Unidad 3 Funciones Vectoriales de Una Variable Real

Funciones Funciones vectoriales de una variable real

3. Funciones vectoriales de variable real 3.1 3.1 Defn Defnic ició ión n de unc unció ión n vect vector oria iall de un una a vari variab able le real real,, domi domini nio o y grafcación

En los capítulos anteriores se estudiaron las diferentes formas de representar rectas, planos y supercies en el espacio, en esta sección se estudiara la manera de representar curvas en el espacio. En la sección 2.1 se gracaron curvas en el plano por medio de las ecuaciones paramétricas x = f (t )

y y = g (t )

de manera semejante la ecuación de una curva en el espacio esta parametrizada por tres ecuaciones x = f (t ),

y = g (t )

y

z= h(t)

(1)

donde las coordenada coordenadas s ( x,y,z x,y,z ) muestran la posición de la partícula en cualquier instante t . En cualquier posición que se encuentre la partícula eiste un vector y los puntos puntos termina terminales les de las repre represen sentac tacion iones es de posició posición n de estos estos vector vectores es determinan una curva recorrida por el punto móvil de la partícula, así que una función vectorial es aquella cuyo dominio es un conjunto de n!meros reales y su contradominio es un conjunto de vectores. 3.1 Defnición de unción vectorial

"i f , g y h son funciones funciones reales de la varia#le varia#le real t. Entonces se dene la función vectorial por medio de r (t ) = f (t )i + g (t ) j + h ( t ) k

donde t es cualquier numero real del dominio com!n de f , g y h.

Ejemlo 1

$eterminar el dominio de la función vectorial r %t & '

1 t

i+

( ) t j

118


!olución" "i f (t ) '

1

t

y g (t ) '

( ) t , entonces el dominio de r es el

conjunto de valores de t para los cuales f (t ) y g (t ) est*n denidas. f (t ) esta denida para cualquier numero real ecepto el cero y g (t ) esta denida para todo numero real menor o igual a cuatro, el dominio de r es ( −∞, ) + ( , (] . -a ecuación (#)

r %t & ' f (t )i  g (t ) j j  h ( t ) k

se deno denomi mina na ecua ecuaci ción ón vect vector oria iall y desc descri ri#e #e a la curv curva a C deni denida da por por las las correspond correspondientes ientes

ecuaciones ecuaciones paramétrica paramétricas s (1)/ así una curva puede quedar

den denid ida a por por una una ecua ecuac ción ión

vec vectori toria al

o por por un conjun njuntto de ecua ecuac cione iones s

paramétricas. 0igura .1. z P ( f (t ),g (t ),h ( t ) )

0igura .1 3urva C en el espacio tridimensional

r%t&



y

x

"i OP es el vector de posición r %t &, entonces cuando t varia, el punto etremo P descri#e la curva C. Ejemlo #

razar razar la curva que tiene la ecuación vectorial

r %t & ' 2 cos t i  2 sen t j j  t k,

 ≤ t ≤ ( π

!olución" -as ecuaciones paramétricas de la curva son x = 2 cos t,

y = 2 sen t,

z = t

119


!olución" "i f (t ) '

1

t

y g (t ) '

( ) t , entonces el dominio de r es el

conjunto de valores de t para los cuales f (t ) y g (t ) est*n denidas. f (t ) esta denida para cualquier numero real ecepto el cero y g (t ) esta denida para todo numero real menor o igual a cuatro, el dominio de r es ( −∞, ) + ( , (] . -a ecuación (#)

r %t & ' f (t )i  g (t ) j j  h ( t ) k

se deno denomi mina na ecua ecuaci ción ón vect vector oria iall y desc descri ri#e #e a la curv curva a C deni denida da por por las las correspond correspondientes ientes

ecuaciones ecuaciones paramétrica paramétricas s (1)/ así una curva puede quedar

den denid ida a por por una una ecua ecuac ción ión

vec vectori toria al

o por por un conjun njuntto de ecua ecuac cione iones s

paramétricas. 0igura .1. z P ( f (t ),g (t ),h ( t ) )

0igura .1 3urva C en el espacio tridimensional

r%t&



y

x

"i OP es el vector de posición r %t &, entonces cuando t varia, el punto etremo P descri#e la curva C. Ejemlo #

razar razar la curva que tiene la ecuación vectorial

r %t & ' 2 cos t i  2 sen t j j  t k,

 ≤ t ≤ ( π

!olución" -as ecuaciones paramétricas de la curva son x = 2 cos t,

y = 2 sen t,

z = t

119

$%lculo de varias variables

4ara eliminar el par*metro de las dos primeras ecuaciones se elevan al cuadrado los dos miem#ros de estas ecuaciones y al sumar los miem#ros correspondientes se tiene x2 + y2 = ( cos2 t + 4 sen2 t x2 + y2 = ( ( cos2 t + sen sen2 t ) x2 + y2 ' (

por lo tanto la 5élice yace completamente en el cilindro circular de radio ( con centro en el eje z . 0igura .2. t

x

y

z



2





π



2

π

2

2

π

) 2



π

π 2



π 2

2π

2

) 2 

6π 2



2

6π 2

π

) 2



π

7π



) 2 

7π

%2,,(&

 ,)2, 7   ÷ 2 

π

%2,,2&

 ,)2,π   ÷  2 %2,,&

2

0igura .2 8élice circular y ta#la de valores

(π

2

2π

2 (π

3uan 3uando do el valo valorr de t aumenta, aumenta, la curva se etiende 5acia arri#a en forma de espiral, a esta curva se le llama 5élice circular. circular. +na 5élice tiene la ecuación vectorial r %t & ' a cos t i  b sen t j  ct k de tal forma que x = a cos t,

y = b sen t y z = ct

120

Funciones Funciones vectoriales de una variable real donde a, b y c son constantes diferentes de cero, si a = b, la curva es una 5élice

circular.

"i a ≠ b la curva es una 5élice contenida completamente en un cilindro

elíptico. Ejemlo 3

razar razar la curva que tiene la ecuación vectorial  ≤ t ≤  π

r %t & '  cos t i  2 sen t j j  t k,

!olución" -as ecuaciones paramétricas de la curva son x =  cos t, y = 2 sen t, z = t

4ara eliminar el par*metro de las dos primeras ecuaciones se escri#e x



= cos t

y

y

2

= sen t

al elevar al cuadrado y sumar se tiene x 2

9

+

y2

(

=

cos t + sen t 2

2

-a curva C yace en el cilindro elíptico de ecuación x 2

9

+

y2

(

=1

-a gura . muestra muestra el cilindr cilindro o elíptic elíptico o y la ta#la de valor valores es de x, y y z para valores especícos de t . t

x

y

z









π

2



π

2

0igura .

2

π



π 2

) 2

2π





2π

π



) 

π

)  

π

π 2

121


+na c!#ica ala#eada es una curva con parametrización x = a t

y=bt2

z=ct3

donde a, b y c son constantes diferentes de cero. "ea r (t ) = ti + t 2 j + t k trazar la curva para t ≥ 

Ejemlo &

!olución" -a curva tiene las ecuaciones paramétricas x = t ,

y = t 2

y

z = t 

3omo x, y y z son positivos, la curva se encuentra en el primer octante. :l eliminar t de las dos primeras ecuaciones se o#tiene y = x2 , que es la ecuación de un cilindro que tiene como directriz una par*#ola en el plano xy

y sus

regladuras son paralelas al eje z %0igura .(&. :l eliminar el par*metro de x = t y   z = t , se o#tiene z = x , esta es la ecuación de un cilindro con generatrices

paralelas al eje y . 0igura .6.

