FUERZAS CONCURRENTES EN TRES DIMENSIONES
INTEGRNATES: 1. Johan Steven Valencia 2. Juan Felipe Beltrán 3. Nelson Andrés Páez OBJETIVOS 1. Expresar una fuerza en función de sus componentes y vectores unitarios a lo largo de cada dirección. 2. Comprobar el equilibrio de un cuerpo sometido a fuerzas concurrentes en tres dimensiones. MARCO TEÓRICO Un vector puede tener uno, dos o tres componentes rectangulares a lo largo de los ejes coordenados x, y, z, dependiendo de la forma como el vector se encuentre orientado en relación con sus ejes. Considerando un vector en el primer octante (que tiene las tres componentes positivas) como muestra la figura, se podrán representar las componentes.
El vector F se podrá representar por la suma vectorial de sus componentes rectangulares como:
F=F x + F y + F z
Magnitud: Al igual que se realizó en los sistemas de fuerzas en el plano, la magnitud del vector F se puede determinar por medio del teorema de Pitágoras (agregando solamente la componente z).
F=√ F 2x + F 2y + F2z
Dirección: Para definir la dirección de un vector se requieren tres ángulos, denominados ángulos directores coordenados α (alfa), β (beta) y � (gama).
La definición de los ángulos directores se realiza con los llamados cosenos directores, los cuales se obtienen a través de los triángulos rectángulos mostrados en las siguientes figuras.
Para la determinación de los ángulos utilizamos las funciones coseno es decir,
F x =F cos α
F y =F cos β
F z=F cos γ
Por lo tanto:
cos α =
Fx F
cos β=
Fy F
Así se pueden determinar los ángulos directores
cos γ=
α ,
β
y
Fz F
γ .
Vector unitario y la dirección. En un sistema tridimensional se utiliza el conjunto de los vectores unitarios cartesianos (i, j y k) para designar las direcciones de los ejes x, y y z respectivamente. Hay que tener presente que los vectores unitarios tienen una magnitud de 1 y son adimensionales. Representación vectorial cartesiana. Para estas expresiones utilizamos los vectores unitarios
z
k i x
j
y
La expresión vectorial cartesiana de un vector que se encuentra en el primer octante será:
F=F x i+ F y j+ F z k Dirección ( α ,
β
y γ ). Un vector se expresa en función de su magnitud y su
dirección, por lo tanto:
F=F U F Dónde: F = vector fuerza F = magnitud del vector F
UF
= dirección del vector F
Por lo tanto la dirección la podemos expresar dividiendo, la expresión vectorial de F entre la magnitud de F:
UF=
F F F F F F U F = = x i+ y j+ z k F F F F
Teniendo en cuenta:
cos α =
Fx F
;
cos β=
Fy F
;
cos γ=
Fz F
Se tiene la expresión para la dirección en función de los ángulos directores,
U F =cos α i+ cosβ j+cosγ k Teniendo en cuenta que los vectores unitarios tienen una magnitud de 1, entonces de la ecuación anterior se puede formular una relación importante entre los cosenos directores:
cos 2 α + cos2 β+ cos2 γ =1 Con esta ecuación se puede determinar uno de los ángulos directores cuando se conocen los otros dos. Fuerzas concurrentes en tres dimensiones Si denominamos por i, j y k, los vectores unitarios a lo largo de los ejes OX,OY y OZ, y por Vx, Vy y Vz las componentes de un vector, expresados todos ellos en
un sistema de coordenadas cartesianas, el vector V es: V = Vx.i + Vy.j + Vz.k Las condiciones de equilibrio para un sistema de fuerzas concurrentes tridimensional, es ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣFz = 0 representado los tres sumatorios las componentes de la fuerza resultante sobre los ejes de coordenadas.
GRAFICO DEL MONTAJE
PROCEDIMIENTO 1. Realizar el montaje de la figura 1. 2. Una vez logre el equilibrio estático, coloque sobre la superficie de la mesa papel milimetrado y determine el origen de las coordenadas (0, 0,0). Haga coincidir la línea de acción de la fuerza W con el origen de coordenadas con la ayuda de una plomada. 3. Determine las coordenadas O, A, B y C, utilice la plomada para proyectarlos puntos sobre papel milimetrado. Registre los datos de la tabla 1. 4. Registre los valores de
F1 , F 2 , F 3 y W.
BIBLIOGRAFÍA http://es.scribd.com/doc/72942070/Sistemas-de-Fuerzas-MetodosGraficos#scribd
http://www.cidse.itcr.ac.cr:80/cursos-linea/Algebra-Lineal/algebra-vectorialgeova-walter/software/puntos3D.html http://www.cidse.itcr.ac.cr:80/cursos-linea/Algebra-Lineal/algebra-vectorialgeova-walter/software/flehas3D.html http://www.cidse.itcr.ac.cr:80/cursos-linea/Algebra-Lineal/algebra-vectorialgeova-walter/software/sumavectores3D.html