ÍNDICE UNIDAD I
INICIO Y NECESIDAD DE LA GEOMETRÍA
Capítulo 1
4
Capítulo 3
Introducción ......................................................
5
Distancias entre puntos puntos y rectas ........................ 14
Capítulo 2
Capítulo 4
Posiciones relativas relativas entre rectas .......... ..................... ............... 10
Recordando lo aprendido ................................... 17
UNIDAD II
MIDIENDO LAS PRIMERAS FIGURAS GEOMÉTRICAS
19
Capítulo 1
Capítulo 4
Longitud del segmento de recta ......... .................... ............... .... 20
Plano cartesiano ................................................. 33
Capítulo 2
Identificación Identificac ión de ángulos ............... .......................... .................... ......... 25
Capítulo 5
Repaso bimestral ................................................ 38
Capítulo 3
Ángulos consecutivos ......................................... 29
UNIDAD III
SIMETRÍA
40
Capítulo 1
Capítulo 3
La simetría hecha arte ....................................... 41
Utilicemos la simetría en el plano cartesiano..... 53
Capítulo 2
Capítulo 4
Reflexionemos el espejo natural ........................ 47
Recordemos variando simetrías .......................... 58
UNIDAD IV
FIGURAS TRIANGULARES EN DIVERSOS OBJETOS Y CONSTRUCCIÓN DE TRIÁNGULOS
61
Capítulo 1
Capítulo 3
Los lados de un triángulo ........... ..................... ..................... ............... 62
Lados y ángulos del triángulo .......... .................... ................. ....... 71
Capítulo 2
Capítulo 4
Los ángulos de un triángulo .......... ..................... .................... ......... 67
Recordando lo aprendido .............................. ................................... ..... 75
ÍNDICE UNIDAD I
INICIO Y NECESIDAD DE LA GEOMETRÍA
Capítulo 1
4
Capítulo 3
Introducción ......................................................
5
Distancias entre puntos puntos y rectas ........................ 14
Capítulo 2
Capítulo 4
Posiciones relativas relativas entre rectas .......... ..................... ............... 10
Recordando lo aprendido ................................... 17
UNIDAD II
MIDIENDO LAS PRIMERAS FIGURAS GEOMÉTRICAS
19
Capítulo 1
Capítulo 4
Longitud del segmento de recta ......... .................... ............... .... 20
Plano cartesiano ................................................. 33
Capítulo 2
Identificación Identificac ión de ángulos ............... .......................... .................... ......... 25
Capítulo 5
Repaso bimestral ................................................ 38
Capítulo 3
Ángulos consecutivos ......................................... 29
UNIDAD III
SIMETRÍA
40
Capítulo 1
Capítulo 3
La simetría hecha arte ....................................... 41
Utilicemos la simetría en el plano cartesiano..... 53
Capítulo 2
Capítulo 4
Reflexionemos el espejo natural ........................ 47
Recordemos variando simetrías .......................... 58
UNIDAD IV
FIGURAS TRIANGULARES EN DIVERSOS OBJETOS Y CONSTRUCCIÓN DE TRIÁNGULOS
61
Capítulo 1
Capítulo 3
Los lados de un triángulo ........... ..................... ..................... ............... 62
Lados y ángulos del triángulo .......... .................... ................. ....... 71
Capítulo 2
Capítulo 4
Los ángulos de un triángulo .......... ..................... .................... ......... 67
Recordando lo aprendido .............................. ................................... ..... 75
UNIDAD V
TRACEMOS LÍNEAS NOTAB NOTABLES LES EN EL TRIÁNGULO
78
Capítulo 1
Capítulo 3
La mediatriz en el triángulo .......... .................... .................... .......... 79
La mediatriz y la bisectriz en el triángulo .......... 86
Capítulo 2
Capítulo 4
La altura en el triángulo .......... ..................... ..................... ............... ..... 83
Recordando lo aprendido ................................... 90
UNIDAD VI
UBIQUEMOS LOS PUNTOS NOTABLES EN EL TRIÁNGULO
95
Capítulo 1
Capítulo 3
Ubicación del circuncentro ......... .................... ..................... ............ 96
Ubicación del baricentro ........... ..................... ..................... .............. ... 103
Capítulo 2
Capítulo 4
Ubicación del ortocentro
UNIDAD VII
................... .......... ......
99
Ubicación del incentro .......... ..................... ..................... ................. ....... 107
FORMEMOS ECUACIONES CON LAS MEDIDAS DE SEGMENTOS Y DE ÁNGULOS
111
Capítulo 1
Capítulo 3
Operaciones con segmentos .......... ..................... .................... ......... 112
Ángulos entre dos rectas paralelas .................. ...................... 122
Capítulo 2
Capítulo 4
Sumando y restando restando ángulos consecutivo consecutivoss ....... 116
Recordemos lo aprendido .......... .................... ..................... .............. ... 128
UNIDAD VIII
ENCONTRANDO TRIÁNGULOS
131
Capítulo 1
Capítulo 3
Aplicando la suma de ángulos internos de un tiángulo en polígonos ......................................... 132
Recordemos lo aprendido .......... .................... ..................... .............. ... 143
Capítulo 2
Operaciones con líneas notables en el triángulos .......... ..................... ..................... ..................... ..................... ................ ...... 138
UNIDAD 1
INICIO Y NECESIDAD DE LA GEOMETRÍA
E
n la cultura egipcia hubo aportes muy importantes por la necesidad de construir y de aplicarlo en la división de terrenos destinados a su actividad económica más importante: La agricultura. Pero en Grecia fue donde se desarrolló la Geometría como ciencia, siendo "Euclides" considerado como el padre de la "Geometría Elemental".
APRENDIZAJES ESPERADOS
•
Identificar figuras geométricas a partir de los objetos que se conoce.
•
Diferenciar entre elemento y figura geométrica.
•
Usar herramientas como las escuadras y el compás.
•
Contar puntos de corte observando y analizando los gráficos.
•
Reconocer las diferentes distancias utilizando unidades de longitud.
Introducción En este capítulo aprenderemos: •
A relacionar los diferentes objetos que tienes a tu alrededor con elementos y figuras geométricas.
• •
A representar a los elementos geométricos. A diferenciar entre elementos y figuras geométricas.
Según nuestra perspectiva podemos encontrar elementos y figuras geométricas en todas partes. En la imagen mostrada, señala elementos y figuras geométricas.
m o c . d n u o r s i d l r o w . w w w / / : p t t h
Saberes previos
• Figuras planas
• Figuras espaciales
1
Introducción
Conceptos básicos
Definición de elementos geométricos Son las ideas obtenidas a partir de la necesidad de representar formas que no se les considera una medida, estas son: El punto Es la idea geométrica más pequeña y se le representa con una letra mayúscula.
A punto "A"
E punto "E"
La recta Es la idea geométrica formada por infinitos puntos sucesivos que se encuentran en una misma dirección y se le representa con una letra minúscula.
m
Recta n n
Recta m
El plano Es la superficie geométrica ilimitada que puede contener completamente puntos y rectas. A un plano se le representa generalmente por un cuadrilátero al cual se le da una letra mayúscula.
Q
Plano Q
Definición de figuras geométricas Es la idea obtenida a partir de la forma de un objeto. • Objetos y figuras geométricas:
Objeto: Dado Forma o figura geométrica : Cubo
Objeto: Pelota Forma o figura geométrica : Esfera
Atún
Objeto: Conserva de atún Forma o figura geométrica : Cilindro
1
Recuerda que Posiciones representativas de la recta
Vertical: n
Horizontal:
Oblicua: L
a Recta horizontal a Recta oblicua
L
Recta vertical n
Elementos contenidos en otros elementos geométricos
L
.B
F
A.
R
Punto "F" contenido en la recta L
Puntos "A" y "B" contenidos en el plano R
Recta n contenida en el plano W
n W
10 x 5 50
Aplica lo á comprendido s o c i s b s o t p e c n o C 1. Graficar el punto "A" contenido en un plano H. 4. Graficar una recta 2. Graficar una recta horizontal m y una recta vertical n que contengan a un punto "D". 3. Graficar tres rectas cualesquiera que pasen por un punto "C".
R
L contenida en el plano R.
Introducción
5. Graficar la recta o rectas que pueden pasar por 7. Graficar a los puntos "P"; "Q" y "R" contenidos dos puntos "A" y "B" a la vez. en la recta L y a los puntos "A" y "B" exterior (no contenidos) a L . 6. Graficar cuatro rectas cualesquiera que pasen por un punto "T". L
8. Marcar (V) si es verdadero o (F) si es falso, en las siguientes proposiciones: • • •
Por un punto pueden pasar infinitas rectas..................................................................... ( Por dos puntos puede pasar solamente una recta a la vez .............................................. ( Toda recta tiene una longitud determinada .................................................................... (
) ) )
9. Relacionar correctamente: I
a
II
III
B
B Q
A Triángulo
C
IV
Recta
C Cuadrilátero
10. Dar el nombre de las siguientes figuras geométricas:
A
D Plano
18:10:45
Practica enbásicos casa Conceptos 1. Graficar un punto "E" y tres rectas que contengan 6. Graficar el plano R y la recta m contenida a dicho punto. en ella, luego a los puntos "A" y "B" que pertenecen a m. 2. Graficar la recta a horizontal y los puntos "A"; "B" y "C" contenidos en ella. 7. ¿Cuántas rectas pasan por tres puntos no colineales? (Graficar) 3. Graficar la recta c horizontal y los puntos "M"; "N" y "K" exterior a ella . 8. ¿Cuántas rectas pasan por cinco puntos no colineales? (Graficar). 4. Graficar la recta n y los puntos "A" y "B" exterior a ella. 5. Graficar un plano T, luego la recta L y los puntos "M" y "N" contenidos en dicho plano .
¡Tú puedes!básicos Conceptos 1. Graficar un plano "P" y una recta L no contenida en dicho plano. 2. Indicar la cantidad de triángulos y cuadriláteros que se determinan en la siguiente gráfica.
3. Si la gráfica mostrada es la representación de un lápiz, indicar qué sólidos geométricos la conforman.
1
2
Posiciones relativas entre rectas En este capítulo aprenderemos: •
A reconocer las posiciones entre dos o más rectas en el plano.
•
A identificar el número mínimo y máximo de puntos de corte entre rectas en el plano.
Conceptos básicos
Definición de rectas paralelas •
Dos o más rectas son paralelas si no tienen ni un punto en común. m n
m y n son paralelas (m // n )
L1 L2 L3 L4 L1; L2; L3 y L4 son paralelas (L1 // L2 // L3 // L4)
Definición de rectas secantes •
Dos rectas son secantes si tienen un punto en común, llamado punto de intersección o punto de corte. a a y b son secantes en el punto "P". P
•
a y b se cortan en "P".
"P" es el punto de intersección. b Número de rectas secantes y número de puntos de corte. Tres rectas secantes
1 punto de corte
3 puntos de corte
2
Cuatro rectas secantes
1 punto de corte
4 puntos de corte
6 puntos de corte
Cinco rectas secantes
1 punto de corte
6 puntos de corte
10 puntos de corte
Ten en cuenta
•
Las rectas que pasan por un mismo punto se llaman rectas concurrentes, es decir que son rectas secantes con un solo punto de corte.
Seis rectas concurrentes
•
Para obtener el mayor o máximo número de puntos de corte entre rectas secantes, tres rectas no deben coincidir en un mismo punto, solo dos.
Seis rectas secantes dan como máximo 15 puntos de corte.
Posiciones relativas entre rectas
Ten en cuenta
•
Máximo número de puntos de corte entre rectas paralelas y secantes. Entre 2 paralelas y 1 secante
Entre 2 paralelas y 2 secantes
2 puntos de corte
Entre 3 paralelas y 2 secantes
7 puntos de corte
5 puntos de corte
Entre 2 paralelas y 3 secantes
9 puntos de corte
10 x 5 50
Aplica lo comprendido Conceptos básicos 1. En el gráfico, las rectas son: a) Paralelas b) Secantes c) Ninguna de las anteriores 2. Indicar si es verdadero (V) o falso (F) las siguientes proposiciones: • •
Dos rectas paralelas tienen un punto en común ............................................................. ( Si dos rectas tienen un punto en común, entonces son secantes .................................... (
3. Usando los términos del recuadro, completar las siguientes proposiciones: paralelas - triángulo - reglas - secantes escuadras - cuadrado - rectas - punto - obtienen • •
Si dos _____________ que pertenecen a un plano no tienen un _____________ en común, entonces son _____________ . Las _____________ que se utilizan son dos, porque se _____________ de la mitad de un _____________ y un _____________ equilátero.
) )
4. Graficar dos rectas paralelas y verticales. 5. Graficar dos rectas paralelas y horizontales.
8. Graficar cinco rectas paralelas oblicuas y una recta secante a las anteriores. ¿Cuántos puntos de corte hay?
6. Graficar dos rectas secantes: una horizontal y la 9. Graficar cuatro rectas secantes, obteniendo el otra vertical. mayor número de puntos de corte. 7. Graficar tres rectas concurrentes y una recta 10. Graficar las rectas a ; b ; c y d , tal que: a // b secante a las rectas anteriores. ¿Cuántos puntos y c // d . Calcular cuántos puntos de corte hay al de corte hay? intersectarse.
¡Tú puedes!básicos Conceptos 1. Calcular el máximo número de puntos de corte entre cinco rectas secantes. 2. Calcular el máximo número de puntos de corte entre seis rectas secantes. 3. Calcular el máximo número de puntos de corte entre cinco rectas paralelas y tres rectas secantes.
18:10:45
Practica en casa s o c i s á b s o t p e c n o C Calcular el máximo número de puntos de corte 5. Calcular el máximo número de puntos de corte entre tres rectas paralelas y dos rectas secantes. entre cuatro rectas secantes. (Graficar) (Graficar) 6. Calcular el máximo número de puntos de corte 2. Calcular el máximo número de puntos de entre tres rectas paralelas y tres rectas secantes. corte entre cuatro rectas paralelas y dos rectas (Graficar) secantes. (Graficar) 7. Calcular el máximo número de puntos de 3. Calcular el número de puntos de corte entre corte entre cinco rectas paralelas y dos rectas cinco rectas concurrentes y una recta secante a secantes. (Graficar) las anteriores. (Graficar) 8. Calcular el máximo número de puntos de 4. Calcular el máximo número de puntos de corte corte entre cuatro rectas paralelas y tres rectas entre dos rectas paralelas y tres rectas secantes. secantes. (Graficar) (Graficar) 1.
2
3
Distancias entre puntos y rectas En este capítulo aprenderemos: • •
A medir distancias entre puntos y rectas con el uso de una regla calibrada. A representar gráficamente la distancia entre un punto y una recta exterior.
•
A usar las escuadras para trazar perpendiculares.
Instrumentos de precisión ¿Qué es longitud?
Conceptos básicos
Distancia entre dos puntos La distancia entre dos puntos es la longitud del segmento de recta que tiene por extremos a dichos puntos. A 0
B 1
2
3
La distancia entre "A" y "B" mide 3 cm
F E
0
1
2
3
4
El punto "E" dista del punto "F" 4 cm
3 Distancia entre un punto y una recta Está representado por la longitud de un segmento de recta perpendicular trazado desde el punto hacia la recta. Ten en cuenta
• P
2,5 c m
BQ también se dice que es la menor distancia de "B" a la recta a . Cualquier otro punto de la recta a tendrá mayor distancia con respecto al punto "B". B
L
Q
La distancia de "P" a mide 2,5 cm
4 cm
L
a M N
Q
"B" dista 4 cm de a
Distancia entre dos rectas paralelas Está representado por la longitud de un segmento de recta perpendicular a ambas rectas Ten en cuenta
• m
Cualquier punto de la recta a dista 2 cm de la recta b A
B
1,5 cm
n
2 c m
2 c m
La distancia entre m y n mide 1,5 cm
C
2 c m
a dista de b 2 cm
a b
Ten en cuenta
•
Para trazar rectas perpendiculares a una cierta recta, se ubica una escuadra que coincida con la recta "L" y la otra escuadra servirá para trazar las perpendiculares a " L ".
L
Distancias entre puntos y rectas
10 x 5 50
Aplica lo comprendido Conceptos básicos 1. Graficar el punto "C" que se encuentra a una 6. Graficar dos rectas a y b paralelas y verticales distancia de 1,8 cm de la recta oblicua n . que disten 6 cm. 2. Graficar a las rectas L1 y L2 paralelas y 7. Graficar el punto "R" y la recta horizontales que disten 4,3 cm. que disten 3,5 cm
L1 horizontal
3. Graficar un punto "B" y las rectas L1; L2 y 8. Graficar un punto "P" que diste 1,5 cm de la L3 que distan de "B" 1,2 cm; 1,8 cm y 2 cm recta horizontal L , luego ubique a un punto respectivamente, tal que: L1 // L2 // L3. "Q" en la recta L que diste 2,5 cm del punto "P". 4. Indicar si es verdadero (V) o falso (F) las siguientes proposiciones: 9. Graficar a las rectas L1 y L2 paralelas y oblicuas que disten 5,7 cm. • Las distancias solamente se miden en centímetros ...........................................( ) 10. Graficar un punto "Q" que diste 6 cm de una • Las rectas paralelas se intersectan...........( ) recta oblicua "L". 5. Graficar un punto "C" que diste 4 cm de una recta vertical m.
