ÁLGEBRA 1° - 2017

Índice Unidad I Capítulo 1

Números enteros

4

Capítulo 2

Definiciones algebraicas I

7

Capítulo 3

Definiciones algebraicas II

10

Capítulo 4

Teoría de exponentes I

13

Capítulo 5

Repaso I

16

Capítulo 6

Teoría de exponentes II

19

Capítulo 7

Teoría de exponentes III

22

Capítulo 8

Teoría de exponentes IV

25

Capítulo 9

Notación de polinomios

28

Unidad II Capítulo 10

Cambio de variable utilizando la notación de polinomios

31

Capítulo 11

Grados de un monomio

34

Capítulo 12

Grados de un polinomio

37

Capítulo 13

Polinomios especiales

40

Capítulo 14

Multiplicación algebraica

43

Capítulo 15

Repaso II

45

Capítulo 16

Productos notables I

49

Capítulo 17

Productos notables II

52

Unidad III Capítulo 18

Productos notables III

55

Capítulo 19

Productos notables IV

58

Capítulo 20

División algebraica I

61

Capítulo 21

Repaso III

64

Capítulo 22

División algebraica II

67

Capítulo 23

División algebraica III

70

Capítulo 24

División algebraica IV

74

Capítulo 25

Factorización I

78

Unidad IV Capítulo 26

Factorización II

81

Capítulo 27

Factorización III

84

Capítulo 28

Repaso IV

87

Capítulo 29

Factorización IV

90

Capítulo 30

Factorización V

93

Capítulo 31

Fracciones algebraicas I

96

Capítulo 32

Fracciones algebraicas II

99

Capítulo 33

Fracciones algebraicas III

102

Álgebra

1

Capítulo

Números enteros Problemas para la clase 1. Calcula:

8. Efectúa: (15 – 5) ÷ (–7 + 5)

5–4+6–3 a) 1 d) 4

b) 2 e) 5

c) 3

2. Calcula:

b) 11 e) 14

c) 12

–9 – 6 – 3 + 10 b) 10 e) –8

c) –28

b) 12 e) 11

c) 10

(–3)(–2) – (+2)(–4) + (–1)(–3) b) 17 e) 23

c) 14

6. Efectúa: 10 (6 – 12) + (3 – 5)(–2) b) –55 e) –58

c) –56

7. Calcula: (14 – 2 + 1)(–6 + 4 (–3) a) 193 d) –234

b) 78 e) 214

c) –78

A

I

Propiedad conmutativa

2 + –3 = –3 + 2

B

II

Propiedad asociativa

7 + –7 = 0

C

(–4+6)+–2=–4+(6+–2)

D

a) b) c) d) e)

AIII AIV AIII AII AIII

TRILCE

BII BII BI BI BI

CIV CI CII CIV CIV

Propiedad III del elemento neutro aditivo Propiedad IV del inverso aditivo

DI DIV DIV DIII DII

12. Dadas las siguientes temperaturas de cinco dias de la semana registradas en cierta ciudad del centro del Perú, responde: Temperaturas

mínimo °C

4

c) –3

5+0=5

máximo °C

Colegios

b) –2 e) –5

11. Relaciona adecuadamente:

5. Efectúa:

a) –54 d) –57

c) 13

[(–3)(–4) + (–1)(+2) – (1)(–2)] ÷ (+2)(–2) a) –1 d) –4

(–4)(+2) + (+3)(–1)

a) 18 d) 19

b) 12 e) 15

10. Calcula:

4. Efectúa:

a) –11 d) –10

c) –3

A = – (–1 + 2) – (–1 –3) B = – (–3 – 5) – (–2 – 7) Halla: B – A a) 11 d) 14

3. Calcula

a) –12 d) –10

b) –5 e) –9

9. Si se sabe que:

3 – (–2) + 4 – (–3) a) 10 d) 13

a) –4 d) –8

Lunes Martes Miércoles Jueves Viernes

8 0

10 3

0 –1

–3 –7

15 7

Central: 6198-100

Álgebra I. ¿Qué día se produjo la menor de las temperaturas mínimas? II. ¿Cuál fue la mayor de las temperaturas máximas? a) Miércoles – 10 c) Jueves – 15 e) Jueves – 8

b) d)

Lunes – 15 Miércoles – 7

13. Indique la alternativa correcta, tal que verifique las siguientes proposiciones: I) + 9 +

=5

II) +1 +

= –3

III)

19. Si: x=2 ; y=5, calcula el valor de: {x – (x – y)} ( x – y) a) –14 d) –16

b) –13 e) –17

c) –15

20. Calcule el valor de la siguiente suma: 2016 – 2015+2014 – 2013+...+4 – 3+2 – 1 a) 1016 d) 1008

b) 2008 e) 10 008

c) 108

21. Se definen los siguientes operadores: a ⊗ b = ab + b a # b = 2a – 4b

+ (–8) = 0

a) I –4 – II –2 – III 8

Siendo "a" y "b" números enteros, calcula el valor de:

b) I 0 – II 4 – III 8

(2 ⊗ 5) # (–2)

c) I –4 – II –4 – III 8

a) 36 d) 37

d) I 4 – II –4 – III +8

14. Una sustancia química que se encuentra a 5° bajo cero se calienta en un mechero hasta que alcanza una temperatura de 12° sobre cero. ¿Cuántos grados subió? b) 5 e) 3

c) 7

15. Efectúa:

- "7 + 65 - (- 7 - 2)@, + 5 - "69 - (14 - 5) + 3@ - 5 , - 8

a) –20 d) –23

b) –21 e) –24

c) –22

b) 2 e) 5

c) 3

17. Efectúa: (- 16 - 4) ' (- 8 + 6) (+ 12) ' (- 4 - 2) a) –4 d) –7

b) –5 e) –8

c) –6

18. Dada la siguiente sucesión numérica: ... –7, –4, –1, 2, 5, ... ¿Cuál es la suma del número entero precedente a –7 con 5? a) –1 d) –4

www.trilce.edu.pe

b) –2 e) –5

–32

x

63

–9

–7

a) –12 d) 20

c) –3

8

–4

b) 8 e) 4

6

2

c) 12

23. Calcula: (443676 – 883712) (3×4+6 (–2)) a) 663781 d) –13

16. Efectúa: - 5 - "(+ 4)(- 2) - 64 - (- 1)(- 3@, a) 1 d) 4

c) 38

22. Halla "x":

e) I –4 – II 4 – III 8

a) 12 d) 17

b) 360 e) 44

b) –134677 e) está muy difícil

c) 0

24. Una escalera tiene 21 escalones. Martín comienza a contar los escalones de abajo hacia arriba, y Miguel los cuenta de arriba hacia abajo. Ambos se encuentran en un escalón que, para Martín, es el número 10. ¿Qué número tiene este escalón para Miguel? a) 12 d) 13

b) 14 e) 10

c) 11

25. La suma de los primeros cien enteros positivos pares, menos la suma de los primeros cien enteros positivos impares, es: a) 0 d) 10100

b) 50 e) 15150

c) 100

Primer año de secundaria

5

1

Capítulo

Practica en casa 1. Calcula: (+9) – (–5) + (+6) – (–8)

10. Si: M = (–5)(–3) + (–2)(+3) + (+5)(–4)

2. Calcula: (–5) – (–9) + (–4) – (+7)

N = 8 – {3 – (–3)(5 – 7)} 3. Efectúa: (–4)(–3) – (+5)(–3) + (–2)(–3) 4. Efectúa: 5 (3 – 8) + (2 – 4)(–3)

Halla: M × N 11. Efectúa: (–9 + 6) + [{(–15):(–3)} –4] × (–3)

5. Reduzca: (–3)(–6+9) – (2–6)(–4) 12. Efectúa: (–5)(–2) – [(–2)(+3) + (–5)(–3)]

6. Calcula: (5 – 3+2) × (–4 + 1 – 3) 7. Efectúa: (–13 – 5) ÷ (–11+2)

13. Siendo: B = (+4)(–3) + [(–12) : (–2)] Halla: B ÷ (–3)

8. Si se sabe que: A = –4 – 3 – 2 – 5

14. Dado: A = (–4 + 5)(–3)(+2) + 1

B=2+4–8

Halla: (–7 + 2) : (A)

Halla: A × B

15. Efectúa: (- 23 - 5) : (7 - 19 +5) 36 : (- 6 - 3)

9. Si: P = – (–2 +3) – (–4 –3)

Q = – (–2 – 6) – (–4 – 8)

Halla Q – P

Tú puedes 1. L os números enteros x e y satisfacen 2x = 5y. Sólo uno de los siguientes números puede ser x + y. ¿Cuál? a) 2011 d) 2008

b) 2010 e) 2007

c) 2009

2. Los enteros negativos han sido coloreados de rojo, azul o verde: –1 es rojo, –2 es azul, –3 es verde –4 es rojo, –5 es azul, –6 es verde y así sucesivamente. ¿De qué color puede ser la suma de un número rojo y un número azul? a) b) c) d) e)

rojo o azul solo verde solo rojo solo azul imposible determinarlo.

3. ¿En cuál de las siguientes expresiones se puede reemplazar cada 8 por un 5 y obtener el mismo resultado? Colegios

6

TRILCE

8 + 8 a) 8 + 8 c) 8+8 – 8+8

8 b) 8. 8 + 8 d) (8 + 8 – 8) . 8

+8-8 e) 8 + 8 - 8 8 4. Sean m y n enteros positivos, totales que 19≤m ≤49 y 51≤n≤101. ¿Cuál es el mayor valor m+n ? posible para la expresión m + 11 a) 49

b) 50

d) 60

e) 70

c) 53

5. Dada la sucesión: 2 × 21; 3×22; 2 ×23; 3×24; 2×25; ... ¿Cuál es el cociente entre los términos que ocupan las posiciones 20 y 21 en ese orden? 33 c) 61 a) 60 41 b) 41 41 59 17 d) 41 e) 41

Central: 6198-100

Capítulo

2

Definiciones algebraicas I Problemas para la clase 1. L a palabra álgebra es de origen ... a) americano b) alemán c) egipcio d) árabe e) quechua 2. x + x + x es equivalente a: a) 2x b) x3 d) x

e) 0

3. x . x . x . x es equivalente a: a) 4x b) x4 d) 4x4

c) 3x

c) 2x4

e) x

4. x . x . x + x . x . x es equivalente a: a) 2x3 b) 3x2 c) 2x d) 3x

e) 0

5. –5x6 + 5x6 es equivalente a: a) 10x6 b) 25x6 c) 10x12 d) 25x12

e) 0

6. Señale el coeficiente del término algebraico: –3x4 y5 a) 4 b) 5 c) –3 d) 3

e) 1

7. Señale la parte literal del término algebraico: 2x9 y4 z a) xyz b) x9y4z c) x4y9z d) xyz2

e) 2

8. Señale la suma de exponentes de la parte literal del término algebraico: 4x5y2 a) 9 b) 7 c) 6 d) 11

e) 8

9. Indique el coeficiente del término algebraico: (–2)(–3)xz a) 3 b) 6 c) 9 d) 8 www.trilce.edu.pe

e) 10

10. Indique la suma del coeficiente con el exponente de la parte literal del término algebraico que se obtiene de: (4×2 - 11).x.x.x...x.x 1 44 4 2 44 43 10 veces

a) 7

b) 9

d) 12

e) 14

c) 10

11. De las expresiones algebraicas: 2 7 • 2x y • x+y+z 3 2

• –3x y ; x–y ¿Cuántas son monomios? a) 1 b) 2 d) 4 e) 0 12. Indique cuáles son monomios: • –x+y 2 10 • 4 xy • –3xyz

–1 2

a) –x+y c) –3xyz 2

c) 3

b) 4 xy –1

10

d) –x+y; x+y+z

10

e) 4 xy ; –3xyz

–1

13. Señale cuántos binomios tenemos en: 8 • 3xyz 2 • x–y+z • x+y 2 2 5 • x y +z a) 0 d) 3

b) 1 e) 4

c) 2

14. Indique cuáles son binomios: 2 8 • x +y • x+y+z 2

• x +1 2 11

• x y 2

a) x +y 2

8

2

b) x +1 2

d) x +1; x +y

8

2 11

c) x y

e) x+y+z


7

2

Capítulo

15. Señale cuántos trinomios tenemos: 8 3 • 2x y z

21. Si la siguiente expresión algebraica es un monomio. Calcula: n (n+5). 2 5

2 9

• 3xy+z+y

x y + (n – 3) x y

• 12xy

a) 0 d) 8

2

2

• x +y +z

2

a) 1

b) 2

d) 4

e) 5

c) 3

16. Señale el coeficiente de: 4 3 15 (6+10 ÷ 2+3) x y z a) 11 d) 12

b) 7 e) 20

c) 17

18. Señale el coeficiente de: 3 3 3 2x y + 2x y + 2x y + ... 80 veces 3

b) 80x y

d) 84x y

c) 84

19. Señale el coeficiente: 3x + 3x + 3x + ... + 3x + x + x + x + .... + x 4 2 4444 43 1 444444 2 4 44444 3 1 4444 17 veces

50 veces

b) 170 e) 170x

c) 150x

20. Señale la suma del coeficiente con el exponente de x, luego de reducir: 8 8 8 x + x + x + .... 180 veces a) 8 8 d) 180x

a) –1 d) –3

b) 2 e) –4

c) –2

24. Dada la expresión algebraica 2 3 2 x +y +z Las letras x; y, z, representan el valor de una cantidad. Señale (V) o (F). I. x puede representar una velocidad

e) 160

a) 150 d) 167

c) –4

23. Dado el polinomio: 2 3 n x +y +x ¿Cuál puede ser el valor de "n"?

20 veces

3

b) 4 e) –5

c) 13

17. ¿Cuál es el coeficiente de: x + x + x + x.... + x 1 44444 2 44444 3

a) 80

c) 3

22. Dado el monomio: 3 8 2 9 3 8 ky z + 2y z + 4 y z Hallar: k+1 a) 5 d) –3

b) 8 e) 14

a) 16 d) 18

b) 5 e) 24

b) 180 8 e) 188x

c) 188

II. y puede representar el valor de una temperatura III. z puede representar el valor de un rendimiento a) VVV d) VVF

b) FFF e) FVV

c) VFV

25. Señale la expresión reducida del siguiente monomio: (n - 5)x2 y2 + 2x3 yn + 2x3 yn + 2x3 yn + ..... + 2x3 yn 1 4444444444 2 4444444444 3 50 veces

3 5

a) 50x y 3 5 d) 100x y

3 6

3 6

b) nx y 3 5 e) 2x y

c) 100x y

Practica en casa 1. Señale los monomios: 2 5

6 2

5

4x y ; –2x z ; x–y ; 4 xyzw 2. Señale cuántos binomios tenemos: 3

2 3

xy ; x+y; y +3; x y ; 2x – 3y

Colegios

8

TRILCE

3. Indique los trinomios: 2

2

2 xyw ; xyz ; x+y+z ; x – y – z

3

4 5

4. En el término algebraico: 4 x y z Señale la parte literal

Central: 6198-100

Álgebra 5. Sumar los coeficientes de los siguientes términos algebraicos 2

5 2

3 3

4 x y ; 5x y ; 6x y

6. Sumar los coeficientes de los siguientes términos 5 algebraicos: –3 xy ; –2 yz ; x y

12. Dado el trinomio: 2 x + ky + 3 z + 5x + 8y Hallar: K – 1 13. De los siguientes números: 1 , –3, 4 2 ¿Cuál puede ser un valor de "n" dado el polinomio: 10 n 12 x +y +z ?

2

7. Señala el coeficiente de: (–3)(–11) x y 2

3

8. Halla el coeficiente de: (–2) (2) zw 9. Indique el coeficiente de: x + x + x + .... + x 1 4444 4 2 4444 43

14. Halla el coeficiente: 4x + 4x + 4x + ...... + 4x + x + x + ...... + x 1 4 4 4 4 4 4 2 4 4 4 4 4 4 3 1 4 4 44 2 4 4 44 3 23 veces

45 veces

15. ¿Qué cantidades puede representar x, y, z en la expresión algebraica: x2+y2+z2 • La estatura de una persona • El número de personas en un salón • El amor que siente una persona.

43 veces

10. Indique el coeficiente de: 2 2 2 5x + 5x + 5x + .... 99 veces 11. Dado el monomio: 2 2 2 2 4 y z + (K – 4) x y Hallar: K+2

Tú puedes 1. Sumar los exponentes de los siguientes términos algebraicos. 2 3 20 3x ; 4x ; 5x ; .... 22x a) 20 d) 220

b) 200 e) 240

c) 210

d) 8

2. Sumar los coeficientes de los siguientes monomios: 2 3 10 x ; 4x ; 9x ; .... 100 x a) 110 d) 385

b) 240 e) 421

c) 380

3. Halla el valor de la suma de coeficientes incrementado en "a" unidades. 2 3 9 y ; 4y ; 9y ; .... ay a) 350 d) 366

www.trilce.edu.pe

b) 360 e) 285

4. Si la siguiente expresión es un monomio: 4x4ym–3 + (m – 5) . 2x Determine la suma de los exponentes de sus variables. a) 2 b) 4 c) 6 e) 10

5. Si la expresión: mx4 y6 + mx4 y6 + ... + mx4 y6

1 4444444444 2 444444444 43 m veces se reduce a 625x4y6.

Halla m a) 1

b) 2

d) 4

e) 5

c) 3

c) 362


9

3

Capítulo

Definiciones algebraicas II Problemas para la clase 1. El coeficiente y la parte literal del término algebraico: –8x3y5 son respectivamente: a) –8, xy

b) –8, x e y

d) 8, xy5

e) 8, x3y5

c) –8, x3y5

2. Indique la operación mal efectuada: I) x + x + x + x = 4x II) x . x . x . x . x = x5 III) x + x + x + x + x + x = x6 a) I

b) II

d) Todos

e) ninguna

c) III

b) II

d) No hay

e) Todas

c) III

4. Indique el término algebraico que no es semejante a los demas. a) 8x3y4

b) –3x3y4

d) 81x3y2

e)

c) 45y4x3

3 x3 y4

5. Reduzca: 4x + 5x – 3x a) 6x

b) 3x

d) 2x

e) 7x

c) x

b) –4x6

d) –4x3

e) 4x2

c) –4x2

b) 4xy2

d) –6xy2

e) 5xy2

Colegios

10

TRILCE

c) 2xyz

d) 0

e) –x2yz + xy2z

9. Si los términos algebraicos: 4xm ; 5x14 son semejantes. Halla el valor de m. a) 14

b) 16

d) 9

e) 20

c) 5

a) –8x2y

b) 4x2y

d) 8xy2

e) 0

c) –8xy2

11. Reduzca: 3xy + 2xy – (4xy – 7xy) a) 6xy

b) 7xy

d) 9xy

e) 10xy

c) 8xy

12. Reduzca: 5mn - 63mn + ^5mn - 13mnh@

a) 6mn

b) 8mn

d) 11mn

e) 12mn

c) 10mn

13. Siendo: A = 5xy – 4xy – 2xy B = –xy + 3xy – 4xy a) 3xy

b) 2xy

d) xy

e) 5xy

c) –xy

14. Siendo: P = 5xy3 – 3xy3 – xy3 Q =–xy3 – 4xy3

7. Reduzca: 10xy2 –16xy2 a) 6xy2

b) –2x2yz

Halla: A – B

6. Reduzca: 7x2 – 8x2 – 3x2 a) –4x

a) 2xyz

10. De: –4xy2 restar 4xy2.

3. Indique lo correcto: I) 4x + 3x = 7x2 II) 9x2 – 9x2 =18x2 III) 10x3 – 12x3 = –2x3 a) I

8. Reduzca: –2x2yz + x2yz – 4xy2z + 5xy2z

c) –6xy

Halla: Q – P a) –4xy3

b) –6xy3

d) –5xy3

e) 4xy3

c) –6x3y

Central: 6198-100

Álgebra 15. Sean los términos algebraicos semejantes 3xa–1yb

A= Halla: a – b.

B=

–7x4y5

P= axa–1 y7 Q=bx6yb+2

a) –2

b) –1

d) 1

e) 2

c) 0

16. Sabiendo que: T = –x2 + 3x – 4 M= –2x + x2 +5 a) x

b) x + 1

d) x – 1

e) x + 2

son semejantes, calcula la suma de sus coeficientes. a) 10

b) 11

d) 13

e) 14

c) 12

21. Reduzca la siguiente expresión:

Halla: T + M c) x + 3

17. Teniendo en cuenta que: A = –2x3 +2x – 3 B = –x3 + 2x – 1

- 64x5 - ^2x - "8 - 3x5 + 2x2 , - 2xh@ + 8 + 2x2

a) 4x5

b) 3x5

d) –x5

e) x5

c) 2x5

22. Reduzca la siguiente expresión: x100 – 4x + 3 + 2(x100 – 4x + 1) – 3x100+12x

Halla: A – B a) –x3+x+2

a) 1

b ) 2

d) 4

e) 5

c) 3

23. Sea la sucesión de polinomios: P1 = x – 2x2 P2 = 3x – 4x2 P3 = 5x – 6x2 Determine la suma de los veinte primeros.

b) –x – x3 + 1 c) –x3 – 2

…

d) –x3 – x +2 e) –x3 – x – 2

a) 400x – 410x2

18. Siendo: P = 4x5 – x + 1 Q=5x5 + x – 1

b) –420x2 – 400x c) –420x2 + 400x

Halla: 5P – 4Q a) 9 – 9x

b) 9 + 9x

d) 9x – 9

e) –9x + 19

19. Sabiendo que: A= x2 + 5x – 3 B= x2 + 2x – 7 C= 4x2 – 19x + 2 Halla: A + B – C a) –2x2

20. Si los términos de variables x e y:

– 16x+10

b) –2x2 +16x –10 c) –2x2 – 26x+12

c) x + 9

d) –420x + 400x2 e) 400x – 390x2 24. Al sumar los términos: x9 + 2x9 + 3x9 + ... + nx9 se obtuvo 55x9 indique n2. a) 76

b) 81

d) 100

e) 196

c) 49

25. El largo de un rectángulo mide (10x + 4y). Si su perímetro mide (48x + 12y). ¿Cuánto mide el ancho del rectángulo?

d) –2x2 – 26x+12

a) 2(7x – y) b) 2(7x + y) c) 2(y + x)

e) –2x2+26x – 12

d) 2(x+7y)

www.trilce.edu.pe

e) 2(x – 7y)


11

3

Capítulo

Practica en casa 1. Reduzca: 2 2 2 10x + 5x – 8x

9. Sean los términos semejantes: n–2 m–3 T (x; y) = 9 x y 4 5 Q (x; y) = 13 x y Halla: m – n

2. Reduzca: 5 5 14 xy – 19 xy

10. Sabiendo que: 5 3 P(x) = –x + 8x – 9 3 5 Q(x) = –4x + x + 7 Halla: P(x) + Q(x)

3. Reduzca: 2 2 –4 ab + 2 a b – 5 ab – 3 a b 4. Si los términos algebraicos: n

A(x) = –11x ∧ B(x) = 5x

30

Son semejantes. Halle el valor de n. 5. Reduzca: 11 abc – (3 abc – 4 abc – 5 abc) 5

6. De –40 ab restar 30 ab

11. Teniendo en cuenta que: 2 A(m) = –4m + 5m – 11 2 B(m) = –m + 3m + 3 Halla: A(m) – B(m) 12. Reduzca la siguiente expresión: R (x; y) = 4x – 5y + 2x + 3y + 3x – 2y 13. Reduzca la siguiente expresión: 2 3 2 3 2 E(m;n;p)=5m np–9pn +4m np+4n p– 11m pn

5

14. Efectúa: 6 6 6 6 5 ab – 11ab – (3ab – 7 ab )

7. De 56 xyz restar –xyz 8. Siendo: A (a; b) = 11 ab – 8 ab – ab B (a; b) = –ab + 4 ab – 5ab Hallar: A – B

3

15. Si: P(x) = 8x – 3x 3 Q (x) = –4x – 14x 5 3 R(x) = x + 2x Halla: P(x) + Q(x) + R(x)

Tú puedes 1. Si al reducir los términos algebraicos semejantes: 5xb + ax3 se obtiene 11x3, calcula el valor de: a+b. a) 2 b) 5 c) 6 d) 3

e) 4

2. Sean las expresiones: A= 4x3 +2x2 – 5x + 6x600 B=x40 – 2x40 + x40 Obtenga: A . B a) 0 b) 1 d) 3

c) 2

d) 3

e) 7

Colegios

12

TRILCE

b) x – 1,4y + 3,2 d) 1,4x – y + 3,1

t2 = bxn

t1 + t3 = acxn

t3 = cxp

t2 + t3 = bcx

Calcula:

3. Si: 4xm + 3bx4 ≡19x4 entonces m + b es igual a: b) 9

a) 1,4x + y – 3,2 c) 1,4x + 2y – 3,2 e) x – y – 3,2

5. Sean los términos semejantes: t1 = axm Si: t1 + t2 = abxp

e) 4

a) 4

4. Reduzca: 0,4x –[(1,2 + 0,6y) + (2,5 – x)] – (–0,5 – 2,6y)

ab + ac + bc a+b+c c) 10

a) 1

b) 2

d) 3/2

e) 2/3

c) 3

Central: 6198-100

Capítulo

4

Teoría de exponentes I Problemas para la clase 1. Efectúa: 43 – 2 5 a) 31

7. Reduzca: b) 32

d) 34

c) 33

e) 36

x 40 + x10 − x30 x50 x20 x 40 a) x4 b) x–10 d) x10

2. Si:

e) x20

8. Reduzca:

x.x.x.x.x=

2

= m.m.m.m...m 1 4 4 44 2 4 4 44 3

x5 . x–3 . x10 a) x3 b) x4

entonces:

d) x6

50 veces

a)

= 5x ;

= m50

b)

=

x5

= 50m

c)

= x5 ; x5

;

d)

=

;

e)

= x5 ;

=

e)x7

50sumandos 50 a) x b) x150

m50

d) 50x3

= 50m50

c) –110

e) –97

e) 30x6

10. Reduzca: x5 + x6 ; x ! 0 x -3 x -2 a) x8 b) 2x8 d) 2x4 2

0

50 + (–11)0 – 90 – 45 a) –2 b) –1

c) –3

e) 2

5. Efectúa: (–3)3 – (–2)2 a) –23

b) 5

d) –31

e) –12

c) 2x16

e) x10

c) –13

a) 3

b) 5

d) 8

e) 9

c) 7

c) x6

e) x7

12. Reduzca: (–x)40 . x51 . (–x)21 . (–x)20 a) –x48 b) –x10 d) –x132

m3 – 1

0

x9 . x-3 . x5 ; x ! 0 x -4 a) x3 b) x5 d) x4

6. Si luego de reducir la expresión: x3 .x8 se obtiene xm. Calcula: x9

c) –x144

e) –x37

13. Halle el valor numérico de la expresión: x6 – y3 cuando x = –2 ∧ y = –4. a) 64 b) 32 c) 128 d) 1024

e) 512

14. Si: xx = 3, halla el valor de xx+1. a) 6x b) 2x c) 3x d) 4x

www.trilce.edu.pe

c) 50x

11. Reduzca:

4. Efectúa:

d) 1

c) x5

9. Reduzca: + x.x.x + ... + x.x.x x.x.x 1 44444444 2 44444444 3

= m + 50

3. Calcula: (–4)2+(–5)3 – (–1)7 a) –108 b) –109 d) –100

c) x5

e) 9x Primer año de secundaria

13

4

Capítulo

20. Reduzca: 3x + 1 + 3x 3x - 1 + 3x a) 1

15. Reduzca: 50 veces 644444444 4744444444 8 5 5 x + x + x5 + ... + x5 + x5 3 70

x .x.x

a) 25

b) 50

d) 50x5

e) 100

c) 50x

43

011

. x7

76

0

. x(–1) . xm ;m ! 0

a) x

b) –x

d) 3x

e) x2

c) 3

e) 6

21. Reduzca: 2x + 2 + 2x + 1 + 2x 2x - 2 + 2x - 1 + 2x

16. Reduzca: x(- 1)

d) 5

b) 4

c) 2x

17. ¿Cuántos números enteros existen tal que su cuarta potencia sea igual a 16? a) 1

b) 2

c) 3

d) 4

e) No existen tales números

a) 6

b) 7

d) 4

e) 9

c) 8

22. Resuelva: = 16 + 16 + ... + 16 + 16 2.2.2...2.2 1 444 2 444 3 1 4444444 2 4444444 3 (3x - 9)veces

256 veces

a) 5

b) –7

d) 3

e) 6

c) 7

23. Si: mm = 3, halla el valor de m+1

18. Reduzca: 230 + 227 226 a) 16

b) 18

d) 6

e) 8

c) 4

19. Si se cumple que: 10 + 210 + 210 + ... + 210 + 210 = a a0 2 14444444444 244444444443 1024 sumandos

Halla a2 + a + 1 a) 5

b) 6

d) 8

e) 9

c) 7

mm a) 9

b) 6

d) 27

e) 24

c) 81

24. Si: 5n=2 y 2m=3; calcula: 5n + 1 + 2m + 1 5n + 1 –2m + 1 a) 7 b) 2 3 d) 6 e) 4

c) 5

25. Halla "x" en: 2x–2 + 2x+2 + 2x–3 + 2x+3 = 198 a) 3 b) 4 c) 5 d) 6

e) 7

Practica en casa 2

1. Efectúa: (–10) – (–3) 5

2. Efectúa: (–2) + (–3) 3. Reduzca: x

13

.x

11

4

3

.x

Colegios

14

TRILCE

0

8 6 7. Reduzca: x10 . x14 ; x ! 0 x .x

31

30 4. Reduzca: x50 ; x ! 0 x

5. Reduzca: 11(− 8)

0

6. Efectúa: 9x + (17x) ; x ! 0

2 30 8. Reduzca: x6 . x − 3 . x 4

9. Reduzca: m . m . m . m + m . m . m . m

0

Central: 6198-100

Álgebra 4

10. Reduzca: x7 + x5 ; x ! 0 x− 3 x− 5 8

8

13. Efectúa: (–4) – (–2)

8

11. Reduzca: x +3x +5 x ; x .x

2 14. Reduzca: (− x)3 x4

x!0

3

8

; x≠0

3

3

6

4

7

12. Reduzca: a . b . a . b . a

0

8 −2 3 15. Reduzca: x . x − 3 . x ; x ! 0 x

6

Tú puedes 1. Reduzca: 20173x–3 + 20173x + 20173x - 5 20173x - 8 + 20173x - 5 + 20173x - 10 a) 20173

b) 20176

d) 20178

e) 20178

c) 20175

x+1

+ x3x

a) 4

b) 12

d) 16

e) 15

2x = 2x + 2 a) –1 b) 0 d) 2

c) 1

e) 3

5. Sabiendo que n∈N, halla el valor de x, tal que verifique la ecuación:

2. Si: xx = 2, halla el valor de: xx

4. Halla "x" en:

c) 9

+ x + x4+ x1 444444 ... + x + x = x.x.x...x.x 2 4444444 3 1 44 4 2 44 43 n veces

n veces

n-2 n - 1 n c) n a) n n b) 2

3. Con respecto a la ecuación: xx = 16 a) Presenta solución única.

n n-2 d) n n - 1 e)

b) Presenta más de una solución. c) No hay solución que la verifique. d) Una solución es x = 2 e) b y d.

