ESTADÍSTICA APLICADA
UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL “FRANCISCO DE MIRANDA”
ÁREA DE TECNOLOGÍA DEPARTAMENTO DE FÍSICA Y MATEMÁTICA U.C: ESTADÍSTICA
SANTA ANA DE CORO; MAYO DE 2013
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Licdo. Anthony Ramos (MSc)
ESTADÍSTICA APLICADA
Índice de Contenidos Medidas Descriptivas Numéricas Medidas de Tendencia Central: (datos agrupados) Media Aritmética. Mediana. Moda.
Medidas de Dispersión Absoluta: (datos agrupados) Rango. Varianza. Desviación Estándar.
Medidas de Dispersión Relativa: Coeficiente de Variación.
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Licdo. Anthony Ramos (MSc)
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Tema Nº 1.4.1 Medidas de Tendencia Central Introducción Existen medidas que con la ayuda de las representaciones gráficas de datos numéricos, nos permiten describir la distribución de frecuencia de esos datos y a través de ellas poder interpretarla, analizarla y compararla. Estas medidas se les conoce con el nombre de medidas descriptivas, y dentro de ellas se encuentran: las de tendencia central (media, mediana y moda, ect.), la de dispersión (rango, rango intercuartil, desviación media, varianza, desviación estándar, ect.), y las de posición (cuantiles, percentiles, ect).
Medidas de Tendencia Central: llamadas medidas de localización y sirven para determinar los valores centrales de una distribución; se da; para datos agrupados y no agrupados. Las medidas de tendencia central tales como: media aritmética (valor medio), mediana (valor central) y moda valor más común la podemos definir como aquellos cuyo valor central obtenido se considera típico del conjunto de datos del cual procede.
Datos Agrupados: cuando están los datos están organizados en una distribución de frecuencia.
1.4.1.1 Media Aritmética ó Promedio: es el centro físico del conjunto de datos, el valor más representativo del producto y se calcula con la siguiente fórmula: Frecuencia Absoluta Marca de clase
( Xi * fa ) X n
3
Número total de observaciones
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Ejemplo : Se tiene las calificaciones de 15 estudiantes de una sección de la asignatura matemática la cual se organizo en la siguiente tabla de frecuencia:
Límites Reales Li-Ls
Clases
11-12 13-14 15-16 17-18 19-20
10,5 12,5 14,5 16,5 18,5
fa
Fac
Xi
(Frecuencia absoluta)
(Frecuencia absoluta acumulada) 3 5 9 14 15
Marca de Clase
12,5 14,5 16,5 18,5 20,5
3 2 4 5 1
11,5 13,5 15,5 17,5 19,5
n= 15 X
X
Xi * fa n
Xi * f a n
(11,5 * 3) (13,5 * 2) (15,5 * 4) (17,5 * 5) (19,5 *1) 15
34,5 27 62 87,5 19,5 15
230,5 15
15,37
Interpretación: El promedio general de la sección es de 15,37 puntos. 1.4.1.2 Mediana: es el punto o valor central de todas las observaciones; indica un punto sobre o bajo el cual se encuentran el 50% de los datos, es decir, es un valor que divide a un conjunto de datos en dos partes iguales. Y la denotamos por “Me”. Se calcula con la siguiente fórmula:
Me Li
4
(n / 2 fac ) fa
* A
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Donde:
Li= límite inferior de la clase donde está la mediana. n/2= Este cociente nos da la posición aproximada de la mediana en la distribución, de acuerdo al número de datos Frecuencia Acumulada (fac) hasta la clase anterior a ella.