¡Tú puedes!básicos Conceptos 1. Ubicar al punto o los puntos que disten 1 cm de dos rectas perpendiculares. 2. Ubicar al punto o los puntos que disten 0,5 cm de la recta a y 1 cm de la recta b . b
a
3. Grafica una circunferencia de 4 cm de radio y a una recta que dista 3 cm del centro. ¿Cuántos puntos de intersección hay entre la recta y la circunferencia? 18:10:45
Practica en casa s o c i s á b s o t p e c n o C 1. Graficar dos rectas paralelas y horizontales que 5. Graficar una recta vertical L y ubicar los puntos disten 1,5 cm. "A" y "B" que pertenezcan a L y disten 6 cm. 2. Graficar un punto "A" y la recta L1 horizontal 6. Graficar un punto "B" que diste 5 cm de una que disten 4 cm. recta oblicua L. 3.
Graficar dos rectas paralelas y verticales que 7. Graficar dos rectas L1 y L2 paralelas oblicuas que disten 6 cm. disten 5,5 cm.
4. Graficar un punto "A" y las rectas horizontales 8. Graficar una recta vertical y los puntos L1 y L2 que disten de "A" 2,7 cm y 3,5 cm "P", "Q" y "R" respectivamente que pertenezcan a dicha recta tal que "P" y "Q" respectivamente tal que L1 // L2. disten 4,5 cm y "Q" y "R" disten 6,5 cm.
4
Recordando lo aprendido 10 x 5 50
Aplica lo comprendido Conceptos básicos 1. Indicar si es verdadero (V) o falso (F) las siguientes proposiciones: • • •
El padre de la Geometría elemental es Pitágoras ........................................................... ( Dos rectas contenidas en un plano pueden ser paralelas o secantes ............................... ( Los elementos geométricos son cuatro ........................................................................... (
2. Relacionar correctamente las siguientes figuras y términos geométricos.
A
Rectas perpendiculares
B Rectas concurrentes
C Rectas secantes A
D Circunferencia de centro "A"
) ) )
4
3. Calcular el máximo número de puntos de 8. ¿Cuántas rectas pasan por seis puntos no corte entre tres rectas, siendo una vertical, otra colineales? horizontal y la tercera oblicua. (Graficar) 9. Calcular el máximo número de puntos de corte 4. Calcular el máximo número de puntos de corte entre cuatro rectas secantes. entre tres rectas concurrentes y cuatro rectas paralelas. 10. Calcular el máximo número de puntos de corte entre cuatro rectas paralelas y tres rectas 5. Trazar una recta paralela a m y a 1,6 cm de secantes. distancia. 11. Ubicar un solo punto en la recta L1 que diste m 2,8 cm de la recta L2. 6. Trazar una recta paralela a distancia.
L y
a 2,3 cm de
L1 L2
L
7. Ubicar a los puntos de la recta a que disten 2,4 cm del punto "P". P
12. ¿Cuántas rectas pasan por ocho puntos no colineales? 13. Graficar siete rectas concurrentes. 14. Graficar un punto "P" y una recta vertical "L" que disten 3 cm.
1,8 cm
a
15. Graficar un punto "A" y una recta horizontal "a" que disten 4 cm.
18:10:45
Practica enbásicos casa Conceptos 1. Graficar la recta "a" horizontal y una recta "b" 5. Graficar cinco rectas concurrentes y una recta perpendicular a ella. secante a ellas. Contar los puntos de corte. 2. Graficar la recta "m" vertical y una recta "n" 6. Graficar seis rectas paralelas y dos rectas perpendicular a ella. secantes. Contar los puntos de corte. 3.
Graficar ocho rectas paralelas y una recta secante a ellas. Contar los puntos de corte.
7. Graficar una recta oblicua y dos puntos "A" y "B" contenidos en ella que disten 5,5 cm.
4. Graficar cinco rectas secantes que no sean 8. Graficar el punto "P" y la recta "a" horizontal concurrentes y contar los puntos de corte. que disten 3,5 cm.
UNIDAD 2 MIDIENDO LAS PRIMERAS FIGURAS GEOMÉTRICAS
A
partir de que a un año lo dividían en 360 días antiguamente, se dividió a una vuelta o círculo en 360 partes dando como origen al sistema sexagesimal. Para medir longitudes, en nuestro país se utiliza el centímetro, metros, kilómetros; en otros países se utiliza la pulgada, el pie, la yarda y la milla.
APRENDIZAJES ESPERADOS
•
Identificar segmentos y ángulos en su entorno.
•
Medir longitudes de segmentos.
•
Ubicar los puntos medios de segmentos con el uso del compás.
•
Clasificar a los ángulos de acuerdo a su medida y medirlos con el transportador.
•
Trazar la bisectriz de un ángulo con el uso del compás.
1
Recordemos lo aprendido
Longitud del segmento de recta En este capítulo aprenderemos: •
A representar y medir a los segmentos de recta.
•
A identificar a los puntos colineales.
•
A contar segmentos contenidos en una misma recta.
•
A ubicar al punto medio de un segmento con el uso del compás.
¿Cuánto mide? ¿Cuáles son las longitudes de tu aula? ¿Cuáles son las dimensiones de un campo de fútbol? Estas preguntas son sencillas de responder y se les representan por segmentos de recta.
1,30 m
70 m
110 m
1 Conceptos básicos
Definición de segmento de recta Es la porción de línea recta que tiene como extremos a dos puntos. La medida o longitud del segmento de recta es la distancia entre sus extremos. P
Q
L
6 cm • Segmento de recta de extremos "P" y "Q". • Segmento PQ • Medida de PQ : mPQ= 6 cm • Longitud de PQ : mPQ= PQ = 6 cm
Ten en cuenta
• Los puntos que pertenecen a una recta se denominan puntos colineales.
A
E
F
n
•
Los puntos "A"; "E" y "F" pertenecen a n entonces "A"; "E" y "F" se llaman puntos colineales.
•
También se dice que los segmentos AE y EF son consecutivos y colineales.
En una recta pueden estar contenidos varios segmentos de recta.
• Si en una recta se marcan tres puntos, ¿cuántos segmentos de recta se forman? A
B
C
Rpta: Tres segmentos
Longitud del segmento de recta
•
Si en una recta se marcan cuatro puntos, ¿cuántos segmentos de recta se forman? A
N
P
Rpta: Seis segmentos
L
Punto medio de un segmento de recta Es el punto que pertenece al segmento de recta y tiene la misma distancia a los extremos de dicho segmento. 7 cm A
E 3,5 cm
B 3,5 cm
• "E" es el punto medio de AB . • Los segmentos AE y EB son congruentes (miden igual) m AE=m EB o AE=EB Ten en cuenta
Si no se conoce la longitud de un segmento se le puede ubicar con el uso del compás. Ubicación del punto medio de un segmento de recta con el uso del compás. Paso 1: Tomando como centro a los extremos del segmento se trazan circunferencias o parte de ellas, usando el mismo radio, buscando que se intersecten como en la figura II o III.
Figura I
Figura II
A B
A
Figura III
B A
Se recomienda que el radio sea menor que la longitud del segmento como en la figura II
B
1
Paso 2: Se marcan los puntos de corte y se unen. Luego la intersección entre el segmento inicial y la línea de unión de los puntos de corte será el punto medio buscado
A
M
B
"M" es el punto medio del segmento AB.
10 x 5 50
Aplica lo comprendido Conceptos básicos 1. Indicar si es verdadero (V) o falso (F) las siguientes proposiciones: • •
Los puntos colineales no pertenecen a una misma recta ................................................ ( Un segmento de recta puede tener más de un punto medio .......................................... (
2. Usando los términos del recuadro, completar las siguientes proposiciones: • •
La longitud de un _____________ de recta es igual a la distancia entre sus _____________ . El punto _____________ de un segmento de _____________ tiene igual distancia con _____________ a los extremos de dicho segmento. punto - plano - segmento - recta - extremos - vértices - medio - respecto
3. Relacionar correctamente las siguientes figuras, de acuerdo al número de segmentos. B
A
cinco
tres
C
cuatro
) )
Longitud del segmento de recta
4. Graficar a los puntos colineales "A"; "B" y "C", 8. Graficar a los puntos colineales "A"; "B"; "C" y tal que: mAB = 3 cm y mBC = 5 cm. Luego, "D". ¿Cuántos segmentos de recta se determinan? ubicar el punto medio "M" de AC. 9. Graficar a los puntos "M"; "N"; "P"; "Q" y "R" 5. Graficar al segmento EL que mide 4,6 cm. contenidos en una recta. ¿Cuántos segmentos Luego, ubicar a su punto medio "M". de recta se forman? 6. Graficar al segmento de recta TI. Luego, ubicar a su 10. Graficar un segmento de recta AN cualquiera punto medio "R", sabiendo que: m TI = 5,8 cm. en posición vertical y ubicar a su punto medio, usando el compás. 7. Ubicar el punto medio de un segmento de recta que mide 7 cm, haciendo uso del compás.
¡Tú puedes!básicos Conceptos 1. Graficar una recta oblicua "L" y los segmentos consecutivos AB y BC contenidos en L , de tal manera que: AB = 4 cm y BC = 5 cm, luego ubicar el punto medio de AB y BC usando el compás. Calcular la distancia entre dichos puntos medios. 2. Graficar los segmentos consecutivos AB y BC de tal manera que AC = 7 cm. Luego, ubicar con el uso del compás los puntos medios "M" y "N" de AB y BC respectivamente. Calcular la medida de MN. 3. Graficar los segmentos consecutivos AB; BC y CD de tal manera que: BC = 2 cm y AD = 10 cm. Luego, ubicar con el uso del compás, los puntos medios "R" y "S" de AB y CD respectivamente. Calcular la medida de RS. 18:10:45
Practica enbásicos casa Conceptos Graficar un segmento PQ de 6 cm de longitud y 6. Graficar a los segmentos AB y BC consecutivos luego, ubicar su punto medio "M". pero no colineales que miden 6 y 5 cm respectivamente. 2. En la recta L , graficar los segmentos AB; BC y CD que midan 2; 3,5 y 2,5 cm respectivamente. 7. Graficar a los segmentos consecutivos y no colineales MN y NQ que miden 3,7 y 2,8 cm L respectivamente. Luego, ubicar el punto medio de MN. 3. Graficar un segmento MA de 10 cm y ubicar su 8. Graficar a los segmentos consecutivos y colineales punto medio "P". "A"; "C" y "F" tal que: m AC = 5,2 cm y mCF=4,1 cm. Luego, ubicar el punto medio de AF. 4. En una recta se ubican los puntos consecutivos "E"; "F" y "N" tal que: EF= 1 cm y EN = 4 cm. Luego, ubicar el punto medio de FN 1.
5. En una recta se ubican los puntos consecutivos "A"; "B" y "T" tal que: AB = 3 cm y AT = 5 cm. Luego, ubicar el punto medio de BT .
Identificación de ángulos En este capítulo aprenderemos: • •
A diferenciar entre ángulo, medida del ángulo y región angular. A clasificar a los ángulos de acuerdo a su medida.
•
A medir ángulos con el uso del transportador.
•
A graficar el ángulo opuesto por el vértice.
Para medir ángulos en construcciones de puentes y edificaciones se utiliza un instrumento llamado "teodolito".
Teodolito Para medir ángulos de elevación se toma como referencia la línea horizontal.
Conceptos básicos
Definición de ángulo Es la figura geométrica formada por dos rayos que tienen el mismo origen y dichos rayos son no colineales y la medida del ángulo es la abertura entre los rayos. A O
aº
B
Región angular
Elementos: Vértice: O Lados: OA y O B Notación: Se lee ángulo AOB BAOB, ∠AOB y AÔB: mBAOB, m∠AOB y mAÔB: Se lee medida del ángulo AOB • •
2
Identificación de ángulos
Clases de ángulos de acuerdo a su medida Ángulo agudo: Su medida es mayor de cero y menor de 90 grados sexagesimales. Q
N
mBMON = 40º
mBPQR= 70º 70º
40º
R
P
M
O
Ángulo recto: Mide 90º, es decir, sus lados son perpendiculares.
A mBABC = 90º C B Ángulo obtuso: Su medida es mayor de 90º y menor de 180º.
N
P
mBEFN=120º A 120º
E
130º
B
mBAPB = 130º
F
El transportador El transportador sirve para medir las aberturas entre los lados de un ángulo. 90º 90º
º 0 º 8 0 1
1 8 0 º
0 º
1 8 0 º
º 0
º 0 7 2
2
¿Cómo se mide un ángulo? Dado el cuadrilátero mostrado:
1 8 0 º 0 º
Vértice del ángulo
Lado final 1 4 0 º
Lado final 140º
Lado inicial
9 0 º
º 7 0
90º
º 0 8 1 º 0
70º
1 8 0 0 º º
º 0 º 8 0 1
•
Lado inicial Graficar el ángulo opuesto por el vértice al ángulo POQ
Vértice del ángulo
Procedimiento: Se prolongan en sentido opuesto OP y OQ. P
N
P
El ángulo obtenido MON es el ángulo opuesto por el vértice del ángulo POQ.
O
O
Q
M
Mídelos y comprueba que son de medidas iguales. Q
10 x 5 50
Aplica lo comprendido Conceptos básicos
Comunicación matemática 1. Indicar si es verdadero (V) o falso (F) las siguientes proposiciones: • • •
Un ángulo que mide 180º se llama ángulo recto ........................................................... ( Un ángulo que mide 35º se llama ángulo obtuso .......................................................... ( Un ángulo que mide 75º se llama ángulo agudo ........................................................... (
2. Usando los términos del recuadro, completar las siguientes proposiciones: • •
Los ángulos _____________ por el vértice tienen _____________ medida. Al trazar dos _____________ secantes se _____________ cuatro ángulos. segmentos - opuestos - igual determinan - forman - rectas - origen
) ) )
Identificación de ángulos
3. Graficar un ángulo de 40º y clasificarlo.
7. Graficar un ángulo recto y además su ángulo opuesto por el vértice.
4. Graficar un ángulo de 110º y clasificarlo. 8. Graficar un ángulo de 145° y clasificarlo. 5. Graficar un ángulo de 130º y además su ángulo opuesto por el vértice. 9. Graficar un ángulo de 125° y clasificarlo. 6. Graficar un ángulo de 65° y además su ángulo 10. Graficar un ángulo de 55° y clasificarlo. opuesto por el vértice.
¡Tú puedes!básicos Conceptos 1. Graficar un ángulo de 47° y además su ángulo opuesto es el vértice. 2. Graficar un ángulo de 158° y además su ángulo opuesto por el vértice. 3. Graficar un ángulo de 91° y clasificarlo.
18:10:45
Practica en casa s o c i s á b s o t p e c n o C 1. Graficar un ángulo de 60º y clasificarlo.
6. Graficar un ángulo de 100º y además a su ángulo opuesto por el vértice.
2. Graficar un ángulo de 130º y clasificarlo. 3.
Graficar un ángulo de 72º y clasificarlo.
4. Graficar un ángulo de 135º y clasificarlo. 5. Graficar un ángulo de 30º y además a su ángulo opuesto por el vértice.
7. Graficar un ángulo de 110º y además a su ángulo opuesto por el vértice. 8. Graficar un ángulo de 115º y además a su ángulo opuesto por el vértice.
Ángulos consecutivos En este capítulo aprenderemos: •
A reconocer los ángulos consecutivos.
• •
A identificar la bisectriz de un ángulo. A usar el compás para trazar la bisectriz de un ángulo.
•
¿Te gusta el fútbol?
•
¿Te gusta ser arquero o hacer un gol?
•
¿Qué posición debe ocupar el arquero y en qué dirección debe seguir para cubrir lo mejor posible su arco?
aº aº
Chicos, la bisectriz del ángulo formado por los extremos del arco y la posición de la pelota ya que de esa manera se cubre el mayor espacio que comprende el arco. "En el fútbol se usa también Geometría ya que es un deporte de ángulos y distancias"
Conceptos básicos
Ángulos adyacentes B
A
C O
AÔB y BÔC son dos ángulos consecutivos.
3
Ángulos consecutivos
Ángulos consecutivos
B
C
A
AÔB; BÔC y CÔD son tres ángulos consecutivos.
D O
Bisectriz de un ángulo Es el rayo que parte del vértice de un ángulo y lo divide en medidas iguales. A
Bisectriz del ángulo AOB que mide 60º.
Bisectriz del ángulo POQ que mide 140º.
Q 30º
70º
30º O
O
B
70º P
25º 25º
Bisectriz del ángulo que mide 50º. Es decir, que se obtienen dos ángulos consecutivos de medidas iguales.
