TEMA: Optimización de funciones con una variable UTILIDAD MAXIMA Y COSTO PROMEDIO PROMEDIO MINIMO
En los problemas 17 a 22 se da el precio p(q) al cual se pueden vender q unidades de cierto articulo y el costo total C(q) de producir las q unidades En cada caso: a! encuen encuentre tre la funció función n utilida utilidad d P(q!" el in#reso mar#inal R’(q) y el costo mar#inal C’(q). trace las #r$ficas de P(q),R’(q) y C’(q) en el mismo sistema de coordenadas y determine el nivel de producción q donde se ma%imiza P(q). b) encuentre el costo promedio A(q) y trace las #r$ficas de A(q) y del costo mar#inal C’(q) en el mismo sistema de coordenadas &etermine el nivel de q donde se minimiza A(q). 17)
1
2
p ( q )= 49− q;Cq= q + 4 q + 200 8
A! 'unción utilidad.
R ( q ) = IT −CT IT = p∗q 1
2
IT =( 49 −q ) q−( q + 4 q + 200 ) ! 8
1
R ( q ) =49 q −q − q −4 q −200 2
2
8
R ( q ) =
−9
R ' ( q ) =
−9 4
8
2
q + 45 q−200
−9 4
q + 45
q + 45= 0 q=
−45 q =20 −9 4
R ( 20 )=
−9 8
( 20 )2 + 45 ( 20 )−200
R ( 20 )=250 (n#reso mar#inal
IT ( q )= 49− q I T ( q )=−1 '
)osto mar#inal
c ( q )=
1 4
q +4
1
200
8
q
¿ q+ 4+
1
200
8
q
c ( q )= q =
1
2
2
c ( q )= q = 200 q =
200
8
1 8
q=
200 1
q =40
8
*! )osto promedio 1
A ( q ) =
Ct 8 = q
200
8
q
1
1 8
8 −2
=
q
1
A ( q ) = q + 4 + A ' ( q ) +
1
2
q + 4 q + 200
8
q
q
2
+
4q
q
+
200
q
+ 200 ( q−1 )
−200 q = 0
−2
−200 q =
−1 8
−1 −2
q =
8
−200
1 1
8
q
200
= 2
200=
1 8
2
q
200 1
= q2 q =
8 1
A ( 40 ) =
8
√
200 1
q= 40
8
( 40 )2 + 4 ( 40 )+ 200 40
A ( 40 ) =14
18)
p ( q ) = 37−2 q;Cq =3 q + 5 q + 75 2
A! 'unción utilidad
R ( q ) = IT −CT IT = p∗q IT =( 37 −2 q ) q −(3 q + 5 q + 75 ) 2
R ( q ) =37 q −2 q −3 q −5 q −75 2
2
R ( q ) =¿ , - q 2+ 32 q −75
R ' ( q )=−10 q +32
−10 q + 32=0 q =
−32 q =3.2 −10
R ( 3,2 ) =¿ , - ( 3,2 )2 + 32 ( 3,2 )−75 (n#reso mar#inal
IT ( q )=37 −2 q I T ( q )=2 '
)osto mar#inal
c ( q )= 6 q + 5 =3 q + 5 + c ( q )= 3 q=
q=
√
75 3
75
q
75
q
c ( q )=3 q =75 q = 2
2
