ESCUELA SUPERIOR POLITÉCNICA DEL LITORAL FACULT FACULTAD AD DE CIENCIAS NATURALES Y MATEMÁTICAS DEPARTAMENTO DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS CURSO DE NIVELACIÓN 2014 (1S) TAREA DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE REAL ING. ALEJANDRO CARRIÓN T.
1.
Sea f una función de variable real cuyo gráfico se adjunta. Entonces es verdad que: a)
f (4) + f (10) f (−2)
= − f (6)
b) f es es inyectiva. c) La regla de correspondencia de f es es
x + 2 ; x < 0 f ( x) = x 2 ; x>0 2 ; x = 2 d) f es es impar. e) f es es una función f unción par. . Sean f y y g dos dos funciones de variable real cuyos gráficos son respectivamente:
f ! x)
g ! x)
Entonces la función g es: es: a) b) c) d) e)
g ! x) g ! x) g ! x) g ! x) g ! x)
" f ! x) # 1 " f ! x) " $ f ! x) " f !$ !$ x #1) " f ! x $1)
%. Respecto a una función de variable variable real f cuya cuya gráfica se adjunta& identifique cuál de las siguientes proposiciones es verdadera: a) b) c) d) e)
es inyectiva. f es !') " f !') es estrictamente creciente. f es es impar. f es !$%) " f !%). !%). f !$%)
(. Sean f y g dos funciones de variable real& tales que f ! x) "
x + 3 & g ! x) "
1 x 2
−9
.
Entonces un dominio de la función ! f # g )! x) es: a)
IR *$%& %+
b)
!$%& ,$%& !$%& ,$%&
c) d) e)
%) %%) %-
/.
Sea g : IR → IR una función definida por g ! x): 0 x $ %0 $ (. dentifique cuál de las siguientes proposiciones es falsa:
a) b) c) d) e)
g !%) " $(
2.
Sea la función f : 3 → 3 con regla de correspondencia f ! x) " $ x ( x. dentifique cuál de las siguientes proposiciones es falsa:
a) b) c) d) e)
El rango de f es el intervalo !$ ∞& (). El v4rtice de su gráfica es el punto !$& (). f es creciente en el intervalo !$ ∞& $). f es par. Los ceros de f son $( y '.
5.
El rango de g es el intervalo ,$(& ∞) g es decreciente en el intervalo !'& ∞) g no es par. La gráfica de g interseca al eje X en el punto !$1& ')
Sea f una función de variable real tal que f ! x) " ax # bx # c6 a& b& c
∈ 3 ∧ a ≠ '.
Si f !') " 1'& f !) " '& f !/) " '& entonces f !1) es: a) b) c) d) e)
7.
( % 1 / Sea f una función lineal cuyo gráfico es una recta que contiene al punto
1 , 5 2 ÷ con
pendiente igual a - 5. 8etermine cuál de las siguientes proposiciones es falsa: a) f es una función decreciente. b)
0, − 15 ∈ f ÷ 2
c) dom f " IR d) !'& ') ∉ f e) f es biyectiva
9. Sean f y g dos funciones de IR en IR, tal que
2 x + 3 1
f ( x) =
;
x≥0
; x < 0
4 x ; g ( x) = 2 5 x − 1 ;
y
x ≤ −1 x > −1
!a "e#la de co""espondencia de ( f $ g ) es% a)
d)
4 x ( f + g ) ( x ) = 5 x 2 5 x 2 + 2 x + 2
; x ≤ −1 ; −1 < x < 0 ;x≥ 0
&)
4 x + 1 ( f + g ) ( x ) = 5 x 2 5 x 2 + 2 x + 2
; x ≤ −1 ; −1 < x < 0 ;x≥ 0
e)
; x ≤ −1 4 x + 1 ; −1 < x < 0 ( f + g ) ( x ) = 5 x 2 + 1 5 x 2 + 2 x + 1 ; x ≥ 0
; x ≤ −1 4 x + 1 ; −1 < x < 0 ( f + g ) ( x ) = 5 x 2 5 x 2 + 2 x + 1 ; x ≥ 0
c)
4 x + 1 ( f + g ) ( x ) = 5 x 2 + 1 5 x 2 + 2 x + 2
; x ≤ −1 ; −1 < x < 0 ;x≥ 0
1'. Sea f una funci'n de IR en IR dada po"
