002 Datos Numericos Medidas Tendencia Central Ago2015

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E14-710 Pr Probabilidad y Estadística

Semestre IV y VI

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Semestre IV y VI

Tema: Datos Numéricos Medidass de Tendenc Medida endencia ia Central y Medidas de Dispersión

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Tema: Datos Numéricos Medidass de Tendenc Medida endencia ia Central y Medidas de Dispersión

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Temas a revisar Medidas de tendencia central • • • •

Población y muestra Media (aritmética y ponderada), mediana y moda Sumatorias Aplicación a los negocios

Medidas de variación 1. La amp amplit litud ud 2. Varianza y desviación desviación estánda estándar r

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Medidas de Tendencia Central y Medidas de Variación o Dispersión presente tema, el alumno alumno calculará calculará la me Objetivo: En el presente medi diaa ar arit itmé méti tica ca, la media me dia pon ponde dera rada da, la mediana, la moda y la me medi diaa ge geom omét étri rica ca. Explicará las ca las carract cter erís ísti tica cas, s, uso sos, s, ve ven nta taja jas s y des esve vent ntaj aja as de ca cad da me medi dida da de ubicación. Así como Identificar la posición de la media, la mediana y la moda para las distribuciones simétrica y sesgada.

Objetivo: El alumno calcular e interpretar el rango, la de desv sviac iación ión me media dia, la varianza y la des desvia viació ción n es están tándar dar y y comprenderá las características, usos, ventajas y desventajas de cada medida de dispersión.

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Medidas de Tendencia Central y Medidas de Variación o Dispersión umééricas de describ ibiir datos cuantitativ ivo os: Se presentarán dos formas num dida dass de ub ubic icaaci ción ón y las me medi dida dass de di disspe perrsi sión ón.. A las medidas de las medi ubicación a menudo se les llama promedios . El propósito de una medida de ubicación consiste en señalar el centro de un conjunto de valores. Todos estamos familiarizado con el concepto de promedio, medida de ubicación que muestra el valor central de los datos. Los pr Los pro ome medi dio os apar are ece cen n di dia ari rio o en te tele levi visi sió ón, en el pe peri riód ódic ico o y ot otrras publicaciones, como ejemplo:

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Medidas de Tendencia Central y Medidas de Variación o Dispersión Se presentarán dos formas numéricas de describir datos cuantitativos: las medidas de ubicación y las medidas de dispersión. A las medidas de ubicación a menudo se les llama promedios. El propósito de una medida de ubicación consiste en señalar el centro de un conjunto de valores. Todos estamos familiarizado con el concepto de promedio, medida de ubicación que muestra el valor central de los datos. Los promedios aparecen diario en televisión, en el periódico y otras publicaciones, como ejemplo:

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Medidas de Tendencia Central y Medidas de Variación o Dispersión Se presentarán dos formas numéricas de describir datos cuantitativos: las medidas de ubicación y las medidas de dispersión. A las medidas de ubicación a menudo se les llama promedios. El propósito de una medida de ubicación consiste en señalar el centro de un conjunto de valores. Todos estamos familiarizado con el concepto de promedio, medida de ubicación que muestra el valor central de los datos. Los promedios aparecen diario en televisión, en el periódico y otras publicaciones, como ejemplo:

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Medidas de Tendencia Central y Medidas de Variación o Dispersión Ejemplo: Suponga que el ingreso anual promedio de los ejecutivos de compañías relacionadas con Internet es de $80 000 y que el ingreso promedio de ejecutivos de compañías Desarrolladoras de Software es también de $80 000. Si solo atiende a los ingresos promedio, podría concluir, equivocadamente, que las dos distribuciones de salarios son idénticas o casi idénticas. Revisando los rangos salariales, se encuentra que esta conclusión no es correcta. Los salarios de los ejecutivos en las empresas de Internet van de $70 000 a $90 000, en cambio los salarios de los ejecutivos de las empresas Desarrolladoras de Software va de $40 000 a $120 000.

Por consiguiente, aunque los salarios promedio son los mismos en las dos industrias, hay mas propagación o dispersión en los salarios de los ejecutivos de la compañía Desarrolladora de Software. Para describir la dispersión considere el rango, la desviación media, la varianza y la desviación estándar.

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Medidas de Tendencia Central y Medidas de Variación o Dispersión Medidas de Tendencia Central: Son indicadores estadísticos que muestran hacia que valor (o valores) se agrupan los datos.