75 3
q =5
* )osto promedio 2
2
Ct 3 q + 5 q + 75 3 q 5 q 75 = + + A ( q ) = = q q q q q
R ( 3,2 ) =−23.8
A ( q ) = 3 q + 5 +
75
q
A ' ( q ) + 3 + 75 ( q−1) −2
3−75 q 1 2
q
=
3 75
75=3 q 2
A ( 5 )=
−75 q−2=−3
=0
3(5)
2
75 3
=q 2 q =
√
75 3
q =5
+ 5 ( 5 )+ 75 5
A ( 5 )=35
p ( q )= 180−2 q;Cq = q + 5 q + 162 3
19)
'unción utilidad
R ( q ) = IT −CT IT = p∗q IT =( 180− 2 q ) q−( q + 5 q + 162 ) 3
R ( q ) =180 q− 2 q −q −5 q −162 2
R ( q ) =¿
−q3
3
, 2 q 2+ 175 q −162
R ( q )=−3 q −4 q + 175 '
2
−3 q 2− 4 q + 175 =0 −4 ± √ −4 2− 4 (−3 )( 175 ) q= 2 (−3 )
−2 q =
− 3 −75
q=
−4 + √ 2084 =−6,94 2 (−3 )
q=
−4 −√ 2084 =8.28 2 (−3 )
R ( 8,28 )=¿
−3 ( 8,28 )2−4 ( 8,28 )+ 175
(n#reso mar#inal
IT ( q )=180 −2 q I T ( q )=2 '
)osto mar#inal
c
' (q )
=3 q2 +5
¿ q2 + 5 +
162
q 2
c ( q )= 2 q =
q=
√
162 2
162
q
3
3
c ( q )= 2 q =162 q =
162 2
q= 4.33
* )osto promedio 3
3
Ct q + 5 q + 162 q 5 q 162 = + + A ( q ) = = q q q q q
R ( 8,28 )=−63.80
162
2
A ( q ) = q + 5 +
q
A ' ( q ) + 2 q + 162 ( q−1) 2 q−162 q 1 2
q
2 = q
162
−2
162=2 q
3
162 2
4.33
A ( 4.33 ) =¿
−2
q =
−162 q−2=−2 q
=0
3
=q 3 q=
√ 3
162 2
−2 q −162
q =4.33
+ 5 ( 4.33)+ 162 4.33
A ( 4.33 ) =61.16
20.
p ( q )= 710− 1,1 q
2
c ( q ) = 2 q −23 q + 90,7 q + 151 3
;
2
A 'unción utilidad
R ( q ) = IT −CT IT = p∗q IT =( 710 −1,1 q ) q =710 q−1,1 q 2
3
R ( q ) =710 q−1,1 q −( 2 q − 23 q + 90,7 q + 151 )=710 q −1,1 q −2 q + 23 q −90,7 q −151 3
3
2
R ( q ) =−3,1 q + 23 q + 619,3 q −151 3
2
R ( q )=−9,3 q + 46 q + 619,3 2
−9,3 q2 + 46 q + 619,3= 0
3
3
2
−46 ± √ 46 2−4 (−9,3 )( 619,3 ) q= 2 (−9,3 ) q =11 11 (¿¿ 2 )+ 619,3 ( 11)−151=5318,2
R ( 11) =−3,1 ( 11 )+ 23 ¿ 3
(n#reso mar#inal
IT ( q )=710 q −1,1 q
3
I ' T ( q )=710 −3,3 q
2
)osto mar#inal
c ( q )= 2 q − 23 q + 90,7 q + 150 3
2
c ( q ) =6 q −46 q + 90,7 2
* )osto promedio 3 2 151 Ct 2 q −23 q + 90,7 q + 151 ( ) = = =2 q2−23 q + 90,7 + A q
q
q
A ( q ) =4 q −23− 4 q− 23−
151
q
2
=0
q = 6.61315918
151
q
2
q
21.