0igura .( 3urva

0igura .6 3urva

122

Funciones vectoriales de una variable real

-a cu#ica ala#eada es la intersección de los dos cilindros. -a gura .; muestra los dos cilindros y la cu#ica ala#eada para t ≥  .

0igura .; >ntersección de las curvas y

'r%fcos de ecuaciones vectoriales con atematica

El programa
"iendo= f x la función x = f ( t ), f y la función y = g ( t ), f z la función z= h( t ),

123

$%lculo de varias variables ?t,tmin,tmax@ es el rango de valores mínimo y m*imo de la varia#le t .

razar la curva que tiene por ecuación vectorial r ( t )

Ejemlo *

=

t , t 2 , t 

para −2 ≤ t ≤ 2.

!olución" -a curva tiene las ecuaciones paramétricas x = t ,

y = t

2

y

z = t 

4or lo tanto la sintais para trazar la graca se escri#e como >nA1B='

ParametricPlot3D[{t,t2,t3},{t,-2,2}]

CutA1B=' Drap5ics$ Esta gr*ca corresponde a la cu#ica ala#eada que se trato en el ejemplo (, se o#serva que la graca muestra la curva descrita por la intersección de los cilindros y = x 2 y z = x . Ejemlo + r( t)

razar con
= cos (t i + t j + sen (t k para  ≤ t ≤ 2π .

124


!olución" -a curva tiene las ecuaciones paramétricas x = cos ( t ,

y = t

y

>nA2B=' ParametricPlot3D[{Cos[4

z = sen ( t t],t,Sin[4 t]},{t,0,2

π}]

CutA2B=' Drap5ics$ Ejercicios 3.1

En cada uno de los ejercicios 1)1, di#ujar la gr*ca de la curva C trazada por el punto etremo del vector de posición r (t ) al variar t seg!n se indica. $espués gracar con
t ≥ ,

−π

< t <

π

2. r (t ) = t i + t 2 j + t  k , (. r (t ) = t i + t 2 j + t k ,

t en  ,

≤ t ≥ (

6. r (t ) = ( t + 1) i + t j +  k ,

2 2 t en 

;. r (t ) = ;sen t i + ( j + 26 cos t k , −2π < t < 2π

7. r (t ) = t i + t j + sen t k ,

t en 

. r (t ) = t i + 2t j + et k ,

2

t en 

125

$%lculo de varias variables 9. r (t ) = et cos t i + et sen t j ,  < t < 2π

1. r (t ) = ( 1 − t ) i + t j , t ≥  FFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFF 

3.# -mites y continuidad

"i la función vectorial r (t ) descri#e a la curva C , y esta contiene a los puntos P  f ( t ) , g ( t ) , h ( t )

y ! ( a1 , a2 , a ) , las representaciones de los vectores r ( t ) y a son

respectivamente OP y O! . "i t se aproima a a, el vector OP tiende a O! , es decir el punto P se aproima al punto ! a lo largo de la curva C . 0igura .7. z

0igura .7

P  f ( t ) g ( t ) h ( t )

C

,

,

r%t&

y

 a



!( a1, a2 , a )

3.# Defnición de lmite de una unción vectorial

"ea r (t ) una función vectorial dada por r( t)

= f ( t ) i + g ( t ) j + h ( t ) k

el límite de r ( t ) cuando t tiende a a esta denido por lim r %t & ' lim f (t ) i  lim g (t ) j  lim h(t ) k t →a

 t →a



 t →a



 t →a



f (t ) , lim g (t ) , y lim h(t ) eisten. "i lim t →a t →a t →a

Ejemlo 1

"i r %t & '

tan t

r %t & i  ( t ) 2) j  2et k , encontrar lim t →0 2t 6

!olución" :l aplicar la denición .1 se tiene

126


 lim ( t ) 2) 6 j  lim 2et k lim r %t & ' lim  tan t  i  ÷   t →0  t →0   t →0   t →0  2t   al usar el 5ec5o de que tan t =

sen t cos t



 1 sen t 1    6 • • i + lim ( t − 2)  j +  ÷    t →  2 t cos t    t →

lim r (t ) = lim  t →

lim r %t & ' t →0

lim 2et k ' t →



 1 ×1 1× i  6 2 ÷ ( )2) j  2 k  

lim r %t & ' 1 i G 2 j  2 k t →0 2

3.3 Defnición de unción vectorial contin/a en un n/mero

+na función vectorial r es continua en un n!mero a si 1. r %a& eiste r %t & eiste 2. lim t→a r %t & ' r %a& . lim t→a

$e la denición anterior se concluye que una función vectorial es continua en el numero a si y solo si sus funciones componentes f , g y h son continuas en a. Ejemlo #

$eterminar los n!meros donde la función vectorial es continua

r %t & ' t 2 i  ln % t G 1 & j 

1 t − 2

k

!olución" 4uesto que t

( −∞, ∞ ) ,

2

esta denida para todos los n!meros reales

ln % t G 1& esta denida !nicamente cuando t H 1, y

1 est* denida t ) 2

en todo numero real diferente de 2, el dominio de r es ( 1,2) + ( 2, ∞ ) .

12

$%lculo de varias variables "i a es un numero del dominio de r , entonces

r %a & ' a 2 i  ln %a G 1 & j 

 1  k  a ) 2÷  

lim r %t & ' lim t 2 i  lim ln ( t − 1) j  lim  t →a t →a t →a

1  ÷ k t → a t ) 2  

:sí, lim r %t & ' r %a&, y r es continua en a, así que, la función vectorial r es continua en cada n!mero de su dominio. Ejercicios 3.#

En los ejercicios 1)6 determinar el dominio de la función vectorial. 1 1. r (t ) = i + ( − t j t

2. r (t ) = (t 2 + )i +

1 j 1 − t

−1 −1 . r (t ) = ( cos t ) i + ( sec t ) j

(. r (t ) = t 2 − 9 i + ln t −  j + ( t 2 + 2t − ) k 6. r (t ) = tan ti + ( − t 2 j +

1 k 2 + t

En los ejercicios ;)1 calcular el límite indicado si eiste ;. r (t ) = ( t − 2) i +

7. r (t ) =

t 2 − ( t − 2

j + t k ,

− 1 t + 1 i+ j + t + 1 k , t +1 t − 1

t

2

. r (t ) = sen t i + cos t j + 9. r (t ) =

1 − cos t t

sen t k, t

i + et j + e −t k ,

limr ( t ) t →2

lim r (t )

t →− 1

limr ( t ) t →

limr ( t ) t →

128

Funciones vectoriales de una variable real t 2 1 + cos t 1 − cos2 t 1. r (t ) = i+ j+ k, sen t 1 − sen t 1 − cos t

limr ( t ) t → 

FFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFF 3.3 Derivación de unciones vectoriales y sus roiedades

-a derivada r I %t & de una función vectorial r %t & se dene de la misma forma que una derivada de función real, en concreto, r I% t & '

lim ∆t →0

r (t + ∆t ) − r (t )

