INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR DE MISANTLA INGENIERÍA INDUSTRIAL
MATERIA
Calculo vectorial ACTIVIDAD
Investigación de la Unidad III DOCENTE
Eduardo Enrique Salazar ALUMNO
Fernando Alarcón Abad GRUPO
401 A FECHA DE ENTREGA
Martes 30 de abril de 2013
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ÍN D IC E Introducción ………………………………………………………………… ………………………………………………………………… .……….. Pág. 2
3.1 3.1 Definición de función vect orial de una variable real, do m inio y
graficación……………………………………………………………………… .……. Pág. 3
3.2 3.2 Graficación d e cur vas en fu nc ión del parámetr o t …………………… …………………….. …. P ág . 5
3 .3 Derivación Derivación de funciones vectoriales y sus propiedades…………… propiedades…………… .. …. P ág . 1 0
3 .4 Integración de funciones vectoriales……………………………………… vectoriales………………………………………... .. . P ág . 13 1 3
3 .5 Longitud de Arco……………………………………………… Arco……………………………………………………………… ………………... .. . Pá P ág . 16 1 6
3 .6 Vector tangente, normal y binormal………………………… binormal…………………………... .. .……………. Pág. 19
3 .7 Curvatura……………………………………………………… . ……………….. Pág. 22
3 .8 Aplicaciones………………………… Aplicaciones……………………………………………….… …………………….…………………. ………………. Pág. 2 5 5
C onclusión……………………………………………………………… onclusión………………………………………………………………. …. ……… Pág. 2 7 7
B ib lio g ra fía …………………………………………………………… . …….….…. Pág. 2 8 …………………………………………………………… 8
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INTR OD UCC IÓN
Una función con valores vectoriales también se conoce como una función vectorial, es una función matemática de una o más variables cuyo rango es un conjunto multidimensional de vectores o de dimensión infinita vectores. A menudo, la entrada de un vector-función con valores es un escalar, pero en general la entrada puede ser un vector de dos variables reales o complejos .En esta investigación se abarcaran los temas que conforman la tercera unidad de cálculo vectorial, con el propósito de conocer y razonar los conocimientos sobre las funciones vectoriales de una variable real. Lo primero que se presentara en esta investigación serán los conceptos sobre que son las funciones y la forma en que estas se grafican, también se hablara sobre la graficación de curvas, derivación e integración de funciones vectoriales, longitud de arco, vectores tangentes normales y binormales y la curvatura. Al final de cada tema se presentara un ejemplo lo cual será una aplicación sobre el tema estudiado para tener un enfoque más amplio sobre lo que se explica.
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3.
FUNCIONES VECTORIAL ES DE UNA VARIAB LE REAL 3.1.
Definición de fun ción vect orial de un a variable real, do min io y g raficación.
Una función vectorial es una función que transforma un número real en un vector:
Donde x (t ), y (t ) y z (t ) son funciones llamadas funciones componentes de variable real del parámetro t. Así, se dice que F es continua, derivable o integrable, si lo son x (t ), y (t ) y z (t ). La función vectorial también se puede encontrar representada como ( ). Por tanto, se llama función vectorial a cualquier función de la forma:
DOMINIO El dominio de una función vectorial está dado por la intersección de los dominios de cada una de las funciones componentes, es decir:
REPRESENTACIÓN GRÁFICA
La representación grafica de una función vectorial es aquella curva C que describen los puntos finales de los vectores que forman parte de la función para toda t que pertenece al dominio de la función.
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Un punto de la curva C tiene la representación cartesiana (x,y,z) donde: x= 1
y= 2( )
z= 3( )
Las cuales se llaman ecuaciones paramétricas de C. Al asignar números reales a t se elimina el parámetro y se obtienen ecuaciones cartesianas de C. : Ejemplo
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3.2.
Graficación d e curv as en fu nc ión del parámetro t
El sistema de coordenadas polares no es muy diferente de un sistema de coordenadas Cartesianas. Mientras en un sistema de coordenadas Cartesianas tenemos una cuadrilla rectangular de rectas verticales y horizontales que representan los ejes x e y respectivamente, en un sistema de coordenadas polares tenemos un polo en el centro el cual es equivalente al origen en el sistema de coordenadas Cartesianas, y tenemos muchos círculos concéntricos que tienen su origen en el polo y algunas rectas que pasan por el polo formando ángulos diferentes en el mismo. La longitud de estas rectas forma la coordenada radial del sistema, es decir, „r‟ y el ángulo en el cual subtienden con respecto al eje x forma las coordenadas polares del sistema, esto es, t, el cual está en radianes. Por lo tanto, el sistema de coordenadas polares está representado por un par de coordenadas tales como (r, t).