2
+1 q+3
q p ( q )= 1.0625−0,0025 q ; c ( q ) =
A 'unción *eneficio
R ( q ) = IT −CT IT = p∗q IT =( 1.0625 −0,0025 q ) q =1.0625 q− 0,0025 q
2
( ) 2
q +1 R ( q ) =1.0625 q− 0,0025 q − q +3 2
q
( 1.0625 q∗( q +3 ) )−( 0,0025 q ∗( q + 3 ) ) − 2
(¿¿ 2 +1 ) q +3
R ( q ) =¿ 3 2 − 0,0025 q + 0,055 q + 3,1875 q−1 R ( q ) = q +3
( −0,0075 q + 0,11 q + 3,1875 ) ( q + 3 )−(−0,0025 q + 0,055 q + 3,1875 q −1 ) 2
R ( q )=
3
2
( q + 3 )2
(−0,0075 q +0,11 q + 3,1875 q− 0,0225 q + 0,33 q + 9,5625 ) +0,0025 q −0,055 q −3,1875 q + 1 3
2
2
R ( q )=¿ 3 2 − 0,005 q + 0,0325 q + 0,33 q + 10,5625 R ( q )= ( q + 3 )2
3
¿ ( q + 3 )2
2
−0,005 q 3+ 0,0325 q2 +0,33 q +10,5625 = 0 ; q=17,3359375 2 ( q +3 )
(n#reso mar#inal
IT =1.0625 q −0,0025 q2 I T =1.0625 −0,005 q )osto mar#inal
q
(¿¿ 2 + 1 ) ( q + 3)2 c ( q )=¿
2 q ( q + 3 )−
c ( q) =
2q
2
+ 6 q− q2 − 1 ( q + 3 )2
2 q + 6 q −1 ( ) c q= ( q + 3 )2
* )osto promedio 2
q +1 Ct q + 3 A ( q ) = = q q 2
q +1 A ( q ) = 2 q +3 q q
(¿¿ 2+ 3 q )2 2 2 2 q ( q + 3 q )−( q + 1 )( 2 q + 3 ) A ( q ) = ¿ q
(¿¿ 2 + 3 q )2 3 2 3 2 2 q + 6 q −2 q + 3 q + 2 q +3 A ( q ) = ¿
q
(¿ ¿ 2 + 3 q )2 2 9 q +2 q +3 A ( q ) = ¿ q
(¿¿ 2 + 3 q )2=0 2 9 q +2 q +3 ¿ q =127
22.
p ( q ) = 81−3 q ; c ( q ) =
q +1 q +3
A 'unción beneficio
R ( q ) = IT −CT IT = p∗q 2
IT =( 81−3 q ) q =81 q −3 q R ( q ) =81 q− 3 q −( 2
q +1 ) q +3
81 q ( q + 3 )− 3 q
2
R ( q ) =
( q + 3 ) −q −1
q +3
=
81 q
2
+ 243 q−3 q3− 9 q2−q −1 −3 q3 + 72 q2 + 242 q −1 = q +3 q +3
( −9 q +144 q + 242 ) ( q + 3 ) −(−3 q + 72 q + 242 q −1) −9 q + 144 q + 242 q− 27 q + 432 q + 726 = R ( q )=¿ 2
3
( q + 3 )2
−6 q 3+ 45 q 2+ 432 q + 725 =0 ( q + 3 )2 q =13,49755859 (n#reso mar#inal
I ( q )= 81−6 q )osto Mar#inal
c ( q) =
q + 3− q − 1
( q + 3 )2
=
2
( q + 3 )2
2
3
2
2
( q + 3 )2
* )osto promedio
q +1 Ct q + 3 1 = A ( q ) = = q q q A ( q ) =
−1 = 0 2 q
q =64
−1 q
2
Ejercici 29 I!"re# $r%e&i; #'$!"( el in#reso total en dólares proviene de la venta de q unidades de
cierto art.culo de:
R ( q ) =−2 q + 68 q−128 2
a! En qu/ nivel de ventas de in#reso promedio por unidad es i#ual al in#reso mar#inal b! 0erifique que el promedio es creciente si el nivel de ventas es menor que el nivel obtenido en el inciso a) y decreciente si el nivel obtenido en el inciso a). c! En el sistema de coordenadas" dibue la #r$fica de las partes importantes" de las funciones de in#reso promedio e in#reso mar#inal E3O45)(O6 a) E)5A)(O6 &E (6E3O MA(6A4