(1)

∆t

"iempre que dic5o limite eista. r (t ) = f (t )i + g (t ) j + h (t )k

Entonces de acuerdo con la ecuación (1) la derivada de r esta dada por r I% t & '

lim ∆t →0

r (t + ∆t ) − r (t )

' ∆lim t →0

' ∆lim t →0

∆t

 f ( t + ∆t ) i + g ( t + ∆t ) j + h ( t + ∆t ) k −

f ( t ) i + g ( t ) j + h ( t ) k

∆t

 f ( t + ∆t ) − f ( t ) i  t ∆ 

+

g ( t + ∆t ) − g ( t )

∆t

j+

h ( t + ∆t ) − h ( t )

∆t

 

k

al tomar el límite de cada componente se tiene r I% t & '

lim f ( t + ∆t ) − f ( t ) i  ∆t →0 ∆t

lim g ( t + ∆t ) − g ( t ) j  ∆t →0 ∆t

lim h ( t + ∆t ) − h ( t ) k ∆t →0 ∆t

y así se llega a la conclusión del siguiente teorema

3.1 0eorema

"i r (t ) = f (t )i + g (t ) j + h (t )k , donde f , g y h son deriva#les, entonces r ′(t ) = f ′(t )i + g ′(t ) j + h′ (t )k

129


El teorema .1 demuestra que la derivada de una función vectorial se o#tiene derivando cada componente de r I% t &. "i r I% t & eiste, se dice que r es deriva#le en t . -as derivadas tam#ién se escri#en como sigue= r I% t & '

" r "t

' $t r %t & '

" r ( t ) "t

nterretación geom2trica de la derivada vectorial

"ea, la función vectorial r (t ) = f (t )i + g (t ) j + h (t )k

donde f , g y h son funciones continuas y por lo tanto deriva#les y C es la curva determinada por r (t ) . "i OP y O# son los vectores de posición de r (t ) y r (t + ∆t ) , respectivamente, entonces P# = O# − OP corresponde a r (t + ∆t ) − r (t ) , como se muestra en la gura r %& ) r % t &

..

z

4 J r % t & r %&

 y x

0igura .

"i ∆t > , , entonces el vector

1

[ r (t + ∆t ) − r (t )] , tiene la misma dirección que

∆t

P# .

r %& ) r % t &

0igura .9.

z

4 J r%t&

r (t + ∆t ) − r (t )

∆t

r %&

 y x

0igura .9

130


"i ∆t → + , el punto # tiende a P a lo largo de C , como el vector

r (t + ∆t ) − r (t ) se ∆t

encuentra en la recta secante que pasa por los puntos P y # , el vector

r (t + ∆t ) − r (t ) de#e acercarse al vector que se encuentra so#re la recta tangente a ∆t C en P . 0igura .1.

Kecta tangente

z

4 J

r (t + ∆t ) − r (t )

∆t

r%t& r %&

 y x

0igura 1

El vector r ′(t ) , es tangente a la curva C en el punto P , este vector r ′(t ) siempre tiene su punto inicial en P y apunta en la dirección en la que se mueve el punto cuando t aumenta. -a recta tangente a C en P se dene como la recta que pasa por P y es paralela al vector tangente r ′(t ) como se muestra en la gura .11.

z

Kecta tangente

r ′(t ) 4 r%t&

 y x

131

0igura .11


t

x

y

 1

 1 ) ( )(

 1

2 

)

E1

Ejemlo 1

( 9

1 r (t ) = − t (i + t 2 j , gracar la curva C determinada

(

(

);(

"i

(

1;

por r (t ) y trazar los vectores correspondientes a r (t ) y r ′(t ) en t = 2

r I %2&

4

r %2&

0igura .12

!olución" 4ara construir la gr*ca se elimina el par*metro en x = −

1 ( t , (

y = t 2

y se o#tiene

y =

−(x

Esta ecuación representa una par*#ola 5orizontal que a#re 5acia la izquierda. En la siguiente ta#la aparecen las coordenadas de los puntos de C que corresponden a valores de t . "e sustituye t = 2 en r (t ) para o#tener el vector de posición correspondiente a OP r (2) = −

1 ( (2) i + 22 j (

132

Funciones vectoriales de una variable real r (2) = −( i + ( j

$erivando r (t ) se tiene r ′(t ) = −t  i + 2t j

se sustituye t = 2 en r ′(t ) y se o#tiene un vector con punto inicial en P y punto nal en ( −12, ) , como se muestra en la gura .12.

-as derivadas de orden superior de funciones vectoriales se denen de manera semejante a las derivadas de orden superior para funciones reales. $e este modo si f , g y h tienen segunda derivada entonces r ′ (t ) = f ′′(t )i + g ′′(t ) j + h′′(t )k

Ejemlo #

(

2

3alcular

(#) r ′(t )

y

r ′′(t )

de

la

función

vectorial

r (t )

'

)

t )  i  ( 2t 1) j

!olución" r ′(t ) ' 2 t i + 2 j

r ′ (t ) = 2 i

$urva suave

-a parametrización de la curva representada por la función vectorial r (t ) = f (t )i + g (t ) j + h (t )k

es suave en un inérvalo a#ierto > si f ′ , g ′ y h′ son continuas en > para todos los valores de t en ese intervalo. Ejemlo 3

Encontrar

los

intervalos

donde

la

curva

dada

por

r (t ) = 2cos t i + 2sen t j , , ≤ t ≤ 2π , es suave.

133


!olución" Empleando la regla de la potencia

" "x

n

[ f ( x )] = n [

f ( x )]

n −1

f ′( x ) , se

tiene que la derivada de la función vectorial es r ′(t ) = ( ;cos2 t sen t ) i + ( ;cos t sen 2t ) j

En el intervalo cerrado [ , 2π ] los !nicos valores de t para los que r ′(t ) =  i +  j

son

t = ,

π

2

,π ,

π , 2π , entonces la curva es suave en los intervalos a#iertos 2

 , π , π    π  π   2÷  2 ,π÷ , π , 2÷ y  2 , 2π ÷ , como se muestra en la gura .1.       t

=

π

2

t = π

t = 

t

=

0igura .1 -a curva deja de ser suave en los puntos de intersección con los ejes.

1π 2

-a curva de la gura .1 deja de ser suave en los puntos donde tiene un cam#io #rusco de dirección, estos puntos se llaman c!spides o nodos. 3. # 0eorema

"i r 1 y r 2 son funciones vectoriales deriva#les, $ es un escalar y f (t ) es una función de valor real. Entonces las propiedades de la derivada vectorial son 1.

" "t

Ar 1 %t &  r 2 %t &B ' r 1´ %t &  r 2´ %t &

134

Funciones vectoriales de una variable real " 2. A $ r 1 %t &B ' $ r 1´ %t & "t

.

(.

6.

;.

