza entre los instantes de tiempo entre los que se quiera conocer el impulso.
Cantidad de Movimiento
La cantidad de movimiento es el producto de la velocidad por la masa. La velocidad es un vector mientras que la masa es un escalar. Como resultado obtenemos un vector con la misma dirección y sentido que la velocidad. La cantidad de movimiento sirve, por ejemplo, para diferenciar dos cuerpos que tengan la misma velocidad, pero distinta masa. El de mayor masa, a la misma velocidad, tendrá mayor cantidad de movimiento.
m v p
= = =
Velocidad Vector
(en cantidad
forma de
Masa vectorial) movimiento
Relación entre Impulso y Cantidad de Movimiento
El impulso aplicado a un cuerpo es igual a la variación de la cantidad de movimiento, por lo cual el impulso también puede calcularse como:
Dado que el impulso es igual a la fuerza por el tiempo, una fuerza aplicada durante un tiempo provoca una determinada variación en la cantidad de movimiento, independientemente de su masa:
Ejemplo 1: Un patinador de 80 kg de masa le aplica a otro de 50 kg de masa una fuerza de 25 kgf durante 0,5 s, ¿qué velocidad de retroceso adquiere el primero y que velocidad final toma el segundo?. Desarrollo Datos: m1 = 80 kg m2 = 50 kg F = 25 kgf = 25 kgf.9,8.665 N/1 kgf = 245,17 N t = 0,5 s Según la definición de impulso: I I = I = 122,58 kg.m/s
= 245,17
N.0,5
F.t s
El impulso en el momento del choque es el mismo para ambos cuerpos y el impulso también es igual a la cantidad de movimiento. I I/m1 = v1 = v1 = 1,53 m/s
= (122,58
I I/m2 = v2 = (122,58 kg.m/s)/50 kg
kg.m/s)/80
=
m1.v1 v1 kg
m2.v2 v2
Ejemplo 2: Un hombre colocado sobre patines arroja una piedra que pesa 80 N mediante una fuerza de 15 N que actúa durante 0,8 s, ¿con qué velocidad sale la piedra y cuál es la velocidad de retroceso del hombre si su masa es de 90 kg?. Desarrollo Datos: P1 = 80 N
m2 = 90 kg F = 15 N t = 0,8 s Se adopta g = 10 m/s² Según la definición de impulso: I I I = 12 kg.m/s
= 15
=
P1 = m1 = m1 = m1 = 8 kg
80
N.0,8
N/10
F.t s
m1.g P1/g m/s²
El impulso en el momento del lanzamiento es el mismo para ambos cuerpos y el impulso también es igual a la cantidad de movimiento. I I/m1 = v1 = (12 kg.m/s)/8 kg
=
m1.v1 v1
=
m2.v2 v2
v1 = 1,5 m/s I I/m2 = v2 = (12 kg.m/s)/90 kg v2 = 0,133 m/s
v2 = 2,45 m/s
4.1.1 PRINCIPIO DEL IMPULSO Y LA CALIDAD DE MOVIMIENTO. Principio de conservación de la cantidad de movimiento (caso de una partícula aislada) La tasa de variación de la cantidad de movimiento con respecto al tiempo es igual a la fuerza neta que actúa sobre la partícula Si la fuerza neta que actúa sobre un objeto es igual a cero, la derivada de la cantidad de movimiento del objeto con respecto al tiempo es cero ⇒ La cantidad de movimiento del objeto debe ser constante (primera ley de Newton) Este es el caso de una partícula aislada (que no interacciona con el entorno). Supongamos que sobre una partícula actúa una fuerza neta y que esta fuerza puede variar con el tiempo.
