Analisis de Variable Real VMSR

´ ANALISIS DE VARIABLE REAL V´ıctor Manuel Sánchez de los Reyes

Departamento de Análisis Matemático Universidad Complutense de Madrid

Índice

1. Los n´ umeros reales, sucesiones y series 1.1. Los n´ umeros naturales. Inducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7 7

1.2. Los n´ umeros enteros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.3. Los n´ umeros racionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.4. Sucesiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.5. Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.6. Expresión decimal de los n´ umeros racionales . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.7. Los n´ umeros irracionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.8. Los n´ umeros reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.8.1. Ordenación. Intervalos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.8.2. Supremo e ´ınfimo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.8.3. Construcciones con n´ umeros reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.8.4. El teorema de Bolzano-Weierstrass . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1.8.5. Subsucesiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1.8.6. L´ımites superior e inferior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1.8.7. La propiedad de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 1.9. Series convergentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 1.9.1. Comparación de series de términos positivos . . . . . . . . . . . . . 29 3

ÍNDICE

4

1.9.2. Series alternadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 1.9.3. Convergencia absoluta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 1.9.4. Criterios de convergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 1.9.5. Producto de series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2. Funciones, l´ımites y continuidad

37

2.1. Funciones reales de variable real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.2. L´ımites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 2.3. Continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3. Derivaci´ on

49

3.1. Definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 3.2. Técnicas para el cálculo de derivadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 3.3. Propiedades de las funciones derivables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 3.3.1. Crecimiento y decrecimiento. Máximos y m´ınimos locales . . . . . . 55 3.3.2. El teorema del valor medio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 3.3.3. Derivadas de orden superior y el teorema de Taylor . . . . . . . . . 59 3.3.4. Análisis local de una función derivable . . . . . . . . . . . . . . . . 60 3.4. Cálculo de primitivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

4. Integraci´ on

67

4.1. Integral de una función continua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 4.2. La integral de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 4.3. El teorema fundamental del Cálculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 4.4. Integrales impropias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 4.5. Aplicaciones de la integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

ÍNDICE

5 4.5.1. Longitud de la gráfica de una función . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 4.5.2. Volumen y superficie lateral de un cuerpo de revolución . . . . . . . 79

4.6. Las funciones trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 4.7. Las funciones logar´ıtmica y exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 5. Sucesiones y series de funciones

83

5.1. Convergencia puntual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 5.2. Convergencia uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 5.3. Propiedades de la función l´ımite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 5.3.1. Continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 5.3.2. Integración . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 5.3.3. Derivación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 5.4. Series de potencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 Bibliograf´ıa

95

Cap´ıtulo 1 Los n´ umeros reales, sucesiones y series 1.1.

Los n´ umeros naturales. Inducci´ on

Definici´ on 1.1.1. Los n´ umeros naturales son los n´ umeros 1, 2, 3, . . . y N designa a la colección de todos ellos. Los axiomas de Peano constituyen una caracterización de N: (i) En N hay un elemento distinguido, 1. (ii) Para cada n ∈ N está definido en N de manera u ńica el siguiente de n, n+ , que verifica n+ 6= 1. (iii) n+ = m+ implica que n = m. (iv) (Principio de inducci´ on matem´ atica) Si un subconjunto A de N verifica que 1 ∈ A y, si k ∈ A, resulta también que k + ∈ A, entonces A = N. Definici´ on 1.1.2. Para definir la suma en N se procede as´ı: se fija un elemento arbitrario n ∈ N y se trata de definir n + m cuando m recorre N. Para ello se define n + 1 = n+ y n + m+ = (n + m)+ . De forma análoga, las relaciones n · 1 = n y n · m+ = n · m + n sirven para definir el producto. Por otra parte, n > m significa que n = m + d para alg´ un d ∈ N, y en estas circunstancias d se designa n − m, y se llama diferencia de n a m. El principio de inducción nos sirve para establecer que una determinada propiedad P (n) es verdadera para todo n ∈ N, de la forma siguiente: 7

´ CAPÍTULO 1. LOS NUMEROS REALES, SUCESIONES Y SERIES

8

(i) Comprobamos que P (1) es verdadera. (ii) Probamos que si P (k) es verdadera, entonces P (k + 1) es verdadera. En general, fijado n0 ∈ N, podemos establecer que una propiedad P (n) es verdadera para cada n ≥ n0 cuando se cumple: (i) P (n0 ) es verdadera. (ii) Si P (k) es verdadera (k ≥ n0 ), entonces P (k + 1) es verdadera. O bien: (i) P (n0 ) es verdadera. (ii) Si P (i) es verdadera para cada i tal que n0 ≤ i ≤ k, entonces P (k+1) es verdadera. Definici´ on 1.1.3. Dado n ∈ N se define el factorial de n como n! = n(n − 1)(n − 2) · · · 2 · 1. Definici´ on 1.1.4. Dados n ∈ N y k ∈ N∪{0} con k ≤ n se define el n´ umero combinatorio n como k n n! = k!(n − k)! k con la convención 0! = 1. Los n´ umeros combinatorios tienen las dos propiedades siguientes cuya comprobación es inmediata a partir de la definición anterior: n (i) nk = n−k . n n + con 0 < k ≤ n. (ii) n+1 = k k−1 k A partir de la propiedad anterior se demuestra fácilmente por inducción la fórmula de Newton: Teorema 1.1.5. Dado n ∈ N se tiene que n X n n−k k (a + b) = a b . k k=0 n

´ ´ 1.1. LOS NUMEROS NATURALES. INDUCCION

9

Ejercicios

1.- Calcular la suma de: (i) los n primeros n´ umeros naturales. (ii) los n primeros n´ umeros impares. (iii) los n primeros cubos. (iv) los n primeros cuadrados. (v) las potencias con exponente p ∈ N de los n primeros n´ umeros naturales. (vi) las potencias con exponente p ∈ N de los n primeros n´ umeros impares. 2.- Probar por inducción las siguientes igualdades y desigualdades, siendo en todos los casos n ∈ N: sen (n+1)x . (i) sen x2 (sen x + sen 2x + · · · + sen nx) = sen nx 2 2 (ii) sen x2 [1 + 2(cos x + cos 2x + · · · + cos nx)] = sen n +

1 2

x.

(iii) sen x2 (cos x + cos 2x + · · · + cos nx) = sen nx cos (n+1)x . 2 2 (iv) sen x2 sen x2 + sen 1 + 12 x + · · · + sen n + 12 x = sen2 (v) 1 +

n 2

≤ 1 + 12 + 13 + · · · +

1 2n

(n+1)x . 2

≤ n + 1.

(vi) (1 + a)n ≥ 1 + an, siendo a > 0. (vii) 22n > n2 . √ 2n · · · 2n−1 > 2n + 1. k+1 n x + · · · + (−1)n−k nn xn ≥ 0, siendo 0 ≤ x ≤ 1 y k = 0, 1, . . . , n. (ix) nk xk − k+1 (x) n(1 + x)n−1 = n1 + n2 2x + · · · + nn nxn−1 . (xi) n(n − 1)(1 + x)n−2 = n2 2 + n3 3 · 2x + · · · + nn n(n − 1)xn−2 , siendo n ≥ 2. (viii)

24 13

n X (xii) k 2k = 2 + (n − 1)2n+1 . k=1

(xiii) 2n ≤ (n + 1)!. (xiv)

1 1·2

+

1 2·3

+ ··· +

1 n(n+1)

=

n . n+1


10 (xv)

1 3

+

1 15

+ ··· +

1 4n2 −1

3.- Demostrar que xn =

n . 2n+1

= √1 5

h

√ n 1+ 5 2

−

√ n i 1− 5 2

∈ N para todo n ∈ N.

4.- Probar que para todo n ∈ N: (i) 22n + 15n − 1 es m´ ultiplo de 9. (ii) 5n − 1 es m´ ultiplo de 4. (iii) 7n − 6n − 1 es m´ ultiplo de 36. (iv) n5 − n es m´ ultiplo de 5. (v) 11n+2 + 122n+1 es m´ ultiplo de 133. (vi) 22n+1 + 1 es m´ ultiplo de 3. (vii) 4n+1 + 52n−1 es m´ ultiplo de 21. (viii) 106n+2 + 103n+1 + 1 es m´ ultiplo de 111. 5.- Demostrar que cualquier n´ umero de botellas mayor que 7 se puede envasar en bolsas de 3 y 5 botellas.

1.2.

Los n´ umeros enteros

Se trata ahora de obtener el conjunto Z de los n´ umeros enteros apoyándose en el ya conocido N. Al par ordenado (a, b) de n´ umeros naturales se asocia el entero positivo a − b si a > b, 0 si a = b y el entero negativo −(b − a) si a < b. Se observa as´ı que a pares distintos puede asociarse el mismo n´ umero entero n. Precisamente, se establece que la colección de tales pares constituye la identidad de n. Definici´ on 1.2.1. Las definiciones de suma, producto y ordenación en Z son las siguientes: (i) (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d). (ii) (a, b) · (c, d) = (ac + bd, bc + ad). (iii) (a, b) > (c, d) significa que a + d > b + c. Observaci´ on 1.2.2. Estas definiciones coinciden con las de N cuando se trata de enteros positivos y son independientes de la elección del par ordenado que representa a cada n´ umero.

´ 1.3. LOS NUMEROS RACIONALES

1.3.

11

Los n´ umeros racionales

A cada par ordenado (a, b) con b 6= 0 de n´ umeros enteros se asocia la fracción ab . Definici´ on 1.3.1. La suma y el producto de fracciones se define mediante a c ad + bc + = b d bd y

La fracción

a b

ac ac = . bd bd se llama positiva si ab > 0, siendo positiva la suma y el producto de fracciones

positivas. Que dos fracciones

a b

y

a0 b0

son equivalentes significa que ab0 = a0 b. La colección de

todas las fracciones que son equivalentes entre s´ı se llama n´ umero racional, y el conjunto de todos ellos se designa por Q. Observaci´ on 1.3.2. En las definiciones de suma y producto de dos fracciones la sustitución de un término por una fracción equivalente produce un resultado equivalente. Por esta razón, se establecen con tales definiciones la suma y el producto de n´ umeros racionales. Asimismo, las fracciones equivalentes a una positiva lo son también, el n´ umero correspondiente se llama positivo, y la colección de todos ellos se designa por Q+ . Que x ∈ Q+ se denota también x > 0. Por otra parte, si una fracción ab es tal que existe un entero n que verifica a = bn, 0 entonces cualquier fracción ab0 equivalente a ab verifica también que a0 = b0 n. En estas circunstancias el n´ umero racional correspondiente se identifica con n, y de esta forma se puede considerar que Z ⊂ Q. También resulta que las definiciones que se han establecido en Q coinciden con las de Z cuando se refieren a los elementos de Q que se identifican con los enteros. Las propiedades de la suma, el producto y la ordenación en Q son las siguientes: (i) Propiedad asociativa de la suma: (x + y) + z = x + (y + z). (ii) Propiedad conmutativa de la suma: x + y = y + x. (iii) x + 0 = x y x + (−x) = 0 (−x se llama opuesto de x, y está definido por

−a b

si

a b

representa a x. El n´ umero x + (−y) se designa también x − y y es el u ńico z que verifica x = y + z). (iv) Propiedad asociativa del producto: (xy)z = x(yz).


12

(v) Propiedad conmutativa del producto: xy = yx. (vi) x1 = x y xx−1 = 1 si x 6= 0 (x−1 se llama inverso de x, y está definido por

b a

si

a b

representa a x. El n´ umero xy −1 con y 6= 0 se designa también x : y y es el u ńico z tal que x = yz). (vii) Propiedad distributiva: x(y + z) = xy + xz. (viii) Cada x ∈ Q verifica una y solo una de las relaciones x > 0, x = 0 y −x > 0 (el valor absoluto de x, |x|, se define as´ı: |0| = 0, y si x 6= 0, |x| es el u ńico n´ umero positivo del conjunto {x, −x}). (ix) Si x, y > 0, entonces x + y > 0. (x) Si x, y > 0, entoces xy > 0 (la relación x > y (o y < x) significa x − y > 0). (viii’) Dados x, y ∈ Q, se verifica una y solo una de las relaciones x > y, x = y y x < y. (ix’) Propiedad transitiva del orden: si x > y e y > z, entonces x > z. (ix”) Si x > y, entonces x + z > y + z. (x’) Si x > y y z > 0, entonces xz > yz. El valor absoluto tiene las siguientes propiedades: (xi) |x + y| ≤ |x| + |y|. (xii) |xy| = |x||y|. (xi’) |x + y| ≥ |x| − |y|. Finalmente, se verifica también la llamada propiedad arquimediana: (xiii) Dados x > 0 y n ∈ N, existe m ∈ N tal que mx > n. Definici´ on 1.3.3. Dos conjuntos infinitos tienen el mismo cardinal si se puede establecer entre ellos una biyección. Los conjuntos que tienen el mismo cardinal que N se llaman numerables. Ejemplo 1.3.4. Q es numerable. En efecto, basta con ordenar Q de la siguiente forma: 0 1 −1 1 −1 2 −2 1 −1 3 −3 1 −1 2 −2 3 −3 4 −4 , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,··· . 1 1 1 2 2 1 1 3 3 1 1 4 4 3 3 2 2 1 1

1.4. SUCESIONES

13 Ejercicios

1.- Establecer una biyección entre N y el conjunto A = {x ∈ Q : 2 < x < 3}. 2.- Demostrar que no existe x ∈ Q tal que x2 = 2. √ √ √ √ 3.- Sean x, y ∈ Q+ tales que x + y ∈ Q. Probar que x, y ∈ Q. 4.- Averiguar si log4 5 ∈ Q.

1.4.

Sucesiones

Hay muchos procesos que llevan a asociar a cada n ∈ N un determinado n´ umero xn y se obtiene as´ı un objeto x1 , x2 , x3 , . . . , xn , . . . llamado sucesión. La mayor parte de las veces una sucesión se determina mediante una fórmula para n umero obtener xn a partir de n. Por ejemplo: xn = 1 + n1 . Otras veces se indica qué n´ es x1 y qué fórmula permite obtener cada uno de los demás a partir del anterior. Por ejemplo: x1 = 2, xn+1 = 21 xn + x2n . En general se llama sucesión recurrente a aquella en la que, a partir de alguno de sus términos, todos se obtienen mediante una fórmula (de recurrencia) que los relaciona con uno o varios términos precedentes. Es necesario entonces indicar expl´ıcitamente los primeros términos y utilizar la fórmula a partir del siguiente. No es necesario enumerar los términos de una sucesión a partir de 1. Puede hacerse a partir de n0 ∈ N, a partir de 0, etc. Definici´ on 1.4.1. Una sucesión xn es creciente (estrictamente creciente) si xn ≤ xn+1 (xn < xn+1 ) para todo n ∈ N y es decreciente (estrictamente decreciente) si xn ≥ xn+1 (xn > xn+1 ) para todo n ∈ N. Todos estos tipos de sucesiones se denominan sucesiones monótonas. Definici´ on 1.4.2. Una sucesión xn está acotada superiormente (inferiormente) si existe un n´ umero A tal que xn ≤ A (xn ≥ A) para todo n ∈ N. Se dice entonces que A es una cota superior (inferior) de la sucesión. Si xn está acotada superior e inferiormente se dice que está acotada. La observación de una sucesión creciente y acotada superiormente nos sugiere que existe un n´ umero x al cual los términos de la sucesión se acercan cada vez más, llegando a estar tan próximos a él como se pueda desear.


14

Definici´ on 1.4.3. Se dice que el n´ umero x es el l´ımite de la sucesión xn o que xn converge a x y se expresa mediante l´ım xn = x si para todo > 0 existe n0 ∈ N tal que para todo n→∞

n ∈ N con n ≥ n0 se tiene que |xn − x| < . Se dice entonces que xn es convergente. Las sucesiones que no son convergentes se denominan divergentes. Definici´ on 1.4.4. Se dice que la sucesión xn tiene l´ımite +∞ y se expresa mediante l´ım xn = +∞ si para todo A > 0 existe n0 ∈ N tal que para todo n ∈ N con n ≥ n0 se tiene que xn > A. Análogamente se define que la sucesión xn tiene l´ımite −∞. n→∞

Ejercicios 1 1 1 1.- Demostrar que xn = n1 + n+1 + n+2 + · · · + n+n es decreciente y que todos los términos de la sucesión son menores que 2.

2.- Se considera la sucesión xn dada por x1 = 1 y xn+1 = 13 xn + 4. Demostrar que xn < 6 para todo n ∈ N y que xn es creciente. 3.- Sea la sucesión xn dada por x1 = todo n ∈ N y que xn es decreciente.

3 2

y xn+1 = 2 −

1 . xn

Demostrar que 1 ≤ xn ≤ 2 para

4.- Determinar el l´ımite de cada una de las sucesiones siguientes: (i) xn =

n+100 . n2 +1

(ii) xn =

2n+1 . 3n+500

(iii) xn = 1 + 12 + 13 + · · · + n1 . (iv) xn =

2n2 +5n−1 . 3n3 +2n+1

(v) xn =

n3 −n2 −1 . 100n2 +25

(vi) xn =

3n3 +100 . 2n3 −100

5.- Estudiar la convergencia de: (i) 1, 0, 1, 0, 1, 0, . . . (ii) xn = [1 + (−1)n ] 21n + [1 + (−1)n+1 ] n2 . 6.- Demostrar que las siguientes sucesiones son monótonas, acotadas y no tienen l´ımite racional: 2 1 (i) x1 = 2, xn+1 = 2 xn + xn .

1.5. SERIES

15 1 1!

1 2!

(ii) xn =

1 0!

1.5.

Series

+

+

+ ··· +

1 . n!

Definici´ on 1.5.1. Dada la sucesión an , se dice que s es la suma de la serie

∞ P

an si la

n=1

sucesión de sumas parciales sk =

k P

an , con k ∈ N, converge a s. Se dice entonces que

n=1

dicha serie es convergente. Si la sucesión de sumas parciales es divergente, se dice que la serie es divergente. Ejercicios 1.- Estudiar la convergencia de: ∞ P

(i)

(−1)n .

n=1 ∞ P

(ii)

1 . n

n=1

(iii) la serie geométrica

∞ P

atn .

n=0

(iv)

∞ P n=1 ∞ P

(v)

n=0

√1 . n

3n+1 −2n−3 . 4n

2.- Demostrar que, dado k ∈ N, todas las sumas parciales de la serie

∞ P n=k+1

que

1 n!

son menores

1 . k!k

3.- Demostrar que todas las sumas parciales de la serie

∞ P n=1

1 n2

son menores que 2.

1 1 1 4.- Dada la sucesión xn = n1 + n+1 + n+2 + · · · + n+n , calcular los cuatro primeros términos de una serie cuyas primeras sumas parciales sean los cuatro primeros términos de xn .

1.6.

Expresi´ on decimal de los n´ umeros racionales

Nos vamos a referir solamente a fracciones

p q

tales que 0 < p < q ya que cualquier otra

fracción es la suma de un entero y una fracción de ese tipo.

16

´ CAPÍTULO 1. LOS NUMEROS REALES, SUCESIONES Y SERIES El proceso de las divisiones sucesivas correspondiente a pq se puede describir as´ı: p 10p r1 −1 10−1 = 10 = a + 1 q q q r2 −2 1 = 0.a1 + 10r 10 = 0.a + a + 10−2 1 2 q q 2 = 0.a1 a2 + 10r 10−3 = 0.a1 a2 + a3 + rq3 10−3 q = 0.a1 a2 a3 + rq3 10−3 = ···

Los restos sucesivos rn son todos menores que el divisor q, por lo cual, o bien se llega a un resto 0 y el proceso se termina, o bien se tiene que repetir alguno de los restos en las q primeras divisiones, y a partir de ah´ı el proceso es periódico. Los cocientes an son enteros no negativos menores que 10. Observaci´ on 1.6.1. La aplicación de este proceso a dos fracciones equivalentes produce la misma sucesión de cocientes. Esto significa que tal sucesión viene determinada un´ıvocamente por un n´ umero racional. Por tanto, el proceso de las divisiones sucesivas determina un representación periódica 0.a1 a2 . . . ar ar+1 ar+2 . . . ar+s ar+s+1 . . . en la que a partir de alguna posición un bloque de cifras (per´ıodo) empieza a repetirse, es decir, ar+s+1 = ar+1 , etc. Dicha representación infinita la interpretamos como la serie ∞ X

an 10−n

n=1

cuya suma parcial n-ésima es 0.a1 a2 . . . an . Ya que p rn = 0.a1 a2 . . . an + 10−n q q y 0 ≤ rn < q para cada n ∈ N resulta 0≤

p − 0.a1 a2 . . . an < 10−n q

y esto prueba que la suma de la serie es

p q

cuya representación decimal es la de partida

salvo que ésta tuviera per´ıodo 9. De aqu´ı se deduce que dos n´ umeros racionales distintos no pueden tener la misma representación decimal. Definici´ on 1.6.2. El mayor entero menor o igual que x ∈ Q se denomina parte entera de x, y se designa por [x].

´ 1.7. LOS NUMEROS IRRACIONALES

17

Observaci´ on 1.6.3. Dado x ∈ Q, x − [x] es un n´ umero racional no negativo y menor que 1. Ejercicios 1.- Sea x = 3,14205205205 . . .. Determinar la representación decimal de −x − [−x].