Media Aritmética Medidas de Ubicación

Mediana

(MTC)

Descripción de Datos:

Moda

Medidas Numéricas

Rango

Medidas de Dispersión (MVD)

Desviación Media Variación Estándar Varianza

Propósito es señalar el centro de un conjunto de valores.

También llamadas variación o propagación. Nos indican cómo es la dispersión de los datos analizados.

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Medidas de Tendencia Central y Medidas de Variación o Dispersión Población (N): Conjunto de individuos u objetos de interés o medidas obtenidas a partir de todos los individuos u objetos de interés.

Muestra (n): Porción o parte de la población de interés.

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Medidas de Tendencia Central y Medidas de Variación o Dispersión Razones por las que se toman muestras: --Rapidez y Economía. --Las cadenas de televisión hacen un monitoreo continuo de la popularidad de sus programas contratando a compañías especializadas y a otras organizaciones con el fin de que éstas tomen muestras sobre las preferencias de los tele-espectadores.

--Las áreas de control de calidad toman una muestra para analizar el producto y asegurar que la producción total tendrá los estándares estipulados. --Las empresas hacen pruebas exhaustivas con las muestras seleccionadas a fin de encontrar algo sobre una característica específica de la población.

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Medidas de Tendencia Central y Medidas de Variación o Dispersión Media Poblacional En el caso de los datos en bruto, que no han sido agrupados en una distribución de frecuencias, la media poblacional es la suma de todos los valores en la población dividida entre el numero de valores de la población. La fórmula de la media poblacional es la siguiente:

en la cual: μ representa la media poblacional, se trata de la letra minúscula griega mu. N es el numero de valores en la población. X representa cualquier valor particular (observación). Σ es la letra mayúscula griega sigma e indica la operación de suma. ΣX i es la suma de X valores en la población.

Cualquier característica medible de una población recibe el nombre de

parámetro. La media de una población es un parámetro.

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Medidas de Tendencia Central y Medidas de Variación o Dispersión Media de una muestra Para el caso de los datos en bruto, de los datos no agrupados, la media es la suma de los valores de la muestra, divididos entre el número total de valores de la muestra.

Su fórmula es la siguiente: en la cual: es la media de la muestra, se lee ‘ X barra’ . X son las observaciones, individuos o datos. n es el numero de valores de la muestra.

La media de una muestra o cualquier otra medición basada en una muestra de datos recibe el nombre de estadístico.

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Medidas de Tendencia Central y Medidas de Variación o Dispersión PARÁMETRO: Característica de una población.

ESTADÍSTICO: Característica de una muestra. Propiedades de la media aritmética La media aritmética es una medida de ubicación muy utilizada. Las propiedades más importantes son las siguientes:

1. Todo conjunto de datos de intervalo posee una media. 2. Todos los valores se encuentran incluidos en el cálculo de la media. 3. La media es única. Solo existe una media en un conjunto de datos. La media se ve afectada en exceso por valores grandes o pequeños poco comunes.

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Medidas de Tendencia Central y Medidas de Variación o Dispersión Ejemplo 1: Hay 12 compañías fabricantes de automóviles en Estados Unidos. Enseguida aparece la lista del numero de patentes concedidas por el Gobierno de Estados Unidos a cada compañía en un año reciente.

¿Representa esta información una muestra o una población? ¿Cuál es la media aritmética del numero de patentes concedidas?

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Medidas de Tendencia Central y Medidas de Variación o Dispersión Ejercicio 1: Telmex estudia la cantidad de minutos que emplean sus clientes en un plan tarifario de cierto teléfono celular. Una muestra aleatoria de 12 clientes arroja la siguiente cantidad de minutos empleados el mes pasado.

¿Cuál es valor de la media aritmética de los minutos empleados?

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Medidas de Tendencia Central y Medidas de Variación o Dispersión Ejercicio 1: Los ingresos anuales de una muestra de empleados de gerencia media en Westinghouse son: $62 900, $69 100, $58 300 y $76 800. a ) Proporcione una fórmula para la media muestral. b ) Determine la media muestral. c ) ¿Es la media que calculó en el inciso b) un estadístico o un parámetro?

¿Por qué razón? d ) ¿Cuál es su mejor aproximación de la media de la población?

Ejercicio 2: Todos los estudiantes de Ciencias Avanzadas de la Computación de la clase 411 constituyen una población. Sus calificaciones en el curso son de 92, 96, 61, 86, 79 y 84. a ) Proporcione la formula de la media poblacional. b ) Calcule la calificación media del curso. c ) ¿Es la media que calculó en el inciso b ) un estadístico o un parámetro?

Por qué razón?

