TUGAS KALKULUS FUNGSI EXSPONEN ASLI
OLEH : 1. Ni Wayan Damiasih
(2010.V. I .0077 )
2. Ni Ka Kadek Lina Dwiyanti
(2010.V. I . 0076)
3. Ni Luh Meri Sri Rahayu
(2010. V. I . 0079)
4. Ni Kadek Sri Adnyani
(2010. V. I . 0078)
5. I Made Sukma Dinata
(2010. V. I . 0080)
6. Ni Kadek Supardewi
(2010. V. I. 0081)
FAKULTAS PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM IKIP PGRI BALI 2010/2011
i
KATA PENGANTAR
“Om Swastyastu” Puji Syukur kami Panjatkan kehadapan Ida Sang Hyang Widhi Wasa / Tuhan Yang Maha Maha Esa, Esa, atas asung asung kertha kertha Wara Wara Nugrah Nugrahay aya, a, sehingg sehinggaa kami kami dapat dapat menyu menyusun sun Tugas Tugas Kalkulus II ini dalam yang membahas membahas mengenai “Fungsi Exsponen Exsponen asli ”. Dalam tugas presentasi ini, kami yang berkesempatan membahas mengenai fungsi eksponen asli ini, ingin sedikit memberi gambaran tentang penurunan dan pengintegralan suatu fungsi eksponen asli ini, beserta penerapan-penerapan rumusnya dalam bentuk yang masih sederhana. Kami menyadari isi presentasi ini masih banyak kekurangan untuk itu kritik dan saran yang bersifat konstruktif dari semua pihak sangat kami harapkan demi penyempurnaan dan menjadi batu loncatan ke arah yang positif, dalam penulisan presentasi-presentasi berikutnya. Semoga presentasi yang mengangkat masalah tentang “Fungsi eksponen asli ”, ini dapat bermanfaat dan bisa menjadi inspirasi, sehinga dapat memberi sedikit pemahaman mengenai Fungsi eksponen asli ,dan juga dapat menambah menambah wawasan serta ilmu pengetahuan rekan-rekan mahasiswa.
“ Om Santih, Santih, Santih, Om”
Denpasar, April 2011
Penyusun
ii
DAFTAR ISI
HALAMAN JUDUL KATA PENGANTAR i DAFTAR ISI ii BAB I PENDAHULUAN 1 1.1 Latar Belakang Masalah 1 1.2 Rumusan Masalah 1 1.3 Tujuan 2 BAB II PEMBAHASAN TEORI 3 2.1 Definisi Fungsi ekspoene Asli 3 2.2 Definisi Lain Fungsi Eksponen Asli dengan Sebuah Kurva 4 2.3 Sifat- Sifat Fungsi Eksponen Asli 5 2.4 Definisi Formal Fungsi Eksponen Asli 10 2.5 Penurunan dan Persamaan Deferensial Fungsi Eksponen Asli 11 2.6 Pengintegralan Fungsi Eksponen Asli 14 2.7 Evaluasi soal-soal 15 iii
2.8 Jawaban Evaluasi Soal 16 BAB III PENUTUP 18 3.1 Kesimpulan 18 3.2 Saran 19 DAPTAR PUSTAKA
iv
BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Tanpa kita sadari dalam kehidupan sehari-hari, kita banyak melibatkan, yang namanya ilmu matematika, dalam ruang lingkup ini yaitu kalkulus dalam kaitannya mengetai fungsi eksponen asli dan kurva penerapannya, salah satu penerapannya adalah pada penerapan konsep alat musik yang menggunakan dawai atau dibentuk dari kolom udara, merefleksikan bentuk dari sebuah kurva ekspnen dalam struknya, demikian juga pada konsep pertumbuhan dan peluruhan dalam ilmu Fisika, Biologi, kimia maupun ekonomi. Misalnya kecepatan pertumbuhan suatu bakteri pada keadaan tertentu berbanding lurus dengan banyaknya bakteri pada saat itu. Kecepatan reaksi zat-zat kimia sebanding dengan banyak zat pada saat itu. Banyaknya kegunaan fungsi eksponen ini mendorong rasa ingin tahu kami lebih banyak mengenai penerapannya. Dalam presntasi kami ini akan lebih banyak di bahas mengenai fungsi eksponen asli. Penurunan dan pengintegrannya, sehingga rekan-rekan mahasiswa lebih mengenal dan mampu menerapkan masing-masing teorema eksponen mulai dari bilangan sederhana yaitu bilangan asli, sehingga nantinya mampu menelaah permasalahan kompleks,dengan dasar yang kuat.