1.7.

Los n´ umeros irracionales

Definici´ on 1.7.1. Las expresiones decimales no periódicas las denominaremos n´ umeros irracionales. Ejemplos 1.7.2. (i) Consideremos la sucesión xn del Ejercicio 1.4.6.i con l´ımite irracional x. Ya que x2n converge a 2, se tiene que x2 = 2 debido a que |x2n − x2 | = |xn + x||xn − x| < √ 4|xn − x|. Por tanto, x = 2. Usando que √ 1 |x2n − 2| √ < n |xn − 2| = 2 |xn + 2| √ para todo n ≥ 3 podemos aproximar 2 con tantas cifras decimales exactas como se quiera. (ii) Al l´ımite irracional x de la sucesión xn del Ejercicio 1.4.6.ii se le designa por e. Usando el ejercicio 1.5.2 podemos aproximar e con tantas cifras decimales exactas como queramos. (iii) La relación entre la longitud de una circunferencia y la de su diámetro es un n´ umero irracional 3,141592 . . . que se designa por π.

1.8.

Los n´ umeros reales

Definici´ on 1.8.1. Los n´ umeros racionales y los irracionales constituyen el conjunto R de los n´ umeros reales.

1.8.1.

Ordenaci´ on. Intervalos

La ordenación de R se establece en los siguientes términos:


18

Definici´ on 1.8.2. x > y (o y < x) significa que [x] > [y], o bien [x] = [y] y en la primera posición en la que difieren las cifras de las partes decimales es mayor la cifra correspondiente a x. Que x es positivo significa que x > 0, y R+ designa al conjunto de los n´ umeros reales positivos. La relación x ≥ y (o y ≤ x) significa que x > y o bien x = y. Observaci´ on 1.8.3. Sea x ∈ R con parte decimal 0.a1 a2 a3 . . .. Las sumas parciales de ∞ P la serie [x] + an 10−n constituyen la sucesión creciente de n´ umeros racionales xn = n=1

[x] + 0.a1 a2 a3 . . . an la cual está acotada inferiormente por [x] y superiormente por x, y además converge a x, es decir, x es la suma de dicha serie. Definici´ on 1.8.4. Dados a, b ∈ R con a < b se definen los intervalos acotados de extremos a y b de la siguiente forma: (a, b) = {x ∈ R : a < x < b}, [a, b] = {x ∈ R : a ≤ x ≤ b}, (a, b] = {x ∈ R : a < x ≤ b}, [a, b) = {x ∈ R : a ≤ x < b}. El primero se denomina intervalo abierto, y el segundo, cerrado. El n´ umero positivo b − a se denomina longitud de cada uno de ellos. Definici´ on 1.8.5. Dado a ∈ R se definen los intervalos no acotados de la siguiente forma: (a, +∞) = {x ∈ R : x > a}, [a, +∞) = {x ∈ R : x ≥ a}, (−∞, a) = {x ∈ R : x < a}, (−∞, a] = {x ∈ R : x ≤ a}, (−∞, +∞) = R. Dado n ∈ Z, consideremos el intervalo [n, n + 1). Los diez intervalos disjuntos de la forma [n + k 10−1 , n + (k + 1)10−1 ) con 0 ≤ k ≤ 9 se denominan intervalos de la primera generación. Pertenecer al mismo intervalo de la primera generación significa tener igual la primera cifra decimal además de la parte entera. Cada uno de los intervalos de la primera generación lo dividimos en diez intervalos de la segunda generación (los n´ umeros del mismo intervalo coinciden en las dos primeras cifras decimales) y as´ı sucesivamente. Cualquier n´ umero de [n, n+1) está determinado si se conocen los intervalos de las sucesivas generaciones a los que pertenece, pues ello equivale a conocer todas las cifras decimales del mismo. Observaci´ on 1.8.6. No puede suceder que los intervalos de las sucesivas generaciones a los que un determinado n´ umero pertenece tengan el mismo extremo derecho desde uno de ellos en adelante, pues entonces tal n´ umero tiene per´ıodo 9.

´ 1.8. LOS NUMEROS REALES

19

Definici´ on 1.8.7. Dados A, B conjuntos infinitos, se dice que el cardinal de B es mayor que el de A si existe una aplicación inyectiva de A en B y no existe una biyección de A en B. Ejemplo 1.8.8. El cardinal de cualquier intervalo de n´ umeros reales es mayor que el de N. En efecto, sean (a, b) ⊂ R, ak la primera cifra decimal de a menor que la correspondiente de b y ai la primera cifra decimal de a con i > k menor que 9. Definimos una aplicación inyectiva f de N en (a, b) mediante f (n) = [a] + 0.a1 a2 . . . ai−1 + (ai + 1)10−i + 10−i−1 + 10−i−2 + · · · + 10−i−n con n ∈ N. Y cualquier aplicación inyectiva f de N en (a, b) no es sobreyectiva ya que basta considerar un n´ umero de (a, b) que difiera en alguna cifra decimal con f (n) para todo n ∈ N.

1.8.2.

Supremo e ´ınfimo

Definici´ on 1.8.9. Sea A ⊂ R, A 6= ∅. Un n´ umero mayor (menor) o igual que cada elemento de A se llama cota superior (inferior) de A. Cuando A tiene cota superior (inferior) se dice que está acotado superiormente (inferiormente). Cuando suceden ambas cosas se dice que está acotado. Si A está acotado superiormente (inferiormente), puede haber un elemento máximo (m´ınimo) que se designa máx A (m´ın A) y que es mayor (menor) o igual que todos los demás. Observaci´ on 1.8.10. No todos los conjuntos acotados tienen máximo y m´ınimo. Por ejemplo, (0, 1). Definici´ on 1.8.11. Sea A ⊂ R, A 6= ∅. Se definen el supremo y el ´ınfimo de A mediante: sup A = m´ın{C ∈ R : x ≤ C ∀x ∈ A} y ´ınf A = máx{c ∈ R : x ≥ c ∀x ∈ A}. Observaci´ on 1.8.12. El intervalo [´ınf A, sup A] contiene a A y cualquier intervalo cerrado contenido en éste y distinto de él no contiene a A. Teorema 1.8.13 (Teorema del supremo (´ınfimo)). Sea A ⊂ R, A 6= ∅ y acotado superiormente (inferiormente). Entonces existe sup A (´ınf A).


20

Demostración. Sea s el m´ınimo entero cota superior de A. Si s ∈ A, entonces s = sup A. En otro caso, [s − 1, s) ∩ A 6= ∅. Los demás elementos de A carecen de interés en orden a obtener el supremo. Consideramos la descomposición de [s − 1, s) en los diez intervalos de la primera generación y elegimos de ellos el situado más a la derecha entre los que tienen elementos de A. Dividimos éste en los diez intervalos de la segunda generación y elegimos otra vez el situado más a la derecha entre los que tienen elementos de A. As´ı continuamos indefinidamente. Los intervalos de las sucesivas generaciones que se han ido encontrando, o bien definen un n´ umero que pertenece a todos y es claramente sup A, o bien desde uno en adelante todos tienen el mismo extremo derecho, el cual es sup A. La prueba para ´ınf A se hace con un procedimiento análogo. Observaci´ on 1.8.14. Los términos supremo e ´ınfimo se suelen usar también para referirse a conjuntos A no acotados superiormente (sup A = +∞) o inferiormente (´ınf A = −∞). Observaci´ on 1.8.15. El supremo y el ´ınfimo de una sucesión se designan sup xn e ´ınf xn n∈N

n∈N

y son, respectivamente, el supremo y el ´ınfimo del conjunto constituido por los n´ umeros que son algunos de sus términos. Observaci´ on 1.8.16. El supremo de una sucesión creciente es su l´ımite, al igual que el ´ınfimo de una decreciente.

1.8.3.

Construcciones con n´ umeros reales

Definici´ on 1.8.17. Dados x, y ∈ R con partes enteras a0 y b0 y partes decimales 0.a1 a2 . . . y 0.b1 b2 . . . respectivamente, se define la suma x + y como el l´ımite de la sucesión creciente y acotada superiormente (por ejemplo, por a0 + b0 + 2) a0 + b0 + 0.a1 a2 . . . an + 0.b1 b2 . . . bn . Si x + y = 0, o bien y = −x, se dice que y es el opuesto de x (y x el opuesto de y). La suma x + (−y) se expresa también de la forma x − y. Definici´ on 1.8.18. El valor absoluto de x ∈ R, |x|, se define as´ı: |0| = 0, y si x 6= 0, |x| es el u ńico n´ umero positivo del conjunto {x, −x}. Observaci´ on 1.8.19. Puesto que −(−x) = x, resulta que | − x| = |x|. Por otra parte, la relación |x| < es equivalente a x < y −x < , y lo mismo puede decirse de la relación |x| ≤ . Proposici´ on 1.8.20. (i) (Desigualdad triangular) Si x, y ∈ R, entonces |x + y| ≤ |x| + |y|.


21

(ii) Si x, y ∈ R, entonces |x + y| ≥ |x| − |y|. (iii) Toda sucesión convergente está acotada. (iv) Si l´ım xn = x y l´ım yn = y, entonces l´ım (xn + yn ) = x + y y l´ım (−xn ) = −x. n→∞

n→∞

n→∞

n→∞

Demostración. (i) Basta usar la observación anterior y considerar los cuatro casos posibles, es decir, x, y ≥ 0, y < 0 ≤ x, x < 0 ≤ y y x, y < 0. (ii) Sustituyendo en la desigualdad triangular x por x−y y después y por −y se obtiene dicha desigualdad. (iii) y (iv) Basta usar la desigualdad triangular. Definici´ on 1.8.21. Dados x, y ∈ R con partes enteras a0 y b0 y partes decimales 0.a1 a2 . . . y 0.b1 b2 . . . respectivamente, se define el producto xy como el l´ımite de la sucesión a0 b0 + a0 0.b1 b2 . . . bn + b0 0.a1 a2 . . . an + 0.a1 a2 . . . an 0.b1 b2 . . . bn . Obsérvese que los tres u ´ltimos sumandos constituyen sucesiones monótonas y acotadas, luego convergentes. Proposici´ on 1.8.22. (i) Si x, y ∈ R, entonces |xy| = |x||y|. (ii) Si l´ım xn = x y l´ım yn = y, entonces l´ım (xn yn ) = xy. n→∞

n→∞

n→∞

(iii) Para cada x ∈ R con x 6= 0 existe su inverso x−1 que verifica xx−1 = 1. −1 (iv) Si l´ım xn = x 6= 0 y xn 6= 0 para todo ∈ N, entonces l´ım x−1 n = x . n→∞

n→∞

(v) Si l´ım xn = x, l´ım yn = y y xn ≤ yn para todo n ∈ N, entonces x ≤ y. n→∞

n→∞

(vi) (M´ etodo del sandwich para calcular el l´ımite de una sucesión xn ) Si yn ≤ xn ≤ zn para todo n ∈ N y l´ım yn = l´ım zn = x, entonces l´ım xn = x. En particular, si n→∞

n→∞

n→∞

y ≤ xn ≤ z para todo n ∈ N y l´ım xn = x, entonces y ≤ x ≤ z. n→∞

Demostración. (i) Trivial. (ii) Basta usar que xn yn − xy = xn yn − xyn + xyn − xy, la desigualdad triangular y que toda sucesión convergente está acotada. (iii) Si a0 y 0.a1 a2 . . . son las partes entera y decimal de x, existen δ ∈ Q+ y n0 ∈ N tales que |a0 + 0.a1 a2 . . . an | > δ si n ≥ n0 . La sucesión de n´ umeros racionales (a0 + 0.a1 a2 . . . an )−1 con n ≥ n0 es monótona y acotada luego convergente a y. Ya que las sucesiones xn = a0 +0.a1 a2 . . . an e yn = x−1 n con n ≥ n0 convergen a x e y respectivamente, la sucesión xn yn converge a xy, pero como xn yn = 1 para todo n ≥ n0 se tiene que xy = 1, es decir, y es el inverso de x.


22

(iv) Esto se prueba usando que |xn | >

|x| 2

a partir de cierto término lo cual se tiene en

virtud de que ||x| − |y|| ≤ |x − y| con x, y ∈ R. (v) Por reducción al absurdo. (vi) Basta usar (v). Observaci´ on 1.8.23. Si l´ım xn = x y l´ım yn = y y xn < yn para todo n ∈ N, entonces n→∞

n→∞

no necesariamente x < y. Considérese por ejemplo xn =

1 n

e yn = n2 .

Definici´ on 1.8.24. Las potencias con exponente entero de x ∈ R se definen as´ı: x0 = 1, xn+1 = xn x con n ≥ 0, y x−n = (x−1 )n con n ∈ N. Proposici´ on 1.8.25. (i) Si x ∈ R y n, m ∈ Z, entonces xn+m = xn xm y (xn )m = xnm . (ii) Si x, y > 0 y n ∈ N, entonces x > y si y solo si xn > y n . m con m ∈ N. (iii) Si l´ım xn = x, entonces l´ım xm n = x n→∞

n→∞

(iv) Dados n ∈ N, n ≥ 2, y a > 0 existe un u ńico x > 0 tal que xn = a, el cual se √ designa n a y se llama ra´ız n-ésima de a. Demostración. (i) Trivial. (ii) Basta usar que xn − y n = (x − y)(xn−1 + xn−2 y + · · · + y n−1 ). (iii) Se obtiene aplicando reiteradamente que el l´ımite de un producto de sucesiones convergentes es el producto de sus l´ımites. (iv) Sea A = {x ∈ R+ : xn ≤ a} 6= ∅ ya que l´ım n1 = 0. También A está acotado n→∞ superiormente por 1 si a ≤ 1 n o por a si a > 1 con lo que existe sup A = x. o Supongamos n−1 n−2 n n n −1 n n que x < a y sea 0 < δ < m´ın 1, (a − x ) 1 x + 2 x + ··· + n . Usando la fórmula de Newton se tiene que (x + δ)n < xn + δ n1 xn−1 + n2 xn−2 + · · · + nn < a lo cual contradice que sup A = x. Consideremos ahora cualquier sucesión xm estrictamente creciente de n´ umeros positivos y que converja a x. Para cada m ∈ N se tiene que xm < x y existe alg´ un elemento de A entre xm y x con lo que xm ∈ A y, por tanto, xn = l´ım xnm ≤ a, m→∞

es decir, xn = a. La unicidad es consecuencia de la descomposición en factores de xn − y n anterior. m

Definici´ on 1.8.26. Las potencias con exponente racional de a > 0 se definen as´ı: a n = √ m m n am y a− n = (a−1 ) n con m, n ∈ N. Si a > 1, las potencias crecen al hacerlo el exponente y l´ım an = +∞ y l´ım a−n = 0. Y si a < 1, las potencias decrecen al crecer el exponente n→∞

n→∞


23

y l´ım an = 0 y l´ım a−n = +∞. Si x tiene parte entera a0 y parte decimal 0.a1 a2 . . ., se n→∞

n→∞

define ax como el l´ımite de la sucesión monótona y acotada aa0 +0.a1 a2 ...an . Si ax = y, a x se le llama logaritmo en base a de y, loga y. De las construcciones que hemos hecho se llega a la siguiente caracterización axiomática de R: (i) R es un conjunto en el que se han definido la suma y el producto de dos elementos, verificando dichas operaciones las propiedades asociativa, conmutativa y distributiva de la suma respecto del producto. Existen elementos neutros (0 para la suma y 1 para el producto), para cada x ∈ R existe −x tal que x + (−x) = 0 (opuesto) y para cada x 6= 0 existe x−1 tal que xx−1 = 1 (inverso). (ii) Cada x ∈ R verifica una y solo una de las relaciones x > 0, x = 0 y −x > 0. Y si x, y > 0, entonces x + y, xy > 0. (iii) (Propiedad del supremo) Si A ⊂ R, A 6= ∅ y está acotado, entonces existe sup A. La propiedad arquimediana es una consecuencia de estos axiomas: Proposici´ on 1.8.27 (Propiedad arquimediana). Dados x, y ∈ R con x > 0, existe n ∈ N tal que nx > y. Demostración. Sea A = {nx : n ∈ N}. Si nx ≤ y para todo n ∈ N, A estar´ıa acotado y existir´ıa sup A. Por tanto, existir´ıa n0 ∈ N tal que sup A − x < n0 x lo cual es una contradicción.

1.8.4.

El teorema de Bolzano-Weierstrass

Dos sucesiones an y bn creciente y decreciente respectivamente y tales que an < bn para todo n ∈ N definen la sucesión de intervalos [an , bn ] cada uno de los cuales contiene al siguiente por lo que se llaman intervalos encajados. Ambas sucesiones son convergentes a a y b respectivamente por ser monótonas y acotadas, verificándose a ≤ b y siendo a = b si l´ım (bn − an ) = 0. La intersección de dichos intervalos es [a, b]. n→∞

Teorema 1.8.28 (Teorema de Bolzano-Weierstrass). Sea A ⊂ R infinito y acotado. Existe x ∈ R y una sucesión xn cuyos términos pertenecen a A y son distintos dos a dos tales que l´ım xn = x. n→∞


24

Demostración. Por ser acotado, A ⊂ [a1 , b1 ]. Sea c1 =

a1 +b1 . 2

Alguno de los intervalos

[a1 , c1 ] y [c1 , b1 ] debe contener infinitos elementos de A. Lo designamos [a2 , b2 ]. Y as´ı sucesivamente. Existe un u ńico x ∈ R que pertenece a todos los intervalos encajados [an , bn ] pues l´ım (bn − an ) = 0. Eligiendo en cada intervalo [an , bn ] un elemento xn de A distintos n→∞

dos a dos obtenemos una sucesión con la propiedad requerida. Al n´ umero x del teorema anterior se le llama punto de acumulación de A lo cual se define de la siguiente forma: x ∈ R es punto de acumulación de A ⊂ R si para cada intervalo al que pertenece x también pertenece alg´ un elemento de A distinto de x.

1.8.5.

Subsucesiones

Definici´ on 1.8.29. Dada una sucesión estrictamente creciente j(n) de n´ umeros naturales, la sucesión yn = xj(n) se llama subsucesión de xn . Observaci´ on 1.8.30. Si l´ım xn = x ∈ [−∞, +∞], cualquiera de sus subsucesiones tiene n→∞

el mismo l´ımite. Proposici´ on 1.8.31. Para cada sucesión acotada xn existe alguna subsucesión convergente. Demostración. Sea A = {xn : n ∈ N}. Si A es finito, entonces alg´ un elemento de A se repite infinitas veces como término y, si se suprimen los demás, la subsucesión resultante es constante. Si A es infinito, considerando la construcción hecha en la demostración del teorema de Bolzano-Weierstrass, elegimos y1 = x1 , y2 = xj(2) siendo j(2) > 1 y tal que y2 ∈ [a2 , b2 ], y3 = xj(3) siendo j(3) > j(2) y tal que y3 ∈ [a3 , b3 ], etc. La subsucesión yn converge a x.

1.8.6.

L´ımites superior e inferior

Definici´ on 1.8.32. Dada una sucesión xn se definen sus l´ımites superior e inferior de la siguiente forma: l´ım sup xn = l´ım sup xn m→∞ n≥m

y l´ım inf xn = l´ım ´ınf xn . m→∞ n≥m


25

Observaci´ Los on 1.8.33. l´ımites superior e inferior de xn están bien definidos pues sup xn e ´ınf xn son sucesiones decreciente y creciente respectivamente. n≥m

m∈N

n≥m

m∈N

Proposici´ on 1.8.34. (i) l´ım inf xn ≤ l´ım sup xn y si se tiene la igualdad, entonces l´ım xn = l´ım sup xn = l´ım inf xn .

n→∞

(ii) l´ım inf xn = − l´ım sup(−xn ). (iii) Si xj(n) es una subsucesión de xn , entonces l´ım inf xn ≤ l´ım inf xj(n) ≤ l´ım sup xj(n) ≤ l´ım sup xn . (iv) Si A es el conjunto de n´ umeros que son el l´ımite de alguna subsucesión de xn , entonces l´ım sup xn = sup A y l´ım inf xn = ´ınf A. (v) Si xn ≤ yn para todo n ∈ N, entonces l´ım sup xn ≤ l´ım sup yn y l´ım inf xn ≤ l´ım inf yn . (vi) l´ım sup(xn + yn ) ≤ l´ım sup xn + l´ım sup yn y resulta la igualdad si alguna de las dos sucesiones converge. (vii) l´ım inf(xn + yn ) ≥ l´ım inf xn + l´ım inf yn y resulta la igualdad si alguna de las dos sucesiones converge. (viii) Si l´ım xn = x > 0, entonces l´ım sup(xn yn ) = x l´ım sup yn . n→∞

Demostración. (i) y (ii) Trivial. (iii) Para demostrar la primera desigualdad siendo xn acotada basta razonar por reducción al absurdo y considerar < l´ım inf xn − l´ım inf xj(n) . El caso no acotado es trivial. La tercera desigualdad se obtiene de forma análoga. (iv) Es consecuencia de que hay subsucesiones de xn que convergen a l´ım sup xn y subsucesiones que convergen a l´ım inf xn . (v) Obvio. (vi) La desigualdad se tiene gracias a que xn +yn ≤ sup xn + sup yn para todo m ∈ N y n≥m

n≥m

todo n ≥ m. Sea ahora l´ım xn = x y l´ım sup yn = y. Si y no es finito se obtiene fácilmente n→∞

la igualdad. En caso contrario, dado > 0, existe n0 ∈ N tal que xn + yn < x + y + si n ≥ n0 y existen infinitos términos de la sucesión xn +yn en el intervalo (x+y −, x+y +) lo cual prueba la igualdad.