Podemos integrar esta ecuación para hallar la variación de la cantidad de Movimiento de la partícula durante el intervalo de tiempo
La integral de una fuerza a lo largo del intervalo de tiempo durante el que actúa Se denomina impulso de la fuerza El impulso de una fuerza es un vector definido por
Ejemplo 1: Una pelota de béisbol de 0,15 kg de masa se está moviendo con una velocidad de 40 m/s cuando es golpeada por un bate que invierte su dirección adquiriendo una velocidad de 60 m/s, ¿qué fuerza promedio ejerció el bate sobre la pelota si estuvo en contacto con ella 5 ms?. Desarrollo Datos: m = 0,15 kg vi = 40 m/s vf = - 60 m/s (el signo es negativo ya que cambia el sentido) t = 5 ms = 0,005 s Δp = I pf m.vf F = m.(vf - vi)/t F = 0,15 kg.(F = 0,15 F = - 3000 N
pi = m.vi = 60 m/s kg.(-
I F.t 100
40
m/s)/0,005 m/s)/0,005
s s
Ejemplo 2 Un taco golpea a una bola de billar ejerciendo una fuerza promedio de 50 N durante un tiempo de 0,01 s, si la bola tiene una masa de 0,2 kg, ¿qué velocidad adquirió la bola luego del impacto?. Desarrollo Datos: m = 0,2 kg F = 50 N t = 0,01 s vi = 0 m/s Δp = I pf m.vf m.(vf vf vf = F.t/m vf = vf = 2,5 m/s
pi = m.vi = vi )
I F.t F.t F.t/m
= vi =
50
N.0,01
s/0,2
kg
4.1.2 IMPACTO. En caso en que ambas masas son iguales, los tres vértices del triángulo caen sobre la circunferencia, de la cual P es entonces el diámetro. Si una de las masas está originalmente en reposo, como ocurre en el billar, todo P es idéntico al momento inicial p1i de la otra masa (la bola taqueada o jugadora), y el diagrama muestra directamente la dirección en que salen ambas bolas después del choque en relación a la dirección inicial de la bola jugadora. Una conclusión inmediata del mismo es que ambas bolas salen a 90° después del choque, teniendo por casos límite el que una u otra bola quede detenida, llevándose la restante todo el momento. OJO. Para evitar futuros reclamos: En el pool la masa de la jugadora suele ser distinta a la de las bolas de color. En la carambola las masas son iguales y la predicción del diagrama es correcto hasta tanto no se manifiesten las fuerzas que surgen del roce entre el paño y la componente horizontal del spin de la bola.
Ejemplo 1:
Un sistema que está formado por tres partículas de masas m1 = m, m2 = 2m ym3 = 3m se ve sometido a la acción de una única fuerza externa conservativa F. La cantidad de movimiento total del sistema con respecto a O (origen de un sistema de referencia inercial) en función del tiempo viene dada por p = 3 t3 i - 6 tj, en kgms-1 . Dato: m = 0.5 kg.
4.1.3 CANTIDAD DE MOVIMIENTO LINEAL Y ANGULAR PARA UN SISTEMA DE PARTÍCULA. Se define como momento lineal o cantidad de movimiento de un objeto de masa m que se mueve con velocidad como el producto de su masa por su velocidad.
Desglosando en términos de sus componentes.
El momento lineal es una magnitud vectorial (misma dirección y sentido que la velocidad) Dimensiones: [p] = MLT-1 Unidades en el SI: kg • m/s MOVIMIENTO LINEAL DE UN SISTEMA DE PARTICULAS El momento lineal de una partícula de masa m que se mueve con una velocidad v se define como el producto de la masa por la velocidad P = mv Se define el vector fuerza, como la derivada del momento lineal respecto del tiempo La segunda ley de Newton es un caso particular de la definición de fuerza, cuando la masa de la partícula es constante. Despejando d p en la definición de fuerza e integrando la izquierda, tenemos la variación de momento lineal y a la derecha, la integral que se denomina impulso de la fuerza F en el intervalo que va de t i a t . En mecánica consideramos un sistema de partículas como un conjunto de N puntos materiales que se mueven por separado, si bien interactúan entre sí y están sometidos a fuerzas externas. Cada una de las partículas del sistema posee una masa propia, mí, siendo un índice que sirve para etiquetar individualmente cada una de las partículas. La partícula i está Caracterizada por una posición y una velocidad. Esta posición y esta velocidad evolucio
nan de acurdo con las leyes de la dinámicasiendo la resultante de las fuerzas que actúan sobre la partícula i. Esta resultante se compone delas fuerzas que cada una de las demás partículas del sistema ejerce sobre i, más la resultante de las fuerzas externas aplicadas sobre ella Este sumatorio representa la suma sobre las partículas restantes, esto es k va de 1 hasta N ,excluyendo el caso k = i, ya que admitimos que una partícula no produce fuerza sobre sí misma(equivalentemente, ).Suponemos que las interacciones entre las partículas obedecen la 3ª ley de Newton, lo que es lo mismo En la mayoría de los casos se cumplirá además que la fuerza que la partícula k ejerce sobre la i(y por tanto la que la i ejerce sobre la k ) va en la dirección de la recta que une ambas partículas.Matemáticamente, esto se expresa imponiendo que el vector es paralelo a la posiciónrelativa , esto es, siEliminando paréntesis y aplicando la tercera ley de Newton esto equivale a la condición.
