Formulario de teoría electromagnética 1er examen departamental Francisco Burgos

Formulario de teoría electromagnética 1er examen departamental Francisco Burgos 1) Densidad lineal de carga

𝜌𝐿 =

∆𝑞 lim ∆𝐿 ∆𝐿→0

𝑑𝑞 = 𝑑𝐿

2) Densidad superficial de carga

C/m

𝜌𝑠 =

∆𝑞 lim ∆𝑠 ∆𝑠→0

𝑑𝑞 = 𝑑𝑠

3) Densidad volumétrica de carga

C/m^2

𝜌𝑣 =

∆𝑞 lim ∆𝑣 ∆𝑣→0

𝑑𝑞 = 𝑑𝑣

C/m^3

4) Intensidad de corriente eléctrica

𝐼=

𝑑𝑞 𝑑𝑡

A=C/s

5) Densidad de corriente eléctrica 6) Velocidad de la luz en el espacio 7) Permitividad eléctrica en espacio libre 8) Constante de Coulomb 𝑑𝐼 𝑑𝑠

𝐽 = 𝑎̂𝑛

A/m^2

𝑐=

1

√𝜀0 𝑀0

= 3𝑥108 m/s

𝜀0 = 8.85𝑥10−12 C^2/Nm^2 𝑘 =

9) Permitividad eléctrica relativa o constante dieléctrica 10) Permeabilidad magnética en espacio libre 𝜀

𝜀𝑟 = 𝜀

−7

𝑀0 = 4𝜋𝑥10

0

1 4𝜋𝜀0

≈ 9𝑥109 Nm^2/C^2

11) Permeabilidad relativa 𝑀

Tm/A

𝑀𝑟 = 𝑀

0

12) Campo eléctrico en espacio libre 13) Densidad de flujo eléctrico en espacio libre 14) Densidad de flujo magnético en espacio libre

𝐸⃗ =

⃗ 𝐷

𝜀0

⃗ = 𝐸⃗ 𝜀0 C/m^2 𝐷

N/C

⃗ =𝐻 ⃗ 𝑀0 T 𝐵

15) Intensidad de campo magnético en espacio libre

⃗ = 𝐻

⃗ 𝐵

𝑀0

A/m

Análisis vectorial 1) Vector

2) Vector unitario

𝑎 ̂𝐴 =

𝐴=𝑎 ̂𝐴 |𝐴| = 𝑎 ̂A 𝐴

⃗ sobre 𝐴 4) Proyección de 𝐵

3) Producto punto

𝐴

⃗) (𝐴∙𝐵

⃗ = |𝐴||𝐵 ⃗ |𝑐𝑜𝑠𝜃𝐴𝐵 Conmutativo 𝐴∙𝐵

|𝐴|

5) Producto cruz

|𝐴|

= 𝐵𝑐𝑜𝑠𝜃𝐴𝐵

|𝐴| = √𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2

6) Producto triple escalar

⃗ = 𝑎̂|𝐴 ⃗ ⃗ ⃗ 𝐴𝑥𝐵 𝑛 ||𝐵 |𝑠𝑒𝑛𝜃𝐴𝐵 𝐴𝑥𝐵 = −𝐵 𝑥𝐴 Coordenadas cartesianas 1) Vector

⃗ 𝑥𝐶 ) 𝑉𝑜𝑙 = |𝐴 ∙ (𝐵 ⃗ 𝑥𝐶 )| = |𝐶 ∙ (𝐴𝑥𝐵 ⃗ )| = |𝐵 ⃗ ∙ (𝐴𝑥𝐶 )| 𝐴 ∙ (𝐵

2) Diferencial de longitud vectorial

3) Diferencial de volumen 4) Diferencial de superficie

⃗⃗⃗ 𝐴=𝑎 ̂𝐴𝑥 + 𝑎̂𝐴𝑦 +𝑎 ̂𝐴𝑧 𝑑𝑙 = 𝑎 ̂𝑑𝑥 + 𝑎̂𝑑𝑦 +𝑎 ̂𝑑𝑧 𝑥 𝑦 𝑧 𝑥 𝑦 𝑧 5) Producto punto

6) Producto cruz

𝑎 ̂𝑥 ⃗ = [𝐴𝑥 𝐴𝑥𝐵 𝐵𝑥

⃗ = 𝐴𝑥𝐵𝑥 + 𝐴𝑦𝐵𝑦 + 𝐴𝑧𝐵𝑧 𝐴∙𝐵 Coordenadas cilíndricas 1) Vector

𝑎̂𝑦 𝐴𝑦 𝐵𝑦

⃗⃗⃗⃗ 𝑑𝑠 = 𝑎 ̂𝑑𝑦𝑑𝑧, 𝑎̂𝑑𝑥𝑑𝑧, 𝑎 ̂𝑑𝑥𝑑𝑦, −𝑎 ̂𝑑𝑥𝑑𝑦, 𝑒𝑡𝑐. 𝑥 𝑦 𝑧 𝑧

𝑑𝑣 = 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 7) Vectores unitarios

𝑎 ̂𝑧 ⃗ ̂𝑥𝑎 𝑎𝑥 ∙ 𝑎 ̂𝑥 = 1 𝑎 ̂𝑥 ∙ 𝑎̂𝑦 = 0 𝑎 ̂𝑥𝑎 ̂, ̂𝑥𝑎 ̂, 𝑎𝑥 𝑥𝑎 ̂𝑧 = −𝑎̂𝑦 𝐴𝑧 ] ̂ 𝑥 ̂ 𝑥 =0 𝑎 𝑥 ̂ 𝑦 =𝑎 𝑧 𝑎 𝑧 ̂ 𝑥 =𝑎 𝑦 ̂ 𝐵𝑧

2) Diferencial de longitud vectorial

3) Diferencial de volumen 4) Diferencial de superficie

⃗⃗⃗ = 𝑎 𝐴=𝑎 ̂𝐴𝑟 +𝑎 ̂𝐴∅ +𝑎 ̂𝐴𝑧 𝑑𝑙 ̂𝑑𝑟 +𝑎 ̂𝑟𝑑∅ +𝑎 ̂𝑑𝑧 𝑟 ∅ 𝑧 𝑟 ∅ 𝑧

⃗⃗⃗⃗ = 𝑎 𝑑𝑠 ̂𝑟𝑑𝑟𝑑∅, 𝑎 ̂𝑟𝑑∅𝑑𝑧, −𝑎 ̂𝑟𝑑𝑟𝑑∅, 𝑒𝑡𝑐. 𝑧 𝑟 𝑧

𝑑𝑣 = 𝑟𝑑𝑟𝑑∅𝑑𝑧

5) Vectores unitarios

6) Transformar las componentes de un punto

⃗ ̂𝑥𝑎 𝑎 ̂𝑟 ∙ 𝑎 ̂𝑟 = 1 𝑎 ̂𝑟 ∙ 𝑎 ̂∅ = 0 𝑎 ̂𝑥𝑎 ̂, ̂𝑥𝑎 ̂, 𝑎𝑟 𝑥𝑎 ̂𝑧 = −𝑎 ̂∅ 𝑥 = 𝑟𝑐𝑜𝑠∅ 𝑟 = √𝑥 2 + 𝑦 2 𝑦 = 𝑟𝑠𝑒𝑛∅ ∅ = 𝑟 ̂ 𝑟 =0 𝑎 𝑟 ̂ ∅ =𝑎 𝑧 𝑎 𝑧 ̂ 𝑟 =𝑎 ∅ ̂ 𝑦 ∅ = tan−1 𝑥 𝑧=𝑧 6) Transformar los componentes de un vector