26

(vii) Es suficiente utilizar (vi) y tener en cuenta que l´ım inf zn = − l´ım sup(−zn ) para toda sucesión zn . (viii) Supongamos que l´ım sup yn es finito pues en caso contrario la demostración se obtiene sin dificultad. Ya que x 6= 0, una subsucesión yj(n) de yn es n convergente si y osolo si es convergente xj(n) yj(n) . Resulta entonces l´ım sup(xn yn ) = sup l´ım (xj(n) yj(n) ) = n→∞ n o n o sup x l´ım yj(n) = x sup l´ım yj(n) = x l´ım sup yn donde el supremo está tomado sobre n→∞

n→∞

todas las subsucesiones convergentes de yn .

1.8.7.

La propiedad de Cauchy

Definici´ on 1.8.35. Una sucesión xn tiene la propiedad de Cauchy si para todo > 0 existe n0 ∈ N tal que para todos n, m ≥ n0 se tiene que |xn − xm | < . Proposici´ on 1.8.36. (i) Las sucesiones convergentes tienen la propiedad de Cauchy. (ii) Las sucesiones que tienen la propiedad de Cauchy están acotadas. (iii) Las sucesiones que tienen la propiedad de Cauchy son convergentes. Demostración. (i) Sea xn una sucesión convergente a x. Basta con usar que xn − xm = xn − x + x − xm y la desigualdad triangular. (ii) Sea xn una sucesión con la propiedad de Cauchy. Existe n0 ∈ N tal que para todos n, m ≥ n0 se tiene que |xn −xm | < 1. Si n ≥ n0 , entonces |xn | ≤ |xn −xn0 |+|xn0 | < 1+|xn0 | con lo que |xn | ≤ máx{|x1 |, |x2 |, . . . , |xn0 −1 |, 1 + |xn0 |} para todo n ∈ N. (iii) Sea xn una sucesión con la propiedad de Cauchy, luego acotada, con lo que sus l´ımites superior e inferior son finitos. Supongamos que l´ım inf xn < l´ım sup xn y sea = 1 (l´ım sup xn − l´ım inf 3

xn ). Para cada n0 ∈ N existen n, m ≥ n0 tales que xn < l´ım inf xn +

y xm > l´ım sup xn − por lo que xm − xn > lo cual es contradictorio con que xn tenga la propiedad de Cauchy. Ejercicios 1.- Si A ⊂ R, −A designa al conjunto cuyos elementos son los opuestos de los elementos de A. Demostrar que ´ınf A + sup(−A) = 0 siendo A acotado. 2.- Dada una sucesión xn , probar que sup xn = l´ım máx(x1 , x2 , . . . , xn ) n∈N

n→∞


27

y que ´ınf xn = l´ım m´ın(x1 , x2 , . . . , xn ). n∈N

n→∞

3.- Sean A, B ⊂ R con A, B 6= ∅ tales que x ≤ y ∀x ∈ A, ∀y ∈ B. Probar que ∃ sup A,´ınf B y que sup A ≤ ´ınf B. 4.- Determinar si los siguientes subconjuntos de R están acotados superior o inferiormente y, en caso afirmativo, calcular supremo e/o ´ınfimo: p √ (i) A = {x ∈ R : (x − 3)(2 − x) < 4x2 + 12x + 11}. (ii) B = n + m1 : n, m ∈ N . n o 1 2 (iii) C = n2 +1 − (2m−1)2 : n, m ∈ N . 5.- Dados A, B ⊂ R, se define el conjunto C = {a + b : a ∈ A, b ∈ B}. Probar que si A y B están acotados, entonces C también está acotado y expresar sup C e ´ınf C en términos de sup A y sup B y de ´ınf A e ´ınf B respectivamente. 6.- Probar que dada una sucesión xm de n´ umeros positivos tal que l´ım xm = x se tiene m→∞ √ √ que l´ım n xm = n x con n ∈ N. m→∞

xn n→∞ x

7.- Probar que si x 6= 0, entonces l´ım xn = x si y solo si l´ım n→∞

= 1.

8.- ¿Pueden ser 0 infinitos términos de una sucesión que converge a un n´ umero distinto de 0? 9.- Calcular los l´ımites superior e inferior de las siguientes sucesiones: 1 (i) xn = 1 + n1 sen nπ + 1 − cos nπ . 2 n 2 1 (ii) 21 , 31 , 23 , 14 , 42 , 34 , · · · , k1 , k2 , · · · , k−1 , k+1 ,···. k

. (iii) xn = cosn 2nπ 3 √ n (iv) xn = 1 + 2(−1)n n . 10.- Sea xn una sucesión de n´ umeros positivos tal que xn+m ≤ xn +xm para todo n, m ∈ N. xn Probar que la sucesión n es convergente. 11.- Sean xn una sucesión acotada e yn =

x1 +x2 +···+xn . n

y que l´ım inf xn ≤ l´ım inf yn . 12.- Dado a > 0, demostrar los siguientes resultados:

Probar que l´ım sup yn ≤ l´ım sup xn


28

(i) l´ım xn = 0 si y solo si l´ım axn = 1. n→∞

n→∞

(ii) Si l´ım xn = x, entonces l´ım axn = ax . n→∞

n→∞

(iii) l´ım xn = 1 si y solo si l´ım loga xn = 0, siendo xn > 0 para todo n ∈ N. n→∞

n→∞

(iv) Si l´ım xn = x, entonces l´ım loga xn = loga x, siendo xn , x > 0 para todo n ∈ N. n→∞

n→∞

(v) Si l´ım xn = x y l´ım yn = y, entonces l´ım xn yn = xy , siendo xn , x > 0 para todo n→∞

n→∞

n→∞

n ∈ N. 13.- Sea xn una sucesión de términos no nulos con l´ım xn = ±∞. Demostrar que n→∞

l´ım

n→∞

1+

1 xn

xn

14.- Calcular el l´ımite de las siguientes sucesiones: √ (i) xn = n a siendo a > 0. (ii) xn = an siendo a > 0. (iii) xn =

10n . n!

√ n n. √ √ (v) xn = p n + 1 − p n con p ∈ N. √ (vi) xn = n2 + n − n. √ √ (vii) xn = n( n n + 1 − n n). √ (viii) xn = n( n e − 1). (iv) xn =

(ix) x1 = 13 , xn+1 =

q1 . 1+ x1 −1 n

(x) xn =

n−1 n+2 . n+3

(xi) xn =

1−2n3 5−2n3

3n2

.

n (xii) xn = 1 + sen n1 . n (xiii) xn = cos n1 . n2 (xiv) xn = cos n1 . (xv) xn =

a log(1+ n )

sen

b n

siendo a, b 6= 0.

= e.

1.9. SERIES CONVERGENTES

29

(xvi) xn = en! − [en!]. = λ, 15.- Demostrar que si an es una sucesión de términos positivos tal que l´ım an+1 n→∞ an √ entonces l´ım n an = λ. Como aplicación calcular los l´ımites de las sucesiones siguientes: n→∞

√ (i) xn = n n!. q (ii) xn = n 1 + 21 + 13 + · · · + n1 . 16.- (Criterio de Stolz) Demostrar que si bn es una sucesión de términos positivos tal que la sucesión b1 + b2 + · · · + bn no está acotada y an es cualquier sucesión tal que l´ım an n→∞ bn

a1 +a2 +···+an n→∞ b1 +b2 +···+bn

= λ, entonces l´ım

= λ. Como aplicación calcular los l´ımites de las

sucesiones siguientes: (i) xn =

log n . n

(ii) xn =

1 1+ 21 + 31 +···+ n n

1.9.

Series convergentes

.

Proposici´ on 1.9.1. Si la serie

∞ P

an es convergente, entonces l´ım an = 0. n→∞

n=1

Demostración. Ya que la sucesión de sumas parciales verifica la propiedad de Cauchy, j P dado > 0, existe k0 ∈ N tal que si i, j ≥ k0 , con i < j, entonces an < . Tomando n=i+1 j = i + 1 se tiene el resultado.

1.9.1.

Comparaci´ on de series de t´ erminos positivos

Proposici´ on 1.9.2. Si 0 < an ≤ bn para todo n ∈ N y ∞ P

∞ P

bn es convergente, entonces

n=1

an es también convergente.

n=1

Demostración. La sucesión de sumas parciales de

∞ P

an es creciente y acotada superior-

n=1

mente. Proposici´ on 1.9.3. Sean

∞ P n=1

an y

∞ P n=1

bn dos series de términos positivos.


30 an n→∞ bn

(i) Si l´ım

= λ > 0, entonces ambas series tienen el mismo carácter, es decir, o

ambas son convergentes o ambas son divergentes. an n→∞ bn

(ii) Si l´ım

=0y

∞ P

bn es convergente, entonces

n=1

∞ P

an es también convergente.

n=1

Demostración. (i) Existe n0 ∈ N tal que λ2 bn < an <

3λ b 2 n

para todo n ≥ n0 . La Proposi-

ción 1.9.2 nos da el resultado. (ii) Existe n0 ∈ N tal que an < bn para todo n ≥ n0 . La Proposición 1.9.2 nos da el resultado.

1.9.2.

Series alternadas

Definici´ on 1.9.4. Si an es una sucesión de n´ umeros positivos, a las series ∞ P

∞ P

(−1)n an y

n=1 n−1

(−1)

an se les llama series alternadas.

n=1

Proposici´ on 1.9.5. Si an es una sucesión decreciente de n´ umeros positivos y convergente ∞ ∞ P P a 0, entonces las series alternadas (−1)n an y (−1)n−1 an son convergentes. n=1

n=1

Demostración. Vamos a considerar la segunda serie alternada. Un razonamiento análogo puede hacerse con la primera. Basta observar que las subsucesiones s2k−1 y s2k , con k ∈ N, son decreciente y creciente, respectivamente, y que s2k−1 > s2k para todo k ∈ N, con lo que la sucesión de intervalos encajados [s2k , s2k−1 ] tiene como intersección de todos ellos un u ńico n´ umero s (por converger a cero la longitud de los mismos) que es la suma de la serie.

1.9.3.

Convergencia absoluta

Definici´ on 1.9.6. Se dice que la serie ∞ P

∞ P

an es absolutamente convergente si la serie

n=1

|an | es convergente.

n=1

Observaci´ on 1.9.7. Si una serie es absolutamente convergente, entonces es convergente porque en virtud de la desigualdad triangular tiene la propiedad de Cauchy. ∞ P Definici´ on 1.9.8. Si j : N → N es una biyección, se dice que la serie aj(n) es una reordenación de la serie

∞ P n=1

n=1

an .

1.9. SERIES CONVERGENTES ∞ P

Teorema 1.9.9. Si la serie

an es absolutamente convergente y tiene suma s, cualquier

n=1

∞ P

reordenación suya

31

aj(n) tiene también suma s.

n=1

Demostración. Sean sk y s0k las respectivas sucesiones de sumas parciales de ∞ P

∞ P

aj(n) . Ya que la serie

n=1

∞ P

an y

n=1

|an | tiene la propiedad de Cauchy, dado > 0 existe k0 ∈ N

n=1 j P

tal que si i, j ≥ k0 , con i < j, entonces

|an | < . Consideramos los sub´ındices

n=i+1

j(1), j(2), . . . , j(k1 ) hasta que entre ellos estén 1, 2, . . . , k0 . Si k > k1 , entonces |sk − s0k | < . ∞ P an es condicionalmente convergente si converge Definici´ on 1.9.10. Se dice que la serie pero la serie

∞ P

n=1

|an | diverge.

n=1

Teorema 1.9.11 (Riemann). Si la serie

∞ P

an es condicionalmente convergente, entonces

n=1

∞ P

para todo α ∈ R existe una reordenación suya

aj(n) cuya suma es α.

n=1

Demostración. Sean

∞ P

pn y

n=1

∞ P

qn las series de los términos positivos y negativos de

n=1

an , respectivamente. Ya que la serie

∞ P

an es condicionalmente convergente, ambas son

n=1

divergentes. Dado α ≥ 0 (la demostración para α < 0 es análoga) tomamos n1 como el primer n1 P natural tal que pn > α. Entonces n=1 n1 X

pn − α ≤ pn1 .

n=1

Ahora tomamos m1 como el primer natural tal que

n1 P

pn +

n=1

α−

n1 X

pn −

n=1

m1 X

m1 P

qn < α. Por tanto,

n=1

qn ≤ −qm1 .

n=1

Continuando indefinidamente con este procedimiento obtenemos una reordenación de an p1 , . . . , pn1 , q1 , . . . , qm1 , pn1 +1 , . . . , pn2 , . . . cuya serie converge a α ya que l´ım an = 0. n→∞


32

1.9.4.

Criterios de convergencia

Proposici´ on 1.9.12 (Criterio de la ra´ız). (i) Si l´ım sup

∞ p P n |an | < 1, entonces an es n=1

absolutamente convergente. ∞ p P (ii) Si l´ım sup n |an | > 1, entonces an es divergente. n=1

p p Demostración. (i) Sea l´ım sup n |an | < t < 1. Existe n0 ∈ N tal que n |an | < t si n ≥ n0 con lo que |an | < tn . Aplicando la Proposición 1.9.2 se obtiene el resultado. p (ii) Si l´ım sup n |an | > 1, hay infinitos términos de la sucesión |an | mayores que 1 por lo que an no converge a 0. | Proposici´ on 1.9.13 (Criterio del cociente). (i) Si l´ım sup |a|an+1 < 1, entonces n|

∞ P

an es

n=1

absolutamente convergente. (ii) Si l´ım inf

|an+1 | |an |

> 1, entonces

∞ P

an es divergente.

n=1

| < t < 1. Existe n0 ∈ N tal que |an+1 | < t|an | si n ≥ n0 Demostración. (i) Sea l´ım sup |a|an+1 n|

con lo que |an0 +n | < tn |an0 | para todo n ∈ N. Aplicando la Proposición 1.9.2 se obtiene el resultado. (ii) Si l´ım inf

|an+1 | |an |

> 1, existe n0 ∈ N tal que |an+1 | > |an | si n ≥ n0 por lo que an no

converge a 0. Proposici´ on 1.9.14 (Criterio de Raabe). (i) Si l´ım inf n 1 −

|an+1 | |an |

> 1, entonces

∞ P

an

n=1

es absolutamente convergente. ∞ P | (ii) Si l´ım sup n 1 − |a|an+1 < 1, entonces |an | es divergente. n| n=1

| Demostración. (i) Sea l´ım inf n 1 − |a|an+1 > t > 1. Existe n0 ∈ N tal que n|an | − n| n|an+1 | > t|an | si n ≥ n0 . Considerando las desigualdades anteriores correspondientes a n = n0 , n0 + 1, . . . , n0 + m y sumando primeros miembros por un lado y segundos por el n0 otro se obtiene fácilmente que |an0 +1 | + |an0 +2 | + · · · + |an0 +m | < t−1 |an0 | para todo m ∈ N ∞ P con lo que la sucesión de sumas parciales de la serie |an0 +n | está acotada obteniéndose n=1

el resultado.

1.9. SERIES CONVERGENTES

33

(ii) Existe n0 ∈ N tal que (n − 1)|an | < n|an+1 | si n ≥ n0 . Aplicando sucesivamente esta desigualdad se obtiene que |an0 +n+1 | > (n0 − 1)|an0 | n01+n para todo n ∈ N lo cual nos da el resultado en virtud de la Proposición 1.9.2. Proposici´ on 1.9.15 (Criterio de Dirichlet). Si an es una sucesión decreciente de n´ umeros ∞ P positivos convergente a 0 y la sucesión de sumas parciales de la serie bn está acotada, ∞ P

entonces la serie

n=1

an bn es convergente.

n=1

k P bn ≤ C para todo k ∈ N. Dados i, j ∈ N con i < j Demostración. Sea C > 0 tal que n=1 se tiene que j j j−1 i n X X X X X bn ≤ 2Cai+1 . bn + b m + aj an bn = −ai+1 (an − an+1 ) n=1

n=i+1

n=1

m=1

n=i+1

Ya que la sucesión an converge a 0, la sucesión de sumas parciales de la serie

∞ P

an b n

n=1

tiene la propiedad de Cauchy. Proposici´ on 1.9.16 (Criterio de Abel). Si la serie

∞ P

an es convergente y la sucesión bn

n=1

es monótona y acotada (luego convergente a b), entonces la serie

∞ P

an bn es convergente.

n=1

Demostración. Supongamos que bn es decreciente, luego la sucesión cn = bn − b es decre∞ ∞ P P ciente y convergente a 0. Se tiene que an b n = (an cn + ban ) con lo que aplicando el n=1

n=1

criterio de Dirichlet se obtiene el resultado. El otro caso es análogo.

1.9.5.

Producto de series

Definici´ on 1.9.17. Dadas dos series ∞ P n=0

cn donde cn =

n P

∞ P n=0

an y

∞ P

bn se define su producto como la serie

n=0

ak bn−k .

k=0

Proposici´ on 1.9.18. Si

∞ P

an es absolutamente convergente y tiene suma s, y

n=0

convergente y tiene suma r, entonces la serie producto

∞ P n=0

∞ P n=0

cn tiene suma sr.

bn es


34

Demostración. Sean sk , rk y tk las sucesiones de sumas parciales de

∞ P

an ,

n=0

respectivamente. Se tiene que tk = sk r +

k P

∞ P n=0

bn y

∞ P

cn

n=0

ai (rk−i − r) para todo k ∈ N por lo que basta

i=0

comprobar que el sumatorio anterior converge a 0. Dado > 0 existe k0 ∈ N tal que |rk − r| < si k ≥ k0 . Si k > k0 , k X

ai (rk−i − r) =

k−k X0

ai (rk−i − r) +

i=0

i=0

k X

ai (rk−i − r).

i=k−k0 +1

El segundo sumatorio es la suma de k0 sucesiones que convergen a 0 y el valor absoluto ∞ P del primero es menor que |an |. Por tanto, n=0

k−k ∞ k X X0 X |an | l´ım sup ai (rk−i − r) ≤ l´ım sup ai (rk−i − r) ≤ i=0

i=0

n=0

para todo > 0. Ejercicios 1.- Calcular la suma de cada una de las series siguientes: (i)

∞ P n=0

(ii)

1−2n . 3n

∞ P

1 . n(n+1)

n=1

(iii)

∞ P

nan siendo 0 < a < 1.

n=1

(iv)

∞ P n=1

(v)

∞ P n=1

(vi)

√1 √ . (n+1) n+n n+1

2n−1 . (1+2n )(1+2n−1 )

∞ P n=1

n2 +5n+7 . (n+2)!

2.- (Criterio de condensaci´ on de Cauchy) Demostrar que si an es una sucesión de∞ ∞ P P creciente a 0, entonces las series an y 2n a2n tienen el mismo carácter. n=1

3.- Estudiar la convergencia de: (i) la serie armónica

∞ P n=1

1 np

con p ∈ R.

n=1

1.9. SERIES CONVERGENTES (ii)

∞ P

√ 1 . n+100

n=1 ∞ P

(iii)

1 n(log n)p

n=2 ∞ P

(iv)

∞ P n=1

n2 . n3 +1

∞ P

(vi)

con p ∈ R.

√1 . n n+1

n=1

(v)

35

an na siendo a > 0.

n=1 ∞ P

(vii)

1 √ . (n+1) n n

n=1 ∞ P

(viii)

n2 . n!

n=1 ∞ P

(ix)

n=1

(x)

∞ P n=1

(xi)

an n! nn

siendo a > 0.

1·3···(2n−1) . 2·4···(2n)

∞ P n=1

n! a(a+1)(a+2)···(a+n−1)

siendo a > 2.

(xii) 1 − log 2 + 12 − log 32 + · · · + ∞ P

(xiii)

cos n . n

n=1 ∞ P

(xiv)

n=1

(xv)

∞ P n=1

(xvi)

1 n

log 1 +

1 n3

1+cos2 n . nn

∞ √ P ( n n − 1)n . n=1 ∞ P

(xvii)

n=3

(xviii)

1 . n log log n

∞ P n=2

(xix)

∞ P n=2

tag ( 2n+1 π) 4 . log n

sen n . log n

.

1 n

− log n+1 + ···. n


36 ∞ P

(xx)

sen

n=1

(n2 +1)2 π n3

. ∞ P

4.- Reordenar la serie

(−1)n−1 n1 para que sea divergente.

n=1

5.- Demostrar que

∞ P

(−1)n−1 n1 = log 2.

n=1

6.- Dada una serie convergente

∞ P

an de términos no negativos, probar que

n=1

verge si p > 21 . Dar un contraejemplo para p = 21 . ¿Es también convergente

∞ P n=1 ∞ P

√

√

an np

con-

an an+1 ?

n=1

7.- Estudiar la convergencia y la convergencia absoluta de las series siguientes: (i)

∞ P

an n!

n=1 ∞ P

(ii)

con a ∈ R.

n!an con a ∈ R.

n=1

(iii)

∞ P n=1

(iv)

sen n . n2

∞ P

n2 n . n+1

n=1 ∞ P

(v)

1

1

1

2−(1+ 2 + 3 +···+ n ) .

n=1

8.- Sea A = {nk : k ∈ N} la colección de n´ umeros naturales que no contienen la cifra 0 en ∞ P 1 su representación decimal. Probar que converge y tiene suma menor que 90. nk k=1

∞ P

9.- Si

an diverge, demostrar que

n=1 ∞ P

10.- Si

∞ P

nan también diverge.

n=1

an converge absolutamente, probar que las series siguientes también convergen

n=1

absolutamente: ∞ P (i) a2n . n=1

(ii)

∞ P n=1

(iii)

an 1+an

∞ P n=1

si an 6= −1 para todo n ∈ N.

a2n . 1+a2n

Cap´ıtulo 2 Funciones, l´ımites y continuidad 2.1.