1.2 Rumusan Masalah
Bagaiman sesungguhnya Definisi fungsi eksponen asli?
Bagaimana definisi lain fungsi eksponen dengan berdasarkan sebuah kurva ?
Apa saja sifat-sifat fungsi eksponen asli ?
Bagainama penurunan dan persamaan deferensial fungsi eksponen?
Bagaimana rumus pengintegralan sebuah fungsi eksponen ?
Definisi formal dari fungsi eskponen asli ?
1
1.3
Tujuan:
Rekan-rekan mahasiswa memahami dan lebih megetahui secara pasti
mengenai definisi fungsi eksponen asli sejara jelas.
Rekan-rekan mahasiswa dapat mengidentifikasi definisi lain dari fungsi
eksponen asli melalui sebuah kurva.
Rekan-rekan mahasiswa dapat mengetahui dan memahami sifat-sifat fungsi
eksponen asli.
Rekan-rekan mahasiswa mengetahui penurunan dan persamaan diferensial
dari fungsi eksponen asli.
Rekan-rekan mahasiswa mangetahui rumus pengintegralan dari fungsi
eksponen asli.
Rekan-rekan mahasiswa dapat lebih mengerti mengenai difinisi formal dari
fungsi eksponen asli.
2
BAB II PEMBAHASAN MATERI
2.1
Definisi Fungsi Eksponen Asli Fungsi Eksponen Asli, Bilangan e adalah suatu bilangan real yang merupakan jawaban tunggal dari persamaan ln x = 1. Dengan Nilai e = 2,71828………. Fungsi eksponen asli adalah suatu fungsi yang didefinisikan sebagai balikan ln dan dinyatakan dengan exp. Jadi x = exp y
↔
y =
ln x.
kemudian menyusul definisi berikutnya yaitu :
• exp (ln x) = x
x˂0
• ln (exp y) = y
untuk semua
Fungsi f : R→ (0,+∞),f(x) = exadalah invers dari fungsi g : (0,+∞)→ R,g(x) = ln x. Bentuk lain dapat ditulis : y =
e x
↔ x = ln y.
Karena antara exp dan ln adalah fungsi-fungsi yang saling invers, maka grafik y = exp x adalah grafik y = ln x yang dicerminkan terhadap garis y = x. Sebelumnya telah dijelaskan huruf e menyatakan bilangan real positif, sama istimewanya seperti
π
( phi) dalam matematika, sehimgga nilai ln e = 1
Jika ada sebuah bilangan, misalkan r adalah bilangan rasional, utuk rumus yang di terapkan adalah : x e x = exp ln e x = exp ( r ln e ) = exp r
sehingga dari rumus di atas dapat ditarik kesimpulan exp r adalah identik dengan e r . Kemudian untuk mendefinisikan e x secara sederhana untuk nilai x (rasional maupun irasional) sebagai berikut: e x = exp x Dengan bepedoman kepada teorema:
• exp (ln x) = x
x
˂
0 3
• ln (exp y) = y
untuk semua y
Rumus di atas ini merupakan rumus sederhana dari definisi logaritma berbasis e.
2.2 Definisi Formal Fungsi Eksponen Asli Fungsi eksponensial e x dapat didefinisikan menurut beberapa definisi yang ekivalen, sebagai deret tak terhingga. Beberapa definisi tersebut antara lain:
e x
∞
=∑ n =0
x n n!
= 1 + x +
x 2 2!
+
x 3 3!
+
x 4 4!