www.trilce.edu.pe


15

5

Capítulo

Repaso I Problemas para la clase 1. Efectúa: 4 – 15 – 20 + 10 a) –19 b) –26 d) –21

d) –abc8

e) –23

2. Efectúa: –13 – 12 + 33 – 25 a) 17 b) –24 d) 30

c) –24

c) –25

e) 13

b) –3a

d) –a10

e) 4a10

5. Calcula: (–5)3 – (–9)2 a) –400 b) –196 d) –44

c) a10

c) –206

e) 66

6. Reduzca: –14x4y5 + 9x4y5 – 4x4y5 a) 25x4y5

b) 19x4y5

d) –9x4y5

e) 8x4y

c) –4x4y5

7. Reduzca: a2b – 3a2b + 5ab2 – 4ab2 a) –2a2b – ab2 b) –2a2b + ab2 c) –a2b

8. Si los términos algebraicos: 40xnym–1 ; 2x8y4 son semejantes. Halla "m . n". a) 30 b) 40 c) 50

16

TRILCE

0

c) x9 = _______ d) b4 . b6 . b5 = _______

11. Teniendo en cuenta que: A = –4x5 – 8x – 2 B = –2x5 + 4x – 6 Halla: A – B a) –2x5+3 b) –2x5+x+1 c) –2x5 –12x+4 d) –2x5 – x2+8 e) –8x3 – 2x2 – 2 12. Si se cumple que: 7xm + ax4 se reduce a 13x4. Calcula el valor de: m+a-1 a) 2

b) 3

d) 5

e) 6

13. Reduzca: 5x – {–2x – [x – 2y]} + 2y a) x b) 7x

e) 70

d) 12x+12 15. Calcula:

c) 4

c) 6x

e) 9x

14. De: (8x – 11) restar: (1 – 4x) a) x – 12 b) 11x – 1

e) 3a2b

Colegios

10. Completa en cada caso: a) (–x)4 = _______

d) 8x

d) –3ab2

d) 60

e) 3abc8

5 6 7 e) m .m9 .m = _______ ; m ≠ 0 m

4. Reduzca: 8a10 + 5a10 – 7a10 – 9a10 a) –3010

c) –2abc8

b) –3x0 = _______ ; x ≠ 0

e) 19

3. Efectúa: (–4)(3) + (–2)(–5) – (–3)(5) a) 9 b) 10 c) 11 d) 12

9. De 8abc8 restar 10abc8. a) 2abc8 b) abc8

c) 12x –12

e) 10x –3

(–3) 0 –1

2017(–2016) a) 2017

b) 2016

d) 2015

e) 2019

c) 2014

Central: 6198-100

Álgebra 16. Reduzca: x

62

.x

−33

0 54

.x

;x ! 0

a) x6

b) x14

d) x18

e) x3

17. Reduzca: 2

21. Simplifica: 2n + 4 − 2 . 2n + 2 ;n d N 2 . 2n + 3 1 1 a) b) 4 2 1 d) e) 4 3 22. Reduzca: 4x + 1 + 4x 4x + 4x - 1 a) 1/2 b) 1/3

2

c) x40

3

x(- 4) . x-5 . x2 ;x≠0 x-6 a) x2

b) x3

d) x5

e) x6

c) x4

d) 1/5

18. Halla "x", si: 5x+3 + 5x+2 + 5x+1 + 5x+1 = 157 a) 1 b) –2 c) –1 d) 3

d) 5

e) 6

e) 4

100 veces

19. Dados: P=(c – 1)x2 + 3x + 3y Q=5x2 – 3(x+y) Si: P – Q es equivalente a 6x + 6y, halla el valor de c. b) 3

c) 1/4

23. Si se sabe que: A = x + x2 + x3 + x4 + x5 + ... B = x . x . x . x ... x . x 1444 42444 43

e) 0

a) 2

c) 2

c) 4

20. Sustraer la suma de 3ab – 6 con de a2. a) –a2 + 5ab – 2 b) –3a2 + 5ab –1 c) 3a2 + 5ab+ 1 d) –3a2 + 5ab+1 e) –2a2 + 5ab+1

3a2

– 8ab + 5

0

Determina el equivalente de A – (A5 – B) a) 100 b) x4 c) x100 d) 100x

e) 2

24. Si al reducir la expresión: ^x 4 yh . =

3x 4 y –3 z G 6x 8 y 2 z 4

1 . ymzn. 2 Determine el valor de m2+n3. se obtiene a) –9

b) –10

d) –12

e) –13

c) –11

25. Reduzca: 23x + 2 + 23x + 4 + 23x + 3 2x + 1 . 2x . 2x + 1 a) 6 b) 9 d) 10

c) 8

c) 7

Practica en casa 3 2 4

3 2 4

3 2 4

7

1. Reduzca: 5x y z +2x y z – 9x y z 5

5

5

5. De: 9mnp resta 15mnp 5

2. Reduzca: 4am – [8am – (7am – 11am )] 4 b–2

3. Si: 9x y Halla:

; es semejante con: –13x

a+b

4. Si: 8 A(x) = –4x + 23 8 B(x) = –30 + 5x Halla: A(x) + B(x) www.trilce.edu.pe

a–2

y

7

6. Restar: –5xw de 200wx 2

2

7. De: (5xy + 4xz ) restar (2xz – 2xy) 8. Reduzca: 4a.a.a+5a.a.a–2a.a.a 9. Efectúa: 8

• (–m) = 7

• (–3) = Primer año de secundaria

17

5

Capítulo

10. Efectúa:

12. Reduzca:

0

• 3 + 2

2

=

0

• (–4) + (–2) • –23 . x • 711

2

x 4 . x5 . x11 ; x ! 0 x13

=

0

=

0

; x!0

6

6

Calcular el valor de: 3 m + n − 5

=

11. Efectúa: 5

n

13. Si se cumple que: 11x + mx = 18 x

14. Reduzca: 6

8

• x . x . x . x

9

4m5 + m5 + m5 + m5 ; m ! 0 14 m3 . m2

=

20 14 9 • m13 + m 7 + m2 m m m

;m≠0

=

15. Reduzca: x.x.x + x.x.x + x.x.x + ... + x.x.x 1 4 4 4 4 4 4 44 2 4 4 4 4 4 4 44 3 30 sumandos

Tú puedes 1. Lucía le informa a Guillermo lo siguiente: "Me casaré contigo cuando cumpla "M" años"; sabiendo que: M=

10r + 3 − 10r + 2 10r

A los cuantos años se casará Lucía. a) 25

b) 30

d) 40

e) 50

c) 35

2. Determine el volumen de la caja:

x8

9

x

x4 a) x12

b) x17

d) x21

e) x25

Colegios

18

TRILCE

c) x36

3. Sea el binomio: 2

ax4 + (bb – a)x3 + 2x2 – 16x4 + bx + 5x Hallar el máximo valor que toma cuando x es reemplazado por el valor de b. a) 2 b) 22 c) 24 d) 120

e) 18

4. Calcula el valor de 2 x + 4 + 36 . ^2x - 2h E = x+5 − 2 ^2 x + 3 h − 4 ^2 x + 1 h − 6 ^2 x - 1 h 2 a) 1

b) 2

d) 4

e) 5

c) 3

5. Reduzca: xn + 3 . xn + 3 . xn + 3 ... (n + 5) veces xn + 7 . xn + 7 . xn + 7 ... (n + 1) veces a) x4 b) x8 c) x6 d) x9

e) x10

Central: 6198-100

Capítulo

6

Teoría de exponentes II Problemas para la clase 1. Efectúa: 3+5−6 7 7 7 a) 1/7

b) 2/7

d) 4/7

c) 3/7

e) 5/7

b) 5/12

d) 5/7

e)

3. Efectúa: 2 − 11 + 1 3 2 6 a) –14/3 d) –2

7 12

b) –7/2

c)

17 12

c) –7/3

e) –1/6

4. Efectúa: 4–1 – (–3)–1 2 1 1 a) b) c) 7 12 6 7 5 d) e) 12 12 5. Efectúa: (–5)–2 – 52 − 24 –624 –23 b) c) 25 25 25 −1 2 d) e) 25 25 6. Reduzca: (x2)5 . (x3)6 a) x17 b) x16 c) x28 a)

d) x19

e) x20

7. Reduzca: ^x-4h-3 . ^x2h 6 2

d) 22m

d) x14

e) x–10

e) x12y4

c) 2m

e) 0

15 4 − ^− h2 7 54 a) 30

b) 31

d) 34

e) 36

c) 32

11. Efectúa: 1 −1 1 −1 8 4 B + 88 B a) 11 d) 16

b) 13 e) 12

c) 15

a) 33/144 d) 19/144

b) 11/144 e) 13/144

c) 7/144

13. Calcula: 5 −3 83 B a) 7/125 d) 27/125

b) 11/125 e) 13/125

c) 17/125

12. Calcula: –2 –2 3 –4

14. Reduzca: 2 52 3 25 (x y ) . (x y ) 18 19

;x ! 0

b) x–4

c) x2y24

10. Reduzca:

a) x y 17 20 d) x y

x 4 .^x5h a) x3

www.trilce.edu.pe

d) x12y24

b) x36

9. Reduzca: 2m . 3 m – 6 m a) 1 b) –1

2. Efectúa: 2+3 3 4 a) 5/6

8. Efectúa: (x2 . y4)6 a) y36

19 20

18 19

b) x y 17 29 e) x y

c) x y

b) 5 e) 1

c) –1

15. Calcula: c) x–14

5− 4

0

a) 2/5 d) 1/5


19

6

Capítulo

16. Halla el equivalente de: –3 (xy) ; xy ! 0 3 3

a) x y

b)

3 –3

1 x y

c)

3

1 x y

3 3

3 3

d) x y

e) x /y

17. Reduzca: 1810 − 1020 910 a) 1 d) 4

c) 3

18. Reduzca:

16 26 4 8 4(x ) + 5x . x – 6 . x 4 ; x ! 0 x 12 12 12 a) 2x b) 3x c) 15x 12 12 d) 6x e) 4x

20 veces

x15 . 9x15 . 9x15 ... 9x15E ;9 1 44444 4 2 44444 43 4

10 veces

a) x 10 d) x

5

a) 3/5 d) 2/7

b) 4/9 e) 1/3

5

; x≠0 7

c) x

b) 11/3 e) 13/3

c) 19/3

c) 2/5

24. Reduzca: 205 1024 # 125

25. Reduzca:

b) x 12 e) x

c) 5/4

23. Reduzca: 2 − 3 + (− 3) − 2 − 1 + (2012) 0 9 a) 3/8 b) 9/8 d) 1/2 e) 3/7

a) 5 d) 625

20. Calcula: –1 –2 –1 (4 – 4 ) a) 17/3 d) 16/3

c) y

22. Calcula: −1 −2 −1 R = ; 8 25 B + 8 5 B E 11 3

b) 2 e) 5

19. Reduzca: x8 . 3x8 . 3x8 .... 3x8 ;3 1 44444 2 44444 3 E

21. Reduzca: (x2 y5) 4 (x3 y2) 3 ; xy ≠ 0 x17 (y 4) 5 3 4 a) y b) y 6 7 d) y e) y

=

b) 25 e) 3125 −1

m− 1 + n− 1 G m− 1 − n− 1

c) 125

; m≠n≠0

a) n − m m+n

b) m n

c) m + 1 m−n

d) m + n n–m

e) m + n n

Practica en casa −1 −1 1. Efectúa: ` 1 j + ` 1 j 3 8

2. Calcula: 2

–2

–5

; xy ! 0

31 + 8 x10 x 5 5 5 5 . . .... 2 x 2 x 2 x 2 x ;1 4 4 4 44 2 4 4 4 44 3 E 20 veces 9. Reduzca: ; x≠0 8 8 8 8 4 x . 4 x . 4 x ... 4 x ;1 4 4 4 44 2 4 4 4 44 3 E 37

8. Reduzca: 5(x ) + 9x 52

–4

5 7. Reduzca: 185 − 240 6

–2

−2 3. Calcula: 811B 5 4

6. Halla el equivalente de: (xy)

3 24

4. Reduzca: (a . b ) (a b )

10

.x

11

10 veces

5. Calcula: 4

Colegios

20

TRILCE

− 50

10. Calcula: (5

–1

–2 –1

–5 )

Central: 6198-100

Álgebra (x2 y5) 4 (x3 y2) 4 11. Reduzca: 4 13 2 10 ; xy ≠ 0 x . x . (y )

14. Reduzca:

205 1000 # 128 −1

−1 −1 15. Reduzca: = a − 1 + b − 1 G a −b

−1

−1 −2 12. Calcula: R = ;` 25 j + ` 5 j E 16 3

; a≠b≠0

13. Reduzca: 2–3 + 8 + (–5) –2 – 1 + (2013) 0 25

Tú puedes

1. Simplifica:

4. Calcula:

1 1 −3 1 1 − 8 9 B8 3 B − 8 B 8 B 1 8 B 9 3

a) 9 d) 27

3

b) 9 e) 1/9

c) 1/3

x 2x x 2. Efectúa: ` 2 j . ` 9 j . ` 8 j 3 4 27

a) 2/3 d) 9/4

b) 3/2 e) 4/9

3. Si se sabe que: x 2 = 5 .......... (1) y 3 = 7 .......... (2) xy Calcula: A = x6 y 7 .5 a) 0 b) 1 d) 3 e) 4

www.trilce.edu.pe

53 + 52 + 5 + 1 5 + 5− 2 + 5− 1 + 1 −3

c) 1

a) 5 d) 625

b) 25 e) 3125

c) 125

5. Si: m m n 10 = x . y n

n

10 = x . y

m

Indica el valor de: xy a) 8 d) 11

b) 9 e) 12

c) 10

c) 2


21

7

Capítulo

Teoría de exponentes III Problemas para la clase 1. Calcula: 64 + 4 81 − 3 125 − 5 32 a) 1 b) 2 d) 4

8. Reduzca: 7 x 14 + 3 x 6 + 5 x 10 c) 3

e) 5

2. Calcula: 3 − 64 − 5 − 32 + 7 − 1 a) –4

b) –3

d) 1

e) –1

b) 31

d) 29

e) 28

c) –5

16 − 8

c) 32

11

10. Reduzca: 5+ 5+ 5+ 5 a) 20 b) 625

(811/2) . (− 8) 2/3

d) 4

e) 5

c) 3

a) 33

b) 34

d) 37

e) 38

1 2

(16 × 9)

a) 1

b) 2

d) 4

e) 5

c) 3

7 .5 6 .5 2

a) 10 d) 15

b) x y

8 9

e) x y

a) x y

5 15 d) 5 42 e)

d) x y

7. Efectúa:

d) 2

Colegios

TRILCE

b) 12 e) 14

3 5

5 84 c) 5 12 a) 5 112 b)

81 − 3 a) 0

1/2

c) 13

13. Reduzca: 5 x20 . y30

6. Efectúa:

3

c) 36

12. Calcula:

^ − 64h + 49

3

c) 23

16 5 d) 4 5 e)

5. Efectúa:

22

3

11. Efectúa: b) 2

5

e) –x2

5 7 d) 6 3, 5 e)

1 3

a) 1

1 3

d) 4x2

c) 2x2

6 11 c) 6 10 a) 6 9 b)

4. Efectúa: 1 2

b) 3x2

9. Efectúa:

3. Efectúa: 144 − 8 . 3 − 8 + 4 16 a) 30

a) x2

4 6

6 7

c) x y

10 6

14. Efectúa: 21 ^3 ab h . ^ ab h4

32 2 b) –1 e) –2

c) 1

8 8

b) a b

10 10

e) a b

a) a b

d) a b

7 7

9 9

c) a b

11 11

Central: 6198-100

Álgebra 15. Calcula: 1253

21. Sea:

− 20

A = 64 − 4

a) 2 d) 7

b) 3 e) 9

− 3 −1

c) 5

B = 12527 Halla: (B+3)(A) a) 1 d) 4

16. Si "x" es un número positivo, reducir: 6

x12 + 5 x10 + 9x 4

a) 4x

2

b) 6x

d) 5x

2

e) 11x

17. Reduzca: 4

625 x − a) 20x

2

d) 23x

2

36x6 9x 2

2

c) 9x

3

; x!0

b) 21x e) 24x

2

c) 22x

a) x

x 48 +

2

d) 2x

2

x.5 y b) 3 x . 3 y

c) 3 x . 15 y

d) 3 x . 4 y

e) 3 x . 7 y 23. Efectúa: x5 . x7 1/12

5 3

2

b) 3x

2

e) 7x

2

c) 5x

2

19. Calcula: − 1/2 10 . 3 64 + 4 . 8 16 B 125 121 a) 14 d) 18

b) 19 e) 21

c) 20

3

c) 0,3

3

c) x

17/12

y!0 3 b) 5 x y

x y

d) 3 3 y 25. Efectúa:

e)

3 c) 15 x y

x y

x: x ; x > 0 x

b) 3 x

d) 6 x

e) 4 x

a) b) 0,15 ! e) 0, 5

b) x 17/12 e) x

24. Efectúa: x 3 ; 5 y a)

20. Efectúa: 0,5 (0,25) a) 0,25 d) 0,5

11/12

a) x 5/12 d) x

x30

c) 3

a) 3 x . 5 y

6

18. Efectúa: 3 4

b) 2 e) 5

22. Efectúa:

2

2

2

− 2 −1

c) 5 x

Practica en casa 1. Calcula:

• 3 − 1000 =

9

=

• 5 1024

=

3. Efectúa: U = 169 − 5 . 3 − 64 + 4 16

• 3 343

=

4. Efectúa las siguientes potencias:

• 7 167

=

•

2. Calcula:

1/2

• (–125)

• 5 − 32

=

• 7 − 1

=

www.trilce.edu.pe

• 36

• –81

3/2

= 1/3

= =


23

7

Capítulo

5. Efectúa: • 4 8 . 4 3 . 4 11 •

5 5

64 2

= =

12 • 6 21

=

• 3 4 13

=

6. Efectúa: (144

1/2

) . (–27)

7. Calcula: (4 × 16 × 25)

6 4

11. Efectúa:

x96 +

8 5

x80

12. Efectúa: 3 a 5 b

2/3

13. Efectúa:

1/2

x. x

14. Efectúa: 3 x : z

8. Reduzca: 7 x28 . y 42 . z 49

−3 9. Calcula: 8 1 B 125

81 x10 ; x ! 0 9x 2

400 x8 −

10. Reduzca:

15. Efectúa:

− 20

x.

3

x2 . 4 x3

Tú puedes 2 1. Reduzca: ;

18

a) –1 d) –x

8

b) 1 2 e) x

4. Calcula el mayor valor de n, si:

4/3

8(x 4) 642B . x164 E

; x>0 c) x

n + 1/3 2. Efectúa: 3 − 1 . 3 3 − 1 . 3 ; n∈,n≥2 1 . n 3n2 3 a) 1 b) 2 c) –1 d) 4 e) 3

3. Simplifica: a) 1 d) n

Colegios

24

TRILCE

n nn

n nn nn + n n

n

b) 0 e) –n

.

n + nn

1n 8n B c) –1

(n n )

1 n n

1 + 1/4 1/10

1 + 1/2 1 + 1/3E B = ;;8621 + 1/1@

a) 3 4

b) 2

d) 3 20

e) 5 3 4

E

c) 3 16

5. Luego de reducir: 3 4

a

4 3

a3

3

a 4 a3

4

a a2 a 3 a2 Dar el exponente de "a". a) 13 72 15 d) 72

b) 13 71 e) 11 70

c) 11 73

Central: 6198-100

Capítulo

8

Teoría de exponentes IV Problemas para la clase 1. Calcula el valor de: 9

8. Reduzca:

−2−1

x. x. x

1 1 1 b) c) 9 2 3 1 1 d) 6 e) 4 2. Calcula el valor de: a)

− −1 9 2

27 a) 1

b) 2

d) 4

e) 5

c) 3

1 1 1 a) b) c) 4 2 16 1 d) e) 2 3 4. Halla el valor de: -16-4 -

1

a) 2

b) 3

d) 9

e)

c) 4

5. Reduzca: 3x

x+1

33 a) 1

b) 3

d) 27

e) 81

c) 9

6. Reduzca: 2m+1 52m a) 5

b) 1

d) 5–1

e) 6

7. Reduzca: 3

a)

1 - 3m 4

2

12

.

2

c) 5

4m - 1

12 2 c) 12 41 3 b)

12 5 d) 12 6 e)

www.trilce.edu.pe

9. Reduzca: 3

m3 m3 m a) m5/27 b) m7/27 d) m17/27 3

−2 −2

1 8 81 B

8 15 d) 8 x7 e) x

c) m11/27

e) m13/27

10. Reduzca:

3. Determina el valor de: 16

8 71 8 9 a) 8 x5 b) x c) x

x2 4 x3 5 x 4

60 61 60 13 a) 60 x59 b) x c) x

d) 60 x159 e) 60 x17 11. Reduzca: 5x + 2x 5 -x + 2 -x a) 2x d) 4x 12. Reduzca: 7n + 3n n 7 -n + 3 -n a) 20

b) 5x e) 20x

b) 21

d) 23

e) 24

13. Reduzca: x2n + x3n x -2n + x -3n a) xn

b) x2n

d) x4n

e) x5n

14. Halla "x" en: 3x+2+3x+1+3x = 39 a) 1 b) 2 d) 4

c) 10x

c) 22

c) x3n

c) 3

e) 5


25

8

Capítulo

20. Reduzca:

15. Halla "x" en: 4x–2+4x–1+

4x

5

A = 9 : 3 243 : 358 a) 11 b) 9

= 21

a) 1

b) 2

d) 4

e) 5

c) 3

d) 27

22x+1 = 4x + 64 b) 1

d) 2

e) 3

e) 18

21. Reduzca: x x2 3 x

16. Obtenga el valor de "x" en la ecuación: a) 1/2

c) 10

c) 5/2

6 x 4 x c) a) 12 x5 b) 6 5 d) 12 x7 e) x

17. Si: 4n+4n +4n+4n =22008

22. Halla el valor de x + y si: 23x . 3 y + 4 = 8 - x 2x + 1 3 .2 2 a) 4 b) 3

Halle "n": a) 1001

b) 1002

d) 1004

e) 1005

c) 1003

d) 1

2x–5+ 2x–4+2x–3+2x–2 – 2x–1 = –2 b) 5

d) 7

e) 8

d) 6

c) 6

^- 5h2 = - 5

....

0

( )

II. ^ 8 - 2 2 h = 1 III. 5–1+5–1+

5–1+5–1+

a) FFV

b) FVF

d) VFF

e) VFV

....

( )

5–1=50 ....

( )

c) FVV

e) 27

24. Calcula x x si se verifica que: x ^ 4 3 h = 9 . 28

19. Indica verdadero (V) o falso (F): I.

e) 0

23. Si: (4x)x =64. Halla el valor de xx. a) 4 b) 2 c) 8

18. Halla "x" en: a) 4

c) 2

a) 2

b) 21/2

d)

e) 1

3

c) 3 3

25. Si se cumple que: x

x2x = x5, el valor de 4x2x es: a) 100 b) 5 c) 25 d) 75

e) 125

Practica en casa x+3 + 5x + 2 1. Simplifica: E = 5 5x + 1

5. Reduzca: 16 4

2

2. Si: x =4, donde x es un número natural. 8 –4 Calcula: x + x

3. Calcula el valor de: x

64

2

Colegios

26

TRILCE

3n

6. Si: x =5, reducir: x –100

7. Calcula el valor de "x", en:

05 8 @7

4. Sabiendo que: 2 = 6. Calcular: 2

n

− 8 − 1/3

x+1

3

4x = 2x . 3 2

2x + 1 8. Calcula el valor de: 2 x 4 − 1/2 9. Calcula: 8 9 B + 3− 1 25

Central: 6198-100

Álgebra 10. Si: A = 7 x . 7 x . 7 x .... 7 x , Hallar: 1 44444 2 44444 3

A

28 factores

5 10 5 15 11. Reduzca: 8 a . 8 a a16 . a24

−2

12. Reduzca: A = ;` 1 j 6

3 1/n 13. Efectúa: ^n b2n h^bnh . ^b − 1h donde: n ∈ ; n ≥ 2 y b ! 0

= 2 14. Efectúa: '84 2 B

2

1

2

G

− 2 1/2

+ ` 1j E 8

2

2

2 3 xh ^x 15. Efectúa: x a .xa . xa .... a x a + a + a + .... + a

1 4 4 4 44 2 4 4 4 44 3 "a" sumandos

Tú puedes 1. Si: 5

2

x

= 625

4. Dada la ecuación: x+1 y+1 y x 5 –2 = 5.2 – 2.5 Calcula el valor de: M = 5x +2 – 2y

y

Calcula el valor de: E=

x-2

y

a) –1 d) 3

b) 1 e) 4

c) 2

2n # 6n + 3 3n + 1 # 4n b) 8 e) 48

c) 72

3. ¿Cuántas parejas (x; y) de números reales positivos satisfacen el siguiente sistema de ecuaciones: xx + y = y3 ) x+y y = x6 . y3 a) 6 d) 1

www.trilce.edu.pe

b) 12 e) 4

c) 0

5. Sea la siguiente sucesión: x1 = 4 x3

2. Calcula el valor de:

a) 9 d) 16

b) 2y e) 2

a) 5 d) 1

c) 5

x2 =

4

x3 4 x3

x3 =

4

x3

4

x3 4 x3

h Calcula x10. a) c)

46−1 6 x 4 48−1 8 x 4 410−1 410

b)

47−1 7 x 4

d)

49−1 9 x 4

e) x


27

9

Capítulo

Notación de polinomios Problemas para la clase 1. Si: P(x) = 3x2. Calcula P(–4) a) 49 b) 36 d) 144

c) 72

e) 48

2. Si: P(x; y) = 4x – 3y. Calcula: E = P(2; –5) a) 16 b) 18 c) 24 d) 23

e) 32

3. Sabiendo que: P(x; y; z) = x2 – y3 + 2z. Calcula: M = P(1; –2; 3) a) 11 b) 15 c) 1 d) –1

-x 5. Calcula "P(5m)". Si: P(x) = +3m. 5 a) m+4 b) m c) 2m e) –3m

6. Si: P(x+2) = 4x – 6. Calcula: P(5). a) 14 b) 15 c) 6 d) 9 e) 10 7. Si: Q(2x – 1) = 3x – x2. Calcula: Q(3) a) 1 b) 2 c) 3 d) 4

e) 5

8. Si: R 8

x + 1B = x3 - 1 3 Calcula: R(2)

a) 120

b) 125

d) 124

e) 116

Colegios

28

TRILCE

a) 96

b) 95

d) 1022

e) 74

c) –3

10. Halla el término independiente del siguiente polinomio: P(x) = (2x + 3)4 . (x + 1)5 + 6 a) 87

b) 44

d) –42

e) 43

c) 81

11. Sabiendo que: P(x) = 3x + 4.

e) 4

4. Resuelva las siguientes ecuaciones: z+3 = * x+4=7 * 2y – 3=3 * 3 2 a) x = 1 y = 3 z = 3 b) x = 2 y = 2 z = 4 c) x = 3 y = 3 z = 3 d) x = 4 y = 2 z = 3 e) x = 5 y = 3 z = 1

d) –5m

9. Calcula la suma de coeficientes del siguiente polinomio: P(x) = (x+1)5 + (6x – 4)6 –x

c) 7

Obtenga P[P +P ] (1) (0) a) 19

b) 27

d) 37

e) 40

c) 33

12. Sean las polinomios: H(x) = 4x – 3 y Q(x) = 1 – 2x Calcula: H[Q ] +Q[H (1)

(–2)]

a) 14

b) 16

d) 20

e) 22

c) 18

13. Sea: P(x+3)=x2 – 3x + 6, presenta la condición: P(7)= m+1. Calcula P(m). a) 30

b) 36

d) 60

e) 16

c) 20

14. Sea P(x) un polinomio que cumple las siguientes condiciones: ax + 30 P(x - 4) = y P(- 9) = 5 4 Calcula el valor de "a" que verifique dichas condiciones. a) 0 b) 1 c) 2 d) 3

e) 4

Central: 6198-100

Álgebra 15. Si: P x + 1 y - 1 = xy . Calcula P(5; 3). E ; ; 2

2

a) 36

b) 49

d) 83

e) 63

c) 47

16. Sea el polinomio: P(x) = 2x5 + x2 – x + 3 + m Si: P(1) = 14 + 2P(0). Calcula m + 15. a) –15 b) 0 c) 15 d) 8

e) –8

17. Sabiendo que el polinomio: P(x) = (4x + 3)2(x – 5) + 9 + a presenta como suma de coeficientes –180. Calcula "a". a) 10 b) 6 c) 7 d) –9

e) –6

18. Sea el polinomio: P(2x – 1) = (3x+1)4(5x – 1)6 – 10242 Calcula: P(1) a) 0 b) 1024 c) –1024 d) –1

e) 1

19. Si: P(x) = 4P(x) – 9 – 3x. Calcula: P(2). a) 1 b) 2 c) 3 d) 4

e) 5

20. Sabiendo que: H(x) = x40 – 8x37+x Calcula: H(H(H(H(2)))) a) 1 b) 2 c) 3 d) 4

e) 5

21. Si: P(x) = P(x – 1)+1 y P(3) = 4. Calcula P(0) a) 1

b) 2

d) 4

e) 5

c) 3

22. Si: f(x – 1) = 2f(x – 2) – 1; f(–3) = 2. Hallar f(0) a) 1 b) 2 c) 8 d) 9

e) 12

23. Calcula: E = P(3)+P(10), sabiendo que: 2x - 3 ; si x 2 5 P(x) = ) x - 2 ; si x # 5 a) 18 b) 19 c) 16 d) 20

e) 17

24. Sabiendo que: P(x) – P(x–1) =x+1 Calcula: P(3) – P(1). a) 6 b) 7 c) 8 d) 9

e) 10

25. Si: P(x)=10x – 4P(x) Calcula: P(2) a) 1

b) 2

d) 4

e) 5

c) 3

Practica en casa 1. Sea P(x; y) = 7x – 2y. Calcula P(1; 2)