Funciones reales de variable real

Definici´ on 2.1.1. Una función f definida en A ⊂ R y con valores en B ⊂ R, f : A −→ B, es una regla que asocia un´ıvocamente a cada x ∈ A un numero real f (x) ∈ B que se llama imagen de x. A A se le llama dominio de f y se denota por dom(f ). Se llama rango o recorrido de f al conjunto rang(f ) = f (A) = {y ∈ B : ∃x ∈ A tal que f (x) = y}. Finalmente, se llama gráfica de f al subconjunto del producto cartesiano A × B formado por los pares (x, f (x)) con x ∈ A. Ejemplos 2.1.2. (i) Los términos de una sucesión an pueden interpretarse como las imágenes de los n´ umeros naturales mediante una función f cuyo dominio es N, es decir, f (n) = an para cada n ∈ N. (ii) La función f definida en A ⊂ R tal que f (x) = x para cada x ∈ A se llama identidad de A. Se tiene que dom(f ) = rang(f ) = A. (iii) Una función tal que todas las imágenes son el mismo n´ umero se llama función constante. Definici´ on 2.1.3. Se dice que una función f : A −→ B es inyectiva si para cualesquiera x, y ∈ A con x 6= y, entonces f (x) 6= f (y). Y se dice que es sobreyectiva si f (A) = B. Si f es inyectiva y sobreyectiva, se dice que es biyectiva. Definici´ on 2.1.4. Dada una función biyectiva f : A −→ B, se define su función inversa f −1 : B −→ A de la siguiente forma: f −1 (y) = x siendo f (x) = y. Observaci´ on 2.1.5. Si una función f es biyectiva, claramente su inversa también lo es y la inversa de f −1 es f . 37

CAPÍTULO 2. FUNCIONES, LÍMITES Y CONTINUIDAD

38

Observaci´ on 2.1.6. Las gráficas de una función y de su inversa son simétricas respecto de la bisectriz del primer y tercer cuadrantes. Observaci´ on 2.1.7. Si la función f : A −→ B es inyectiva y no biyectiva, la función f : A −→ f (A) es biyectiva. Definici´ on 2.1.8. A dos funciones f : A −→ B y g : B −→ C se asocia una nueva función g ◦ f : A −→ C llamada la composición de f con g, y que está definida mediante (g ◦ f )(x) = g(f (x)) para cada x ∈ A. De forma análoga se define una cadena fn ◦ fn−1 ◦ · · · ◦ f2 ◦ f1 de n funciones. Como caso particular se tienen las iteraciones f n de una función f : A −→ A consistentes en componer f consigo misma n veces. Definici´ on 2.1.9. La función f : A −→ B está acotada superiormente si existe C ∈ R tal que f (x) ≤ C para todo x ∈ A. Y está acotada inferiormente si existe c ∈ R tal que f (x) ≥ c para todo x ∈ A. Si f está acotada superior e inferiormente se dice que está acotada. Si existe x0 ∈ A tal que f (x) ≤ f (x0 ) para todo x ∈ A se dice que f tiene en x0 un máximo absoluto y que f (x0 ) es el máximo de f . Análogamente se define m´ınimo absoluto. Definici´ on 2.1.10. La función f : A −→ B tiene en x0 ∈ A un máximo (m´ınimo) relativo o local si existe δ > 0 tal que f (x) ≤ f (x0 ) (f (x) ≥ f (x0 )) para todo x ∈ (x0 − δ, x0 + δ). Las operaciones aritméticas con funciones que tienen el mismo dominio se definen para cada x del mismo a través de la correspondiente operación aritmética con las imágenes de x. Definici´ on 2.1.11. La función f : A −→ B es cóncava si f (λx1 + (1 − λ)x2 ) ≥ λf (x1 ) + (1 − λ)f (x2 ) para cualesquiera x1 , x2 ∈ A y λ ∈ [0, 1]. Y es convexa si se tiene la desigualdad contraria. Definici´ on 2.1.12. Una función f se llama periódica si existe T > 0 tal que f (x + T ) = f (x) para cada x y el menor T con esta propiedad se llama periodo.

2.1. FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL

39

Definici´ on 2.1.13. La función f : A −→ B es creciente (estrictamente creciente) si f (x1 ) ≤ f (x2 ) (f (x1 ) < f (x2 )) siempre que x1 < x2 . Y es decreciente (estrictamente decreciente) si f (x1 ) ≥ f (x2 ) (f (x1 ) > f (x2 )) siempre que x1 < x2 . Todas estos tipos de funciones se denominan funciones monótonas. Ejercicios 1.- Construir una función cuyo dominio sea [0, 1] y cuyo recorrido sea [−1, 2]. 2.- ¿Cuántas funciones se pueden definir con dominio {1, 2, 3} y recorrido {4, 5}? 3.- Dibujar la gráfica de las siguientes funciones definidas en A, indicando en cada caso el recorrido: (i) f (x) = |x|, A = [−1, 1]. (ii) f (x) = x − [x], A = [−2, 3]. 4.- Sean f : R −→ R una función y A, B ⊂ R. Estudiar si las igualdades siguientes son verdaderas o falsas: (i) f (A ∪ B) = f (A) ∪ f (B). (ii) f (A ∩ B) = f (A) ∩ f (B). (iii) f (A \ B) = f (A) \ f (B). (iv) f −1 (A ∪ B) = f −1 (A) ∪ f −1 (B). (v) f −1 (A ∩ B) = f −1 (A) ∩ f −1 (B). (vi) f −1 (A \ B) = f −1 (A) \ f −1 (B). 5.- Calcular f (A) y f −1 (B) en los siguientes casos: (i) f (x) = 3x − 5, A = [−1, 2] y B = [0, +∞). (ii) f (x) = −x2 , A = (−2, 3] y B = (−4, 1). 6.- Estudiar si las siguientes funciones son inyectivas, sobreyectivas o biyectivas: (i) f (x) =

x . x−1

(ii) f (x) = (iii) f (x) =

√

x2 + 2.

√ x . x2 +1


40

7.- Encontrar el dominio de las siguientes funciones: √ (i) f (x) = 1 − x2 . p √ (ii) f (x) = 1 − 1 − x2 . (iii) f (x) = (iv) f (x) = (v) f (x) =

1 1 + x−2 . x−1 √ √1−x . x−2

√ √ 1 − x2 + x2 − 1.

8.- Determinar f ◦ f , f ◦ g, g ◦ f y g ◦ g en cada uno de los siguientes casos: (i) f (x) = x2 y g(x) = x1 . 1 si x ≥ 0, (ii) f (x) = y g(x) = x1 . −1 si x < 0, 0 si x ≤ 0, 0 si x ≤ 0, (iii) f (x) = y g(x) = x si x > 0, −x2 si x > 0. 9.- Sea f (x) =

1 . x−1

10.- Sea f (x) =

Calcular f 2 (x) y f 3 (x).

√ x . 1+x2

Calcular f n (x).

11.- Hallar el intervalo máximo en el que está definida la función f (x) = log log log log x. 12.- Calcular la función inversa de f (x) =

x 1−x2

con x ∈ (0, 1).

13.- ¿Es posible construir una función definida en el intervalo [0, 1] que sea acotada y no tenga máximo ni m´ınimo absolutos?

2.2.

L´ımites

Definici´ on 2.2.1. Supongamos que f es una función definida en un intervalo I y que c es un n´ umero interior a I, o bien un extremo de I, o bien +∞ si I no está acotado por la derecha, o bien −∞ si I no está acotado por la izquierda. Se dice que L es el l´ımite de f cuando x tiende a c, l´ım f (x) = L, si cada sucesión de x→c

n´ umeros del dominio de f , distintos de c, cuyo l´ımite es c se transforma mediante f en una sucesión que tiene l´ımite L. Si c es interior a I o un extremo de I, se dice que L es el l´ımite lateral por la derecha

2.2. LÍMITES

41

de f cuando x tiende a c, l´ım+ f (x) = L, si cada sucesión de n´ umeros del dominio de f , x→c

mayores que c, cuyo l´ımite es c se transforma mediante f en una sucesión que tiene l´ımite L. Análogamente, se dice que L es el l´ımite lateral por la izquierda de f cuando x tiende a c, l´ım− f (x) = L, si cada sucesión de n´ umeros del dominio de f , menores que c, cuyo x→c

l´ımite es c se transforma mediante f en una sucesión que tiene l´ımite L. Observaci´ on 2.2.2. Solamente cuando los dos l´ımites laterales existen y son iguales resulta que f tiene l´ımite en c. Basándose en las propiedades conocidas para l´ımites de sucesiones se obtienen los dos siguientes resultados: Proposici´ on 2.2.3. Sean f y g dos funciones definidas en un intervalo I tales que l´ım f (x) = L ∈ R y l´ım g(x) = L0 ∈ R. Entonces:

x→c

x→c

(i) l´ım(f + g)(x) = L + L0 . x→c

(ii) l´ım(f g)(x) = LL0 . x→c

(iii) l´ım

x→c

f g

(x) =

L L0

si L0 6= 0.

Observaci´ on 2.2.4. Los casos no contemplados en el resultado anterior se estudian sin dificultad salvo L = +∞ y L0 = −∞ para la suma, L = 0 y L0 = ±∞ para el producto y L = L0 = 0 y L = ±∞ y L0 = ±∞ para el cociente, llamados indeterminaciones. Proposici´ on 2.2.5. (i) Sean f y g dos funciones definidas en un intervalo I. Si existe δ > 0 tal que f (x) ≤ g(x) para todo x ∈ (c − δ, c + δ) y ambas funciones tienen l´ımite en c, entonces l´ım f (x) ≤ l´ım g(x). x→c

x→c

(ii) (M´ etodo del sandwich) Sean f , g y h tres funciones definidas en un intervalo I. Si existe δ > 0 tal que f (x) ≤ g(x) ≤ h(x) para todo x ∈ (c − δ, c + δ) y l´ım f (x) = x→c

l´ım h(x) = L, entonces l´ım g(x) = L.

x→c

x→c

Teorema 2.2.6. El n´ umero L es el l´ımite de f (x) cuando x tiende al n´ umero c si y solo si se verifica la siguiente propiedad: para cada > 0 existe alg´ un δ > 0 tal que |f (x) − L| < cuando 0 < |x − c| < δ. Demostración. Si se verifica esta propiedad, para cualquier sucesión xn de n´ umeros distintos de c que converge a c existe n0 ∈ N tal que 0 < |xn − c| < δ si n ≥ n0 con lo que f (xn ) converge a L. Rec´ıprocamente, dado > 0 basta razonar por reducción al absurdo considerando δ = n1 para todo n ∈ N.


42

Teorema 2.2.7. El n´ umero L es el l´ımite de f (x) cuando x tiende a +∞ (−∞) si y solo si se verifica la siguiente propiedad: para cada > 0 existe alg´ un A > 0 tal que |f (x) − L| < cuando x > A (x < −A). Demostración. Si se verifica esta propiedad, para cualquier sucesión xn convergente a +∞ (−∞) existe n0 ∈ N tal que xn > A (xn < −A) si n ≥ n0 con lo que f (xn ) converge a L. Rec´ıprocamente, dado > 0 basta razonar por reducción al absurdo considerando δ = n para todo n ∈ N. Análogamente se demuestran los dos siguientes resultados: Teorema 2.2.8. El l´ımite de f (x) cuando x tiende al n´ umero c es +∞ (−∞) si y solo si para cada M > 0 existe alg´ un δ > 0 tal que f (x) > M (f (x) < −M ) cuando 0 < |x − c| < δ. Teorema 2.2.9. El l´ımite de f (x) cuando x tiende a +∞ (−∞) es +∞ (−∞) si y solo si para cada M > 0 existe alg´ un A > 0 tal que f (x) > M (f (x) < −M ) cuando x > A (x < −A). Definici´ on 2.2.10. Una función f tiene la propiedad de Cauchy en c si para cada > 0 existe alg´ un δ > 0 tal que |f (x) − f (y)| < cuando 0 < |x − c| < δ y 0 < |y − c| < δ. Teorema 2.2.11. Una función f tiene l´ımite finito cuando x tiende a un n´ umero c si y solo si f tiene la propiedad de Cauchy en c. Demostración. Supongamos en primer lugar que f tiene la propiedad de Cauchy en c y sea xn una sucesión de n´ umeros distintos de c que converge a c. La sucesión f (xn ) tiene la propiedad de Cauchy luego converge a un n´ umero L. Si x0n tiene las mismas caracter´ısticas que xn , entonces f (x0n ) también converge a L porque en otro caso la sucesión x1 , x01 , x2 , x02 , x3 , x03 , . . . que tiene las mismas caracter´ısticas que xn y x0n se transformar´ıa mediante f en una sucesión con la propiedad de Cauchy que no puede ser convergente, lo cual es absurdo. Para el rec´ıproco basta usar la caracterización -δ del l´ımite y la desigualdad triangular.

Proposici´ on 2.2.12. Para toda función monótona f existen los l´ımites laterales en cualquier punto.

2.2. LÍMITES

43

Demostración. Supongamos que f , definida en el intervalo I, es creciente (el caso decreciente es análogo) y que c es un n´ umero interior a I (si c es un extremo la demostración es análoga). Se tiene que l´ım f (x) = sup f (x)

x→c−

x
y l´ım f (x) = ´ınf f (x). x>c

x→c+

Veamos la primera igualdad pues la otra se obtiene análogamente. Ese supremo es un n´ umero porque el conjunto correspondiente está acotado superiormente por f (c). Dado > 0 existe x0 < c tal que sup f (x) − < f (x0 ). Basta tomar δ = c − x0 . x
Ejercicios 1.- Probar que la función sen x1 no tiene l´ımite en 0 y, en cambio, la función x sen x1 s´ı lo tiene. 2.- Sea la función f definida en (0, 1] por  i h 2n+1 1  2n(n + 1) x − 1 , , si x ∈ n+1 i h n+1 2n(n+1) f (x) = 2n+1  −2n(n + 1) x − 1 si x ∈ 2n(n+1) , n1 , n para todo n ∈ N. ¿Tiene f l´ımite en 0? 3.- Calcular los siguientes l´ımites: xn+1 −(n+1)x+n (x−1)2 x→1

(i) l´ım

(ii) l´ım x

con n ∈ N.

n −cn −ncn−1 (x−c)

(x−c)2

x→c

q

(iii) l´ım

x→+∞ √

(iv) l´ım

x→+∞ √

(v) l´ım

x→4

√ √ x+ x+ x √ . x+1

√ √ x+ 3 x+ 4 x √ . 2x+1

1+2x−3 √ . x−2 √

1−x−3 √ . 3 x→−8 2− −x

(vi) l´ım

√

(vii) l´ım

x→c

√ √ x− c+ x−c √ . x2 −c2

√

(viii) l´ım

x→3

√ x+13−2 x+1 . 2 x −9

con n ∈ N \ {1}.


44 √ 3

x−6+2 . x3 +8

(ix) l´ım

x→−2

√ 4 x−2 √ . x→16 x−4 √ √ (xi) l´ım 9+2x−5 3 x−2 . x→8

(x) l´ım

(xii) l´ım

x→1

3√ 1− x

−

2√ 1− 3 x

.

log(1+x) . x x→0 √ √ 3 x+20 √ l´ım x+2− . 4 x+9−2 x→7

(xiii) l´ım (xiv)

4.- Siendo n, m ∈ N y a, b > 0 calcular los siguientes l´ımites: √ n

(i) l´ım

x→0

1+ax−1 . x

√ n

(ii) l´ım

x→0

√ n x−1

(iii) l´ım

x→1

(iv) l´ım

√ m x−1 √ n

x→0

(v) l´ım

x→0

2.3.

√ 1+ax− m 1+bx . x

√ n

.

√ 1+ax m 1+bx−1 . x

1+ax+bx2 −1 . x

Continuidad

Definici´ on 2.3.1. La función f es continua en un punto c en el que está definida si f (c) = l´ım f (x). En caso contrario se dice que f es discontinua en c. Cuando el l´ımite x→c

existe y es finito pero distinto de f (c) se dice que la discontinuidad es evitable pues basta cambiar la definición de f en c poniendo f (c) igual a dicho l´ımite para que la discontinuidad desaparezca. La función f es continua por la derecha en un punto c en el que está definida si f (c) = l´ım+ f (x). Análogamente se define la continuidad por la izquierda. x→c

Una función que es continua en cada punto del intervalo en el que está definida se denomina función continua. Observaci´ on 2.3.2. Si una función monótona f está definida a ambos lados de c, decir que f no es continua en c equivale a decir que l´ım+ f (x) 6= l´ım− f (x). El n´ umero x→c

x→c

2.3. CONTINUIDAD

45

l´ım f (x) − l´ım f (x) se llama salto de f en c. x→c+ x→c− Basándose en las propiedades conocidas para l´ımites de sucesiones se obtiene que la suma, el producto y el cociente de dos funciones continuas en c también lo es (si el denominador no se anula en c). Además, si f es continua en c y g es continua en f (c), entonces g ◦ f es continua en c. Definici´ on 2.3.3. La función f es uniformemente continua si para cada > 0 existe alg´ un δ > 0 tal que |f (x) − f (y)| < si |x − y| < δ. Observaci´ on 2.3.4. Si una función es uniformemente continua, entonces es continua. Proposici´ on 2.3.5. Cualquier sucesión convergente se transforma mediante una funci´ on uniformemente continua en una sucesión convergente. Demostración. Es suficiente ver que las funciones uniformemente continuas conservan la propiedad de Cauchy para sucesiones. Teorema 2.3.6. Si la función f es continua en [a, b], entonces es uniformemente continua. Demostración. Supongamos que f no es uniformemente continua. Entonces existe > 0 tal que para todo n ∈ N existen xn e yn en el dominio de f tales que |xn − yn | < n1 y |f (xn ) − f (yn )| ≥ . Existe una subsucesión xj(n) convergente a un punto x ∈ [a, b]. La subsucesión yj(n) también converge a x pero f (xj(n) ) y f (yj(n) ) no pueden tener el mismo l´ımite, lo cual es contradictorio con que f sea continua en x. Proposici´ on 2.3.7. (i) La función f es uniformemente continua en (a, b) si y solo si es continua y tiene l´ımite finito en a y en b. (ii) Si f : [a, +∞) −→ R es continua y tiene l´ımite finito en +∞, entonces es uniformemente continua. Demostración. (i) Si f tien l´ımite finito en a y en b, basta con extender con continuidad la definición de f a [a, b], dándole en a y en b como valor los respectivos l´ımites, y aplicar el teorema anterior. Si f es uniformemente continua en (a, b) y xn converge a a, entonces f (xn ) es convergente. Lo mismo le sucede a cualquier otra sucesión x0n convergente a a. Las dos sucesiones f (xn ) y f (x0n ) tienen el mismo l´ımite (en caso contrario basta considerar la sucesión


46

x1 , x01 , x2 , x02 , x3 , x03 , . . .) con lo que l´ım+ f (x) existe y es finito. Análogamente se prueba x→a

el resultado para b. (ii) Sean L = l´ım f (x) y > 0. Existe A > a tal que |f (x) − L| < x→+∞

4

si x ≥ A, con

lo que si x, y ≥ A, entonces |f (x) − f (y)| < 2 . En [a, A] f es uniformemente continua, existiendo δ > 0 tal que si |x − y| < δ, entonces |f (x) − f (y)| < 2 . Si |x − y| < δ, x ∈ [a, A] e y > A, basta usar la desigualdad triangular a través de f (A). Teorema 2.3.8 (Teorema de los valores intermedios). Sea f una funcion continua cuyo dominio es un intervalo I y sean a, b ∈ I tales que f (a) 6= f (b). Si u es un n´ umero intermedio entre f (a) y f (b), existe c ∈ (a, b) tal que f (c) = u.