Una curva polar sólo puede ser graficada en un sistema de coordenadas polares para alcanzar precisión. Trazar una curva polar es muy parecido a trazar una curva Cartesiana.
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Es necesario tomar en cuenta dos técnicas mientras grafica una curva polar, la primera, y bastante frecuente, es el trazado de los puntos y, la segunda, comprobar la simetría de la curva. La mayor parte de las curvas polares son simétricas en los cuadrantes opuestos y por tanto, pueden graficarse completamente solo por simetría. El trazado del punto se realiza de forma similar al del sistema de coordenadas Cartesianas. En un sistema de coordenadas Cartesianas, se calcula sencillamente la salida de la curva para diferentes valores de x, y en un sistema de coordenadas polares calculamos la salida de la curva para diferentes valores de t. La salida son los diferentes valores de r. Existen algunas pruebas que pueden realizarse con el fin de comprobar la simetría de la curva: 1. Calcule la salida de la curva para un valor opuesto de t, el cual ya esté trazado. Si el valor resulta ser equivalente a la salida del valor real de t, entonces la curva es simétrica respecto al eje polar. 2. Sustituya t con un valor opuesto a ella y, r con un valor opuesto al mismo. Si el resultado es una ecuación equivalente como la anterior, la curva dada es simétrica con respecto a t = / 2. 3. Sustituya a r con un valor opuesto al mismo. Si el resultado es una ecuación equivalente igual a la anterior, la curva dada es simétrica alrededor del polo. Existen varias curvas que son estudiadas fundamentalmente bajo este sistema. Algunas de estas son los cardiodes, los caracoles de Pascal, la Rosa polar, la espiral equiangular etc. Tracemos ahora una curva a partir la ecuación r = 3 cos (2t) Primeramente, debemos tratar de analizar la ecuación. Las curvas polares tienen un patrón fijo y mediante el análisis de la ecuación dada, puede identificarse el tipo de curva. La ecuación anterior es una Rosa polar. 6
Las Rosas polares también pueden tener un número par o impar de pétalos. Con el fin de determinar el número de pétalos que contiene el gráfico, necesitamos calcular a n. Si n es un par entero, entonces la curva tendrá 2.n número de pétalos, de lo contrario contendrá un número n de pétalos. En el ejemplo anterior tenemos que n = 2 por lo tanto, la curva también tendrá2.n número de pétalos, es decir, 4. Comprobemos la simetría de la curva, El próximo paso es calcular la función para los diferentes valores de t. GRAFICACIÓN DE CURVAS EN FUNCIÓN DELPARÁMETRO "T"
Curvas en el espacio y funciones vectorial. En la sección de curvas paramétricas definimos una curva C en el plano como un conjunto de pares ordenados (f (t), g (t)) junto con unas ecuaciones paramétricas x = f (t) e y = g (t); Donde f y g son funciones continuas de t en un intervalo I. Esta definición admite una extensión natural al espacio tridimensional, como sigue. Una curva C en el espacio es un conjunto de tripletas ordenadas (f (t), g (t), h (t)) junto con unas ecuaciones paramétricas x = f (t) , y = g (t) y z = h (t) Donde f, g y h denotan funciones continuas de t en un intervalo I. Antes de ver algunos ejemplos de curvas en el espacio, introduciremos un nuevo tipo de funciones, las funciones vectoriales. Aplican los números reales en vectores, es decir, son funciones con valores vectoriales. DEFINICIÓN DE FUNCIONES VECTORIALES Se llama función vectorial a cualquier función de la forma r (t) = f(t) i + g(t) j Plano r (t) = f(t) i + g(t) j + h(t) k Espacio Donde las funciones componentes f, g y h son funciones del parámetro t con valores reales. Las funciones vectoriales se denotan con frecuencia por: 7
r (t) = r (t) = Debe quedar clara la distinción entre la función vectorial r y las funciones de variable real f, g y h. Todas son funciones de la variable real t, pero r(t) es un vector mientras que f (t),g (t) y h (t) son números (para cada valor especificado de t ). Ejemplo:
Esbozar la gráfica C representada por la intersección del semielipsoide
en x > 0
y el cilindro parabólico y = x 2 . Y hallar una función vectorial que represente esa gráfica
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3.3.