7. Calcula la suma de coeficientes del polinomio: 10 6 P(x) = (2x–1) (x+1)

2. Si: P(x) = 3x+2. Calcula M = P (1) P (0)

8. Halla el término independiente de: 30 4 P(x) = (5x–1) (x+2) –10

3. Calcula: P(2a). Si: P(x) = x + a 2

9. Si: P(x) = 3mx+9, hallar "m", si para x=3. P(x) vale 0

4. Si: P(x) = x+a. Calcula: P (2a) P (4a)

10. Sea: P(x+1) = x + 2x + 4, presenta: P(2) = m–2, calcular: "m+2"

5. Sabiendo que: P(x) = 3x+2a, toma el valor de 17 para x=5. Calcula "a". 6. Si: P(3x+2)=x+6, calcula: P(8) + P(0,5)

www.trilce.edu.pe

2

11. Sea: P(x–2) = mx + 4 4 Donde: P(0) = 12 , calcular: m + 1 2


29

9

Capítulo

12. Si: P( x – 3 3

;

y+4 ) 4

= x+y

Calcula: P(3; 1) 13. Sea el polinomio: 4 3 5 P(x) = x – 3x + 2x + m Si: P(1) = 12. Calcula "m"

14. Si: P( 7x2− 3 ) = 7x Calcula: P(5)

2

15. Sea: P(x) = x – 3x + 1 Calcula: P(m–3) + P(m+3)

Tú puedes 1. Si: P(x – 1) = x1000 – 1024x990 + 5x + 4. Calcula la suma de coeficientes de P(x). a) 12 b) 13 c) 14 d) 15

e) 16

2. Si el término independiente del polinomio: R(x) = (5x + 4)k–2 +x(x2 – x + 1) es 10242. Halla el valor de K. a) 10 b) 7 c) 19 d) 12

e) 21

3. Se define una expresión matemática tal que cumpla la siguiente condición: P(x – 1) – 2P(x)+P(x+1) = 2x P(- 2) + P(2) Calcule el valor de: P(–1) + P(1) a) –2 b) –1 c) 0 d) 1

Colegios

30

TRILCE

4. Si: P(x) = (1 – x)(4 – x)(9 – x) ... (10000 – x) P(625) + P(900) Calcula: P(444) a) –1 b) 466 c) 389 d) 0

e) 44

5. Si el polinomio: P(x) = a(x – 3)2 + b(x – 2)2 + c(x – 1)2 se anula para cuando x = 4 a+b Calcula: b + 3c a) –4 b) –3 c) –2 d) –1

e) –6

e) 2

Central: 6198-100

Capítulo

10

Cambio de variable utilizando la notación de polinomios Problemas para la clase 1. Reduce: 4(m – 3) – 2(m – 6) a) m b) 2m d) 4m

e) 6m

2. Reduce: –5(2m – 1) + 2(5m + 3) a) 10 b) 13 d) 19

c) 3m

d) x – 8 c) 11

e) 20

3. Despeja "x" en la siguiente ecuación: x – 2 = 4m a) 4m b) 4m – 2 c) 4m+2 d) m+2

e) 2m

4. Despeja "x" en la siguiente ecuación: x–3=m–1 a) m – 4 b) m+2 c) m – 3 d) m+4

e) m

e) 3m – 13

6. Si: P(x) = –8x+5. Determine P(2m – 1). a) 8 – 16m b) 13 – 16m c) 16 – 16m d) 14 – 16m e) 15 – 16m 7. Sabiendo que: P(x) = 2 – x. Calcula: P(m – 3) – P(m+3)+6 a) 15 b) 13 d) 12

d) x+6 www.trilce.edu.pe

e) x+8

e) x – 9

d) x+4

c) x+3

e) x+5

11. Sean los polinomios: P(x) = 3x – 7 F(x) = –2x – 1 Determine: P(F(m)) a) –7m+2 b) 5m – 3

c) –m+4

e) –6m – 10

12. Sean los polinomios: P(x) = 2x – 10 F(x+3) = x – 1 Determine: P(3m) – 3F(2m) a) 2

b) 1

d) 5

e) 3

c) 4

13. Sean los polinomios: P(x) = 3x – 1 F(x) = 4x –5 Calcula: M = P(F(x)) – F(P(x)) c) 14

e) 11

8. Si: P(x – 2) = x + 4 además: P(H(x)) = x + 9 Obtenga: H(x) a) x+9 b) x+3

c) x+3

10. Si: F[H(x)] =3x + 2 además F(x+1) = 3x – 1 Obtenga H(x). a) x+1 b) x+2

d) –2m – 6

5. Si: P(x) = 3x – 4. Determine P(m – 3). a) 3m – 6 b) 3m – 5 c) 3m – 4 d) 3m – 9

9. Si: P(F(x)) = x – 3 y P(x+1) = x + 8 Obtenga F(x). a) x – 10 b) x – 3

a) 14

b) –19

d) –7

e) –15

c) –13

14. Si: P(x – 1) = x+5. Obtenga P(x) c) x+5

a) x+4

b) x+5

d) x+7

e) x+8

c) x+6


31

10

Capítulo

15. Si: P(x + 1) = x – 3. Obtenga P(x). a) x – 3 b) x – 6 c) x – 2) d) x – 4

e) x – 5

16. Si: P(x – 1) = 4x. Obtenga P(x). a) 4x b) 4x+4 c) 4x+2 d) 4x – 4

e) 4 – 4x

17. Si: P(x+4)=3x – 1. Obtenga P(x). a) 3x – 10 b) 3x – 8 c) 3x – 9 d) 3x – 13

e) 3x – 12

18. Si: P(2x) =2x – 3. Obtenga P(x+4) a) x b) 2x c) x+1 d) 2x+1

e)x+4

19. Si: P(x+4)=x – 3 F(x – 1)= 2x – 8 Calcula: P(F(m+3)) a ) 5m – 3 b) 2m – 7 d) 3m – 5

c) 4m+6

e) 7m – 1

20. ¿Para que valor de "m" se cumple: P(m)=f(m) ? Si: P(x)=3x – 7 F(x – 2)=x+5 a) 5 b) 4 c) 9 d) 7

21. Si: P(x)= 7x – 9 y P(F(x)) =4x – 12 Calcula: 7F(x)+3 a) 7x – 2

b) 4x

d) 2x – 5

e) x+3

c) 6x

22. Si: P(x) = 3mx+1 F(x) = x – 3 ¿Para qué valor de m se cumple: P(2(F(x))= 2P(x) – 19? a) 6

b) 1

d) 4

e) –2

c) –3

23. Si: P(x2 – x+1)=x2 – x+4. Obtenga: P(m+3) a) m+4

b) m+5

d) m+7

e) m+8

24. Si: P(x – 3)= 4 – x. Obtenga: P(2x – 5) a) 6 – 2x b) 4 – x d) 7 – x

c) 5 – 3x

e) 2 – 4x

25. Si: H(x5 – x+3) = x5 – x + 3 Obtenga: H(H(x)) a) x b) x2 d) x+1

c) m+6

c) x5

e) x – 1

e) 8

Practica en casa 1. Si: P(x) = 3x – 1 Calcula: P(m+2)

2. Si: P(x) = –x+1 Calcula: P(m–1) 3. Si: P(x) = 2x – 4 Calcular: P(2m–1) – P(2m+1) 4. Si: P(x) = 7x – 4 Calcula: P(m+2) – P(m) 2

5. Si: P(x) = x + 3 F(x) = 2x + 4 Calcula: P(F(0))

Colegios

32

TRILCE

6. Sean los polinomios: P(x) = 4x – 3 F(x) = –2x + 4 Calcula: F(P(m)) 7. Sean los polinomios: P(x) = 5 – x F(x) = 2x – 1 Calcula: P(F(m)) 8. Sean los polinomios: P(x) = x+9 G(x) = 2x – 4 Calcula: 6 P(3m) – 9 G(m) 9. Si: P(x+1) = x – 1 F(x+3) = 2x – 7 Calcula: P(F(m)) Central: 6198-100

Álgebra 10. ¿Para qué valor de "m" se cumple: P(m) = F(m) Si: P(x) = 4 –x F(x) = x – 12

13. Si: P(x) = 7x – 1 F(x) = 5 – 2x Expresar P(x) en términos de F(x)

11. Sean los polinomios: P(x) = x + 3

14. Si: P(2x+3) = 3x – 1 Calcula: P(P(P(7)))

F(x) = 2x – 3 Calcula: M = P(F(x)) – F(P(x))

15. Si: P(2x+3) = 3x+1

12. Si: P(x) = 3x – 4

Calcula: P(P(P(7)))

F(x) = 5x – m Calcula "m" para que: P(P(1)) = F(3) – 14

Tú puedes 2

2

4. Sea: P(3x+1) = x – 4

1. Sea: P(x) = 4x – 3 ; x H 0 Calcula: P ( x ) + 3 2 a) x+3

b) x

d) 2x

e)

4

Calcula: M = P (7) − P (− 2) 3 c)

x –3

x /2

b) –6x+3 e) –8x+3

b) 9 e) 6

c) 1

5. Sean: P(x+1) = 4x – 7 ∧

2. Si: P(x) = –2x + 1 Calcula: P(P(P(x))) a) 5x–3 2 d) x –3

a) 3 d) 12

G(x – 3) = –3x + 5 3

c) 8x +1

Calcula: P(x) + G(x) + 15 a) x d) x+3

b) –4 e) x–6

c) 12

3. Sea: P(2x–3) = 2x+5 Calcula el valor de "x" que verifica: P(3x) + P(4x) = 65 a) 5 d) 9

www.trilce.edu.pe

b) 8 e) 7

c) 6


33

11

Capítulo

Grados de un monomio Problemas para la clase 1. Resolver las siguientes ecuaciones: m+3 = 12 2x + 7 = 19 y dar el valor de m.x a) 9 b) 6 c) 53 d) 54

e) 63

2. Indique el coeficiente del siguiente término algebraico: T(x; y) = 4mx2y4 a) 4 b) 4m c) x d) y

e) x2y4 5

4

3. Reduzca la expresión: (x4) . (x2) . a) x9 b) x20 c) x8 d) x28

e) 2x28 7 (x3)

4. Reduzca la expresión: . 10 12 12 10 a) x y b) x y d) x21y20

c) x7y20

5. El grado de un monomio está relacionado con: a) El coeficiente del monomio. b) Los exponentes solo de las variables. c) Los exponentes del coeficiente. d) Los exponentes del coeficiente y la parte literal. e) Con la fiebre de las manos.

d) 5

c) 6

Colegios

34

TRILCE

Cumple: GA = 30+a Calcula: GR(x) . GR(y) a) 349

b) 350

d) 352

e) 353

9. Sea M(x; y) = 2ax

c) 351

a+3 4+a

y

con coeficiente 12. Calcula GA. a) 15

b) 16

d) 18

e) 19

c) 17

10. Halla el GA de: M(x; y) = 2 (x ) (y ) a) 60

b) 61

d) 63

e) 64

c) 62

11. En el siguiente monomio: M(x; y) = 3x Se sabe que GA=15, hallar; GR(x) a) 6 d) 10

b) 13 e) 8

a+3 4

y

c) 11 4 7

m+2 3

12. Si los monomios: M(x; y) = x y ; N(x; y) = x y presentan igual GA. Determine el valor de "m". a) 8 d) 10

b) 14 e) 6

c) 3

a) 10 d) 13

b) 2 e) 14

c) 15

n

14. Si: P(x) = 3mx , presenta grado 5 y coeficiente 2 15. Calcular (m+n)

4 a+3

d) –9

y

13. Calcula: GR(x) + GA del monomio: a+2 4+a P(x; y) = 5ax y , si el GR(y) = 6

e) 4

7. Si: N(x; y) = –2ax y cumple: GA=12 Calcular el coeficiente a) –6 b) –7

a+3 2a+7

45 67

10 (y2) .

e) x4y6

6. Sea el monomio: a+3 a+4 M(x; y) = 4x y Si: GA = 17 Calcula: GR(x) a) 8 b) 7

8. Sea el monomio: P(x; y) = x

c) –8

a) 101 d) 102

b) 103 e) 100

c) 104

e) –10

Central: 6198-100

Álgebra 4 m+2

15. Si el GR(x) = m–5 de: M(x; y) = 5x y Calcula: GA a) 13 d) 14

b) 17 e) 16

c) 15

16. Sean los monomios 4 m+2 P(x; y) = 7x y 4 m+2 G(x; y) = 2mx y 4 m+2 Tales que al restar generan el monomio: x y Según ello, calcula: GA(P) a) 6 d) 9

b) 7 e) 10

c) 8

17. El monomio: M(x; y) = 5ax presenta un coeficiente –10 Calcula el GR (x) GR (y)

y

b) 2 e) 5

c) 3

b) 12 e) 14

c) 9

22. Si: GR(x) = 7, determina el GA de: 2 3a+1 2a–1

M(x; y) = –5a x

y

a) 8 d) 12

b) 11 e) 10

c) 9

23. Dado: a+1 5–a a–1

y

z

GA=8, calcula GR(z) b) 4 e) 3

24. En A(x; y) = (a–1) x

c) 2

a+1 a–2

y

se cumple:

Coeficiente + GR(x) = 6, halla GA.

18. Para el monomio: R(x; y) = 4mx y cuyo GA=13. Calcular la suma de coeficientes de R(x; y) y el GR(x) b) 14 e) 18

c) 20

19. Sea: M(x; y) = 5x y Calcula GA, si GR(x) = GR(y) b) 14 e) 8

a) 1 d) 8

b) 6 e) 5

c) 7

25. El monomio: a 2a

3

3a

25

a2

M(x; y) = 4 (x ) . (xy) . (y ) . (xy ) . (x )

Cumple: GR(x) = GR(y), entonces calcular el

4a–2 a+4

a) 10 d) 16

a) 10 d) 15

a) 1 d) 5

3m–3 2m+1

a) 19 d) 16

5+m 2m–3

M(x; y) = x y Se verifica: GR(x) = GR(y) – 4

F(x; y; z) = –x 4–a a+5

a) 1 d) 4

21. Para qué valor de "m" el monomio:

coeficiente. c) 12

a) 16 d) 2048

b) 1024 e) 64

c) 49

3m–1 2m–7

20. Sea: P(x; y) = –mx y Un monomio que cumple: GA=17. Calcula: E = GR(x) . GR(y) a) 42 d) 5

b) 10 e) 70

c) 16

Practica en casa 1. En el siguiente monomio: a+2 7 M(x; y) = 5x y Se sabe que GA=19, halla GR(x)

3. Calcula: GR(x) + GA del monomio: 5+a 3+a P(x; y)=4ax y Si el GR(y)=10

2. Si los monomios: 5 6 m+2 4 P(x; y)=4x y ; N(x; y)=x y Presentan igual GA. Halla "m"

4. Si: P(x) = 4mx , presenta grado 7. Calcula el coeficiente.

www.trilce.edu.pe

m


35

11

Capítulo

6 m

5. Si el GR(x) = m+2 de M(x; y) = 4x y Calcula el GA. 6. En el monomio: P(x; y) = (n–3)x GR(x) + GR(y) + 5 = 19 Calcula el coeficiente. 7. El monomio: F(x; y) = 3ax

11. Para que valor de "m" el monomio: 3+m 2m–4 M(x; y) = x y , verifica: GR(x) = GR(y)

4+n n

y , se cumple:

13. Si el GR(x)=12, determina el GA de: 2a+4 a M(x; y) = 2x y

7–a a+1

y

Presenta coeficiente 9. Calcula: GR (x) GR (y)

2a a+4

m+2 3m–1

8. Para el monomio: P(x; y) = 5mx y , cuyo GA=21, calcula la suma del coeficiente de P(x; y) y el GR(x). 2a–1 a+3

9. Sea el monomio: N(x; y) = 3x y Se cumple: GR(x) = GR(y), calcula: GA 4m m+1

10. Sea: M(x; y) = –mx y cumple GA=21, calcula: E = GR(x) × GR(y)

a+5 a a+4

12. Dado: F(x; y; z) = –3x yz Donde: GA=15, calcula GR(z)

14. En P(x; y) = (2a–3) x y , cumple: Coeficiente + GR(y) = 13, halla GA. 15. Del monomio: 23 5m 23 3 2m M(x; y) = 4m(x ) . (x ) . (xy ) . (y ) se cumple GR(x)=GR(y). Calcula el coeficiente.

, un monomio que

Tú puedes 4+m n–2

1. Si los monomios M(x; y) = 4mx y ∧ n–4 m–1 N(x; y) = nx y , cumplen que la suma de coeficientes aumentado en el GA de M(x; y) resulta igual al GA de N(x; y) disminuido en 3n y aumentado en 27. Calcular "m+n" a) 4 d) 12

b) 8 e) 6

c) 5

2. Calcula GR(x) + GR(y), si el monomio: P(x; y) = (m+n)x coeficiente 10. a) 30 d) 29

2m+2n m+n–3

y

b) 27 e) 25 4 7

presenta un c) 22 4 7

4 7

4n

3m

5

7

4. Al multiplicar (x ) . (y ) . x . y , se reduce 21 40 a un monomio: M(x; y) = x y , según ello, calcula "m + n" a) 15 d) 56

b) 19 e) 39

c) 44

5. Si los coeficientes de los monomios: a a+b 4 b ab 6 M(x; y) = (2 – 1) x y ∧ N(x; y) = (3 –2) x y , son iguales y enteros. Calcular el máximo valor que toma el GR(x) del monomio M(x; y). a) 6 d) 4

b) 2 e) 1

c) 5

3. Si se cumple: (5–n)x y +(7–2n)x y =–24x y Calcula el GR(x) del monomio: 2 n+3 4+n

P(x;y) = n x a) 12 d) 18

Colegios

36

TRILCE

y

b) 10 e) 16

c) 15

Central: 6198-100

Capítulo

12

Grados de un polinomio Problemas para la clase 1. Sea el polinomio P(x; y) = 4x5y3 + 3x6y7 – 2016x9y Calcula: GA + GR(x) + GR(y) a) 26 b) 28 c) 29 d) 31

e) 34

2. Sea el polinomio: Q(x; y) = xy4 – 3x5y6 + 8x4 Calcula: GR(x) – GR(y) a) 1 b) 0 d) –1

d) 11

c) –2

e) 3

3. El grado del polinomio R(x; y) = 41xn+1y2 – 307xn –1y; n∈+ es: a) n –1 b) n c) n+1 d) n+2

e) n+3

4. Si: GA = 12 en el polinomio: P(x; y) = xa+2y – 1024x4y2. Calcula el valor de "a". a) 4 b) 6 c) 7 d) 9

e) 10

5. Determina el grado relativo con respecto a "x" en el siguiente polinomio: 2 Q(x; y) = 4x2y6 +3a2x3y4x5 – 4y6(x2) a) 5 b) 4 c) 8 d) 9

e) 3

6. D etermina el grado absoluto del siguiente polinomio: P(x; y) = 4x6y2+3a3x5y – 11b2x4y3 a) 6 b) 7 c) 8 d) 9

e) 10

7. A partir del siguiente polinomio P(x; y; z) = x2y4z5 – 3x3yz2 +y2z GR (x) + GR (y) + GR (z) determine: GA (p) + 1 a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 www.trilce.edu.pe

e) 5

8. Determina el grado absoluto del siguiente polinomio: 2 0 R(x; y) = 4(x2)4y5x – 43x2(y2) x3 – x7y3 a) 10 b) 14 c) 9 e) 21

9. Si el grado del siguiente polinomio: P(x; y) = x4ym+2 – 2x5y7 es 20. Calcula el valor de "m". a) 13 b) 14 c) 15 d) 16

e) 17

10. Dado el polinomio: R (x; y) = `x3 yj`x3 yj`x3 yj ...`x3 yj - 4x20 y21 1 4 4 4 4 4 44 2 4 4 4 4 4 44 3

10 veces

Halla: GR(x) + GA(R) a) 70 b) 71 d) 73

c) 72

e) 74 5 6

3 4

6 3

11. Si: P(x; y) = 3x y – 2x y – x y Presenta GR(x) = m+3 Calcula "m". a) 3 d) 1

b) 6 e) 2 4

3

c) 4 n 7

12. Si: P(x; y) = 4x +ny – 2x y Presenta GA + GR(y) = 25 Calcula "n–2" a) 11 d) 6

b) 13 e) 7

c) 9

13. Para: m+2 m–1 m m–2 m+3 m+1 Q(x; y) = x y +2x y –3x y Tenemos que: GA = 12 Halla "m" a) 1 d) 5

b) 4 e) 3 a+1 b–1

c) 2 a+2 b–2

14. Si: M(x;y) = x y +2x y Además: GR(x)=7 ; GR(y) = 3 Calcula "ab" a) 20 d) 18

b) 28 e) –14

–x

a+3 b–3

y

c) 16


37

12

Capítulo

15. En el polinomio: m+1 3 m+4 8 m+2 10 P(x,y) = 3x y + 2x y + mx y + Donde m ∈  ; Hallar la suma de coeficientes de dicho polinomio, si se sabe que el GR(x) es igual a "7". a) 12 d) 7

b) 9 e) 8

c) 10

16. Dado el polinomio: a a+1 2a a+3 a–6 a+7 2a a+2 P(x;y)=2x y +5x y –ax +ay +7x y Si su grado absoluto es 33; calcular el grado relativo a "x" y el grado relativo a "y". a) 20 y 17 d) 15, 20

b) 18 y 17 e) 19, 16

c) 17, 17

17. Calcula el valor de m+n con la condición de que el polinomio. 2m+n–4 m+n+2

P(x;y)=x

y

2m+n–3 m+n+1

+x

y

2m+n–2 m+n

+x

y

Sea de GA=28 y la diferencia de grados relativos a "x" e "y" sea igual a 6. a) 17 d) 10

b) 15 e) 9

c) 13

18. A partir del siguiente polinomio: P(x) = 4x + 5. Determine el grado del polinomio P(P(x)) a) 3 b) 2 c) 1 d) 4 e) 6 19. Sean los monomios: P(x) = 4x5 ∧ Q(x) =–3x3 Determine el grado de P(x)+Q(x) a) 3 b) 5 c) 8 d) 2 e) –12

21. Sean los polinomios: P(x)=x5+4x3 – 2x Q(x)=x5+3x2+x+1 Determine el grado de P(x) – Q(x). a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 22. Sean los polinomios: P(x; y)= x2y+xy2 Q(x; y)=xy+y3 Determine el grado de P(x; y) – Q(x; y) a) 1 b) 3 c) 2 d) 4 e) 5 23. Determine el grado de P(x); si: P(x) ≡ Q(x) . R(x) ; si Q(x) = 5x4 R(x) = 3x14 a) 16 b) 18 c) 19 d) 20

e) 22

24. Determine el grado de P(x): si se sabe que P(x) ≡ 4Q(x)+5R(x); sabiendo que: Q(x) = x3+5x6 R(x) = 3x2 – 4x6 a) 1 b) 4 c) 3 d) 6

e) 21

25. Determine el grado del siguiente polinomio: (x4+x3+2)(x10 – x+1)+x7 a) 11 b) 7 c) 22 d) 14

e) 18

20. Sean los monomios: P(x; y) = 3x2y3 ∧ Q(x; y) =51x3y4 Determine: GR(x)+GR(y) del polinomio R(x; y) si: R(x; y) ≡ P(x; y)+Q(x; y) a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9

Practica en casa 7

4

1. Sea el polinomio: P(x) = x – 2x + 3 A : grado del polinomio B : números de términos del polinomio Calcula: A × B

Colegios

38

TRILCE

2. Se sabe que en el polinomio: a 4 2 P(x) = 3x + 2x – 5a + x + x El grado del polinomio es igual al número de términos, según ello calcular el término independiente.

Central: 6198-100

Álgebra m 7

5 4

3. Sea el polinomio: P(x;y) = 3x y + 2x y – 3xy

a b+3

a+4 b+1

5+a b+4

P(x; y) = x y – 2x y –x y Presenta GR(y)=8, GR(x)=6, calcular "ab".

Cuyo GA=12. Calcular "m" 3 5

10. En el polinomio:

4 n+2

4. El polinomio: P(x; y) = 2x y – 3x y

4 5

3 a+3

5. Si: P(x; y) = x y

5 6

5

– 2x y

a–1 a

6. En: M(x; y)= (x3 y2) 5 (x3 y2) 5 (x3 y2) 5 .... (x3 y2) 5 1 44 444444 2 44444444 3

13 5

2 6

n+5 4

y

3 m

4 m

Siendo: Q(x; y) = 2 (x y) – 3 (x y) 6

14. Dado el polinomio: n n+2

P(x;y)=5x y

2n n+4

+5x y

–ax

n–5

+ay

n+8

2n n+3

+7x y

Si su grado absoluto es 37; calcular el grado relativo a "x" y el grado relativo a "y".

4 6

8. Si: G(x; y) = 3x y – 5x y Presenta GA + GR(y) = 30, calcula "n". m+3 m+1

a+1 a–3

13. Halla "m", si GA=45

30 veces

7. Si: P(x; y) = 4x y – 7x y – 3xy Presenta GR(x) = m–2 Calcula "m"

a+1 a

12. Si: Q(x; y) = 3x y +2x y –3x Si: GR(x)=5, calcular GR(y)

Presenta GA=12, calcular GR(y)

Halla GA.

a+2 3

11. El polinomio: P(x; y) = x y – 2x y –3x y Presenta: GA=15, calcular "a+3"

Presenta GR(y) = 12, calcular: GA.

m–2 m–1

9. Si: Q(x;y)=x y +2x y Presenta GA=18, halla "m"

–3x

m+3

15. Calcular el valor de “a+b” con la condición de que el polinomio. y

P(x;y)=x

2a+b–3 a+b+3

y

+x

2a+b–2 a+b+2

y

+x

2a+b–1 a+b

y

Sea de GA=31 y la diferencia de grados relativos de "x" e "y" sea igual a 3.