Demostración. Dividimos [a, b] en dos intervalos cuyo extremo com´ un es el punto medio. Si la imagen de este punto es u, ya se ha encontrado el c buscado. Si no, para alguno de los dos intervalos, que designamos [a1 , b1 ], sucede que u es intermedio entre f (a1 ) y f (b1 ). Continuando el proceso se obtienen dos sucesiones monótonas an y bn convergentes ambas a un n´ umero c ∈ [a, b]. Ya que f es continua en c, las dos sucesiones f (an ) y f (bn ) convergen a f (c) y, por otra parte, al ser u intermedio entre f (an ) y f (bn ) para cada n ∈ N, se tiene que f (c) = u con lo que, además, c 6= a, b. Corolario 2.3.9 (Teorema de Bolzano). Sea f una funcion continua cuyo dominio es un intervalo I y sean a, b ∈ I tales que f (a) · f (b) < 0. Entonces existe c ∈ (a, b) tal que f (c) = 0. Corolario 2.3.10. Una función monótona definida en un intervalo es continua si y solo si el recorrido es también un intervalo. Corolario 2.3.11. Una función monótona definida en un intervalo y cuyo recorrido es también un intervalo, si además tiene inversa, verifica que ella y su inversa son continuas. Teorema 2.3.12 (Weierstrass). Dada una función f continua y definida en [a, b], existen c1 , c2 ∈ [a, b] tales que f (c1 ) = sup f (x) y f (c2 ) = ´ınf f (x). x∈[a,b]

x∈[a,b]

Demostración. Veamos primero que sup f (x) ∈ R. En caso contrario se puede elegir una x∈[a,b]

sucesión xn tal que f (xn ) > n para todo n ∈ N. Dicha sucesión posee una subsucesión xj(n) convergente a un n´ umero x ∈ [a, b] en el que f es continua, con lo que f (xj(n) ) debe converger a f (x) lo cual es absurdo. De forma análoga se prueba que ´ınf f (x) ∈ R. x∈[a,b]

2.3. CONTINUIDAD

47

Ahora, para cada n ∈ N existe xn ∈ [a, b] tal que f (xn ) > sup f (x) − n1 . De nuevo, x∈[a,b]

existe una subsucesión xj(n) convergente a un n´ umero c1 ∈ [a, b]. Se tiene que f (c1 ) no puede ser ni menor ni mayor que sup f (x). Análogamente se encuentra c2 . x∈[a,b]

Ejercicios

1.- Comprobar que la función sen x es continua. 2.- Estudiar la continuidad de las funciones siguientes: (i) f (x) = |x|. x2 −4 si x 6= 2, x−2 (ii) f (x) = A si x = 2. √ √ (iii) f (x) = x − [ x]. x si x 6∈ Q, (iv) f (x) = 1 − x si x ∈ Q. x2 si 0 ≤ x ≤ 1, (v) f (x) = 2 − x si 1 < x ≤ 2. (vi) f (x) = |x| + |x − 1| − |2x − 1|. 0 si x ∈ (R \ Q) ∩ [0, 1], (vii) f (x) = 1 si x = pq ∈ Q ∩ [0, 1], irreducible, q > 0. q 3.- Dar un ejemplo de una función f definida en R que no sea continua en ning´ un punto pero que |f | sea continua. 4.- Sean f (x) =

x+|x| 2

y g(x) =

x si x < 0, Estudiar la continuidad de f , g, f ◦ g y x2 si x ≥ 0.

g ◦ f. 5.- Sea f (x) =

1 λx2 −2λ+1

con x ∈ [0, 1]. Calcular el conjunto de valores λ que hacen que f

sea continua. 6.- Sean f, g : R −→ R funciones continuas tales que f (r) = g(r) para todo r ∈ Q. ¿Es cierto que f (x) = g(x) para todo x ∈ R? 7.- Dar un ejemplo de una función definida en R: (i) discontinua en

1 n

para todo n ∈ N y continua en los demás puntos.

(ii) discontinua en 0 y en

1 n

para todo n ∈ N y continua en los demás puntos.


48

8.- Estudiar la continuidad uniforme de las funciones siguientes: (i) f (x) = x3 si x ∈ [1, A] y si x ≥ 1. (ii) f (x) = sen πx si x > 0. (iii) f (x) = sen x2 . √ (iv) f (x) = x. (v) f (x) = x2 . 9.- Demostrar que existe x ∈ R tal que sen x = x − 1. 10.- Sea f : R −→ R una función continua tal que l´ım f (x) = +∞ y l´ım f (x) = −∞. x→+∞

x→−∞

Probar que para todo y ∈ R existe x ∈ R tal que f (x) = y. 11.- Demostrar que existe x ∈ R tal que x179 +

163 1+x2 +sen2 x

= 119.

12.- Sea f : [a, b] −→ [a, b] una función continua. Probar que f tiene al menos un punto fijo, es decir, un punto x ∈ [a, b] tal que f (x) = x. 13.- Sea f : [0, 2] −→ R una función continua tal que f (0) = f (2). Demostrar que existen x, y ∈ [0, 2] tales que |x − y| = 1 y f (x) = f (y). 14.- Para cada una de las funciones f siguientes encontrar m ∈ Z tal que f tenga alg´ un cero en el intervalo [m, m + 1]: (i) f (x) = x3 − x + 5. (ii) f (x) = x4 + 4x3 − 2x + 2. (iii) f (x) = 4x2 − 5x + 1. (iv) f (x) = x5 + 5x4 + 2x + 1. 15.- Sea f : [a, b] −→ Q una función continua. ¿Qué puede decirse de ella? 16.- Sea f : [a, b] −→ R una función tal que |f (x)−f (y)| ≤ (x−y)2 para todos x, y ∈ [a, b]. ¿Está f acotada? 17.- Sean f : [a, b] −→ R una función continua y xn una sucesión contenida en [a, b]. ∞ P √1 (f (xn+1 ) − f (xn )) es convergente. Demostrar que la serie n n=1

Cap´ıtulo 3 Derivaci´ on 3.1.

Definiciones

Definici´ on 3.1.1. Dada una función f definida en un intervalo I y un punto c ∈ I, definimos la función tasa de variación mediante τ (h) =

f (c + h) − f (c) h

con h 6= 0 tal que c + h ∈ I, o bien τ (x) =

f (x) − f (c) x−c

con x 6= c y x ∈ I. Observaci´ on 3.1.2. La tasa de variación de f en c mide la inclinación de la recta que pasa por los puntos de la gráfica de f (c, f (c)) y (c + h, f (c + h)). Definici´ on 3.1.3. Dada una función f definida en un intervalo I y un punto c ∈ I, definimos la derivada de f en c como el l´ımite finito f (c + h) − f (c) f (x) − f (c) = l´ım . x→c h→0 h x−c

f 0 (c) = l´ım

Cuando existe este l´ımite finito, decimos que f es derivable en c. Observaci´ on 3.1.4. La derivada de f en c mide la inclinación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto (c, f (c)). Proposici´ on 3.1.5. Sean f una función definida en un intervalo I y c ∈ I. Si f es derivable en c, entonces es continua en c. 49

´ CAPÍTULO 3. DERIVACION

50

Demostración. El resultado se deduce de que f (x) − f (c) f (x) − f (c) l´ım(f (x) − f (c)) = l´ım (x − c) = l´ım l´ım(x − c) = f 0 (c) · 0 = 0. x→c x→c x→c x→c x−c x−c

Observaci´ on 3.1.6. La función f (x) = |x| es continua en 0 pero no derivable. Definici´ on 3.1.7. Una función f que tiene derivada en cada uno de los puntos de su dominio se llama función derivable, y en tal caso f 0 es la función con el mismo dominio que asigna a cada x de él la derivada de f en x. A f 0 se le llama la función derivada (primera) de f . Definici´ on 3.1.8. Dada una función f definida en un intervalo I y un punto c ∈ I, definimos la derivada lateral por la derecha de f en c como el l´ımite finito f+0 (c) = l´ım+ h→0

f (x) − f (c) f (c + h) − f (c) = l´ım+ . x→c h x−c

Análogamente se define la derivada lateral por la izquierda de f en c, f−0 (c). Observaci´ on 3.1.9. Si c es uno de los extremos de I solo tiene sentido una de las dos derivadas laterales. Observaci´ on 3.1.10. La derivabilidad de f en c equivale a que las dos derivadas laterales de f en c existan y sean iguales.

Ejercicios

1.- Calcular la derivada de las siguientes funciones utilizando la definición: √ (i) f (x) = x. (ii) f (x) = sen x. (iii) f (x) = log x. (iv) f (x) = xn con n ∈ N. (v) f (x) = |x|. 2.- Estudiar para cada una de las funciones siguientes si existe la derivada en 0 y, en caso negativo, si existen derivadas laterales en 0:

´ ´ 3.2. TECNICAS PARA EL CALCULO DE DERIVADAS

x sen x1 si x 6= 0, 0 si x = 0.

x2 sen x1 si x 6= 0, 0 si x = 0.

(i) f (x) = (ii) f (x) =

51

(iii) f (x) = x|x|. 3.- Estudiar la derivabilidad de las siguientes funciones definidas en [0, 1]: (i) f verifica que 2 x (ii) f (x) = 0 0 (iii) f (x) = 1 q

|f (x) − f (y)| ≤ (x − y)2 para todos x, y ∈ [0, 1]. si x ∈ Q, . si x ∈ 6 Q. si x 6∈ Q, si x = pq ∈ Q, irreducible, q > 0.

4.- Sea f una función derivable en c tal que f (c) = 0. Probar que |f | es derivable en c si y solo si f 0 (c) = 0. 5.- Determinar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función

√ x en el punto

correspondiente a x = 12 . 6.- Sea f una función definida en el intervalo abierto I y derivable en a ∈ I. (i) Probar que el l´ımite l´ım

h→0

f (a+h)−f (a−h) 2h

existe y coincide con f 0 (a).

(ii) Dar un ejemplo de una función f para la cual exista ese l´ımite pero que no sea derivable en a.

3.2.

T´ ecnicas para el c´ alculo de derivadas

Proposici´ on 3.2.1. Sea f una función definida en un intervalo I, monótona y continua tal que f 0 (c) 6= 0 y existe f −1 . Entonces f −1 es derivable en f (c) y (f −1 )0 (f (c)) =

1 f 0 (c)

.

Demostración. Sea yn una sucesión arbitraria de numeros distintos de f (c) y convergente a f (c). Se trata de comprobar si converge la sucesión f −1 (yn ) − f −1 (f (c)) . yn − f (c)


52

Si designamos f −1 (yn ) por xn , la sucesión anterior se puede expresar as´ı: xn − c . f (xn ) − f (c) Cada término de la sucesión xn es distinto de c y, por ser f −1 continua, la sucesión xn converge a c, con lo que f (xn ) − f (c) , n→∞ xn − c

f 0 (c) = l´ım obteniéndose el resultado.

Ejemplo 3.2.2. Sea f (x) = sen x, x ∈ − π2 , π2 . Entonces (arc sen x)0 =

1 1 =√ cos arc sen x 1 − x2

con x ∈ (−1, 1). Proposici´ on 3.2.3. Sean f y g dos funciones definidas en un intervalo I y derivables en c ∈ I, y λ ∈ R. Entonces: (i) f + g es derivable en c y (f + g)0 (c) = f 0 (c) + g 0 (c). (ii) f g es derivable en c y (f g)0 (c) = f 0 (c)g(c) + f (c)g 0 (c). (iii) La función constante λ tiene derivada 0 en cada punto. (iv) λf es derivable en c y (λf )0 (c) = λf 0 (c). (v) Si g(x) 6= 0 para todo x ∈ I, (vi) Si g(x) 6= 0 para todo x ∈ I,

1 g f g

es derivable en c y

0

es derivable en c y

1 g

0 f g

0

g (c) (c) = − g(c) 2.

(c) =

f 0 (c)g(c)−f (c)g 0 (c) . g(c)2

Demostración. (i) Es evidente que (f + g)(c + h) − (f + g)(c) = f 0 (c) + g 0 (c). h→0 h l´ım

(ii) Usando que (f g)(c + h) − (f g)(c) l´ım = l´ım h→0 h→0 h

f (c + h) − f (c) g(c + h) − g(c) g(c + h) + l´ım f (c) h→0 h h

y que g es continua en c se obtiene el resultado. (iii) Trivial.

´ ´ 3.2. TECNICAS PARA EL CALCULO DE DERIVADAS

53

(iv) Basta usar (ii) y (iii). (v) Se tiene que l´ım

1 g(c+h)

h→0

−

h

1 g(c)

= − l´ım

h→0

1 g(c + h) − g(c) g(c)g(c + h) h

=−

g 0 (c) . g(c)2

(vi) Basta usar (ii) y (v). Proposici´ on 3.2.4 (Regla de la cadena). Si f es derivable en c y g es derivable en f (c), entonces g ◦ f es derivable en c y (g ◦ f )0 (c) = g 0 (f (c))f 0 (c). Demostración. Supongamos en primer lugar que f (x) 6= f (c) si 0 < |x−c| < δ para cierto δ > 0. Entonces g(f (x)) − g(f (c)) l´ım = l´ım x→c x→c x−c

g(f (x)) − g(f (c)) f (x) − f (c) f (x) − f (c) x−c

.

Ya que f es continua en c se obtiene el resultado. Si para todo δ > 0 existe x ∈ (c − δ, c + δ) \ {c} tal que f (x) = f (c), entonces existe una sucesión xn de n´ umeros distintos de c que converge a c tal que f (xn ) = f (c) para todo n ∈ N. De aqu´ı resulta que f 0 (c) = 0. Basta ahora demostrar que (g ◦ f )0 (c) = 0. Sea xn una sucesión de n´ umeros distintos de c convergente a c. Si f (xn ) = f (c) para alg´ un n ∈ N, el cociente

g(f (xn )) − g(f (c)) xn − c se anula. En caso contrario, utilizando de nuevo la descomposición anterior, dicho cociente converge a g 0 (f (c))f 0 (c) = 0. Ejercicios 1.- Calcular la derivada de las siguientes funciones: (i) f (x) = cos x. (ii) f (x) = tag x. (iii) f (x) = log |x|. (iv) f (x) = ex . (v) f (x) = arc cos x.

54


(vi) f (x) = arc tag x. (vii) f (x) = xr con r ∈ R. (viii) f (x) = (cos x)1/x . sen2 x cos x1 si x 6= 0, (ix) f (x) = 0 si x = 0. 2 x sen x12 si x 6= 0, (x) f (x) = 0 si x = 0. q p √ (xi) f (x) = 3 1 + 3 1 + 3 x. √ (xii) f (x) = x2 − 3x + 2. (xiii) f (x) = sen cos2 x. 2.- Estudiar la derivabilidad de las funciones siguientes: (i) f (x) = |π 2 − x2 | sen2 x. (ii) f (x) = arc sen cos x. (iii) f (x) = |(x − 1)(x − 2)2 |. (iv) f (x) = | cos x|. (v) f (x) = sen |x|. 3.- Calcular derivadas o derivadas laterales para las siguientes funciones: x cos πx si x 6= 0, (i) f (x) = 0 si x = 0. x si x 6= 0, 1+e1/x (ii) f (x) = 0 si x = 0. (iii) f (x) = arc sen x22x+1 . 4.- Calcular λ y µ para que sea derivable la función f (x) =

6 x+2 2

si x ∈ [0, 1], λx + µ si x ∈ (1, 2].

3.3. PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES DERIVABLES

3.3. 3.3.1.

55

Propiedades de las funciones derivables Crecimiento y decrecimiento. M´ aximos y m´ınimos locales

Definici´ on 3.3.1. Si la función f es continua en c por la derecha, se dice que f es creciente (decreciente) en c por la derecha si existe δ > 0 tal que f (x) > f (c) (f (x) < f (c)) cuando c < x < c + δ. Análogamente, si f es continua en c por la izquierda, se dice que f es creciente (decreciente) en c por la izquierda si existe δ > 0 tal que f (x) < f (c) (f (x) > f (c)) cuando c − δ < x < c. Observaci´ on 3.3.2. Si f es continua en c, el crecimiento (decrecimiento) de f en c significa que crece (decrece) a ambos lados de c. Proposici´ on 3.3.3. (i) Si existe f+0 (c) > 0, entonces f es creciente en c por la derecha. (ii) Si existe f+0 (c) < 0, entonces f es decreciente en c por la derecha. (iii) Si existe f−0 (c) > 0, entonces f es creciente en c por la izquierda. (iv) Si existe f−0 (c) < 0, entonces f es decreciente en c por la izquierda. Demostración. Basta probar (i) pues el resto de apartados se demuestran análogamente. Dado 0 < λ < f+0 (c), existe δ > 0 tal que obtiene el resultado.

f (x)−f (c) x−c

> λ si c < x < c + δ, con lo que se

Observaci´ on 3.3.4. Derivada positiva (negativa) es condición suficiente para crecimiento (decrecimiento) pero no necesaria. Basta considerar la función f (x) = x3 que es creciente y f 0 (0) = 0. Definici´ on 3.3.5. Dada una función f continua en c, se dice que f tiene en c un máximo (m´ınimo) local si existe δ > 0 tal que f (x) ≤ f (c) (f (x) ≥ f (c)) si |x − c| < δ. Al conjunto de máximos y m´ınimos locales de f se les llama extremos locales de f . Como consecuencia de la proposición anterior se obtiene claramente que: Proposici´ on 3.3.6. Si f tiene en c un extremo local y f es derivable en c, entonces f 0 (c) = 0.


56

3.3.2.

El teorema del valor medio

Teorema 3.3.7 (Rolle). Sea f una función derivable en un intervalo acotado (a, b) y continua en sus extremos. Si f (a) = f (b), entonces existe c ∈ (a, b) tal que f 0 (c) = 0. Demostración. Ya que f es continua en [a, b], existen c1 , c2 ∈ [a, b] tales que f (c1 ) = sup f (x) y f (c2 ) = ´ınf f (x). x∈[a,b]

x∈[a,b]

Si c1 y c2 son los extremos del intervalo, entonces f es constante y f 0 (c) = 0 para todo c ∈ (a, b). En otro caso, c1 o c2 pertenece a (a, b) y entonces el máximo o m´ınimo absoluto es también un extremo local, por lo que al existir la derivada en él ésta tiene que ser 0. Observaci´ on 3.3.8. Geométricamente el teorema de Rolle dice que en alg´ un punto (c, f (c)) de la gráfica de f , siendo c intermedio entre a y b, la tangente es horizontal y paralela, por tanto, al segmento que une los extremos de la gráfica. El siguiente resultado constituye una generalización del teorema de Rolle. Teorema 3.3.9 (Valor medio). Sea f una función derivable en un intervalo acotado (a, b) y continua en sus extremos. Existe c ∈ (a, b) tal que f (b) − f (a) = f 0 (c)(b − a). Demostración. Basta aplicar el teorema de Rolle a la función Φ(x) = (f (b) − f (a))x − (b − a)f (x).

Observaci´ on 3.3.10. Geométricamente el teorema del valor medio dice que en alg´ un punto (c, f (c)) de la gráfica de f , siendo c intermedio entre a y b, la tangente es paralela al segmento que une los extremos de la misma. Y el siguiente resultado generaliza el teorema del valor medio. Teorema 3.3.11 (Cauchy). Sean f y g funciones derivables en un intervalo acotado (a, b) y continuas en los extremos. Existe c ∈ (a, b) tal que g 0 (c)(f (b) − f (a)) = f 0 (c)(g(b) − g(a)).


57

Demostración. Basta aplicar el teorema de Rolle a la función Φ(x) = (f (b) − f (a))g(x) − (g(b) − g(a))f (x).

Veamos ahora algunas aplicaciones de estos teoremas. Proposici´ on 3.3.12. Si la función f tiene derivada positiva (negativa) en cada punto de un intervalo I, entonces f es estrictamente creciente (decreciente) en I. Demostración. Basta con probar la primera parte pues la otra se demuestra análogamente. Sean x, y ∈ I tales que x < y. Aplicando el teorema del valor medio al intervalo [x, y] se obtiene alg´ un c ∈ (x, y) tal que f (y) − f (x) = f 0 (c)(y − x), deduciéndose el resultado. Proposici´ on 3.3.13. Si la función f es derivable en un intervalo I y |f 0 (x)| ≤ M para todo x ∈ I, entonces f es uniformemente continua. Demostración. Dados x, y ∈ I, aplicando el teorema del valor medio se obtiene alg´ un c 0 intermedio entre x e y tal que |f (x) − f (y)| = |f (c)||x − y| ≤ M |x − y|, deduciéndose el resultado. Proposici´ on 3.3.14. Sea una función f derivable en alg´ un intervalo (a, a+δ) ((a−δ, a)). 0 0 Si existe l´ım+ f (x) ( l´ım− f (x)), entonces también existe f+0 (a) (f−0 (a)) y son iguales. x→a

x→a

Demostración. En el primer caso basta aplicar el teorema del valor medio al intervalo [a, x] para cada x ∈ (a, a + δ) ya que si x → a+ , entonces c → a+ también. El otro caso es análogo. Observaci´ on 3.3.15. La existencia de f+0 (a) no garantiza la de l´ım+ f 0 (x). Basta conx→a 2 x sen x1 si x > 0, siderar la función f (x) = y a = 0. 0 si x = 0, En el resultado siguiente a ∈ [−∞, +∞]. Teorema 3.3.16 (L’Hôpital). Sean f y g dos funciones que verifican las condiciones siguientes: (i) l´ım f (x) = l´ım g(x) = 0, +∞, −∞. x→a

x→a


58

(ii) En las proximidades de a son derivables, y g y g 0 no se anulan. f 0 (x) 0 x→a g (x)

(iii) l´ım

= λ ∈ [−∞, +∞].

f (x) x→a g(x)

Entonces l´ım

= λ.