Derivación de funcion es vectoriales y sus prop iedades.
Sea la función vectorial entonces diremos que ′ es la derivada de dicha función y se
define mediante:
Para valores cualesquiera de t para los que existe el límite. Cuando el límite existe para t = a se dice que es derivable en t = a. Teorema Sea una función vectorial y supongamos que sus funciones componentes f ,g y h son todas derivables para algún valor de t , entonces es derivable en ese valor de t y su derivada está dada por:
PROPIEDADES
Supongamos que r (t ) y s(t ) son funciones vectoriales derivables, que f (t ) es una función escalar también derivable y que c es un escalar cualquiera, entonces:
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Cuando una función vectorial definida en un intervalo abierto de R es derivable indefinidamente y su primera derivada no es nula, decimos que se trata de una curva regular. Al vector y
se le llama vector de posición de la curva y a los vectores
se les llama, respectivamente, vectores velocidad y aceleración. De modo
que la rapidez en un instante t es
, es importante observar que la rapidez es un
escalar, mientras que la velocidad un vector. Al vector vector tangente a la curva
en t, y el vector
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también se le llama
: Ejemplo
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3.4.
Integración de fun cion es vecto riales .
La función vectorial
es una antiderivada de la función vectorial
, siempre y
cuando:
INTEGRAL INDEFINIDA
Si
es cualquier antiderivada de
, la integral indefinida de esta se define
como:
Donde c es un vector constante arbitrario . INTEGRAL DEFINIDA
Para la función vectorial
, se define la integral definida de la misma
TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CALCULO INTEGRAL (Regla de Barrow)
Supongamos que
es una antiderivada de
en el intervalo [a,b] diremos:
INTEGRACIÓN VECTORIAL
Si un vector a es función de un escalar t, y sus componentes son funciones integrables, se define la integral indefinida de a(t)como
De manera que, en general,
En donde c es un vector arbitrario y constante (que no depende de t). 13
La integral definida de la misma función vectorial a(t) entre los limites a y b será
De manera que, en general,
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Ejemplo:
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3.5.
Lon gitud de Arco
En matemática, la longitud de arco, también llamada rectificación de una curva, es la medida de la distancia o camino recorrido a lo largo de una curva o dimensión lineal. Históricamente, ha sido difícil determinar esta longitud en segmentos irregulares; aunque fueron usados varios métodos para curvas específicas, la llegada del cálculo trajo consigo la fórmula general para obtener soluciones cerradas para algunos casos.
Al considerar una curva definida por una función
y su respectiva derivada
que son continúas en un intervalo [a, b] , la longitud s del arco delimitado por a y b es dada por la ecuación:
En el caso de una curva definida paramétricamente mediante dos funciones dependientes de t como punto
e
, la longitud del arco desde el
hasta el punto
se calcula mediante:
Si la función está definida por coordenadas polares donde la coordenada radial y el ángulo polar están relacionados mediante en el intervalo
, la longitud del arco comprendido
, toma la forma :
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En la mayoría de los casos, no hay una solución cerrada disponible y será necesario usar métodos de integración numérica. Por ejemplo, aplicar esta fórmula a la circunferencia de una elipse llevará a una integral elíptica de segunda especie. Entre las curvas con soluciones cerradas están la catenaria, el círculo, la cicloide, la espiral logarítmica, la parábola, la parábola semicúbica y la línea recta.
Ejemplo:
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3.6.
Vector tangente, norm al y binorm al
La tangente de una curva es una recta que intercepta la curva en un solo punto. Es conocido por nosotros a través del cálculo que mediante la diferenciación de una función se obtiene el punto tangencial para la curva de esa función. Un concepto similar es aplicable al cálculo vectorial, junto con una excepción. Como ya lo vimos anteriormente, al vector ′( ) también se le llama vector tangente a la
curva
en t,
Un vector normal es algo similar a un vector unitario, suponga que para una función (x), (t) es el vector posición, entonces el vector normal para la función dada es definida como:
Un vector binormal es un producto cruz o producto vectorial del vector normal y del vector unitario normal. Suponga que para una función (x), (t) es el vector posición, entonces el vector binormal para la función dada se define como: 19
Estos tres vectores son unitarios y perpendiculares entre sí, juntos forman un sistema de referencia móvil conocido como Triedro de Frénet-Serret.
V ec t o r n o r m a l
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Vector tangente
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3.7.
Curvatura
En matemáticas, la curvatura se refiere a cualquiera de una serie de conceptos vagamente relacionados en las diferentes áreas de la geometría. Normalmente se refiere a un concepto métrico de objetos matemáticos o geométricos. Por extensión también se usa el término para referirse a un número u objeto matemático que caracteriza la forma y magnitud de la curvatura. Más específicamente el término curvatura puede referirse a alguno de estos conceptos:
Geometría diferencial de curvas:
Geometría diferencial de curvas para curvas.
Radio de curvatura
Geometría diferencial general:
Geometría diferencial de superficies para superficies.
Tensor de curvatura
2-forma de curvatura.
Física:
Curvatura del espacio-tiempo.
Dada una curva regular F(t) se puede reparametrizar, de manera que la longitud de la curva entre dos puntos a y b coincida con la longitud del intervalo con origen en a y extremo en b; en este caso se dice que la curva está parametrizada por la longitud de arco, que llamamos s. En este caso el vector tangente siempre es unitario. Se define la curvatura k como la variación del vector tangente respecto a la longitud de arco.
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La curvatura viene a medir como se “tuerce” la curva respecto de su longitud. E sta
definición es bastante intuitiva, pero no es fácil de calcular. Para curvas, no necesariamente parametrizadas por el arco, se puede calcular como:
Si la curva está en el espacio, también se “retuerce” y para medir esto de define a la
torsión T como:
Ejemplo:
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3.8.
Aplicaciones
EN ELECTRICIDAD Y MAGNETISMO
Para determinar completamente una función vectorial necesitamos calcular tanto su rotacional como su divergencia, además de las condiciones de contorno. Por ello las ecuaciones fundamentales del electromagnetismo ( ecuaciones de Maxwell ) se expresan en términos de la divergencia y el rotacional de los campos eléctrico y magnético. Empezaremos calculando la divergencia del campo magnético a través de la ley de BiotSavart.
El integrando de esta ecuación puede descomponerse según las reglas del cálculo vectorial en la forma:
Donde los dos términos dan un resultado nulo. Por lo tanto se obtiene:
Que constituye una de las leyes generales del Electromagnetismo que establece que el campo de inducción magnética es solenoidal, es decir tiene divergencia nula en todos los puntos.
Esto significa dicho campo no tiene ni fuentes ni sumideros y por tanto, como resaltaremos posteriormente, las líneas de fuerza del campo magnético siempre son cerradas. Los polos magnéticos, equivalentes en este caso a las cargas eléctricas, no existen independientemente; siempre que hay un polo Norte ha de aparecer un polo Sur. Otra de las implicaciones del carácter solenoidal del campo de inducción es la de que existe una función vectorial de la que deriva
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Para cualquier vector A. Este vector así definido recibe el nombre de potencial vector , y su unidad en el S.I. es el Wb/m. Al igual de lo que ocurre en el caso del potencial electrostático V, el potencial vector no está unívocamente determinado puesto que si le añade cualquier magnitud vectorial de rotacional nulo se llega al mismo campo magnético B.
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CO NCL USIÓN
En esta conclusión se puede decir que las funciones vectoriales de una variable son aplicadas en los campos vectoriales que modelan el electromagnetismo, que incluye la radiotransmisión de señales, mensajes y la óptica. Así mismo mediante funciones vectoriales se modela el flujo de fluidos, usado en el movimiento de barcos, aviones, y en la meteorología incluido la predicción del clima eso por poner unos ejemplos así nos damos cuenta de la importancia de estas funciones y sus derivadas de este tema que lo conforman, y sus definiciones matemáticas las podemos apreciar al inicio de la investigación.
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B IB LIO GR A FÍA http://cursos.aiu.edu/matematicas%20superiores/pdf/tema%203.pdf http://es.scribd.com/doc/45505939/Integracion-de-Funciones-Vectoriales http://www.slideshare.net/kaizzerz/geometria-analitica-charles-h-lehmann http://www.slideshare.net/edvinogo/15-integracion-vectorial Stewart J (1999), Cálculo multivariable. México, Thomson Libro: calculo y geometría analítica tomo II Autor: Larson Roland E. Hostetler Robert P. Editorial: Grupo Editorial Iberoamericano
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