CINETICA DE LOS CUERPOS RIGIDOS
5.1 ECUACIONES DEL MOVIMIENTO DE UN CUERPO RÍGIDO. El momento angular de un sólido rígido que rota con respecto a uno de sus ejes principales de inercia (que por el momento supondremos fijo con respecto a un sistema de referencia inercial) viene dado por:
Donde I es el momento de inercia del sólido y ω es su velocidad angular. La variación del estado de rotación de un sólido viene determinada por la variación de su velocidad angular por lo que, si queremos describir el movimiento de rotación debemos encontrar una ecuación que nos permita calcular la aceleración angular del mismo. Puesto que en la expresión del momento angular aparece la velocidad angular, derivándola obtendremos la aceleración angular:
La variación del momento angular de un sistema de partículas (y, por tanto, de un sólido) es igual al momento de las fuerzas externas que actúan sobre el sistema:
Igualando ambas expresiones,
Ésta es la ecuación del movimiento de rotación de un sólido rígido que, como puede observarse, es análoga a la segunda ley de Newton. La segunda ley de Newton nos proporciona un modo de calcular la aceleración de una partícula (o del centro de masas de un sistema de partículas) conociendo las fuerzas que actúan sobre ella. La ecuación del movimiento de rotación de un sólido nos permite determinar su aceleración angular calculando el momento de las fuerzas externas que actúan sobre él.
Para que un cuerpo rote (para que tenga aceleración angular) no basta con que actúen fuerzas externas sobre él, sino que estas fuerzas han de tener momento resultante no nulo. El papel que juega la masa de una partícula en la segunda ley de Newton (su inercia, es decir, la resistencia que opone a cambiar su estado de movimiento), lo desempeña ahora el momento de inercia. Despejando α, se obtiene:
Es decir, para un momento de fuerzas dado, cuanto mayor sea el momento de inercia del sólido menor será su aceleración angular, por lo que la velocidad angular del mismo variará más lentamente. El momento de inercia mide la resistencia que opone un cuerpo a variar su estado de movimiento de rotación. De la ecuación anterior se deduce que el vector aceleración angular es paralelo a la resultante de los momentos de las fuerzas externas, del mismo modo que la aceleración de una partícula es paralela a la resultante de las fuerzas que actúan sobre ella. Cuanto mayor sea el módulo de esta resultante, mayor será el módulo de la aceleración angular. En el siguiente ejemplo se analiza el movimiento de rotación de una puerta utilizando la ecuación del movimiento de rotación.
Si para abrirla aplicamos la fuerza directamente sobre la bisagra, la puerta no se abrirá, ya que en este caso:
Para que la puerta se abra es necesario aplicar la fuerza a una cierta distancia de la bisagra, puesto que de este modo:
Cuanto mayor sea el módulo de r mayor será el momento de la fuerza F y por tanto mayor será la aceleración angular. Por eso es más fácil abrir una puerta cuanto más lejos de la bisagra aplicamos la fuerza. Si la fuerza se aplica en una dirección paralela al vector r la puerta no se abrirá, ya que en este caso el momento de la fuerza será nulo y no habrá aceleración angular.
5.2 MOMENTO ANGULAR DE UN CUERPO RÍGIDO EN EL PLANO. Momento angular de una partícula
Se define momento angular de una partícula al producto vectorial del vector posición por el vector momento lineal
Momento angular de un sólido rígido Las partículas de un sólido rígido en rotación alrededor de un eje fijo describen circunferencias centradas en el eje de rotación con una velocidad que es proporcional al radio de la circunferencia que describen
En la figura se muestra el vector momento angular
de una partícula de masa mi cuya
posición está dada por el vector y que describe una circunferencia de radio Ri con velocidad vi. El módulo del vale Li=rimivi
vector
momento
angular
Su proyección sobre el eje de rotación Z vale Liz=ricos(90- i)mivi, es decir,
El momento angular de todas las partículas del sólido vale
La proyección Lz del vector momento angular a lo largo del eje de rotación es
El término entre paréntesis se denomina momento de inercia
En general, el vector momento angular no tiene la dirección del eje de rotación, es decir, el vector momento angular no coincide con su proyección Lz a lo largo del eje de rotación. Cuando coinciden se dice que el eje de rotación es un eje principal de inercia. Para estos ejes podemos relacionar el momento angular y la velocidad angular, dos vectores que tienen la misma dirección, la del eje de rotación
El momento de inercia no es una cantidad característica como puede ser la masa o el volumen, sino que su valor depende de la posición del eje de rotación. El momento de inercia es mínimo cuando el eje de rotación pasa por el centro de masa.