" "t " "t " "t " "t

=  f (t ) r1 (t ) = f ′(t ) r1 (t ) +

f (t ) r 1′ (t )

Ar 1 %t & • r 2 %t &B ' r 1 %t & • r 2´ %t &  r 1´ %t & • r 2 %t & Ar 1 %t & × r 2 %t &B ' r 1 %t & × r 2´ %t &  r 1´ %t & × r 2 %t &

= r1 (t ) (

f (t )= )

f (t ) r 1′ ( f (t ) ) Kegla de la cadena

En la propiedad ( del teorema .2 se trata a la derivada del producto cruz de manera similar a la derivada del producto de dos funciones reales/ sin em#argo, es importante mantener el orden el que aparecen r 1 y r 2 de#ido a que el producto o cruz no es conmutativo. Ejemlo &

$adas

las

r2 (t ) = (t i + t 2 j + t k , calcular a&

funciones

" "t

!olución" r1′(t ) = i +  j + 2t k

Ar 1 %t & • r 2 %t &B y #& y

r1 (t ) = t i + t j + t2 k

vectoriales

" "t

y

Ar 1 %t & × r 2 %t &B

r2′ (t ) = ( i + 2t j + t 2 k

a& "eg!n la propiedad ( del teorema .2 de esta sección "

( t i + t j + t 2 k ) • ( (t i + t 2 j + t  k ) = "t ( i +  j + 2t k ) • ( ( i + 2t j + t 2 k ) + ( i +  j + 2t k ) • ( (t i + t 2j + t  k ) = (t + ;t 2 + t ( + (t + t 2 + 2t ( = t + 9t 2 + 6t (

#& $e acuerdo con la propiedad 6 del teorema 2 "

( t i + t j + t 2 k ) × ( (t i + t 2 j + t  k ) = "t

135


( i +  j + 2t k ) × ( ( i + 2t j + t 2 k ) + ( i +  j + 2t k ) × ( (t i + t 2 j + t  k ) =

:l utilizar la denición 1.; para producto vectorial de la sección 1. se tiene

( 9t − 2t ) i + ( (t − t ) j + ( 2t − 12t ) k + ( t − 2t ) i + ( t − t ) j + ( t − 12t ) k = 



2



2





2



2

eliminando paréntesis y simplicando se tiene t  i + 12t 2 j − (t  j + t 2 k − 2(t k = t  i + ( 12t 2 − (t  ) j + ( t 2 − 2(t ) k Ejemlo *

Encontrar las ecuaciones paramétricas para la recta tangente a

la 5élice circular cuyas ecuaciones paramétricas son y = 2sen t

x = 2cos t ,

y

z = t

en

t = 2π

!olución" -a función vectorial de la 5élice es r (t ) = 2cos t i + 2sent j + t k por lo

tanto r ′(t ) = −2sen t i + 2cos t j + k

al sustituir el valor del par*metro t = 2π en r ′(t ) se tiene r ′(2π ) = −2 sen 2π i + 2cos 2π j + k r ′(2π ) = 2 j + k

que es tangente a la 5élice en el punto cuyo vector de posición es r (2π ) = 2cos 2π i + 2 sen 2π j + 2π k

r (2π ) = 2 i + 2π k

%2,,(&

0igura .1(

(2, , 2π y) recta esto es P , de modo que por (&) de la sección 1.;, las 8élice circular  las7π ecuaciones 

 ,)2, ÷ tangente en el punto P %2,,  2  2& ecuaciones paramétricas de la recta son x = 2

y = 2t

z

= 2π + t

%2,,2&

la gr*ca de esta ecuación se muestra  enπ la gura .1(.

 ,)2, ÷ 2 

%2,,&

136


Ejercicios 3.3

En los ejercicios 1)6 calcular r ′(t ) y r ′ (t ) , para la función vectorial indicada. 1 1. r (t ) = ln t i + j t

2. r (t ) = t cos t i − sen t j + cos t k 2t  2 . r (t ) = t e i + t j + ( (t − t ) k

(. r (t ) = t 2 i + t  j + tan −1 t k

6. r (t ) = ln(1 − t )i + sen t j + t 2k En los ejercicios ;) di#ujar con
t = −1

( 1 + t 2

k,

t = 1

13


. r (t ) = cos t i + sen t j + 2t k ,

t =

π

(

En los ejercicios 9 y 1 o#tener ecuaciones paramétricas de la recta tangente a la curva dada en el valor indicado de t . 9. x = t ,

y =

1. x = t  − t ,

1 2 t 2 y =

y ;t t + 1

z =

y

1  t , 

t = 2

z = (2t + 1)2 ,

t = 1

FFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFF 3.& ntegración de unciones vectoriales

-a integral o antiderivada de una función vectorial se dene de la misma forma que las funciones de varia#le real. "i r (t ) es la función vectorial determinada por r (t ) = f (t )i + g (t ) j + h (t )k

entonces la integral indenida de r (t ) es

∫ r (t )"t = ( ∫ f (t )"t ) i + ( ∫ g (t )"t ) j + ( ∫h (t )"t ) k

(1)

"i se calcula la derivada en los dos miem#ros de la ecuación (1) con respecto a t , se tiene "

"

"

"

( r (t )"t ) = "t ( ∫ f (t )"t ) i + "t ( ∫ g (t )"t ) j + "t ( ∫ h (t )"t ) k "t ∫

r (t ) = f (t )i + g (t ) j + h (t )k

por cada integral indenida del lado derec5o de la ecuación (1) se o#tiene una constante escalar, así que la integral indenida de r (t ) es otro vector R (t ) + c tal que R′(t ) = r (t ) . Ejemlo 1

1

C#tener el vector r (t ) para el cual R′(t ) = t  i − ;t 2 j + t )2 k

138


∫

!olución" "i R′(t ) = r (t ) , entonces r %t& ' R!(t ) es decir 1       r %t& '  ∫ t "t i +  ∫ −;t 2 "t j +   

∫ t "t −2

k

al utilizar la regla de la cadena de la potencia en cada integral se tiene 

t −1 t ;t 2 i− j+ k  ( −1 2 (

r (t ) =



1

r (t ) = 2t i − (t j − k t (

2

en donde c ' c1 ic2 jc k

C#tener la integral del vector r (t ) = t i + (

Ejemlo #

t 2 t  − 1

j + t 2e t k

!olución"

∫

r (t ) 

 ∫ t ("t i +  ∫   

t 2 

t



 "t j +

−1  

∫ t e"t 2 t

k

la primer integral es resuelta por la regla de la potencia para llegar a t 6

6

i + c1i

la segunda integral se resuelve por el método de sustitución al 5acer % = t  − 1

y

"% = t "t

se tiene 1

1 − 12 1 %2 2 t  − 1 % "% = +c = j + c2 j  1  2

∫

nalmente se utiliza la integración por partes en la tercer integral %

2

= t

y

"& = et

139


"% = 2t "t

& = et

∫ t e "t = t e − 2∫ te "t 2 t

2 t

t

se aplica nuevamente la integración por partes en la integral anterior % = t

"& = et

y

"% = "t

& = et

∫ t e "t = t e − 2( te − ∫ e "t ) ' ( t e − 2te + 2e ) k + c k 2 t

2 t

t

t

2 t

t

t



así que

∫

6

r (t ) 

t

6

 2 t i  2 t − 1 j  t e

(



− 2tet + 2et ) k  c

ntegrales defnidas de unciones vectoriales 3.& Defnición

"i r (t ) = f (t )i + g (t ) j + h (t )k . -a integral denida de a 5asta b de r es b

∫ a

r (t )"t =

 b f (t )"t i +  ∫a  

∫

b

a

g (t )"t j +

 

∫ h(t )"t k b

a

siempre que f , g y h sean integra#les en el intervalo cerrado [ a, b ] .

