Hallar la probabilidad de que al levantar unas fichas de dominó se obtenga un número de puntos mayor que 9 o que sea múltiplo de 4.
Dos hermanos salen de caza. El primero mata un promedio de piezas cada ! disparos y el segundo una pieza cada ca da disparos. "i los dos disparan al mismo tiempo a una misma pieza# $cu%l es la probabilidad de que la maten&
'a probabilidad de que un hombre viva ( a)os es * y la de que su mu+er viva ( a)os es ,-. "e pide calcular la probabilidad/ ,De que ambos vivan ( a)os.
De que el hombre viva ( a)os y su mu+er no.
De que ambos mueran antes de los ( a)os.
http://www.ugr.es/~jsalinas/weproble/indice.htm
PROBLEMAS RESUELTOS DE CÁLCULO DE PROBABILIDADES RESPUESTA DEL EJERCICIO 1.
Altube y Vitoria son dos estaciones metereológicas. Representaremos por A y V el que llueva respectivamente en Altube y Vitoria durante cualquier periodo de 24 horas en el mes de Junio; se observa que PA! " PV! " #$ 4# y que PA % V! " #$ 2&. 'eterm(nense las dos probabilidades condicionales PA)V! y PV)A!$ as( como la probabilidad total PA * V!. +,on independientes A y V0ara obtener las probabilidades condicionadas ap licamos la e1presión 023 56 7 0236 8 025-36 7 0256 8 023-5 6 que en nuestro caso ser%
P( A/V )=P( A∩V )P(V )=0,280,0==,!0"P(V / A)=P( A∩V )P(V )=0,280,0==,!0 0ara obtener la probabilidad total consideramos 023 # 56 7 0236 0256 : 023 56 con lo que resultar% 023 # ;6 7 0236 02;6 : 023 ;67 (# 4( (# 4( < (# = 7 (# ! "e dice que dos sucesos son independientes si su probabilidad compuesta es igual al producto de sus probabilidades incondicionales respectivas. 'a definición formal de independencia de dos sucesos es que se cumpla 025-36 7 0256 > 023-56 7 0236 0or consiguiente# teniendo en cuenta que la ley general de probabilidad compuesta se e1presa / 023 5 ? 888 @ A6 7 02368025-36802?-3 56 888 02A-3 5 ? 888 @6 podemos ver que en el caso de sucesos independientes la probabilidad compuesta toma la forma simBtrica 023 56 7 023680256. En nuestro caso resulta f%cil comprobar que los dos sucesos no son independientes ya que se tiene / 023-;6 C 0236 > 02;-36 C 02;6 023 ;6 C 0236802;6
Ejercicos resueltos de cálculo de probabilidades - Enunciado 3 n mecanismo el/ctrico que contiene cuatro interruptores sólo 0unciona cuando todos ellos est1n cerrados. n sentido probabil(stico$ los interruptores son independientes en lo que se re3ere al cierre o a la apertura$ y$ para cada uno de ellos$ la probabilidad de que no 0uncione es #$. 5alc6lese la probabilidad de que no 0uncione el mecanismo en con7unto$ despreciando todas las causas que pueden hacer que el mecanismo no 0uncione$ e8cepto los propios interruptores.
RESPUESTA DEL EJERCICIO 3.
epresentando por F el hecho de que el mecanismo no funcione y por F el suceso complementario# es decir# que el mecanismo funcione# aplicamos el a1 ioma enunciado en el problema anterior 2propiedad ,6 y tenemos /
P(F )=%&P(F ') 'lamando ", al suceso de que el interruptor , estB cerrado y " , al suceso complementario 2que estB abierto6# se sabe que P(S'%)=0,% # luego/
P(S'%)=%&P(S'%)=0, G an%logamente para los otros interruptores. El mecanismo solo funciona cuando los interruptores est%n cerrados# y esto corresponde al suceso compuestoS%∩S2∩S∩S# luego/
P(S%∩S2∩S∩S) 3plicando ahora el teorema sobre la ley de la probabilidad compuesta para sucesos independientes# tenemos /
P(S%∩S2∩S∩S)=P(S%)P(S2)P(S)P(S)=
=(0,)(0,)(0,)(0,)=0,*+*% y a partir de ah /
P(F ')=0,*+*%P(F )=%&0,*+*%=0,
Esta es la forma m%s sencilla de resolver el problema# pero es instructivo resolverlo empleando el teorema de la ley general de la probabilidad total / 'a probabilidad 023 # 5 # 888 # A6 es igual a la suma algebraica de las probabilidades de los sucesos en todas las combinaciones posibles distintas# es decir# suceso único# pare+as# ternas# I # A
P(F )=P(S'%#S'2#S'#S')=P(S'%)-P(S'2)-P(S')-P( S')&P(S'%∩S'2)
&P(S'%∩S')&P(S'%∩S')&P(S'2∩S')&P(S'2∩S')&P (S'∩S')-P(S'%∩S'2∩S')-P(S'%∩S'2∩S')-P(S'2∩S'∩S')P(S'%∩S'2∩S'∩S') Kbservamos que hay cuatro sucesos simples# seis pare+as# cuatro temas y un cuarteto. ?omo los sucesos son independientes# la probab ilidad compuesta es igual al producto de las probabilidades simples correspondientes# y como Bstas son uniformes# podemos agrupar los tBrminos del mismo grado escribiendo / 02F6 7 4.2(#,6 < L.2(#,6 4.2(#,6 < 2(#,64 7 (#4 < (#(L (#((4 < (#(((, 7 (#49 ;emos que# aunque este mBtodo de solución es mucho m%s complicado que el primero y no es recomendable en una situación en la que aquel se pueda aplicar# conduce a la respuesta correcta# e ilustra el hecho general de que todos los mBtodos que utilizan los principios matem%ticos adecuados de forma v%lida# llevar%n a los mismos resultados.