Demostración. Supongamos en primer lugar que el l´ımite com´ un de (i) es 0 y que a ∈ R. La condición (ii) se verifica en alguno de los intervalos (a − δ, a) o (a, a + δ), o en ambos. Por (i), si definimos f (a) = g(a) = 0, entonces f y g son continuas en a. Suponemos que f y g están definidas en [a, a + δ), y para (a − δ, a] se har´ıa un razonamiento análogo. Fijado x ∈ (a, a + δ), utilizando el teorema de Cauchy en el intervalo [a, x] se obtiene c ∈ (a, x) tal que g 0 (c)(f (x) − f (a)) = f 0 (c)(g(x) − g(a)), es decir, f 0 (c) f (x) = 0 . g(x) g (c) Cuando x → a+ , también c → a+ , con lo que se tiene el resultado. Estudiemos ahora el caso a = +∞, y el problema es análogo si a = −∞. Las funciones f y g verifican (ii) en (A, +∞) para cierto A > 0. Hacemos el cambio de variable x = 1t y consideramos las funciones F (t) = f 1t y G(t) = g 1t , las cuales se encuentran en la situación del caso anterior para a = 0, obteniéndose el resultado. Supongamos ahora que el l´ımite com´ un de (i) es +∞ (el caso −∞ se prueba análogamente) y que a ∈ R. De la misma forma que antes el caso infinito se reduce al caso finito mediante un cambio de variable. El problema fundamental ahora es que no podemos definir f y g en a de manera que sean continuas, y por ello deberemos aplicar el teorema de Cauchy en intervalos a la derecha o a la izquierda de a y un poco separados de a. Haremos un razonamiento para la parte derecha de a, y para la parte izquierda se proceder´ıa análogamente. Suponemos que (ii) se verifica en el intervalo (a, b]. Si x ∈ (a, a + δ) siendo δ suficientemente peque˜ no, se verifica la identidad siguiente: f (x) f (x) − f (b) 1 − = g(x) g(x) − g(b) 1 −

g(b) g(x) f (b) f (x)

ya que los denominadores que aparecen son distintos de 0 por (i). Aplicando el teorema


59

de Cauchy al intervalo [x, b] se obtiene c ∈ (x, b) tal que f (x) − f (b) f 0 (c) = 0 g(x) − g(b) g (c) por lo que la referida identidad se puede también escribir as´ı: f (x) f 0 (c) = 0 h(x) g(x) g (c) en donde h(x) es el segundo factor del segundo miembro de ella. Ya que l´ım+ h(x) = 1, tomando b para que

3.3.3.

f 0 (c) g 0 (c)

x→a

esté suficientemente cerca de λ, se obtiene el resultado.

Derivadas de orden superior y el teorema de Taylor

Definici´ on 3.3.17. Sea f una función derivable en todos los puntos de un intervalo I. Si f 0 es derivable en c ∈ I, es decir, si existe y es finito f 0 (x) − f 0 (c) , x→c x−c l´ım

éste se designa f 00 (c) y se llama la derivada segunda de f en c. Análogamente se define la derivada n-ésima de f en c, f (n) (c). Teorema 3.3.18 (generalizado de Cauchy). Sean f y g funciones derivables con continuidad hasta el orden n − 1 en [a, b] y tales que f (n) (x) y g (n) (x) existen para todo x ∈ (a, b). Entonces existe c ∈ (a, b) tal que ! ! n−1 (k) n−1 (k) X X f (a) g (a) g (n) (c) f (b) − (b − a)k = f (n) (c) g(b) − (b − a)k . k! k! k=0 k=0 Demostración. Basta aplicar el teorema de Cauchy a las funciones F (x) =

n−1 (k) X f (x) k=0

k!

(b − x)k y G(x) =

n−1 (k) X g (x) k=0

k!

(b − x)k .

Teorema 3.3.19 (Taylor). Sea f una función derivable con continuidad hasta el orden n − 1 en [a, b] y tal que f (n) (x) existe para todo x ∈ (a, b). Entonces existe c ∈ (a, b) tal que f (b) −

n−1 (k) X f (a) k=0

k!

(b − a)k =

f (n) (c) (b − a)n . n!

Demostración. Basta aplicar el teorema generalizado de Cauchy a f y g(x) = (x−a)n .


60

3.3.4.

An´ alisis local de una funci´ on derivable

Definici´ on 3.3.20. Se dice que la función f es cóncava en a si existe δ > 0 tal que f (x) < f (a) + f 0 (a)(x − a) si 0 < |x − a| < δ. Análogamente, se dice que la función f es convexa en a si existe δ > 0 tal que f (x) > f (a) + f 0 (a)(x − a) si 0 < |x − a| < δ. Y se dice que f tiene en a un punto de inflexión si existe δ > 0 tal que si 0 < |x−a| < δ, la diferencia f (x) − [f (a) + f 0 (a)(x − a)] es positiva para x > a y negativa para x < a o viceversa. Observaci´ on 3.3.21. Concavidad de f en a significa que en las proximidades de a la gráfica de f está por debajo de la tangente en (a, f (a)), convexidad significa que está por encima y punto de inflexión significa que la tangente atraviesa a la gráfica. Proposici´ on 3.3.22. Sea f una función con derivada de orden n en un intervalo I en cuyo interior está a y tal que f (n) es continua en a, f (n) (a) 6= 0 y f 00 (a) = f 000 (a) = · · · = f (n−1) (a) = 0. Entonces: (i) Si n es par y f (n) (a) > 0, entonces f es convexa en a, y si además f 0 (a) = 0, entonces f tiene en a un m´ınimo local. (ii) Si n es par y f (n) (a) < 0, entonces f es cóncava en a, y si además f 0 (a) = 0, entonces f tiene en a un máximo local. (iii) Si n es impar, entonces f tiene en a un punto de inflexión. Demostración. Aplicando el teorema de Taylor al intervalo de extremos a y x siendo x cualquier punto de I, se obtiene que f (x) − [f (a) + f 0 (a)(x − a)] =

f (n) (c) (x − a)n n!

para alg´ un c intermedio entre a y x. Ya que f (n) es continua en a, existe δ > 0 tal que f (n) es positiva en (a − δ, a + δ) si en a lo es o negativa en dicho intervalo si en a lo es. Se presentan, pues, cuatro posibilidades al analizar si

f (n) (c) (x − a)n n! es positivo o negativo cuando x ∈ (a − δ, a + δ) dependiendo de la paridad de n y del

signo de f (n) (a). Todas ellas se estudian sin dificultad obteniéndose el resultado.


61

Ejercicios 1.- Sea f una función derivable para x > A tal que l´ım f 0 (x) existe y es finito. Calcular: x→+∞

(i) l´ım (f (x + 2) − f (x)). x→+∞

f (2x)−f (x) . x x→+∞

(ii) l´ım

2.- Sea f una función definida y continua en [0, +∞) tal que f (0) = 0, f es derivable en (0, +∞) y f 0 es creciente. Sea g(x) = f (x) definida en (0, +∞). Probar que g es creciente. x 3.- Demostrar que el polinomio c0 + c1 x + c2 x2 + · · · + cn xn tiene alg´ un cero en el intervalo (0, 1) si c0 + 12 c1 + 31 c2 + · · · +

1 c n+1 n

= 0.

4.- Calcular los l´ımites siguientes usando la regla de L’Hôpital: log(1+ax) con a, b > 0. x→0 log(1+bx) √ n (ii) l´ım m√1+ax−1 con a, b > 0. 1+bx−1 x→0

(i) l´ım

xn x x→+∞ e

(iii) l´ım

con n ∈ N.

(iv) l´ım

(x2 + x) log 1 +

x→+∞

1 x

−x .

5.-Probar que si existe f 00 (x), entonces f (x + h) + f (x − h) − 2f (x) = f 00 (x). h→0 h2 l´ım

¿Puede existir este l´ımite y que no exista f 00 (x)? 6.- Demostrar que f 0 (x) = 0 para cada x de un intervalo I si y solo si f es constante en I. 7.- Probar las desigualdades siguientes: (i) x + 1 ≤ ex para todo x ∈ R. (ii) log(x + 1) < x para todo x > 0. (iii) 1 −

a b

< log ab <

b a

− 1 con 0 < a < b.

8.- Demostrar que: (i) ex =

∞ P k=0

xk k!

para todo x ∈ R.

(ii) log(1 + x) =

∞ P

k

(−1)k−1 xk para todo x ∈ (0, 1].

k=1


62 (iii) sen x =

∞ P k=1

(iv) cos x =

∞ P k=0

(−1)k−1 x2k−1 (2k−1)! (−1)k x2k (2k)!

para todo x ∈ R.

para todo x ∈ R.

(v) x < (1 + x) log(1 + x) < x +

x2 2

para todo x > 0.

9.- Probar las desigualdades siguientes: x2 2

(i) 1 − (ii)

2n P

≤ cos x para todo x ∈ R. k

(−1)k+1 xk ≤ log(x + 1) ≤

k=1

2n+1 P k=1

k

(−1)k+1 xk para todo x > 0.

10.- Se supone que f (a) = g(a) y que f 0 (x) < g 0 (x) para todo x ∈ [a, b]. Demostrar que f (x) < g(x) para todo x ∈ [a, b]. 11.- Sea f continua en [a, b] y con derivada segunda en (a, b). Se supone que en el segmento que une los extremos de la gráfica de f hay alg´ un otro punto de ella. Demostrar que existe c ∈ (a, b) tal que f 00 (c) = 0. 12.- Sea f continua en [a, b]. En (a, b) hay n + 1 puntos en los cuales f toma el mismo valor. Demostrar que si f tiene derivada n-ésima en (a, b), entonces existe c ∈ (a, b) tal que f (n) (c) = 0. 13.- Determinar el rectángulo inscrito en la elipse los ejes y que tenga a´rea máxima.

x 2 a

+

y 2 b

= 1 con lados paralelos a

14.- Determinar el paralelep´ıpedo de base cuadrada inscrito en una semiesfera de radio 1 que tiene volumen máximo. 15.- Representar gráficamente las funciones siguientes: (i) f (x) = x3 − 5x2 + 5x − 1. (ii) f (x) =

2x3 −5x2 +4x+1 . 2x2 −x−1

√ 3 (iii) f (x) = (x − 1) x2 . (iv) f (x) = xe1/x . (v) f (x) = − 14 x2 log x. Recordar que si l´ım+ f (x) = ±∞ o l´ım− f (x) = ±∞, se dice que la recta x = c es una x→c

x→c

as´ıntota vertical de la gráfica de f , si l´ım f (x) = L o l´ım f (x) = L, se dice que la x→+∞

x→−∞

´ 3.4. CALCULO DE PRIMITIVAS

63

recta y = L es una as´ıntota horizontal y la recta y = λx + µ con λ 6= 0 es una as´ıntota oblicua si l´ım (f (x) − λx − µ) = 0 o l´ım (f (x) − λx − µ) = 0. x→+∞

3.4.

x→−∞

C´ alculo de primitivas

Definici´ on 3.4.1. Se dice que la función derivable F es una primitiva de la función f si R F 0 = f , utilizándose la notación f (x) dx = F (x). Es trivial probar el resultado siguiente: Proposici´ on 3.4.2. La condición necesaria y suficiente para que dos funciones derivables sean primitivas de la misma función es que su diferencia sea constante. Observaci´ on 3.4.3. Si conocemos una primitiva F de f , todas las demás se obtienen sumando a F un n´ umero real arbitrario. De la derivada de un producto de dos funciones se obtiene fácilmente la regla siguiente: Proposici´ on 3.4.4. Dadas dos funciones derivables f y g se tiene que Z Z 0 f (x)g (x) dx = f (x)g(x) − f 0 (x)g(x) dx. La regla de la cadena es otra herramienta para el cálculo de primitivas. Si queremos hallar una primitiva de f (x), es u ´til a veces hacer un cambio de variable x = ϕ(t) de −1 tal manera que ϕ y ϕ sean derivables. Si podemos encontrar una primitiva G(t) del producto g(t) = f (ϕ(t))ϕ0 (t), entonces la función F (x) = G(ϕ−1 (x)) es una primitiva de f (x). Ejercicios 1.- Calcular las primitivas siguientes: R (i) √x−1+1 √x+1 dx. R 1 (ii) 1+sen dx. x R (iii) tag 2 x dx. R √ (iv) x 1 − x2 dx.

64


2.- Calcular las primitivas siguientes utilizando la regla del producto: R (i) x2 ex dx. R (ii) x cos x dx. R (iii) arc tag x dx. R (iv) log |x| dx. R (v) arc sen x dx. R (vi) ex cos x dx. R (vii) log3 x dx. R (viii) log xlog x dx. R (ix) x log2 x dx. R sen x (x) x√arc1−x 2 dx. R (xi) sen2 x dx. 3.- Calcular las primitivas de funciones racionales siguientes: R 2 +7x−1 (i) x2x 3 +x2 −x−1 dx. R (ii) xx+4 2 +1 dx. R 2 +x+2 (iii) xx4 +2x 2 +1 dx. R 2x2 +x+1 (iv) (x+3)(x−1) 2 dx. R (v) x41+1 dx. R (vi) (x2x−1 2 +2)2 dx. 4.- Calcular las primitivas siguientes mediante cambio de variable: R√ (i) 1 − x2 dx. R √ (ii) x x + 1 dx. R x −x (iii) e e+2e 2x +1 dx. R x (iv) sensen dx con x ∈ (−π, π). x+cos x R (v) sen3 x cos4 x dx.

´ 3.4. CALCULO DE PRIMITIVAS 1+cos2 x cos x(1+sen2 x)

(vi)

R

(vii)

R

(viii) R (ix)

1 sen2 x cos2 x R √ 4x √ dx. 1+ x 1 cos x

dx.

dx.

dx.

5.- Calcular las primitivas siguientes: R x (i) 2−sen dx. 2+cos x R 1 (ii) 1+sen 2 x dx. R 1−r cos x (iii) 1−2r dx. cos x+r2 R (iv) 1+√1x+1 dx. R x +1 (v) 24x +1 dx. √ R √ dx. (vi) 1−1−x x R (vii) cos 2x sen2 x dx. R (viii) sen 3x1 cos x dx. 2 R 1 √ (ix) x 1 + x dx. (x)

R

√ 2+ x+1 √ (x+1)2 − x+1

dx.

65

Cap´ıtulo 4 Integraci´ on 4.1.

Integral de una funci´ on continua

A continuación vamos a describir un proceso (integración) que asocia a una función f continua en [a, b] un determinado n´ umero (integral) que, cuando f es positiva en [a, b], es el a´rea del recinto plano determinado sobre [a, b] por la gráfica de f y las rectas x = a y x = b. Definici´ on 4.1.1. Dados x1 < x2 < · · · < xr−1 n´ umeros de (a, b), se dice que P = {a = x0 , x1 , x2 , . . . , xr−1 , b = xr } es una partición del intervalo [a, b]. La norma de P se define como |P | = máx {xi − xi−1 }. 1≤i≤r

La colección de todas las particiones de [a, b] se designa por P. A cada P ∈ P asociamos las sumas S(f, P ) =

r X

(xk − xk−1 )

k=1

s(f, P ) =

r X

(xk − xk−1 )

k=1

máx

f (x),

x∈[xk−1 ,xk ]

m´ın

f (x)

x∈[xk−1 ,xk ]

y σ(f, P ) =

r X (xk − xk−1 )f (tk ) k=1

donde tk ∈ [xk−1 , xk ] para todo 1 ≤ k ≤ r. 67

´ CAPÍTULO 4. INTEGRACION

68 Proposici´ on 4.1.2. (i) Para toda P ∈ P se tiene que

(b − a) m´ın f (x) ≤ s(f, P ) ≤ σ(f, P ) ≤ S(f, P ) ≤ (b − a) máx f (x). x∈[a,b]

x∈[a,b]

(ii) Para todas P, P 0 ∈ P se tiene que s(f, P ) ≤ S(f, P 0 ). (iii) Para todo > 0 existe P ∈ P tal que S(f, P ) − s(f, P ) < . (iv) ´ınf S(f, P ) = sup s(f, P ). P ∈P

P ∈P

Demostración. (i) Trivial. (ii) El resultado se debe a que s(f, P ) ≤ s(f, P ∪ P 0 ) ≤ S(f, P ∪ P 0 ) ≤ S(f, P 0 ) donde P ∪ P 0 se obtiene a˜ nadiendo a P los elementos de P 0 que no le pertenecen. (iii) Ya que f es uniformemente continua en [a, b], dado > 0 existe δ > 0 tal que si |x − y| < δ. Basta entonces elegir P ∈ P tal que |P | < δ para |f (x) − f (y)| < b−a obtener el resultado.

(iv) Se obtiene usando (ii) y (iii). Definici´ on 4.1.3. Al valor com´ un ´ınf S(f, P ) = sup s(f, P ) se le llama integral de f en P ∈P P ∈P Rb Rb [a, b] y se suele designar a f (x) dx o a f . Observaci´ on 4.1.4. Si Pn es una sucesión de particiones de [a, b] tal que l´ım |Pn | = 0, n→∞ Rb entonces se obtiene que l´ım (S(f, Pn ) − s(f, Pn )) = 0 y, puesto que s(f, Pn ) ≤ a f ≤ n→∞

S(f, Pn ) para todo n ∈ N, resulta también que la sucesiones S(f, Pn ) y s(f, Pn ) (y cualquier σ(f, Pn )) convergen a la integral. Veamos ahora las propiedades de la integral: Proposici´ on 4.1.5. Sean f y g funciones continuas en [a, b] y λ ∈ R. Entonces se verifica: Rb Rb Rb (i) a (f + g) = a f + a g. Rb Rb (ii) a (λf ) = λ a f . Rb Rc Rb (iii) a f = a f + c f si a < c < b. Rb Rb (iv) Si f ≤ g, entonces a f ≤ a g. R R b b (v) a f ≤ a |f |. (vi)

Rb a

f = (b − a)f (x) para alg´ un x ∈ [a, b].

´ CONTINUA 4.1. INTEGRAL DE UNA FUNCION

69

Demostración. (i) y (ii) Sea Pn una sucesión de particiones de [a, b] tal que l´ım |Pn | = 0. n→∞

Entonces Z b Z b Z b (f + g) = l´ım σ(f + g, Pn ) = l´ım σ(f, Pn ) + l´ım σ(g, Pn ) = f+ g n→∞

a

n→∞

n→∞

a

a

y b

Z

b

Z (λf ) = l´ım σ(λf, Pn ) = λ l´ım σ(f, Pn ) = λ n→∞

a

f.

n→∞

a

(iii) Sea Pn una sucesión de particiones de [a, b] a las que c pertenece y tal que l´ım |Pn | = 0. Para cada n ∈ N consideramos Pn0 = Pn ∩ [a, c] y Pn00 = Pn ∩ [c, b] particiones de [a, c] y [c, b] respectivamente con l´ım |Pn0 | = l´ım |Pn00 | = 0. As´ı se tiene que

n→∞

Z

n→∞

n→∞

(σ(f, Pn0 )

σ(f, Pn00 ))

b

f = l´ım σ(f, Pn ) = l´ım n→∞

a

n→∞

+

Z

c

Z

a

b

f.

f+

=

c

(iv) Esta propiedad se obtiene fácilmente de que si f ≤ g, entonces σ(f, P ) ≤ σ(g, P ). Rb Rb (v) Usando que |f | es continua si f lo es, (ii) y (iv) se tiene que − a f = a (−f ) ≤ Rb Rb Rb |f | y a f ≤ a |f | con lo que se obtiene el resultado. a (vi) Ya que Z (b − a) m´ın f (x) ≤ x∈[a,b]

se tiene que

Rb a

b

f ≤ (b − a) máx f (x), a

x∈[a,b]

f = (b − a)µ para alg´ un m´ın f (x) ≤ µ ≤ máx f (x). El teorema de los x∈[a,b]

x∈[a,b]

valores intermedios hace el resto. Definici´ on 4.1.6. A la función F (t) =

0 Rt

si t = a, f (x) dx si a < t ≤ b, a

se le llama integral indefinida de f en [a, b]. Si f es continua en [a, +∞) se define su integral indefinida como 0 si t = a, F (t) = R t f (x) dx si t > a. a Proposici´ on 4.1.7. La integral indefinida de f es una función continua. Demostración. Ya que (t − a) m´ın f (x) ≤ F (t) ≤ (t − a) máx f (x), x∈[a,b]

x∈[a,b]


70

se tiene que l´ım F (t) = 0 con lo que F es continua en t = a. t→a

Ahora, dado el intervalo (a, x] contenido en el intervalo de definición de F , si a < u < v ≤ x, entonces Z |F (v) − F (u)| =

v

u

Z f ≤

v

|f | ≤ (v − u) máx |f (x)| x∈[a,b]

u

con lo que F es uniformemente continua en (a, x]. Observaci´ on 4.1.8. Análogamente se pueden definir las funciones Rb f (x) dx si a ≤ t < b, t G(t) = 0 si t = b, si f es continua en [a, b] y Rb

f (x) dx si t < b, 0 si t = b,

G(t) =

t

si f es continua en (−∞, b], siendo ambas igualmente continuas. Definici´ on 4.1.9. Dada una función continua f definida en (a, b], se define su integral como Z b Z b f = l´ım+ f a+

→0

a+

supuesto que este l´ımite existe. Y análogamente, si f es continua en [a, b), Z b− Z b− f = l´ım+ f. a

→0

a

Si f es continua en [a, +∞), se define Z +∞ Z f = l´ım a

A→+∞

A

f

a

y si f es continua en (−∞, b], se define Z b Z b f = l´ım f. −∞

4.2.