El teorema fundamental del c*lculo, para funciones vectoriales toma la forma siguiente 3.3 0eorema

"i R (t ) es una antiderivada de r (t ) en [ a, b ] , entonces b

∫ a

b

r (t ) "t = R (t )] a

= R (b) − R (a ) π

Ejemlo 3

Evaluar la integral

∫ ( sen t i + 2cos t j + sen 6t k ) "t (



!olución" :l separar la integral se o#tiene

140

Funciones vectoriales de una variable real π

∫

i sen t "t

( 

π

+ 2j∫ cos

t "t

( 

π

sen 6t + k ∫

"t ( ' 

-as dos primeras integrales se calculan de forma directa usando las formulas #*sicas de integración, la tercer integral se resuelve por sustitución y se o#tiene π π

−i cos

(

t



( 1 + 2j sen t ( − k  cos 6t÷ 6   π

evaluando π π −i  cos − cos ,÷ + 2 j sen − sen ,÷ − k (  (    

1 6

 2   2  1 2 1 ) ) %1& −  )1÷÷ i + ÷÷ 2j − ) ÷ 2 2 6 2 6 ÷     

cos 6

k '

π

(

−

1 6

 2−   2

 

cos 6( , ÷)

2

 6 2 − 1  ÷÷ i + 2j + ÷÷ k 6   

2  C#tener r %t & si rI%t & ' t i + ( ;t + 1) j + t k y r %& ' 2i G  j 4 k

Ejemlo & !olución"

∫

∫

1 

 

∫

r (t ) = t 2"t i + ( ;t + 1) "t j + t "t k r (t ) =  t  + c1÷ i + ( t 2 + t + c2 ) j + ( 2t ( + c ) k

se sustituye t '  en la ultima epresión y se tiene r %& '

 1 (,) + c  i + (,)2 + , + c j + 2(,) ( + c k ( ( 1÷ 2) )   

r %& ' c1i + c2 j + ck

como r %& ' 2i G  j 4 k entonces 2i G  j 4 k ' c1i + c2 j + ck :l igualar coecientes se llega a c1 ' 2

c2 ' )

c ' 1

en consecuencia

141


1 

 

r %t & '  t  + 2÷ i + ( t 2 + t − ) j + ( 2t ( + 1 ) k Ejercicios 3.&

En los ejercicios 1); evaluar la integral indicada. 1. . 6.

2

∫ − ( t i + t i + (t k ) "t 2



1

1

2

1

∫

2

,

π

∫ − ( −6ti + t j − t k )"t 

2

∫ ( ;t i − (t i +  k ) "t (. ∫ ( sen t i − cos t j + tan t k ) "t ;. ∫ te i + t j + ( t + 1) k "t   2.

(



1

1

i + t j + t 2k ) "t 2 ( 1 + t

2

t

2



−1

7. $eterminar r (t ) si r ′(t ) = 2 i − (t  j + ; t k y r () = i + 6j + k . Encontrar r (t ) si r ′′(t ) = ;t i + j , r ′() = (i − j + k y r () = 6j FFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFF 3.* -ongitud de arco

En la sección 2.( se denió la longitud de una curva plana cuyas ecuaciones paramétricas son x = f (t ) y y = g (t ) donde f ′ y "! son continuas en el intervalo a ≤ t ≤ b y se llego a la fórmula ' =

b

2

∫  f ′ ( t ) +  a

2

b

∫ a

g ′( t )

 "x + "y  "t÷  "t÷    

2

"t '

2

(1)

"t

-a longitud de arco de una curva en el espacio se dene de la misma manera que la longitud de arco de una curva plana. "i C es una curva con ecuaciones paramétricas x = f (t ) ,

y = g (t )

y

z = h(t )

142


entonces tiene la ecuación vectorial r (t ) = f (t )i + g (t ) j + h (t )k

y si f ´, g I y hI son continuas en el intervalo cerrado [ a, b ] , entonces se puede demostrar que la longitud de arco de la curva C es

' =

b

∫ a

2

 f ′ ( t ) + 

2

b

∫ a

2

 "x + "y   "t÷  "t÷     

g ′ ( t+)

2

"z + ÷  "t

2

[ h′(t )]

2

"t '

"t

(#)

3. & 0eorema

"i C es una curva cuya ecuación vectorial es r (t ) = f (t )i + g (t ) j + h (t )k y si f ´, g I y hI son continuas en el intervalo cerrado [ a, b ] . "i ' unidades es la longitud de arco de la curva C desde el punto ( f ( a ) , g ( a ) , h ( a ) ) 5asta el punto ( f ( b ) , g ( b ) , h ( b ) ) ,

entonces ' =

b

∫ r ′(t ) "t a

Ejemlo 1

3alcular la longitud de arco de la 5élice circular del ejemplo 2

de la sección .1, r (t ) = 2cos t i + 2sent j + t k desde t '  5asta 2 π !olución" En la sección .1 se di#ujo la 5élice de este ejemplo, en la

sección . se derivo la ecuación por lo que r I%t & '

−2 sen t i + 2cos

t j + k

así del teorema ( se tiene ' =

2π

∫ ,

2

2

( −2sent ) + ( 2cos t ) + 1 "t

143

$%lculo de varias variables 2π

∫

' ' '

2

( sen t

,

2π

∫

+ (cos t + 1 "t 2

(( sen2t + cos2 t ) + 1 "t



2π

∫

6"t



' 2π 6 "t ≈ 1(.6 Ejemlo #

Encontrar la longitud de la curva que tiene como ecuaciones

( 2 y ' t , 

paramétricas, x ' t ,

z '

t 2

2

  2  , 2÷ . ÷   

, entre los puntos %,,& y  2,

!olución" -a gura .16 muestra la curva, como x ' t , se toma t en el

intervalo

,

≤ t ≤ 2 . -a longitud de arco correspondiente a dic5o intervalo ser*

' =

2

∫ 

2

2 1) + ( 2 = ∫ ( 

'

∫

2



2

2

 "  ( 2   "  t 2  +  "t÷  "t   t ÷ +  "t  2÷            2

 "t

1

t

)

2

+ ( t ) 2 "t

"t

2

+ (t + t 2 "t = ∫  ( t + 2) 2 − "t

al evaluar la integral anterior se tiene t '2 2

 t + 2 ( t + 2) 2 −  −  ln ( t + 2) + ( t + 2) 2 −  '  2  2  0igura .16 t 'L2

-ongitud

  ' 2 1 − ln ( ( + 1 ) − 1 + ln  ≈ (.1; 2 t '1 2 t '

144


"i

es una curva suave por partes,

C

dada por la función vectorial

r (t ) = f (t )i + g (t ) j + h (t )k , donde a ≤ t ≤ b y al menos una de las funciones f , g , h es

#iunívoca en (a, b ) , la función de longitud de arco s esta dada por 2

s (t ) =

b

∫ a

2

 "x + "y    "%÷  "%÷     

"z + ÷  "%

2

"%

(3)

Entonces, s (t ) es la longitud entre r (a) y r (b) . "i se derivan am#os miem#ros de la ecuación (3) usando la primera parte del teorema fundamental de c*lculo se tiene