R=r ∗q
2
R=−2 q + 68 q −128∗q
R=−2 q3 +68 q 2−128 q
−2 q R=3 (¿¿ 2 )+2 ( 68 q )−128 ¿
Función ingreso
R=12 q + 136−128 Ecuación del ingreso marginal
R=12 q + 8
b)
R=12 q + 8 12 q + 8 =0
q= q=
12 q=−8
− 8 −12 2 3
R=12
R=16
( ) ( )− +( )− 2 3
² + 68
2 3
128
132
128 3 R=16 + 44 −128
R=68
Interés promedio
Iprm=¿
Ipromedio=
2 3
2 3 89
El in#reso promedio es i#ual al in#reso mar#inal c)
P∗Q Q
()
68∗
Iprm=
Ingreso marginal
Ingreso promedio
Ejercicio 30
En qu/ puntos la tan#ente a la curva y =−2 x3 −3 x 2 + 6 x tiene la pendiente m$s pequea; <)u$l es la pendiente de la tan#ente en este punto; esolución
f ( x )= y =−2 x −3 x + 6 x 3
2
2
y =6 x − 6 x + 6 y =12 x −6
Teorema de factor nulo
f ' ( x )= 0 6 x
2
x −1=0
−6 x + 6= 0
x =1
=> 2 x
2
x −1=0
−2 x + 2=0
x =1
( x −1 )( x −1)
>! puntos
x =1 x =1
?! reemplazamos !
y =−2 x3 −3 x 2 +6 x 3
2
y =−2 x −3 x + 6 x 3
2
y =−2 ( 1 ) −3 ( 1 ) + 6 ( 1 ) y =2 −3 + 6
y =5 -! @endiente
( 1,5 )=2 x3 −3 x 2 + 6 x ¿ 12 x − 6 x =6
Pendiente
Ejercici 1 *
@ara qu/ valor de % en el intervalo 1
f ( x )= 2 x − x 2
−1 ≤ x ≤ 4
es m$s inclinada la #r$fica de la función
3
3
<)u$l es la pendiente de la tan#ente en este punto; esolución Encuentro la primera derivada 1 3
¿ x2
f ' ( x )=2 ( 2 x )−3 ¿
f ' ( x )= 4 x − x
2
4 x − x x =−1
2
=0
f ( −1 )=
7 3
4a pendiente de la tan#ente es ,rafico
2. RADIODI+UNSION 5na estación de radio que solo transmite noticias realizo una encuesta sobre los $bitos que escuca de los residentes locales entre las -:BB pm y la media noce 4a encuesta indica que el porcentae de la población adulta local que sintoniza la estación x oras despu/s de las -:BB pm es 1
3
2
f ( x )= (−2 x + 27 x −108 x + 240 ) 8
a!
@O)E3O 1
3
2
f ( x )= (−2 x + 27 x −108 x + 240 ) 8
1
2
f ' ( x )= (−6 x + 54 x − 108 x ) 8
0=
8
(−6 x 2+ 54 x −108 x )
−b ± √ b2− 4 ac 2
x =
1
2a
−54 + √ 54 2− 4 (−6 )(− 108 ) x = 2 (−6 ) 2
2 −54 + √ 2916 −2592 x = −12
2 −54 + √ 324 x = −12
x = x =
−54 + 18 −12
−36 −12
x 1=3 →horas despues
−54 −√ 542 −4 (−6 )(−108 ) x = 2 (−6 ) 2
2 −54 −√ 2916 −2592 x = −12
x =
2 −54 −√ 324
12
x =
−54 −18 −12
x =
−72 −12
x 2=6 → horasdespues
1
f ( 3 ) = (−2 x + 27 x −108 x + 240 ) 3
2
8 1
f ( 3 ) = (−2 ( 3 ) + 27 ( 3) − 108 x + 240 ) 3
2
8 1
f ( 3 ) = (−2 ( 27 )+ 27 ( 9 )−108 ( 3 )+ 240 ) 8
