UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA FACULTAD DE INGENIERIA CIVIL MECANICA DE SUELOS I CICLO 2011 - 1 PROF. ING. MANUEL CORREA MOROCHO
PRINCIPIO DE ESFUERZOS EFECTIVOS Fue propuesto por Karl Terzaghi en 1925 y esta basado en dos hipótesis
siguientes: 1.) La variación de volumen y de deformación de los suelos depende de la diferencia entre el esfuerzo total(σv) y la presión de poros que llena los vacios
v
v
2.)La resistencia a los esfuerzos cortantes de los suelos depende del esfuerzo
efectivo normal aplicado a un plano determinado, y no del esfuerzo total.
c
tan
ESFUERZOS GEOSTATICOS N.F.
0
h1
m1 1
h2
m2 2
h3
m3 3
Esfuerzo Vertical = Presión de poros = Esfuerzo efectivo =
w
v
h
v
De la figura, con nivel freático constante: vo v1
v2 v3
vn
0 h m2h 2 m1h1
m1 1
v1 m2
h
mn n
h2
h
m1 1 m3
h3
m2
h2
Análogamente: o
0
v0
h1
1
w
2
w
h1
w
h2
3
w
h1
w
h2
3
w
v1
h1 h 2
w
h3
h3
0
h
m1 1
h
w 1
GRADIENTE HIDRAULICO CRITICO Y EBULLICION
GRADIENTE HIDRAULICO CRITICO Y EBULLICION
Gradiente crítico:
i
'
w
x h2
LEY DE DARCY (1856) Flujo laminar unidireccional a
entra
Q 1
través de filtros de arena Tubo de sección constante
2 3
L
Arena
h3
4
• Caudal proporcional a pérdida de carga por unidad de longitud
sale Q
h4 Plano de referencia
Ley de Darcy: Q h L A k
Q
Δh k A L
k i A
: Caudal : Pérdida de carga hidráulica : Longitud de probeta : Sección de probeta : Coeficiente de conductividad hidráulica
i
Δh L
Gradiente hidráulico
VALIDEZ DE LA LEY DE DARCY Para todo suelo donde el flujo sea laminar: Arenas finas a medias (SC y SM) Arenas gruesas bien graduadas (SW)
Arcillas y Limos
PERMEABILIDAD La facilidad con que el suelo fluye a través de un material se le denomina con el nombre de permeabilidad y el parámetro que permite cuantificar este fenómeno se le llama coeficiente de permeabilidad (K), el cual se define como la velocidad de flujo producida por un gradiente hidráulico unitario.
COEFICIENTE DE PERMEABILIDAD (K) Usándose como una medida de la resistencia al flujo ofrecida
por el suelo; los factores que intervienen son: a. La densidad del suelo b. La distribución del tamaño de las partículas c. La forma y orientación de partículas del suelo d. El grado de saturación / presencia del aire e. El tipo de cationes y el espesor de las capas absorbidas asociados con los minerales de arcilla (cuando están presentes) f. La viscosidad del agua del suelo, que varia con la temperatura.
El intervalo de los valores de K es muy amplio y se
extiende desde 1000 m/seg en el caso de gravas a grano muy grueso hasta un valor insignificante en el caso de las arcillas. La tabla adjunta presenta un resumen del orden de magnitud del coeficiente de permeabilidad de varios tipos de suelo TIPO DE SUELO K Arcilla Arcilla arenosa Limo Turba Arena fina Arena gruesa Arena gravosa Gravas limpias
< 10-9 10-8 a 10-8 10-8 a 10-7 10-9 a 10-6 10-6 a 10-4 10-4 a 10-3 10-3 a 10-2 10-2 a 10-2
DETERMINACION DE L COEFICIENTE DE PERMEABILIDAD Puede hacerse de varias maneras. Puede obtenerse un
valor aproximado en el laboratorio cuando un ensayo de permeabilidad a carga o altura constante o uno de carga variable; la confiabilidad de las pruebas de laboratorio son: a. Los relativos a la obtención de buenas muestras representativas b. Los relativos con la reproducción de las mediciones de laboratorio c. Los que dependen de la reproducción de las condiciones de campo
PRUEBA DE CARGA CONSTANTE La prueba de carga constante se usa para determinar
coeficientes de permeabilidad (k) de suelos de granos gruesos tales como gravas y arenas con valores e k mayores a 10-4 m/s.
PRUEBA DE CARGA CONSTANTE • Un arreglo típico de la prueba
de permeabilidad bajo carga constante se muestra en la figura.
• En este tipo de arreglo de laboratorio, el suministro de agua se ajusta de tal manera
que la diferencia de carga entre la entrada y la salida permanece constante durante el periodo de prueba.