+ ...
atau sebagai limit berikut ini: x = lim 1 + n →∞
n
e
x
n
Dalam definisi diatas, n! adalah faktorial dari n, dan x dapat berupa bilangan real, bilangan kompleks, ataupun konsep-konsep matematika lainnya yang kompleks, seperti matriks bujursangkar .
Nilai numerik
Untuk mendapatkan nilai numerik dari fungsi eksponensial, deret tak terhingga diatas dapat ditulis menjadi:
e
e
1 1 1 = + x + x + x + ... 0! 1! 2! 3! 1
2.3 Definisi Lain Fungsi eksponen Asli dengan Sebuah Kurva 4
Fungsi eksponen asli adalah salah satu fungsi yang paling penting dalam matematika. Biasanya, fungsi ini ditulis dengan notasi exp ( x ) ata e x , dimana e adalah basis fungsi logaritma asli yang kira-kira sama dengan 2.71828183. 1. f : x Grafik Fungsi Eksponen f : x
→ e x dengan e
>1
untuk mempermudah menggambar grafik fungsi eksponen y = dicontohkan grafik fungsi eksponen y = 2 x , x
e x
dengan
∈ R . Terlebih dahulu kita pilih beberapa titik yang
terletak pada grafik tersebut. Tabel: Y = 2 x x
…
…
-3
-2
-1
0
1
2
3
…
…
…
y
…
…
1
1
1
1
2
4
8
…
…
…
8
4
2
Grafiknya dapat dilihat pada gambar berikut :
Y
Y = 2 x 4
2
-2
-1
0
1
berikut
2
X
5
Dari gambar di atas dapat di simpulkan
Y =
x1
e x
>x
dengan e
2
maka
e
x
> 1 adalah fungsi monoton naik sebab jika 2
>
e
x
1
Dalam bentuk yang lebih umum pada pertidaksamaan dapat dinyatakan sebagai berikut :
Jika
e > 1 dan
Jika
e > 1 dan e f ( x )
≥ e g ( x )
, maka f ( x )
≤ e g ( x )
≥ g ( x)
, maka
f ( x ) ≤ g ( x) Jika x lebih kecil dari 1, maka ekspresi diatas akan menemukan nilai numerik fungsi pada titik yang dicari dengan cepat.
Contoh Soal :
Tentukan batas-batas nilai x yang memenuhi pertidaksamaan eksponen dibawah ini : 1) 2 2) 6 x − 4 x −3
3)
> 36 > 9 x −2
32 x = 2
Penyelesaian :
1)
> 16
4 x
→ 4 x > 4 2 x → x > 2 2.
6 x
2
− 4 x −3
< 36
2
⇔ 6 x −4 x −3 < 6 2 ⇔ x 2 − 4 x − 3 < 2 ⇔ x 2 − 4 x − 3 − 2 < 0 ⇔ x 2 − 4 x − 5 < 0 ⇔ ( x − 1)( x − 5) Garis bilangan dapat digambarkan : 6
Dengan x = 1 atau x = 5 ++++
--------------1
++++ 5
Daerah hasil
1, 5
Sehingga hp =
3.
3
+
2 x 2
1
⇔ 32
( 2 x + 2 )
2 x + 2
⇔3
2 2 x + 2
⇔3
>9
2
x
−2
> 3 2( x −2)
> 3 2( x −2) > 3 2 x−4
Karena persamaan eksponen diatas sudah sama paka tinggal diambil pangkatnya dan sama-sama di kalikan dengan 2 untuk merubahan bentuk pecahan :
⇔ 2 x + 2 > 4 x − 8 ⇔ 2 x − 4 x > −8 − 2 ⇔ −2 x > −10 sama-sama dikalikan dengan -1, sehingga persamaannya menjadi positif dan tandanya pertidaksamaanya menjadi berubah :
⇔ 2 x < 10 ⇔ x < 5
7
Grafik Fungsi Eksponen y = e x dengan 0 < e < 1 Gambar Grafik, dengan y = 2 x , Dengan x ∈ R Jawab : Terlebih dahulu dubuatkan tabel sebagai berikut: X … y …
-3 8
-2 4
-1 2
0 1
1 1
2 1
3 1
2
4
8
… …
Gambar grafiknya dapat dibuat :
x
1 y = 2
Y 4 3 2 1 -2
-1
1
X 2
Dari gambar dapat disimpulkan :
Y= a x dengan 0 < a sebab ika x
> x
< 1 adalah fungsi monoton turun,
maka a x2 < a x1
Dalam bentuk yang lebih umum dalam pertidaksamaan dapat dinyatakan sebagai berikut :
Jika 0 < a
8
< 1 dan a p ≥ a q maka
p ≤ q jika 0 < a
< 1 dan a p ≤ a q maka
Contoh Soal :
Tentukan batas-batas nilai x yang memenuhi persamaan berikut : x +1
2 x+4
1 1 a) > 3 9 x 2 + 3 x +
1 b) 4
7 2
x+2
1 < 8
Penyelesaian : x +1
a.