− x − 2 ; x ≤ −2 f ( x) = x 2 + 1 −2 < x < 2 % 3 ; x ≥ 2
!a #"fica de f es
2
11. onside"e la funci'n f de IR en IR tal que f(*)+ x 6 x $ 11% dentifique cul de
las si#uientes p"oposiciones es ./R/R a) !a #"fica de f es un su&conunto del uad"ante% &) /l "an#o de f es 2, ∞) c) !a #"fica de f y el ee tienen al enos un punto de inte"secci'n% d) f es una funci'n pa"% e) f es c"eciente si x es eno" o i#ual a ce"o% 1. Si se tiene la funci'n f IR IR, con "e#la de co""espondencia
x + 2 f ( x) = − x 2 + 2 − x + 2
Si x < −1 Si − 1 ≤ x ≤ 1 , entonces es 7e"dad que% Si x > 1
a) f es la funci'n on'tona &) f es una funci'n pa" c) f es acodada d) f es una funci'n inyecti7a e) f es una funci'n so&"eyecti7a 1%. Si f y g son dos funciones de IR en IR tales que
3 x 2 , f ( x) = x + 1,
8 x 8< 1 8 x 8≥ 1
y
2 − x , 2 ,
g ( x) =
x < −2 x ≥ −2
/ntonces la "e#la de co""espondencia de la funci'n (3 f 2 g ) es x < −2 2 x − 1 , x − 1 , −2 ≤ x ≤ − 1 a) 2 3 x − 2, −1 < x < 1 x − 1 , x ≥1 x < −2 x + , 3 x + , −2 ≤ x ≤ − 1 &) 2 9 x + 4, −1 < x < 1 3 x + , x ≥1 , x < −2 3 x + 3 , −2 ≤ x ≤ − 1 c) 2 3 x + 2, −1 < x < 1 x + 3 , x ≥1
e)
x < −2 3 x − 3 , x − 3 , −2 ≤ x ≤ −1 x 2 − 4 , −1 < x < 1 x − 3 , x ≥1
d)
x < −2 5 x − 1 , 3 x − 1 , −2 ≤ x ≤ − 1 9 x 2 − 4 , −1 < x < 1 3 x − 1 , x ≥1
1(. on "especto a la funci'n f de IR en IR con "e#la de co""espondencia
f ( x) + ( x2 4 x) s#n( x $ 1), es ./R que a) f es so&"eyecti7a &) f es on'tona c"eciente en el inte"7alo (-1, 2) c) f es pa" d) /l "an#o de f es (-∞, -5) ∪-4, $∞) e) ∃ x ∈ IR
[
f ( x) = −4%5]
x ≤ −4 x + 6, 2 1/. Sea f ( x ) = 16 − x , −4 < x < 4 % dentifique cul de las si#uientes p"oposiciones 6 − x, x≥4 es ./R/R a) /l "an#o de f es (-∞, 16) &) f es dec"eciente en el inte"7alo (-2, ∞) c) f es ipa" d) f es pa" e) f (-2) + 4 12. e los si#uientes enunciados identifique cul es ./R/R:
a) !a #"fica de f ( x)+ x $ 1 tiene el inte"cepto con el ee y en (1, 0)% &) /l doinio de f ( x) = x − 1 , es ∀ x ≥ − 1 % c) !a funci'n f ( x) + -x3; es est"ictaente dec"eciente en todo su doinio% d) /l "an#o de f ( x)+ ( x - 2)2 1 es 1, ∞)% e) Si f ( x)+ x2 8x8; ∀ x ∈ IR , entonces f (-2) + -%
15. on "especto a la funci'n de IR en IR dada po" f ( x)+ 8x2 - 48, uno de los si#uientes
enunciados es ./R/R:% dentif
f es inyecti7a% /l "an#o de f es el inte"7alo -4, ∞)% f no es pa"% !a funci'n es dec"eciente en el inte"7alo (-2, 0)% /l punto (0, 4) pe"tenece a la #"fica de f.
17. Sean f ( x)
= 2x −
10
y g ( x) + -3 x2% Sea h( x) + f ( x) $ g ( x)%
3 /ntonces es =!S: que
a) /l "an#o de h es (-∞, -3> 1 &) /l pa" o"denado , −3÷ es el 7?"tice de la #"fica de h. 3 c) h es una funci'n pa"% 1 d) h es c"eciente en el inte"7alo −∞, ÷ 3 e) h es dec"eciente en el inte"7alo
1 , ∞ 3 ÷
19. Respecto a la #"fica de una funci'n f de 7a"ia&le "eal que se adunta, es
./R que
a) &) c) d) e)
f (-2) + f (2) f es pe"i'dica% f es ipa"% f (-1) f (0) + 1 f es acotada
'. !a gráfica de la función f : IR
→ IR& tal que f ! x) " $ µ!$ x) # µ! x $ 1)& es:
