1. FUNCŢII INJECTIVE
Considerăm funcţia
şi
Studiind diferenţa valorilor funcţiei în
.
,
se observă că: - dacă
atunci
- dacă
, atunci
Aşadar, funcţia
.
are urmatoarea proprietate: „oricăror argumente diferite le
corespund valori ale funcţiei diferite.“
Figura 1 Această proprietate este specifică unei clase importante de funcţii.
1.1. Definiţie. Funcţia
se numeşte funcţie injectivă (sau
injecţie) dacă pentru oricare două elemente rezultă că
.
Revenind la funcţia de gradul întâi putem spune că aceasta este injectivă.
1
cu proprietatea că
Funcţia de gradul al doilea nu este injectivă întrucât pentru orice
avem
.
Definiţia funcţiei injective este echivalentă cu propoziţia următoare. 1.2. Propoziţie. Funcţia oricare ar fi
este injectivă dacă şi numai dacă
cu proprietatea că
rezultă că
.
Demonstraţie. Proprietatea de injectivitate a fost definită ca o implicaţie de forma
în care
şi
sunt propoziţiile următoare: şi
.
Propoziţia 1.2 rezultă din echivalenţa logică dintre propoziţia contrara ei
şi
.
■
O condiţie suficientă ca o funcţie să fie injectivă este dată în propoziţia următoare. 1.3. Propoziţie. Dacă funcţia
este strict monotonă pe
atunci
este funcţie injectivă. Demonstraţie. Fie . Atunci dacă
cu proprietatea că dacă
. Presupunem că
este strict crescătoare, respectiv
este strict descrescătoare. Aşadar
şi deci
injectivă.
este ■
În propoziţia următoare este dată o caracterizare geometrică a funcţiilor numerice injective (obţinută din definiţie). 1.4. Propoziţie. Funcţia
cu
numai dacă orice paralelă la axa reprezentată pe axa
este injectivă dacă şi
dusă prin punctele mulţimii
, intersectează graficul lui
,
în cel mult un punct.
În propoziţia următoare este dată o caracterizare a funcţiilor numerice injective cu ajutorul operaţiei de “simplificare”.
2
1.5. Teoremă. Funcţia pentru orice mulţime
este injectivă dacă şi numai dacă
şi orice funcţii
cu
rezultă
. Demonstraţie. Presupunem că pentru orice pentru orice
este injectivă şi că
. Funcţia
, ceea ce înseamnă că
fiind injectivă rezultă
.
Invers, să presupunem că pentru orice mulţime cu , funcţiile
avem
şi că
astfel încât astfel
, adică
şi orice funcţii
nu este injectivă. Atunci există
. Pe mulţimea
,
,
definim . Atunci avem şi .
Înseamnă că
şi
, ceea ce vine în contradicţie cu presupunerea de
mai sus.
■
2. FUNCŢII SURJECTIVE
Fie funcţiile
şi
diagramelor:
Figura 2
3
date cu ajutorul
Din studiul diagramelor se observă că fiecare element al mulţimii codomeniul funcţiei valoare a funcţiei
, este valoare a funcţiei
, în timp ce elementul
,
nu este
.
Proprietatea funcţiei
ca fiecare element al codomeniului să fie valoare a
funcţiei, este caracteristică unei clase speciale de funcţii. 2.1. Definiţie. Funcţia
se numeşte funcţie surjectivă (sau
surjecţie) dacă pentru orice element y B există un element x A cu proprietatea că
.
Revenind la funcţiile f şi g definite prin diagramele din figura 1, rezultă că funcţia
este funcţie surjectivă, iar funcţia
nu este funcţie surjectivă.
Funcţia de gradul întâi
este funcţie
injectivă. O funcţie
nu este surjectivă dacă există y B cu proprietatea că
pentru orice x A avem
.
Având o funcţie
şi submulţimile există
se numeşte imaginea mulţimii
prin
se numeşte preimaginea mulţimii
, mulţimea
astfel încât , iar mulţimea
.
Propoziţia următoare oferă caracterizări ale funcţiilor surjective. 2.2. Propoziţie. Următoarele afirmaţii sunt echivalente: a) Funcţia b)
este surjectivă; ;
c) Pentru orice y B ecuaţia soluţie în
cu necunoscuta
.
d) Pentru orice y B avem
.
4
are cel puţin o
Demonstraţie. Presupunem că
este surjectivă. Atunci oricare ar fi y B
există un element x A cu proprietatea că şi deci
. Cum
, ceea ce înseamnă că
rezultă că
şi am demonstrat implicaţia a)
b) . Dacă
atunci orice element
există x A încât
din
. Astfel are loc implicaţia b)
Din existenţa soluţiei ecuaţiei şi deci c)
că
şi deci
c) .
pentru orice y B rezultă că
d).