"s "t

= r ′(t )

(&)

Ejercicios 3.*

En los ejercicios 1)( calcular la longitud eacta del arco en el intervalo indicado de la ecuación vectorial dada. 1. r (t ) = ( t + 1) i + t 2 j + (1− 2t )k ,

−1 ≤ t ≤ 2

145

$%lculo de varias variables 

2. r (t ) = sen 2t i + cos 2t j + 2t 2k ,

 ≤ t ≤ 1



. r (t ) = (t 2i − sen t j + cos t k ,  ≤ t ≤ 2 1  1   (. r (t ) = t 2i +  t + t ÷ j + t − t÷ k ,  ≤ t ≤ 1      2 6. r (t ) = t i + t j + t k ,  ≤ t ≤ 1  FFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFF 3.+ 5ector tangente, normal y binormal 5ector tangente unitario

"i C es una curva suave en el espacio descrita por r (t ) = f (t )i + g (t ) j + h (t )k , entonces r ′(t ) es un vector tangente a C . "i r ′(t ) ≠  en un punto P de la curva C . 3.* Defnición de vector unitario tangente

El vector unitario tangente T(t )

4uesto que

=

T(t )

1 r ′(t )

T(t ) de

C en P se dene como

r ′(t ) , en la dirección de r ′(t ) .

es un vector unitario, es decir

deriva#le entonces

T(t ) es

ortogonal a

T(t )

= 1 para toda t , si

′(t ) por consiguiente si

T

T(t )

t es

= $ , entonces

por la propiedad 1 del producto vectorial de la sección 1. a•a = a T

2

( t ) • T( t) =

T

2

( t) = $2

al diferenciar los dos miem#ros de la ultima ecuación con respecto a t y al aplicar la propiedad 2 del teorema .2 de la sección .

146

Funciones vectoriales de una variable real T′ ( t ) • T ( t) + T ( t ) • T′ ( t )

2T′ ( t )•

=

( = ) 

T t

Ma que el producto punto

T

( t ) • T′ ( t ) ' 

se concluye que

T

( t ) y

′ ( t ) son

T

ortogonales. 3.+ Defnición de vector normal unitario

"i

′ ( t ) es el vector tangente unitario de la curva

T

unitario, denotado por

N

( t) =

1

′ ( t )

N

C en P , el vector normal

( t ) , el vector unitario en la dirección de

′ ( t ) , esto es

T

′ ( t )

T

T

"i un punto se mueve a lo largo de la curva C el vector

′ ( t ) apunta en la

T

dirección en la que el punto se mueve cuando t aumenta, mientras que el vector N

( t ) es ortogonal a

T

( t )

y seNala la dirección 5acia la que gira la curva, es decir el lado cóncavo de C . 0igura .1;. z

4 r % t &

C

T % t &

r´ % t &

N % t &

 y x

0igura .1;

14


Ejemlo 1

curva plana C esta determinada por r ( t ) = cos t i + sent j ,

-a

encontrar los vectores unitarios tangente

representar gr*camente

T

 π   (÷ y  

N

T

( t ) y normal

N

( t ) , trazar la curva C y

 π   (÷  

!olución" Ma que r ( t ) = cos t i + sent j , entonces r ′(t ) = ( − sen t ) ( ) i + ( cos t ) ( ) j = −sen t i + cos t j ,

de modo que r ′ ( t ) '

se calcula

2

( − sen t ) + ( cos

t )

2

r ′ ( t )

= 9sen 2 t + 9cos2 t ' r ′ ( t ) =

r ′ ( t )

= 9=

T

(

2

9 sen t

+ cos2 t )

( t ) al 5acer uso de la ecuación (1) r ′ ( t )

( t ) =

T

( t ) = −sen t i + cos t j

r ′ ( t )

=

− sen t i + cos t j

T



al derivar las componentes de

T

( t ) se tiene

′ ( t ) = −cos t i − sen t

T

se calcula la magnitud de

′ ( t ) = ( −cos

T

′ ( t )

T

t )

2

+ ( −sen t ) 2

′ ( t ) = 9( cos2 t + sen2 t )

T

j

′ ( t ) = 9 = 

T

148


al 5acer uso de la denición .6 se calcula el vector normal unitario

′ ( t ) −cos t i − sen t ' T′ ( t )  T

N

( t ) =

N

( t ) = − cos t i − sent j

se eval!an los vectores

T

 π   (÷ y  

N

T

 π = − sen  π i + cos  (÷  ÷    ( 

T

 π  = − 1  (÷ 2  

2

i−

1 2

2

 π   (÷    π

 ÷ j  (

j, y

N

 π = − cos  π i − sen  π  (÷  ÷  ÷    (   (

N

 π  = 1  (÷ 2  

2

i−

1 2

2

j

j

j

π π  π  π  1 2 i + 1 2 j "i r  ÷ = cos  i + sen  j , entonces r  ÷ = − , así que los vectores ( ( 2  (  ( 2



tangente unitario y normal unitario se trazan a partir del punto P  −



2 2 , ÷ como 2 2÷ 

se muestra en la gura .17.

T%t &

N%t &

0igura .17 Dr*ca de la curva El vector T%t & apunta en la dirección que se mueve el punto mientras que N%t & seNala la dirección 5acia donde gira la curva. 149


"ea C la curva plana determinada por r (t ) = t  i + t j , encontrar

Ejemlo #

los vectores unitarios tangente y normal representar gr*camente

T

( −1) y

N

T

( t ) y

N

( t ) , trazar la curva C y

( −1) . 1

!olución" 4or la denición ( con r ′(t ) = t 2 i +  j y r ′(t ) = 9t ( + 9 = ( t ( + 1) 2 T ( t )

t 2

=

( t + 1) (

T

( t )

t 2

=

1

( t + 1) (



i+ 1

2

2

1

 ( t + 1) (

1

i+

1

( t + 1) (

j

2

j

2

se derivan las componentes de

T

( t ) , se usa la fórmula de la derivada para

cocientes y se calcula la derivada de la componente i. 1 2 1 (  (     ( t + 1) ( 2t ) − t ( 2) ( t + 1) 2 ( (t  ) 2 ÷ "  t   i=  1÷ ( "t t + 1  ( t ( + 1) 2÷  

1 1  (  6 ( 2 2t ( t + 1) 2t ( t + 1) 2  ' − t( +1 t ( + 1   

   2t − 2t 6  ' 1  ( ( 2 2  ( t + 1) ( t + 1) 

i

i

i

150


 t (  1− (  1  ' t + 1 (  ( t + 1) 2 2t

i

 t ( + 1− t (  1  ' ( t ( + 1  2  t ( + 1) 2t

2t

i=



( t + 1) (

i

2

a5ora se deriva la componente j

  1 "  ÷  1 ( − 2   j =  − ( t + 1) ( (t )÷  1÷ "t (  2  ( t + 1) ÷  2   2t  '



( t + 1) (

j

j

2

así se tiene 2t

′ ( t ) =

T

2t 

i− 

( t ( + 1) 2



j

y

( t ( + 1) 2

1

 (t 2  2 ; ( t ÷ T′ ( t ) =  +  ( t ( + 1)  ( t ( + 1) ÷   1

 (t 2  2 2t ( + 1+ t )÷ = ( T′ ( t ) =   ( t ( + 1)  ( ÷ t + 1   4or la denición .6 y simplicando se tiene N

( t )

1

( t + 1) (


T

2

1

=

( −1) =

2

T

t

i−

1

( t + 1) (

( −1) y

N

j

2

( −1)

2 2 i+ j 2 2

151

$%lculo de varias variables N

r ( −1)

( −1) = −

2 2 i+ j 2 2

= −i − j , entonces los vectores tangente unitario y normal unitario se trazan

a partir del punto P ( −1, −) como se muestra en la gura .1.