B→−∞

B

La integral de Riemann

Vamos a considerar ahora una función f definida en [a, b] que puede ser no continua en varios o incluso en todos los puntos del intervalo, pero suponemos siempre que es acotada, es decir, |f (x)| ≤ M para todo x ∈ [a, b].

4.2. LA INTEGRAL DE RIEMANN

71

Definici´ on 4.2.1. A cada P ∈ P asociamos las sumas S(f, P ) =

r X

(xk − xk−1 )

sup

f (x)

x∈[xk−1 ,xk ]

k=1

y r X s(f, P ) = (xk − xk−1 ) k=1

´ınf

f (x).

x∈[xk−1 ,xk ]

Proposici´ on 4.2.2. (i) Para toda P ∈ P se tiene que −M (b − a) ≤ s(f, P ) ≤ S(f, P ) ≤ M (b − a). (ii) Para todas P, P 0 ∈ P se tiene que s(f, P ) ≤ S(f, P 0 ). (iii) Se tiene que −M (b − a) ≤ sup s(f, P ) ≤ ´ınf S(f, P ) ≤ M (b − a). P ∈P

P ∈P

Demostración. (i) Trivial. (ii) La demostración es la misma que cuando se trataba de funciones continuas. (iii) Basta usar (i) y (ii). Definici´ on 4.2.3. Las integrales superior e inferior de f en [a, b] se definen, respectivamente, mediante Z

b

Z

b

f (x) dx =

f = ´ınf S(f, P )

a

P ∈P

a

y Z

b

Z

b

f (x) dx =

f = sup s(f, P ). P ∈P

a

a

Cuando son iguales se dice que f es integrable (Riemann), el valor com´ un se designa Rb Rb f (x) dx = a f y se denomina integral (Riemann) de f en [a, b]. a Proposici´ on 4.2.4. Una función f definida en [a, b] y acotada es integrable si y solo si para todo > 0 existe P ∈ P tal que S(f, P ) − s(f, P ) < . Demostración. Supongamos que f es integrable. Dado > 0 existe P 0 ∈ P tal que 0

Z

S(f, P ) < a

b

f+ . 2


72 Análogamente existe P 00 ∈ P tal que b

Z

00

s(f, P ) > a

f− . 2

Sea P = P 0 ∪ P 00 . Entonces Z b Z b f+ , f − < s(f, P ) ≤ S(f, P ) < 2 2 a a con lo que S(f, P ) − s(f, P ) < . Rec´ıprocamente, dado > 0 existe P ∈ P tal que S(f, P ) − s(f, P ) < , con lo que b

Z

b

Z f−

a

f < a

para todo > 0 y, por tanto, Z

b

Z f=

a

b

f. a

Veamos ahora las propiedades de las funciones integrables: Proposici´ on 4.2.5. Sean f y g funciones integrables en [a, b] y λ ∈ R. Entonces se verifica: Rb Rb Rb (i) f + g es integrable en [a, b] y a (f + g) = a f + a g. Rb Rb (ii) λf es integrable en [a, b] y a (λf ) = λ a f . (iii) Si c ∈ (a, b), entonces f es integrable en [a, c] y en [c, b] y Rb Rb (iv) Si f ≤ g, entonces a f ≤ a g. R R b b (v) |f | es integrable en [a, b] y a f ≤ a |f |.

Rb a

f=

Rc a

f+

Rb c

f.

Demostración. (i) Sea > 0. Ya que f y g son integrables existen P, P 0 ∈ P tales que S(f, P ) − s(f, P ) <

2

y S(g, P 0 ) − s(g, P 0 ) <

. 2

Tomando P 00 = P ∪ P 0 se tiene que

S(f +g, P 00 )−s(f +g, P 00 ) ≤ S(f, P 00 )+S(g, P 00 )−s(f, P 00 )−s(g, P 00 ) ≤ S(f, P )+S(g, P 0 )− s(f, P ) − s(g, P 0 ) < con lo que f + g es integrable. La igualdad integral se obtiene tomando ´ınfimos y supremos respectivamente en P en las desigualdades S(f + g, P ) ≤ S(f, P ) + S(g, P ) y s(f + g, P ) ≥ s(f, P ) + s(g, P ). (ii) La demostración de esta propiedad es similar a la de (i).

´ 4.3. EL TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CALCULO

73

(iii) La primera parte es trivial y la segunda se deduce de (i) pues f coincide salvo en c con la suma de sus restricciones a [a, c] y [c, b]. (iv) Basta con tomar ´ınfimos en P en la desigualdad S(f, P ) ≤ S(g, P ). (v) La primera parte se debe a que |f | es la composición de la función integrable f con la función continua valor absoluto (ver Ejercicio 2). La segunda parte se demuestra como en el caso continuo. Ejercicios 1.- Demostrar que una función monótona definida en [a, b] es integrable. 2.- Demostrar que la composición de una función integrable y una continua es integrable. 3.- Demostrar que una función acotada cuyo conjunto de puntos de discontinuidad es finito es integrable. 4.- Probar que la función definida en [0, 1] por 0 si x 6∈ Q, f (x) = 1 si x = pq ∈ Q, irreducible, q > 0, q es integrable y calcular su integral. 5.- Demostrar que la composición de dos funciones integrables puede ser no integrable. 6.- Demostrar que el producto de dos funciones integrables es integrable. 7.- Demostrar que si

∞ P

an es una serie convergente de elementos de [0, 1] y f es una

n=1

función integrable en [0, 1], entonces la serie

∞ R P an n=1

0

f es absolutamente convergente.

8.- Sea f una función integrable en [a, b] no negativa. Probar que si f es continua en c y Rb f (c) > 0, entonces a f > 0.

4.3.

El teorema fundamental del C´ alculo

Teorema 4.3.1 (Teorema fundamental del Cálculo). Sea f una función acotada e integrable definida en [a, b] y sea F la integral indefinida de f , es decir, 0 si t = a, F (t) = R t f (x) dx si a < t ≤ b, a


74

Entonces, F es una función continua y, si f es continua en c ∈ [a, b], F es derivable en c y F 0 (c) = f (c). Demostración. La continuidad se prueba de forma análoga al caso continuo pero usando una cota de |f |. Supongamos ahora que f es continua en c ∈ [a, b]. Estudiemos F+0 (c). La otra derivada lateral se estudia análogamente. Dado > 0 existe δ > 0 tal que |f (x) − f (c)| < si |x − c| < δ. Entonces, si 0 < h < δ, se tiene que R c+h R c+h (f (x) − f (c)) dx F (c + h) − F (c) |f (x) − f (c)| dx c c = − f (c) ≤ < h h h lo cual completa la demostración. Corolario 4.3.2 (Regla de Barrow). Sea f una función continua definida en [a, b] y sea F una primitiva de f . Entonces Z

b

f (x) dx = F (b) − F (a). a

Demostración. Ya que, por el teorema fundamental del Cálculo, la integral indefinida de f es otra primitiva de f , se tiene que ambas difieren en una constante λ = −F (a) con lo que se tiene el resultado. Ejercicios 1.- Demostrar que si f tiene derivada continua de orden n en [a, b], entonces f (b) −

n−1 (k) X f (a)

k!

k=0

k

Z

(b − a) = a

b

f (n) (x) (b − x)n−1 dx. (n − 1)!

2.- Calcular las integrales siguientes como el l´ımite de una suma y calcular los l´ımites siguientes mediante la evaluación de una integral por la regla de Barrow: R1 √ (i) 0 ax dx; l´ım n( n a − 1) con a > 0. n→∞

(ii)

R2

(iii)

R1

1

0

log x dx; l´ım

n→∞

xp dx; l´ım

n→∞

q n

1+

1 n

1p +2p +···+np np+1

1+

2 n

··· 1 +

con p ∈ N.

n n

.

´ 4.3. EL TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CALCULO (iv)

R2

(v)

R1

dx

0

x2 +1

(vi)

R1

1

1 n+1

dx ; l´ım x n→∞

; l´ım n n→∞

+

1 n+2 1

n2 +12

+ ··· + +

1 n2 +22

1 n+n

75

.

+ ··· +

1 n2 +n2

.

n P √ dx ; l´ √ 1 ım . 0 x2 +1 n→∞ n2 +k2 k=1 √ √ √ R1√ 1+ 2+ 3+···+ n √ . x dx; l´ ım 0 n n n→∞

(vii) (viii)

R1√ 0

1 − x2 dx; l´ım

n P

n→∞ k=1

√

n2 −k2 . n2

3.- Sea f una función continua. Probar que las funciones siguientes son derivables y calcular sus derivadas: R1 (i) F (t) = t f (x) dx. R t2 (ii) F (t) = 0 f (x) dx. 4.- Calcular las integrales siguientes: R 2π (i) 0 máx{sen x, cos x} dx. R π/2 3 x sen3 x dx. (ii) 0 cos1+sen 2x R2 x2 (iii) 0 (x2 +1) 3/2 dx. (iv)

R3 −3

|x(x − 1)(x + 1)(x − 2)| dx.

5.- Sean f una función continua en R y u y v dos funciones derivables en R. Se define la función g en R como Z

v(x)

g(x) =

f (t) dt. u(x)

Demostrar que g es derivable en R y que g 0 (x) = f (v(x))v 0 (x) − f (u(x))u0 (x). 6.- Calcular la derivada de las funciones siguientes: Rx t (i) f (x) = 0 t4 +te 2 +2 dt. (ii) f (x) =

R x2 x

√ dt . t2 +1

7.- Calcular los l´ımites siguientes: (i) l´ım

x→0

R x2 0

sen x3

√

t dt

.


76 2 x t2 0 e dt Rx 2t2 dt 0 e

R

(ii) l´ım

x→+∞

.

8.- Calcular el área de la región acotada por la curva de ecuación y = x3 − x y su tangente en el punto de abcisa x = −1.

4.4.

Integrales impropias

Ahora vamos a extender la definición de integral a intervalos no cerrados o no acotados para funciones no necesariamente continuas. Las integrales de esta naturaleza se suelen denominar integrales impropias. La función f objeto de nuestro estudio será localmente integrable en el intervalo I en el que esté definida, es decir, integrable en cada intervalo cerrado y acotado contenido en I. Definici´ on 4.4.1. Si I = [a, b) siendo b ∈ R ∪ {+∞}, la integral de f en I de define como Z b− Z t f = l´ım− f a

t→b

a

en el supuesto de que este l´ımite exista (finito o infinito) y se dice que f es integrable en I si dicho l´ımite es finito. Si I = (a, b] siendo a ∈ R ∪ {−∞}, definimos análogamente Z b Z b f = l´ım+ f. a+

t→a

t

Si I = (a, b) (acotado o no por ambos lados), se dice que f es integrable si existe c ∈ I tal que f es integrable en (a, c] y en [c, b), y la integral de f en I se define mediante Z b− Z c Z b− f+ f= f. a+

a+

c

Observaci´ on 4.4.2. De las propiedades de la integral se deduce fácilmente que si existe alg´ un c con esta propiedad, entonces cualquier punto de (a, b) también la tiene, y la definición de la integral es independiente del c que se elija. Veamos ahora algunos criterios de comparación. Nos referiremos a un intervalo [a, b) y de forma análoga se puede hacer para (a, b]. El primero de ellos se obtiene fácilmente: Proposici´ on 4.4.3. Sean f y g definidas en [a, b) tales que 0 ≤ f (x) ≤ g(x) para cada x de alg´ un intervalo [c, b) con c ∈ [a, b). Entonces, si g es integrable, f también lo es, y si f tiene integral infinita, g también.

4.4. INTEGRALES IMPROPIAS

77

De este resultado se deducen los dos siguientes: Proposici´ on 4.4.4. Sean f y g definidas en [a, b) tales que f (x) ≥ 0, g(x) > 0 y λ≤

f (x) ≤µ g(x)

para cada x de alg´ un intervalo [c, b) con c ∈ [a, b) y λ, µ > 0. Entonces f es integrable si y solo si g también lo es. Observaci´ on 4.4.5. La tercera de las anteriores condiciones se cumple si l´ım−

x→b

f (x) = L > 0. g(x)

Proposici´ on 4.4.6. Sean f y g definidas en [a, b) tales que f (x) ≥ 0 y g(x) > 0 para cada x de alg´ un intervalo [c, b) con c ∈ [a, b), y además l´ım−

x→b

f (x) = 0. g(x)

Entonces, si g es integrable, f también lo es, y si f tiene integral infinita, g también.

Ejercicios

1.- Calcular las integrales impropias siguientes: R1 (i) 0+ log x dx. R +∞ (ii) 0 e−x dx. R +∞ (iii) 0 xn e−x dx con n ∈ N. R +∞ (iv) 0 x21+1 dx. R +∞ √ (v) 0 e− x dx. 2.- Probar que: R +∞ 2 (i) 0 2xe−x dx = 1. √ R +∞ x (ii) 1 arcxtag dx = π4 − log 2. 2 R1 (iii) 0+ x−2 e−1/x dx = 1e . R1 (iv) 0+ x2 log x dx = − 13 .


78

3.- Determinar para cada una de las integrales impropias siguientes si es finita o no, y calcularla cuando sea finita: R 2 dx . (i) 1+ x log x R1 (ii) 0+ x log x dx. R +∞ (iii) 2 logx x dx. R 1− dx (iv) −1+ √1−x 2. R2 . (v) 1+ √dx x−1 R +∞ dx (vi) 2 x log 2 . x R +∞ dx (vii) 0+ x(x+4) . R +∞ (viii) 1 x4x+1 dx. R +∞ dx (ix) 2 x2 +x−2 . Rb 4.- Sean f y g dos funciones definidas en (a, b) tales que las dos integrales impropias a f Rb Rb y a g son finitas. Mostrar con un ejemplo que, en general, la integral impropia a f g no tiene por qué ser finita.

4.5. 4.5.1.

Aplicaciones de la integral Longitud de la gr´ afica de una funci´ on

Definici´ on 4.5.1. Dada una función continua f definida en [a, b] con derivada continua se define la longitud de su gráfica como Z bp (f 0 (x))2 + 1 dx. L= a

Observaci´ on 4.5.2. La justificación de la definición anterior es la siguiente: Al elegir P = {a = x0 , x1 , x2 , . . . , xr−1 , b = xr } ∈ P queda determinada una poligonal inscrita en la curva y la suma de las longitudes de los segmentos que la constituyen es r X p (f (xk ) − f (xk−1 ))2 + (xk − xk−1 )2 , k=1

la cual, aplicando el teorema del valor medio en cada intervalo [xk−1 , xk ], se transforma p en cierta σ( (f 0 )2 + 1, P ).

4.5. APLICACIONES DE LA INTEGRAL

4.5.2.

79

Volumen y superficie lateral de un cuerpo de revoluci´ on

Definici´ on 4.5.3. Sea f una función continua definida en [a, b] con valores no negativos y derivada continua. Mediante la rotación de la gráfica de f en torno del segmento de extremos a y b se genera un cuerpo cuyo volumen V y superficie lateral S se definen del siguiente modo: Z V =

b

π(f (x))2 dx

a

y Z

b

S=

p 2πf (x) (f 0 (x))2 + 1 dx.

a

Observaci´ on 4.5.4. La justificación de la definición anterior es análoga a la de la longitud de la gráfica de una función.

Ejercicios

1.- Calcular la longitud de una circunferencia de radio r. 2.- Calcular la longitud de las gráficas de las funciones siguientes: √ (i) f (x) = 2x con x ∈ [1, 3]. (ii) f (x) = ex con x ∈ [−1, 2]. (iii) f (x) = log cos x con x ∈ 0, π4 . 3.- Calcular la longitud de las siguientes curvas: (i) El arco de la parábola de ecuación y = x2 comprendido entre los puntos (0, 0) y (1, 1). (ii) El arco de la cicloide parametrizado por c(t) = (r(t−sen t), r(1−cos t)) con t ∈ [0, 2π]. 4.- Calcular el volumen y la superficie de una esfera de radio r. 5.- Calcular el volumen del cuerpo engendrado por la rotación en torno al eje OX de las gráficas de las funciones siguientes: (i) f (x) = sen x con x ∈ [0, π]. (ii) f (x) = e−x con x ∈ [0, a]. √ (iii) f (x) = x 1 − x2 con x ∈ [0, 1].


80

6.- Calcular el a´rea de la superficie engendrada al girar en torno al eje OX las gráficas de las funciones siguientes: (i) f (x) = tag x con x ∈ 0, π4 . (ii) f (x) =

4.6.

x2 2

con x ∈ [1, 2].

Las funciones trigonom´ etricas

Definici´ on 4.6.1. El n´ umero π se define como Z 1√ 1 − x2 dx. π=2 −1

Para x ∈ [−1, 1], el a´rea A(x) del sector limitado por la circunferencia unidad (de centro el origen y radio 1), el eje OX y el segmento que une el origen con el punto √ (x, 1 − x2 ) es la siguiente: √ Z 1√ x 1 − x2 A(x) = + 1 − t2 dt. 2 x Definici´ on 4.6.2. Si x ∈ [0, π], entonces cos x es el u ńico n´ umero de [−1, 1] tal que A(cos x) = y sen x =

x 2

√ 1 − cos2 x.

Observaci´ on 4.6.3. La existencia de cos x viene dada por el teorema de los valores intermedios ya que A es una función continua y A(−1) = π2 y A(1) = 0. Es claro que si x ∈ [π, 2π], entonces sen x = − sen(2π − x) y cos x = cos(2π − x), y si x = 2πk +x0 para alg´ un k ∈ Z y alg´ un x0 ∈ [0, 2π], entonces sen x = sen x0 y cos x = cos x0 . Las derivadas de las funciones sen y cos se obtienen fácilmente: Proposici´ on 4.6.4. Si 0 < x < π, entonces (cos x)0 = − sen x y (sen x)0 = cos x. Observaci´ on 4.6.5. Es fácil demostrar que las derivadas anteriores se tienen para todo x que no sea m´ ultiplo de π, y para estos u ´ltimos basta aplicar la Proposición 3.3.14.

4.7. LAS FUNCIONES LOGARÍTMICA Y EXPONENCIAL

81

Las demás funciones trigonométricas (tag , sec, cosec y cotag ) se definen de la manera habitual. Restringiendo la función sen a − π2 , π2 para tener inyectividad se obtiene su función inversa arc sen con dominio [−1, 1]. Análogas funciones se obtienen restringiendo la función cos a [0, π] y la función tag a − π2 , π2 . En este u ´ltimo caso el dominio de la función arc tag es todo R.

4.7.

Las funciones logar´ıtmica y exponencial

Definici´ on 4.7.1. Si x > 0, entonces se define log x =

Rx

1 1 t

dt.

Proposici´ on 4.7.2. Si x, y > 0, entonces log xy = log x + log y. Demostración. Dado y > 0, consideramos la función f (x) = log xy. Ya que f 0 = log0 , se tiene que log xy = log x + c para cierta constante c. Tomando x = 1 se obtiene que c = log y lo cual completa la demostración ya que y era arbitrario. Fácilmente se obtienen los siguientes corolarios: Corolario 4.7.3. Si n ∈ N y x > 0, entonces log xn = n log x. Corolario 4.7.4. Si x, y > 0, entonces log xy = log x − log y. La función log es creciente y no está acotada ni superior ni inferiormente (basta considerar log 2n y log 21n ). Al ser continua, R es el dominio de log−1 . Definici´ on 4.7.5. La función exponencial exp se define como log−1 . Ya que log x se define solo para x > 0, se tiene que exp x > 0 para todo x ∈ R. Además, es fácil obtener que exp0 = exp y que exp(x + y) = exp x · exp y para cualesquiera x, y ∈ R. Definici´ on 4.7.6. Se definen e = exp 1, ex = exp x y ax = ex log a con x ∈ R y a > 0. Es fácil comprobar que (ax )y = axy , a1 = a, ax+y = ax ay y que loga x = x

loga x es la función inversa de a .

log x log a

donde

Cap´ıtulo 5 Sucesiones y series de funciones 5.1.

Convergencia puntual

Definici´ on 5.1.1. Cuando a cada n ∈ N se asocia una función fn y todas ellas tienen el mismo dominio, que suele ser un intervalo I, tenemos una sucesión de funciones definida en I que notaremos por fn o fn (x). Si P = {x ∈ I : fn (x) es una sucesión convergente}, se dice que la sucesión fn converge en P . De forma natural definimos en P la función f como f (x) = l´ım fn (x) n→∞

denominada l´ımite puntual de fn en P , diciéndose que fn converge a f en P . La serie de funciones

∞ P

fn (x) se define como la sucesión de funciones sumas parciales

n=1

cuyo l´ımite puntual se denomina suma de la serie. Ejercicios 1.- Estudiar la convergencia puntual de las sucesiones de funciones siguientes: (i) fn (x) = xn con x ≥ 0.  si 0 ≤ x ≤ 1/n,  nx 2 − nx si 1/n < x ≤ 2/n, (ii) fn (x) =  0 si 2/n < x ≤ 1. 2.- Estudiar la convergencia puntual de las series de funciones siguientes: (i)

∞ √ P (nx−

√ x) con x ≥ 0.

n+1

n=2

83

CAPÍTULO 5. SUCESIONES Y SERIES DE FUNCIONES

84 (ii)

∞ P n=0

5.2.

x (x+1)n

con x ∈ [0, 1].