Tú puedes 1. Si: al polinomio: P(x; y) = nxmyp+mxm – 1 yp – 1+xn – 8 le restamos 10x3y4 su grado absoluto disminuye. ¿Cuál es el valor del menor de los grados relativos? a) 0 b) 1 c) 2 d) 3

e) 4

2. Calcula el grado de: P(x; y; z; ...) = 4a2x3y5z7... de 13 variables a) 199 b) 198 c) 196 d) 195

e) 189

3. Del polinomio: P(x; y) =35xn+3ym–2z6–n+xn+2ym–3 se sabe que: GA(p)=11 ; GR(x) – GR(y)=5 Luego: 2m+n es: a) 5 b) 15 c) 10 d) 25 www.trilce.edu.pe

4. Sea el polinomio: 12

R (x; y) = x5 y7 - n + xn y n - 4yn - 2 Hallar su grado absoluto, tal que el grado relativo con respecto a "y" sea el menor posible. a) 6 b) 7 c) 8 d) 9

e) 10

5. Determina el grado del polinomio P(x) sabiendo que el grado P2(x) . Q3(x) es igual a 21; además el grado de P4(x) . Q2(x) es 22. a) 2 b) 5 c) 3 d) 7

e) 1

e) 12 Primer año de secundaria

39

13

Capítulo

Polinomios especiales Problemas para la clase 1. Indica el mayor coeficiente y el grado del siguiente polinomio: P(x) = 5x+11 – 3x2+4x2 a) 11; 1 b) 11; 2 c) 11; 3 d) 4; 1

e) 5; 3

2. Determina el grado absoluto del siguiente polinomio: P(x; y) =4x6y7+8x7y5 – 31x4y9 a) 10 b) 9 c) 11 d) 13

e) 12

3. Determina el valor del término independiente del siguiente polinomio de quinto grado. P(x)=5xm–1+4x2+m+1 a) 5 b) 6 c) 7 d) 8

e) 9

4. Resuelva la siguientes ecuaciones: m+3 = 11 2n – 1 = 27 3b – 9 = 0 a) m=6; n=11; b=1 b) m=7; n=12; b=2 c) m=8; n=14; b=3 d) m=8; n=15; b=–3 e) m=7; n=14; b=2 5. Indica qué polinomio es homogéneo: a) P(x; y) = 5x4+2xy2 – 3xy3 b) Q(x; y) = 4x5+5y5 – 3y5x c) R(x; y) = 9x2y+3xy2 – xy d) S(x; y) = 5xyz+8xyz2 – 20x e) T(x; y; z) = 7x2yz+3xyz2 +y4 6. Indica qué polinomio es completo: a) P(x) = 5x4+2x2 – 1 b) Q(x) = x3+x4 +8x – 3 c) R(x) = 1006x+x2 – 2016 d) S(x) = x9+x8+x6+3x4 – 2 e) T(x) = x2+x+x3 Colegios

40

TRILCE

7. Indica qué polinomio es ordenado: a) P(x) = 4x4+5x5+3x – 1 b) Q(x) = x6 – 3x5+8x+4x4 c) R(x) = 200x d) S(x) = 1+x+x2+m ; m ≠ 0 e) T(x) = x4+x2+20 8. Indica qué polinomio es completo y ordenado: a) P(x) = 20x+x3+x4 b) Q(x) = 13x+9x2+2016x4 c) R(x) = 30x4 – 3x3+2x2+x –1 d) S(x) = x5 – 3x2+4x – 20 e) T(x) = x3+2x+30 9. Indica qué polinomio es idéntico al polinomio: Q(x)=4(x+3) a) 4x+3 b) 4x+12 c) x+34 d) 4x – 12

e) 3x+12

10. Si se cumple que los polinomios: P(x)= 3x2+5 Q(x)=(m – 2)x2+n+3 son idénticos. Halla: m.n a) –10 b) 4 c) 20 d) 10

e) 14

11. Sea el polinomio homogéneo: P(x; y) =ax2y7+(b – 1)xay8+2x5yb Halla la suma de sus coeficientes. a) 9 b) 11 c) 12 d) 13

e) 6

12. Sea el polinomio completo y ordenado en forma decreciente: P(x)=xm – 1+xn – 3+xp – 2+xq – 1+mnpq Calcula P(0) a) 64 b) 32 c) 120 d) 128

e) 240 Central: 6198-100

Álgebra 13. Si se cumple que: x(x+2)+3 ≡ ax2+bx+c. Calcula a+b+c a) 7 b) 6 c) 5 d) 8

e) 9

14. Si el siguiente polinomio es idénticamente nulo: P(x)=(a – 1)x3+(b – 1)x2+(c – 4)x+d – 2 Calcula: 3 abcd a) 1 b) 2 c) 3 d) 4

e) 5

15. Dado el polinomio completo: P(x)=x2 – x4 – 2x+xn+2+xn+7 Obtenga "n". a) 1 b) 2 c) 4 d) 5

e) 3

16. Halla la suma de coeficientes en el siguiente polinomio: P(x; y) =2ax7ya+3+3x18y12 – 5aya+10 Sabiendo que es homogéneo. a) 27 b) –10 c) 13 d) 12

e) –57

17. Indica qué polinomio es homogéneo y además completo y ordenado respecto a una de sus variables. a) P(x; y)=5x3y5+2y8 – 3xy7+14x2y6 b) P(x; y)=5x3y5+4y8 – 2x7y+21x6y2 c) Q(x; y)=x3y6+2y9+3x2y7+31xy8 d) R(x; y)=x3y5+2x2y6 – 4xy7+5y8 e) S(x; y)=x3+y3+x2+y2+x+y b 18. Determina el valor de a + c , si: el siguiente polinomio es completo y ordenado: a - 1 + xb - 2 + xc - 3 + ... + 2016 P (x) = x1 4444444444 4 2 4444444444 43 15 términos

a) 1

b) 2

d) 4

e) 5

c) 3

19. Calcula m+n+p, si P(x) ≡ Q(x) siendo: P(x) = 4x2+3x+2 Q(x)=(m+n –1)x2+(n – p+2)x+p – m+4 a) 4 b) 5 c) 6 d) 7

www.trilce.edu.pe

e) 8

20. Sea el polinomio completo y ordenado: P(x)=8xn – 2+9xn –3+...+xm –10 de grado "m – 2". Halla m+n+grado de P(x). a) 17

b) 16

d) 21

e) 20

c) 28

21. Halla la suma de coeficientes del polinomio homogéneo: P(x; y) =xn+3y2n–1+(a+b)xny12+(n–1)xayb a) 17

b) 16

d) 21

e) 20

c) 22

22. Si el siguiente polinomio: P(x; y) =3x3a – 9+xa+b –3+6(x2)4b+a–c es completo y ordenado ascendentemente. Calcula a+b+c. a) 1

b) 3

d) 10

e) 15

c) 6

23. Dados los polinomios idénticos: P(x; y)=(a – b)x3+(b – c)y3 Q(x; y)=(c – a)(x3+y3) ; c ≠ 0 Determina: a + 2b 3c a) 1 b) 2 d) 4

c) 3

e) 5

24. Si el polinomio: P(x; y) = (a – 4)xy2+(a+b –20)x2y se anula para cualquier valor que se les asigne a sus variables. Determina ab . a) 4

b) 8

d) 64

e) 72

c) 16

25. De la siguiente identidad: (x+1)5+(x–1)5 ≡ 2x5+ax3+10x+b Calcula el valor de: (a – 18)(b+3) a) 4

b) 6

d) 8

e) 0

c) –4


41

13

Capítulo

Practica en casa

1. Indica que polinomio no es homogéneo. a) P(x; y) = x7y3+x3y7 – x4y6+x10 b) R(x; y) = x9y7– x7y9+x10y6 c) S(x; y) = 3x3+2y3+z3 d) T(x; y) = x8– 2x4y4+y8 e) M(x; y) = x3y10+2x5y8 2. Si: P(x)=4+x – x2+9xm Q(x)=xn+3x3+x2 – 6x+1 son polinomios completos y ordenados. Halla m+n. 3. Si: 5x2+2x+3 ≡ (a+1)x2+bx+c. Halla a+b+c. 4. Si: (3 –

a)x2+bx

6. Se cumple que: 2

(a+1) x + (b–1) x + (c+2) x + d – 1 ≡ 0 Halle: a + c b+d 7. Sea el polinomio homogéneo: a–2 7

19

b 15

y – x y+x y

b

c

m+1

n–2

p–5

q–6

9. Si: P(x) = x +x +x +x Es completo y ordenado en forma decreciente, determine m+n+p+q 2

10. Si: x(3x+2)+1 ≡ ax + bx+c Halle: a+b + c 11. Sea el polinomio idénticamente nulo: 10 9 8 P(x)=(a1–10)x +(a2–9)x +(a3–8)x +...+(a10–1)x 2

5. Un polinomio P(x) completo de grado 8 presenta _________ términos.

P(x;y) = x

3

Halle: a1 + a2 + a3 + ... + a10

es nulo; halle a – b.

3

a

8. Si: P(x) = x + x + x + x – x Es completo y ordenado. Hallar a+b+c

; halle: a+b

12. Si: P(x; y) = xn y3 + x7 + xm yn es homogéneo, halle: m . n 13. Si el polinomio: m–5 m–4 m–3 m–2 m–1 P(x) = x +x +x +x +x Es completo y ordenado, halle "m" 14. Si: 2 2 (a – 5)x + (2b – 3)x + 3c – 5 ≡ 3x + 5x + 4 Halle: (a–b) c + b (a – c) 2

15. Si: P(x) = (a+b) x + (b – c) x + c – 3 Es idénticamente nulo. Halle: b − a c

Tú puedes 2

2

1. Si: P(x; y) = 2xa − 2 y + x2 y + xyb − 7 Es homogéneo, halle el mínimo valor para "a+b" a) –6 d) –3

b) –5 e) –2

c) –4

2. En el polinomio completo y ordenado: 2

3

a

P(x) = x(a + 3) + xa (a + 1) + x(7 − a) − 2 + .... + a Halle el término independiente donde a > 0 a) 1 d) 4

b) 2 e) 5

c) 3

3. Si el polinomio de segundo grado: 3 2 P(x) = (3 a + 1) x + (3 – a) x + 4x – a Es idéntico al polinomio: r Q(x) = (mx + n) , halle: E = m + n – a + r a) 1 d) 4 Colegios

42

TRILCE

b) 2 e) 5

20

19

18

4. Si: P(x) = 20 x + 19x + 18x + ... + x Es idéntico a: 20 19 Q(x)=(a1–a2)x +(a2–a3)x +....(a20–a21)x y además: a1 + a21 = 310, halle a21 a) 40 d) 70

b) 50 e) 80

c) 60

5. Si el polinomio: n/5 7–n n–2 P(x) = (a – n) x + (b – a) x + (c – 2b) x Es idéntico a: c–2 a n–4 Q(x) = –x + (a–1) x – 3x Halle: a+b+c+n a) 11 d) 14

b) 12 e) 15

c) 13

c) 3

Central: 6198-100

Capítulo

14

Multiplicación algebraica Problemas para la clase 1. Opera en cada caso: a) (4)(–10) = ______ b) (–7)(–3) = ______ c) (–32)(11) = ______ 2. Efectúa en cada caso: a) x . x2 . x3 = ______ b) m4 . m3 . m2 = ______ 3. Reduzca en cada caso: a) (xy)(xy2) = ______ b) (x3y2)(xy4z2) = ______ 4. Calcula el producto de la siguiente multiplicación: (4x) . (–3x2) a) –12x3 b) 12x2 c) –12x2 d) 10x2

e) x4

5. Calcula el producto de la siguiente multiplicación: (2x2)(3x3)(–4y5) a) 24x5y5 b) –24x5y5 c) 48x11y5 d) –48x5y4

e) 16x4y6

6. Calcula el producto de la siguiente multiplicación: 4x2 . (x3 – 3x) a) 4x5+3x b) 4x5 –3x c) 4x5+4x3 d) 4x5 –12x3 e) 4x6 –12x2 7. Calcula el producto de la siguiente multiplicación: xyz . (x+y – z) a) xyz+y – z b) x2yz+y – zx c) x2yz+xyz – z d) xyz+xy2z – x2yz e) x2yz+xy2z – xyz2 8. Efectúa: (3x + 5)(2x – 4) a) 6x2+2x – 20 b) 5x2 – 2x – 20 c) 6x2+2x+20 www.trilce.edu.pe

d) 5x2+2x+20 e) 6x2 – 2x – 20 9. Calcula el producto de la siguiente multiplicación: (2x+y)(3x – y) a) 6x2+xy – y2 b) 6x2 – xy+y2 c) 6x2+xy – 2y2 d) 6x2 – xy+2y2 e) 6x2+2xy – y 10. Efectúa: (x5+3)(x5 – 3) + 81 a) x20 b) x10 d) x25

c) 2x10

e) 3x10

11. Señale el producto de: (2x3)(3x4)(2x5) a) 12 b) 12x60 d) 12x10

e) 12x12

12. Señale el producto de: (–3x3)(–2x5)(–5x6) a) 6x15 b) 30x14 d) –6x15

c) 6x7y10

e) 18x7y11

14. Señale el producto de: (–4x4z5)(2y3z2) a) 8x4y3z5 b) –8x4y3z5 d) x4y3z7

c) 10x10

e) –30x14

13. Señale el producto de: (3x2y3)(2x5y8) a) 6x2y3 b) 6x2y11 d) 6x7y11

c) 6x12

c) –8x4y3z7

e) –x4y3z7

15. Determina el producto de: 2x2(3x3+4x4 – 5) y señala el coeficiente del término de mayor grado. a) 6 b) 10 c) 8 d) 24

e) 11 Primer año de secundaria

43

14

Capítulo

21. Halla "a+b+c", si:

16. Reduzca: (3x+2)(2x+5)+2x(5x–3) 2

2

(3x+7)(2x–5) ≡ ax + bx + c 2

a) 16x +10

b) 16x +7x+10

2

2

c) 6x +15x+10

d) 16x +13x+10

2

a) –35 d) –30

b) 35 e) 29

c) 30

22. Halla m–n, si:

e) x +19x

2 3

5

5

2 8

7 3

2x y (3x +y ) ≡ mx y + nx y 17. Al multiplicar: (3x – 5)(2x+1) y adicionarle: 7x+5 se obtiene: a) 6x

2

2

b) 6x +10

d) –6x

2

e) x

2

c) 6x –1

2

a) 4xy

3

b) 10xy

3

d) 8xy

3

e) 15xy

3

c) 4

2

2

23. Si: (4x–2y)(3x+4y) ≡ ax + by + cxy a) 1 d) 4

c) 7xy

3

19. Señale el coeficiente del término de primer 2 grado del producto de: (3x +1+2x)(x+2) b) 3 e) 6

c) 4

20. Calcula el coeficiente del término de tercer 3 2 grado de: (3x + 2x–7)(2x +5–x) a) 4 d) 17

b) –4 e) N.A.

Halla: (a–11)(b+9)(c–9)

18. Reduzca: 2 3 3 4 2 (2x+3y)(3x +5y )–(6x +15y +9x y)

a) 2 d) 5

a) 4 d) 5

b) 12 e) 19

b) 2 e) 5

c) 3

24. Reduzca la siguiente expresión: (x5+2017x3+3)(x5+2017x3+8)–(x5+2017x3)2 –11(x5+2017x3) a) 20 b) 23 c) 22 d) 24

e) 28

25. Reduzca: (x2+x+1)(x2 – x+1)(x4 – x2+1) – x4(x4+1) a) 0 b) 1 c) 3 e) x2

d) x

c) 15

Practica en casa 2

5

1. Efectúa: (2x )(3x y) 4 5

9. Efectúa: (3x+2y)(5x–7y) 2

2. Efectúa: (–3x y )(–5x y) 3

2

5

3. Efectúa: (2x y)(3x z)(4x y) 4. Efectúa: (–7xy)(–3yz)(2zw) 4

4 2

2

12. Halla "a+b+c", si:

2

n

5

4

13. Si: x (2x+3) ≡ ax +bx , calcula: a+b+n

7. Efectúa: 2xy (3x +2y +2xy)

14. Reduzca: xy(xy+z)+3z(yx+1) – (xy)(xy)

8. Efectúa: (x+y)(2x–y)

15. Reduzca: (x+1)(2x+1)+(x–1)(2x–1)+x(x+1) – x

Colegios

44

2

2

11. Efectúa: (x +x+1)(x –x+1)

2

6. Efectúa: x y (xy + x y –5z) 5

2

(x+3)(2x–5) ≡ ax +b+cx

3

5. Efectúa: x (2x –x+5) 8 4

3

10. Efectúa: (x +2x–7)(x +3x–1)

TRILCE

Central: 6198-100

Álgebra

Tú puedes 1. Si: xx =

2 ; halla el menor valor de: 2

x (x+1) – x (x+3) + x (x+2) a) 1/2 d) 1/4

b) 1/32 e) 1/8

c) 1/16

2

(x+1)(2x–1)+(x–1)(2x+1)–4x +x

a) 5 d) 2

a) 3 d) 2

2

e)

2 –2

a+1

c) 5

b) 2abc

c) –2

n

2

c) 3abc

2 2 2

d) 4abc

2 +2 b)

2

b) 4 e) 1

a) abc

e) a b c n

3

5. Si: x (x –1) + (a–4)(x+2) = (x –x) Halla: "a+n" a) 9 d) 10

www.trilce.edu.pe

5

4. Reduzca: 2 2 2 2 2 2 ab(ab+c)+ac(ac+b)+bc(bc+a)–a b –a c –b c

2. Halle el valor numérico de: para x =

5

3. Si: (2x+1) (3x+2) = (6x +2+7x) Halla "a".

b) 6 e) 12

5

c) 8


45

15

Capítulo

Repaso II Problemas para la clase 1. Si: P(x) = 4x + 3 Determine: P(m+3) a) 2m – 4 b) 5m – 3 d) 3m – 6

e) m+8

2. Si: P(x) =3x – 6 Determine: P(2m – 1) a) 2m – 1 b) 3m – 7 d) m – 3

c) 6m – 9

c) 24

e) 29

4. Sabiendo que: P(x) = –x+2 Calcula: P(m – 3) – P(m+3) + 6 a) 15 b) 13 d) 12

d) –49

e) 6m+4

3. Sabiendo que: P(x) = 4x – 7 Calcular: P(m+3) – P(m – 4) a) 20 b) 28 d) 30

c) 4m+15

c) 14

e) 11

e) 4

6. Sean los polinomios: P(x) = –2x+3 F(x) = –3x+1 Calcula: F(P(–2)) a) –14 b) –20 d) 18

e) 11

11. Si: F(x; y)=x4ya+2 – 2x5y7 Presenta GA = 20, hallar "a". a) 3 b) 8 c) 14 e) 24 1 4 4 4 4 4 44 2 4 4 4 4 4 44 3

c) 32

e) –10

Su grado es: ______ La suma de coeficientes es: _______ El término independiente es: ______

TRILCE

d) 7

12. En: R(x; y)= `x3 yj`x3 yj`x3 yj ...`x3 yj

Presenta _____ términos

46

e) 10

10. Sea el polinomio: P(x; y) =4xmy2+3x5y3 – 6x4y5 Cuyo GA = 13, calcula "m – 3". a) 9 b) 8 c) 10

d) 16

7. Sea el polinomio: P(x) = x4+3x5 – 2x+6 Completar según corresponda:

Colegios

e) –32

9. Al sumar los polinomios: P(x)=x5+x4+3xm – 2x – 1 y F(x)=x5+x4 – nx6 – 2x+p Se observa que el resultado es un polinomio de 6 términos y de grado 9. Calcular el grado del polinomio P(x). a) 10 b) 12 c) 9 d) 6

5. Si: P(x) =3x+1 y F(x) = 4x – 3 Calcula: P(F(1)) a) 9 b) 3 c) 6 d) 5

8. Del polinomio: M(x) = 4xa+3x2+2x – 7a Su grado es igual al número de términos, según ello, calcular el término independiente. a) 7 b) –28 c) 4

20 veces

Halla GA. a) 20

b) 80

d) 108

e) 16

c) 40

13. Sea el polinomio: P(x, y)=2xa+5ya–1+3xa–2ya+9+4xa+7ya–2 De grado absoluto "33", calcular el valor de "a". a) 11 b) 13 c) 14 d) 15

e) 17

Central: 6198-100

Álgebra 14. Dado el polinomio P(x, y)=7x2ym+3+4x5ym–4+3x4ym+5+x6ym–2 Si: GR(x) + GR(y) + GA = 32 Halla "m". a) 4 b) 5 c) 6 d) 7

e) 8

15. Halla: a+b+c en el siguiente polinomio homogéneo: P(x; y) = 10xa+6 – 2axb+a+xcyc – x2yb+2 a) 5 b) 6 c) 15 d) 20

e) 23

16. Si el polinomio: P(x)=18xa –18+32xa–b+15+18xc–b+16 Es completo y ordenado en forma ascendente. Calcula (a+b+c) a) 88 b) 32 c) 36 d) 68

e) 92

17. Halla la suma de coeficientes en el siguiente polinomio: P(x; y)=2ax7ya+3+3x18y12 – 5aya+10 Sabiendo que es homogéneo. a) 27 b) –10 c) 13 d) 12

e) –57

18. Sea el polinomio completo y ordenado: P(x)=xm+5+xm+4+xm+3+xm+2+mxm+1 Determine la suma del término independiente con "m". a) –1 b) 0 c) –2 d) 1

e) 2

19. Si se cumple que: x(x+2)+3 ≡ ax2+bx+c Halle: a+b+c a) 6 b) 7 d) 11

20. Sean: P(x)=3x2+x+5; q(x)=axn–1+bx+5 Polinomios idénticos. Halle a+b+n a) 5

b) 6

d) 8

e) 9

c) 7

21. Señale el producto: (–3x3)(–2x5)(–5x6) a) 6x15

b) 30x14

d) –6x15

e) –30x14

c) 10x10

22. Señale el producto: (3x2y3)(2x5y8) a) 6x2y3

b) 6x2y11

d) 6x7y11

e) 18x7y11

c) 6x7y10

23. Señale el producto: (–4x4z5)(2y3z2) a) 8x4y3z5

b) –8x4y3z5 c) –8x4y3z7

d) x4y3z7

e) –x4y3z7

24. Determine el producto: 2x2(3x3+4x4 – 5) y señale el coeficiente del término de mayor grado. a) 6

b) 10

d) 24

e) 11

c) 8

25. Determine el producto: –3x2y3 (2x2y3 – 4x5y5) y señale el coeficiente del término de menor grado. a) –6

b) 10

d) 12

e) –12

c) 15

c) 8

e) 13

Practica en casa 1. S: P(x) = 3x – 1 Calcula: P(m+2)

4. Si: P(x)=7x – 4 Calcula: P(m+2) – P(m)

2. Si: P(x) = –x+1 Calcula: P(m–1)

5. Dado: F(x; y; z) = –3xa+5yaza+4 Donde: GA = 15, calcula GR(z)

3. Si: P(x) = 2x – 4 Calcula: P(2m – 1) – P(2m+1)

6. Si el GR(x) = 12, determina el GA de: M(x; y)=2x2a+4ya

www.trilce.edu.pe


47

15

Capítulo

7. En P(x; y) =(2a – 3) x2aya+4, cumple: Coeficiente + GR(y) = 13, halla GA.

11. Si: (3 – a)x2+bx ≡ 0, halle: a – b

8. Del monomio: M(x; y) =4m(x2)3 . (x5)m . (xy2)3 . (y3)2m se cumple GR(x) = GR(y). Calcula el coeficiente.

12. Efectúa: (3x+2y)(5x – 7y)

9. Si:

P(x) = 4+x – x2+9x3+6xa; Q(x)=xm+7x4 – x3+x2 – 6x+1

Son polinomios completos y ordenados. Halle: a+m 10. Se cumple que: 5x2+2x+3 ≡ (a+1)x2+bx+c Halle: a+b+c

13. Efectúa: (x3+2x – 7)(x2+3x – 1) 14. Efectúa: (x2+x+1)(x2 – x+1) 15. Halla "a+b+c", si: (x+3)(2x – 5) ≡ ax2+b+cx

Tú puedes 1. Sea: P(2x – 3)=2x+5 Calcula el valor de "x" que verifica: P(3x)+P(4x) = 65 a) 5 b) 8 c) 6 d) 9

e) 7

2. Al multiplicar (x4)n . (y3)m . x5 . y7, se reduce a un monomio: M(x; y)=x21y40, según ello, calcula "m+n". a) 15 b) 19 c) 44 d) 56

e) 39

4. Halle el valor numérico de: (x+1)(2x – 1)+(x–1)(2x+1) – 4x2+x para x = 5 + 2 a) 5 b) c) –2 2 d) 2

e) 2 –2

5. Si: xn(x2 –1)n+(k – 7)(x+2) = (x3–x)5 Halla: "k+n" a) 9 b) 6 c) 8 d) 10

e) 12

3. Si los coeficientes de los monomios: M(x; y)=(2a – 1)xa+by4 ∧ N(x; y)=(3b–2)xaby6, son iguales y enteros. Calcular el máximo valor que toma el GR(x) del monomio M(x; y). a) 6 b) 2 c) 5 d) 4

Colegios

48

TRILCE

e) 1

Central: 6198-100

Capítulo

16

Productos notables I Problemas para la clase 1. Desarrolla: (x+4)2 a) x2+16

8. Reduzca: (x+2y)2+(x – 2y)2 – 8y2 a) x2 b) 2x2

b) x2+4x+16

d) 4x2

c) x2+8x+16 e) x+16 2. Desarrolla: (m+6)(m – 6) a) m2+36

d) x4

c) m2 – 12m

b) 3x9 – 21x3y+49y2

– 36

c) 9x6 – 42xy+49y2

5)2

d) 9x6 –42x3y+49y2 e) 9x9+42x3y+49y2

b) x2 – 25 c) 3x2 – 25 d) 9x2

11. Efectúa: (6a2+2)(2 – 6a2)

– 30x + 25

a) 36a4 – 4 b) 4 –36a2

e) 3x2 – 30x + 25 4. Desarrolla: (9y+7)(9y – 7) a) 81y2 – 49 b) 9y2 – 49 d) y2

– 49

e)

c) 9y2 – 2

c) 2x2+y2

d) 9 www.trilce.edu.pe

c) 4ab

e) 8

c) 14

c) –34

e) 2x2

d) 16 13. Reduzca:

e) 0

2 + 2 7. Reduce: (x 4) x–(x–4) a) 16 b) 15

12. Efectúa: (x+3)(x – 3) – (x+5)(x – 5) a) 2x2+34 b) 8x

d) 2x2+2y2 e) 2x2+3y2 6. Efectúa: (a+b)2 – (a – b)2 a) a2 – b2 b) ab

c) 4 – 36a4

d) 36a4 – 4 e) a4 – 36

81y2+49

5. Efectúa: (x+y)2+(x – y)2 a) x2+y2 b) 4xy

d) 2ab

e) y4

a) 3x6 – 42x3y+49y2

– 36

3. Desarrolla: (3x – a) 9x2 – 25

c) x3

10. Desarrolla: (3x3 – 7y)2

b) m2 – 6

e) m2

e) x2+y2

9. Efectúa: (x+y)(x – y)(x2+y2)+y4 a) x b) x2

d) x2+4x+4

d) m2+12m

c) 3x2

2 + (3x - 2) 2 − 8

^3x + 2h

a) 5

3x2 b) 6

d) 8

e) 9

c) 7

14. Efectúa: (x3+3yz)2 – (3x2 – zy)2 – 2yz . (3x3+3x2+4yz) a) x2 – 9x b) x6 – 9x4 c) x4 – 9x2 d) x6+9x4

e) x5 – x4 Primer año de secundaria

49

16

Capítulo

15. Calcula: ` 7 + 2 j` 7 - 2 j` 3 + 1j` 3 - 1j a) 10 b) 12 c) 15 d) 8 16. Calcula: a) 10 d) 19

e) 6 `

2

2

7 + 3j +` 7 - 3j b) 15 c) 20 e) 35

17. Indica la alternativa que contenga un trinomio cuadrado perfecto: a) x2+64+2x b) x2+16 – 4x c) x2+9+16x d) x2 – 8x + 8 e) x2+16+8x 18. Indica la alternativa que no contenga un trinomio cuadrado perfecto. a) 4x2+25 – 20x b) x2+6x+9 c) m2 – 10m + 25 d) y2+100y+2500 e) x2+xy+y2 19. Qué término hay que adicionarle a la siguiente expresión para que se convierta en un trinomio cuadrado perfecto: x2 – 20x? a) 9 b) 81 c) 100 d) 49

e) 36

20. Si el polinomio: x2 – 12x+40 se puede expresar de la siguiente forma: (x – b)2+k donde b y k son números enteros positivos. Halla b . k a) 20 b) 21 c) 22 d) 23

21. Si el polinomio: 4x2+12x+3 se puede expresar de la siguiente forma: (2x+h)2 – k donde h y k son números enteros positivos. Halla: h2+k2. a) 40 b) 43 c) 45 d) 48

e) 51

22. Si: 3x+5y = 14 Determina el valor numérico de: (3x+2y)(3x – 2y)+y(29y+30x) a) 144 b) 76 c) 121 d) 196

e) 200

23. Calcula: 16 ^3h^5h^17h^257h + 1 a) 16 b) 4 d) 3

c) 2

e) 6

24. Si: a+b=6 ∧ ab=2, relacione cada expresión con su respectivo valor numérico dadas las anteriores condiciones I. a2+b2 A) 1016 II. a4+b4 B) 32 a) IA IIB b) IB IIA c) IA IIA d) IB IIB

e) IA II no tiene opción

25. Siendo "x" un número mayor que otro "y" tal que: x+y=5 ∧ xy=2 Halla el valor de (x – y)2 a) 10 b) 13 c) 15 d) 17

e) 19

e) 24

Practica en casa 1. Desarrolla: (m+8)2 2. Desarrolla: (z+11)(z – 11) 3. Desarrolla: (5x – 4)2 4. Desarrolla: (13x – 10)(13x+10) 5. Efectúa: (m+n)2+(m–n)2 6. Efectúa: (r+p)2 – (r – p)2 Colegios

50

TRILCE

7. Reduzca:

2 - ^m - 5h2

^m + 5h

10 m

8. Efectúa: (m+n)(m – n)(m2+n2)(m4+n4)+n8 9. Desarrolla: (5x4 – 3z2)2 10. Efectúa: (x+5)(x – 5) – (x – 6)(x+6) 11. Calcula: ` 8 + 6 j` 11 - 2 j` 8 - 6 j` 11 + 2 j Central: 6198-100

Álgebra 14. Si: x2+y2=82; x+y=10. Calcula xy.