5.3 MOVIMIENTO DE UN CUERPO RÍGIDO. Un cuerpo rígido se define como aquel que no sufre deformaciones por efecto de fuerzas externas, es decir un sistema de partículas cuyas posiciones relativas no cambian. Un cuerpo rígido es una idealización, que se emplea para efectos de estudios de Cinemática, ya que esta rama de la Mecánica, únicamente estudia los objetos y no las fuerzas exteriores que actúan sobre de ellos. Representa cualquier cuerpo que no se deforma; para fines de movimiento se puede suponer que el neumático de un automóvil es un cuerpo rígido.
El movimiento de cuerpo rígido, se analizará considerando que la tierra se encuentra en reposo total, es decir no tiene movimiento de rotación ni de traslación El movimiento de cuerpo rígido, se puede explicar con las tres leyes de Newton y la ley de Coulomb. El movimiento del cuerpo rígido, en el caso plana, se puede describir de la siguiente manera:
5.3.1 PRINCIPIO DE D ALEMBERT. El principio de d'Alembert establece que para todas las fuerzas externas a un sistema:
Donde la suma se extiende sobre todas las partículas del sistema, siendo: , cantidad de movimiento de la partícula i-ésima. , fuerza externa sobre la partícula i-ésima. Cualquier campo vectorial de desplazamientos virtuales sobre el conjunto de partículas que sea compatible con los enlaces y restricciones de movimiento existentes. El principio de d'Alembert es realmente una generalización de la segunda ley de Newton en una forma aplicable a sistemas con ligaduras, ya que incorpora el hecho de que las fuerzas de
ligadura no realizan trabajo en un movimiento compatible. Por otra parte el principio equivale a las ecuaciones de EulerLagrange. Lagrange usó este principio bajo el nombre de principio de velocidades generalizadas, para encontrar sus ecuaciones, en la memoria sobre las libraciones de la Luna de 1764, abandonando desde entonces el principio de acción y basando todo su trabajo en el principio de D'Alembert durante el resto de su vida y de manera especial en su Mécanique Analytique. Tal cambio de actitud pudo estar influido por dos razones:1
En primer lugar, el principio de acción estacionaria está ligado a la existencia de una función potencial, cuya existencia no requiere en el principio de d'Alembert.
En segundo lugar, el principio de acción se presta a interpretaciones filosóficas gustaban a Lagrange.
y teleológicas que
no
le
Finalmente debe señalarse que el principio de d'Alembert es peculiarmente útil en la mecánica de sólidos donde puede usarse para plantear las ecuaciones de movimiento y cálculo de reacciones usando un campo de desplazamientos virtuales que sea diferenciable. En ese caso el cálculo mediante el principio de D'Alembert, que también se llama en ese contexto principio de los trabajos virtuales es ventajoso sobre el enfoque más simple de la mecánica newtoniana.
5.3.2 TRASLACIÓN, MOVIMIENTO GENERAL. Traslación Como
el
cuerpo
rotacional a=0 entonces
ROTACIÓN
no
CENTROIDAL
tiene
Y
movimiento
, la fuerza resultante pasa por el
centro de masa y se debe cumplir que
.
Rotación centroidal Se llama rotación centroidal a la rotación de un cuerpo alrededor de un eje fijo que pasa por su centro de masa y es perpendicular al plano de movimiento.