Ejercicos resueltos de cálculo de probabilidades - Enunciado 4 n un almacn se tiene ue despachar *0 pedidos, 1 se sabe ue + de ellos son de una cierta mercanca 3. 4i se cumplimentan los *0 pedidos al a5ar, 6cual es la probabilidad de ue el primero 1 el cuarto pedido sean de la mercanca 3 1 de ue simult7neamente no lo sean el segundo 1 el tercero. 69ual es la probabilidad de ue en los cuatro primeros pedidos a cumplimentar ha1a al menos dos pedidos de la mercanca 3
RESPUESTA DEL EJERCICIO 4.
;amos a representar por 3 el suceso consistente en q ue un pedido determinado que se estB despachando sea de la mercanca 3# y por 3 el suceso complementario consistente en que no sea de la mercanca 3. ?omo la probabilidad de que un pedido determinado se refiera a una clase de mercanca determinada 2sea 3 ó 36 est% influida por el número de pedidos de la misma clase que se hayan despachado antes# este problema ilustra la ley general de la probabilidad compuesta# e1presada en la 'ey general de la probabilidad compuesta /
P( A∩B∩C∩M∩N)=
=P( A);P(B/ A);P(C/ A∩B);;;P(N/ A∩B∩C∩M) Mna buena forma de considerar el problema es imaginar un mazo de L( cartas# todas iguales # e1cepto que ! de ellas est%n se)aladas con 3 y !! se)aladas con 3. 'a acción de cumplimentar los pedidos se puede asociar a la de sacar cartas de un mazo bien bara+ado# de forma que todas las cartas que se pueden sacar en una prueba determinada tienen las mismas probabilidades de ser elegidas. El suceso de que los pedidos primero y cuarto sean de la mercanca 3 y el segundo y tercero no # corresponde a sacar la sucesión de cartas 3 #3 # 3# 3. ?omo hay ! cartas se)aladas con 3# la probabilidad de que la primera carta sea una 3 es !-L(. En la segunda prueba hay !9 cartas en la bara+a# y !! de ellas est%n se)aladas con 3. 'uego la
probabilidad condicionada de que la segunda carta sea una 3 es !!-!9. En la tercera prueba quedan != cartas# y !4 de ellas est%n se)aladas con 3. 'uego# la probabilidad condicionada de que la tercera carta sea una 3 es !4-!=. Finalmente# en la cuarta prueba quedan !N cartas# de las cuales 4 est%n se)aladas con 3# luego la probabilidad de que la cuar ta carta sea una 3 es 4-!N. 0or tanto# multiplicando estas probabilidades de acuerdo con el teorema que e1presa la ley general de la probabilidad compuesta# obtenemos /
P( A, A', A', A)=(+/*0);(++/+);(+/+8);(/+!)=0,00+% "i llamamos E al suceso de que al menos dos pedidos de los cuatro primeros a cumplimentar sean de la mercanca 3# su probabilidad es igual a , < 02E6# siendo E el suceso de que los primeros cuatro pedidos contengan menos de dos pedidos de la mercanca 3# es decir# cero ó uno. 0ero la probabilidad de que ninguno de los pedidos sea de la mercanca 3 est% dada por/
P( A', A', A', A')=(++/*0);(+/+);(+/+8);(+2/+!)=0,*
?omo el suceso de que uno de los pedidos sea de la mercanca 3 puede ocurrir de cuatro formas mutuamente e1cluyentes# su probabilidad total es /
P(%)=P( A, A', A', A')-P( A', A, A', A')-P( A', A', A, A')
-P( A', A', A', A)= =(+/*0);(+/+);(+/+8);(+/+!)-(++/*0);(+/+);(+/ +8);(+/+!)-(++/*0)(+/+)(+/+8)(+/+!)-(++/*0)(+/+)(+/+8) (+/+!)=0,2*0 0or todo ello tendremos /
P(E')=P(0)-P(%)=0,*-0,2*0=0,*8 y la probabilidad buscada es / 02E6 7 , < 02E6 7 , < (#9L=4 7 (.((,L
periencia ue los clientes ue tienen ?ondos su@cientes en sus cuentas corrientes ponen, por error, ?echa adelantada en los cheues una Ae5 cada %000, mientras ue los clientes ue @rman cheues sin ?ondos ponen siempre ?echa adelantada. l Bltimo grupo constitu1e el % C del total.
Jenemos dos posibles antecedentes de este cheque con fecha adelantada / el cliente puede pertenecer# o bien a la población de personas con fondos suficientes 25,6# siendo 025,6 7 (# 99# o bien al grupo de clientes con fondos insuficientes 256# siendo 0256 7 (#(,. 'as dos probabilidades condicionadas del suceso 3 vienen dadas por el enunciado del problema / 0oner fecha adelantada teniendo fondos 023-5l6 7 (#((,# y poner fecha adelantada no teniendo fondos# 023-56 7 ,#((. 0or lo tanto# utilizando el teorema de 5ayes# la probabilidad de que el cliente tenga fondos insuficientes es /
P(B2/ A)=0,0%D%,000,D0,00%-0,0%D%,00=0,% y la probabilidad de que tenga fondos suficientes /
P(B2/ A)=0,%D0,00%0,D0,00%-0,0%D%,00=0,0