𝐴𝑥 = 𝐴𝑟𝑐𝑜𝑠∅ − 𝐴∅𝑠𝑒𝑛∅ 𝐴𝑦 = 𝐴𝑟𝑠𝑒𝑛∅ + 𝐴∅𝑐𝑜𝑠∅ Coordenadas esféricas 1) Vector

𝐴𝑧 = 𝐴𝑧

2) Diferencial de longitud vectorial

3) Diferencial de volumen

⃗⃗⃗ 𝐴 = 𝑎̂𝐴 ̂𝐴 ̂𝐴∅ 𝑑𝑙 = 𝑎̂𝑑𝑅 + 𝑎̂𝑅𝑑𝜃 +𝑎 ̂𝑅𝑠𝑒𝑛∅𝑑∅ 𝑅 𝑅 +𝑎 𝜃 𝜃 +𝑎 ∅ 𝑅 𝜃 ∅

4) Diferencial de superficie 2 ⃗⃗⃗⃗ 𝑑𝑠 = 𝑎̂𝑅 𝑠𝑒𝑛𝜃𝑑𝜃𝑑∅ 𝑅

2

𝑑𝑣 = 𝑅 𝑠𝑒𝑛𝜃𝑑𝑅𝑑𝜃𝑑∅

5) Vectores unitarios

⃗ ̂𝑥𝑎 𝑎̂𝑅 ∙ 𝑎̂𝑅 = 1 𝑎̂𝑅 ∙ 𝑎 ̂∅ = 0 𝑎̂𝑥𝑎 ̂, ̂𝑥𝑎 ̂, 𝑎𝑅 𝑥𝑎 ̂∅ = −𝑎̂𝜃 6) Transformar las componentes de un 𝑅 ̂ 𝑅 =0 𝑎 𝑅 ̂ 𝜃 =𝑎 ∅ 𝑎 ∅ ̂ 𝑅 =𝑎 𝜃 ̂ punto

𝑦 = 𝑅𝑠𝑒𝑛𝜃𝑠𝑒𝑛∅ 𝑧 = 𝑅𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑟 = 𝑅𝑠𝑒𝑛𝜃 ∅ = tan−1 𝑦𝑥 𝜃 = cos−1 𝑅𝑧

𝑥 = 𝑅𝑠𝑒𝑛𝜃𝑐𝑜𝑠∅ 𝑅 = √𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2

Gradiente de una función escalar Coordenadas cartesianas 𝜕𝑉

𝜕𝑉

Coordenadas cilíndricas

𝜕𝑉

𝜕𝑉

∇𝑉 = 𝑎 ̂𝑥 𝜕𝑥 + 𝑎̂𝑦 𝜕𝑦 + 𝑎 ̂𝑧 𝜕𝑧

𝜕𝑉

Coordenadas esféricas

𝜕𝑉

𝜕𝑉

∇𝑉 = 𝑎 ̂𝑟 𝜕𝑟 + 𝑎 ̂∅ 𝑟𝜕∅ + 𝑎 ̂𝑧 𝜕𝑧

𝜕𝑉

𝜕𝑉

∇𝑉 = 𝑎̂𝑅 𝜕𝑅 + 𝑎̂𝜃 𝑅𝜕𝜃 + 𝑎 ̂∅ 𝑅𝑠𝑒𝑛𝜃𝜕∅

Divergencia de un campo vectorial Coordenadas cartesianas

∇∙𝐴 = 1

𝜕

𝑅𝑠𝑒𝑛𝜃 𝜕𝜃

𝜕

𝜕𝑥

𝐴𝑥 +

𝜕

𝜕𝑦

𝐴𝑦 +

(𝑠𝑒𝑛𝜃𝐴𝜃 ) +

1

𝜕 𝜕𝑧

Coordenadas cilíndricas

𝐴𝑧 𝜕

𝑅𝑠𝑒𝑛𝜃 𝜕∅

∇∙𝐴 =

1 𝜕

𝑟 𝜕𝑟

(𝑟𝐴𝑟) +

1 𝜕 𝑟 𝜕∅

𝐴∅ +

𝜕 𝜕𝑧

Coordenadas esféricas

𝐴𝑧

∇∙𝐴 =

1 𝜕

𝑅 2 𝜕𝑅

(𝑅2 𝐴𝑅 ) +

𝐴∅

Teorema de la divergencia (o de Gauss)

Teorema de Stokes

⃗⃗⃗⃗ ∫𝑣 ∇ ∙ 𝐴 𝑑𝑣 = ∮𝑠𝐴 ∙ 𝑑𝑠

⃗⃗⃗⃗ = ∮ 𝐴 ∙ ⃗⃗⃗ 𝑑𝑙 ∫𝑠(∇x𝐴) ∙ 𝑑𝑠 𝑐

En la de sup. cerrada es por cada cara.