fac: es la frecuencia acumulada anterior a la clase medianal. fa: Frecuencia absoluta de la clase medianal. A: Amplitud de la clase medianal. (k)
Clases
Límites Reales Li-Ls
Fa
Fac
Xi
(Frecuencia absoluta)
Marca de Clase
11-12 13-14
10,5 12,5
12,5 14,5
3 2
(Frecuencia absoluta acumulada) 3 5
15-16
14,5
16,5
4
9
15,5
17-18 19-20
16,5 18,5
18,5 20,5
5 1
14 15
17,5 19,5
Límite inferior donde está la clase medianal
Frecuencia absoluta donde se encuentra la clase medianal
11,5 13,5
Frecuencia absoluta acumulada anterior donde se encuéntrala clase medianal
Clase Medianal Continuando con el ejemplo anterior: Se busca el intervalo donde está la mediana calculando
5
n
2
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y luego tomamos la frecuencia absoluta acumulada más próxima a este valor.
n
2
15 2
A= 2
Li=14,5
7,5
Me 14,5
Me 14,5 Me 14,5 Me 14,5
(lugar o posición)
(15 / 2 5) 4 (7,5 5) 4 (2,5) 4 (5)
*2
*2
*2
4
Me 14,5 1,25 Me 15,75
Resultado
Interpretación: el elemento 7,5 tiene 15,75 puntos que es el valor que tiene 50% de las observaciones por encima y el otro 50% por debajo.
1.4.1.3 Moda ó Modo: se calcula con la clase que tiene mayor frecuenta absoluta, utilizando la siguiente fórmula:
Mo: Li + A (
d 1 d 1 d 2
)
d1= Diferencia entre la frecuencia absoluta de la clase modal y la frecuencia absoluta inmediatamente anterior.
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d2= Diferencia entre la frecuencia absoluta de la clase modal y la frecuencia absoluta de la clase siguiente.
Li= Límite inferior de la clase modal (La de mayor frecuencia)
A= Amplitud de clase modal. (k)
Límites Reales Li-Ls
Clases
Fa
Fac
Xi
(Frecuencia absoluta)
Marca de Clase
11-12 13-14 15-16
10,5 12,5 14,5
12,5 14,5 16,5
3 2 4
(Frecuencia absoluta acumulada) 3 5 9
17-18
16,5
18,5
5
14
17,5
19-20
18,5
20,5
1
15
19,5
Límite inferior de la clase modal (La de mayor frecuencia)
11,5 13,5 15,5
d2= Diferencia entre la frecuencia absoluta de la clase modal y la clase siguiente (5-1)=4
d1= Diferencia entre la frecuencia absoluta de la clase modal y la clase anterior (5-4)=1
Clase Modal d1= 5-4 =1 d2= 5-1 =4
A= 2 Li= 16,5 Mo= Li+A
d 1 1 1 16 ,5 2 16 ,5 2 d 1 d 2 1 4 5
16,5 20,2 16,5 0,4 16,9
7
Resultado.
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Interpretación: 16,9 puntos es la calificación o valor más frecuente en las observaciones.
d1= fa de la clase modal (fa frecuencia absoluta de arriba). d2= fa de la clase modal (fa frecuencia absoluta de abajo).
Importante: La clase modal es aquella que tiene mayor frecuencia absoluta. 1.4.2 Medidas de Dispersión Absoluta: son parámetros o i ndicadores estadísti cos que muestr an la di stancia que exi ste entre los datos y la media ar itmé ti ca, es decir permiten retratar la distancia de los valores de la variable a un cierto valor central, o que permite identificar la concentración de los datos de un sector del recorrido de la variable. Dentro de los estadísticos más utilizados para medir la dispersión, podemos contar: el
rango, la varianza, la desviación estándar entre otros.
1.4.2.1 Rango: diferencia entre el valor máximo y mínimo del conjunto de observaciones indica la amplitud (distancia entre el primer y el último valor.). El rango refleja únicamente las dos puntuaciones extremas de la distribución. Se le llama también ancho o recorrido. Límite superior de la útil clase menos (-) el límite inferior de a clase inicial.