2 x+4
1 > 1 3 9 x +1
2 x + 4
1 1 ⇔ > 2 3 3 ⇔ 3 −1( x+1) > 3 −2( 2 x + 4 ) ⇔ −1( x + 1) > −2(2 x + 4) ⇔ −1 x + 1 > −4 x + 8 Untuk merubah pertidaksamaan menjadi positif maka kalikan kedua ruas dengan -1 sehingga tanda pertidaksamaan menjadi :
⇔ 1 x + 1 < 4 x + 8 ⇔ 1 x − 4 x < 8 − 1 ⇔ −3 x < 7 Karena pertidaksamaan masih berupa pertidaksamaan negatif maka, kembali kita rubah tanda pertidaksamaan dengan mengalikannya dengan -1 sehingga menjadi :
⇔ 3 x > −7 ⇔ x > − x 2 + 3 x +
1 b. 4
7 3 7 2
x+2
1 < 8
9
x
1
⇔ 2 2
2
+3 x +
7 2
x + 2
1 < 3 2
7 − 2 x 2 +3 x + 2 2
⇔ < 2 −3( x+ 2 ) ⇔ 2 −2 x −6 x−7 < 2 −3 x−6 ⇔ −2 x 2 − 6 x − 7 < −3 x − 6 2
karena persamaannya masih berupa persamaan negatif maka kalikan juga dengan -1, sehingga tanda pertidaksamaannya juga berubah menjadi :
⇔ 2 x 2 + 6 x + 7 > 3 x + 6 ⇔ 2 x 2 + 6 x − 3 x + 7 − 6 > 0 ⇔ 2 x 2 + 3 x + 1 > 0 ⇔ ( 2 x + 1)( x + 1 > 0) 1
⇔ x = − ∨ x = −1 2
Dapat dibuat garis bilangannya : ++++ Daerah hasil
---------------
++++
−
-1
1
daerah hasil
2
Daerah hasil harus menunjukan himpunan sebagai berikut : x < -1 atau x > -
1 2
karena sesuai ketentuan, dimana nilai x harus lebih besar dari pada 0.
2.4 Sifat-Sifat Fungsi Eksponen Asli Dengan menggunakan logaritma natural, fungsi eksponensial yang lebih generik dapat didefinisikan. Fungsi
e x
= e x ln a
yang terdefinisikan untuk eksponensial dengan basis
e >0,
dan semua bilangan real x , disebut juga fungsi
e.