En la de sup. cerrada es por cada trayectoria.

Rotacional de un campo vectorial Coordenadas cartesianas

∇x𝐴 = [

𝑎 ̂𝑥

𝑎̂𝑦

𝑎 ̂𝑧

𝜕

𝜕

𝜕

𝜕𝑥

𝜕𝑦

𝜕𝑧

𝐴𝑥

𝐴𝑦

𝐴𝑧

Coordenadas cilíndricas

]

1

∇x𝐴 = [ 𝑟

𝑎 ̂𝑟

𝑟𝑎 ̂∅

𝑎 ̂𝑧

𝜕

𝜕

𝜕

𝜕𝑟

𝐴𝑟

𝜕∅

𝑟𝐴∅

𝜕𝑧

𝐴𝑧

Coordenadas esféricas

]

∇x𝐴 =

1 𝑅 2 𝑠𝑒𝑛𝜃

𝑎̂𝑅

𝑅𝑎̂𝜃

𝑅𝑠𝑒𝑛𝜃𝑎 ̂∅

𝜕

𝜕

𝜕

𝜕𝜃

𝜕∅

[ 𝜕𝑅

𝐴𝑅

𝑅𝐴𝜃

𝑅𝑠𝑒𝑛𝜃𝐴∅

Teorema de Helmholtz

∇ ∙ 𝐹 = 0 Solenoidal (No fuente) ∇x𝐹 = 0 Irrotacional (sin rotación) ∇ ∙ 𝐹 ≠ 0 No solenoidal (fuente o sumidero) ∇x𝐹 ≠ 0 No irrotacional (con rotación) Existen 4 combinaciones o casos posibles para algún campo

]

Identidades nulas

𝐾𝑄 𝑄 𝐸⃗ =𝑎̂𝑅 𝑅2 = 𝑎̂𝑅 4𝜋𝜀 𝑅2

Ley de Coulomb

0

⃗ = ∇𝑥𝐴 ∇𝑥∇𝑉 = 0 𝐸⃗ = −∇𝑉 ∇ ∙ ∇𝑥𝐴 = 0 𝐵 Ecuaciones de Maxwell (Para todos los fenómenos electromagnéticos) Forma diferencial

Forma integral

∇x𝐸⃗ = −

𝑑𝑙 = ∮𝑐𝐸⃗ ∙ ⃗⃗⃗

𝜕 ⃗ 𝐵 𝜕𝑡 𝜕 ⃗ + 𝜕𝑡 𝐷

Nombre

𝑑 Φ 𝑑𝑡

⃗ =𝐽 ∇x𝐻 ⃗ = 𝜌𝑣 ∇∙𝐷

⃗ ∙ ⃗⃗⃗ 𝑑𝑙 = 𝐼 + ∮𝑐𝐻 ⃗⃗⃗⃗ = 𝑄 ⃗ ∙ 𝑑𝑠 ∮𝐷

⃗ =0 ∇∙𝐵

⃗ ∙ ⃗⃗⃗⃗ 𝑑𝑠 = 0 ∮𝑠𝐵

Ley de Faraday

𝑑 ⃗ ∫𝑠 𝑑𝑡 𝐷

∙ ⃗⃗⃗⃗ 𝑑𝑠

Ley circuital de Ampere Ley de Gauss (eléctrica)

𝑠

⃗) 𝐹 = 𝑞(𝐸⃗ + 𝜈 𝑥 𝐵 𝜕𝜌𝑣 ∇∙𝐽 =−

Ley de Gauss (magnética) Ecuación de la fuerza de Lorentz Ecuación de continuidad