12. Calcula: 8 ^2h^4h^10h^82h + 1

15. Si: x+ 1x . Calcula: x2+ 12 x

13. Si: a+b = 9 y ab = 2. Calcula a2+b2

Tú puedes 2

1. Reduzca:

8− 1

6(x + 1) 2 (x − 1) 2 (x2 − 1) 3 (x2 + 1) 5 (x 4 − 1) 3@ 2

a) x 4 d) x

8

b) x 16 e) x

c) 1

2. Calcula: 16

b) 2 e) 8

www.trilce.edu.pe

b) 6 e) 64

–1 2

–1 2

(x+x ) + (x–x ) a) 81 d) 36

b) 94 e) 9

1 8x (x − 1 + x ) − x B

a (a + 2) + 1

c) 3

3. Halla el valor numérico de: 4 4 (a+b) (a–b) para: a = 3 + 2 2 ; b = 3 − 2 2 a) 8 d) 48

+1

c) 46

5. Halla "a" (a > 0)

3 # 5 # 17 # 257 + 1

a) 1 d) 4

4. Si: x + 1 = 5x

a) 1 d) 9

b) 2 e) 8

= ( x + 1)18 ( x − 1)18 c) 3

c) 24


51

17

Capítulo

Productos notables II Problemas para la clase 1. Obtenga el trinomio cuadrado perfecto que desarrolla la siguiente potencia: (x+5)2 a) x2+25 b) x2+15 c) x2+10x+25 d) x2+5x+25 e) x2+25x+10 2. Obtenga el trinomio cuadrado perfecto que desarrolla la siguiente potencia: (m2 – 3n)2 a) m4+9n2+mn b) m2+6m2n+9n2 c) m2+9n2 –

6m2n

d) m4+9n2 – 6m2n e) m4+9n2+6m2n 3. Obtenga el trinomio cuadrado perfecto (TCP) que desarrolla la siguiente potencia: (3x2+5y3)2 a) 9x4+25y6 b) 9x4+30x2y3+25y6 c) 9x4+30x3y2+25y6 d) 9x4+30x2y3+y6 e) 9x4+15x2y3+5y6 4. La raíz cuadrada de: 25x4 es: a) 5x b) 5x2 c) 25x d) 5x4

e) 25

5. El doble del producto que resulta de la multiplicación de las raíces cuadradas de los términos: 9x2 ; 16y6 es: a) 12xy b) 12x2y c) 24xy3 d) 24xy

Colegios

52

TRILCE

e) 24x2y3

6. Completa: *

81m2 = _____________

*

36y2 = _____________

*

4a2 b6 = _____________

7. El trinomio: x2+6xy+9y2 es equivalente a: a) (x+y)2 b) (x+3y)2 c) (x – 3y)2 d) (3x+y)2

e) (3x – y)2

8. El trinomio: 4a2+12ab+9b2 es equivalente a: a) (2a+b)2 b) (a+3b)2 c) (2a+3b)2 d) (2a+5b)2 e) (a+9b)2 9. El trinomio: 9x2 – 6x+1 es equivalente a: a) (3x+1)2 b) (3x+1)(3x –1) c) (3x+1) d) (9x – 1)2 e) (3x – 1)2 10. El trinomio: a4+25b4 – 10a2b2 es equivalente a: a) (a –15b2)2 b) (a2+5b)2 c) (a+5b2)2 d) (a2–5b2)2 e) (a2–5b)2 11. Si los polinomios: P(x) = (5x+3)2 Q(x)=ax2+bx+c son equivalentes. Halla ab+c. a) 759 b) 781 c) 769 d) 799

e) 802

12. Si: (3x+2y)2 ≡ Ax2+Bxy+Cy2 Halla: A.B+C a) 98 b) 96 d) 112

c) 104

e) 117

Central: 6198-100

Álgebra 13. Dado: 9x2+18xy, indique que monomio se debe agregar para que se convierta en TCP. a) y2 b) 6y2 c) 36y2 d) 9y2

e) 25y2

14. Dado el binomio: a4+4b4, si al adicionarle el monomio ka2b2 se convierte en un TCP, señale k. a) 2 b) 4 c) 8 d) 16

e) 1

15. Dado: x2+4xy+9y2, la expresión que se debe adicionar para que se convierta en un TCP. a) xy b) 2xy c) 3xy d) 4xy

e) 6xy

16. Si: 4x20+12x10y14+9y28 ≡ (Axm+Byn)2 Halla: A+B+m+n a) 29 b) 30 c) 28 d) 31

e) 32

17. Exprese al trinomio: x2+6x+1 en la forma: (x+h)2+k, donde h y k son constantes. a) (x+3)2 – 4 b) (x – 3)2 – 8 c) (x+3)2 – 6 d) (x – 3)2 – 6 e) (x+3)2 – 8 18. Exprese al trinomio: 4x2 – 12x en la forma: (2x – h)2+k, donde h y k son constantes. De como respuesta h+3k a) –24 b) –25 c) –26 d) –27

e) –28

19. Halla el valor de "x" que verifica que: x2 – 6x + 9 = 0, sabiendo que si: A∈  ∧ A2=0 A=0 a) 1 b) 2 c) 3 d) 4

21. Halla el valor de m y n respectivamente, tales que verifique que: m2 – 4m+4+n2 – 2n+1=0 sabiendo que Si A, B∈ ∧ A2+B2=0 A=0 y B=0 a) m=1; n=1 b) m=2; n=1 c) m=3; n=1 d) m=4; n=1 e) m=5; n=–1 22. Halla el valor de x . y, sabiendo que se verifica que: x2 – 6x+y2 – 4y+13=0 además: Si A,B∈ ∧ A2+B2=0 A=0 y B=0 a) 2 b) 3 c) 4 d) 5

e) 6

23. Si: 4x2 –12x+m ≡ (2x – n)2 Calcula: m+n a) 15 b) 12 d) 9

c) 7

e) 4

24. Si los siguientes polinomios P(a; b) ≡ (2+2a+2b+ab) . ab+a2+b2 Q(a; b) ≡ (ma+nb+pab)2 son idénticos. Halla 3m+5n – 2p a) 4 b) 5 c) 6 d) 7

e) 8

25. Si: 2mx2+2nx+p Es un TCP, señale la relación entre: m, n y p a) 9n2=4mp b) 9n2=8mp c) 3n2=4mn d) 3n2=5mp e) 9n2=2mp

e) 5

20. Halla el valor de "x" que verifica que: 4x2+4x+1=0, sabiendo que si: A∈ ∧ A2=0 A =0 1 −1 a) − 1 4 c) 5 2 b) −1 d) − 1 6 e) 3

www.trilce.edu.pe


53

17

Capítulo

Practica en casa 1. Si el trinomio x2+10x+25 es equivalente a (x+k)2. Determine el valor de k.

9. Hallar el valor positivo de "K" 2 2 x – 11 xy + 9y + Kxy es un TCP

2. Si: (5x – 3y)2 ≡ mx2+nxy+py2 Halla el valor de (m+n).p

10. Reduzca: 2 2 (x+y) +(x–y) +(1+x)(1–x)+(1+y)(1–y)–2 Indique a qué expresión se debe agregar para que se obtenga un TCP.

3. Dado: 4x2+9y2, indique que monomio se debe agregar para que dicha expresión se convierta en un TCP. 4. Si: x2+8x+1 ≡ (x+h)2+k entonces 5h+3k es igual a: 5. Obtenga dos números reales x e y tales que ambos verifiquen la siguiente igualdad: x2+y2 – 8x+6y+25=0 2

2

4

2

6. Si: (5x +3y) ≡ Mx + Nx y + Py Halla: M + N + P

2

2

2

11. Halla "K", si: (a+3b) + (a+b) + Kb Es un TCP

2

12. Si: a+b = 3 ab = 1 4 4 Halla: a + b 13. Si: 2 2 2 2 2 2 4a +4ab+b +25x +30xy+9y ≡(Ma+Nb) +(Ax+By) Halla: M + N + A + B 14. Si:

2

7. Dada la expresión: 25x + 10 xy Indique qué monomio se debe agregar para que la expresión se convierta en un TCP 4 4

4

2 2 2

8. Dada la expresión: 6 a + y + K a y 2 Halla K , si es un TCP

4

2 5

10

2

3

32

2

52

6

x –14x y +49y +36a –12ab +b ≡ ≡(Ma+Nb ) +(Ax +By ) Halla: (M – N + A – B) 14

7 4

8

m

n2

15. Si: 9x +42x y + 49y ≡ (Ax +By ) Señale: A + B + m + n

Tú puedes 2

1. Si: 2mx + 3nx + p Es un TCP, señale la relación entre: m, n y p a) 9m2=4np b) 3n2=4mp c) 9n2=8mp d) 9n2=4mp e) n2=4mp 2. Halla "K", si: 2 2 (m+2n) –(m–2n) +m(m+2n)+2n(m+2n)+Kmn Es un TCP multiplicado por 3. a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 10 3. Halla "p", si: 2 22 2 2 4 4 4 2 2 (x +y ) + (x+y) (x–y) –(x +y )+px +2x y es un TCP Colegios

54

TRILCE

a) 0

b) 1

d) 3

e) 4

c) 2

4 4. Si: x + 1 = 4 . Halla: x + 14 x x

a) 195

b) 196

d) 181

e) 173

c) 194

5. Si: ( 5 x + 2 y) 2 + ( 5 x − 2 y) 2 + Kxy Es un TCP. Halla P( 10 ) en P(x) = Kx + 1 a) 40

b) 41

d) 43

e) 45

c) 42

Central: 6198-100

Capítulo

18

Productos notables III Problemas para la clase 7. Desarrolla: (2m+5)3

1. Desarrolla: (x + 1)3 a) x3+1

a) 8m3+125+30m

b) x3+3x+1

b) 8m3+60m2+150m+125

c) x3

– 3x+3x – 1

d) x3

3x2+3x+1

–

c) m3+125m d) 8m3+125

e) x3+3x2+3x+1

e) 8m3+125+30m

2. Desarrolla: (x+1)(x2 –x+1) a) x3+3x2+3x+1

8. Efectúa: (2x+1)(4x2 – 4x + 1) – 1

b) x3+3x+1 c) x3+1

a) 2x3

b) 6x3

d) x3 – 1

d) 9x3

e) 18x3

e) x3+3x2+1

9. No es correcto que:

3. Relaciona: I. (x+8)(x – 5) II. (x+6)(x – 3) III. (x – 8)(x+5) a) IA IIB IIIC

A) B) C) b) IB IIC IIIA

c) IC IIB IIIA

d) IB IIA IIIC

x2 – 3x – 40 x2+3x – 40 x2+3x – 18

e) IC IIA IIIB

b) x3 – 6x2 – 12x – 8 d) x3 – 6x2 + 12x – 8

c) (x – y)(x2+xy+y2) ≡ x3 – y3 d) (x+8)(x+5) ≡ x2+40 e) (x – 7)(x – 3) ≡ x2 – 10x+21

e) x4

11. Efectúa

e) x2+8

2

(x+2)(x –2x+4) – x

5. Efectúa (x+7)(x+3) – (x+5)2+9 a) 1 b) 2

3

c) 3

e) 5

6. Efectúa: (m+n)(m2– mn+n2) – (m – n)(m2+mn+n2) a) m3 b) n3 c) 2m3

www.trilce.edu.pe

b) (x+y2)(x – y2) ≡ x2 – y4

d) x3

c) x3 – 8

d) 2n3

a) (x+y)3 ≡ x3+3x2y+3xy2+y3

10. Reduzca: ^x + 1h^x - 1h^x 4 + x2 + 1h + 1 x4 a) x b) 1 c) x2

4. Desarrolla: (x – 2)3 a) x3 – 6x + 12x2 – 8

d) 4

c) 8x3

a) x –8 d) 6

3

b) 8 2 e) x –8

c) –3x

12. Efectúa 2

2

(x–3)(x +3x+9)–(x–2)(x +2x+4) 2

a) 2x d) –12x

b) –19 2 e) x +1

c) 12x

e) m3+n3 Primer año de secundaria

55

18

Capítulo

13. Efectúa:

19. Calcula:

2

(3 3 - 1) (3 4 - 3 2 + 1) (3 9 + 3 3 + 1) (3 2 + 1)

2

(x+1)(x –x+1)+(x–1)(x +x+1) 2

a) 2x b) 2 3 3 d) –2x e) 2x 14. Si: A = (x+1)(x+4) B = (x+3)(x+2) C = (x+5)(x–2) D = (x+2)(x+1) Halla: A – B + C – D a) –12 d) –14

c) –2

c) 12

b) –22 e) 4

c) –25

d) 3

e) 6

c) 2

21. Calcula: a) 12

b) 10

d) 2

e) 7

c) 6

(3 2 - 1) 3 + 3 3 2 (3 2 - 1)

c) 18

3

(x+2) – x – 8 2

a) 0

b) 16x+x –8 2

c) 12x+ 2x – 8

a) 0

b) 2

d) 1

e) –2

c) –1

3

23. Si a+b=4 y ab=2. Calcula a +b

17. Efectúa:

d) 12x+6x

e) 12x

2

a) 40

b) 43

d) 46

e) 52

3

c) 49 3

24. Si x2 + y2 = 18 + xy ; x+y= 2 . Calcula x +y a) 5 d) 9

b) 6 e) 4 3

3

c) 7

3

25. Si x–y=2; x –y =40. Calcula 3xy

18. Efectúa: 2

(x–1) + 3x + 1 2

3

a) 3x +3x

b) x +3x

c) 3x

d) 3x

e) x

b) 4

22. Calcula:

b) 17 e) 20

3

a) 16

(3 5 + 3 2) 3 - 3 3 10 (3 5 + 3 2)

16. Si: x + y = 3 xy = 1 3 3 Halla: x + y

3

c) 15

(3 2 - 1) (3 2 + 1) (3 16 + 3 4 + 1)

15. Reduzca: 2 2 2 2 2 2 4 (a +8)(a +3)–(a +4)(a +7)+(a +5)(a –5)–a

a) 16 d) 19

b) 12 e) 6

20. Calcula:

b) –2 e) –10

a) –4 d) –29

a) 10 d) 8

3

a) 16

b) 14

d) 15

e) 17

c) 18

2

Practica en casa 1. Efectúa: 2 (x+5)(x –5x+25) – 125

4. Reduzca: (a+4)(a+2)–(a+7)(a–1)+(a+3)(a–2)–(a+6)(a+1)

2. Reduzca: 2 2 (x+4)(x –4x+16)+(x–4)(x +4x+16)

5. Reduzca:

3. Efectúa: 2 2 (x–4)(x +4x+16) – (x–1)(x +x+1)

6. Efectúa:

Colegios

56

TRILCE

(xy+1)(xy+7)+(xy+2)(xy–10)+2(3+xy)(3–xy)

(5+y)(5+3y)–(2+3y)(2+5y)+12(y+1)(y–1)–9

Central: 6198-100

Álgebra 7. Efectúa: 2 2 (x –2x+4)(x+2)+(x–2)(x +2x+4)

12. Si: x + 1 = 3 x 3 Hallar: x + 13 x

8. Efectúa: 3 3 (x–3) – x + 27

13. Calcula: (3 5 − 1) (3 9 − 2 3 3 + 4) (3 25 + 3 5 + 1) (3 3 + 2)

9. Efectúa: 3 (x+1) – 3x – 1

2

2

14. Si: x +y = 12 – xy; x – y = 3 3 Calcula: x – y

10. Si: a+b=2 ab=3 3

Hallar: a +b

3 3

Calcula: xy

ab = 3 3

Halla: a – b

3

15. Si: x+y=5; x + y = 35

11. Si: a – b = 5

3

3

Tú puedes 1. Reduzca: ( a + 1) ( a − 1) (a2 + a + 1) − ( b + 1) ( b − 1) (b2 + b + 1)

a) a d) a–b

b) b e) a3 – b3

c) a+b

4. Reduzca: 2 2 (x –4)(x–3)(x+1)–[x(x–1)–4] a) 4 d) 2

b) –4 e) 6 2

2. Calcula: 3

^3 3 + 2 2 + 3 3 − 2 2 h − 9^3 3 + 2 2 + 3 3 − 2 2 h

a) 3 d) 0

b) 6 e) 12

c) 9

c) 0

2

5. Si: (ab) +(cd) =3 y abcd=2 Calcula: 6 6 6 6 a b +c d a) –6 d) –12

b) –8 e) –7

c) –9

2 3. Si: `x + 1 j = 3 (x>0) x Halla: x5 + 15 x

a) a d) 7

www.trilce.edu.pe

b) – 3 e) 6

c)

3


57

19

Capítulo

Productos notables IV Problemas para la clase 1. Efectúa: 2 2 (a + 3)(a – 3)

9. Reduzca: 3 3 3 (x+1) + (x–1) – 2x

a) a4

b) a4 – 9

d) a+9

e) a4

2. Efectúa: 2 4 2 (a + 1)(a – a + 1) a) a4 b) a4+1 d) a6

–1

e)

c) a2 – 9

c) a6+1

a9+1

3

a) x2 – 4 d) x2–

TRILCE

2

2

b) –8 e) –14

2

4x2–

c) x2– 2x+4

4x+1

c) –2

2

2

c) x2 – 4x – 21

e) 3x2 –7

e) –2x3

2x2

– 34

a) 12x d) 6x

b) 0 e) 7

2

c) –4

13. Efectúa:

8. Reduzca: (x+1)(x+5)+(x+3)(x–9) a) 2x2 – 10 b) 2x2 – 11 c) 2x2 – 22

58

e) –8x

(x + 6x + 3)(x + 6x + 7) – (x + 6x + 5)

7. Reduzca: 2 2 (x+3)(x –3x+9) + (x–3)(x +3x+9) a) x3 b) –x3 c) 2x3

Colegios

d) –6x

c) –5x

12. Efectúa:

b) x2+4

– 24 e)

b) 4x

a) –6 d) –18

6. Reduzca: (x+1)(x–1)+(x+2)(x–2)+(x+3)(x–3) a) 3x2 b) 3x2 – 14 c) 3x2 –1

d) 2x2

a) x

2

d) x2+4x–21 e) x2 – 21x

d) –x3+9

e) 2x2

(a+2)(a–2)(a +4)– (a + 2 )(a – 2 )

5. Efectúa: (x + 3)(x – 7) a) x2 – 21 b) x2 – 10x

d) 3x2 – 6

d) 2x2

c) 3x3

11. Reduzca:

2

4x+4 e)

b) 6x2

10. Reduzca: (x+4)(x–4) – (x+8)(x–2)

3. Efectúa: (a + 2) a) a3+8 b) a3+8+6a(a+2) c) a3+12a2+6a+8 d) a3+6a2+12a+8 e) b y d 4. Efectúa: (x – 2)

a) 6x

2

2

2

(x + x + 2)(x + x – 2) – (x + x) 2

a) 2x d) –4x

b) –4 e) 4

2

c) 12x

14. Efectúa: 2

(x+1)(x+2)(x+3)(x+4) – (x +5x+5) 2

a) 2x d) –1

2

b) 2 3 e) 2x

c) –2x

b) –18 e) 15

c) 27

15. Si:

a+b=3

ab = 5 3

Halla: a + b a) 18 d) –27

3

Central: 6198-100

Álgebra 2

21. Si: x – 3x + 1 = 0

16. Si: x + 1 = 3 ; obtenga: x3 + 13 x x a) 0

b)

d) 2 3

e) –2 3

Calcula: x3 + 13 x

c) – 3

3

17. Reduzca: 3

3

2

2

(a+b) +(a–b) +2a(5b –a ) 2

2

a) 6 ab 2 d) 4 ab

b) 16 ab 2 e) 12 ab

18. Reduzca:

c) 10 ab

5− 1

a) x d) 1

b) x e) 0

+1 c) x

2

b) x e) 12xy

d) 18

e) 27

22. Reduzca: (x+3)(x+5)+(x+4)(x–6)+(x–7)(x+1) a) 3x

2

2

2

2

2

b) 10x 2 e) –8x

c) 12x

2

x + 3 xy + 9y = 17 ............ (1) x = 5 + 3y ..... (2) 3

Halla: x – 27y + 11 b) 86 e) 80

2

2

2

a) 85 d) 96

c) 12x

24. Si: x – 4x + 1 = 0 Calcula: x2 + 12 + x3 + 13 x

a) 75 d) 60

x

b) 72 e) 48

2

3

c) 3x –24

e) 3x –16

25. Si: x + 1 =

2

b) 3x –10

a) 0 2 d) 8x

20. Si: 2

c) 12

23. Reduzca: (x+1)(x+3)+(x+3)(x+2)–(3+5x)(3–2x)

3

19. Efectúa: 2 (x+y–3)(x–y+3) + (y–3) a) 0 2 d) 10y

b) 24

d) 3x –17

6(x − 1) 2 (x2 + x + 1) 2 (x3 − 1) 3@ 2

2

a) 10

c) 66

5x

Calcula: x + 16 x 6

a) 16 d) 15

b) 14 e) 19

c) 18

c) 95

Practica en casa 1. Reduzca: 2 2 2 (x+3)(x–3)(x +9)–(x + 5 )(x – 5 )

5. Si: a + b = 5 ab = 7 3 3 Halla: a + b

2. Reduzca:

6. Si: x + 1 = 5; halla: x3 + 13 x x

6(x + 2) 2 (x − 2) 2 (x2 − 4) 5@

1/7

+ ( 3 x + 1) ( 3 x − 1) + 5

3. Efectúa: 2 2 2 2 (x – x + 5)(x – x + 7) – (x – x + 6)

7. Reduzca: 3

3

(a+2b) + (a – 2b) + 2a ( 5 b+a)(

5 b–a)

8. Efectúa: 4. Efectúa: 2 2 2 2 (x – 3x + 5)(x – 3x – 5) – (x – 3x – 5) + 50

www.trilce.edu.pe

(a – b + 6)(a – b – 6) – (a – b)

2


59

19

Capítulo

2

2

9. Si: x + 5xy + 25 y = 10

13. Reduzca: (3+x)(3+2x)+(5+2x)(5–3x)+(3x–7)(2x+5)

x = 3 + 5y 3

3

Halla: x – 125y + 10 10. Calcula el valor de: (3 2 + 3 3 )(3 4 − 3 6 + 3 9 ) + (3 4 − 3 3 )(3 16 + 3 12 + 3 9 )

2

11. Si: x – 5x + 1 = 0 Calcula:

x3+

2

14. Si: x – 6x + 1 = 0 Calcula: x2 + 12 + x3 + 13 x x 2

15. Si: x + 1 =

3x Calcula: x + 16 x

1 x3

6

12. Reduzca: (a+11)(a+5)+(a–3)(a–2)+(a+9)(a–20)

Tú puedes –1

5

1. Si: a+a = 8 . Halla: a +a

–5

4. Reduzca: 2 2 4 2 8 4 8 8 (x –x+1)(x +x+1)(x – x +1)(x – x +1)–x (x +1)

a) 29 2

b) 45 2

c) 50 2

d) 58 2

e) 56 2 2. Efectúa, utilizando productos notables: 25

3 # 5 # 17 # 257 + 1

a) 1,7 d) 1,2

b) 1,4 e) 1,3

c) 1,1

a) 1 2 d) x

b) 0 e) x

c) x

4

5. Halla el valor numérico de: 3 E = x – 3x + 15 para: x= 3 3 + 2 2 + 3 3 − 2 2 a) 20 d) 17

b) 21 e) 19

c) 20

3. Halla el valor numérico de: 4 4 (x+y) – (x–y) Para: x= 7 + 2 ; y= 7 − 2 a) 12 47

b) 112 47

d)

e) 100 47

Colegios

60

TRILCE

47

c) 112 7

Central: 6198-100

Capítulo

20

División algebraica I Problemas para la clase 1. Opera en cada caso: a) +15 = ________ c) --20 2 = ________ 2. Efectúa: 10 a) x 3 = ________ x

- 12 = ________ b) + 4

d) x2+6x2 5 b) x3 = ________ x

3. Dado el polinomio: P(x)=3x+8x2+7x3 – 4 entonces su grado es: a) 1 b) 2 d) 4

c) 3

4. Reduzca en cada caso: a) 5x+2x – 4x = __________ b) 3x2 – 11x2 = __________ 5. En la siguiente división algebraica: x2+2x x+1 x+1 –1 ______________ ______________ ______________ ______________

6. A partir de la siguiente división: x3 + 6x2 + 11x + 7 x2 + 3x + 2 Se pide indicar el grado del cociente: a) 1 b) 2 c) 3 d) 4

e) 5

7. Obtenga el cociente luego de efectuar: 8x6 4x2 a) 2x3 b) 2x4 c) 4x4 d) 4x3 www.trilce.edu.pe

e) 2x

e) x – 6

9. Obtenga el cociente luego de efectuar: x2 + 3x + 1 x+1 a) x b) x – 1 c) x+1 d) x+2

e) –4

El dividendo es: El divisor es: El cociente es: El residuo es:

8. Obtenga el cociente luego de efectuar: x3 + 6x2 x a) x2+6 b) x2+6x c) x+6

e) x – 1

10. Obtenga el residuo luego de efectuar: 2x2 + 13x–4 2x–1 a) 1 b) 2 c) 3 d) 4

e) 5 4 7

5

11. Efectúa: (–12x y ) ÷ (3xy ) a) 4xy

7

b) –3x y

3 2

e) 4x y

d) –4x y 12. Efectúa: 24 a 4 b3 − 8 a3 b2 a) 3 ab d) –8 ab

2 3

4 7

c) 6x y

4 5

b) –4 ab e) –3 ab

c) 8 ab

13. Efectúa: 3 2 (x + 10x – 4x) ÷ (x) 2

b) x – 10x – 4

2

d) x +10x–4

a) x – 10x + 4 c) x +10x+4

2 2

2

e) x +10x 14. Efectúa: 4x3 + 6x2 − 8x 2x 2

a) x +3x–8 2

c) 2x +3x–4

2

b) 2x +3x–8 2

d) x +3x–4

2

e) 2x –3x+4


61

20

Capítulo

2

15. En una división exacta, el divisor es (x +5) y el cociente es (x+1). Hallar el dividendo. 3

3

2

a) x +x+5

b) x +x +5x+5

c) x +x +5

d) x +5

3

2

13

16. Al dividir (12x ) entre (6x ), el grado del cociente es 7. Calcular el valor de "m". a) 9 d) 12

b) 10 e) 13 4 7 3 − 18x y z 17. Efectúa: 6xyz2 a) 3xyz

b) –3xy

3 6

5

3 5

c) 3x y

23. Al dividir (x

18. ¿Por cuál polinomio debe multiplicarse (6y z ) 5 3

para obtener (–54xy z )? b) 6xy z 3 6

c) –9xy z

d) –3–x y z

5

e) 3x3y z 19. Efectúa:

6x 4 y − 9x3 y2 + 12x2 y3 3xy

3

2

a) 2x –3x y+4xy 3

c) 3x –3xy+y 3

2

3

2

b) –2x +3x y–4xy

2

3

d) 6x +xy+y

2

e) –x +3x y+4xy

2

2

2 3 5

20. ¿Por cuál polinomio debe multiplicarse (4x y ) 4 5

3 7

5 9

para obtener (16x y – 28x y +8x y ) 2

2

b) 4x–7y +2y

2 4

d) 4x+7y –2y

a) 4x+7y +2x 2

2

2

c) 4x–7y +2x y 2

e) 4x+7y –2x

3 2

4

b) 110 e) 140 m+2

+3x

n–5

c) 120

+8x

p+1

3

y ordenado. Calcular:

mn + np + mp − 1

b) 3 e) 9

c) 5

24. Halla el término lineal del cociente que se genera al dividir el polinomio: P(x) = 10x4+6x3 – 37x2+36x–1 entre 5x2 – 7x+3 a) x b) 2x c) 3x d) 4x

e) 5x

25. Si la división: 8x5 - 2x4 + x3 - ax2 + 2x + 5 4x - 3 genera como cociente a Q(x) y un resto igual a 2, indicar el valor que adopta: Q(1)+a. a) 12 b) 7 c) 5 d) 10

e) 0

4

2

Practica en casa 1. En la siguiente división: 3

2

2x +x + 3x + 1

2. A partir de la siguiente división:

x+1 2

2x – x + 4 –3

5

4

2

x + 2x – x +3 2

x – 2x + 1 El grado del cociente es:

El cociente es:

Colegios

62

TRILCE

3

–7x ) entre (x )

el cociente obtenido es un polinomio completo a) 1 d) 7

2

2

8 b

22. Al dividir: (x y +x y ) entre (x y ) se obtiene

a) 100 d) 130

3 2

a) 9xy z

a 7

c) 2

el valor de "a × b".

e) 3x y z

2

b) 1 e) 4

un polinomio homogéneo de grado 13. Calcular

c) 11

3 5

d) –3x y z

4 p

a) 0 d) 3

e) x +5x+5 m+8

m 18

(–12x y ) entre (nx y ), calcular el valor de "p–(m+n)"

3

3

3 7

21. Si (–4x y ) es el cociente que resulta de dividir

Central: 6198-100

Álgebra 7

4

3. Efectúa: (18x ) ÷ (9x )

3 a 4 b5 11. Efectúa: 4a b − 12 2 2a b

10 4. Efectúa: − 15 m4 −5 m 8

4 2

12. ¿Qué polinomio debe multiplicar a (x y ) para 5 3

6 4

obtener (3x y + 8x y )?

5

4

5. Efectúa: (x + 8x ) ÷ (x )

4 6

13. Si (3x y ) es el cociente que resulta de dividir a b

2 3

(12 x y ) entre (4x y ), entonces:

4 3 6. Efectúa: x + 3x − 5x x

a=

7. En una división exacta, el divisor es (x+3) y el cociente es (x+9). Calcular el dividendo.

b= a 7

2 3

8. Al dividir (20x

m+7

5 4

4 6

obtiene: mx y + nx y . Luego:

3

) entre (5x ), el grado del

cociente es 10. Calcular el valor de "m".