Perlu diperhatikan bahwa persamaan tersebut berlaku pula :
10
= e1 = e x
e x ln e
Fungsi eksponensial dapat "menterjemahkan" antara dua macam operasi, penjumlahan dan pengkalian. Ini dapat dilihat dari rumus-rumus eksponen sebagai berikut:
e e e e
0
1
x
=1 =a + =e e = (e ) y
x
xy
x
y
y
Rumus-rumus diatas berlaku untuk semua bilangan real positif a dan b dan semua bilangan real x dan y. Ekspresi yang mengandung pecahan dan pengakaran pada umumnya dapat disederhanakan dengan menggunakan notasi eksponensial, karena:
1
e
=e
−1
dan, untuk semua a > 0, bilangan real b, dan bilangan bulat n > 1:
n
eb
b
= (n e ) = e n b
2.6 Turunan dan Persamaan Diferensial
Turunan
e x oleh karena exp dan ln adalah fungsi-fungsi yang saling
berkebalikan maka fungsi exp x = untuk Dx
e x
e x
terdefinisi. Untuk menentukan sebuah rumus
dengan menggunakan teorema sebagai ```` x = ln y
Sekarang turunkan kedua ruas terhadap x. Dengan menggunakan aturan rantai kita memperoleh : 1=
1 y
Dx y
11
e x
Dx y = y =
Dari rumus di atas kita dapat tarik kesimpulan bahwa :
e x
adalah turunannya s endiri, sehingga dapat dirumuskan sebagai berikut :
D x e u e x = e x Jadi y =
e x
Apabila u =
adalah penyelesaian persamaan diferensial yˈ = y
f ( x ) terdefisiansi, maka menurut aturan rantai : u D x e u = e D x u
Contoh Soal :
Tentukan Dx Penyelesaian : sesuai dengan rumus adalah :
D x e u = e u D x u Dxe x
2
ln x
= e x
2
ln
Dx( x 2 ln x )
x
misalkan : uv = x 2 ln x u = x 2 v = ln x sehingga : untuk mengerjakan soal diatas ada ketentuan untuk penulunan dari dua suku yaitu :
Uv =u v l
+ u l v
maka jawaban dari pertanyaan diatas adalah : 12
2
uv = x .
Jadi : Dxe x
2
ln x
= e x
= e
2
ln
x
2
x
+ 2 x ln x
Dx( x 2 ln x )
x
x 2 ln x
= xe
1
x 2 . 1 + 2 x ln x x
ln x
(1 + ln ) x
Pentingnya fungsi eksponensial dalam matematika dan ilmu-ilmu lainnya adalah karena sifat turunannya.
d dx
e x
= e x
Dengan kata lain, fungsi e x jika diturunkan, hasilnya adalah fungsi itu sendiri. Sifat "ketidakmempanan untuk diturunkan" ini sangat unik, karena hanya fungsi inilah yang mempunyai sifat seperti ini. Sifat fungsi ini dapat diinterpretasikan sebagai berikut:
•
Kemiringan (gradien) grafik fungsi ini pada semua titiknya sama dengan nilai fungsi pada titik tersebut.
•
Bertambahnya nilai fungsi pada x sama dengan nilai fungsi pada x
•
Fungsi ini merupakan solusi dari persamaan diferensial yˈ= y.
Dalam ilmu-ilmu terapan, banyak persamaan diferensial yang menghasilkan fungsi eksponensial, antara lain persamaan Schrödinger , persamaan Laplace, dan persamaan untuk gerakan harmonis sederhana. Untuk fungsi eksponensial dapat dirumuskan ; d dx
= ( l n x ) a
x
jadi, semua fungsi eksponensial adalah perkalian turunannya sendiri dengan sebuah konstanta. 13
2.6 Pengintegralan Fungsi Eksponen Asli Rumus Dx
e x secara otomatis menghasilakan integral
∫
e x dx = e x + C atau dengan u
mengganti : x
∫
e x du = e u + C
Contoh Soal Pengintegralan :
Tentukan : Penyelesaian
∫ e
−4 x
dx
: Andaikan u= -4x, sehingga du = -4x dx. Maka -
1 4 -
(-4 dx) = -
1 4
1 4
∫
e u du
=-
1 4
u
e du
e −4 x + C
2.7 Evaluasi Soal- Soal : 1. Tentukan Batas-batas nilai x yang memenuhi persamaan exsponen berikut :
a.
4
b.