𝜕𝑡

Postulados de electrostática Forma diferencial

Forma integral

Ley de voltajes de Kirchhoff Ley de Gauss

𝑠

Carga fuera del origen de coordenadas 𝐾𝑄

𝐸⃗ = 𝑎̂ 𝑄𝑃

Nombre

⃗⃗⃗ = 0 ∮𝑐𝐸⃗ ∙ 𝑑𝑙 𝑑𝑠 = 𝑄/𝜀0 ∮ 𝐸⃗ ∙ ⃗⃗⃗⃗

∇x𝐸⃗ = 0 ∇ ∙ 𝐸⃗ = 𝜌𝑣 /𝜀0

= 𝑎̂ 𝑄𝑃

𝑅 2 𝑄𝑃

Dipolo eléctrico

⃗ −𝑅 ⃗ ′) 𝐾𝑄(𝑅

𝑉=

3

𝑅2

𝐾𝑝𝑐𝑜𝑠𝜃

=

Momento dipolar 𝑝 = 𝑎 ̂𝑞𝑑 𝑅 Campo eléctrico por el dipolo

𝐾𝑝 ) 𝐸⃗ = 3 (𝑎̂2𝑐𝑜𝑠𝜃 +𝑎 ̂𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑅 𝜃

𝑉2 − 𝑉1 =

⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑅⃗ = 𝑂𝑃 𝑅´ = 𝑂𝑄

⃗ −𝑅 ⃗ ′| |𝑅

𝐾𝑞𝑑𝑐𝑜𝑠𝜃

Potencial eléctrico

𝑅2

=

𝐸⃗

=

ón Polarización 𝑑𝑝 𝑃⃗ = Densidad de carga superficial 𝜌𝑝𝑠 𝑑𝑣

𝑃 = − ∫𝑃 2 𝐸⃗ ∙ ⃗⃗⃗ 𝑑𝑙

V = 𝐾𝑄/𝑅

1

1

1

2

𝐾𝑃⃗𝑎̂𝑅

|⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑟𝑄𝑃 |

𝑞

Entre 2 puntos 𝑉 = 𝑉2 = 𝑉1 = 𝐾𝑄 (𝑅 − 𝑅 ) Para N cargas puntuales 𝑉

𝑅2

=

1

𝑞 𝐾 ∑ ⃗ 𝑖⃗⃗⃗⃗ |𝑅 −𝑅𝑖 |

Para distribución de carga uniforme volumétrica, superficial o lineal resp. 𝜌

Línea infinita de carga 2𝑘𝜌𝐿 ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑟𝑄𝑃

𝑅

𝑊

𝑑𝑣

𝜌

𝑉 = 𝐾 ∫𝑣 𝑣𝑅

𝑑𝑠

𝑉 = 𝐾 ∫𝑠 𝑠𝑅

𝜌

𝑑𝐿

𝑉 = 𝐾 ∫𝐿 𝐿𝑅

2

= ⃗⃗𝑃 ∙ 𝑎̂𝑛 Densidad de carga volumétrica 𝜌𝑝𝑣 = −∇ ∙ ⃗⃗𝑃 Carga total 𝑄𝑇 = 𝑄𝑠 +

⃗⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ̂) 𝑄𝑣 = 0 = ∫𝑠 𝜌𝑝𝑠 𝑑𝑠 + ∫𝑣 𝜌𝑝𝑣 𝑑𝑣 = ∫𝑠 (⃗⃗𝑃 ∙ 𝑎 𝑛 𝑑𝑠 − ∫𝑣 ∇ ∙ 𝑃𝑑𝑣 = 0 Densidad de flujo 𝐷 = 𝜀𝐸 = 𝜀0 𝐸 + 𝑃 ⃗ = 𝜀0 𝑥𝑒 𝐸⃗ 𝜀 = 𝜀0 𝜀𝑟 𝜀𝑟 = 1 + 𝑥𝑒 𝑥𝑒 → 𝑆𝑢𝑐𝑒𝑝𝑡𝑖𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑒𝑙é𝑐𝑡𝑟𝑖𝑐𝑎 𝑃