Convergencia uniforme

Definici´ on 5.2.1. La sucesión de funciones fn converge uniformemente a f en P si para todo > 0 existe n0 ∈ N tal que |fn (x) − f (x)| < para todo n ≥ n0 y todo x ∈ P . Observaci´ on 5.2.2. Conviene observar que en la definición anterior y a diferencia de la convergencia puntual, n0 no depende del x ∈ P que elijamos. Definici´ on 5.2.3. La sucesión de funciones fn tiene la propiedad de Cauchy uniforme en P si para todo > 0 existe n0 ∈ N tal que |fn (x) − fm (x)| < para cualesquiera n, m ≥ n0 y todo x ∈ P . Observaci´ on 5.2.4. Es evidente que la propiedad de Cauchy uniforme es equivalente a la convergencia uniforme. La existencia de la función l´ımite f está garantizada ya que para cada x ∈ P la sucesión numérica fn (x) converge por tener la propiedad de Cauchy y su l´ımite es f (x). Es trivial probar que Proposici´ on 5.2.5. La sucesión de los términos de una serie de funciones uniformemente convergente converge uniformemente a la función 0. Veamos ahora algunos criterios de convergencia uniforme: Proposici´ on 5.2.6 (Criterio de Dini). Sea fn una sucesión de funciones continuas que converge en cada punto de [a, b] a una función continua f . Si fn (x) ≤ fn+1 (x), o bien fn+1 (x) ≤ fn (x), para todo x ∈ [a, b] y todo n ∈ N, entonces la convergencia de fn a f es uniforme. Demostración. Supongamos que fn (x) ≤ fn+1 (x) para todo x ∈ [a, b] y todo n ∈ N. En el otro caso el razonamiento es análogo. Para cada x ∈ [a, b] existe n0 (x) ∈ N tal que 0 ≤ f (x) − fn (x) < si n ≥ n0 (x). Al ser continua en x la función f − fn0 (x) existe un intervalo abierto Ix de centro x tal que 0 ≤ f (t) − fn0 (x) (t) < si t ∈ Ix ∩ [a, b]. La colección de intervalos abiertos {Ix : x ∈ [a, b]} cubre a [a, b] pero basta para ello una subcolección finita {Ix1 , Ix2 , . . . , Ixh }. Tomando

5.2. CONVERGENCIA UNIFORME

85

n0 = máx{n0 (x1 ), n0 (x2 ), . . . , n0 (xh )} se obtiene el resultado pues fijado t ∈ [a, b] y n ≥ n0 , existe 1 ≤ j ≤ h tal que t ∈ Ixj con lo que 0 ≤ f (t) − fn (t) ≤ f (t) − fn0 (xj ) (t) < .

Proposici´ on 5.2.7 (Criterio de Weierstrass). Sean fn una sucesión de funciones definidas en P y µn una sucesión de n´ umeros positivos que verifica que |fn (x)| ≤ µn para todo ∞ ∞ ∞ P P P x ∈ P y la serie µn es convergente. Entonces las series fn y |fn | convergen n=1

n=1

n=1

uniformemente en P . Demostración. Ya que para todo x ∈ P se tiene que

∞ P

|fn (x)| ≤

n=1

∞ P

µn , hay convergencia

n=1

absoluta en cada punto de P . La propiedad de Cauchy de de Cauchy uniforme para

∞ P

∞ P

µn n=1 ∞ P

|fn |.

fn y

n=1

y la desigualdad triangular nos dan la propiedad

n=1

Proposici´ on 5.2.8 (Criterio de Dirichlet). Sean fn y gn dos sucesiones de funciones definidas en P tales que para cada x ∈ P , fn (x) es una sucesión de n´ umeros positivos decreciente a 0 siendo uniforme la convergencia de fn a 0 en P y existe C ∈ R tal que |g1 (x) + g2 (x) + · · · + gn (x)| ≤ C para todo n ∈ N y todo x ∈ P . Entonces la serie

∞ P

fn gn converge uniformemente en P .

n=1

Demostración. Probaremos que se cumple la propiedad de Cauchy uniforme en P . Designamos Gn a la suma g1 + g2 + · · · + gn . Dados 1 < q ≤ p se tiene que |fq gq + · · · + fp gp | = |fq (Gq − Gq−1 ) + · · · + fp (Gp − Gp−1 )| = | − fq Gq−1 + (fq − fq+1 )Gq + · · · + (fp−1 − fp )Gp−1 + fp Gp | ≤ 2Cfq . La convergencia uniforme de fn a 0 en P nos da el resultado. Proposici´ on 5.2.9 (Criterio de Abel). Sean la sucesión de funciones fn tal que fn (x) decrece para cada x ∈ P y existe C ∈ R tal que |fn (x)| ≤ C para todo n ∈ N y todo ∞ P x ∈ P , y la serie de funciones gn convergente uniformemente en P . Entonces la serie ∞ P n=1

n=1

fn gn converge uniformemente en P .


86

Demostración. Procediendo de la misma forma que en la demostración del criterio de ∞ P Dirichlet y siendo G la suma de la serie gn tenemos que n=1

|fq gq + · · · + fp gp | = | − fq Gq−1 + (fq − fq+1 )Gq + · · · + (fp−1 − fp )Gp−1 + fp Gp | p−1 X = | − fq (Gq−1 − G) + (fk − fk+1 )(Gk − G) + fp (Gp − G)| k=q p−1

≤ |fq ||Gq−1 − G| +

X (fk − fk+1 )|Gk − G| + |fp ||Gp − G|. k=q

La convergencia uniforme de Gn a G y la acotación de las fn por C nos dan el resultado. Ejercicios 1.- Estudiar la convergencia puntual y uniforme de las sucesiones de funciones siguientes: (i) fn (x) = nx(1 − x)n . (ii) fn (x) = 1 − nx . (iii) fn (x) = sen nx . (iv) fn (x) = nx e−x/n con x ≥ 0. 0 si 0 ≤ x < 1 + 1/n, (v) fn (x) = 2 si x ≥ 1 + 1/n. xn +1 √ n x + 1 si 0 ≤ x√≤ n 2, (vi) fn (x) = 3 si x > n 2. 2.- Estudiar la convergencia puntual y uniforme de las series de funciones siguientes: (i)

∞ P

xn con x ∈ [0, 1).

n=0

(ii)

∞ P n=1

sen2 nx . n2

3.- Probar que si fn converge uniformemente a f y gn converge uniformemente a g, el producto fn gn puede no converger uniformemente a f g. 4.- Demostrar que una sucesión de funciones acotadas puede converger a una función no acotada. ¿Y si la convergencia es uniforme? 5.- ¿Existe una sucesión de funciones discontinuas que converja uniformemente a una función continua?

´ LÍMITE 5.3. PROPIEDADES DE LA FUNCION

5.3. 5.3.1.

87

Propiedades de la funci´ on l´ımite Continuidad

Teorema 5.3.1. Sean fn una sucesión de funciones que converge uniformemente en P a una función f y x0 un punto de acumulación de P tal que cada fn tiene l´ımite finito λn en x0 . Entonces: l´ım l´ım fn (x) = l´ım l´ım fn (x).

n→∞ x→x0

x→x0 n→∞

Demostración. Hay que probar que l´ım λn = l´ım f (x).

n→∞

x→x0

Ya que |λp − λq | ≤ |λp − fp (x)| + |fp (x) − fq (x)| + |fq (x) − λq | para cualesquiera p, q ∈ N y x ∈ P , se tiene que λn tiene la propiedad de Cauchy y converge a λ ∈ R. Y como |f (x) − λ| ≤ |f (x) − fn (x)| + |fn (x) − λn | + |λn − λ| para cualesquiera n ∈ N y x ∈ P , se tiene que λ = l´ım f (x) x→x0

como quer´ıamos probar. Suponiendo en el teorema anterior que x0 ∈ P se obtienen las consecuencias siguientes: Corolario 5.3.2. Si fn es una sucesión de funciones continuas que converge uniformemente a una función f , entonces f es continua. ∞ P Corolario 5.3.3. Si fn es una serie de funciones continuas que converge uniformen=1

mente a una función f , entonces f es continua.

5.3.2.

Integraci´ on

Teorema 5.3.4. Sea fn una sucesión de funciones integrables en [a, b] que converge uniformemente a f . Entonces f es también integrable y Z b Z b f (x) dx = l´ım fn (x) dx. a

n→∞

a


88

Demostración. Designemos λn =

Rb a

fn (x) dx. Ya que Z

b

|fp (x) − fq (x)| dx

|λp − λq | ≤ a

para cualesquiera p, q ∈ N, se tiene que λn tiene la propiedad de Cauchy (por tener fn la propiedad de Cauchy uniforme) y converge a λ ∈ R. Ahora, para todo n ∈ N y toda P ∈ P se tiene que |S(f, P ) − λ| ≤ |S(f, P ) − S(fn , P )| + |S(fn , P ) − λn | + |λn − λ|, teniéndose la misma desigualdad para las sumas inferiores, con lo que queda probado el resultado.

5.3.3.

Derivaci´ on

Teorema 5.3.5. Sea fn una sucesión de funciones derivables en [a, b] tal que fn (t) converge para alg´ un t ∈ [a, b] y fn0 converge uniformemente en [a, b]. Entonces fn converge uniformemente en [a, b] a una función derivable f y f 0 (x) = l´ım fn0 (x) n→∞

para todo x ∈ [a, b]. Demostración. Dados p, q ∈ N y x ∈ [a, b], aplicando el teorema del valor medio se tiene que |fp (x) − fq (x)| ≤ |x − t||fp0 (c) − fq0 (c)| + |fp (t) − fq (t)| ≤ (b − a)|fp0 (c) − fq0 (c)| + |fp (t) − fq (t)| para alg´ un c intermedio entre x y t, con lo que fn tiene la propiedad de Cauchy uniforme en [a, b] (por tenerla fn0 y por tener fn (t) la propiedad de Cauchy) y converge uniformemente en este intervalo a una función f . Ahora debemos comprobar que para todo x0 ∈ [a, b] se tiene que l´ım fn0 (x0 ) = l´ım

n→∞

x→x0

f (x) − f (x0 ) x − x0

o equivalentemente que l´ım l´ım

n→∞ x→x0

fn (x) − fn (x0 ) fn (x) − fn (x0 ) = l´ım l´ım . x→x0 n→∞ x − x0 x − x0

´ LÍMITE 5.3. PROPIEDADES DE LA FUNCION

89

Para ello basta comprobar que la sucesión de funciones ϕn (x) =

fn (x) − fn (x0 ) x − x0

converge uniformemente en P = [a, b] \ {x0 }. En efecto, dados p, q ∈ N y aplicando el teorema del valor medio a la función fp − fq en el intervalo de extremos x y x0 , obtenemos alg´ un c intermedio tal que ϕp (x) − ϕq (x) = fp0 (c) − fq0 (c) con lo que ϕn tiene la propiedad de Cauchy uniforme en P al tenerla fn0 en [a, b]. Ejercicios 1.- Estudiar la convergencia puntual y uniforme de las sucesiones de funciones siguientes: √ (i) fn (x) = n x con x ≥ 0. 1 − nx si 0 ≤ x < 1/n, (ii) fn (x) = 0 si 1/n ≤ x ≤ 1. (iii) fn (x) =

1−x2n . 1+x2n

2.- Estudiar la convergencia puntual y uniforme de las series de funciones siguientes: (i)

∞ P n=1

(ii)

sen x (1+sen x)n

∞ P n=1

(iii)

con x ∈ [0, π].

x2 . (x2 +1)n

∞ P n=1

x ((n−1)x+1)(nx+1)

con x ≥ 0.

3.- Demostrar que la serie

∞ P

n=1 0

su suma. Probar que f (x) =

2n−1

(−1)n−1 x2n−1 converge uniformemente en [0, 1], y sea f (x) ∞ P

(−1)n x2n =

n=0

1 x2 +1

para cada x ∈ [0, 1). Calcular f (x) si

0 ≤ x < 1 y demostrar que f (1) = π4 . 4.- Probar que la sucesión fn (x) =

1 n 0

arc tag xn converge uniformemente en R a una

función f derivable para x = 1, pero f (1) 6= l´ım fn0 (1). n→∞

5.- Sea f (x) =

∞ P n=1

arc tag

x n2

con x ∈ R. ¿Se puede asegurar que f es derivable y que f 0

se obtiene derivando término a término esta serie?


90

6.- Una sucesión de funciones uniformemente continuas converge uniformemente a una función f . ¿Puede ser f no uniformemente continua? 7.- Demostrar que la función f (x) =

∞ P n=1

sen nx n3

8.- Dada la sucesión de funciones fn (x) = Rπ uniforme y calcular l´ım 0 fn (x) dx.

con x ∈ R tiene derivada continua.

2nx+sen6 nx , n

estudiar convergencia puntual y

n→∞

9.- Dar un ejemplo de una sucesión de funciones integrables en un intervalo tal que su l´ımite puntual no sea integrable. 10.- Dada la sucesión de funciones fn (x) = xn − x2n : (i) Estudiar su convergencia puntual y uniforme en [0, 1] y en 0, 12 . (ii) Estudiar si la serie

∞ P

fn (x) converge puntualmente a una función f en [0, 1]. En caso

n=1

afirmativo calcular f y estudiar si dicha convergencia es uniforme. (iii) Estudiar la derivabilidad de f en [0, 1) y si f 0 (x) =

∞ P

fn0 (x).

n=1

5.4.

Series de potencias

Definici´ on 5.4.1. Una serie de potencias centrada en a ∈ R es una serie de funciones del tipo ∞ X an (x − a)n n=0

donde a los n´ umeros an se les llama coeficientes de la serie. Observaci´ on 5.4.2. El tratamiento de una serie de potencias es independiente del valor de a con lo que consideraremos a = 0. Proposici´ on 5.4.3. Dada la serie de potencias

∞ P

an xn , sea α = l´ım sup

n=0

p n |an | y ρ =

1 α

(llamado radio de convergencia) si α > 0. Entonces la serie converge absolutamente para todo x ∈ R si α = 0, converge absolutamente para x ∈ (−ρ, ρ) y diverge fuera de [−ρ, ρ] si α > 0, y converge solo para x = 0 si α = +∞. En los dos primeros casos (−ρ, ρ) o R se llama intervalo de convergencia de la serie, y ésta converge uniformemente en cada intervalo cerrado y acotado contenido en el intervalo de convergencia. Demostración. Para la primera parte basta usar el criterio de la ra´ız. Y la segunda parte

5.4. SERIES DE POTENCIAS

91

se obtiene aplicando el criterio de Weierstrass a los intervalos de la forma [−t, t] contenidos en el intervalo de convergencia. Una serie de potencias define una función cuyo dominio es el intervalo de convergencia. Estudiemos las propiedades de dicha función: Proposici´ on 5.4.4. Sean I el intervalo de convergencia de la serie de potencias

∞ P

an x n

n=0

y f (x) su suma. Entonces f es una función derivable (y por tanto continua) y f 0 es la suma de la serie de las derivadas, es decir, f 0 (x) =

∞ X

nan xn−1

n=1

con x ∈ I. Demostración. Usando el apartado (viii) de la Proposición 1.8.34 se obtiene que la serie de las derivadas tiene le mismo intervalo de convergencia que la serie de potencias original. Aplicando el Teorema 5.3.5 se obtiene el resultado. Derivando sucesivamente se obtiene que f

(r)

(x) =

∞ X

n(n − 1)(n − 2) · · · (n − r + 1)an xn−r

n=r

con r ∈ N y x ∈ I, con lo que f (r) (0) = r!ar , y ya que f (0) = a0 se tiene que f (x) =

∞ X f (n) (0) n=0

n!

xn

para todo x ∈ I. Y si f es la suma de una serie de potencias de x − a se obtiene que f (x) =

∞ X f (n) (a) n=0

n!

(x − a)n .

En cuanto a los extremos del intervalo de convergencia se tiene el siguiente resultado para el extremo derecho (para el izquierdo se tiene uno análogo): Proposici´ on 5.4.5. Si la serie de potencias

∞ P

an xn tiene intervalo de convergencia

n=0

(−ρ, ρ) y converge en ρ, entonces converge uniformemente en [0, ρ], definiendo en dicho intervalo una función suma continua.


92

Demostración. Basta reescribir la serie de la forma n ∞ X x n an ρ ρ n=0 y aplicar el criterio de Abel. Con anterioridad hemos comprobado que las funciones que se obtienen como sumas de series de potencias tienen infinitas derivadas en su intervalo de convergencia. ¿Y si f tiene infinitas derivadas en un intervalo I de centro a, existe una serie de potencias de x − a que converja en alg´ un intervalo J ⊂ I de centro a y cuya suma coincida con f en J? Cuando la respuesta es afirmativa, se dice que f es desarrollable en serie de potencias de x − a y la serie correspondiente se llama desarrollo de Taylor o serie de Taylor en torno de a para la función f . Si tal serie existe, no puede ser otra que f (x) =

∞ X f (n) (a) n=0

n!

(x − a)n .

Teorema 5.4.6. Si una función f tiene derivadas de cualquier orden en el intervalo acotado (a − δ, a + δ) y |f (n) (x)| ≤ M para cada n ∈ N y cada x de dicho intervalo, entonces f (x) =

∞ X f (k) (a) k=0

k!

(x − a)k

si |x − a| < δ. Demostración. Dado x ∈ (a−δ, a+δ), aplicando el teorema de Taylor al intervalo cerrado y acotado de extremos x y a, se tiene que (n) n−1 (k) X f (cn ) f (a) M δn k n l´ım f (x) − (x − a) = l´ım (x − a) ≤ l´ım =0 n→∞ n→∞ n! n→∞ k! n! k=0

con cn intermedio entre x y a para cada n ∈ N. Ejercicios

1.- Determinar el intervalo de convergencia de cada una de las series de potencias siguientes y, en su caso, analizar si hay convergencia en sus extremos: (i)

∞ P n=1

2n n x . n

5.4. SERIES DE POTENCIAS ∞ P

(ii)

93

n!xn .

n=0

(iii)

∞ P n=1

(iv)

∞ P

1 + 21 + · · · +

1 n

xn .

(log n)xn .

n=2 ∞ 1+ 1 n P ( n)

(v)

n!

n=1

(vi)

∞ P

xn .

1·3·5···(2n−1) n x . 2·4·6···(2n+2)

n=1

2.- Se considera la serie de potencias

∞ P n=0

(−1)n x2n . 4n (n!)2

Demostrar que su radio de convergencia

es ∞. Si se denota por f a la función suma de esta serie, probar que, para cada x ∈ R, xf 00 (x) + f 0 (x) + xf (x) = 0. 3.- Sumar las series: ∞ P n2 +n+1 . (i) n! n=1

(ii)

∞ P n=1

(iii)

1 . n(n+1)2n

∞ P n=1

3n2 +4n+5 . 3n

4.- Calcular la derivada décima de la función f (x) = x6 ex en x = 0. 5.- Dada una serie de potencias

∞ P

an xn tal que existen n´ umeros reales α y β de modo

n=0

que an + αan−1 + βan−2 = 0 para cada n ≥ 2: (i) Demostrar que esta serie tiene radio de convergencia no nulo. (ii) Demostrar que si x es un n´ umero real en el que la serie es convergente, la suma de la serie, S(x), verifica que (1 + αx + βx2 )S(x) = a0 + (αa0 + a1 )x. 6.- Demostrar que

∞ P n=1

(−1)n+1 n

= log 2.

7.- Desarrollar en serie de potencias de x las siguientes funciones: q . (i) f (x) = log 1+x 1−x (ii) f (x) =

2x . x4 +1


94 (iii) f (x) = arc tag (iv) f (x) = (v) f (x) = (vi) f (x) =

1−x2 . 1+x2

x2 . (x−1)(2−x)2 log(1−x) . x−1

q

1+x . 1−x

8.- Estudiar si f (x) =

sen x x

1

si x 6= 0, es desarrollable en serie de potencias de x. si x = 0,

9.- Determinar la solución de la ecuación diferencial f 00 (x) + xf 0 (x) + f (x) = 0 en forma de serie de potencias, sujeta a las condiciones iniciales f (0) = 0 y f 0 (0) = 1. 10.- Determinar los radios de convergencia y las funciones suma de las siguientes series de potencias: (i)

∞ P n=1

(ii)

x2n . 2n

∞ P

x2n−1 . 2n−1

n=1

(iii)

∞ P n=2

(iv)

∞ P n=1

(v)

∞ P n=1

(vi)

∞ P

(−1)n xn . n(n−1) (−1)n 2nx2n+1 . (2n+1)!

(−1)n xn . 2n (n+1)

(n3 + 1)xn−1 .

n=1

Bibliograf´ıa [GST] F. Galindo, J. Sanz y L.A. Tristán, Gu´ıa Práctica de Cálculo Infinitesimal en una Variable Real, Thomson (2003). [GR1] M. de Guzmán y B. Rubio, Problemas, Conceptos y Métodos del Análisis Matemático, volumen 1, n´ umeros reales, sucesiones y series, Pirámide (1991). [GR2] M. de Guzmán y B. Rubio, Problemas, Conceptos y Métodos del Análisis Matemático, volumen 2, funciones, integrales, derivadas, Pirámide (1992). [GR3] M. de Guzmán y B. Rubio, Problemas, Conceptos y Métodos del Análisis Matemático, volumen 3, sucesiones y series de funciones, n´ umeros complejos, DERIVE, aplicaciones, Pirámide (1993).

95

Analisis de Variable Real VMSR

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