Trazar la bisectriz de un ángulo haciendo uso del compás Paso 1: Con una abertura arbitraria y a partir del vértice del ángulo, se traza con el compás y se marcan los puntos de corte. A
Vértice O
B
3 Paso 3: Finalmente al unir el vértice y el punto de Paso 2: Luego, a partir de los puntos marcados y corte "W", se obtiene la bisectriz del ángulo con la misma o con otra abertura trazar con inicial. el compás y marcar el punto de corte. A
A
Vértice
O
Bisectriz del ángulo Vértice O
W
W B
B
El rayo OW es bisectriz del ángulo AOB, entonces: mB AOW = mB BOW 10 x 5 50
Aplica lo comprendido Conceptos básicos 1. Indicar si es verdadero (V) o falso (F) las siguientes proposiciones: • •
Solo dos ángulos pueden ser consecutivos .................................................................... ( Los ángulos consecutivos no tienen el mismo vértice .................................................... (
) )
2. Usando los términos del recuadro, completar las siguientes proposiciones: • •
La bisectriz _____________ a un ángulo en _____________ iguales. Dos _____________ son consecutivos si tienen el _____________ vértice y un _____________ en común. ángulos - divide - forma - partes - mismo medidas - recta - lado - rayo
3. Graficar los ángulos consecutivos MON y NOP, 7. Graficar un ángulo de 120º y trazar su bisectriz tal que: mBMON = 30º y m BNOP = 60º. con el uso del compás. Luego, comprobar con el transportador. 4. Graficar los ángulos consecutivos AEB y BEC, tal que: mBAEB = 110º y m BBEC = 70º. 8. Graficar un ángulo recto y trazar su bisectriz con el uso del compás. Luego, comprobar con 5. Graficar los ángulos consecutivos APC y CPD, el transportador. tal que: mBAPC = 80º y m BCPD = 100º. 9. Graficar un ángulo agudo cualquiera y trazar su 6. Graficar un ángulo de 100º y trazar su bisectriz bisectriz con el uso del compás. con el uso del compás. Luego, comprobar con el transportador. 10. Graficar un ángulo obtuso cualquiera y trazar su bisectriz con el uso del compás.
Ángulos consecutivos
¡Tú puedes!básicos Conceptos 1. Graficar un ángulo de 170º y trazar su bisectriz con el uso del compás, luego traza traza las bisectrices bisectrices de los ángulos parciales formados. 2. Graficar los ángulos consecutivos AOB AOB y BOC, tal que: mBAOB=40º y mBBOC=70º. Haciendo uso del compás, trazar las bisectrices de los ángulos AOB y BOC y calcular la medida del ángulo entre dichas bisectrices. 3. Graficar los ángulos AOB y AOM, tal que: mBAOB = 140º y mBAOM = 30º. Haciendo uso del compás, trazar la bisectriz del ángulo MOB.
18:10:45
Practica en casa s o c i s á b s o t p e c n o C 1. Graficar un ángulo de 160º y trazar su bisectriz bisectriz 6. Graficar los ángulos consecutivos MON y NOP usando el compás. que miden 75º y 105º respectivamente. 2. Graficar un ángulo de 145º y trazar su bisectriz bisectriz 7. Graficar los ángulos consecutivos AOB; BOC y usando el compás. COD tal que: mBAOB=30º; mBBOC=40º y mBCOD=80º 3. Graficar un ángulo recto y trazar trazar su bisectriz usando el compás. 8. Graficar los ángulos consecutivos AOB; BO C y COD que miden 50º; 70º y 100º 4. Graficar los ángulos consecutivos AOB y BOC respectivamente. que miden 50º y 70º respectivamente. 5. Graficar los ángulos consecutivos COD y DOE que miden 60º y 90º respectivamente.
4
Plano cartesiano En este capítulo aprenderemos: •
A reconocer los componentes del par ordenado.
• •
A ubicar los puntos en el plano cartesiano. Ubicación de un punto en un cuadrante determinado.
¿Por qué se llama plano cartesiano?
René Descartes Filósofo y matemático francés (1596 - 1650) también conocido por su nombre latinizado Renato Cartesio. De ahí que lleva su nombre el plano de su creación. Es considerado también como el padre de la filosofía moderna.
Plano cartesiano
Saberes previos •
Indica las partes de una recta numérica.
-5 •
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
Calcular las distancias indicadas en las rectas numéricas siguientes:
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
Conceptos básicos
Definición de plano cartesiano Es un plano formado por dos rectas numéricas perpendiculares, una horizontal y la otra vertical. Todo punto se representa por dos números; el primero corresponde a la recta horizontal y el segundo a la recta vertical. Eje Y (ordenada) E(3;6) 6 5
Segundo cuadrante (IIC)
L(-3;2)
4
Primer cuadrante (IC)
3 2 1
-6 -5 -4 -3 -2 -1 -10 -2 -3 Tercer cuadrante (IIIC) -4 -5 -6 -7 A(-5;-7)
1
2
3
4
5
6
Eje X (abscisa)
Cuarto cuadrante (IVC)
4 Eje Y
•
B
5
Punto
4 3 2
A
1
C -5 -4 -3 -2 -1 0 1 -1 -2 -3 -4 D -5 F
2
3
De acuerdo al gráfico, completar:
4
Eje X
5 6
A B C D E
Abscisa Ordenada Pertenece al 1
IC
0
Eje X
3
–4 6
IVC
F
E Luego, la representación de los puntos son: A ( ; ), B ( ; ), C ( ; ), D ( ; ), E ( ; ), F ( ; ).
Ojo: El punto (0;0) es el origen de coordenadas. •
Sin necesidad de graficar, reconocer a que cuadrante pertenece cada punto. P (–1; 3) pertenece al IIC T (26;19) pertenece al ____ Q (-16; –1) pertenece al IIIC U (–23; 17) pertenece al ____ R (4; –20) pertenece al IVC V (13; –34) pertenece al ____ S (18; –2) pertenece al ____
10 x 5 50
Aplica lo comprendido Conceptos básicos 1. Indicar si es verdadero (V) o falso (F) las siguientes proposiciones: • •
El eje X horizontal del plano cartesiano se llama eje de ordenadas ................................ ( Los ejes de coordenadas cartesianas son perpendiculares .............................................. (
) )
2. Usando los términos del recuadro, completar las siguientes proposiciones: • •
En todo plano ___________ se determinan ___________ regiones que se llaman ___________ Si un __________ en el plano cartesiano no pertenece a uno de los cuadrantes __________, pertenece a uno de los _____________ cartesianos. tres - punto - rectas - cartesiano - ejes entonces - cuatro - paralelas - cuadrantes
Plano cartesiano
3. Completar los términos geométricos, indicados en los recuadros respectivos. Y
2
A(4;2)
4
X
4. Indicar a qué cuadrantes pertenecen cada uno de los puntos siguientes: • • • •
(–9; 6) ............................................................................................................. ( (–11; –13) ....................................................................................................... ( (8; –5) ............................................................................................................. ( (15; –4) ........................................................................................................... (
) ) ) )
5. ¿A qué ejes pertenecen cada uno de los siguientes puntos? • • • •
(0; –30) ............................................................................................................ ( (–25; 0) ............................................................................................................ ( (18; 0) .............................................................................................................. ( (0; 36) .............................................................................................................. (
) ) ) )
6. Ubicar a los puntos: A(–4; 2) , B(3; –5) y 9. Ubicar a los puntos: A(–7; 0) , L(0; –8) y E(6; 6). C(8; –9). Luego unirlos. Luego unirlos. 7. Ubicar a los puntos P(–5;1) , Q(3;4) y R(0;0). 10. Ubicar a los puntos: E(–2; 0) , L(3; 3) y Luego unirlos. M(0; –3). Luego unirlos. 8. Ubicar a los puntos: E(1; 0) , F(–2; 5) y M(0; –3). Luego unirlos.
¡Tú puedes! s o c i s á b s o t p e c n o C 1. Ubicar los puntos: E(0; 7), D(–7; 0) y L(3; –4). Luego unirlos y trazar la bisectriz del ángulo de vértice "D" con el uso del compás. 2. Ubicar los puntos: A(–3; 1), B(2; 5) y C(4; –3). Luego unirlos y ubicar los puntos medios de AC y BC haciendo uso del compás. 3. Ubicar los puntos: M(–3;0), N(0;4) y C(24;0). Luego unirlos y calcular la medida del ángulo de vértice "N" del triángulo MNC.
18:10:45
Practica enbásicos casa Conceptos •
Graficar un plano cartesiano para cada ejercicio y ubicar los puntos indicados, para luego unirlos.
1. A= (3; 3) y B= (5; 4).
5. I= (–4; 3) y J= (3; 5).
2. C= (–3; 4) y D= (–5; 3).
6. A= (1; 5), B= (–2; 4) y C=(–3; –4).
3. E= (–2; –4) y F= (–1; –8).
7. P= (–2; 5), Q= (–3; 5) y R=(4; 3).
4. G= (2; –3) y H= (5;–1).
8. M= (0; 7), L = (–6; 0) y E = (5; –8).
4
5
Repaso bimestral Aprende más... s o c i s á b s o t p e c n o C 1. Indicar si es verdadero (V) o falso (F) las siguientes proposiciones: • • • •
El segmento de recta está compuesto por dos puntos ..................................................... ( El ángulo que mide más de 90º y menos que 180º se llama obtuso ............................... ( Al trazar dos rectas secantes, se determinan dos pares de ángulos opuestos por el vértice................................................................................................... ( La menor distancia de un punto a una recta exterior es el segmento de recta perpendicular trazado del punto a la recta ..................................................................... (
) ) ) )
2. Usando los términos del recuadro, completar las siguientes proposiciones: • •
El _____________ cartesiano está formado por dos rectas _____________ perpendiculares y al punto de _____________ se le conoce como _____________ de coordenadas. Al trazar dos rectas _____________ y una secante, se _____________ ocho ángulos los cuales se _____________ en pares, como ángulos _____________; alternos y conjugados. intersección - plano - correspondientes - numéricas origen - bisectriz - segmento - paralelas - relacionan - determinan
3. Completar los cuadros correctamente. A
O
//
M // B
Q
M
P
"O" es
"P" y "Q" son
OA y OB son
"M" es el
OM es una
PM y MQ son
4. Calcular el máximo número de puntos de corte 6. En el plano cartesiano, ubicar a los puntos entre tres rectas paralelas y dos rectas secantes. A(–2; 3) y B(4; 5). Luego ubicar el punto medio del segmento de recta AB, con el uso del 5. Calcular el máximo número de puntos de corte compás. de tres rectas secantes. Luego medir los ángulos formados por las rectas en la región interior. 7. Ubicar a los puntos P(–5; 2) y Q(3; –3). Luego con el uso del compás, marcar el punto medio de PQ .
Geometría
8. En el plano cartesiano, ubicar a los puntos A(–4; 5), B(2; 2) y C(4; –6). Luego trazar el 12. Trazar dos rectas paralelas L1 y L2 que distan segmento que representa la distancia del punto 4 cm. Luego ubicar un punto "A" en L1 y "B" "A" a la recta que pasa por los puntos "B" y "C". en L2, tal que: m AB = 6 cm. ¿Cuánto mide dicha distancia? 13. Graficar un ángulo de 115º y trazar su bisectriz 9. Ubicar a los puntos P(0;3), Q(–4;0) y R(5;1). con el uso del compás. Luego trazar la bisectriz del ángulo PQR con el uso del compás. 14. Graficar un ángulo de 75º y trazar su bisectriz con el uso del compás. 10. Ubicar a los puntos A(–4; 5), B(5; 5) y C(5; –4). Luego medir los segmentos AB; BC y AC . 15. Graficar el segmento DE oblicuo de 6,5 cm y ubicar su punto medio, usando el compás. 11. Trazar dos rectas que formen 60º y que se corten en "A". Luego, ubicar a un punto "B" en una de las rectas y trazar la distancia de "B" a la otra recta. 18:10:45
Practica enbásicos casa Conceptos 1. En un plano cartesiano, ubicar a los puntos 6. En el plano cartesiano, ubicar los puntos T=(4; 3) P=(5; 6) y Q=(–4; –5), luego trazar la recta que y R=(–6; –2). Luego ubicar el punto medio de TR con el uso del compás. contiene a dichos puntos. 2. Graficar una recta y sobre ella marcar los puntos 7. En el plano cartesiano, ubicar los puntos A=(0; 5), B=(–3; 2) y C=(4; –5), luego unir AB y BC para "A"; "B" y "C" tal que: AB=2 cm y BC=4 cm. trazar la bisectriz del ángulo de vértice "B" con el uso del compás. 3. Graficar un segmento horizontal de 12 cm y ubicar a su punto medio con el uso del compás. 8. Graficar un plano cartesiano, ubicando a los 4. Graficar un ángulo de 105º y trazar su bisectriz con el uso del compás. 5. Graficar en un plano cartesiano, los puntos A=(4;0) y B=(–5;6). Luego ubicar el punto medio de AB con el uso del compás.
puntos M=(7; 3), N=(–6; 2) y T=(0; –5), luego trazar la bisectriz del ángulo de vértice "M" y de lados MN y MT .
UNIDADUNIDAD 3 1 UNIDAD 3 SIMETRÍA (syn: junto + metrón: medida)
E
n la naturaleza se encuentra una variedad de simetrías que se han usado en artesanías precolombinas, en el arte contemporáneo y en logos comerciales debido a su vistosidad y fácil reconocimiento.
APRENDIZAJES ESPERADOS
•
Reconocer los diferentes tipos de triángulos.
•
Graficar triángulos con el uso del compás y la regla.
•
Relacionar los elementos necesarios del triángulo para su elaboración.
1
La simetría hecha arte En este capítulo aprenderemos: •
A ubicar el punto de simetría de una figura.
•
A graficar la figura simétrica con respecto a un punto de una determinada figura.
•
A usar términos geométricos como figuras congruentes obtenidas en la simetría.
Las figuras geométricas mostradas son simétricas con respecto a un punto, tal que al repetirlas se crean figuras diversas que se usan en diferentes zócalos, mayólicas, pisos de mármol y construcciones en general.
Conceptos básicos
Simetría con respecto a un punto Llamado también simetría de rotación o radial de primer orden, los cuales llevan un centro de simetría. A d
O
d
A'
Centro de simetría
En el gráfico, A y A' son simétricos con respecto al punto "O". (La distancia entre A y O es igual a la distancia entre O y A').
La simetría hecha arte
B d2 d1
A
d1
En la figura mostrada, el segmento A'B' es simétrico al segmento AB con respecto al punto "O". (Los segmentos AB y A'B' son congruentes).
A'
O
d2 B'
Q
d2 d1
Observación
R d3
P
C
¿Qué segmentos son congruentes? Respuesta:
d1
d3 E
M d2
N En la figura, los triángulos PQR y MNE son simétricos. Siendo "C" el centro de simetría.
•
PQ ≅
MN
•
QR
EN
•
PR
≅ ≅
EM
En conclusión, los triángulos PQR y EMN son congruentes. ¿Cómo graficar una figura simétrica a una figura conocida con respecto a un punto?
•
Encontrar el punto simétrico de "P" con respecto a "M". M P
Procedimiento:
P' M
Paso I: Trazar una línea recta de "P" a "M". Paso II: Con el uso del compás, ubicar el lápiz en el punto "P" y la punta en el centro de simetría "M". Paso III: Girar el compás, hasta ubicar en la línea recta trazada al punto simétrico de "P".
P
•
Encontrar la figura simétrica con respecto al punto "O". C B O
A D
1
Procedimiento: D'
C
A'
B O
A
B'
C'
D
Paso I: Utilizar los pasos del ejemplo anterior, para cada punto A; B; C y D respectivamente. Paso II: Luego, unir los puntos simétricos encontrados A'; B'; C' y D'.
D'
C B
A' O
A
B' C'
D
Los cuadriláteros ABCD y A'B'C'D' son simétricos con respecto al punto "O".
Figuras simétricas con respecto a un punto B A D'
C D
O
A'
C' B'
Simetría central, también llamada simetría con respecto al origen, por que el origen es el punto central alrededor del que hay simetría. "Se ven igual desde arriba o abajo"
Logo de Hyundai
Logo de Suzuki
Logo del Banco Financiero
La simetría hecha arte
Observación
Si cortas una figura simétrica adecuadamente, puedes obtener dos nuevas figuras iguales:
Al cortar esta carta en forma diagonal, se obtienen dos figuras "congruentes", que al invertirla se observa mejor la congruencia. 10 x 5 50
Aplica lo comprendido Conceptos básicos 1. Indicar si es verdadero (V) o falso (F) las siguientes proposiciones: • •
Dos puntos simétricos y el centro de simetría se encuentran en la misma recta ............( Los puntos simétricos se encuentran a diferente distancia del centro de simetría .........(
) )
2. Indicar si es verdadero (V) o falso (F) las siguientes proposiciones: • •
Las figuras simétricas son necesariamente congruentes ..................................................( El punto "O" es el centro de simetría del pentágono ......................................................(
O
•
Encontrar la figura simétrica de cada uno de los 4. siguientes gráficos con respecto al punto "P".
3.
B
A
M
C P
A
P
) )
5.
B
1
8.
C
B
P P
6.
D
D
A
A
M
C
9. H
P
A
N 7.
10.
E
P
O
A
O
P
O P
¡Tú puedes!básicos Conceptos 1. Graficar la figura simétrica de la figura mostrada, con respecto al punto "O".
O
2. Graficar la figura simétrica de la figura mostrada, con respecto al punto "P".
P
3. Graficar un pentágono regular y a su figura simétrica con respecto a uno de sus vértices.
La simetría hecha arte 18:10:45
Practica enbásicos casa Conceptos •
Graficar las figuras simétricas de las siguientes 4. figuras geométricas, con respecto al punto "A"
1. A
A
5.
2. A
A 6.
3.
A 7.
A A 8.
A
2
Reflexionemos el espejo natural En este capítulo aprenderemos: • •
A reflejar figuras geométricas con respecto a una línea recta. A reconocer una figura simétrica con respecto a una línea recta.