1
f ( 3 ) = (−54 + 243−324 + 240 ) 8
1
f ( 3 ) = ( 105 ) 8
f ( 3 ) = 13,12
1
3
2
f ( 6 )= (−2 x + 27 x −108 x + 240 ) 8
1
f ( 3 ) = (−2 ( 6 ) + 27 ( 6 ) −108 x + 240 ) 3
2
8
1
f ( 3 ) = (−2 ( 216 )+ 27 ( 36 )−108 (6 )+ 240 ) 8 1
f ( 3 ) = (− 432+ 972− 648 + 240 ) 8 1
f ( 3 ) = ( 132 ) 8
f ( 3 ) =16,5
a! A las 11 pm escuca la emisora el mayor nCmero de personas y representan el B"18 de los oyentes en este momento b! A las 9 pm escuca la emisora el menor nCmero de personas y representan el B"1> de los oyentes en este momento
. SOCIOS 3upon#a que x aos despu/s de su fundación en 1F9F" el total de afiliados a cierta asociación nacional de consumidores es 3
2
f ( x )=100 ( 2 x − 45 x + 264 x ) a! " tuvo la asociación el mayor nCmero de miembros; <)u$ntos eran los miembros en ese momento; b! " tuvo la asociación el menor nCmero de miembros; <)u$ntos eran los miembros en ese momento;
@O)E3O
f ( x )= 100 ( 2 x − 45 x + 264 x ) 3
2
f ' ( x )=100 ( 6 x −90 x + 264 ) 2
0 =100 ( 6 x
−b ± √ b2− 4 ac 2
x =
2a
2
− 90 x + 264 )
x =
90 + √ 90
x =
90 + √ 8100 −6336
x =
90 + √ 1764
2
2
− 4 ( 6 )( 264 ) 2 (6 )
2
12
2
12
x = x =
90 + 42 12
132 12
x 1=11 → Años despues 90− √ 90 2
x = x =
90− √ 8100 −6336
x =
90− √ 1764
2
−4 ( 6 )( 264 ) 2 (6 )
2
12
2
12
x = x =
90− 42 12
48 12
x 2=4 → Años despues
3
2
f ( 11 )=100 ( 2 ( 11) − 45 ( 11) + 264 ( 11)) f ( 11 )=100 ( 2 ( 1331 )− 45 (121 )+2904 ) f ( 11 )=100 ( 2662−5445 + 2904 ) f ( 11 )=100 ( 121 ) f ( 11 )=12100
3
2
f ( 4 ) =100 ( 2 ( 4 ) −45 ( 4 ) + 264 ( 4 ))
f ( 4 ) =100 ( 2 ( 64 )− 45 (16 )+ 2904 ) f ( 4 ) =100 ( 128−720 + 1056 ) f ( 4 ) =100 ( 464 ) f ( 4 ) =46400
a! En el ao 1FF> tuvo la asociación el mayor nCmero de miembros con ?8?BB miembros en ese momento b! En el ao 2BBB tuvo la asociación el menor nCmero de miembros con 121BB miembros en ese momento ,. -ELOCIDAD DE -UELO. En un modelo desarrollado po )G @ennycuicH" se indica se indica que la potencia @ requerida por un ave para mantener el vuelo esta dad por la formula: 2
+ 1 pA " 3 P= 2 p!" 2 &onde v es la velocidad relativa del ave" I es el peso" p es la densidad del aire y 3 y A son constantes positivas relacionadas con el tamao y la forma del ave
P =( ( 2 p! ) + # ( 2 p!" ) ) + '
'
2
1
2
1 2
( 3 pA " ) + 0 ( pA " ) 2
3
2
P = ( 2 p! ) + ( 3 pA " ) 2
'
2
P =2 p! +
3 pA "
2
2