0igura .1 Dr*ca de la curva y sus vectores tangente unitario y normal unitario. r %)

1&

N%)1&

T%)1&

Ejemlo 3

Encontrar los vectores normal y tangente unitario para la 5élice

r (t ) = cos t i + 2t j + sen t k , trazar la curva C y representar gr*camente

N

T

 π   ÷ y  

 π   ÷ .  

!olución" :l derivar r (t ) y calcular r ′(t ) , se tiene r ′(t ) = −sen t i + 2 j + cos t k r ′(t )

= 9sen 2t + ( + 9cos2 t

152


r ′(t )

= 9 + ((sen 2t + cos2 t ) = 1

por la denición .( el vector tangente unitario esta dado por T

al derivar

T

( t ) =

− 1 sen t 1

′( t ) =

T

T

1 cos t

T

1

9

cos t +

i−

9

2

1

2 1  1 cos t j+ k 1 1

′ ( t ) , se tiene

( t ) y calcular

′ ( t ) = −

i+

 1 sen t 1

k

2

1

sen t

′ ( t ) = 9 ( cos2 t + sen 2t ) = 

T

1

1

por la denición .6 el vector normal unitario es

N

( t) =

−

−

1 cos t i − 

1 sen t k = − cos t i − sen t k 

1

1




T

 π   ÷ y  

N

 π   ÷  

 1 i + 2 1 j −  k 2 1 2 1

T

 π  = −  ÷  

N

 π  = − 1 i − 1   ÷   2 2

j

153


 π   2   k , entonces los vectores tangente unitario y normal 3omo r  ÷ = i + j + 2   2 

  2   unitario se trazan a partir del punto P  , , ÷÷ como se indica en la gura .19 2  2  



2  

2



P  , ,

 ÷ 2 ÷ 

0igura .19

El vector normal unitario

N

( t ) de la 5élice es siempre paralelo al plano xz y apunta

5acia el eje y, ya que este eje esta en el centro del cilindro. 5ector binormal unitario

Eiste un tercer vector unitario que es perpendicular a los vectores tangentes unitario #inormal

T(t )

B

y normal unitario

( t ) y esta dado por

B

N

( t ) , este tercer vector

se denomina vector

( t ) = T ( t ) × N ( t ) . 0igura .2.

154

Funciones vectoriales de una variable real z B( t)

0

T ( t ) × N ( t )

=

0igura .2 -os vectores unitarios T, N y B son mutuamente ortogonales.

( )

T t

( )

N t

P x

y

-os tres vectores

T

( t ) ,

N

( t ) y

B

( t ) forman un conjunto de vectores mutuamente

ortogonales, el plano determinado por los vectores

T

y

N

en un punto P de la

curva C se llama plano osculador, el plano formado por los vectores

N

y

B

se

denomina plano normal de C en P . Este plano esta formado por todas las rectas ortogonales al vector tangente

T,

mientras que el plano determinado por

T

y B es

el plano recticador, estos planos se muestran en la gura .21.

B

4lano recticad or

4lano normal 0igura .21 Oom#re de los tres planos determinados por T,

N y

B N

T

4lano osculador

Ejemlo &

Encontrar los vectores tangente, normal y #inormal para la

5élice r (t ) = 2cos t i + 2sen t j + t k , en t = 2π .

!olución" 4uesto que

155

$%lculo de varias variables r ′ ( t ) = −2sen t i + 2cos t j + k

r ′ ( t )

= (sen2t + ( cos2 t + 1 = 6

El vector tangente unitario es T

"e calcula

( t) =

−2 6

2 1 cos t j + k 6 6

sen t i +

′ ( t ) y su magnitud

T

T

′ ( t ) = −2 cos 6

′( t ) =

T

( 6

2

t i−

cos2 t +

6 ( 6

sen t j

sen 2t

′ ( t ) = ( = 2

T

6

6

El vector normal unitario es

−2

cos t i −

2 sen t j 6

N

6 ( t ) =

N

( t ) = − cos t i − sen t j

2 6

:5ora se calcula el vector #inormal unitario i B

( t ) = T ( t ) × N ( t ) '

−2

sen t

6

− cos

B

( t ) '

2 cos t 6

− sen t

j

t

k

2 cos t 6

1 6 − sen t 

−2 1 sen t 6 i− 6  − cos t

−2 1 sen t 6 j+ 6  − cos t

2 cos t k 6

− sen t

156

Funciones vectoriales de una variable real B

( t) =

1 1 2  2  sen t i + cos t j +  sen 2t + cos2 t÷ k 6 6 6  6 

B

( t) =

1 ( sen t i + cos t j + 2 k ) 6

-a graca es la 5élice circular del ejemplo 2 de la sección .1. : continuación se eval!an los vectores unitarios T

T

( 2π ) = ( 2π ) =

T

−2

sen 2π i +

6 2 6

j +

1 6

( t ) ,

N

( t ) y

B

( t ) en t ' 2 π

2 1 cos 2π j + k 6 6

k

N

( 2π ) = − cos 2π i − sen 2π j = −i

B

( 2π ) =

B

( 2π ) =

1 ( sen 2π i + cos 2π j + 2 k ) 6

−1

j +

6

2 k 6

:l realizar el producto punto entre los vectores unitarios se puede compro#ar que los vectores T, N y B son ortogonales entre si. T

Ejemlo *

( 2π ) • N ( 2π ) = ,

2 6

,

1 6

• −1, ,  = 

2 1 −1 2 , • , , = 6 6 6 6

T

( 2π ) • B ( 2π ) = ,

N

( 2π ) • B ( 2π ) = −1, ,  •

,

−1 6

,

2 6

=

Encontrar las ecuaciones del plano normal y del plano osculador

de la 5élice del ejemplo ( en el punto P ( 2, , 2π )

15


!olución" El plano normal en P tiene vector normal r ′(2π ) = < , 2,1 > , por el

teorema  de la sección 1.;, la ecuación del plano normal es ( x − 2)

+ 2( y − ) + 1( z − 2π ) = 

z = −2( y + π )

El plano osculador en P contiene a los vectores B

( 2π ) =

−1

j +

6

T y N

, del ejemplo ( se tiene

2 k 6

y la ecuación del plano osculador es ( x − 2) −

−

y

z =

6 y

2

+

1 2 ( y − ) + ( z − 2π ) =  6 6

2z (π − = 6 6

+ 2π

Ejercicios 3.+

En los ejercicios 1)( determinar el vector tangente unitario de la función de posición indicada. 1. r (t ) = t i + t 2 j + t k , P (,,) 2 2. r (t ) = t i + t 2 j + t k , 