Condiciones de frontera eléctrica Tangenciales

Normales

𝐸𝑡1 = 𝐸𝑡2 𝐷𝑡1 /𝜀1 = 𝐷𝑡2 /𝜀2

𝐷𝑛1 − 𝐷𝑛2 = 𝜌𝑠 𝜀1 𝐸𝑛1 − 𝜀2 𝐸𝑛2 = 𝜌𝑠

Trabajo total 𝐾 𝑞 𝑊𝑇 = [𝑞1 ( 2 2 𝑅

12

+

𝑞3 𝑅13

𝑞

y

𝑞

12

𝑞

23

1

𝑊𝑇 = ∑ 𝑞𝑖 𝑉𝑖 2

𝑊𝑒 = ∫𝑣

𝜀𝐸 2 2

Caso 2 (dos dieléctricos sin cargas libres)

𝐷𝑛1 = 𝜌𝑠 𝜀1 𝐸𝑛1 = 𝜌𝑠

𝐷𝑛1 = 𝐷𝑛2 𝜀1 𝐸𝑛1 = 𝜀2 𝐸𝑛2 𝑞

1

) + 𝑞2 (𝑅 1 + 𝑅 3 ) + 𝑞3 (𝑅 1 + 𝑅 2 )]

Para un sistema de cargas 1 ⃗ ∙ 𝐸⃗ 𝑑𝑣 𝑊𝑒 = ∫𝑣𝐷 2

Caso 1 (medio 2 conductor)

13

2

23

Energía eléctrica en cantidades de campo (We)

𝑑𝑣 𝑊𝑒 =

Corrientes de convección

𝑊𝑇 = (𝑞1 𝑉1 + 𝑞2 𝑉2 + 𝑞3 𝑉3 )

𝜀𝐸 2 2 Corrientes de conducción

⃗⃗⃗⃗ J = 𝑁𝑞𝑢 = 𝜌𝑣 𝑢 u → 𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 𝐼 = ∫𝑠 𝐽 ∙ 𝑑𝑠

⃗⃗ 𝐽 = ∑ 𝑁𝑖 𝑞𝑖 ⃗⃗⃗ 𝑢𝑖 Velocidad de deriva ⃗⃗⃗⃗ 𝑢𝑒 = −𝜇𝑒 𝐸 Ley de Ohm 𝐽 = 𝜎⃗⃗𝐸 donde 𝜎 = −𝜌 𝜇 𝑣 𝑒

Ecuaciones de Poisson y Laplace Poisson ∇2 V = −𝜌𝑣 /𝜀 Laplace Coordenadas cartesianas 𝜕2 𝑉 𝜕2 𝑉

∇2 V = 1

𝜕𝑥 2 𝜕

𝑅 2 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝜕𝜃

+

𝜕𝑦 2

(𝑠𝑒𝑛𝜃

+

𝜕𝑉 𝜕𝜃

En medios simples sin pérdidas (sin cargas libres)

Coordenadas cilíndricas

𝜕2 𝑉

∇2 V =

𝜕𝑧 2

)+

∇2 V = 0

1

𝜕2 𝑉

1 𝜕 𝑟 𝜕𝑟

(𝑟

𝜕𝑉 𝜕𝑟

)+

1 𝜕2 𝑉 𝑟 2 𝜕∅2

+

𝜕2 𝑉 𝜕𝑧 2

Coordenadas esféricas

∇2 V =

1 𝜕 𝑅 2 𝜕𝑅

(𝑅 2

𝜕𝑉 𝜕𝑅

)+

𝑅 2 (𝑠𝑒𝑛𝜃)2 𝜕∅2

Ecuaciones de continuidad y Ley de corrientes de Kirchhoff Corrientes estacionarias ∇ ∙ 𝐽 = 0 LCK ∑ 𝐼 = 0 𝜎 𝜀 − 𝑡 𝜀 Solución Tiempo de relajación Potencia 𝑃 = 𝑞𝐸𝑢 = 𝑉𝐼

𝜌𝑣 = 𝜌0 𝑒

Potencia

𝑃 = 𝑞𝐸𝑢=VI

𝜏=

𝜎