3
+
3 x 1
x
<
−x
> 16
2
( 27 )
x− 1
3 x −1
c. 16
x −1
2 d. 7 x −1
1 > 2 x
> 49
+1
14
2. Tentukan batas-batas nilai x yang memenuhi pertidaksamaan exsponen berikut : −
2 x 2
a)
1 2
b)
1 3
x
2
+4 +1 x
x 2 + 6 x +1
1 5
c)
3. Carilah
+
3x 4
1 > 25
1 ≤ 3
x
+5
x +3
1 ≥ 125
dari persamaan berikut :
a) y =
e
3 ln x
b) y = e x + 2 c) y=
e x
2
ln x
4. Carilah Integral- integral berikut ini :
a)
∫
e 3 x +1 −1
b)
e x x 2
∫ 1
c)
∫
e 2 x +3
0
JAWABAN EVALUASI SOAL- SOAL :
15
1. a) x =
b) x =
c) x =
3 5 3 2 5 7
d) x 1 = -1
x2 = 3
+++
---
+++
-1
3
HP = { -1 , 3 }
2. a) x =
−
10 4
b) x 1 = -4 +++
x2 = 1 ---
+++
-4
1
HP {-4 , 1 } d) x 1 =
−3−
41
x2 =
2
+++
---
−3−
41
2 +++
−3+
41
2
41
2
HP = {
3.
−3+
−3− 2
41
,
−3+ 2
41
}
a) e x +2 b) c)
x +2
e
2
x + 2
2x 16
4.
a)
b)
1 3
e
e
−1
x
x
( x + 3)
+c
c) -
BAB III PENUTUP 3.1Kesimpulan
17
Dari penjelasan yang telah dijabarkan dapat disimpulakan, bahwa Fungsi Eksponen Asli merupakan, balikan dari ln yang dinyatakan dalam bentuk exp dan dilambangkan dengan huruf e yang nilainya sebesar = 2,71828……….dalam penerapannya fungsi eksponen ini memiliki sifat-sifat seperti :
em x en = em+n
(em)n = (e)mn
em/en = em-n
(e x b )n = en x bn
(e/b)n = en/bn Dalam penerapannya fungsi eksponen asli dapat berupa turunan dan persamaan
diferensial dan juga berupa pengintegralan yang telah dijelaskan. Selain itu fungsi eksponen juga sangat memegang peranan penting dalam kehidupan manusia setiap harinya, baik yang dilakukan secara sadar maupun tidak sadar salah satunya, penerapannya adalah pada penerapan konsep alat musik yang menggunakan dawai atau dibentuk dari kolom udara, merefleksikan bentuk dari sebuah kurva ekspnen dalam struknya, demikian juga pada konsep pertumbuhan dan peluruhan dalam ilmu Fisika, Biologi, kimia maupun ekonomi. pada Hal itulah yang menyebabkan fungsi eksponen ini sangatlah istimewa.
3.2 Saran Dengan banyaknya fakta-fakta membuktikan betapa bermanfaatnya fungsi eksponen bagi kehidupan manusia setiap harinya, sangat diharapkan kita sebagai pelajar dalam tingkatan mahasiswa, wajib memahami betul rumus-rumus dan juga mampu mengerjakan persoalan-persoalan
seputaran fungsi eksponen ini, sehinga nantinya kita mampu
menularkannya kepada calon peserta didik. Terlebih mampu menerapkannya dalam kehidupan sehari-hari, serta mampu menemukan inovasi-inovasi baru, untuk mempermudah kehidupan manusia. DAFTAR PUSTAKA
Purcell Edwin J, Dale Parbeg, Sreven E. Rigdon. Kalkulus jilid I . Jakarta: Erlangga
Mandra ketut, Drs. Matematika kurikulum 2004:UD Laksamana 18
hppt://www.nrel.com.
Nama-nama yang berpatisipasi dalam presentasi : 1. Ni Nyoman diantari (17) Membantu Menambahkan garis bilangan dan menjawab evaluasi soal no : 1. C 2. Dwi Ayuni (15) 19
Pertanyaan : Bagaimana penurunan rumus dari e 2 ln x 3. Wijaya (09) Menambahkan tentang pengintegralan 4. Nidayanti (49) Pertanyaan : Gambarlah garis bilangan pada contoh soal pertidaksamaan dan menjawab soal no 3a
20