2 P (1,1, ) 

. r (t ) = ( t cos t − sen t ) i + ( t sen t + cos t ) j + t 2 k , (. r (t ) = et cos t i + et sen t j + 2e t k ,

t > 

t > 

158


En los ejercicios 6 y ; gracar la curva de la función vectorial con
T (t ) y las ecuaciones paramétricas de la recta tangente en el punto

indicado y gracar la tangente. 2 6. r (t ) = t i + t 2 j + t  k , 

P ( , 9,1E) 1

;. r (t ) = cos t i + (sen t j + t k , 2

 

P  ,, (,

 ÷ (

π

En los ejercicios 7)1 encontrar el T (t ) y N(t ) para la partícula que se mueve a lo largo de la trayectoria determinada por la función r (t ) . 7. r (t ) = (t i . r (t ) = (t 2i 9. r (t ) = (t i − 2t j 1. r (t ) = t 2 j + k En los ejercicios 11 y 12 trazar la graca de la función vectorial con
t =

π

2

t = 1

FFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFF 3.6 $urvatura

-a curvatura es la magnitud de la razón de cam#io del vector tangente unitario

T

con respecto a la longitud de arco s . "ea C una curva plana, donde P  es un punto jo de la curva C y P( x, y ) un punto P P que va desde P 5asta P . 0igura .22. cualquiera, así s es la longitud de arco P 0 0

y

P( x, y ) P 0

s

0igura .22 es la longitud de arco

159 O

x


-as ecuaciones paramétricas de C son y = g ( s )

x = f ( s ) ,

para

P P s = P 0

Entonces a cada valor del par*metro s le corresponde un punto P ( f ( s ), g (s )) en la curva C .En la gura .2 se o#serva que el vector de posición P ( f ( s ), g (s )) es r ( s) = f ( s ) i + g (s ) j .

y

P( f (s ), g (s ))

P 0

0igura .2

r % s&

x

O

:l derivar r ( s) = f ( s ) i + g (s ) j se o#tiene un vector tangente a C en P . 0igura .2(. T

= r ′( s)

(1)

T

y

P

P 0

0igura .2(

r % s&

O

x

160


"e designa

θ como

el *ngulo de inclinación de

T como

se muestra en la gura

.26. T

y

θ

P

P 0

0igura .26 es el *ngulo de inclinación del vector tangente r % s&

x

O

el *ngulo

θ es

una función de la longitud de arco s porque P y

T son

funciones

de s . :sí el vector tangente se puede escri#ir como r ′( s ) = T = cosθ i + sen θ j

(#)

la magnitud del vector tangente T

=

T es

cos 2 θ + sen2θ = 1

4or lo que

T es

(3)

un vector unitario

T( s )

, este vector esta epresado como una

función del par*metro de longitud de arco s , entonces la razón con la que

T

cam#ia se calcula mediante la derivada "T "s

"T " θ =  ÷ ÷  "θ  "s 

y

"T "s

=

"T " θ "θ "s

,

161


en la ultima ecuación se sustituye

(3) y se o#tiene

"T "s

=

" θ "s

" T " θ

por la unidad de acuerdo con la ecuación

.

3.+ Defnición de curvatura

-a curvatura se representa mediante la letra griega min!scula Qappa y se dene como κ

"T

=

"s

=

" θ "s

esta epresión aplica para curvas suaves en R 2 y R.

Es mas sencillo calcular la curvatura si esta se epresa en términos del par*metro t , de la regla de la cadena para derivadas de funciones vectoriales %teorema .2,

propiedad 6 de la sección .& se tiene " T "T "t

"T "s =  ÷ ÷  "s "t

y

κ

=

" T "s

=

"t , "s "t

de la ecuación (&) de la sección .6 "s "t

= r ′(t )

de modo que la curvatura esta determinada por κ (t )

=

′(t ) r ′(t )

T

(&)

162


Ejemlo 1

3alcular la curvatura de la curva que tiene la ecuación vectorial

r (t ) = 2sen t i + 6t j + 2cos t k

!olución" r ′(t ) = 2cos t i + 6 j − 2sen t k r ′(t )

= ( cos2 t + 26 − (sen 2t

r ′(t )

= 29

de modo que T(t )

=

r ′(t ) r ′(t )

=

′(t ) = − 2

T

29

2cos t i + 5 j − 2 sen t k 29

2 cos t k 29

sen t i +

2

′(t )

T

−2   sen t÷ + =   29  

′(t ) =

T

2

 cos÷t 29 

2

( 2 = 29 29

al usar la ecuación (3) 2 T′(t ) 2 κ (t ) = = 29 = r ′(t ) 29 29 al tra#ajar con funciones vectoriales alge#raicas es complicado en algunas ocasiones calcular la curvatura. :sí que resulta m*s sencillo utilizar el siguiente teorema. 3.* 0eorema

"i r (t ) determina a una curva C , entonces la curvatura

κ (t )

de C es

163


=

κ (t )

r ′(t ) × r ′′(t ) r ′(t )



$emostración= T(t )

3omo

=

r ′(t ) r ′(t )

r ′(t ) = r ′(t ) ( T(t ) )

=

r ′(t )

y "s "t

=

"s "t

, se tiene

( T(t ) )

de modo que la regla del producto %teorema .2 sección .&, se tiene

r ′ (t ) =

" 2s "t

T(t )

2

+

"s

T

"t

′(t )

al usar el 5ec5o de que

T

( t ) × T ( t ) =  %propiedad ; del producto vectorial sección

1.&, se llega a 2

 "s r ′(t ) × r ′′(t ) =  ÷ ( T(t ) × T′(t ) )  "t  a5ora

T(t )

= 1 para toda t , de modo que

′(t ) , así que el teorema 1.2 de la

T(t ) y T

sección 1. 2

r ′(t ) × r ′ (t )

"s "s =  ÷ ( T(t) × T′(t ) ) =  ÷  "t  "t

2

T(t )

 T′( t) 

"s = ÷  "t

2

′

T ( t)

Entonces

′(t ) =

T

r ′(t ) × r ′′(t )

 "s  "t ÷  

2

=

r ′(t ) × r ′′(t ) r ′(t )

2

y

164

Funciones vectoriales de una variable real r ′(t ) × r ′ (t )

′(t ) = κ (t ) = r ′(t )

r ′(t )

T

2

=

r ′(t )

Ejemlo #

r ′(t ) × r ′′(t ) r ′(t )



Encontrar la curvatura de la curva C determinada por la

1 2 1 t j + t  k , en un punto general y en el punto ( , , ) . 2 

función vectorial r (t ) = t i + !olución" r ′(t ) = i + t j + t 2k

r ′ (t ) = j + 2t k

entonces i

j k

r ′(t ) × r ′′(t ) = 1 t

t2

= t 2i − 2t j + k

 1 2t y r ′(t ) × r ′′(t ) ' r ′(t ) = t ( + (t 2 + 1 al emplear el teorema .6 se tiene 1

( t + (t + 1) (

κ

=

2

2



( 1 + t + t ) 2

(

2

Ejercicios 3.6

En los ejercicios 1)( encontrar la curvatura de la curva plana en el valor indicado del par*metro. 1. r (t ) = (t i − 2t j , 2. r (t ) = t i +

1 t

k,

t = 1 t = 1

165

Unidad 3 Funciones Vectoriales de Una Variable Real

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