•
A trazar la recta de simetría de una figura si lo tuviera. Eje de simetría Eje de simetría
En nuestro cuerpo encontramos simetría
En la naturaleza observamos simetría
En las construcciones se emplea simetría
Eje de simetría
Reflexionemos el espejo natural
Conceptos básicos
Reflexión de un punto respecto a una recta !
!
Dado un punto "A" y una recta l , para reflejar el punto "A" respecto a la recta procede de la siguiente manera:
1ero: Se traza el segmento AH perpendicular a
!
!
l
(eje de simetría), se
!
!
l
A
l
H
2do: Luego se prolonga AH a una misma distancia del eje de reflexión
!
!
l
A l
d "B" es simétrico a "A" con respecto a
H
!
!
l
d B
Reflexión de polígonos respecto a una recta Para reflejar polígonos se reflejan los vértices con respecto al eje de simetría con el procedimiento anterior y luego se unen los puntos de reflexión obteniéndose la figura simétrica.
B
l
R
R'
C
A D
Q
l
D' A'
P
C'
P'
B' A'B'C'D' es el cuadrilátero simétrico del cuadrilátero ABCD con respecto a l !
!
El triángulo P'QR' es el triángulo simétrico del triángulo PQR con respecto a l !
!
2
E
N F'
l
M
F
E'
M'
N' El rectángulo M'N'E'F' es el rectángulo simétrico de MNEF, siendo l el eje de simetría !
!
Trazado de las rectas o ejes de simetría Existen figuras simétricas con respecto a una , dos o más rectas. Cuadrado
Rectángulo
Eje 1 Eje 1 Eje 2
Letras
Eje 2
Eje Eje
Eje
10 x 5 50
Aplica lo á comprendido s o c i s b s o t p e c n o C 1. Indicar si es verdadero (V) o falso (F) las siguientes proposiciones: • Las figuras simétricas son necesariamente congruentes ..........................................( • Una figura puede tener más de un eje de simetría .................................................( 2. ¿Cuál de las siguientes letras es simétrica con respecto a un solo eje? Luego trazar dicho eje.
) )
Reflexionemos el espejo natural
•
Dibuja en cada caso, la imagen que obtienes 7. mediante la simetría de reflexión respecto a n . !
!
3.
Q
n P
R
4.
n
8.
n
n • 5. 9.
Dibuja en cada caso, la imagen que obtienes mediante la reflexión respecto a m. !
!
m
n
10. 6.
n
m
2 ¡Tú puedes! s o c i s á b s o t p e c n o C •
!
!
Dibuja en cada caso, la imagen que obtienes mediante la simetría de reflexión respecto a m.
1.
3. m
m
2. m
18:10:45
Practica enbásicos casa Conceptos 1. ¿Cuál de las siguientes letras es simétrica de un 2. ¿Cuántos ejes de simetría tiene la figura solo eje? mostrada? (Trazar dichos ejes)
Reflexionemos el espejo natural
•
Dibujar en cada caso, la imagen que obtienes 6. mediante la reflexión respecto a la recta n !
!
3.
n
B
n A
4.
C
7. B A
5.
n
C
n
D
N 8. n
E M
T
n
3
Utilicemos la simetría en el plano cartesiano En este capítulo aprenderemos: •
A graficar figuras simétricas con respecto a un punto en el plano cartesiano.
•
A graficar figuras simétricas con respecto a los ejes de coordenadas.
•
A ubicar a los puntos de simetría en forma práctica a partir de las coordenadas.
Conceptos básicos
Reflexión de un punto con respecto al origen de coordenadas y
y A(1; 3)
3
B(–3; 2)
d –1
3
–3
x
1
d
2
d
d –2
x
B'(3; –2)
–3
(–1; –3) A'
Como se observa los puntos A' y B' son los puntos simétricos de "A" y "B" con respecto al origen de coordenadas respectivamente.
• Regla práctica: y
P(a; b) •
x
Para ubicar al punto simétrico de "P" solo hay que cambiar de signos a las coordenadas. Es decir: Si: P(a; b)
P'(–a; –b)
&
P'(–a; –b)
Utilicemos la simetría en el plano cartesiano
Reflexión de un punto con respecto al eje "x" o eje de abscisas y
y D(8; 9)
9
E'(–7; 5)
d
d –7
x
8
x
d
d –9
5
–5
E(–7; –5)
D'(8; –9)
• Regla práctica:
y P(a; b) •
Para ubicar al punto P' simétrico de "P" con respecto al eje "x" solo se cambia de signo a la ordenada, es decir:
x
Si: P(a; b)
&
P'(a; –b)
P'(a; –b)
Reflexión de un punto con respecto al eje "y" o eje de ordenadas y R(–6; 9)
d
y 9
d
R'(6; 9)
–10
10
x
–6
6
x
d F'(–10; –6)
–6
d F(10; –6)
3 • Regla práctica: y P'(–a; b)
P(a; b) •
Para ubicar al punto P' simétrico de "P" con respecto al eje "y", solo se cambia de signo a la abscisa, es decir:
x
Si: P(a; b)
O L P M E J E
&
P' (–a; b)
• Reflejar el triángulo ABC con respecto al origen de coordenadas, tal que: A(5; 8), B(3; 2) y C(9; 1) Resolución: y
A(5; 8)
B(3; 2)
C(9; 1)
O
C'(–9; –1)
x
B'(–3; –2)
A'(–5; –8)
•
Reflejar el triángulo PQR con respecto al eje "x", si: P(–3; 2), Q(1; 6) y R(4; 5)
Resolución: y Q(1; 6) R(4; 5)
P(–3; 2) x P'(–3; –2)
R'(4; –5) Q'(1; –6)
Utilicemos la simetría en el plano cartesiano
O L P M E J E
•
Reflejar el triángulo MNQ con respecto al eje "y", si: M(–5; –3), N(–1; 4) y Q(6; 2)
Resolución:
y N(–1; 4) N'(1; 4) Q'(–6; 2)
Q(6; 2) x
M(–5; –3)
M'(5; –3)
10 x 5 50
Aplica lo comprendido Conceptos básicos 1. Graficar el triángulo ABC: A(1; 4), B(4; 6) y 6. ¿Cuál de los siguientes puntos es el simétrico de C(1; 7). Luego reflejarlo con respecto al origen (16; –11) con respecto al eje "y"? de coordenadas. a) (–11; 16) b) (11; –16) c) (–16; –11) 2. Graficar la figura simétrica con respecto al eje "x" del cuadrilátero ABCD, tal que: A(0; 3), B(2; 3), 7. Graficar el segmento PQ tal que: P(3; –7) y C(2; 6) y D(0; 6). Q(1; 6). Luego reflejarlo con respecto al eje "x". 3. Dibuja el cuadrilátero ABCD, tal que: A(6; 2), B(8; 4), C(7; 5) y D(5; 3). Luego reflejarlo con 8. Graficar el segmento DE tal que: D(8; –1) y respecto al eje "y". E(–5; 2). Luego reflejarlo con respecto al eje "y". 4. Graficar al simétrico del triángulo PQR con respecto al eje "y", tal que: P(1; 1), Q(2; 2) y 9. Graficar el simétrico del triángulo PQR tal que: R(3; 5) P(–7; –5), Q(–3; 0) y R(–8; 4) con respecto al eje "y". 5. ¿Cuál de los siguientes puntos es el simétrico de (–10; 18) con respecto al origen de coordenadas? 10. Graficar el simétrico del cuadrilátero ABCD tal que: A(–2; 5), B(2; 3), C(4; 5) y D(0; 7) con a) (10; 18) b) (–10; –18) c) (10; –18) respecto al origen de coordenadas.
3 ¡Tú puedes! s o c i s á b s o t p e c n o C 1. Graficar el triángulo ABC tal que: A(1; 4), B(4; 6) y C(1; 7). Luego reflejarlo con respecto a la recta que pasa por los puntos (0; 4) y (8; 4). 2. Graficar el triángulo PQR tal que: P(1; 1), Q(2; 2) y R(3; 5). Luego reflejarlo con respecto a la recta que pasa por los puntos (–2; 0) y (–2; 4). 3. Graficar el cuadrilátero PQRS tal que: P(0; 1), Q(3; 1), R(3; 5) y S(0; 5). Luego reflejarlo con respecto al eje "y". 18:10:45
Practica enbásicos casa Conceptos 1. Encontrar la abscisa del punto simétrico de 6. Graficar el simétrico del triángulo PQR tal que: (–5; 9) con respecto al eje "y". P(3; 4), Q(5; 7) y R(7; 4) con respecto al origen de coordenadas. 2. Encontrar la ordenada del punto simétrico de (16; –4) con respecto al eje "x". 7. Grafica el simétrico del triángulo ABC tal que: A(–3; 4), B(1; 1) y C(4; 3) con respecto al eje "x". 3. Graficar el simétrico del segmento EF tal que: E(–4; –2) y F(6; 0) con respecto al eje "x". 8. Grafica el simétrico del triángulo PQR tal que: P(1; 5), Q(6; 0) y R(2; –5) con respecto al eje "y". 4. Graficar el simétrico del segmento PQ tal que: P(–1; 4) y Q(3; –5) con respecto al eje "y". 5. Graficar el simétrico del triángulo ABC tal que: A(–5; –6), B(–3; –5) y C(–1; –4) con respecto al eje "x".
4
Recordemos variando simetrías En este capítulo aprenderemos: •
A diferenciar las clases de simetría.
•
A reconocer una figura simétrica, ubicando su punto o eje de simetría.
•
A reflejar una figura con respecto a un punto, a un eje o en el plano cartesiano.
Eje Eje Utilizando las diferentes formas de reflejos mediante las simetrías aprendidas, se pueden obtener una variedad de realces de nombres para su publicidad.
y
x
10 x 5 50
Aplica lo comprendido Conceptos básicos •
Graficar las figuras simétricas con respecto al 3. punto "E", en cada caso.
1. E E 2.
•
Graficar las figuras simétricas con respecto al eje m, en cada ejercicio. !
!
4. m
E
4 5.
9.
m
y
(–2; 2)
6.
(2; 2)
m x
(0; –5)
7.
m •
•
Graficar las figuras simétricas de los triángulos ABC con respecto al eje "x".
10. A(1; 3), B(2; –4) y C(4; –3)
Graficar las figuras simétricas con respecto al 11. A(–2; –5), B(–7; –1) y C(2; 0) origen de coordenadas de cada triángulo. •
8. (–6; 7)
y
Graficar las figuras simétricas de los triángulos PQR con respecto al eje "y".
12. P(–5; 0), Q(–1; 3) y R(0; –4) (–7; 3)
13. P(–3; –1), Q(2; 2) y R(0; –5)
(–1; 4) x
• 14.
15.
Trazar el eje o los ejes de simetría de las siguientes figuras.
Recordemos variando simetrías 18:10:45
Practica en casa s o c i s á b s o t p e c n o C 1. Reflejar el triángulo PQR con respecto al eje "x". 5. Graficar el triángulo ABC tal que: A(0; 7), B(6; 0) y C(0; –5) y reflejarlo respecto al y origen de coordenadas. P(0; 4)
Q(–3; –1)
R(3; –1)
6. Graficar el triángulo ABC tal que: A(–2; 4), B(5; 3) y C(4; –4). Luego reflejarlo con respecto al origen de coordenadas. x
7. Graficar el triángulo PQR tal que: P(3; 0), Q(1; –4) y R(5; 3). Luego reflejarlo con respecto al eje "y". 8. Reflejar el triángulo ABC con respecto al eje "y". y
2. Graficar el triángulo ABC tal que: A(–2; 5), B(0; 7) y C(3; 4) y reflejarlo con respecto al eje "x". 3. Graficar el triángulo ABC tal que: A(2; 5), B(6; 1) y C(4; –3) y reflejarlo respecto al origen de coordenadas. 4. Graficar el cuadrilátero ABCD tal que: A(–1; 0), B(0; 3), C(3; 3) y D(5; 0). Luego reflejarlo con respecto al eje "y".
B(4; 6)
A(–2; 0) x
C(1; –2)
UNIDADUNIDAD 4 1 UNIDAD 4 FIGURAS TRIANGULARES EN DIVERSOS OBJETOS Y CONSTRUCCIONES DE TRIÁNGULOS
E
n la elaboración de estructuras metálicas para techos o columnas, se utilizan las figuras triangulares por que el peso se distribuye en más direcciones y hace más sólida una edificación. ¿Por qué tienen forma triangular?
APRENDIZAJES ESPERADOS
•
Reconocer los diferentes tipos de triángulos.
•
Graficar triángulos con el uso del compás y la regla.
•
Relacionar los elementos necesarios del triángulo para su elaboración.
1
Los lados de un triángulo En este capítulo aprenderemos: •
A identificar y nombrar al triángulo por las longitudes de sus lados.
•
A utilizar el compás y la regla para graficar un triángulo, con las medidas reales de sus lados.
•
A reconocer si tres segmentos cualesquiera pueden formar un triángulo.
m t 2 0
2 0 m t
t 1 6 m
14 m t
12 mt
8 mt 20 mt
En un campo de fútbol, las posiciones que ocupan tres jugadores te pueden dar la idea de triángulos, como se observa en el gráfico. ¿Tres jugadores siempre formarán un triángulo?
Conceptos básicos
Definición de triángulo Es la figura geométrica formada por tres segmentos consecutivos y de extremos comunes. b
a
a
c
c b
Clasificación de triángulos de acuerdo a las longitudes de sus lados Triángulo escaleno
Triángulo isósceles
Triángulo equilátero
Los tres lados son de diferente longitud
base Dos lados son de igual longitud
Los tres lados son de igual longitud
Construir un triángulo conociendo las longitudes de sus tres lados O L P M E J E
•
Graficar el triángulo de lados 5; 7 y 9 cm. Resolución:
Graficar un lado de preferencia el mayor: 9 cm Luego, con el compás y a partir de los extremos trazar con las medidas de los otros dos lados.
7 c m
m c 5
9 cm Finalmente el punto de intersección se une con los extremos del segmento inicialmente trazado.
5 cm
7 cm
9 cm
1
Los lados de un triángulo
•
Graficar el triángulo isósceles cuyos lados miden 4; 4 y 1 cm. Resolución:
m c 4
1 c m
4 cm 1 cm
4 cm •
4 cm
Graficar el triángulo equilátero de lado igual a 3 cm. Resolución:
3 c m
3 cm
3 cm
m 3 c
3 cm
3 cm
Existencia de un triángulo Si el lado mayor de un triángulo es igual o mayor que la suma de los otros dos lados, entonces no hay punto de intersección por lo tanto no se forma el triángulo. O L P M E J E
•
Graficar el triángulo cuyos lados miden 3; 4 y 7 cm. Resolución: 1ero: 7 = 3 + 4
&
El triángulo no se forma.
m c 4
3 c m
7 cm
2do: Como se observa no hay punto de intersección, entonces no se forma el triángulo
1 •
Graficar el triángulo cuyos lados miden 2; 5 y 8 cm. Resolución: 1ero: El mayor lado: 8 > 2 + 5 El triángulo no existe. 2do: Comprobando gráficamente. &
m 5 c
•
2 c m
3ero: No hay punto de intersección, entonces no existe el triángulo
8 cm Graficar el triángulo isósceles donde dos de sus lados miden 3 y 6 cm. Resolución: Si dos lados miden 3 y 6 cm, entonces uno de ellos se repite. Caso I: Si se repite el lado que mide 3 cm, los lados serían: 3; 3 y 6 cm. 1ero: Comprobando si existe: 6 cm= 3 cm + 3 cm. 2do: Entonces, el triángulo de lados 6; 3 y 3 cm no existe. Caso II: Si se repite el lado que mide 6 cm, los lados serían: 6; 6 y 3 cm. 1ero: Comprobando si existe: 6 cm < 6 cm + 3 cm. 2do: Como 6 cm es menor que 9 cm, entonces el triángulo de lados 6; 6 y 3 cm si existe.
6 cm
3 cm
6 cm
10 x 5 50
Aplica lo comprendido Conceptos básicos 1. Indicar si es verdadero (V) o falso (F) las siguientes proposiciones: • El triángulo que tiene sus tres lados de diferentes longitudes se llama isósceles ....................( • El triángulo que tiene dos lados de igual longitud se llama equilátero ...................................(
) )
Los lados de un triángulo
2. Completar la relación según el gráfico, para que el triángulo exista. b
a
x x ......... a + b
•
Usando el compás:
3. Graficar el triángulo de lados 3; 4 y 5 cm.
8. Graficar el triángulo (si existe) de lados 2; 5 y 6 cm.
4. Graficar el triángulo de lados 5; 6 y 7 cm. 9. Graficar el triángulo isósceles de lados 9 y 3 cm. 5. Graficar el triángulo isósceles de lados 5 y 2 cm. 6. Graficar el triángulo equilátero de lado 4 cm.