35. Aprendizaje. En un modelo de aprendizae son posibles dos respuestas JA" *! para cada una
de las series de observaciones 3i e%iste una probabilidad KpL de obtener la respuesta A en cualquier observación individual" la probabilidad de respuesta A e%actamente KnL veces en una serie de KmL observaciones es 1− p ¿
m −$
% ( p )= p $ ¿
El estimador de m$%ima verosimidad es el calor de KpL que ma%imiza ' Jp! para Bp1 <@ara qu/ valor de KpL ocurre esto; &atos 1− p ¿
m −$ $
% ( p )= p ¿ )ondición para Bp1 Nerramientas y resolución 1− p ¿
m −$
% ( p )= p $ ¿ $− 1
m− $
$ p ( 1− p ¿ ) % & ( p ) = p$ ( m− $ ) ( 1 − p ¿m−$− 1 (− 1 ) ) +¿ 1 − p ¿
m− $− 1
( m−$ )¿ m− $ − p$ ¿ 1− p ¿ $−1 % & ( p )=( $ p ) ¿ % & ( p ) = 0
( m−$ ) ( 1− p ¿ m−$−1 )=0 m− $ 1− p ¿ −( p$ )¿ ( $ )( p$−1 )¿ 1− p ¿
m− $
( m−$ ) ( 1− p ¿ m−$−1 )=( $ )( p $−1)¿ ( p $) ¿ 1− p ¿
m− $
( m−$ ) ( 1− p ¿ m−$−1 )=( $ )( p $)( p−1 )¿ ( p$ )¿ ( m−$ )( 1 − p ¿ m−$−1) ¿ m− $ 1 − p ¿ ¿ $ ( $ )( p )( p−1)¿ ( p $) ¿ ¿ 1 − p ¿
m− $− 1
1− p ¿
m− $
=( $ )( p−1 )¿ ( m −$ )¿
m− $
1− p ¿ −1
=( $ )( p−1)¿ m− $ ¿ 1 − p ¿ ( m−$ )¿
1− p ¿
−1
1 − p ¿
¿
1− p
¿ ¿ ¿ m− $ ¿ m− $ 1 − p ¿ ¿ m− $ 1 − p ¿ ¿ ¿ m− $ ¿ 1− p ¿ ( m− $)¿ ¿ −1
1− p ¿
=( $ ) ( p−1 ) =( $)( p−1 ) ( m −$ )¿
m−$ $ = 1 − p p p ( m −$ )= $ (1 − p ) mp −$p =$ −$p mp =$ p=
$ m
espuesta Al tener a n como en nCmero de veces en una serie y m el nCmero de observaciones" se obtiene que para que se ma%imice condición ' Jp! para Bp
p=
$ m
36. Crecimiento de na e!pecie. Al#o m$s sobre el #usano de la manzana Jrecuerde el eercicio
-> de la sección >1! El porcentae de #usanos de la manzana que sobreviven la etapa de cris$lida a una temperatura dada KTL J#rados )elsius!" se modela por la formula
P (T )=−1,42 T + 68 T −746 2
@ara 2BT>B Encuentre las temperaturas a las cuales sobrevive el mayor porcentae y menor porcentae de cris$lida &atos Temperatura
P (T )=−1,42 T + 68 T −746 2
)ondición
@ara 2BT>B
Nerramientas y esolución
T =
−b ± √ b2− 4 ( a )( c ) 2a 2
68 ¿
− 4 (−1.42 )(−746 ) ¿ −68 ± ¿ T =¿ −68 ± 19.667 T = −2.84 T 1=17.01 T 2=30 P (T )=−1.42 T + 68 T −746 P& ( T ) =2 (−1.42 ) + 68 2
P& ( T ) =−2.84 T + 68
−2.84 T + 68 =0 −2.84 T =−68 −68 T = −2.84 T =23.94 espuesta )omo m$%ima temperatura en la etapa cris$lida los #usanos sobreviven a una temperatura de >Bo)elcius y como m.nima temperatura sobreviven a 2>F? o)elcius