9. Efectuar:

9 b

14. Al efectuar (12 x y + 18 x y ) ÷ (6 x y ), se

− 21 x 4 y7 3 x3 y6

a=

m=

b=

n = a

10

13 b–3

15. Al efectuar (x +5y +x y

4 8

) ÷ (x y )

Se obtiene un polinomio homogéneo de grado 15. Luego: 4 9

10. ¿Qué monomio debe multiplicar a (8x y ) para 9 13

obtener (–32x y )?

a= b=

Tú puedes 1. En una división exacta, el dividendo es 3 2 2 (x +6x +5x+p), el divisor es (x +m) y el cociente es (x+q). Calcular el valor de m+p+q a) 34 d) 41

b) 36 e) 44

c) 38

2. Si los cocientes de la siguientes divisiones: Bx A y CxB representan términos semejantes. AxB BxC Calcular el valor de: A + C B a) –1 b) 2 c) –2 d) 1 e) 0 A

B

C

3. Si se cumple: Mx – Nx = 5x Calcular el cociente de la siguiente división: (3A + 7B) xM (6B − C) xN 4 5 a) 8x b) x c) 2x 6 d) 3x e) 1 www.trilce.edu.pe

4. En una división, se tiene: Dividendo = P(x) Divisor

2

= x – 6x + 5

Cociente = Q(x) Residuo

= ax + b

Si se cumple: P(5) – P(1) = 12, calcular el valor de "a". a) 1 d) 4

b) 2 e) 5

c) 3 3

5. Al dividir un polinomio P(x) entre x , el resto es: 2

x +x+7, halle su término independiente. a) 0 d) 4

b) 2 e) 7

c) 3


63

21

Capítulo

Repaso III Problemas para la clase 2

3

1. Efectúa: (x+5) – x (x+10)

13. Reduzca: (2m+1) –6m(2m+1)–1 3

2

3

a) m

2

2. Efectúa: (y–7) – (y–8) + 2y

3

d) 8m

2 2 3. Reduzca: (m + 5) + (m2 − 5) − 50 ; m ≠ 0 m

e) 16m

c) 4m 3

3

14. Desarrolla: (7x–5y) –105xy(7x–5y)+125y a) x

2 2 4. Reduzca: (x + 9) 2 − (x − 9) 2 ; x ≠ 0 (x + 1) − (x − 1)

3

b) 2m

3

d) (8x)

3

b) (6x)

3

e) (9x)

3

3

3

c) (7x)

2

15. Reduzca: (x–8)(x+4) – (x+2) + 16+ 8x 2

a) –20 d) –21

5. Reduzca: (x+3)(x–3)(x +9) + 81 6. Efectúa: (x + 4)

3

7. Efectúa: (m – 5)

3

b) –22 e) –23

16. Reduzca: (x + 1 ) 2 − (x − 1 ) 2 x x a) 1 b) 2 d) 4 e) 5

a) 4x 9. Reduzca: (m–6)(m+7) + m (m+1)

2

d) 64x

b) 16x 2

3

11. Desarrolla: (5m+4) 2

3

2

b) 25m +40m+16

2

c) 5m +20m+16

2

d) 25m +16

2

e) 25m +40m+4

b) 7m –9

2

d) m –9

2

e) 49m –42m+9 Colegios

64

TRILCE

2

4

a) 10

b) 15

d) 25

e) 30

19. Desarrolla: (a + b + c) 2

2

2

2

2

2

2

2

a) a +b +c

d) a +b +2abc

2

c) 49m +42m+9

2

2

c) 20

2 2

2

2

b) a +b +c –abc

c) a +b +c +2(ab+bc+ac)

2

a) 49m –9

c) 32x

18. Reduzca: (x + 5) – x – 5x (2x + 1) + 5x

2

a) m +16

c) 3

2

e) 128x 2

10. Reduzca: (x+1) + (x–1)

x!0

17. Reduzca: (4x + 2003) 2 + (4x − 2003) 2 − 4006

8. Desarrolla: (x+5)(x–8)

12. Desarrolla: (7m–3)

c) –24

2

2

2

e) a +b +c +a+b+c

2

2

20. Reduzca: 6(x + 8) (x + 5) − (x + 7) (x + 6) + x @2 − (x + 2) 2 a) –4x d) –32x

b) –8x e) –24x

c) –16x

Central: 6198-100

Álgebra 2

21. Si: x + 3x = 8, hallar el valor numérico de:

27. Reduzca: (x2 + 2y) (x2 − 2y) + (x2 + 2y) 2 − 2x 4 x2 y a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

(x+1)(x+2)(x+5)(x–2) a) –10 d) –40

b) –20 e) –50

c) –30

22. Si: a + b = 5

28. Si: x + y = 5

ab = 2 2

Halla: a + b

2

a) 20

b) 21

d) 23

e) 24 2

23. Si: x+y=3, reducir: (x+y) – x (9y+x ) – y a) –1 d) 2

b) 0 e) 3 3

Halla x – y ;

c) 22

3

3

c) 1 3

2

b) 12x e) 30x

c) 18x

2 25. Si: m + 2 = 5 , Halla: m + 42 m m a) 19 b) 20 d) 22 e) 23

26. Reduzca: 2

a) x 8 d) x

x>y

a)

21

b)

20

d)

6

e)

17

c)

31

29. Si: x + y = 7

24. Reduzca: (x+2) + (x–2) – 2x (x –12x) – 24x a) 6x d) 24x

xy = 1

c) 21

2

xy = 20 y Halla: x + y x a) 3/20 d) 7/20

b) 9/20 e) 13/20

4 1 30. Si: x + 1 = 5 , Halla: x + 2 x x a) 21 b) 22 d) 24 e) 25

c) 11/20

c) 23

(x + 1) (x − 1) (x2 + 1) (x 4 + 1) + 1 4

b) x 16 e) x

c) x

6

Practica en casa 1. Desarrolla: (7n+2)

2

2 2 6. Reduzca: ` 4x + 1 j − ` 4x − 1 j x x

x !0

2. Desarrolla: (5x – 3)

2

7. Reduzca: (3x + 1005) 2 + (3x − 1005) 2 − 2010

3. Desarrolla: (4x – 5)

2

8. Reduzca: (x +3) – x – 3x (2x + 1)

4. Desarrolla: (5x – 11y)

2

2

9. Desarrolla: (x+y+2)

2

2

5. Reduzca: (x–6)(x+2)–(x+2) +10

4

2

10. Reduzca: 6(x + 4) (x + 7) − (x + 5) (x + 6) + x @2 2

11. Si: x + 5x = 60, hallar el valor numérico de: (x+2)(x+4)(x+1)(x+3)

www.trilce.edu.pe


65

21

Capítulo

14. Reduzca:

12. Si: a+b=7 ab = 2 2 2 Halla: a + b

3

3

3

(x+2) + (x – 2) – 2x + 24x

2

2 15. Si: x+ 3 = 5, Halla: x + 92 x x

13. Si: x + y = 3 3

2

Reduzca: (x+y) – y (9x + y ) – x

3

Tú puedes 1. Si: x – 3y = 5

Halla el valor numérico de: (x + 5) (x − 5) y (2x − 3y) a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

2. Si el polinomio: 2 2 P(x; y) = 25x + 4axy + 16y Es un trinomio cuadrado perfecto. Hallar el máximo valor que toma "a". a) 9 d) 12

b) 10 e) 13

Colegios

66

TRILCE

b) 122 e) 125

a) 10

b) 12

d) 9

e) 16

(ab ! 0) c) 4

5. Simplifica: A=(a+b+c)(a+b+d)+(a+c+d)(b+c+d)–

c) 11

–(a+b+c+d) a) ab+cd

3. Si: x + 1 = 3, Halla: x5 + 15 x x a) 121 d) 124

2 2 4. Calcula: 2 a + b + 3a + 4b ab b a 2 Sabiendo que: (a+b) = 4 ab

d) ab+c

2

b) ab–cd

c) ab–c

2 2

e) a b –cd

c) 123

Central: 6198-100

Capítulo

22

División algebraica II Problemas para la clase 1. Efectúa las siguientes operaciones: a) 4 + 5 =

b) –3+8 =

c) 4 – 3 =

d) 5 – 8 =

6. La división: 6x 2 + 5x + 7 2x + 3 Se representa mediante el siguiente esquema de Horner: 2 3

2. Efectúa las siguientes operaciones: a) (+4)(–5) =

b) (12) ÷ (3) =

c) (–3)(+2) =

d) (–8) ÷ (2) =

6

5

7

¿Cuál es el error? 3. Dado el polinomio: 4 2 P(x) = 5x + 3x + 6x + 1

7. El siguiente esquema corresponde a una división efectuada por el método de Horner:

Completa: a) Coeficiente principal =

3 2

b) Grado del polinomio = c) Término independiente = d) Suma de coeficientes =

9

–3 6

5 2

3

1

7

Señala: a) El cociente

=

b) El residuo

=

4. En la siguiente división: 2x 2 + 3x + 5 x+2 El dividendo es

:

El divisor es

:

5. El polinomio: 4

3

2

P(x) = x + 8x – 5x + x + 7 Está completo y

www.trilce.edu.pe

respecto a la variable.

• Dada la siguiente división x 2 + 7x + 1 x−2 8. El cociente es

:

9. El residuo es

:

10. La siguiente división: x 2 − 3x + 5 x−4 ¿Es exacta o inexacta? Justifica tu respuesta Primer año de secundaria

67

22

Capítulo

18. Calcula el cociente de la siguiente división: 6x3 + 19x2 + 18x + 9 3x + 5

2 11. Luego de efectuada la división: x + 5x − 4 x −1 Completar: 2

a) Dividendo

= x + 5x – 4

a) 2x +3x+1

2

b) x +2x+1

b) Divisor

=

c) x +2x+3

d) 2x +x+3

c) Cociente

=

e) 3x +2x+1

d) Residuo

=

2

Dividendo

A

7

Divisor

B

x+2

Cociente

C

x+3

Residuo

D

x +5x+13

19. Calcula el residuo de la siguiente división: 4x3 + 5x2 − 2x − 3 4x − 3 a) 9 b) 12 c) 3 d) 0 e) 6 20. ¿Cuál es el cociente de la siguiente división x3 + 5x2 − 6x + 1 ? x2 − x − 1 a) x+7 b) x+6 c) x+5 d) x+4 e) x+3

2

2 13. Luego de efectuar la división: x + 7x + 13 x+5 Indicar verdadero (V) o falso (F)

21. ¿Cuál es el residuo de la siguiente división:

a) El dividendo es

: x + 7x + 13

2

(

)

b) El divisor es

: x–5

(

)

c) El cociente es

: x–2

(

)

d) El residuo es

: 3

(

)

14. Obtener el residuo de la siguiente división: 4x 2 − 5x + 9 x−3 a) 10 b) 20 c) 30 d) 40 e) 50 2 15. Luego de efectuar: 6x + 7x + 2 2x + 1 Indicar el cociente

b) 3x+2 e) 3x+4

c) 2x+3

b) 5 e) 8

c) 6

17. Obtener el cociente de la siguiente división: x3 + 5x2 + 6x + 8 x+4 2

b) x –x+2

2

2

a) x +x+2 c) x +x–2

3x3 + 2x2 + 6x + 13 x2 − x + 2 a) 3x+5 b) 5x–3 d) 5x+3 e) 0

c) 3x–5

22. Luego de efectuar la siguiente división: 6x3 − 25x2 + 3x − 5 , el cociente es: 3x 2 − 5x + 2 a) 2x+5 b) 2x–5 c) –2x+5 d) –2x–5 e) 5x+2 3 2 23. Luego de efectuar: 5x + 42x + 7 − 2x x +1−x

Indica el residuo

2 16. Si el residuo de la división: 6x − 11x + m 3x − 1 Es 4, calcula el valor de "m"

a) 4 d) 7

2

2

2 12. Luego de efectuar la división: x + 5x + 13 x+2 Relacionar correctamente

a) 3x–2 d) 2x–3

2

2

d) x –x–2

a) 4x+2 d) 2x+4

b) 5x+3 e) 3x+5

c) 0

3 x2 + Ax + B 24. Si la siguiente división: x + 7 2 x + 2x − 1

Es exacta, calcula: A + B a) 3 d) 9

b) 4 e) 10

c) 7

4 3 2 25. Si la división: x + 3x 2+ 5x + Ax − B x +x−2

es exacta, calcula A+ B a) 9 d) 12

b) 10 e) 13

c) 11

2

e) x +x+1

Colegios

68

TRILCE

Central: 6198-100

Álgebra Practica en casa 8. Calcula el cociente de la siguiente división: x3 + 4x2 + 6x + 9 x+3

2 1. Luego de efectuar la división: x + 2x + 5 x−1 Completar:

a) Cociente b) Residuo

= =

9. ¿Cuál es el residuo de la siguiente división: 2x3 + x2 + 3x + 2 x−1

2 2. Luego de efectuar la división: x + 4x + 5 x+3 Relacionar correctamente:

10. Halla el residuo de la siguiente división: 3x3 + 8x2 + 7x + 6 3x + 2

Dividendo

A

x+1

Divisor

B

2

Cociente

C

x +4x+5

Residuo

D

x+3

2

11. ¿Cuál es el cociente de la siguiente división: x3 + 3x2 + x − 2 x2 + x − 1

2 3. Luego de efectuar la división: x + 6x + 8 x+2 Indicar verdadero (V) o falso (F)

a) El cociente es b) El residuo es c) La división es exacta

: x+4 : 16

( ( (

) ) )

4. Calcula el residuo de la siguiente división: x 2 − 3x + 2 x−6 2 5. Luego de efectuar: 5x − x + 2 , Indica el cociente x−1 6. Obtener el cociente de la siguiente división: 6x 2 + 5x − 4 2x − 1

3 2 12. Luego de efectuar la división: 5x +212x + x + 3 x + 2x − 1 El residuo es: 2 3 13. Luego de efectuar: 7x − 22+ 12x − 7x 3x + x − 2 Indicar el residuo 3 2 14. Si la siguiente división: x + 27x + Ax + B x + 5x − 3 Es exacta, calcula el valor de "A+B"

15. Dada la división exacta: 2x 4 − 9x3 + 2x2 + 8Ax + B x 2 − 5x + 1 Calcula el valor de "A + B"

2

7. Si el residuo de la división: x − 5x + m x−3 Es 3, calcula el valor de "m"

Tú puedes 1. Calcula "m+n+2" si la división: 6x5 − 17x 4 + 7x3 + mx2 + nx + p , es exacta 3x3 − 4x2 + 5x − 7 a) 22 b) 18 c) –11 d) 25 e) 28 2. Si el residuo de la siguiente división: 3x5 − 8x 4 − 5x3 + 26x2 + mx + n x3 − 2x2 − 4x + 8 Es –5x+2, calcula 2m+n" a) –20 b) –50 c) –3 d) –40 e) –70 3. Al efectuar la siguiente división: 6x3 − 12x2 + 4Ax + A , 3x 2 + 3 El residuo toma la forma "mx+m". Calcula el valor de "A+m" a) 10

b) 24

www.trilce.edu.pe

c) 30

d) 31

e) 32

4. Calcula la suma de coeficientes del cociente de: 6x5 − x 4 + 4x3 − 10x2 + Ax − 6 3x − 2 Sabiendo que el residuo de la división es 2. a) 1 d) 5

b) 2 e) 7

c) 4

5. Calcula el cociente de la siguiente división exacta: ax 4 + (a − b) x3 + bx2 + (b − c) x + c ; ax2 − bx − c b ∧ c son números reales no nulos. 2

2

a) ax + bx + c

b) x + x – 1

c) ax + x + b

d) x + bx + c

2

2

2

e) x – bx – c Primer año de secundaria

69

23

Capítulo

División algebraica III Problemas para la clase 1. Efectúa las siguientes operaciones: a) 7 – 2

=

b) –4 + 5

=

c) – 6 – 2

=

d) 2 – 5

=

6. La división: x2 − 8x + 10 x+3 se efectúa mediante el siguiente esquema de Ruffini: 1

–8 10

3 Es correcto?

2. Efectúa las siguientes operaciones: a) (5)(2)

=

b) (3) (–4)

=

c) (–2)(–3)

=

d) (–1) (5)

=

7. El siguiente esquema corresponde a una división efectuada por el método de Ruffini: 2 –3

7

5

–6 –3 2

1

2

Señala: 3. Ordene el polinomio en forma descendente: 3

&

P(x) = 5 + x – 6x + x P(x) =

2

• Dada la siguiente división: 2

3x − 5x + 7 x−2

a) Cociente b) Residuo

8. El siguiente esquema de Ruffini: 7 1 7

Contesta las siguientes preguntas:

: :

–2

5 –10

7

5

B

5

A

0

Calcula: "A + B"

4. El dividendo es

:

El divisor es

:

• A partir de la siguiente división: 2x 2 − 5x + 3 x −1 Responde:

5. El cociente es

:

El residuo es

:

9. El cociente es: 10. La división, ¿es exacta o inexacta?

Colegios

70

TRILCE

Central: 6198-100

Álgebra 17. A partir del siguiente esquema de Ruffini:

2 11. Luego de efectuar la división: x + 2x − 9 x−3 Completa:

5 1

a) Dividendo = b) Divisor

= x–3

c) Cociente

=

d) Residuo

=

a

2 –3

5 b d 5 7

c

e

Calcula el valor de: (b+c+e) ÷ (a+d)

2 12. Luego de efectuar la división: x + 7x + 14 x+2 Relacionar:

a) 1

b) 2

d) 4

e) 6

c) 3

18. El cociente de la siguiente división: 3x3 + 2x + 3 x−2 es:

Dividendo

A

x+2

Divisor

B

4

Cociente

C

x +7x+14

a) 3x – 6x + 14

Residuo

D

x+5

c) 3x – 6x – 14

2

2

b) 3x + 6x + 14

2

2

d) x + 1

2

2

e) 3x + 6x – 14

2 13. Luego de efectuar la división: 3x − 7x + 6 x+1 Indicar verdadero (V) o falso (F) 2

19. Calcula el residuo de la siguiente división:

a) El dividendo es

: 3x + 7x + 6

(

)

b) El divisor es

: x–1

(

)

c) El cociente es

: 3x + 4

(

)

d) El residuo es

: 10

(

)

14. Calcula el cociente de la siguiente división: x3 + 3x2 − 13x − 15 x+5

e) 4

15. Halla el residuo de la siguiente división: 2x3 − x2 + 3x − 2 x+2 c) 29

16. Obtener la suma de coeficientes del cociente de: 2x2 + 3x + 4x3 + 7 x+1 a) 3

b) 4

d) 6

e) 7

2x3 + 7x2 − 2x + m x+3

d) 3

2

e) 30

20. Si el residuo de la siguiente división:

b) 1

e) x – 2x – 1

d) –29

e) 8

a) 0

d) x – 2x – 3

b) –28

d) 7

c) 6

2

2

a) 28

b) 5

Es igual a 17, calcula el valor de "m".

b) x – 2x + 3

c) x + 2x + 3

a) 4

2

2

a) x + 2x + 1

2x 4 + 3x3 − x2 + 2x + 6 x+2

c) 5

c) 2

3 2 21. Al efectuar la división: x + 5x + mx + 15 x+2 El término independiente del cociente es 8. Calcula: m + residuo

a) 10 d) 13

b) 11 e) 14

c) 12

22. ¿Cuál es el cociente de la siguiente división: 3x3 + 8x2 + 7x + 6 3x + 2 2

b) x + 2x + 1

2

d) x +2x – 1

a) x – 2x + 1 c) x – 2x – 1

2 2

2

e) x + 1

www.trilce.edu.pe


71

23

Capítulo

23. Halla el residuo de la siguiente división: 3x 4 − 2x3 + 6x2 + 11x + 10 3x − 2 a) 21 b) 20 c) 23 d) 24 e) 25

24. De la siguiente división: ax3 + (b − a) x2 + (3c − b) x + 5c x−1 Calcula el valor de "a+b", si la suma de coeficientes del cociente es 51, y el residuo de la misma es 56. a) 13 d) 41

b) 24 e) 50

c) 30

Practica en casa 1. Luego de efectuar la división:

6. Calcula el cociente de la siguiente división: 2x3 + x2 − 7x − 6 x−2

2

x + 9x + 20 x+6 Completar: a) Cociente

:

b) Residuo

:

7. A partir del esquema de Ruffini: 5 –1

2. Luego de efectuar la división:

5

2

x − 5x + 7 x−3

3

B

–5

1

–4

–1

A

3

Calcula el valor de A + B

Relacionar correctamente:

8. El cociente de la siguiente división:

Dividendo

A

x–3

Divisor

B

1

Cociente

C

x –5x+7

Residuo

D

x–2

3x3 + 2x2 + 3 ; es: x+2

2

9. Calcula el residuo de la siguiente división: 3x 4 + 5x3 − 10x2 + 7x + 4 x+3

3. Luego de efectuar la división: 3x 2 + 2x − 5 x−1 Indicar verdadero (V) o falso (F):

10. Si el residuo de la siguiente división:

a) El cociente es

: 3x+5

(

)

b) El residuo es

: 10

(

)

(

)

c) La división es exacta

2x3 + 9x2 + 3x + A x+2 Es igual a 20, calcular el valor de "A" 11. En el siguiente diagrama de Ruffini: 1

4. Obtenga el cociente de la siguiente división: 3

4

2

x + 5x − 10x − 8 x−2

A 1

2

–3

2

1

B

0

3

0

C

Calcula el valor de "A+B+C"

5. Halla el residuo de la siguiente división: 2x3 + x2 + 3x + 10 x+1 Colegios

72

TRILCE

Central: 6198-100

Álgebra 12. Al efectuar la división:

14. Luego de efectuar la siguiente división:

x3 + 6x2 + Ax + 30 x+4 El término independiente del cociente es 7 Calcula: A + residuo 13. ¿Cuál es el residuo de la siguiente división 3

2

mx3 + (n − 3m) x2 + nx + 5 x−3 El residuo obtenido es 41, calcular "m" si la suma de coeficientes del cociente es 18. 15. A partir de la división: (A − 5) x3 + (B − A) x2 + (C − B) x + A + B x−1

2x + 3x + 3x + 7 ? 2x + 1

Obtener la suma de coeficientes del cociente, si el residuo es igual a 14.

Tú puedes 1. Calcula el valor de:

3. Calcula el cociente de la siguiente división:

4A − B + 7B + 2A B A

x36 − 5x18 + 8 x9 + 2

Si luego de efectuar:

a) x – 2x – x + 2

Ax3 + 3x2 − 5x − B x−2

b) x

27

+ 2x

c) x

27

– 2x9 + 2

d) x

27

– 2x

18

–x +2

e) x

27

– 5x

18

+4

3

El residuo obtenido es "7B+2" a) 8 d) 11

b) 9 e) 12

c) 10

exacta efectuada por el método de Ruffini: G

E

F

A

B

C

E

B

D

B

A

F

A A

Indica el cociente de la división: 3

2

a) x + x + x + 1 3

2

b) –x + x – x + 1 3

2

c) 2x – x + x – 1 3

2

d) –x – 2x + x – 1 3

2

e) x – x + x – 1

www.trilce.edu.pe

18

9

+x +2 9

4. Al efectuar la división:

2. El siguiente esquema representa una división

A

2

Ax 4 + (A − A2 + 1) x3 + x2 − A2 x + A2 − 7 x − A +1 La suma de coeficientes del cociente y residuo obtenidos es cero. Calcular el valor de "A". a) –1 d) 2

b) 0 e) 3

c) 1

5. Si Q(x) es un polinomio que representa el cociente de la siguiente división: AMx3 + (AP + BN) x + BP + (AN + BM) x2 Ax + B El cuál verifica: Q(1) = 0, calcular el valor de: 4M + N + P + M + 8N + P + M + N + 14P M N P a) 18 d) 23

b) 19 e) 27

c) 21


73

24

Capítulo

División algebraica IV Problemas para la clase 1. Efectúa las siguientes operaciones: a) 8 – 5

=

6. Efectúa las siguientes operaciones:

b) 1 – 6 + 7 =

c) (3)(–5) =

d) (–4)(–2)

=

2

a) (5) + 8 = 2

b) (3) – 2 (4) – 1 = 3

c) (4) – 5 (8) + 10 = 2. Efectúa las siguientes operaciones a) (3)

2

c) (–5)

= 2

b) (4)

=

3

d) (–2)

= 3

=

7. Sabiendo que: x–A=0

x=A

x+A=0

x = –A

Calcula "x" en las siguientes ecuaciones:

3. Efectúa: 2

a) x – 3 = 0

x=

3

b) x – 5 = 0

x=

c) x – 4 = 0

x=

d) x – 1= 0

x=

a) (5) – 10 = b) (2) – 5 (2) + 4 = 4. Si: x – A = 0

x=A

Calcula "x" en las siguientes ecuaciones: a) x – 4 = 0

x=

b) x – 8 = 0

x=

c) x + 5 = 0

x=

5. Luego de efectuar la división: 6x2 − 5x + 7 , completa: x −1

8. Calcula el residuo de la siguiente división: x2 − x + 5 x−2 Residuo = 9. Obtener el residuo de la siguiente división: x2 + 5 x−3

Dividendo = Divisor

=

Cociente = Residuo

=

10. La siguiente división: x 2 − 3x + 2 x−2 ¿Es exacta o inexacta? Justifica tu respuesta

Colegios

74

TRILCE

Central: 6198-100

Álgebra 11. Dada la siguiente división: x 2 − 5x + 7 x−2 Completa: a) Dividendo = b) Divisor = c) Divisor = 0 x = d) Residuo = 12. Relacionar correctamente:

18. ¿Cuál es el residuo de la siguiente división x5 + x3 + 8 x+1 a) 0 d) 5

A

x=4

x+4=0

B

x = –7

x+7=0

C

x = –4

x–4=0

D

x=7

13. Dada la siguiente división: x 2 − 2x + 8 x−1 Indicar verdadero (V) o falso (F):

a) –3 d) 5

b) 4 e) –5

c) 0

20. Halla el residuo de la siguiente división: (3x − 2) 5 + 8x − 4 x−1 a) 0 b) 2 c) 5 d) 7 e) 8 21. Si el residuo de la siguiente división:

2

a) El dividendo es : x –2x+8 ( ) b) El divisor es : x+1 ( ) c) Su divisor =0 x = 1 ( ) d) El residuo es : 11 ( ) 14. Obtener el residuo de la siguiente división: x2 − 8 x−3 b) –2 e) –1

c) 3

19. Si la división: x3 + 5x + A − 13 x−2 Es exacta, calcular el valor de "A"

x–7=0

a) 0 d) 1

b) 1 e) 6

c) 4

15. Calcula el residuo de la siguiente división: x2 + x + 1 x−2 a) 6 b) 7 c) –7 d) –8 e) 0

(x − 2) 7 + Ax − 1 x−3 Es igual a 15, calcular el valor de "A" a) 2 d) 5

b) 3 e) 6

c) 4

22. Obtener el residuo de la división: (x2 − 8) 4 + 7 (x − 2) 3 − x x−3 a) 0 b) 2 c) 5 d) 7 e) 8 23. Luego de efectuar la división: 5x7 + (M − 1) x 4 − 2 x−1 Se obtiene por residuo 14, calcular "M" a) 8 d) 11

b) 9 e) 12

c) 10

16. Halla el residuo de la siguiente división: x3 − 5x + 2 x−2 a) –4 b) –1 c) 0 d) 2 e) 3

24. Halla el residuo de la siguiente división: 5x10 + x8 − 2x2 + 10 x2 − 1 a) 10 b) 12 c) 14 d) 16 e) 18

17. Halla el residuo de la siguiente división: x3 + 2x2 − 7 x+1 a) –3 b) 4 c) –5 d) 6 e) –6

25. Calcula el residuo de la división: (x2 + x + 4) 2 + (x2 + x + 3) 4 + x2 + x + 6 x2 + x + 3 a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

www.trilce.edu.pe


75

24

Capítulo

Practica en casa

1. Dada la siguiente división: x2 − x + 9 x−2 Completar: a) Dividendo = b) Divisor = c) Divisor = 0 x = d) Residuo =

7. Halla el residuo de la siguiente división: x3 + 10 x+1 8. ¿Cuál es el residuo de la siguiente división: x3 + x2 + 3 x+1 9. Si la división: x3 + 4x + A − 8 x−1 Es exacta, calcular el valor de "A".

2. Relacionar correctamente: x+6=0

A

x=5

x–5=0

B

x = –6

x+5=0

C

x = –5

x–6=0

D

x=6

10. Halla el residuo de la siguiente división: (x − 1) 4 + 2x + 3 x−2

3. Dada la siguiente división:

11. Si el residuo de la siguiente división: (x − 4) 3 + Ax − 1 x−5 Es igual a 35, calcular el valor de "A".

x 2 − 3x + 6 x −1 Indicar verdadero (V) o falso (F) 2

a) El dividendo es : x –3x–6

(

)

b) El divisor es

(

)

(

)

12. Obtener el residuo de la división: (x2 − 3) 5 + 5 (x − 1) 3 − x x−2

(

)

13. Luego de efectuar la división:

: x–1

c) Su divisor =0

x = 1

d) El residuo es : 4

4. Obtener el residuo de la siguiente división: x2 − 10 x−4 5. Halla el residuo, luego de efectuar: x 2 + 3x + 1 x−4

14. Halla el residuo de la siguiente división: 13x14 − 7x10 + 5x6 + 1 x2 − 1

6. La siguiente división:

15. Calcula el residuo de la siguiente división:

x3 − 5x − 12 x−3 ¿Es exacta o inexacta? Justifica tu respuesta:

Colegios

76

2x10 + (M − 5) x7 − 3x x−1 Se obtiene por residuo 9, calcular "M".