En este caso el sistema equivalente de las fuerzas aplicadas es un par y por consiguiente la fuerza resultante es cero. El par resultante igual a
es
Rotación no centroidal El sistema equivalente para esteDonde IO es el momento de caso se representa en la figurainercia del cuerpo con respecto al eje que pasa por O y es 3-21. perpendicular al plano de Si se toma momentos con movimiento. A diferencia de la respecto a O se tienerotación centroidal, la fuerza resultante en el caso de rotación , no centroidal es diferente de ya que el momento de escero ya que el centro de masa posee aceleración. El hecho de cero. Pero resaltar en la rotación no y como entonces centroidal es que la ecuación [313] es de la misma forma que la [3-13] ecuación [3-11] lo cual no se cumple para cualquier otro punto.
Movimiento plano general La ecuación [3-13] también se cumple en movimiento plano general en dos casos: 1. Si se toman momentos con respecto a un punto que no tenga aceleración peroVeamos: que se puede estar moviendo. Si el punto O no tiene aceleración, 2. Cuando se toman[Fig. 3-22], al tomar momentos con a O se tiene momentos con respecto a unrespecto punto cuya aceleración está dirigida hacia el centro de masa.
Si el punto O tiene aceleración dirigida hacia C, [Fig. 3-23], la aceleración de C es
Tomando momentos con respecto a O se tiene:
5.4 TRABAJO Y ENERGÍA. Se denomina trabajo infinitesimal, al producto escalar del vector fuerza por el vector desplazamiento.
Donde Ft es la componente de la fuerza a lo largo del desplazamiento, ds es el módulo del vector desplazamiento dr, y el ángulo que forma el vector fuerza con el vector desplazamiento.
El trabajo total a lo largo de la trayectoria entre los puntos A y B es la suma de todos los trabajos infinitesimales
Su significado geométrico es el área bajo la representación gráfica de la función que relaciona la componente tangencial de la fuerza Ft, y el desplazamiento s.
Ejemplo: 1 Calcular el trabajo necesario para estirar un muelle 5 cm, si la constante del muelle es 1000 N/m. La fuerza necesaria para deformar un muelle es F=1000·x N, donde x es la deformación. El trabajo de esta fuerza se calcula mediante la integral
El área del triángulo de la figura es (0.05·50)/2=1.25 J Cuando la fuerza es constante, el trabajo se obtiene multiplicando la componente de la fuerza a lo largo del desplazamiento por el desplazamiento. W=Ft·s
Ejemplo: 2 Calcular el trabajo de una fuerza constante de 12 N, cuyo punto de aplicación se traslada 7 m, si el ángulo entre las direcciones de la fuerza y del desplazamiento son 0º, 60º, 90º, 135º, 180º.
Si la fuerza y el desplazamiento tienen el mismo sentido, el trabajo es positivo
Si la fuerza y el desplazamiento tienen sentidos contrarios, el trabajo es negativo
Si la fuerza es perpendicular al desplazamiento, el trabajo es nulo.
5.4.1 TRABAJO DE UNA FUERZA. El trabajo W es una magnitud escalar que, como veremos, da la cantidad de energía cinética transferida por una fuerza. En la siguiente figura se ha representado una partícula que se desplaza por una trayectoria C entre los puntos A y B. Sobre ella actúa una fuerza F. Su vector desplazamiento, tangente a la trayectoria en cada punto, es dr.
El trabajo de dicha fuerza se define: Trabajo de una fuerza Las unidades de trabajo en el Sistema Internacional son los julios (J). 1 julio es el trabajo realizado por una fuerza de 1 N en un desplazamiento de 1 m, y su nombre fue elegido en honor del físico inglés James Prescott Joule (1818-1889), que estudió la naturaleza del calor y descubrió su relación con el trabajo. La integral que aparece en la definición anterior se denomina integral de línea y se calcula a lo largo de la trayectoria especificada (C). La razón de especificar la trayectoria a lo largo de la cual se calcula el trabajo es que, en general, el trabajo de una fuerza es distinto dependiendo de la trayectoria que describe la partícula cuando se desplaza desde su posición inicial A hasta la posición final B.
Como en la definición de trabajo aparece un producto escalar (que depende del ángulo formado por los vectores F y dr), este producto escalar dependerá en general de la trayectoria descrita por la partícula.
Si sobre un cuerpo actúan varias fuerzas, el trabajo total es la suma del trabajo de cada una de las fuerzas que actúan sobre el cuerpo: Trabajo de N fuerzas actuando sobre una partícula. De la definición de trabajo se deduce lo siguiente: El trabajo de una fuerza perpendicular a la trayectoria de una partícula es nulo, ya que F y dr son perpendiculares y su producto escalar es nulo. Cuando el ángulo que forman los vectores F y dr es mayor que 90º el trabajo es negativo. En particular, el trabajo de la fuerza de rozamiento que se opone al movimiento es negativo.