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Medidas de Tendencia Central y Medidas de Variación o Dispersión Tarea: Una compañía farmacéutica grande contrata graduados de administración de empresas para vender sus productos. La compañía se expande rápidamente y dedica un día a capacitar en ventas a los nuevos vendedores. El objetivo que la compañía fija a cada nuevo vendedor es de $10,000 mensuales. Este se basa en las ventas promedio actuales de toda la compañía, que son de $10,000 mensuales. Después de revisar las retenciones de impuestos de los nuevos empleados, la compañía encuentra que solo 1 de cada 10 empleados permanece más de tres meses en la empresa. Haga algún comentario sobre la utilización de las ventas promedio actuales mensuales como objetivo de ventas para los nuevos empleados. ¿ Por qué abandonan

los empleados la compañía ?

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Examen Rápido: Conteste las siguientes preguntas: 1. ¿Cuál es el objetivo de elaborar la Tabla de Distribución de Frecuencia para datos agrupados? 2. ¿Qué nos representa la gráfica de Polígonos de Frecuencia acumulada? 3. ¿Con qué parámetros se elabora el histograma? 4. ¿Qué nos representa la siguiente gráfica?

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Objetivo: Revisar los conceptos de Media Aritmética (repaso), Media Ponderada, Mediana y Moda 13ª Clase

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Medidas de Tendencia Central y Medidas de Variación o Dispersión Media ponderada La media ponderada constituye un caso especial de la media aritmética y se presenta cuando hay varias observaciones con el mismo valor. La media ponderada se representa como X w, que se lee: “X subíndice w ” y su fórmula es: de forma abreviada

En este caso las ponderaciones son conteos de frecuencias. Sin embargo, cualquier medida de importancia podría utilizarse como una ponderación. En general, la media ponderada del conjunto de números representados como X 1, X 2 , X 3, …, X n con las ponderaciones correspondientes w 1, w 2 , w 3, … , w n. Una manera fácil para determinar el precio promedio de venta consiste en determinar la media ponderada. Para ello multiplique cada observación por el número de veces que aparece.

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Medidas de Tendencia Central y Medidas de Variación o Dispersión Un ejemplo podría ser la obtención de la calificación final de los cursos de licenciatura en la Universidad Politécnica de SLP. Se tienen 4 exámenes: 3 parciales con un peso de 20% y un final con un peso del 40%. Si un alumno tiene una calificación de 5.66 del primer parcial, 7.50 del segundo parcial, 8.30 del tercer parcial y 6.68 en el examen final. ¿Cuál será su calificación final? 5.66(0.2) + 8.50(0.2) + 9.30(0.2) +6.68(0.4) 7.364 1

1 7.364

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Medidas de Tendencia Central y Medidas de Variación o Dispersión Gráfica de Calificaciones y Media Ponderada

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Medidas de Tendencia Central y Medidas de Variación o Dispersión Ejemplo: Suponga que el Restaurante Vips vende refrescos medianos, grandes y gigantes a $0.90, $1.25 y $1.50. De las 10 ultimas bebidas vendidas 3 eran medianas, 4 grandes y 3 gigantes. Calcule el valor promedio de las bebidas. Aplicando la fórmula de la Media Aritmética, tenemos:

Pero como tenemos frecuencia de algunos datos, entonces aplicamos la fórmula de Media Ponderada.

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Medidas de Tendencia Central y Medidas de Variación o Dispersión Ejercicio 1: La Compañía Constructora Carter paga a sus empleados que trabajan por hora $16.50, $19.00 o $25.00 la hora. Hay 26 empleados contratados para trabajar por hora, 14 de los cuales reciben una paga con la tarifa de $16.50, 10 con la tarifa de $19.00 y 2 con la de $25.00. ¿Cuál es la tarifa promedio por hora que se paga a los 26 empleados?

Ejercicio 2: Springers vendio 95 trajes para caballero Antonelli a un precio normal de $400. Para la venta de primavera rebajaron los trajes a $200 y vendieron 126. Al final de la venta de liquidación, redujeron el precio a $100 y los restantes 79 trajes fueron vendidos. a ) ¿Cuál fue el precio promedio ponderado de un traje Antonelli? b ) Springers pago $200 por cada uno de los 300 trajes. Haga algún comentario sobre la ganancia de la tienda por traje, si un vendedor recibe $25 de comisión por cada traje que vende.

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Medidas de Tendencia Central y Medidas de Variación o Dispersión

Mediana Ya se ha insistido en que si los datos contienen uno o dos valores muy grandes o muy pequeños, la media aritmética no resulta representativa. Es posible describir el centro de dichos datos a partir de una medida de ubicación denominada mediana.