10. Graficar el triángulo isósceles (si existe) de lados 5 y 12 cm.
7. Graficar el triángulo equilátero de lado 7 cm.
¡Tú puedes!básicos Conceptos 1. Graficar el triángulo isósceles ABC, sabiendo que su base AC mide 6 cm y el perímetro del triángulo es de 16 cm. 2. Graficar el triángulo escaleno ABC, de lados: AB = 3 cm; BC = 4 cm y AC = 5 cm. Luego graficar el triángulo equilátero AMC de lado 5 cm. Haciendo uso del transportador, calcular: m BBCM. 3. Calcular el perímetro de un triángulo isósceles en el cual dos de sus lados miden 18 y 8 cm. 18:10:45
Practica en casa s o c i s á b s o t p e c n o C •
Utilizando el compás:
1. Graficar el triángulo de lados 11; 9 y 18 cm.
5. Graficar el triángulo isósceles de lados 6 y 1 cm.
2. Graficar el triángulo de lados 5; 12 y 14 cm.
6. Graficar el triángulo isósceles de lados 7 y 3 cm.
3. Graficar el triángulo de lados 8; 10 y 17 cm.
7. Graficar el triángulo de lados 4; 7 y 9 cm.
4. Graficar el triángulo isósceles de lados 11 y 3 cm. 8. Graficar el triángulo de lados 6; 8 y 10 cm.
Los ángulos de un triángulo En este capítulo aprenderemos: •
A identificar y nombrar al triángulo por sus medidas angulares.
•
A relacionar lados y ángulos del triángulo.
•
A interpretar y graficar a partir de un enunciado, los diferentes tipos de triángulos.
bº
aº
qº
bº bº aº
qº
aº
qº
Si se corta una hoja de papel en forma triangular y se marcan los ángulos internos como: "aº", "bº" y "qº" y luego se doblan las puntas haciendo coincidirlas en uno de los lados, entonces siempre se formará un rectángulo. • •
¿Qué observas? ¿Cuánto suman "aº", "bº" y "qº"?
2
Los ángulos de un triángulo
Conceptos básicos
Suma de ángulos internos del triángulo En todo tipo de triángulo, la suma de los ángulos internos es 180º. B bº
aº + bº + cº = 180º
A
aº
cº
C
Clasificación de los triángulos de acuerdo a las medidas de sus ángulos Triángulo acutángulo
Triángulo rectángulo
bº
o t e t a c
aº
Triángulo obtusángulo
h p i o t e n u s a gº
cateto
qº
"aº", "bº" y "qº" son agudos
Un ángulo es recto
Un ángulo interno es obtuso
Observación
•
En el triángulo rectángulo, como un ángulo mide 90º, entonces los otros dos ángulos suman 90º.
aº
qº
aº
+ qº = 90º
bº
aº
aº + bº = 90º
2 Observación
•
En el triángulo isósceles, a lados iguales se le oponen ángulos de medidas iguales. B Si: AB =BC Se cumple: mBA = mBC aº
aº
•
A
base
C
En todo triángulo equilátero, la medida de cada ángulo interno es igual a 60º. B 60º L
A
El triángulo ABC es equilátero
L
60º
60º L
C
10 x 5 50
Aplica lo á comprendido s o c i s b s o t p e c n o C
1. Indicar si es verdadero (V) o falso (F) las siguientes proposiciones: • Si los ángulos internos de un triángulo son agudos, el triángulo se llama obtusángulo .............( • Si un ángulo interno de un triángulo es obtuso, el triángulo se llama acutángulo ..............(
) )
2. Dos ángulos internos de un triángulo miden 5. En un triángulo rectángulo, un ángulo interno 30º y 70º. Calcular el tercer ángulo interno del mide 20º. Calcular la medida del tercer ángulo triángulo y clasificarlo. interno. 3. Dos ángulos internos de un triángulo miden 20º 6. En un triángulo, dos de sus ángulos miden y 100º. Calcular la medida del tercer ángulo 70º y 40º. Calcular el tercer ángulo interno y interno y clasificarlo. clasificarlo. 4. En un triángulo rectángulo, un ángulo interno 7. Dos ángulos de un triángulo miden 15º y 75º. mide 50º. Calcular la medida del tercer ángulo Calcular el tercer ángulo interno e indicar el interno. tipo de triángulo.
Los ángulos de un triángulo
8. Dos ángulos de un triángulo miden 80º y 20º. 10. En un triángulo rectángulo, un ángulo mide 45º. Calcular el tercer ángulo interno e indicar el Calcular el tercer ángulo interno y clasificar tipo de triángulo. dicho triángulo. 9. En un triángulo rectángulo, un ángulo mide 55º. Calcular el tercer ángulo interno y clasificar el triángulo.
¡Tú puedes!básicos Conceptos 1. Graficar el triángulo equilátero ABC de lado 6 cm, luego grafique interiormente el triángulo AEC tal que: mBEAC=40º y m BECA=30º. 2. Graficar un triángulo isósceles, cuyos lados iguales miden 5 cm y además forman 120º. (Usar transportador). Calcular la medida de los otros dos ángulos internos. 3. Graficar el triángulo rectángulo isósceles cuyo cateto mide 4 cm, luego interiormente dibujar el triángulo isósceles obtusángulo cuyo ángulo interno mide 100º y su lado mayor es igual a la hipotenusa.
18:10:45
Practica en casa s o c i s á b s o t p e c n o C 1. Hallar "aº"
4. Hallar "bº" 130º
60º
70º
aº
2. Hallar "xº"
50º
aº
80º
2bº
5. En un triángulo isósceles, uno de los ángulos iguales mide 65º. Calcular el tercer ángulo interno.
xº
3. Hallar "aº"
10º
6. En un triángulo, dos ángulos internos miden 74º y 46º. Calcular la medida del tercer ángulo interno. 7. En un triángulo, dos ángulos internos miden 27º y 53º. Calcular la medida del tercer ángulo interno. 8. Graficar el triángulo, tal que dos de sus ángulos miden 60º y 20º. Calcular el tercer ángulo y clasificarlo.
3
Lados y ángulos del triángulo En este capítulo aprenderemos: •
A construir triángulos con el uso del transportador, conociendo medidas angulares y longitudes de lados.
•
A identificar a los triángulos de acuerdo a sus lados y ángulos.
•
A relacionar a los elementos del triángulo para su determinación.
En "Origami" (que es el arte de doblar el papel) se forman figuras diversas que en su mayoría están compuestas por triángulos. •
¿Cuántos triángulos observas en la figura?
Saberes previos •
Completar los elementos del triángulo: B
A •
C
Vértices: A; ________________ Lados: AB; ________; ________ Ángulos internos: BA; _______
¿Cómo se lee la siguiente expresión? mBA = 40º __________________________________________________ m BC = 12 cm ________________________________________________
•
Completar: Los lados de un triángulo se miden en unidades de _____________________
Lados y ángulos de un triángulo
Conceptos básicos
Construir un triángulo conociendo la longitud de un lado y los dos ángulos adyacentes a él. Procedimiento: Se grafica el lado y con el transportador a partir de cada extremo del lado, graficar cada ángulo conocido.
O L P M E J E
•
Graficar el triángulo ABC, tal que: mBA = 60º; mBC = 70º y mAC = 8 cm. Resolución:
B
60º
A •
70º
8 cm
C
A
60º
70º
C
8 cm
Graficar el triángulo PQR, tal que: mBP = 40º; mBQ = 60º y mRP = 6 cm. Resolución: Como se observa no se conoce la medida del ángulo "R". Hallemos la mBR con la propiedad: mBR + 40º + 60º = 180º
&
mBR = 80º
Q
P
40º
80º
6 cm
R
P
40º
80º
6 cm
R
Construir un triángulo conociendo las longitudes de dos lados y la medida del ángulo que forman dichos lados. Procedimiento: Se grafica uno de los lados conocidos de preferencia el de mayor longitud. Luego con el transportador se grafica el ángulo conocido y con la regla medir según la longitud del otro lado.
3 O L P M E J E
•
Graficar el triángulo ABC, tal que: mBA = 40º; AB = 5 cm y AC = 8 cm. Resolución:
B
5
40º
A •
m c
40º
8 cm
C
8 cm
A
C
Graficar el triángulo PQR, tal que: mBQ = 100º; PQ = 3 cm y QR = 6 cm. Resolución: Q
Q 100º
m c 3
6 c m
100º 6 c m
P
R
R
10 x 5 50
Aplica lo á comprendido s o c i s b s o t p e c n o C 1. Graficar el triángulo ABC, tal que: mAB = 5 cm; mBA = 30º y m BB= 50º. 2. Graficar el triángulo ABC, tal que: mBA = 10º; mBC = 30º y AC = 12 cm. 3. Graficar el triángulo equilátero de 12 cm de perímetro. 4. Graficar el triángulo PQR, tal que: QR = 9 cm; mBQ = 100º y mBR = 20º 5. Graficar el triángulo DEF, tal que: EF = 10 cm; DE= 8 cm y mBE = 80º. 6. Graficar el triángulo en el cual un lado mide 9 cm y los ángulos adyacentes a él miden 30º y 50º.
Lados y ángulos de un triángulo
7. Indicar si es verdadero (V) o falso (F) las siguientes proposiciones: •
Si se conoce dos ángulos internos de un triángulo, se puede conocer el tercero .................(
)
•
Si se conoce dos lados de un triángulo y un ángulo interno cualquiera, se puede graficar dicho triángulo .............................................................................................................................( )
• En todo triángulo isósceles a lados de longitudes iguales se les opone ángulos de medidas iguales ............................................................................................................................................( ) •
El perímetro del triángulo es igual a la suma de las longitudes de sus lados ........................(
)
8. Graficar el triángulo rectángulo isósceles de 10. Graficar el triángulo DHE, tal que: mBH = 140º; catetos igual a 4 cm. DH = 6 cm y HE = 4 cm. Además clasificar dicho triángulo. 9. Graficar el triángulo equilátero de perímetro igual a 9 cm.
¡Tú puedes!básicos Conceptos 1. Graficar un triángulo ABC equilátero. Luego, el triángulo APC isósceles (AC = CP) tal que: mBPAC = 20º y unir "B" con "P". Haciendo uso del transportador, calcular la m BBPA. 2. Graficar el triángulo PQR isósceles (PQ = QR) tal que: mBQ = mBR = 80º, luego trazar la bisectriz relativa a QR y trazar la distancia de "Q" a dicha bisectriz. 3. Graficar el triángulo ABC, tal que: mBA = 80º; mBC = 60º y AC = 6 cm, luego trazar la distancia de "B" al lado AC. ¿En qué ángulos queda dividido la mBB? 18:10:45
Practica enbásicos casa Conceptos 1. Graficar el triángulo de lados 6 y 5 cm, además 5. Graficar el triángulo PQR, tal que: mBP = 60º; el ángulo entre ellos mide 50º. mBR = 40º y m PQ = 7 cm y clasificarlo. 2. Graficar el triángulo de lados 3 y 9 cm, además 6. Graficar el triángulo ABC, tal que: mBA = 130º; dichos lados forman un ángulo de 110º. mBB = 30º y mAC = 10 cm y clasificarlo. 3. Graficar el triángulo PQR, tal que: mBP = 30º; 7. Graficar el triángulo rectángulo cuyos catetos mBR = 60º y mPR = 11 cm y clasificarlo. miden 2 y 3 cm. 4. Graficar el triángulo PQR, tal que: mBP = 20º; 8. Graficar el triángulo rectángulo isósceles cuya mBQ = 90º y m PQ = 13 cm y clasificarlo. hipotenusa mide 5,5 cm.
4
Recordando lo aprendido m t 2 0
2 0 m t
m t 1 6
14 m t
12 mt
8 mt
bº
20 mt
aº
qº
bº bº aº
aº
qº
qº
Síntesis teórica
TRIÁNGULOS
Clases de triángulos por sus lados
Escaleno
Propiedad de la suma de ángulos internos del triángulo
Isósceles
Clases de triángulos por sus ángulos
Equilátero
Construcción de triángulos conociendo sus lados
Acutángulo
Rectángulo
Construcción de triángulos conociendo un lado y sus ángulos adyacentes
Obtusángulo
Construcción de triángulos conociendo dos lados y el ángulo que forman
Recordando lo aprendido 10 x 5 50
Aplica lo á comprendido s o c i s b s o t p e c n o C 1. Clasificar de acuerdo a sus ángulos y a sus 7. Graficar el triángulo donde un lado mide 9 cm lados, el triángulo mostrado: y los ángulos adyacentes a él miden 50º y 70º. (Usar transportador). 8. Graficar el triángulo donde un lado mide 8 cm y los ángulos adyacentes a él miden 20º y 100º. (Usar transportador).
60º
35º
9. Graficar el triángulo PQR, tal que: PQ = 11 cm; QR = 9 cm y m BQ = 30º. 2. Clasificar de acuerdo a sus ángulos y a sus lados, el triángulo mostrado: 10. Graficar el triángulo ABC, tal que: AB = 5 cm; BC = 7,5 cm y m BB = 60º. 11. Graficar el triángulo ABC, tal que: AB = 5 cm y mBB = mBC = 35º. 25º
45º
12. Graficar el triángulo PQR, tal que: QR = 8 cm; mBP = 40º y m BR = 30º.
3. Graficar el triángulo cuyos lados miden 10; 8 y 6 cm (Usar compás). 13. Graficar al triángulo en el cual dos de sus lados miden 6 y 8 cm. Además forman un ángulo 4. Graficar el triángulo cuyos lados miden 9; 6 y recto. 14 cm (Usar compás). 14. Graficar al triángulo en el cual dos de sus lados 5. ¿Cuál de los siguientes triángulos no existe? miden 10 y 5 cm. Además forman un ángulo de 60º.
a)
1 2 c m
c m 8
b) 20 cm
1 2 c m
m c 4 2
108º
c m 1 3
36 cm c)
1 9 c m
xº
m c 8 1
6. ¿Cuál de los siguientes triángulos no existe? c m 2 1
5 c m
a)
b) 12 cm
c)
m c 4 1
8 cm
15. Calcular "xº".
7 c m
m c 6
6 c m
13 cm
36º
4
18:10:45
Practica en casa s o c i s á b s o t p e c n o C 1. Graficar al triángulo cuyos lados miden 13; 14 • Calcular "xº", en cada ejercicio: y 15 cm. 7. 2. Graficar al triángulo isósceles de lados 9 y 83º 4 cm. 3. Graficar el triángulo isósceles ABC, tal que: AB = BC = 10 cm y mBB = 35º. 4. Graficar el triángulo ABC, tal que: m BA= 10º; mBB = 20º y AC = 14 cm.
xº
76º
8.
5. Graficar el triángulo equilátero de perímetro 39 cm.
xº
6. Graficar el triángulo equilátero de perímetro 31,5 cm. 64º
UNIDADUNIDAD 5 1 A
D
H
B
M
C
A'
TRACEMOS LÍNEAS NOTABLES EN EL TRIÁNGULO
T
enemos dos pelotas y se quiere hacer rebotar una de ellas en el piso DC para que choque con la otra. ¿En qué punto de DC debe chocar la pelota? El punto "M" es donde debe rebotar la pelota "A". Para ubicar "M" se necesita el punto simétrico de "A" que es "A'", y luego unir "A'" con "B". • ¿Qué línea notable representa MH para el triángulo AMA'?
APRENDIZAJES ESPERADOS •
Identifica las rectas notables asociadas al triángulo.
•
Reconoce cada una de las rectas notables y su ubicación en el triángulo.
•
Analiza los datos disponibles para graficar las diferentes líneas notables.
•
Formula estrategias para la resolución de problemas.
1
La mediatriz en el triángulo En este capítulo aprenderemos: •
A graficar las mediatrices respecto a los lados del triángulo.
•
A utilizar correctamente los instrumentos de dibujo: compás, regla y transportador.
L2
L1
A B
L3
C
D
E
F
Entre BC y DE se han trazado dos rectas perpendiculares con la ayuda del compás. Estas rectas sirven para identificar el centro y poder equilibrar la construcción de las ventanas, darle armonía y estética al edificio. • ¿Qué líneas notables están representadas en el dibujo mostrado?
La mediatriz en el triángulo
Saberes previos •
Para ubicar el punto medio de un segmento, se utiliza el compás. Se trazan dos arcos desde los extremos que sean mayores a la mitad del segmento.
•
Recta perpendicular: es la que forma un ángulo de 90º.
Conceptos básicos
Mediatriz de un segmento de recta Es la recta perpendicular que pasa por el punto medio de uno de sus lados. B : Recta perpendicular a AC
C
A
L
Recuerda que...?
Para trazar la mediatriz se necesita un compás y una regla. También puede trazarse con un transportador, cuando se conoce el punto medio de un lado.
Cuadro resumen 1.er paso:
2.do paso:
B
A
A
B
L
A
C
L
B
1
10 x 5 50
Aplica lo á comprendido s o c i s b s o t p e c n o C 1. Indica si es verdadero (V) o falso (F), según corresponda: • • • • • •
La mediatriz es un segmento de recta ............................................................................. ( La mediatriz parte de un vértice y llega al punto medio del lado opuesto ....................... ( Las mediatrices no tienen ninguna propiedad ................................................................ ( Las mediatrices dividen a un segmento en dos segmentos iguales .................................. ( En todo triángulo, las mediatrices forman un ángulo de 90º con su lado relativo ............ ( En un triángulo isósceles, la mediatriz del lado diferente pasa por el vértice opuesto...... (
) ) ) ) ) )
2. Grafica el triángulo ABC, tal que: m A=30º y 7. Traza las mediatrices de PL y LM. m C=60º. Luego, traza la mediatriz del lado BC. P
3. Grafica el triángulo ABC, tal que: AB=BC=5'cm y la m B=120º. Luego, traza la mediatriz del lado AC.
L
M
4. Grafica el triángulo CDR, tal que: CD=5'cm, DR=4'cm y m D=110º. Luego, traza la me- 8. Grafica un triángulo rectángulo isósceles. Luego, traza la mediatriz de la hipotenusa. diatriz del lado CD. 5. Grafica un triángulo de lados 8; 8 y 4'cm. 9. Grafica el triángulo AEF, tal que: AE=4 cm, EF=6 cm y AF=7 cm. Luego, traza la mediatriz Luego, traza la mediatriz relativa al lado relativa al lado EF. menor. 10. Grafica el triángulo PQR, tal que: m P=80º y m R=20º. Luego, traza la mediatriz de PR.