5.4.2 ENERGÍA CINÉTICA. Supongamos que F es la resultante de las fuerzas que actúan sobre una partícula de masa m. El trabajo de dicha fuerza es igual a la diferencia entre el valor final y el valor inicial de la energía cinética de la partícula.
En la primera línea hemos aplicado la segunda ley de Newton; la componente tangencial de la fuerza es igual a la masa por la aceleración tangencial. En la segunda línea, la aceleración tangencial at es igual a la derivada del módulo de la velocidad, y el cociente entre el desplazamiento ds y el tiempo dt que tarda en desplazarse es igual a la velocidad v del móvil. Se define energía cinética como la expresión
El teorema del trabajo-energía indica que el trabajo de la resultante de las fuerzas que actúa sobre una partícula modifica su energía cinética.
Ejemplo 1: Hallar la velocidad con la que sale una bala después de atravesar una tabla de 7 cm de espesor y que opone una resistencia constante
de F=1800 N. La velocidad inicial de la bala es de 450 m/s y su masa es de 15 g. El trabajo realizado por la fuerza F es -1800·0.07=-126 J
La velocidad final v es
5.4.3 PRINCIPIO DE CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA. Si solamente una fuerza conservativa F actúa sobre una partícula, el trabajo de dicha fuerza es igual a la diferencia entre el valor inicial y final de la energía potencial
Como hemos visto en el apartado anterior, el trabajo de la resultante de las fuerzas que actúa sobre la partícula es igual a la diferencia entre el valor final e inicial de la energía cinética.
Igualando ambos trabajos, obtenemos la expresión del principio de conservación de la energía EkA+EpA=EkB+EpB La energía mecánica de la partícula (suma de la energía potencial más cinética) es constante en todos los puntos de su trayectoria.
Principio de conservación de la energía
Un cuerpo de 2 kg se deja caer desde una altura de 3 m. Calcular 1. La velocidad del cuerpo cuando está a 1 m de altura y cuando llega al suelo, aplicando las fórmulas del movimiento rectilíneo uniformemente acelerado 2. La energía cinética potencial y total en dichas posiciones Tomar g=10 m/s2
Posición inicial x=3 m, v=0.
Ep=2·10·3=60 J, Ek=0, EA=Ek+Ep=60 J
Cuando x=1 m
Ep=2·10·1=20 J, Ek=40, EB=Ek+Ep=60 J
Cuando x=0 m
Ep=2·10·0=0 J, Ek=60, EC=Ek+Ep=60 J
La energía total del cuerpo es constante. La energía potencial disminuye y la energía cinética aumenta.
Ejemplo 1: Un bloque de masa 0.2 kg inicia su movimiento hacia arriba, sobre un plano de 30º de inclinación, con una velocidad inicial de 12 m/s. Si el coeficiente de rozamiento entre el bloque y el plano es 0.16. Determinar:
la longitud x que recorre el bloque a lo largo del plano hasta que se para
la velocidad v que tendrá el bloque al regresar a la base del plano
Cuando el cuerpo asciende por el plano inclinado
La energía del cuerpo en A es EA=½0.2·122=14.4 J
La energía del cuerpo en B es EB=0.2·9.8·h=1.96·h =0.98·x J
El trabajo de la fuerza de rozamiento cuando el cuerpo se desplaza de A a B es
W=-Fr·x=-μ·mg·cosθ·x=-0.16·0.2·9.8·cos30·x=-0.272·x J De la ecuación del balance energético W=EB-EA, despejamos x=11.5 m, h=x·sen30º=5.75 m
Cuando el cuerpo desciende
La energía del cuerpo es EB=0.2·9.8·h=1.96·h =0.98·x=0.98·11.5=11.28 J
La energía del cuerpo en la base del plano EA==½0.2·v2
El trabajo de la fuerza de rozamiento cuando el cuerpo se desplaza de B a A es
en
B
W=-Fr·x=-μ·mg·cosθ·x=-0.16·0.2·9.8·cos30·11.5=-3.12 J De la ecuación del balance energético W=EA-EB, despejamos v=9.03 m/s.