TRILCE

(x3 + x − 6)10 + 4 (x3 + x − 5) 3 + 8 x3 − 7 + x

Central: 6198-100

Álgebra Tú puedes 1. Si el residuo de la siguiente división: 1 + 2x + 3x2 + 4x 4 + ..... + nxn − 1 x−1 2 Es igual a "n –7n" Calcular: n 5 a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7

4. Luego de efectuar la siguiente división: Mx2M + 13 + (4M + 3) xM + 17 − M (x + 1) 2 + 2 x−1 El residuo obtenido es 8. Calcular el valor de M. a) 1 d) 4

2. Calcula el residuo de la siguiente división: x3n + 15 + 7n2 xn + 5 − 5nx2n + 10 xn + 5 − 2n 3 a) 0 b) n 3 3 d) 3n e) 4n

c) 2n

3

b) 2 e) 5

c) 3

5. Halla el residuo de la siguiente división: (x + n) (x − n − 1) (x − n − 2) (x + n + 1) x2 − x − n2 2 a) n b) 3n c) n +2 2 d) 3n+2 e) 3n +2n

3. Halla el residuo de la siguiente división: x999 x99 − 10 9 9 9 9 a) 9x b) 7x c) 6x 9 9 e) 4x d) 7 x

www.trilce.edu.pe


77

25

Capítulo

Factorización I Problemas para la clase 1. Factoriza el siguiente polinomio: P(x) = x2+3x e indique un factor primo. a) x b) x2 c) x– 3 d) x+1

e) 3x

2. Factoriza el siguiente polinomio: P(x)=x4 – x3+5x2 e indica un factor primo a) x2 b) x2+x+5 c) x2 – x+5 d) x2+x – 5 e) x(x2 – x+5) 3. Factoriza el siguiente polinomio: Q(x)= 3x4 – 21x2 e indica un factor primo a) 3x b) 3x2 c) x d) x2 – 21

e) x – 7

4. Factoriza el siguiente polinomio: R(x)=15x6 – 5x5+5x4 e indica el número de factores primos a) 2 b) 3 c) 4 d) 5

e) 6

5. Factoriza el siguiente polinomio: P(x; y)=x3y+xy2 e indica un factor primo. a) x+y b) xy c) x+y2 d) x2+y

e) x+2y

6. Factoriza el siguiente polinomio: P(x; y)=5x2y2 – 5xy3+15x2y3 e indica un factor primo. a) 5x2 b) y2 c) x–y+3xy e) x+y–3xy e) xy 7. Factoriza el siguiente polinomio: P(x)=x2. (x – 5)+a . (x–5) e indica un factor primo a) x2 b) x – 5 c) x+a d) x+5

Colegios

78

TRILCE

e) x+a

8. Factoriza el siguiente polinomio: R(x; y)=x(xy+2)+y(xy+2) e indica un factor primo. a) x+2 b) xy+y c) xy+1 d) x – y

e) xy+2

9. Factoriza el siguiente polinomio: M(x)=x2(x+3) – m(x+3) + x + 3 e indica un factor primo. a) x2 – m b) x+m c) x2+m–1 d) x2– m+1 e) x2+x+3 10. Factoriza: P(x; y)=x2(x+3y)+5y(x+3y) – x – 3y e indica el factor primo trinomio. a) x2 – 5y+1 b) x2+5y – 1 c) x2+y – 1 d) x2 – y + 1 e) x2+5y – 3 11. Factoriza: P(x)=x3+5x2+7x+35 e indica un factor primo. a) x2+7 b) x2+5 d) x2+1

c) x2+3

e) x

12. Señale un factor primo de: P(x; a; b; c)=a2b2+a2c2+x2b2+x2c2 a) a2+c2 b) b2+x2 c) b2+c2 d) a2+x

e) b+c

13. Señale un factor primo de: y2 – yz+x2y – x2z a) y – z2 b) y+x2 d) y2+x2

e) y+z

14. Señale un factor primo de: R(x; y; z) = x2+xy+xz+yz a) y+z b) x d) x+z

c) y2+x

c) y

e) z

Central: 6198-100

Álgebra 15. Factoriza: P(x; y) = x5+x3y3+m2x2+m2y3 e indica el número de factores primos. a) 1 b) 2 c) 3 d) 4

e) 5

16. Factoriza: P(x; y) = x3+x2y+xy2+y3 e indica un factor primo. a) x2 b) x d) x2+y

d) 4

c) y2

e) x2+y2

d) nx+my e) x+ny

d) 2x – y

e) x – 2y

23. Indica la suma de los factores primos del siguiente polinomio: P(x)=(x+3)(x+2)+(x+5)(x+4) – 3(x+4) a) 3x+9 b) 3x+8 c) 3x+7 d) 3x – 8

e) 3x+1

24. Un factor de: b(a+6c)+2ac+3b2 es: a) a+b b) b+c c) a+3b c) y+2x

e) x – 2y

19. Factoriza y señala un factor primo de: P(x; y) = x17y21+x8y26 a) x8+y5 b) x9+y5 c) x9+y6 d) x5+y9

e) 5

22. Factoriza: P(x; y)=3x3+3x2 – yx2 – yx – (y – 3x) e indica el factor primo binomio. a) x – y b) 3x+y c) 3x – y d) x+y

17. Factoriza: P(x; y; m; n)=mnx2+mny2+xym2+xyn2 e indica un factor primo. a) x+y b) m+n c) mx+y 18. Factoriza: P(x; y)=2x3+2xy2 – x2y – y3 e indica un factor primo. a) x+y b) x – y

21. Luego de factorizar el siguiente polinomio: P(x; y)=x4y3+x3y4+x3y3+x2y4 e indica cuantos factores primos presenta. a) 1 b) 2 c) 3

d) a+3b

e) a+3b

25. Señale un factor primo de: P(a; b; x; y) = (ax+by)2+(ay – bx)2 a) ax+by b) ay – bx c) a2+x2 d) b2+y2

e) a2+b2

e) x9+y7

20. Señale un factor primo de: P(x; y; z) =x3y+x2yz+x4z+x3z2 a) x+y b) x+z2 c) y+z d) x+yz

e) y+xz

Practica en casa 1. Factoriza: P(x) = x4+6x2

6. Factoriza: Q(x; y)=3x2y2 – 3xy3+9x3y2

2. Factoriza: Q(x)=x5 – x4+7x3

7. Factoriza: P(x)=x3(x – 4)+7(x – 4)

3. Factoriza: R(x)=5x5 –10x3

8. Factoriza: Q(x; y)=x(xy+1)+(xy+1)

4. Factoriza: S(x)=16x15 –4x10+8x6

9. Factoriza: T(x)=x2(x – 5) – 4(x – 5)+x(x – 5)

5. Factoriza: P(x; y)=x3y+xy3

10. Factoriza: P(x; y)=x2(x+y)+5y2(x+y) – x – y

www.trilce.edu.pe


79

25

Capítulo

11. Factoriza: R(x)=x3+5x2+3x+15

14. Factoriza: P(x)=(x–5)(x–3)+(x+2)(x–4)+(x+2)

12. Cuántos factores primos presenta el siguiente polinomio: P(x)=(x+3)(x+7)+(x+5)(x+2) – 2x – 4

15. Factoriza: b(a+3b+9a)+3a2

13. Factoriza: P(a; b)=a6b7+a5b9

Tú puedes

1. Sea P(x) un factor primo del polinomio: Q(x)=x2(x3 – 1)+x2+x+1 Halla el máximo valor de P(1). a) 1 b) 2 c) 3 d) 4

e) 5

2. Indica el factor primo binomio del siguiente polinomio: P(a; b)=a2+4ab – ac+3b2 – bc a) a+2b b) a+b c) a – b d) 2a – b

4. Indica la suma de factores primos de: P(x)=(x+3)(x+7)+(x+5)(x+2) – 2x – 4 a) 3x+6 b) 3x+9 c) 3x+12 d) 3x+7

e) 3x+8

5. Un factor primo de: P(x; y)=3x6 – 7x5y+6xy3 – 14y4 es: a) 3x+7y b) 7x+3y c) x+7y d) x3+2y5

e) x5+2y3

e) a+b – c

3. Indica un factor primo del siguiente polinomio: P(x; y)=(x+y)2+(x – y)2+x3+xy2 a) x+2 b) x – 2 c) x2+y2 d) xy2

Colegios

80

TRILCE

e) b ó c

Central: 6198-100

Capítulo

26

Factorización II Problemas para la clase 1. Factoriza: P(x)=x2 – 4x+4 e indica un factor primo. a) x

b) x – 1

d) x – 3

e) x – 4

c) x – 2

d) 10x+z

2. Factoriza: Q(x)=x2+10x+25 e indica un factor primo a) x

b) x+5

d) x+34

e) x+3

c) x+10

b) 3x

d) 3x–7

e) x – 7

c) 3x – 14

b) (5x+3)2 c) (5x+3)(5x+3)

d) 4

d) 5x – 3 5. Factoriza: H(x)=x2 – 36 e indica un factor primo d) (x – 6)2

e) (x+6)2

c) x+36

6. Factoriza: M(x)=4x2 – 25 e indica un factor primo a) 4x – 5

b) (2x+5)2 c) 4x+5

d) 2x – 5

e) (4x – 5)2

7. Factoriza: P(x)=81x2+18x+1 e indica un factor primo a) 9x

b) x+9

d) 9x – 1

e) (9x+1)2

www.trilce.edu.pe

e) x – 2 del

e) 5

12. Luego de factorizar: R(x)=25x7+30x6+9x5 e indica el factor primo que mas se repite. a) x b) 5x c) 5x – 3

e) b y c son correctas

b) x – 6

e) 10x – y

11. Indica el número de factores primos siguiente polinomio: P(x; y)=x3y – 6x2y2+9xy3 a) 1 b) 2 c) 3

a) 5x+3

a) x – 36

e) x – 10z

10. Factoriza: P(x; z)=x2(x2–z2)+4x(x2–z2)+4(x2–z2) e indica el factor primo repetido. a) x+z b) x – z c) x+4 d) x+2

4. Factoriza: P(x)=25x2+30x+9

c) x – z

9. Factoriza: (25x2 – y2)(x2+2xy+y2) e indica la suma de sus factores primos. a) 11x+y b) 11x – y c) 11x d) 10x+y

3. Factoriza: 9x2 – 42x+49 e indica un factor primo. a) 9x

8. Factoriza: P(x; z)=100x2 –z2 e indica un factor primo. a) x b) 10x

c) 9x+1

d) 5x+3

e) 3x+5

13. Luego de factorizar: x2+2x+1 – y(x+1) indica un factor primo. a) x – y – 1 b) x+y – 1 d) x – y+2

e) x – y

14. Luego de factorizar: x2 – 4xy+4y2+xz –2yz indica un factor primo. a) x+2 b) x+4 d) x–z

c) x – y+1

c) x–2y

e) x+z–y Primer año de secundaria

81

26

Capítulo

15. Luego de factorizar: x4+4x2+4+x3+2x; indica un factor primo a) x2+x+1 b) x2+x+2 c) x2+x+3 d) x2+1

e) x2+3

16. Luego de factorizar: x2 – 6xz+9z2+xy – 3yz indica un factor primo a) x – z b) x+9 d) x+yz

d) (x+2y+2)(x+2y – 2) e) (x+y+1) c) x – 3

e) x – 3z

e) 2x+5

18. Factoriza: x4 – y4 e indica el número de factores primos. a) 1 b) 2 c) 3 d) 4

e) 5

19. Factoriza: x6 – y10+x8 –(xy)5 e indica un factor primo. a) x – y5 b) x2 – y5 d) x – y

c) x3 – y5

e) x

20. Factoriza: P(x; y)=x2+4xy+4y2 – 3x2 – 6xy e indica un factor primo. a) y – x b) 2y – xc c) 2y – x d) x+2y

b) (x+y+2)2 c) (x+2y+1)2

17. Halla la suma de los factores primos del polinomio: P(x)=x4–50x2+625 a) 2x b) x+5 c) x2 d) 2x – 5

21. Factoriza: (x+2y)2+4(x+2y)+4 a) (x+2y+2)2

e) 2y

22. Factoriza: P(x; y)=x2 – xy+2x – y + 1 e indica un factor primo. a) x+y+1 b) x – y + 1 c) x – y – 1 d) x+y – 1

e) x – 1

23. Factoriza: P(x)=x2(x+5)2+6x(x+5)+9–5x(x2+5x+3) e indica un factor primo. a) x2+1 b) x2+2 c) x2+5 d) x2+3

e) x2+9

24. Se sabe que:(ax+by+c), es un factor primo del polinomio: P(x; y)=(3x+2y)2+8(3x+2y)+16 Halla: a+b+c. a) 5 b) 6 c) 7 d) 8

e) 9

25. Si un factor del polinomio: P(x)=x10+7x9+6x5+21x4+9 es de la forma: ax5+bx4+c Halla: a+b+c a) 3 b) 6 c) 9 d) 11

e) 13

Practica en casa 1. Señala el número de factores primos de: 4 3 4 42 x + 2 x y + (xy )

2

5. Factoriza: x + 2x+1 – 5(x+1) 2

2. Señala un factor primo de: 3 3 6 6 3 3 a +b +a +b +2a b

6. Factoriza: x – 10x + 25 +7(x–5) 2

7. Factoriza: (x + 3) + 2(x + 3) + 1 3. Señale un factor primo de: 8 4 16 8 8 4 a +b +a +b +2a b 4. Sumar con coeficientes de un factor primo de: 4 4 2 2 2 x + 25y + 10 (xy) – x – 5y Colegios

82

TRILCE

2

8. Factoriza: (x + 5) + 8(x + 5) +16 2

2

2

9. Factoriza: (x + x) + 10 (x + x) +25

Central: 6198-100

Álgebra 4

2

3

10. Factoriza: x +2x + 1 +x +x

14. Factoriza: 2

2

2

P(x)=a (a+3) +10a(a+3)+25–4a(a +3a+5) 2

2

11. Factoriza: x – 6xy + 9y + xz – 3yz 2

2

12. Luego de factorizar: x +4xy+4y – 5x(x+2y); indique la suma de sus factores primos. 2

15. Se sabe que: (ax + by + c), es un factor primo del polinomio: 2

P(x,y) = (5x + 3y) + 12 (5x + 3y) + 36 Halla: "a + b+ c"

2

13. Factoriza: a – 4ab + 4b +ac – 2bc

Tú puedes 1. Señale un factor de: P(y)=(y+1)(y+2)(y+3)(y+4) + 1 a) c) e)

2

4. Un factor primo del polinomio: 2

2

y +y+1 2 y +y+4 2 y +y+2

b) y + 5y + 3 2 d) y + 5y + 5

2

16

a) 2x

16

2

a) x 2 d) –2x

2

c) 3x

3. Señale el número de factores primos de: 4 4 2 2 P(x; y)=(x+y) – (x–y) + 16 x y a) 1 d) 4

www.trilce.edu.pe

b) 2 e) 5

2

16

16

16

b) 2x 2 e) –3x

32

b) 2x –2 16

16

c) 2 (x +y ) 2. Señale el término cuadrático de un factor primo 3 2 de: x4 – 8x +16x + 2x (x – 4) + 1

16

(x–y)(x+y)(x +y )...(x +y )+y +2x +1; es:

e) 2y

d) x +1

16

5. Señale un término del factor primo de: 2 2

2

2

2

2

a (a +1)+b (b +1)+2ab(ab+1)+(a+b)(2a +2b ) a) a

3

b) 2a

d) a

2

e) b

2

c) 2b

2

3

c) 3


83

27

Capítulo

Factorización III Problemas para la clase 1. Factoriza: x2+2xy+y2 a) x2+y2

b) x(x+y)

c) x2+xy+y2

d) (x+y)2

b) (x – 3)2 c) (x+3)2

e) (x+y)(x –y)

d) x2 – 9

2. Factoriza: m2 – 10m+25

e) x(x – 6)+9

a) m2+25

9. Factoriza: 25x2 – 20x+4 a) (5x+2)2

b) (m+5)(m – 5) c) m(m – 5)

b) (5x – 2)2

d) m(m – 10)+25

c) (25x – 2)2

e) (m – 5)2

d) (5x – 4)

3. Factoriza: a2 – b2 a) 2a – 2b

b) (a – 2b).a c) (a+b)(a – b)

d) a2+b2

e) (a – b)2

4. Factoriza: x2+6xy+9y2 a) x2+9y2

b) (x+3y)2

c) x2+3y2

d) (x – 3y)2

5. Factoriza:

–

d) (a+b) . c e) (a+b – c)(a – c+b)

b) m2+49n2

c) (m+7n2)(m–7n2) d) (m+7n)(m – 7n)

e) (m – 7n)2

6. Factoriza: x2 – 25y2 a) (x+5y)2

b) (x – 5y)2

d) (x–y)(x+5) e) (x+y)(x –5) 7. Factoriza: 9x2 – 49m2 a) (7x+3m)(7x – 3m) b) (3x+m)(3x – m) c) (3x+7m)(3x – 7m)

11. Factorizar y señalar un factor: 2

2

x + y + 2xy – z a) x+y d) x–y+z

2

b) x–y e) x–y–z

2

12. Señale un factor de: 4a – 12ab + 9b – c a) 2a+3b

b) 2a–3b

d) 2a–3b–c

e) 2a+3b–c

2

c) 2a+3b+c

13. Suma los coeficientes de un factor primo de: (x+y)(x–y)+z(2y–z) a) 0

b) 1

e) (9x+7)(x – 7m2)

d) 3

e) 4

TRILCE

c) x+y+z

2

c) (x+5y)(x–5y)

d) (3x+7)(3x – 7m2)

Colegios

84

10. Factoriza: (a+b)2 – c2 a) (a+b – c)2 c) (a+b+c)(a+b – c)

49n2

a) m2–7n2

e) (5x+2)(5x – 2)

b) (a+b+c)2

e) (x+3y)(x–3y) m2

8. Factoriza: x2 – 6x+9 a) (x–3)(x+3)

c) 2

Central: 6198-100

Álgebra 2

2

14. Luego de factorizar: x – (x + z) ,

21. ¿Cuántos factores primos tiene: 8

e indicar un factor primo

x – 16

a) x – z

b) x + z

c) x – 2z

d) 2x + z

e) x + 2z 2

2

15. Señale un factor de: 4x + 4x – 4z + 1 a) 2x+2z+1 2

b) 2x–z+1

2

d) 2x –z +1

a) 2

b) 1

d) 5

e) 6

22. Factoriza e indicar un factor primo: 2

c) 2x–z +1

4

2

2

2

2

16. Factoriza: (x+2) – (2x+3) ; e indicar un factor

8 2

2

b) x +2

2

c) x +z+2

2

d) x +z +2

e) x –z

23. Factoriza:

primo a) 3x+5 d) x–1

b) 2x+7 e) x+2

c) 2x–1

2

2

2

2

P(x; y) = (9x – 4y )(x – 25 y ) a) 3 d) 2

b) 4 e) 1

c) 5

Indicando el número de factores primos b) 2 e) 5

c) 3

19. Señala el número de factores primos: 2

2

(a +b +2ab) – x

4

a) 2

b) 3

d) 5

e) 1

2

2

4

4

b) 2

d) 6

e) 7

c) 4

24. Factoriza: 14

2

– x – 6x – 9

Indicando el número de factores primos

2

P(x; y) = 9x + 1 – 6x – 9y a) 1 d) 4

2

a) 1

P(x) = x

18. Factoriza: 2

2

P(x; y) = (36x – 25 y )(x – 4y )(x – 4y ); Indicar el número de factores primos.

17. ¿Cuántos factores primos hay en la expresión:

2

2

(x +4x +4) – z a) x +z

e) x+z 2

c) 4

c) 4

20. ¿Cuántos factores primos lineales (1er. grado) se

obtenidos: a) 1 d) 4

b) 2 e) 5

c) 3

25. Factoriza: 2

2

2

P(a; b; c) = 9a + 3a – 4b + 2b – c – c + 4bc Indicando un factor primo a) 3a + 2b – c

b) 3a – 2b + 8c

c) a – b + c

d) a + b + c

2

2

2

e) a – 2b + 4c

obtienen al factorizar: 4

4

2

P(a; b) =a – b – a + b a) 0

b) 1

d) 3

e)

www.trilce.edu.pe

2

c) 2


85

27

Capítulo

Practica en casa 2

1. Factoriza: 2 2 2 x +49y z + 14xyz – 9

9. Factoriza: (5x + 3) – (3x – 5)

2. Factoriza: 2 2 23 9a + 25b – 30ab – (z )

10. Factoriza: 8 8 4 4 P(x, y) = x – y – x + y

3. Factoriza: 2 3 2 3 5 3 5 (x +y )(x –y ) + z (2y – z )

11. Factoriza: x +2xy+y – z

2

4. Sumar los factores primos de: (4a+7b)(4a–7b) – 3c (3c+14b)

2

2

12. Factoriza: 2 2 4 2 2 4 P(a, b,c) = a – 6ab +9b – b +4bc – 4c

5. Señale los factores primos de: 4 2 8 9x + 6x – 16 z + 1 6. Factoriza: 4x –(x + 5)

2

2

13. Factoriza: 2 2 2 2 4 4 P(x,y) = (49x –4y ) (x – 9y ) (x – 81y )

2

14. Factoriza: 10 2 P(x) = x – x – 10x – 25

7. Factoriza: 4 4 P(x,y) = x – y

15. Factoriza: 2 2 2 P(a,b,c)= 4x + 2x – 9y + 3y – z – z + 6yz

8. Factoriza: 2 2 2 2 P(x,y) = (25x – 4y ) (x – 36y )

Tú puedes 1. Suma los factores primos de: 4 2 2 4 4 4 x +6x y + 4y – x y – 1 2

2

2

a) 2(x +y ) 2

4. Factoriza y resta los factores primos: 4 4 a b + 64

2

c) 2 (x +2y )

2

b) 2 (2x +y )

a) 2ab

d) 2xy

d) 8ab

2 2

e) 2x y

2

2

2

2

a) 1 d) 4

b) 2 e) 5

c) 6ab

2 2

e) 2a b

5. Suma los factores primos de: 6 5 4 x + 2x + x – 9

2. ¿Cuántos factores primos tiene: (a + b – c – 1) – 4 (ab+c)

b) 4ab

3

3

a) 2 (x – x)

2

3

c) 3

b) 2 (x +3) 2

c) 2 (x + x )

3

d) 2 (x +x)

e) 2 (x+1)

3. Señale la suma de coeficientes de un factor de: 2 (x+1)(x +2x)(x+3)+(1+z)(1–z) a) 2

b) 3

d) 5

e) 10

Colegios

86

TRILCE

c) 4

Central: 6198-100

Capítulo

28

Repaso IV Problemas para la clase 1. Dada la siguiente división:

En los siguientes ejercicios, calcular el cociente y residuo:

2x 4 − 2x3 + 7x2 − 4x + 6 x−5 Completar:

6. Dividir: x3 + x2 + 2x − 2 x−1

El grado del polinomio dividendo es : El grado del polinomio divisor es

:

El grado del polinomio cociente es

:

2. Completa los recuadros en el siguiente esquema de división: 1

3

1

1

1

–2 1

0

3. Completa los recuadros en el siguiente esquema de división: –8 1/5

7

1

–1 –2

1

15 –5 –10

9. Dividir 3x 4 + x3 + 6x2 + 5x − 1 3x + 1 10. Dividir: 2x3 + x2 − 5x + 2 x+1

3

a) 2x –1

2

x − 7x + 5x + 2 x−2 Relacionar:

3

d) x –1 A –8

Polinomio cociente

B x–2

Residuo

C x –7x +5x+2

3

D

x2

3

3

2

b) x –4x+5

2

2

2

d) 2x –4x+5

– 5x – 5

2

c) 2x –5 2

e) x +4x–5 4 3 13. Dividir: x + 5x − 9 x−3 E indicar el término independiente del cociente.

x +2x –5x+2, el cociente x –x–2 y el residuo

a) 72

b) 71

8. Calcular el divisor

d) 75

e) 76

2

www.trilce.edu.pe

2

c) x –3

e) 2x +1

a) 2x +4x–5

5. Si en una división sabemos que el dividendo es 3

3

b) x +1

3 12. Dividir: 2x − 3x + 1 , Indicar su cociente x+2

Polinomio divisor

Polinomio dividendo

8. Dividir 2x3 + 5x2 + 3x − 2 x+1

4 3 11. Luego de dividir: 2x + 6x + x + 3 x+3 Indicar su cociente

4. En la siguiente división: 3

7. Dividir: 2x3 − x2 + 5x + 6 2x + 1

c) 73


87

28

Capítulo

5 4 14. Halla el resto en: 8x + 16x − 5x + 9 x+2

a) 17 d) 20

b) 18 e) 21

2 4 3 20. Halla el resto en: x − x − 6x + 6x + 3x ; 2x − 1

c) 19

4

3

15. Halla el residuo en: 5x + 16x − 8x + 2 x+3 a) –2 d) 1

b) –1 e) 2

c) 0

2

b) 2x +4

2

2

e) 2x +5

8x 4 + 5x2 + 2x3 + 3x + 6 2x + 1 b) 5

d) 7

e) 8

b) 13

d) 17

e) 19

c) 6

2

Indicar

3

su

b) 64x –52x2–26x+12

a) –64x +52x–27 2

2

c) 64x –27

d) 64x –52x+26

b) 2

d) 4

e) 5

c) 3

a) 1

b) 2

d) 4

e) 5

c) 3

24. Calcula (b – a) si la división: x 4 + 2x3 − 5x2 + ax + b ; es exacta: x+1

c) 15

3 4 19. Dividir: 40x − 2x + 8 − 128x , 2x + 1 cociente

a) 1

23. Determina el valor de "n", si la división presenta residuo nulo. 2x3 − 5x2 − 7x + (n − 6) x−3 a) 16 b) 17 c) 18 d) 19 e) 20

4 2 18. Calcula el resto en: 27x + x − 6x + 15 3x − 1

a) 10

e) –5

22. Halla "m", para que la división: 3x3 − 5x2 − x + m ; sea exacta: x−1

2

c) 2x +7

17. Halla la suma de coeficientes del cociente en:

a) 4

d) –4

c) –3

3x3 + 52x − 63 − 32x2 −9 + x

2

d) 2x +3

b) –2

21. Indica la suma de coeficientes del cociente luego de dividir:

2 3 16. Al dividir: 4x + 2x + 3x + 6 ; x+2 el cociente es:

a) 2x +1

a) –1

a) 3

b) 4

d) 6

e) 7

c) 5

25. Sabiendo que la división es exacta: 3x 4 − 2x3 − 5x2 + ax − 8 x−2 2

Halla: a +1

3

e) –64x +52x–27

a) 1

b) 2

d) 4

e) 5

c) 3

Practica en casa 1. Completa el siguiente diagrama de Ruffini 2

3

–3

–5 9

2

–3

6 12 –2 12

3. Dividir: 2x 4 + 2x3 − 14x − 5 x−3 E indicar el término independiente del cociente. 4. Halla el residuo en:

3 2 2. Halla el resto en: x − x + x − 30 x−2

Colegios

88

TRILCE

3x 4 − 5x + 2 x+2

Central: 6198-100

Álgebra 5. Halla el resto de dividir:

11. Dada la división exacta: 3x3 − 2x2 − 15x − 18 x−3 2 Indicar el cociente disminuido en 3x +6

x9 + x 8 + x 2 + x + 1 x+1 2 6. Halla el residuo: 3x − 5x + 6 x−1

12. Calcula el valor de "m", si la división: 2x3 − (m − 2) x2 + 5 es exacta; x+1

7. Al dividir: 4x2 + 2x3 + 3x + 6 x+2 Indicar su cociente

13. Señala el resto en: 2 x 4 + x3 − 8 x2 + 2x + 32 x+ 2

8. Halla el resto en: 2x3 − 3x2 + x + 1 x−1

4 2 14. Dividir: 27x − 6x + x + 15 3x − 1 Dar la suma de coeficientes del cociente.

9. Dada la división exacta: 3x 4 − 2x3 + ax2 − x − 2 x−2

15. Indica el residuo en: x 4 − 1 + 2x 2 − 3x x+2

10. Halla el resto de dividir: x9 + x 8 + x 2 + x + 1 x−1

Tú puedes 1. En la siguiente división: 36

x

35

+x

4. Halla el resto en la siguiente división:

34

+ x + ... + x + m x+1 Calcula el valor de "m" si el residuo es –6 a) –4 d) –7

b) –5 e) –8

c) –6

a) 6 d) 9

2. Al dividir: nx3 + n2 x2 − nx + n3 + n2 x+n+1 Se obtiene que la suma de coeficientes del cociente es igual a f(n). Calcular: f(1) + f(2) + f(3) + ... + f(10) a) 383 d) 386

b) 384 e) 387

x5 + nx + 2 x−1 Sabiendo que la suma de coeficientes del cociente es 10.

c) 385

b) 7 e) 10

5. Halle el residuo en: x1001 − x700 + 2 x−1 a) 1 b) 2 d) 4 e) 5

c) 8

c) 3

3. Determina el resto en: 6x8 + 4x5 + (n + 1) x2 − n 10x − 10 a) 10 d) 13 www.trilce.edu.pe

b) 11 e) 14

c) 12


89

29

Capítulo

Factorización IV Problemas para la clase 1. Factoriza en cada caso: a) x3+8 ≡ ________________ b) y3 – 27 ≡ ________________ 2. Factoriza en cada caso: a) x2+10x+24 ≡ ________________

8. Factoriza el siguiente polinomio: P(x; y) = 8x3+27y3 e indica un factor primo. a) 2x – 3y

b) x+3y

d) 2x+3y

e) 3x+2y

9. Factoriza:

b) x2 – 5x+6 ≡ ________________

x9 – y 6

c) x2+2x – 35 ≡ ________________

a) (x2+y3)(x2 – y3)

d) x2 – 7x – 8 ≡ ________________

b) (x3– y2)(x6+x3y2 – y4)

3. Factoriza: x3+1 a) (x+1)(x2+1) c) (x+1)(x2 –x+1)

c) 3x – 2y

c) (x3 – y2)(x6+x3y2+y4) b) (x – 1)(x2+1)

d) (x3 – y2)(x6 – x3y2+y4)

d) (x–1)(x+1)

e) (x2+y3)(x4 – x3y3+y8)

e) (x+1)2

10. Factoriza el siguiente polinomio: Q(x)=x4+2x2 – 15

y3

4. Factoriza: – 125 a) (y+5)(y2–5) c) (y – 5)3

b) (y – 5)(y2+5y+25) d) (y – 5)(y – 5)

e) (y – 5)(y2+25)

e indica la suma de factores primos. a) 2x2+1

b) 2x2

d) 2x2+2

e) 2x2+3

c) 2x2+5

11. Señale el factor primo repetido de: 5. Factoriza en cada caso: a) P(x)=6x2+13x+6 b) Q(x)=2x2 – 11x+5 6. Un factor primo del polinomio: P(x; y) = x3+8y3 es: a) x2 – xy+y2 b) x2

–

xy+4y2

c) x2+2xy – 4y2 d) x2+2xy+4y2 e) x2 – 2xy+4y2 7. Un factor primo del polinomio: P(x) = 6x2 – x – 2 es: a) 2x –1 b) 3x+2 c) x – 1 d) x+2 Colegios

90

TRILCE

3

3

6

(a – 1)(a – 8)(a – 1) a) a+1

b) a+2

c) a–2

3

d) a–1

e) a –1

12. Factorizar e indique un factor de: 3

3

2

a – b + a + ab + b

2

2

a) a+b+1

b) a –ab+1

d) a–b+1

e) a+b

c) a–b–1


a – 64 a) 2

b) 3

d) 5

e) 6

c) 4

e) 3x – 2 Central: 6198-100

Álgebra 14. Factoriza y señale un factor: 4

2 2

x + x y – 2y

20. Indique un factor primo de:

4

2

2

a + b + 2 (ab–a–b) – 35 2

a) x2 – 2y2

b) x – y

a) a+b

b) a+b+7

c) x2+y2

d) x+y

d) a–b+7

e) a–b–7

e) x – y

2

21. Suma los factores primos de: 4

2

4x – 17x + 4

15. Señale un factor de: 3

c) a+b–7

3

2 2

a + b + ab (3a + 3b – a b ) a) a+b

b) a–b

d) a+b–ab

e) a+b+1

c) a+b+ab

a) 2x

b) 4x

d) 5x

e) 6x

c) 3x


16. Indique un factor de: 2

3

2

(4x +4x+1)(2x+1) – y – 8 – 6y – 12y a) 2x–y

b) 2x+y

d) 2x+y–1

e) 2x+y+1

c) 2x–y–1

2

2

2

(x +5x+6)(x –5x+6)(x –3x–10)(x +3x–10) a) 8x d) 5x

b) 3x e) 6x

c) 4x

2

2

(6x +19x+15)(10x +11x–6)(21x –26x+8) a) 2x+8

b) 2x+6

d) 3x+2

e) 5x+8

c) 3x+1

d) 5

e) 6

www.trilce.edu.pe

2

2

2 2

(x – ab) – (a–b) x a) x–a

b) x+a

d) x+b

e) x–ab

c) x–b

3

3

x (x+1) – 8 a) x+1

b) x–2

d) x+3

e) x–3

6

x – 9x + 8 b) 3

e) 6

c) x–1

4

3

2

a – 30a + 27a + 300a – 1000

3

a) 2

d) 5

c) 4

25. Suma los factores lineales:


b) 3

24. Señale un factor primo de:

18. Suma 2 factores primos de: 2

a) 2

2

23. Señale cuál no es un factor primo de:


2

[x + ab] – [(a+b) x]

c) 4

a) 2a+3

b) 2a+1

d) 2a–1

e) 2a+5

c) 2a–3


91

29

Capítulo

Practica en casa

1. Factoriza: 3 x +1

8. Sumar los factores lineales de: 3 3 6 3 (a – 27)(a – 125)(a – 9a +8)

2. ¿Cuántos factores primos tiene: 2 (x +4x+3)(x2+5x+6)

9. Suma los factores primos de: 4 2 2 4 9x – 82 x y + 9y 10. ¿Cuántos factores primos tiene: 2 2 32 4 6 2 3 2 (x + a b ) – (a + b + 2a b ) x

3. Factoriza e indica los factores primos: 3 3 1000x – m

4

2

22

11. Factoriza: x – (2ax + a – b )

4. Factoriza: 2 6x – 13x – 5

2

4

2

24 4

12. Factoriza: (x – ab) – (a – b ) x

5. Factoriza: 3 (a+b) + 1


2

2

2

(x +15x+14)(x +9x+18)(x –10x+21)(x +11x–12)

6. ¿Cuántos factores primos tiene: 6 x – 28x3+27

14. ¿Cuántos factores lineales tiene: 3 3 3 3 x (x + a + b) + a b

7. Sume los factores primos de: 2 (2x+3y) – 5(3y+2x) – 14

15. Factoriza: 2 (ax + bx + cx) – (ax + cx)(a+b+c) + ac

Tú puedes 1. Señale un factor primo: 2 2 6 3 (a+b) [(a+b) + (c +bc+ac)3] + x +c a) a+b+x d) a+b+c+x

b) a+b+x

2

2

c) a+x

2

e) b+x

b) 2 e) 2x

a) 2x d) 5x

b) 3x e) 6x

c) 4x

5. Suma los coeficientes del factor trinomio: 3 6 9 2 3 x + y + z – 3xy z

2. Resta los factores primos de: 2 x (x+7) + a (2x + 7) + a + 10 a) 1 d) x

4. Resta los factores primos de: 4 2 x + 5x + 9

c) 3

a) 1 d) 4

b) 2 e) 5

c) 3

3. Señale un factor de: 3 2 3 2 (a +1) x + (a+1) x – a (3x – 1) + a a) (a+1)x + a

b) ax–1

c) (a+1)x–a

d) x–a

e) ax+1 Colegios

92

TRILCE

Central: 6198-100

Capítulo

30

Factorización V Problemas para la clase 1. Completa en cada caso: a) Divisores de 2 = ___________________ b) Divisores de 3 = ___________________ c) Divisores de 6 = ___________________ d) Divisores de 15 = ___________________ 2. Relaciona: Polinomio Término independiente A) x4+3x2+11 I) 6 3 B) x – 7x+6 II) 8 C) x3+8+9x2 III) 11 a) AI BII CIII

b) AIII BI CII

c) AIII BII CI

d) AIII BIII CI

6. Evalúe si el polinomio: P(x)=x3 – 6x2+11x – 6 se anula para x = 3. a) Si se anula. b) No se anula c) Tal vez d) No se sabe e) Muy difícil 7. Complete la siguiente tabla que nos brinda información de un polinomio del tercer grado P(x), cuyo coeficiente principal es 1: Cero de P(x)

e) AI CI BII

2

3. Determine losa posibles valores enteros que anulan al siguiente polinomio: P(x) =x3 – 3x2 – x+3 a) ±{1} b) ±{3} c) ±{1; 3} d) ±{1; 2}

Factor de P(x)

e) ±{1; 4}

4. Determine los posibles ceros del siguiente polinomio: P(x) = x3+4x2 – 3x+10 a) ±{1; 2; 10} b) ±{1; 2; 5; 10} c) ±{1; 5; 10} d) ±{1; 10} e) ±{1; 10; 20; ......} 5. Evalúe si el polinomio: P(x)=x3 – 6x2+11x – 6 se anula para x = 2. a) Si se anula.