6. Traza las mediatrices de AB y BC. B
A
C
¡Tú puedes!básicos Conceptos 1. Grafica el triángulo EDU, tal que: m D=130º y m E=20º. Luego, traza las mediatrices de ED y DU. 2. Grafica un triángulo equilátero y traza las mediatrices de dos de sus lados. 3. Grafica el triángulo isósceles ABC, tal que: m B=30º y AB=BC=8 cm. Luego, traza las mediatrices de AB y BC.
La mediatriz en el triángulo
18:10:45
Practica en casa s o c i s á b s o t p e c n o C 1. Traza la mediatriz de PB.
4. Grafica el triángulo PQR, tal que: m P=60º y m R=45º. Luego, traza la mediatriz de QR, si además, PR=6 cm.
B
5. Grafica el triángulo MNP, tal que: MN=6'cm, NP=8 cm y MP=10 cm. Luego, traza la mediatriz de NP. P
O
2. Traza la mediatriz de TR. T
6. Grafica el triángulo PQF, tal que: m P=40º, m F=55º y PF=6,5 cm. Luego, traza la mediatriz de PQ. 7. Grafica un triángulo obtuso de 115º y traza la mediatriz del lado mayor. 8. Grafica un triángulo equilátero de lado 6,5 cm y traza una de sus mediatrices.
S
R
3. Grafica el triángulo ABC, tal que: m A=40º y m C=70º. Luego, traza la mediatriz de BC.
2
La altura en el triángulo En este capítulo aprenderemos: •
A identificar los tipos de triángulos.
•
A utilizar correctamente los instrumentos de dibujo: escuadras, regla y transportador.
Saberes previos •
Dos rectas perpendiculares forman un ángulo de 90º.
•
El triángulo isósceles tiene dos lados iguales, el triángulo escaleno tiene sus lados diferentes y el triángulo equilátero tiene tres lados iguales.
Conceptos básicos La altura es el segmento de recta trazado desde un vértice hacia el lado opuesto o a su prolongación, en forma perpendicular. B H
A
AH: altura
C
Recuerda que...? Para trazar las alturas en un triángulo obtusángulo, hay que prolongar los lados (opuestos a los ángulos agudos).
La altura en el triángulo
Cuadro resumen
Triángulo acutángulo
10 x 5 50
Triángulo rectángulo
Triángulo obtusángulo
Aplica lo á comprendido s o c i s b s o t p e c n o C 1. Indica si es verdadero (V) o falso (F), según corresponda: • • • • • •
La altura es siempre perpendicular a sus lados o a sus prolongaciones ........................( Las alturas trazadas son siempre interiores al triángulo ................................................( Las alturas trazadas en el triángulo acutángulo son interiores ......................................( Las alturas trazadas en el triángulo obtusángulo son exteriores ...................................( El triángulo isósceles tiene dos alturas iguales .............................................................( El triángulo rectángulo tiene una altura trazada internamente .....................................(
) ) ) ) ) )
2. Grafica el triángulo PQR, tal que: PQ=3 cm, 7. Grafica el triángulo MNS, tal que: MN=5 cm, QR=4 cm y RP=5 cm. Luego, traza la altura NS=7 cm y MS=9 cm. Luego, traza la altura QM. SB. 3. Grafica el triángulo PQR, tal que: PQ=4 cm, 8. Grafica el triángulo RST, tal que: RS=6'cm, ST=7'cm y RT=8'cm. Luego, traza la altura QR=7 cm y m Q=120º. Luego, traza la altura relativa al lado QR. relativa al lado intermedio. 4. Grafica el triángulo equilátero RST, de lado 9. Grafica un triángulo equilátero de lado 7 cm y 6 cm. Luego, traza la altura relativa al lado ST. luego traza una de sus alturas. 5. Grafica el triángulo ABC, tal que: AB=5 cm, 10. Grafica el triángulo PQR, tal que: m P=40º, BC=6 cm y m B=110º. Luego, traza la altura m R=70º y PR=6 cm. Luego, traza la altura BH. relativa al lado QR. 6. Grafica el triángulo ABC, tal que: AC=4 cm y AB=BC=8 cm. Luego, traza la altura relativa al lado menor.
2 ¡Tú puedes!básicos Conceptos 1. Grafica el triángulo PQR, tal que: m P=35º, m R=75º y PR=6 cm. Luego, traza la altura QH y clasifica el triángulo PQR. 2. Grafica el triángulo ABC, tal que: m C=110º, m A=40º y AC=7 cm. Luego, traza la altura BH. 3. Grafica el triángulo PQM, tal que: m P=40º y m Q=120º. Luego, traza la altura QN.
18:10:45
Practica enbásicos casa Conceptos 1. Grafica el triángulo ABC, tal que: m A=40º y 5. Grafica un triángulo equilátero de lado 6 cm y m C=60º. Luego, traza la altura BH. traza una de sus alturas. 2. Grafica el triángulo PQR, tal que: m P=70º 6. Grafica un triángulo acutángulo y traza la altura y m R=50º. Luego, traza la altura QH, si de uno de sus vértices. además, PR=8 cm. 7. Grafica el triángulo RNM, tal que: RN=6 cm, 3. Grafica el triángulo MNP, tal que: MN=6 cm, MN=2 cm y m N=50º. Luego, traza la altura NP=8 cm y MP=12 cm. Luego, traza la altura RH. PH. 8. Grafica el triángulo rectángulo ABC, tal que: 4. Grafica el triángulo PQF, tal que: m P=45º, AB=6'cm, BC=8 cm y AC=10 cm. Luego, traza m F=40º y PF=7'cm. Luego, traza la altura QH. la altura BH.
3
La mediana y la bisectriz en el triángulo En este capítulo aprenderemos: •
A identificar los tipos de triángulos.
•
A utilizar correctamente los instrumentos de dibujo: compás, regla y transportador.
Mediana Bisectriz
a º a º
Las cuerdas que se utilizan para manejar o gobernar las velas en los botes, tienen la función de la mediana y de la bisectriz, tanto cuando las velas están desplegadas, como cuando están recogidas en parte. • ¿Cuáles son las líneas notables que se representan por cuerdas en el manejo de las velas?
3 Saberes previos •
El punto medio de un segmento es aquel que divide al segmento en dos segmentos iguales.
•
La bisectriz de un ángulo es aquel rayo que divide al ángulo en dos ángulos iguales.
Conceptos básicos B
Bisectriz Es el segmento de recta que parte al ángulo en dos ángulos iguales, comprendido entre su vértice y el lado opuesto.
M A
aº aº
AM: bisectriz C
B
Mediana Es el segmento de recta que tiene por extremos a un vértice y al punto medio del lado opuesto a dicho vértice.
K A
AK: mediana C
Recuerda que...? • •
Para trazar la bisectriz se necesita un compás o un transportador. Para trazar la mediana se necesita un compás o una regla.
Cuadro resumen B
B
L
A
C
A
B
AL: bisectriz
aº aº
C B K
A
C
A
AK: mediana C
La mediana y la bisectriz en el triángulo 10 x 5 50
Aplica lo á comprendido s o c i s b s o t p e c n o C 1. Indica si es verdadero (V) o falso (F), según corresponda: • • • • • •
La bisectriz es siempre interior al triángulo ..................................................................... ( La mediana se traza en forma externa al triángulo .......................................................... ( La bisectriz es siempre perpendicular al lado opuesto ................................................... ( La mediana es perpendicular al lado opuesto siempre ................................................... ( En el triángulo equilátero, la mediana y la bisectriz coinciden en una misma recta ........ ( En el triángulo rectángulo isósceles, la mediana relativa a la hipotenusa es perpendicular a esta .... .............................................................................................. ( 2. Grafica el triángulo PQR, tal que: PQ=3 cm, QR=6 cm y PR=5 cm. Luego, traza la bisectriz 7. Traza la mediana TP. PM.
) ) ) ) ) )
T
3. Traza la mediana MP. L
R
S
8. Traza la mediana TP. M
C
T
4. Traza la bisectriz CD. M
S
L
9. En un triángulo equilátero de lado 6 cm, traza una de sus medianas. E
C
5. Grafica el triángulo equilátero LMN, de lado 6'cm y traza la bisectriz LS. 6. Traza la bisectriz del ángulo "P". P
Q
R
10. Grafica el triángulo isósceles PQR, tal que: PQ=4'cm y QR=PR=6'cm. Luego, traza la bisectriz del ángulo "P".
3 ¡Tú puedes!básicos Conceptos 1. Grafica el triángulo ABC, tal que: m A=70º, m C=20º y AC=9 cm. Luego, traza las medianas AN y BM, tal que se corten en "G". 2. Grafica el triángulo ABC, tal que: m A=70º, m C=40º y AC=8 cm. Luego, traza la bisectriz BN y después, traza la mediana BM, las cuales cortan al lado AC. 3. Grafica un triángulo PQR, tal que: PQ=5 cm, QR=7 cm y PR=9 cm. Luego, traza la bisectriz de los ángulos "P" y "Q". 18:10:45
Practica enbásicos casa Conceptos 1. Grafica la mediana OM.
5. Grafica el triángulo PQR, tal que: m P=65º y m R=50º. Luego, traza la mediana QM, si además, PR=6 cm.
P
6. Grafica un triángulo rectángulo ABC, tal que: AB=5 cm, BC=9 cm y m B=90º. Luego, traza la bisectriz del ángulo "A".
Q
O
7. Grafica el triángulo EFN, tal que: m E=60º, m F=50º y EF=5 cm. Luego, traza la bisectriz del ángulo "F".
2. Grafica la bisectriz PR. Q
8. Traza la mediana AD. A N
P
3. Grafica la mediana AP. B
A
B
C
4. Grafica la bisectriz SH. S
M
N
C
4
Recordando lo aprendido En este capítulo aprenderemos: •
A repasar las diferentes líneas notables: altura, bisectriz, mediatriz y mediana.
N
NO
NE
O
E
SO
SE
h t t p : / / 3 . b p . b l o g s p o t . c o m
S Nivelando el terreno (alturas)
Mediante la bisectriz podemos dividir varias veces un ángulo, cada uno en la mitad del anterior, y una aplicación es la Rosa Náutica, que nos sirve para saber el rumbo a tomar en la navegación, ya sea por tierra, aire o mar. • ¿Podemos ubicar siempre un rumbo equidistante entre otros dos rumbos?
4 Conceptos básicos
Altura Es la perpendicular trazada desde un vértice a su lado opuesto en el triángulo dado.
Bisectriz Es el segmento de recta que divide a cada ángulo interior de un triángulo, en dos ángulos de igual medida.
Mediatriz Es la recta perpendicular que pasa por el punto medio de uno de sus lados.
Mediana Es el segmento de recta que tiene por extremos a un vértice y al punto medio del lado opuesto a dicho vértice.
Recuerda que...? • •
El punto medio divide a un segmento en dos partes iguales. La bisectriz divide al ángulo en dos ángulos iguales.
Cuadro resumen B
Q
BH: altura
A
C
H
L
QM: mediana
P
R
L
m m: mediatriz
S
M
M
aº aº
K
S
LS: bisectriz
M
Recordando lo aprendido 10 x 5 50
Aplica lo á comprendido s o c i s b s o t p e c n o C 1. Indica si es verdadero (V) o falso (F), según corresponda: •
La bisectriz y la mediana, en el triángulo rectángulo, coinciden en una misma recta ....(
)
•
La altura y la mediatriz, en el triángulo equilátero, coinciden en una misma recta .......(
)
2. De acuerdo al gráfico, nombra según corresponda: B L
A
a. Altura b. Bisectriz
3)
c. Mediana d. Mediatriz
( )
L
C
E
D
1) BD ( ) 2 BE ( )
3. Grafica el triángulo PSL, tal que: PS=6'cm, 10. Grafica un triángulo equilátero de lado 6,5 cm. SL=7'cm y m S=40º. Luego, traza la altura Luego, traza la altura de uno de sus vértices. PH. 11. Traza la mediana MP en el triángulo isósceles 4. Traza la altura relativa a EF. LMB, tal que: LM=5 cm y MB=LB=7 cm. E
12. Traza la altura BH. A
D
C
F
B
5. Traza la mediatriz relativa a KS. S
13. Traza la bisectriz BP. B K
T
6. Grafica el triángulo isósceles ABC, tal que: AC=4'cm y AB=BC=7'cm. Luego, traza la altura AH.
C
A
7. Grafica el triángulo PQR, tal que: m 14. Traza la mediatriz de PQ. P=40º, m R=70º y PR=5 cm. Luego, traza la mediatriz de QR. R 8. Grafica el triángulo isósceles PQR, tal que m Q=120º. Luego, traza la bisectriz del ángulo "Q". 9. Grafica el triángulo rectángulo ABC, recto en "B", tal que: AB=4 cm y BC= 5 cm. Luego, traza la mediatriz de AC.
P
Q
4
15. Traza la mediatriz de MN. M
N
P
¡Tú puedes! s o c i s á b s o t p e c n o C 1. Grafica el triángulo PQR, tal que: m P=20º, m R=40º y PR=8 cm. Luego, traza la bisectriz del ángulo exterior en "R", tal que la prolongación de PQ y dicha bisectriz exterior se corten en "E". Ubica el incentro del triángulo QER. 2. En el gráfico, ubica el incentro de los triángulos ABH y ABC. Une dichos incentros y luego, traza la mediatriz del segmento determinado al unir los incentros en mención. B
A
C
H
3. En el gráfico, ubica el incentro "I1" del triángulo BPC. Luego, une "I1" con "R" y traza la mediatriz de I1R. B
A
C P
R 18:10:45
Practica en casa s o c i s á b s o t p e c n o C 1. Traza la mediana MS.
2. Traza la mediatriz de PQ.
M
P
B L
M
Q
Recordando lo aprendido
3. Traza la altura TP.
6. Grafica el triángulo SML, tal que: SM=6 cm, SL=5 cm y m S=50º. Luego, traza la mediatriz de SL.
S
7. Grafica el triángulo CDE, tal que: CD=5'cm, DE=6'cm y m D=70º. Luego, traza la mediatriz de CD. L
T
8. Traza la altura BH. B
4. Traza la bisectriz SP. R
T S
5. Grafica el triángulo MNS, tal que: MN=4 cm, NS=6 cm y m N=60º. Luego, traza la bisectriz del ángulo "M".
A
C
UNIDADUNIDAD 6 1 H = Ortocentro G = Baricentro O = Circuncentro
UBIQUEMOS LOS PUNTOS NOTABLES EN EL TRIÁNGULO
D
entro del campo de la Geometría Analítica, se descubrió que tres de los puntos notables de un triángulo: baricentro, ortocentro y circuncentro, podían obedecer a una misma ecuación, es decir, a una misma recta. A la recta que contiene el baricentro, ortocentro y circuncentro se le denomina "Recta de Euler". En Geometría, el baricentro o centroide de una superficie contenida en una figura geométrica plana, es un punto tal que cualquier recta que pasa por él, divide a dicha superficie en dos partes de igual momento respecto a dicha recta. En Física, el baricentro de un cuerpo material coincide con su centro de masas cuando el cuerpo es homogéneo o cuando la distribución de materia en el cuerpo tiene ciertas propiedades, tales como la simetría.
APRENDIZAJES ESPERADOS ESPERADOS APRENDIZAJES
•
Identifica los puntos notables asociados al triángulo.
•
Reconoce su ubicación en los diferentes tipos de triángulos.
•
Analiza los datos disponibles para ubicar los diferentes puntos notables con los instrumentos de dibujo.
•
Formula estrategias para la resolución en los diferentes tipos de triángulos.
1
Ubicación del circuncentro En este capítulo aprenderemos: •
A ubicar el circuncentro en los diferentes tipos de triángulos.
•
A usar correctamente el compás, transportador y regla.
Saberes previos •
Dos rectas perpendiculares forman un ángulo de 90º.
•
El punto medio de un segmento es aquel que divide al segmento en dos segmentos iguales y se traza con el compás o con la regla.
Conceptos básicos El circuncentro es el punto de intersección de las mediatrices de los lados de un triángulo. Q L2
"O": Circuncentro 1 : Mediatriz de PR 2 : Mediatriz de QR : Mediatriz de PQ 3
L3 O
R
P L1
Recuerda que...? •
Para ubicar el circuncentro, solo se necesitan trazar dos de las tres mediatrices de los lados de un triángulo.
•
El circuncentro en el triángulo rectángulo, se ubica en el punto medio de la hipotenusa.
•
En el triángulo obtusángulo, el circuncentro se ubica en la región exterior del triángulo.