Ejemplo 2: Una partícula de masa m desliza sobre una superficie en forma de cuarto de circunferencia de radio R, tal como se muestra en la figura. Las fuerzas que actúan sobre la partícula son:
El peso mg
La reacción de la superficie N, cuya dirección es radial
La fuerza de rozamiento Fr, cuya dirección es tangencial y cuyo sentido es opuesto a la velocidad de la partícula.
Descomponiendo el peso mg, a lo largo de la dirección tangencial y normal, escribimos la ecuación del movimiento de la partícula en la dirección tangencial
mat =mg·cosθ-Fr Donde at=dv/dt es la componente tangencial de la aceleración. Escribimos en forma de ecuación diferencial la ecuación del movimiento
Calculamos el trabajo Wr realizado por la fuerza de rozamiento. La fuerza de rozamiento es de sentido contrario al desplazamiento
Teniendo en cuenta que el deslazamiento es un pequeño arco de circunferencia dl=R·dθ y que
El trabajo realizado por la fuerza no conservativa Fr vale
Si el móvil parte del reposo v=0, en la posición θ=0. Cuando llega a la posición θ
La energía cinética se ha incrementado en mv2/2.
La energía potencial ha disminuido en mgRsenθ.
El trabajo de la fuerza de rozamiento es igual a la diferencia entre la energía final y la energía inicial o bien, la suma de la variación de energía cinética más la variación de energía potencial. El trabajo total de la fuerza de rozamiento cuando la partícula describe el cuarto de círculo es
5.4.4 POTENCIA. Dicha función escalar se denomina energía potencial, y sólo depende de las coordenadas. Las fuerzas conservativas son muy importantes en Física, ya que fuerzas como la gravitatoria o la elástica son conservativas. Como veremos a continuación, cada una de estas fuerzas lleva asociada su propia energía potencial. Puede demostrarse (con ayuda del teorema fundamental de las integrales de línea) que el trabajo de una fuerza conservativa viene dado por:
Cualquier fuerza constante es una fuerza conservativa. Como ejemplo de fuerza constante trataremos el peso, es decir, la fuerza gravitatoria cerca de la superficie de la Tierra. Como vimos en el apartado Ejemplos de fuerzas, el peso es una fuerza constante que apunta hacia el centro de la Tierra. Vectorialmente, el peso es:
La energía potencial asociada a dicha fuerza (energía potencial gravitatoria) es:
Ya que:
El trabajo del peso es menos la variación de su energía potencial:
Ambas formas de calcular el trabajo dan obviamente el mismo resultado. La fuerza de un muelle viene dada por la ley de Hooke:
Y su energía potencial (energía potencial elástica) tiene que ser tal que:
Integrando esta ecuación entre cero y x se obtiene la expresión para la energía potencial:
Se ha tomado nivel cero de energía potencial a la posición de equilibrio. Por tanto la energía potencial elástica asociada a la deformación x es:
Una fuerza conservativa es aquella cuyo trabajo depende únicamente de las posiciones inicial y final de la partícula y no de la trayectoria que ésta ha descrito para ir desde la posición inicial a la final. Una consecuencia de este hecho es que el trabajo de una fuerza conservativa a lo largo de una trayectoria cerrada es cero:
Si el trabajo de una fuerza conservativca no depende del camino seguido por la partícula y el punto final coincide con el inicial, el trabajo de dicha fuerza es cero.
Utilizando la descomposición de Helmholtz una fuerza conservativa puede ser escrita como el gradiente de una función escalar cambiado de signo:
5.4.5 PRINCIPIO DEL IMPULSO Y DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO. La tasa de variación de la cantidad de movimiento con respecto al tiempo es igual a la fuerza neta que actúa sobre la partícula.
Si la fuerza neta que actúa sobre un objeto es igual a cero, la derivada de la cantidad de movimiento del objeto con respecto al tiempo es cero ⇒La cantidad de movimiento del objeto debe ser constante (primera ley de Newton)
Este es el caso de una partícula aislada (que no interacciona con el entorno). Consideremos un sistema compuesto por dos partículas que: - pueden interaccionar entre sí (ejercen fuerzas entre sí) - pero están aisladas del entorno que las rodea (no se ejerce ninguna fuerza externa sobre el sistema) En un determinado instante: Cantidad movimiento de la partícula 1
Cantidad movimiento de la partícula 2
Cantidad movimiento total