(k) Clases
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R= Límite superior-Límite Inferior R= 20-11 R= 9 Límites fa Xi (Frecuencia Marca de Clase Reales absoluta) Li-Ls
11-12
10,5
12,5
3
11,5
13-14
12,5
14,5
2
13,5
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15-16 17-18 19-20
14,5 16,5 18,5
16,5 18,5 20,5
4 5 1
15,5 17,5 19,5
Interpretación: Significa que la variabilidad máxima entre los datos (calificaciones) es de 9 puntos. 1.4.2.2 Varianza (S2): La varianza de las observaciones X1 ,X2,….Xn es el promedio del cuadrado de las distancias entre cada observación y media del conjunto. La dispersión de un conjunto de datos es pequeña o grande si los valores se agrupan en forma cerrada o se dispersan ampliamente en torno a su media, respectivamente. Su r esultado es difícil de interpr etar debido a que el mi smo es expr esado al cuadrado, un ejemplo de ello seria, al tener valores medidos en litros Las medidas de dispersión que toman en consideración lo anterior son, precisamente, la varianza y la desviación estándar.
(k) Clases
Límites Reales Li-Ls
Xi
(Frecuencia absoluta)
Marca de Clase
(Xi-X)2
11-12
10,5
12,5
3
11,5
(11,5 -15,37)
13-14
12,5
14,5
2
13,5
(13,5-15,37)2
15-16 17-18
14,5 16,5
16,5 18,5
4 5
15,5 17,5
(15,5-15,37) (17,5-15,37)2
19-20
18,5
20,5
1
19,5
(19,5-15,37)
Ejemplo: Tomamos
X= 15,37
9
fa
2
2
el resultado de la media aritmética o promedio del ejemplo anterior: Media Aritmética
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Límites Reales Li-Ls
(k) Clases
fa
Xi
(Frecuencia absoluta)
Marca de Clase
fa*(Xi-X)2
11-12
10,5
12,5
3
11,5
44,93
13-14
12,5
14,5
2
13,5
6,99
15-16
14,5
16,5
4
15,5
0,07
17-18 19-20
16,5 18,5
18,5 20,5
5 1
17,5 19,5
22,68 17,06 ∑91,73
Utilizamos la fórmula de la varianza: fa * ( Xi X ) S
2
n 1
S
91,73 14
VARIANZA
6,55
1.4.2.3 Desviación Estándar: Esta medida de variabilidad permite estudiar de que manera los valores se alejan y se acercan con respecto al promedio central de los datos. El grado de dispersión de una serie de datos alrededor de la media aritmética nos indicará el grado de homogeneidad o heterogeneidad de los datos, si estos son iguales entre sí, no ha dispersión por consiguiente a mayor desviación típica mayor dispersión en la serie de datos que conforman un grupo. S=
2
S
=
6,55 = 2,56
Interpretación: La calificación promedio de la sección es de 15,37 puntos con una desviación estándar de más o menos de 2,56 puntos.
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El rango de :
D. E - X + D.E
2,56 - (15,37) + 2,56 Interpretación: Se dice entonces que entre 12,81 puntos y 17,93 puntos es el rango donde están la mayoría de las calificaciones.
1.4.3 Medidas de Dispersión Relativa: son de gran utilidad, debido a que permiten comparar dos o más series que presentan características distintas en cuanto a magnitudes o en unidades originales de la distribución. El coeficiente de variación, es la medida más representativa de la dispersión relativa y resulta muy útil cuando: Los datos son expresados en unidades diferentes como sería la comparación entre bolívares y peso. Los datos son expresados en las mismas unidades pero diferentes en magnitudes, por ejemplo el costo en bolívares en el kilo de café y el costo de barriles de petróleo.
1.4.3.1 Coeficiente de Variación: Esta medida sirve para comparar las dispersiones de dos o más distribuciones, establece la relación entre la desviación estándar y la media aritmética y se expresa generalmente en por cientos:
Utilizando el ejemplo anterior
11
0
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=16%
Interpretación: los datos tienen una variabilidad de 16% . Vamos a imaginar que realizamos otra tabla de frecuencias calculando las medidas de tendencia central y de dispersión la cual arrojo como resultado en la desviación típica 1,05 y media aritmética 11,01 procedemos a calcular el coeficiente de variación
0
=9,50%
Interpretación: los datos tienen una variabilidad de 9,50% .
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