Mai trebuie demonstrat că d) B . Cum
aparţine mullţimii
a). Pentru aceasta considerăm un element y
rezultă că există
astfel încât
ceea ce înseamnă
este surjectivă.
■
O caracterizare geometrică a funcţiilor numerice surjective (obţinută din definiţie) este dată în propoziţia următoare. 2.3. Propoziţie. Funcţia
cu
numai dacă orice paralelă la axa reprezentată pe axa
este surjectivă dacă şi
dusă prin punctele mulţimii
, intersectează graficul lui
,
în cel puţin un punct.
În propoziţia următoare este dată o caracterizare a funcţiilor numerice surjective cu ajutorul operaţiei de “simplificare”. 2.4. Teoremă. Funcţia pentru orice mulţime
este surjectivă dacă şi numai dacă
şi orice funcţii
cu
rezultă
. Demonstraţie. Presupunem că
este surjectivă. Atunci oricare ar fi y B
există un element x A cu proprietatea că rezultă că pentru orice pentru orice y B avem
. Atunci din , ceea ce înseamnă că
. Invers, să presupunem că pentru orice mulţime cu există
astfel încât
avem
şi că
. Presupunem că
5
şi orice funcţii nu este surjectivă. Atunci . Definim funcţiile
astfel
şi
. Atunci pentru
orice x A avem şi . Fie
. Deci , ceea ce constituie o contradicţie. Considerăm acum cazul . Din
. Din
rzultă că există două aplicaţii diferite
avem
, ceea ce reprezintă iarăşi o
contradicţie. ■
3. FUNCŢII BIJECTIVE 2.1. Definiţie.
Funcţia
se numeşte funcţie bijectivă (sau
bijecţie) dacă este injectivă şi surjectivă. Un exemplu de funcţie bijectivă este funcţia de gradul întâi .
Caracterizarea geometrică a funcţiilor numerice bijective este dată în propoziţia următoare. 3.2. Propoziţie. Funcţia
cu
numai dacă orice paralelă la axa reprezentată pe axa
este bijectivă dacă şi
dusă prin punctele mulţimii
, intersectează graficul lui
,
exact într-un punct.
Alte caracterizări ale funcţiilor injective, surjective, bijective sunt date în teoremele următoare. 3.3. Teoremă. Funcţia există o funcţie
este injectivă dacă şi numai dacă , unde
este funcţia identică
Demonstraţie. Presupunem că există o funcţie
astfel încât
a mulţimii
astfel încât
.
. Fie
două funcţii pentru care avem
6
. Atunci
, adică 1.5,
. Rezultă că
şi conform teoremei
este funcţie injectivă. Invers, presupunem că
este funcţie injectivă şi fie
. Dfinim funcţia
astfel
, pentru care
obţinem
, adică
Funcţia
.
■
cu proprietate din teorema 3.3 se numeşte retractă (inversă la
stânga) a funcţiei .
3.4. Teoremă. Funcţia există o funcţie mulţimii
este surjectivă dacă şi numai dacă
astfel încât
, unde
este funcţia identică a
. Demonstraţie. Presupunem că există o funcţie . Fie
două funcţii pentru care avem , adică
2.4,
astfel încât
. Rezultă că
. Atunci şi conform teoremei
este funcţie surjectivă. Invers, presupunem că
un
astfel încât
este funcţie surjectivă. Pentru fiecare y B alegem şi definim funcţia
funcţie obţinem
Funcţia
, , adică
. Pentru această .
■
cu proprietate din teorema 3.4 se numeşte secţiune (inversă la
dreapta) a funcţiei .
3.5. Corolar. O funcţie
este bijectivă dacă şi numai dacă are o
retractă şi o secţiune. 3.6. Corolar. a) O retractă a unei funcţii este surjectivă, iar o secţiune este injectivă.
7
b) Dacă
este funcţie bijectivă,
este retractă a lui
şi
este scţiune a lui
este inversa lui
, atunci
,
.
3.7. Exemplu. Să se arate că funcţia
,
este
bijectivă. Rezolvare. Considerăm
cu
şi mai departe deducem
. Atunci
, ceea ce înseamnă că
este
injectivă. Fie acum avem
. Determinăm
încât
. Rezolvând această ecuaţie în necunoscuta
Arătăm că
, adică
contradicţia
. Înseamnă că
În consecinţă
. Deci trebuie să găsim
. În adevăr presupunând că
. am ajunge la
este surjectivă.
este bijectivă.
□
3.8. Exemplu de funcţie care este injectivă şi nu este surjectivă. . 3.9. Exemplu de funcţie care este surjectivă şi nu este injectivă. .
8