MEDIANA: Punto medio de los valores una vez que se han ordenado de menor a mayor o de mayor a menor. Si el grupo de datos es impar, será el centro y si el grupo de datos es par, será el promedio de los datos del centro. Propiedades: --A la mediana le afectan menos los valores extremos. --La mediana se determina para cualquier nivel de datos, excepto los nominales.

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Medidas de Tendencia Central y Medidas de Variación o Dispersión Suponga que busca un condominio en Privadas del Bosque. Su agente de bienes raíces le dice que el precio típico de las unidades disponibles en este momento es de $111 000. ¿Aún insiste en seguir buscando? Si usted se ha fijado un presupuesto máximo de $100 000, podría pensar que los condominios se encuentran fuera de su presupuesto. Sin embargo, la verificación de los precios de las unidades individuales podría hacerle cambiar de parecer. Los costos son de $60 000, $65 000, $70 000, $80 000 y de $275 000 en el caso de un lujoso penthouse. El importe promedio aritmético es de $111 000, como le informo el agente de bienes raíces, pero un precio ($275 000) eleva la media aritmética y lo convierte en un promedio no representativo. Parece que un precio de poco mas o menos $70 000 es un promedio mas típico o representativo, y así es. En casos como este, la mediana proporciona una medida de ubicación mas valida. El precio mediano de las unidades disponibles es de $70 000 Para determinarlo, ordene los precios de menor ($60 000) a mayor ($275 000) y seleccione el valor medio ($70 000). En el caso de la mediana los datos deben ser por lo menos de un nivel ordinal de medición.

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Medidas de Tendencia Central y Medidas de Variación o Dispersión Los rendimientos totales de tres años de los mejores fondos mutualistas accionarios de más alto desempeño se enlistan a continuación. ¿Cuál es el rendimiento mediano anualizado?

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Objetivo: Revisar los conceptos de Moda y Posiciones relativas de la Media, la Mediana y la Moda. 14ª Clase

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Medidas de Tendencia Central y Medidas de Variación o Dispersión MEDIANA: Punto medio de los valores una vez que se han ordenado de menor a mayor o de mayor a menor. Si el grupo de datos es impar, será el centro y si el grupo de datos es impar, será el promedio de los datos del centro. Media Ponderada

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Moda La moda es otra medida de ubicación, es de especial utilidad para resumir datos de nivel nominal.

Moda: Valor de la observación que aparece con mayor frecuencia. Una compañía creo cinco aceites para baño y para conocer la aceptación del producto, aplicó una encuesta de mercado diseñada para determinar que aceite para baño prefieren los consumidores. La mayoría de los encuestados se inclinó por Lamoure. La gráfica de barras muestra los resultados de la encuesta:

Por consiguiente, Lamoure representa la moda.

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Medidas de Tendencia Central y Medidas de Variación o Dispersión La moda tiene la ventaja de que no influyen en ella valores extremadamente grandes o pequeños.

En el caso de muchos conjuntos de datos no existe la moda, porque ningún valor se presenta mas de una vez. Por ejemplo: Los precios: $19, $21, $23, $20 y $18 no tienen moda por lo que se denomina amodal (sin moda). En el caso de algunos conjuntos de datos hay más de una moda. Ejemplo: La edades de los miembros de un club de inversionistas son 22, 26, 27, 27, 31, 35 y 35. Ambas edades, 27 y 35 son modas. Este agrupamiento de edades se denomina bimodal (tiene dos modas). En algunos casos se presenta moda multimodal (varias modas) o sólo una moda unimodal (una moda).

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Medidas de Tendencia Central y Medidas de Variación o Dispersión Ejercicios individuales: Ejercicio 1: Los salarios anuales de los Gerentes de Control de Calidad en algunos estados seleccionados aparecen enseguida. Encuentre la Moda.

Una revisión de los salarios revela que el salario anual de $60 000 se presenta con mayor frecuencia (seis veces) que otros salarios. Por tanto, la moda es $60 000 y es UNIMODAL.

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Medidas de Tendencia Central y Medidas de Variación o Dispersión Ejercicios individuales: Ejercicio 2: Una muestra de personas solteras en Toluca, Estado de México que reciben pagos por seguridad social reveló los siguientes subsidios mensuales: $852, $598, $580, $1 374, $960, $878 y $1 130. a) ¿Cuál es la mediana del subsidio mensual? b ) ¿Cuántas observaciones se encuentran debajo de la mediana? ¿Por encima de ella?