1 Cuadro resumen
H H
Triángulo acutángulo
Triángulo rectángulo
H
Triángulo obtusángulo
"H" es circuncentro 10 x 5 50
Aplica lo á comprendido s o c i s b s o t p e c n o C 1. Indica si es verdadero (V) o falso (F), según corresponda: • El circuncentro es un punto interior en el triángulo acutángulo ...................................(
)
•
El circuncentro es un punto exterior en el triángulo obtusángulo .................................(
)
•
El circuncentro divide a la mediatriz en la relación de 2 a 1 ........................................(
)
•
El circuncentro se obtiene al trazar dos mediatrices .....................................................(
)
•
El circuncentro en el triángulo rectángulo, es el punto medio de la hipotenusa ...........(
)
•
El circuncentro es siempre interior en todo triángulo ...................................................(
)
2. Grafica el triángulo PQR, tal que: PQ=4'cm, 7. Grafica el triángulo RMN, tal que: RM=6'cm, QR=7'cm y m Q=110º. Luego, ubica el cirMN=7'cm y m M=50º. Luego, ubica el circuncentro. cuncentro. 3. Ubica el circuncentro del triángulo isósceles 8. Grafica un triángulo equilátero de lado 7'cm y ABC, tal que: AC=4 cm y AB=BC=7 cm. luego ubica su circuncentro. 4. Grafica un triángulo equilátero de lado 6 cm y 9. Grafica el triángulo LMB, tal que: LM=8'cm, ubica su circuncentro. MB=6'cm y LB=10'cm. Luego, ubica su circuncentro. 5. Ubica el circuncentro del triángulo PQR, tal que: m P=30º, m R=40º y PR=7 cm. 10. Ubica el circuncentro en el triángulo isósceles LMB, si: LM=5 cm y MB=LB=7 cm. 6. Ubica el circuncentro del triángulo ABC, si: m A=40º, m C=30º y AC=7 cm.
Ubicación drl circuncentro
¡Tú puedes! s o c i s á b s o t p e c n o C 1. Grafica el triángulo ABC, tal que: m A=70º y m C=20º. Traza la altura BH y luego, ubica el circuncentro "C1" del triángulo ABH. 2. Grafica el triángulo ABC, tal que: m A=60º y m C=30º. Luego, ubica su circuncentro "C1" y traza la altura BH, ubicando los circuncentros de los triángulos rectángulos parciales formados. 3. Grafica el triángulo ABC, tal que: m A=20º, m C=30º y AC=8 cm. Ubica el circuncentro.
18:10:45
Practica enbásicos casa Conceptos 1. Ubica el circuncentro en el gráfico mostrado.
5. Grafica el triángulo LMB, tal que: LM=8 cm, MB=6 cm y m B=90º. Luego, ubica su circuncentro. 6. Ubica el circuncentro del triángulo ABC, tal que: m A=40º, m C=50º y AC=6 cm. 7. Ubica el circuncentro del triángulo PQR, tal que: PQ=6 cm, QR=7 cm y PR=8 cm.
2. Grafica el triángulo MAE, tal que: m M=60º, 8. Ubica el circuncentro en el gráfico mostrado. m E=40º y ME=10 cm. Luego, ubica su circuncentro. 3. Grafica el triángulo MPQ, tal que: MP=5'cm, PQ=6 cm y MQ=8 cm. Luego, ubica su circuncentro. 4. Grafica un triángulo equilátero de lado 6,5 cm y luego ubica su circuncentro.
2
Ubicación del ortocentro En este capítulo aprenderemos: •
A ubicar el ortocentro en los diferentes tipos de triángulos.
•
A utilizar correctamente el compás, el transportador y la regla para ubicar el ortocentro.
l c . s n i g g i h o o d r a n r e b . w w w
O'Higgins. Carga a caballo en Rancagua,
de Azarías Muñoz, 1987
Pintores famosos han empleado diversos trazos geométricos para la perfecta elaboración de sus obras. En el cruce de las líneas blancas de la pintura se encuentra el centro del cuerpo del jinete, dado un triángulo imaginario sobre la pintura. Si ambas líneas representan las alturas, el corte de éstas representa el ortocentro.
Ubicación del ortocentro
Conceptos básicos El ortocentro de un triángulo es el punto de intersección o de concurrencia de sus alturas. M P Q H
L
E
R
"H": ortocentro. LP: altura relativa a ME. MR: altura relativa a LE. EQ: altura relativa a ML.
Recuerda que...? •
Para ubicar el ortocentro se necesitan solo dos alturas.
•
El ortocentro en el el triángulo triángulo rectángulo, rectángulo, se ubica en el vértice del ángulo recto.
•
En el triángulo equilátero, el ortocentro coincide con el baricentro, el circuncentro y el incentro.
Cuadro resumen B
B P
A
N
Primero se traza BN a AC; BN: altura relativa a AC.
C
H
A Después, se traza CP a BA CP: altura relativa a AB Entonces: "H" es ortocentro
C
2
10 x 5 50
Aplica lo á comprendido s o c i s b s o t p e c n o C 1. Indica si es verdadero verdadero (V) o falso (F), según corresponda. corresponda. •
El ortocentro es un punto exterior en el triángulo acutángulo .......................................(
)
• •
El ortocentro es un punto interior en el triángulo acutángulo ........................................( El ortocentro se ubica en el vértice del ángulo recto, en un triángulo rectángulo ..........(
) )
• •
El ortocentro se obtiene al trazar dos de sus alturas ......................................................( El ortocentro divide a la altura en la relación de 2 a 1 ..................................................(
) )
•
En el triángulo isósceles, el ortocentro se ubica en una de sus medianas ......................(
)
2. Grafica Grafica el triáng triángulo ulo ABC, tal que: m A=45º A=45º,, 9. Ubica el ortocentro en el gráfico mostrado. m C=60º y AC=6 AC=6 cm. Luego Luego,, ubica ubica el ortoW centro del triángulo ABC. 3. Ubica el ortocentro del triángulo PQR, tal que: PQ=4 cm, QR=7 cm y m Q=120º Q=120º.. 4. Grafica el triángulo MNS, tal que: MN=5 MN=5''cm, NS=6''cm y MS=7' NS=6 MS=7'cm. Luego, ubica su ortocentro. 5. Ubica el ortocentro en el triángulo equilátero PSD, de lado 5 cm.
Z
Y
10. Grafica un triángulo rectángulo isósceles de catetos 4,5 cm. Luego ubica su ortocentro.
6. Grafica el triángulo triángulo ABC, ABC, tal que: AB=8 AB=8 cm, BC=6 cm y AC=10 cm. Luego, ubica su ortocentro. 7. Ubica el ortocentro del triángulo PMH, tal que: m P= P=50 50º, º, m H= H=40 40ºº y PH PH=7 =7 cm. 8. Ubica el ortocentro en el gráfico mostrado. S
A
D
¡Tú puedes! s o c i s á b s o t p e c n o C 1. Grafica Grafica el triáng triángulo ulo ABC, tal que: m A=70º A=70º,, m C=50º y AC=8 AC=8 cm. Lueg Luego, o, ubica el ortoce ortocentro ntro de dicho triángulo. 2. Grafi Grafica ca el trián triángulo gulo ABC, tal que: m A=60º A=60º,, m C=30º y AC=8 AC=8 cm. Luego Luego,, ubica ubica el ortoce ortocentro. ntro. 3. Grafica el triángulo ABC, tal que: m B=120º y AB=BC=8 cm. Luego, ubica el ortocentro.
Ubicación del ortocentro 18:10:45
Practica enbásicos casa Conceptos 1. Ubica el ortocentro en el gráfico mostrado. P
5. Grafica Grafica el triáng triángulo ulo MNE, tal que: m N=70º, MN=5''cm y NE=6' MN=5 NE=6'cm. Luego, ubica el ortocentro. 6. Grafica Grafica el triáng triángulo ulo LMB, tal que: m L=60º, LM=7''cm y LB=6' LM=7 LB=6'cm. Luego, ubica el ortocentro.
R
Q
7. Ubica el ortocentro en el gráfico mostrado.
2. Grafica el triángulo ABC, ABC, tal que: AB=6 AB=6''cm, BC=8''cm y m B=40º BC=8 B=40º.. Luego, Luego, ubica ubica el el ortoortocentro. 3. Grafica Grafica el triáng triángulo ulo PQR, tal que: m P=40º, m R= R=30 30ºº y PR PR=8 =8''cm. Luego, ubica su ortocentro.
M
L
B
Grafica ca el triáng triángulo ulo RST, tal que: m R=65º, 4. Ubica el ortocentro en el triángulo PQS, tal 8. Grafi RS=5,5'cm y RT=8 cm. Luego, ubica su ortoRS=5,5' que: m P=60º P=60º,, PQ=5 PQ=5 cm y PS=8 cm. centro.
3
Ubicación del baricentro En este capítulo aprenderemos: • •
A ubicar el baricentro en los diferentes tipos de triángulos. A utilizar correctamente correctamente los instrumentos para la ubicación del baricentro, como el el compás, transportador y regla.
m o c . t o p s g o l b . 1 s o i a l e s e t a m / / : p t t h
Se construye todo tipo de triángulos de papel, a los cuales se les ha encontrado un punto donde se coloca un lápiz o un dedo y se equilibran. • ¿Qué punto puede ser, cuáles serían sus características y cómo se trazaría?
Ubicación del baricentro
Saberes previos •
Para ubicar el punto medio de cada lado, se utiliza el compás si no se conoce la longitud del lado y si se conoce la longitud del lado, se utiliza la regla.
•
Toda mediana es siempre interior al triángulo.
Conceptos básicos El baricentro es el punto de intersección de dos o tres medianas en todo triángulo.
Dibujamos un triángulo ABC, señalamos los puntos medios de los lados y trazamos las medianas. Si recortamos el triángulo y lo apoyamos sobre un lápiz, de modo que el baricentro coincida con la punta del lápiz, podremos comprobar que el triángulo queda en equilibrio. Esto ocurre porque el baricentro es el centro de gravedad del triángulo, es decir, el punto de aplicación de su peso.
Método para ubicar el baricentro B
B
B N
N
P
G A
M
C
A
M
C
A
"G": baricentro "M", "N" y "P": puntos medios de cada lado GM=x; BG=2x ... BG = 2GM
M
C
3
10 x 5 50
Aplica lo á comprendido s o c i s b s o t p e c n o C 1. Indica si es verdadero (V) o falso (F), según corresponda: •
El baricentro es un punto exterior en el triángulo obtusángulo ......................................(
)
• •
El baricentro es un punto interior en todo triángulo ......................................................( El baricentro divide a la mediana en la relación de 2 a 1 ..............................................(
) )
• •
El baricentro se obtiene al trazar dos de sus medianas ..................................................( El baricentro es siempre un punto exterior en todo triángulo ........................................(
) )
•
El baricentro es el centro de gravedad del triángulo ......................................................(
)
2. Ubica el baricentro en el gráfico mostrado. Q
P
8. Se quiere colocar un techo de forma triangular, de lados 6; 7 y 8 cm. Indica el punto en el cual se quiere colocar el poste que sostendrá al techo triangular.
R
3. Grafica el triángulo MNS, tal que: MN=5'cm, NS=7 cm y MS=9 cm. Luego, ubica su baricentro. 4. Grafica el triángulo RMS, tal que: m M=70º, RM=5 cm y MS=6 cm. Luego, ubica el baricentro. 5. Grafica un triángulo equilátero de lado 7 cm y luego, ubica su baricentro. 6. Ubica el baricentro en el triángulo DEF, tal que: m D=45º, DE=6 cm y DF=7 cm. 7. Ubica el baricentro en el gráfico mostrado.
9. Ubica el baricentro del triángulo ABC, si: m A=40º, m C=30º y AC=7 cm. 10. Grafica un triángulo equilátero de lado 6 cm. Luego, ubica su baricentro.
Ubicación del baricentro
¡Tú puedes! s o c i s á b s o t p e c n o C 1. Grafica el triángulo ABC, tal que: m A=70º, m C=20º y AC=8 cm. Luego, ubica el baricentro de dicho triángulo. ¿En qué relación se encuentra la distancia del baricentro al vértice "B" y del baricentro al punto medio de AC? 2. Grafica el triángulo ABC, tal que: m A=80º, m C=35º y AC=8 cm. Luego, ubica su baricentro. 3. Grafica un triángulo isósceles de lados 7 y 9 cm. Luego, ubica el baricentro. 18:10:45
Practica enbásicos casa Conceptos 1. Ubica el baricentro en el gráfico mostrado.
5. Grafica el triángulo LBM, tal que: LM=7 cm, MB=8'cm y LB=12'cm. Luego, ubica su baricentro. 6. Grafica un triángulo equilátero de lado 8'cm. Luego, ubica su baricentro.
2. Ubica el baricentro en el gráfico mostrado.
7. Ubica el baricentro en el triángulo isósceles LMB, si: LM=5 cm y MB=LB=7 cm. 8
3. Ubica el baricentro del triángulo ABC, si: m A=50º, m C=60º y AC=8 cm. 4. Ubica el baricentro del triángulo PQR, si: PQ=8'cm, QR=9 cm y PR=10 cm.
Ubica el baricentro en el gráfico mostrado.
4
Ubicación del incentro En este capítulo aprenderemos: •
A ubicar el incentro en los diferentes tipos de triángulos.
•
A utilizar correctamente el compás, el transportador y la regla para ubicar el incentro.
Circunferencia inscrita A qº qº
I
r B
aº aº
wº wº
C
Las tres bisectrices internas de un triángulo se cortan en un punto En efecto, las bisectrices de los ángulos "A" y "B" se cortan porque forman con la secante común AB, un ángulo cuya suma es menor que uno llano (Euclides). El punto "I" de intersección de estas rectas equidista de los lados adyacentes a los ángulos "A" y "B", esto es, de los tres lados. Entonces, la tercera bisectriz ha de cortar a las anteriores en el mismo punto. El punto de intersección se llama incentro del triángulo. Existe una única circunferencia interior, tangente a los tres lados de un triángulo. Se le llama circunferencia inscrita en el triángulo.
• ¿Qué nos indica el incentro?
Ubicación del incentro
Saberes previos •
Para ubicar el incentro se necesitan trazar dos o tres bisectrices interiores en un triángulo.
•
Hay bisectrices interiores y exteriores, las cuales se pueden trazar con el compás o el transportador.
Conceptos básicos El incentro es el punto de intersección de las bisectrices interiores de todo triángulo.
C I I
Incentro I
A
B
Recuerda que...? Al trazar las bisectrices de dos ángulos interiores se ubicará el incentro, porque la tercera bisectriz interior pasará necesariamente por este punto.
Cuadro resumen B
B
B N
M A
C
A
bº bº
M aº aº
C
A
I
bº bº
CM: bisectriz del ángulo "C" AN: bisectriz del ángulo "A" "I": incentro "I": centro de la circunferencia inscrita al triángulo
aº aº
C
4
10 x 5 50
Aplica lo á comprendido s o c i s b s o t p e c n o C 1. Indica si es verdadero (V) o falso (F), según corresponda: •
El incentro es un punto exterior en el triángulo obtusángulo ............................................(
)
•
El incentro es un punto interior en el triángulo acutángulo ..............................................(
)
•
El incentro divide a la bisectriz en la relación de 1 a 2 ....................................................(
)
•
El incentro se obtiene al trazar dos bisectrices interiores ..................................................(
)
•
El incentro es siempre un punto exterior en todo triángulo ..............................................(
)
•
El incentro es el centro de la circunferencia inscrita .........................................................(
)
2. Ubica el incentro en el triángulo ABC, tal que: 7. Grafica el triángulo PQS, tal que: m Q=50º, PQ=6'cm y QS=7'cm. Luego, ubica su inm A=30º, m C=40º y AC=7 cm. centro. 3. Grafica el triángulo PQR, tal que: m P=40º, m R=70º y PR=6'cm. Luego, ubica su in- 8. Grafica el triángulo LMB, tal que: LM=8'cm, centro. MB=6'cm y LB=10'cm. Luego, ubica su incentro. 4. Ubica el incentro en un triángulo equilátero de lado 6 cm. 9. Ubica el incentro en el triángulo isósceles ABC, tal que: AB=4 cm y BC=AC=7 cm. 5. Grafica el triángulo isósceles ABC, tal que: AC=5'cm y AB=BC=7'cm. Luego, ubica su 10. Grafica el triángulo MPQ, tal que: MP=7'cm, PQ=6'cm y MQ=5'cm. Luego, ubica su inincentro. centro. 6. Ubica el incentro en el triángulo ABC, tal que: m A=100º, AB=5 cm y AC=6 cm.
Ubicación del incentro
¡Tú puedes! s o c i s á b s o t p e c n o C 1. Grafica el triángulo ABC, tal que: m A=80º, m C=40º y AC=7,5 cm. Sobre el lado AC se construye el triángulo equilátero ACM, exterior al triángulo ABC. Luego, ubica el incentro "I1" del triángulo ABC y el incentro "I 2" del triángulo ACM. Une "I 1" e "I2". 2. Grafica el triángulo ABC, tal que: m A=70º, m C=20º y AC=8 cm. Luego, traza la altura BH relativa a AC y ubica el incentro del triángulo BHC. 3. Grafica el triángulo PQR, tal que: m P=75º, m R=40º y PR=9 cm. Luego, traza la bisectriz QM y ubica el incentro "I 1" del triángulo PQM. 18:10:45
Practica enbásicos casa Conceptos 1. Grafica el triángulo MPQ, tal que: MP=7'cm, 5. PQ=6'cm y MQ=8'cm. Luego, ubica su incentro. 6. 2. Ubica el incentro en el triángulo isósceles LMB, tal que: LM=4 cm y MB=LB=6 cm. 7. 3. Grafica un triángulo equilátero de lado 7 cm. Luego, ubica su incentro.