–3 –4 8. Evalúe si (x – 1) es factor del polinomio: P(x) = x3 – 7x2+5x+1 a) Si es factor b) No es factor c) Tal vez d) Nunca será e) Es probable 9. Evalúe si (x+2) es factor del polinomio: Q(x)=x3+5x2 – 4x – 20 a) No es factor b) Quizá

b) No se anula.

c) Nunca será

c) Si y 2 es cero de P(x)

d) Si es factor

d) No se puede

e) Es probable

e) a y c www.trilce.edu.pe


93

Capítulo

10. Indica un factor primo de: P(x) = x3 – 3x2+5x – 3 a) x+1 b) x–1 d) x – 3


c) x+3

e) x+5

11. Señale un factor primo de: Q(x)=x3+7x2 – 5x – 3 a) x2+x+1 b) x2+7x+3 c) x2+8x+3 d) x2+5x+3 e) x2+8x–3 12. Indica el número de factores primos del siguiente polinomio: P(x)=x3 – 6x2+11x – 6 a) 1 b) 2 c) 3 d) 4

e) 5

c) x – 3

2

b) –17 e) 15

2

a) 4x

3

b) 4x

5

d) 4x

2

e) 4x

4

c) 4x

6

21. Señale el término cuadrático de un factor primo 4

3

de: x – 7x + 19x + 2 2

b) –3x 2

e) x

2

c) –5x

2

2

22. Suma dos de los factores primos de: 2

a) 2x+5

b) 2x–7

d) 2x–6

e) 2x

c) 2x+7

23. Suma los factores primos de:

3

x – 5x + 12 2

a) x + 3x + 4

b) x +3x+5

c) x –3x–4

d) x +3x–5

2

2

3

c) 17

15. Señala el factor primo de mayor grado:

2

4

x + 3x – 2x – 9x – 2

3

primo de: x – 5x + 11x + 17

2

c) 3x+4

x – 10x + 31x – 30

14. Señale el término independiente de un factor a) –1 d) 16

b) 3x+5 e) 3x+2

20. Multiplica los términos de un factor primo de:

d) –7x

e) x – 4 3

a) 3x+3 d) 3x+6

a) –x

13. Indica un factor primo de: Q(x)=x3+3x2 – 4x – 12 a) x+6 b) x – 6 d) x+3

2

x + 6x + 11x + 6

e) x –3x+4

2

2

x (x+1)(x+2)+(x+3) – (x–3) – 30x + 12 a) 3x+2

b) 3x–2

d) 3x–3

e) 3x–1

c) 3x+3

24. Suma los factores primos lineales de: 6

4

2

x – 2x – 11x + 12 16. Suma los coeficientes del factor primo no lineal: 3

2

x + x – 12 a) 1 d) 9

b) 4 e) 10

c) 7

a) 2x

b) 3x

d) 2x–2

e) 2x+2

25. Un factor del polinomio: 2

17. Halla el valor numérico de un factor primo de: 3

x – 13x – 12, para x=11 a) 7 d) 13

b) 9 e) 15

c) 4x

c) 18

3

2

P(x)=x(x – a )+(ax) – a(x2 – x+a) a) x2+ax+a

b) x2 – ax– a

d) x2–a2x – a

e) x2+a3x+a

c) x2–a2+a

18. Si (x–3) es un factor de: 3

2

x + (K+1)x – (5K+3) x – 7K – 1 Señale la suma de los otros dos factores primos. a) 2x+5

b) 2x+6

d) 2x+4

e) 2x+8

Colegios

94

TRILCE

c) 2x+7

Central: 6198-100

Álgebra Practica en casa 3

2

3

2

3

2

1. Factoriza: x + 4x + 8x + 5

9. Suma los coeficientes del factor no lineal de: 4

3

2

x + x + 3x + 10x + 7

2. Factoriza: x – 12x + 18 x – 7 10. Factoriza: 2 2 2 2(x–2)(x +2x+4) – (x+2)(x –2x+4)+(x–7) –49

3. Factoriza: x + 5x – 12 3

4. Factoriza: x + 6x – 7

11. Factoriza:

5. Halla el valor numérico de un factor primo de: 3

2

x + x – 33x + 63, para x=13 3

12. Señale el término lineal de un factor de: 4

es (x+1), señale el otro factor:

2

3

2

13. Un factor de: x + (4K + 1) x + 13 Kx + 24 es (x+2), calcule los otros dos factores

7. Suma los factores primos de:

14. Halla los factores lineales de: 6 4 2 x + 17x – 12x – 6

2

x + 10x – 13x – 22 8. Suma los factores lineales de: 3

3

x – x – 5x – 6x + 11

2

6. Si un factor de: ax + 2ax + 11x – 3

3

2 2 (x + 3)6x (x – 3) + 5@ + 3 ;` x + 1j + ` x – 1j E – 5 3 3

15. Suma los factores primos de: 6 4 2 x – 14x + 49x – 36

2

x + 4x – 11x – 30

Tú puedes 1. Suma los factores lineales de: 3 3 2 2 2 x (x–6) + 7x (x–6) + 11x – 66x + 5 a) 2x–1

b) 2x–3

d) 2x–7

e) 2x–9

c) 2x–6

2. Señale el factor repetido de: 3

2

2

x + 11x y + 40xy + 48y a) x+3y d) x+4y

e) x+4y

7

6

5

4

3

2

x +6x +11x +6x +x +6x +11x+6 a) 3x+5

b) 2(3x+2)

d) 3x+5

e) 3(x+2)

c) 3(3x+2

5. ¿Cuántos factores cuadráticos tiene

3

b) x+y

4. Suma los factores primos lineales:

x c) x+2y

2

36

+ 5x

a) 1 d) 4

24

+ 3x

12

–9

b) 2 e) 5

c) 3

3. Señale el factor cuadrático primo: 3 2 2 x – ax + x + a – a (x+1) 2

b) x –a

2

e) x +a

a) x +1 d) x +1–a

www.trilce.edu.pe

2

2

c) x +1+a

2


95

31

Capítulo

Fracciones algebraicas I Problemas para la clase 2

1. Factoriza: P(x) = 3x – ax

9. Indique cual de las siguientes expresiones son fracciones algebraicas::

2

P(x) = x − 4 x

2

Q(a) = m − 3 a

2. Factoriza: Q(x) = x – 36 3. Factoriza: R(x) = x –3x – 4 3

2

4. Factoriza: S(x) = x – 9x + 26 x – 24 3

5. Factoriza: M(a; b) = a + 8b

3

10. Simplifica: 2 R (x) = x2 − 25 x + 5x

6. Dados los monomios: 8 M(x)=x 4 N(x) = x Halla el MCM(M; N) y MCD(M; N) respectivamente. a) x4; x8

b) x; x4

d) x8; x

e) x4; x3

a2 + y2 5

S(x; y) =

c) x8; x4

11. Sean los polinomios: 6 4 P(x) = x (x–1) 4 8 Q(x) = x (x–1) Halle el MCM de P y Q a) x(x–1) 6

d) x (x–1)

7. Dados los monomios:

8

b) x (x–1)

6

4

4

6

e) x (x–1)

4

c) x (x–1)

8

4 3

M(x; y) = x y

5 2

12. Sean lo polinomios:

3

P(x) = x . (x+2)

P(x; y) = x y

Q(x; y) = x y

9

5

6

Halla el MCM(P; M; Q) y MCD(P; M, Q) respectivamente.

S(x) = x . (x+2) Halla el MCD de P y S

a) x4y3; x3y b) xy; xy2

a) x (x+2)

7

6

b) x (x+2)

5

6

5

9

e) x (x+2)

5

6

c) x5y3; xy3

d) x3y5; x3y e) x5y3; x3y

d) x (x+2)

8. Dados los polinomios: P(x) = x(x–3) + 4 (x–3)

2

R(x) = x –16

2

2

S(x) = x +5x+4 Halla el MCD de R y S

Halla el MCD(P; Q) a) x+4

b) x+3

d) x+1

e) x – 1

Colegios

TRILCE

7

c) x (x+2)

13. Sean los polinomios:

Q(x) = x – 9

96

7

c) x – 3

a) x+4 d) x–1

b) x–4 e) x–8

c) x+1

Central: 6198-100

31

Álgebra 14. Sean los polinomios: R(x) = 2x+1 S(x) = x–3 Halle el MCD y MCM de R y S, respectivamente: 2

2

a) 1; 2x +5x–3

b) 0; 2x –x+3

2

2

c) –1; 2x +5x–3

d) 1; 2x –5x – 3

2

e) 1; 2x +2x–1 15. Indique la alternativa que contenga una fracción algebraica: a) x + 5 103

b) x + 4 2 x2 + 5 e) 30

2 d) x + 5 x

c) x − 3 4

16. ¿Cuál es la condición para "x", tal que la fracción algebraica: F (x) = x + 3 , se encuentre bien definida 2x − 4 a) x=2 c) x=4 b) x≠2 e) x=3 d) x≠4 x+5 2x + 10 b) e)

17. Simplifica: a) 1 –1 d) 4

–1

2 –1 5

4x − y + 3z 8x − 2y + 6z b) 1/3 e) 1/6

c) 3

–1

c) 1/4

3x + 3y 5x − 5y − x+y x−y b) –2 c) –3 e) –5

19. Simplifica: T (x; y) = a) –1 d) –4

x2 − y2 +y x+y 21. Reduzca: F (x; y) = 3x –1 –1 a) 2 b) 3 –1 –1 d) 4 e) 6

c) 3

c) 4

–1

2 22. Simplifica: x −23x − 4 x −1 Luego, indique la suma del numerador y el denominador de la fracción irreductible.

a) x–5 d) 2x–3

b) 2x–4 e) 2x–6

c) 2x–5

2 23. Reduzca: T (x) = e x2 – 9 – 3 – 4x o x x x – 3x 2 a) x b) 3x c) x d) 4x e) 5x

24. Sin importar que valor numérico tomen la variables de la siguiente fracción algebraica: F (x; y) =

mx2 + by2 + p 2x 2 + 3y 2 + 5

Ésta siempre se reduce a 2. Halle el valor de m+n+p.

18. Simplifica: F (x; y) = a) 1/2 d) 1/5

20. Reduzca: E (x) = 2x − 8 x−4 x−4 a) 1 b) 2 d) 4 e) 5

a) 5 d) 25

b) 10 e) 30

c) 20

x3 − 6x2 + 11x − 6 + 5x x−1 25. Simplifica: 3x2 + 18 –1

–1

a) 2 –1 d) 6

b) 3 –1 e) 7

c) 5

–1

Practica en casa 1. Sean: 7 9 3

P(x; y; z) = x y z

3 10 8

Q(x; y; z) = x y z Calcule: MCM MCD

2. Indique que fracción es algebraica (x!5; x!–6) x + 7 ; x − 2 ; 5x − 3 x−5 x+6 2−1 www.trilce.edu.pe

3. ¿Qué fracción hay que extraer para que las fracciones sean homogéneas x ; x−1 ; 5 ; 2 x − 2 −2 + x x − 2 2 − x 4. Calcule el valor que no debe tomar "x" para que la fracción algebraica: F(x) = x x+3 5. Simplifica:

x 2 − 7x x − 6x − 7 2


97

31

Capítulo

6. Sean:

12. Sean: 7

5

P(x) = x (x+1) (x–2) 4

4

6

Q(x) = x (x+1) (x–2)

5

y

8

6

B(x) = (x+3) (x+7)(x+2)

9

3

Si el MCD de los polinomios A(x); B(x) es:

Halle: MCM MCD

m

7. Sean: F(x)= x − 7 ; G(x) = 2 x+3 5−x Indique qué valor debe tomar "x" para que las fracciones sean homogéneas. 4 2 8. Simplifica: x 3(x − 8x + 15) , x ! 0; 5; –3 x (x − 5) (x + 3)

10. Simplifica: (x + 3) (x + 6) (x − 5) (x − 8) ; x ! − 6; 5; − 8; − 3 (x − 5) (x + 8) (x + 6) (x + 3)

13. Indique el valor de "x" que hace que las fracciones: x +1 ; x − 1 , sean homogéneas x (x − 2) + 5 x (x − 3) + 9

15. Luego de simplificar: x (x − 3) F(x) = (x − 3) (x + 5) G(x) = (x − 7) (x − 5) ; x ! − 5, 3, 7 (x + 5) (x − 7)

11. Halle el MCM de los polinomios: n–4

n

(x+3) (x+7) , calcule: E = m+n

2 14. Simplifica: x −2 5x − 6 , x ≠ 0,6 x − 6x

2 9. Simplifica: x2 − 25 ; x ! 0, 5 x − 5x

n m+5

4

A(x) = (x+3) (x+7) (x–2)

m–3

P(x; y) = x y (x+1) (y–3) n+3 m+2 n–2 m–7 Q(x; y) = x y (x+1) (y–3)

Halle el MCD de los denominadores

Tú puedes mx + ny , se 12x + 3y reduce a una constante para cualquier valor que tomen sus variables. Hallar el valor de: m + 1 n a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

1. Si la fracción algebraica: F (x; y) =

2. Simplifica:

a 4 + 4 − 2 ; a 2 − 1E a−1 (a − 1) 2 + 1

a) a 4 d) a

3

b) a e) –a

c) a

2

3. Simplifica: (x > 0) 1 E = `1 + 1 j`1 + 1 j`1 + 1 j .... `1 + x x+1 x+2 x + 100 j a) c) e)

Colegios

98

–1

x (x+1) –1 x (x–1) –1 x (x+102)

TRILCE

4. Simplifica: (a ≠ ±b) E = c 2 a + b 2 mc 2 a − b 2 m a + 2ab + b a − 2ab + b a) (a –b )

2

2 –2

b) (a –b )

2

24

e) (a –b )

d) (a –b )

2

2 –3

2

2 –1

2

2 –2

c) (a –b )

a 4 + a2 + 1 − a2 − 1 2 5. Reduzca: a − a 2+ 1 (a + 1) − (a − 1) 2 a) 2

–1

b) 3

–1

d) 5

–1

e) 6

–1

c) 4

–1

–1

b) x (x+101) –1 d) x (x+100)

Central: 6198-100

Capítulo

32

Fracciones algebraicas II Problemas para la clase 1. Efectúa: 2x+6 – (7x+2)

2. Reduzca: 5 (x–2)–3(x–2) x − 1; x son fracciones homogénea. x+2 x+a Halle "a".

3. Si:

4. Indique que fracción de las dadas a continuación es algebraica: F(x) = x 3 2 Q(m) = m a

E(x; y) = x y 5. Suma: x + 10 − x 5 5 6. Calcula: 5 + x + 3 − x ; x ! 0 x x

7. Calcula: x + 3 − x − 6 ; x ! 0 x x

8. Luego de sumar: 1 − 1 ; Indicar el numerador x x+1 (x ≠ 0; –1)

x + 2 ; (x ≠ –2) x+2 x+2

10. Calcula:

11. Reduzca: x + 5 + x + 1 ; x ! − 3 x+3 x+3 a) 1 d) 4

b) 2 e) 5

c) 3

12. Reduzca: 2x2 + 5 − x2+ 3 ; x ! ! 2 x −4 x −4 a) (x–2) d) x–2

–1

–2

b) (x–2) 3 e) (x–2)

2

c) x –2

13. Calcula: x − 4 − 5 + 4x ; x ! 3 x+3 x+3 a) –1 d) –4 14. Efectúa:

b) –2 e) –5

c) –3

2 + 3 ; x ! !1 x−1 x+1

a) x − 1 x

b) 5x2 − 1 x −1

d) x + 1 5x

e)

15. Calcula:

c) 5x2 + 1 x −1

5x x2 − 1

1 +x x+5

2 a) x + 5 x+5

2 b) x + 5x + 1 x+5

2 d) x + 1 x+5

2 e) x + 10 x+5

2 c) x − 5x + 1 x+5

9. Suma: x + 2 + x + 2 ; (x ≠ –2) x−5 5−x

www.trilce.edu.pe


99

32

Capítulo

16. Suma: x + 1 con x − 1 ; x ! ! 1 x−1 x+1 2x 2 x2 − 1 d) 22x x −1 a)

2 b) 2 (x2 + 1) x −1

21. Calcula: x2 − 2 + (x − 21) (x − 4) ; x ! 0 ; 2, 4 x − 2x x − 4x c)

2x 2 x −1

2 e) 2 (x2 − 2) x −1

22. Reduzca:

17. Reduzca: x + 1 + x + 2 − 3 + 2x ; x ! 5 x−5 x−5 x−5 a) 0

b) x

d) x–5

e)

c) –x

x x−5

b) 2 e) 5

c) 3

b) x + 1 3 e) 3 + x 3

b) 8 e) 20

2x2 − 50 − 10x ; x ! ! 5, 0 x (x + 5) x2 − 25

a) 1 d) 4

b) 2 e) 5

a) 1 d) –2

c) 3

b) –1 e) 3 –1

–1 –1

c)

c) 2

. (a+b)

(a ≠ 0 ∧ b ≠ 0) x x+1

20. Si se cumple que: A + B = 8 x − 2 ; x ! 1, − 2 x + 2 x − 1 x2 + x − 2 Hallar: A . B a) 4 d) 16

c) 3

24. Calcula: E = (a +b )

19. Efectúa: 3 + x − 1 ; x ! 1, 0 x x−1 x−1 a) 3 x d) 3 + x x

b) 2 e) 5

2 23. Reduzca: ax2 + a2 + 2ax + 2x x −a x − ax a − x

18. Efectúa: x + 8 − 5 + x + x − 7 ; x ! 4 x−4 x−4 x−4 a) 1 d) 4

a) 1 d) 4

c) 12

a) a d) a

b) ab 2

e) ab

c) b 2

25. Calcula: 1 1 −1 1 x 2 − 2x ` x − 1 + x + 1j + 2x − 2x a) 1 d) 4

b) 2 e) 5

c) 3

Practica en casa 1. Calcula: 3 − x + 2x − 3 ; x ! 0 x x

5. Reduzca:

2. Calcula: 5 − x − 5 ; x ! 0 x x

6. Reduzca: 2x + 10 + x + 11 ; x ! − 7 x+7 x+7

3. Efectúa: 1 − 1 ; x ! 0 x x 2 2 4. Efectúa: x + 7 + 7 + x ; x ! 3 3−x x−3

Colegios

100

TRILCE

x 2 + x ; x ! 0, − 1 x2 + x x2 + x

7. Efectúa: x − 2 + 1 ; x ! − 1 x+1

8. Efectúa: x + 2 − x − 2 ; x ! ! 2 x−2 x+2

Central: 6198-100

Álgebra 9. Si se cumple:

13. Reduzca:

A + B = 5 x − 1 ; x ! − 1, 2 x + 1 x − 2 x2 − x − 2

a2 + b2 + b a (a + b) b (a + b) a

donde a+b ≠ 0 ∧ a, b ≠ 0

Halla: A.B 14. Calcula:

10. Reduzca:

2 (a − 1 + b − 1) (a − 1 . b − 1) ( a + ab ) − 1 a a

x + 1 − 5 ; x ! 5, − 2 x−5 x+2 x−5

15. Reduzca:

11. Reduzca: 2x − 3 + 6 − x − x + 3 ; x2+x–1 ! 0 x + x − 1 x2 + x − 1 x + x2 − 1 2

1 1 − 1 x 2 − x 4x + x 2 ` x − 2 − x + 2 j − 4 + 4x

12. Calcula: 4x3 + 12x − 36 ; x ! ! 3, 0 x (x + 3) x2 − 9 2

Tú puedes 1. Reduzca la suma de fracciones algebraicas: 2x + 3y − 6z x (y − x) − 5z + 6z − 3y − 2x 5z + x (x − y) a) –3 d) 1

b) –2 e) 2

x −x 4. Si: F(x) = 5 − 5 2 Calcula: F (x) F (2x)

c) –1

x

2. Luego de reducir las fracciones algebraicas: x 2 + x + 1 − x 2 + 2 + 2x − 1 2x 2 + x 2x2 − x − 1 x2 − x Indica la suma denominador a) x+1 d) x+2

del

b) x+3 e) x+4

numerador

c) x+5

3. Suma: S = 1 + 1 + 1 + .... + 21 2 6 12 n +n Donde n ∈ N n n+1 d) n n−1 a)

www.trilce.edu.pe

b) n + 1 n e) n − 1 n

con

–x –1

–x

x –1

x

–x –1

a) (5 +5 )

b) (5 –5 )

c) 5

–x

d) (5 –5 )

e) 5

x

el 5. Si: 1 = 1 − 1 ; x, y, z ! 0 z y x Calcula:

E=

a) x d) –1

x − z − xz x − y y − z y2 b) 0 e) y

c) 1

c) 1


101

33

Capítulo

Fracciones algebraicas III Problemas para la clase 1. Simplifica: x + 1 ; x ! !1 x2 − 1 2. Simplifica: x 2 + 5x ; x ! − 5 x+5 3. Efectúa: x − 5 x−8 x−8 4. Simplifica: x − 2 x − 2 −1 ` x j` x j 5. Suma: 1 + 1 x 6. Multiplica: x . x+1 y x+2 7. Multiplica: x . x+1 x−1 x+2 8. Multiplica: x − 1 . 2x x−3 x+1 9. Divida: x ' x+5 x+5 x−6

11. Efectúa: E = ` x + 1j`1 + 3 j : x ! − 1, 2 x+1 x−2 a) x + 1 x−2 d)

x x−2

Colegios

102

TRILCE

e)

c) x + 2 x−1

2x x−2

12. Reduzca: x2 − 4 . x2 − 25 + 10 − 3x x−5 x+2 2 a) x b) x d) 2x

c) x

3

e) x–2

13. Divida: x − 2 ' x − 2 x+3 x−1 a) x − 1 x d) x − 1 x−3

b) x − 1 x+1 e) x − 1 x+3

c) x + 3 x−1

14. Sean:

A (x) =

x . x + 1 ; x ! 1, 2 x−1 x−2

B (x) = x + 1 . x x−1 x−2 Determina: A (x) B (x)

a) 1

b) 2

d) –x

e) x+1

15. Efectúa: 10. Divida: 1 x 3 x

b) 2x + 1 x−2

c) x

1 ; x ! 0, − 1 1 + x− 1

a) x + 1 x x d) − 1 x

x x+1 e) x − 1 x+1 b)

c)

x x−1

Central: 6198-100

Álgebra 16. Efectúa: 1 1+ 1 x y a)

x+y xy

b)

x+y x

d)

xy x+y

e)

x x+y

c)

y x+y

21. Efectúa: c a) 1 d) x

17. Calcula: 1+ 1 x 1 1− x b) x + 1 x−1

d) x − 1 x+1

e) x − 1 x+2

c)

x x−1

x+y

1 −

a) y d) 4y

+ x #4 2y H b) 2y e) 5y

c) 3y

19. Reduzca: 1 ' x+1 a) 1 d) –x

1−

1 x+1 x b) 2 e) 3

b) x e) x+1 1

1−

a) x d) 0

2

1 x−y

–1

a) x d) 2x

23. Calcula:

18. Reduzca:

> 1

x+y + x m ' (x + y) 1 + xy − 1 b) 2 e) y

c) ab

c) 3

1+ 1 x +1 x 1 + 22. Calcula: x+1

x x+1

a)

a−b +1 a 20. Reduzca: + b ' a−b a+b −1 a+b a−b a) a/b b) a/2 d) b/a e) 1/b

−x

b) x–1 e) –x

c) 1

24. Si: a+b+c=0 Calcule: a+b + b+c a + c b + a # (a + c) # (a + b) c2 + ab a) 1 d) –c

c) x

1 1+ 1 x

c) 1

b) –1 e) a

c) –b

x + 1+ x − 1 25. Reduzca: x − 1 x + 1 − 1 1−x − 1+x 1+x 1−x 2 a) (x + 1) 2x 2 d) (x − 1) 2x

b) x − 1 2x 2 e) (x + 2) 2x

c) x + 1 2x

Practica en casa x ' x−1; x!2 x−2 x−2

5 1. Multiplica: x3 . x ; y ! 0 y y

4. Divida:

2. Multiplica: x − 1 . x + 2 ; x ! 0 x x

x 3 5. Divida: ; x ! 0, 1 x x−1

3. Multiplica:

www.trilce.edu.pe

5x . x − 2 3x + 1 x + 2

2 2 6. Calcula: x − 9 . x − 4 ; x ! 3, − 2 x+2 x−3


103

33

Capítulo

7. Divida: x − 11 ' x ; x ! − 5 x+5 x+5

−1

−1 12. Calcula: c 1 + x m x

x x 8. Divida: + 1 ; x ! 0, − 1 x

9. Calcula:

a+b -1 +b 13. Reduzca: a - b a-b +1 a a+b

1 ; x ! 0, 1 1−1 x

10. Sean: A(x) = x + 1 . x−5 x B(x) = − 7 . x−5

; x ≠ {0, –1}

1− 1 x +1 14. Efectúa: x − −11 ; x ! 0, 1 x

x−7 x−1 x+1 ; x−1

x ! 5, 1 −1

−1 15. Reduzca: c 1 − a m a

Calcula: A ÷ B

−1

− ^1 − a − 1h

1− 1 x ; x ! 0, − 1 11. Reduzca: 1+ 1 x

Tú puedes 1. Si: aK =S aaa....a ; bK =S bbb....b K digitos

K digitos

Calcula: a b a b a b 4 c 1 + 2 + ... + 100 mc 1 + 2 + ..... + 100 m b1 b2 b100 a1 a2 a100 a) 5 d) 1000

b) 10 e) 200

c) 100

2 2 2. Reduzca: (3a + 2b) 2 − (3a − 2b) 2 (2a + 3b) − (2a − 3b) a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

3. De la expresión: 1 x =1 + 1 1+ 1+ 1 1+ 1

4. Si: x = a + 1 ; y = ab + a ab + 1 ab + 1 x+y−1 Calcula: x−y+1 a) a

b) b

d) 1

e) 2

c) a+b

a + 1 2 3a + 3 ` 3a − 1j − 3a − 1 − 4 5. Calcula: R = 2 3 ` a + 1 j − 13a + 13 + 4 3a − 1 3a − 1 a) 1

b) a

d) 3a

e) –1

c) 2a

...

Se puede afirmar que: 2

b) x –x+1=0

2

d) x –1=0

a) x –x–1=0 c) x +x+1=0

2 2

2

e) x +2x–1=0 Colegios

104

TRILCE

Central: 6198-100

ÁLGEBRA 1° - 2017

Recommend Documents