Ejercicio 3: El número de interrupciones de trabajo en la industria automotriz en meses muestreados son de 6, 0, 10, 14, 8 y 0. a) ¿Cuál es la mediana en el número de interrupciones? b ) ¿Cuántas observaciones se encuentran por debajo de la mediana? ¿Por encima de ella? c ) ¿Cuál es el número modal de interrupciones de trabajo?

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Medidas de Tendencia Central y Medidas de Variación o Dispersión Ejercicios individuales: 4. Big Orange Trucking disena un sistema de información que se utiliza para comunicaciones en cabina. Debe resumir datos de ocho sitios de cierta zona para describir condiciones típicas.

Calcule una medida adecuada de ubicación central para cada una de las tres variables que aparecen en la siguiente tabla:

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Medidas de Tendencia Central y Medidas de Variación o Dispersión Ejercicios individuales: 5. Represente la Moda en la siguiente gráfica.

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Medidas de Tendencia Central y Medidas de Variación o Dispersión DATOS AGRUPADOS Muchas veces no se tiene acceso a los datos originales (Obseervaciones), pero sí a la distribución de frecuencia. Cuando los datos se agrupan, las observaciones individuales pierden su identidad. Es posible determinar el número de observaciones que caen dentro de varios intervalos de clase, pero los valores reales no se pueden determinar.

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Medidas de Tendencia Central y Medidas de Variación o Dispersión Posiciones relativas de la media, la mediana y la moda

En una distribución SIMETRICA en forma de campana la media, la mediana y la moda son iguales. El siguiente histograma presenta una distribución simétrica que también tiene forma de campana. La distribución posee la misma forma a cualquier lado del centro, si el polígono estuviera doblado a la mitad, las dos mitades serian idénticas. En cualquier distribución simétrica la moda, la mediana y la media siempre son iguales.

En el ejemplo son equivalentes a 20 años.

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X=Me=Mo Distribución Simétrica

El número de años correspondiente al punto más alto de la curva y es la moda (20 años). Como la distribución es simétrica, la mediana corresponde al punto en el que la distribución se divide a la mitad (20 años). El número total de frecuencias que representan muchos años se encuentra compensado por el número total que representa pocos años, lo cual da como resultado una media aritmética de 20 años. Cualquiera de estas tres medidas seria adecuada para representar el centro de

la distribución.

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Medidas de Tendencia Central y Medidas de Variación o Dispersión Se acerca hacia el eje de las ‘Y’

Mo
Si una distribución no es simétrica (o asimétrica), o sesgada, la relación entre las tres medidas cambia. En una distribución con sesgo positivo la moda es menor que la media.

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Medidas de Tendencia Central y Medidas de Variación o Dispersión Se aleja del eje de las ‘Y’

X
Si una distribución tiene un Sesgo Negativo, la media es la menor a la moda..

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Medidas de Tendencia Central y Medidas de Variación o Dispersión Ejercicio individual para entregar: Las ventas semanales de una muestra de tiendas de suministros electrónicos de alta tecnología se organizaron en una distribución de frecuencias. La media de las ventas semanales que se calculó fue de $105 900, la mediana de $105 000 y la moda de $104 500. a) Tr ac e u n a g r af ic a d e l as v en t as c o n l a f o rm a d e u n p o líg o n o d e f rec u en c ias s u av izad o (p o líg o no d e f rec u en c ias c o n l os p u nt os d e u n ión n o en p ic o – redondeados). Observe la ubicación de la media, la mediana y la moda sobre el eje X. b ) ¿L a d i st ri b u ci ón es s i m é t ri c a, t ien e u n s es g o p o s it iv o o u n s es g o n eg at iv o ? Explique su respu esta.

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Medidas de Tendencia Central y Medidas de Variación o Dispersión Ejercicio individual para entregar: La tasa de desempleo en el estado de Alaska durante los 12 meses de 2004 aparece en la siguiente tabla:

a ) ¿Cual es la media aritmética para la tasa de desempleo en Alaska? b ) Encuentre la media y la moda para la tasa de desempleo. c ) Calcule la media aritmética y la mediana solo para los meses de invierno

(de diciembre a marzo). ¿Es muy diferente? d) ¿Como es su comportamiento? ¿Simétrico o Asimétrico?

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Datos Agrupados Muchas veces no se tiene acceso a los datos originales, pero sí la distribución de frecuencia. Cuando los datos se agrupan, las observaciones individuales pierden su identidad. Es posible determinar el número de observaciones que caen dentro de varios intervalos de clase, pero los valores reales no se pueden determinar.

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