Ubica el incentro del triángulo PQR, si: PQ=6'cm, QR=7 cm y PR=8 cm. Ubica el incentr o del triángulo ABC, si: m A=50º, m C=30º y AC=8 cm. Grafica el triángulo RMN, tal que: RM=9'cm, MN=10'cm y m M=60º. Luego, ubica su incentro.
4. Grafica el triángulo LMB, tal que: LM=10'cm, 8. Grafica el triángulo MAE, tal que: m M=50º, MB=12'cm y LB=14'cm. Luego, ubica el inm E=30º y ME=6 cm. Luego, ubica el incentro. centro.
UNIDADUNIDAD 7 1
FORMEMOS ECUACIONES CON LAS MEDIDAS DE SEGMENTOS Y DE ÁNGULOS
L
as carreteras del Perú están medidas en kilómetros y para resolver problemas con distancias entre ciudades, estas se representan por segmentos de recta. Así como con las agujas del reloj se forman ángulos que pueden ser representados por ángulos consecutivos
. APRENDIZAJES ESPERADOS
•
Interpreta términos geométricos de segmentos y ángulos para su correcta gráfica.
•
Identifica una variable planteando una ecuación a partir de un gráfico.
•
Resuelve una ecuación algebraica donde la variable representa la longitud de un segmento o la medida de un ángulo.
1
Operaciones con segmentos En este capítulo aprenderemos: • •
A diferenciar entre segmentos consecutivos y segmentos colineales. A representar segmentos de recta de medidas mayores.
•
A sumar y restar medidas de segmentos de recta utilizando variables.
•
A interpretar gráficamente un enunciado con términos y notaciones geométricas.
5m C
3m A
R
Operar con segmentos de recta es fácil y sencillo, de manera que no tendremos dificultad en resolver problemas referentes a este tema. Dos son las operaciones básicas que trataremos: la suma de segmentos y la resta de segmentos, estos se basan en un principio sencillo llamado el postulado de la reunión y que se menciona de la manera siguiente: “El total es igual a la suma de las partes”. Este postulado podemos explicarlo con el siguiente ejemplo: Carlitos se dirige a la casa de Anapaula distante a 5 m, para luego enrumbarse 3 m más hacia la casa de Ronaldito, tal como indica la figura. • ¿Cuánto recorrió Carlitos?
1 Conceptos básicos
Segmentos de recta consecutivos y colineales B
C
AB; BC y CD son consecutivos pero no colineales.
A
D
P
R
Q
S
PQ; QR y RS son consecutivos y a la vez colineales.
Suma y resta de segmentos de recta consecutivos y colineales EJEMPLO
1. Calcular: AC
Resolución: 10 cm
A
8 cm
B
AC = 10 cm + 8 cm AC = 18 cm
C
2. Calcular: PS
Resolución: 8 cm
Q
P
6 cm
15 cm
R
S
PS = PS =
8 cm +6 cm +15 cm 29 cm
3. Calcular: EF Resolución:
26 cm A
10 cm
E
F
EF = 26 cm – 10 cm EF = 16 cm
4. Calcular: PA Resolución:
32 cm A
P
12 cm
B
PA = 32 cm – 12 cm PA = 20 cm
Punto medio de un segmento de recta A
7 cm
M
7 cm
Si "M" es punto medio de AB; entonces: B
AM = MB
Operaciones con segmentos 10 x 5 50
Aplica lo á comprendido s o c i s b s o t p e c n o C 1. De acuerdo a la figura, indicar si es verdadero (V) o falso (F), lo que a continuación se menciona. A
B
• AB ∪ BC = AC .............................(___)
C • AB ∩ BC = AC ..............................(___)
• AB ∩ BC = {B} .............................(___) • AB +BC = AC ...............................(___) 2. Complete de manera adecuada lo que a continuación se menciona: • Dos segmentos son __________________ si tienen la misma longitud. • La mínima distancia entre __________________ es la longitud del segmento que los une. 3. Relacione de manera adecuada mediante flechas los datos de ambas columnas: d A
d M
a+1 M
B
•
• AM=MB
B
•
• AM>MB
a+5 M
A
• MB–MA=5
a
A a
•
B
Resolución de problemas
8. Calcule "BC", si: AB=24'cm, BD=30'cm y "C" es punto medio de AD.
4. De acuerdo a la figura, calcule "BC", si: AD=10'cm, AC=8 cm y BD=6 cm. A
B
C
D
5. Calcule "BC", si: AB=10 cm, BD=24 cm y "C" es punto medio de AD. A
B
C
D
6. Si: PQ=36 cm; QR=16 cm; "M" es punto medio de PR y "N" es punto medio de QR, calcule "MN". M
P
Q
N
A
12+x M
P
D
A
B
B
C
10. De la figura, calcule el valor de "x", si: AB + AD =40 cm. 2x
R
7. Si "P" es punto medio de AB, calcule "AP".
A
C
9. Si: AB = 1 y AC = 21 cm, calcule el valor de BC 2 la séptima parte de la longitud de BC.
A
8–x
B
B
a
M
a
D
1 ¡Tú puedes!básicos Conceptos 1. Calcule "MN", si: AC+BD=80 cm. a A
a M
b B
b
C
N
D
2. Calcule "BM", si "M" es punto medio de AC y además: BC – AB =12 cm. A
B
M
C
3. Calcule el valor de "x", si: AD=11'cm. A
B
x
x
x
2
3
C
D 18:10:45
Practica enbásicos casa Conceptos 1. De la figura, calcule "BC".
5. Si: AC=49 cm, BC=37 cm y "M" es punto medio de AB, calcule: MC.
12
M
A A
B
C
C
D 6. Si: AB=72 cm, "C" es punto medio de AB y "D" es punto medio de BC, calcule: AD.
10 15
A
2. De acuerdo a la figura, calcule el valor de: AB+BD. x+3
x+5
A
B
7 - 2x
B
C
C
B
D
7. Si "M" es punto medio de PQ, "N" es punto medio de PM y "E" es punto medio de MQ, calcule: NE.
D
64
3. Calcule "x", si: AC=30 cm. x A
B
8. Calcule "BC", si:
C
4. Si: TI=10 cm, IL=3 cm, LE=14 cm y "R" y "C" son puntos medios de TI y LE, calcule: RC. T
R
I
L
N
P
2x
C
E
A
M AB 3
=
B
E BC 4
Q
y AC = 28 cm.
C
2
Sumando y restando ángulos consecutivos En este capítulo aprenderemos: •
A calcular las medidas angulares sin el uso del transportador.
•
A representar medidas angulares con variables algebraicas.
•
A interpretar mediante una ecuación un determinado gráfico de ángulos consecutivos.
Sabemos que una vuelta mide 360º sexagesimales, y en un reloj como en el que se muestra, las agujas forman ángulos consecutivos. Como se observa se ha dividido en sesenta partes, ya que entre los números que son doce hay cinco partes. • • •
¿Qué hora es? ¿Qué ángulo forma el horario con el minutero? ¿Qué ángulo forma el horario con el segundero?
2 Conceptos básicos
Ángulos consecutivos Son aquellos ángulos que tienen el mismo vértice y un lado en común respectivamente. Q
Los ángulos POQ y QOR son consecutivos R
P aº
m POR=aº+qº
qº O
B
Los ángulos AOB, BOC y COD son consecutivos
C
A xº
m BOD=yº+aº
yº aº
m AOD=xº+yº+aº
D
O
Suma de ángulos consecutivos
xº aº
xº=aº+bº bº
Resta de ángulos consecutivos
nº yº
mº
yº=mº–nº
EJEMPLO
1. Hallar: m AOC
2. Hallar "xº" B
B A
142º
O
xº
40º 100º
Resolución: m AOC=40º+100º m AOC=140º
A C
O
Resolución: 142º+xº=180º xº=180º–142º xº=38º
C
Sumando y restando ángulos consecutivos
3. Hallar: m AOB
Resolución:
C
B 150º
B
M
A 3 0 º
34º
C
34º 32º
O
A
O
Resolución: m AOB=150º - 30º m AOB=120º
m MOC=34º+32º m MOC=66º 6. Si: m BOC=54º y OM es bisectriz del ángulo AOB, hallar: m MOC.
4. Hallar "xº" C
B
xº A
M
64º
A
D
O
Resolución: xº+90º+64º=180º xº+154º=180º xº=180º - 154º xº=26º
B
Resolución: Del gráfico: M
B aº
5. Si: m AOB=68º, m BOC=32º y OM es bisectriz del ángulo AOB, hallar: m MOC.
aº
A A
B
M
C
O
C
54º
C
O
aº+aº+54º=180º aº=63º Luego: m MOC=aº+54º
m MOC=117º O
Observaciones
aº
bº qº
aº+bº+qº=90º
xº
yº zº
xº+yº+zº=180º
10 x 5 50
Aplica lo comprendido Conceptos básicos 1. En el gráfico, OM es la bisectriz del ángulo 6. Del gráfico, calcular "xº", si OB es bisectriz del AOB. Calcular "xº". ángulo AOC y OE es bisectriz del ángulo DOF. A
C 4xº
B
xº+20º M
O
D
30º
xº
A B
E xº+10º F
O
7. Calcular "xº", del gráfico mostrado.
2. En el gráfico, OR es la bisectriz del ángulo MON. Calcular "bº".
30º - xº
xº+20º
M bº+10º 2bº
R
O
8. Calcular "xº", del gráfico mostrado.
40º - xº
N 3. Calcular "xº", si AOC.
OB
3xº
es bisectriz del ángulo 9. Calcular " xº ", del gráfico mostrado. 2
C
B
5xº+48º
xº A
xº
70º
D
O
4. Del gráfico, hallar "aº", si OD es bisectriz del 10. Si OM es bisectriz del ángulo AOB, calcular "bº". ángulo COE. B
100º
A
C D
aº 30º
A
O
M E
5. Del gráfico, calcular "xº", si: OC OD y además OB es bisectriz del ángulo AOC. C B A
D xº
3xº O
4bº+18º
E
O 5bº
- 12º
B
2
Sumando y restando ángulos consecutivos
¡Tú puedes!básicos Conceptos 1. Calcular "xº", si: m POQ+m ROT=122º. R
P
Q
xº O
T
2. Calcular "xº", del gráfico mostrado. 5xº xº
3. Calcular "qº", si: m AOC=80º y m BOD=140º A
B
qº O 4qº
C
D
18:10:45
Practica enbásicos casa Conceptos 1. Calcular "xº" del gráfico mostrado.
2. Si: m AOC=87º y m AOB=52º, calcular "qº". A
A B 2xº O
32º
O
C
B qº
C
2 3. Si OM es bisectriz del ángulo BOC, calcular: 5. Calcular "xº", si OM es bisectriz del ángulo AOC. m AOM. M O C A
28º
35º
B
M
B
C
xº
108º
46º
A
O
7. Si: m AOB=78º; m BOC=38º y OM es 4. Si OM es bisectriz del ángulo AOC, calcular: bisectriz del ángulo AOC, calcular: m MOB. m BOM. A B M O A M 20º
C
B
100º
C
O
5. Si ON es bisectriz del ángulo AOB, calcular "fº".
8. Calcular "xº", si: m AOC=110º y m BOD=130º. A
D
O
C xº
B N
fº 2fº
A
B O
C
3
Ángulos entre dos rectas paralelas En este capítulo aprenderemos: •
A reconocer las regiones entre dos rectas paralelas.
•
A identificar a los diferentes ángulos que se forman al trazar una recta secante a dos rectas paralelas.
• •
A relacionar los ángulos, según la región en que se encuentren. A formar ecuaciones a partir de las relaciones que se establecen entre los ángulos anteriormente mencionados.
Al sur de Lima entre los kilómetros 419 y 465 de la Panamericana Sur en un terreno de más de 500 km cuadrados se encuentran las misteriosas líneas de Nazca que desde tierra no son visibles, pero desde el aire se observan estos diseños que han permanecido inalterables durante más de mil años desafiando a la ciencia y a la arqueología. • ¿Qué ángulo observas entre dos líneas paralelas?
3 Conceptos básicos
Operaciones con ángulos entre dos rectas paralelas y una secante Regiones determinadas entre dos rectas paralelas.
Región externa
m • m y n son rectas paralelas (m // n)
Región interna n Región externa
Ángulos correspondientes Son aquellos pares de ángulos que se encuentran a un mismo lado de la secante, donde uno es interno y el otro externo. L
2
1
a
• •
3
4
6
5
b 7
8
y 5 ; 2 y 6 ; 3 y 7 ; 4 y 8 . Si: a // b , se cumple que los pares de ángulos correspondientes son de medidas iguales. 1
Ángulos alternos Son aquellos pares de ángulos que se encuentran a diferente lado de la secante, siendo internos o externos. L 1
2
4 5
a
3 6
8
b
• •
Alternos internos: Alternos externos:
•
Si: a // b , se cumple que los ángulos alternos son de medidas iguales.
3 1
y 5 ; y 7 ;
4 2
y 6 . y 8 .
7
Ángulos conjugados Son aquellos pares de ángulos que se encuentran en el mismo lado de la secante, siendo internos o externos. 1 4 5 8
6 7
L 2
a
3
b
• •
Conjugados internos: Conjugados externos:
•
Si: a // b , se cumple que los ángulos conjugados suman 180º.
3 1
y 6 ; y 8 ;
4 2
y 5 . y 7 .
Ángulos entre dos rectas paralelas
Observaciones •
a // b
•
m // n
a wº
aº
qº
b
bº
aº=bº
•
m
n
wº=qº
L1 // L2 L1
xº xº +yº =180º
L2
yº
EJEMPLO
1. Si: m // n , calcular "xº". m 38º
2xº
n
Resolución: 38º
2xº
2xº=38º xº=19º
3 EJEMPLO
2. Si:
L1 // L2, calcular " qº".
Resolución: 86º–2qº qº+23º
L1
L1
86º–2qº
L2
qº+23º
86º - 2qº=qº+23º
L2
63º=3qº 21º=qº
3. Si: a // b , calcular "aº". Resolución:
a
a
132º 3aº
132º
b 3aº
b
3aº+132º=180º 3aº=48º aº=16º
10 x 5 50
Aplica lo á comprendido s o c i s b s o t p e c n o C 1. Relacionar correctamente: I
II
III
aº
bº
xº aº
qº
yº •
Conjugados internos
•
Correspondientes
•
Alternos internos
2. Completar correctamente: aº
bº "aº" y "bº" son ________ _____________________
yº
mº
nº "mº" y "nº" son: ________ ______________________
xº "xº" e "yº" son: ________ ______________________
Ángulos entre dos rectas paralelas
3. Indicar si es verdadero (V) o falso (F), según las siguientes proposiciones: • • •
Si las rectas son paralelas, los ángulos alternos son de medidas iguales .............................( Si las rectas son paralelas, los ángulos correspondientes suman 180º ................................( Si las rectas son paralelas, los ángulos conjugados son de medidas iguales ........................(
4. Si: m // n , calcular "aº".
8. Si:
L1 // L2, L1
m
2aº 144º
calcular "qº". 54º
L2
n
qº qº
5. Si: m // n , calcular "bº".
9. Si: m // n , calcular "aº". m
2bº+15º
m
4aº
n
63º–bº 6. Si:
n
aº
10. Si: a // b , calcular "xº".
L1 // L2, calcular "xº". L1
3xº+52º
xº
L2
a
xº 5xº–8º
b
148º
7. Si: a // b , calcular "xº". 2xº
a b
5xº
¡Tú puedes!básicos Conceptos 1. Si: a // b , calcular "xº".
2.
a
Si: a // b , calcular "xº". 41º
126º
a
b xº
136º
b xº
) ) )
3 3. Si:
L1 // L2, calcular "bº". L1
aº aº 40º
bº qº
qº
L2 18:10:45
Practica enbásicos casa Conceptos 1. Si: m // n , calcular "fº".
5.
m
Si: a // b , calcular "xº".
n 63º
a
136º
2. Si:
b
xº
fº
L1 // L2, calcular " aº".
6.
Si: a // b , calcular "aº". a
b
124º L1 4aº
aº 118º
L2 7.
3. Si: m // n , calcular "xº". m
2xº+40º
a
Si: a // b , calcular "xº".
n
3xº
a b
5xº+4º
Si: a // b , calcular "xº".
4.
aº
141º
8. Calcular "xº", si: a // b .
b 153º
a
2xº 58º
3xº
b
4
Recordemos lo aprendido 10 x 5 50
Aplica lo á comprendido s o c i s b s o t p e c n o C 1. Si: PR=18 ; QS=41 "QR". P
y PS=49 , calcular 6. Calcular "xº". R
Q
S
3xº 30º
2. Si: m AOC=108º; m BOD=84º y m AOD=131º, calcular: m BOC. C
B
2xº 7. Si: a // b , calcular "aº".
D
A
a
7aº–18º O
b
3. Si: OM es bisectriz del ángulo ROQ; m POQ=32º y m POR=128º, calcular: m MOP.
12aº+8º
8.
Calcular "x", si "C" es punto medio de AD. x
M
R
Q
A
3x+6
22
B
D
C
9. Calcular "aº+qº". O
P
4. Si: a // b , calcular "x". 3x+y
a 2x-y
A B 2xº O
M
B
2xº C O
xº A
qº
10. Calcular "xº", si OM es bisectriz del ángulo AOB; OC es bisectriz del ángulo BOD y m AOD=130º.
b
5. Calcular "xº".
7xº
qº
aº aº
D
C
3xº D