PRUEBA DE CARGA CONSTANTE Después que se estableció una tasa
constante de flujo el agua es recolectada en una probeta graduada durante cierto tiempo. El volumen de agua Q recolectada se expresa como: Q=Av=A (ki)
PRUEBA DE CARGA CONSTANTE • Q=Av=A (ki)
Donde: A = área de la sección transversal de la muestra del suelo t = duración de la recolección del
agua • Además como : i
h L
• Donde : • L=longitud del espécimen
PRUEBA DE CARGA CONSTANTE Reemplazando estas dos ecuaciones tenemos:
V
h A k t L
ó
k
VL Aht
PRUEBA DE CARGA VARIABLE Un arreglo típico de la prueba de permeabilidad bajo carga variable se muestra en la figura. El agua una bureta fluye atreves del suelo. La diferencia inicial de carga hi, en el tiempo t=0 es registrada y se permite que el agua fluya a través de la muestra de suelo de manera que la diferencia final de carga en el tiempo t= t2 sea h2.
PRUEBA DE CARGA VARIABLE la tasa de flujo q de agua, a través de la muestra en cualquier tiempo t se expresa por:
Q
h k A L
dh a dt
Donde: a=área de la sección transversal de la bureta A=área de la sección transversal de la muestra del suelo
PRUEBA DE CARGA VARIABLE Reordenando la ecuación anterior:
dt
aL Ak
dh h
Al integrar el lado izquierdo de la ecuación con limites de tiempo entre 0 y t y el lado derecho con limites de diferencia de carga entre h1 y h2, se obtiene:
dt
aL h1 log e Ak h2
ó
k
aL h1 2.303 log 10 At h2
NECESIDAD DEL ESTUDIO DEL FLUJO DE AGUA EN LA MASA DEL SUELO Determinación del estado de presiones (u) Para determinar el estado de tensiones efectivas
En cuerpos de presa de tierra, estabilidad de obras
Determinación de velocidad y caudal de flujo Filtración a través y bajo presas
Consolidación de suelos
CONDUCTIVIDAD HIDRÁULICA Mayor o menor facilidad con que los fluidos fluyen por los poros del suelo Conductividad hidráulica depende: Tipo de fluido
Tipo de suelo Granulometría: graduación, forma de los granos Relación de vacíos Grado de Saturación En arcillas: Doble capa difusa
PERMEABILIDAD Y CAPILARIDAD La permeabilidad (capacidad de transmisión de agua a presión) y la capilaridad (atracción o retención de agua sobre el nivel freático) de un suelo varía con factores tales como la relación de vacíos, tamaño y distribución de las partículas, estructura y grado de saturación. Es obvio que la permeabilidad de un suelo variará con el grado de compactación debido a la influencia de éste en el tamaño de los poros del suelo.
Velocidad de Descarga k: Velocidad de descarga para i = 1 entra k = [cm/seg] Q
Q v k i A
1
2 3
L
Arena h3
4
sale
Q
h4 Plano de referencia
VELOCIDAD DE FILTRACIÓN A: área de la sección de la muestra As: área de los intersticios
A v Av vs v
Av < A por continuidad Q es cte. vs > v v: velocidad de descarga v k i 1 e vs k i vs: velocidad de filtración n n e
Velocidad real (vr) no será ni v ni vs
Carga Hidráulica
Hm
z
2
u w
Carga piezométrica
hm
z
v 2g
u w
En suelos: velocidades muy pequeñas carga de velocidad despreciable En suelos H = h
MEDIDA DE LA CARGA DE PRESIÓN Laboratorio
Piezómetros Campo
Piezómetros de Laboratorio: Tubo o manómetro abierto Manómetro de Bourdon Dificultad: tiempo de estabilización grande para medir
PIEZÓMETROS DE CAMPO: CASAGRANDE
SIFONAMIENTO O EBULLICIÓN Situación en la que presión de poros
modifica la tensión efectiva Caso de arena donde se presenta flujo ascendente
a
w
w w
.a
h L uh
w
.(L+a)
• Como no hay gradiente hidráulico; régimen hidrostático ' u L w L a L 1 w a '
w
Peso específico sumergido
w
.a+ .L
w
w
H
a
w
.a
w
h
L
uf
.h
w
w
.a+ .L
• Consecuencia de la Ley de Darcy distribución de presiones de poro lineal ' u L L 2 w a w h ' 1
w
H
' 2
' 1
w
w
H
w
a
w
w.a
h
L uf
w.h
w.a+
.L
• Si h sigue aumentando entonces puede llegarse a la situación ' u 0 Sifonamiento o Ebullición
EFECTO FÍSICO DEL SIFONAMIENTO = 0 Pérdida de contacto entre partículas sólidas Pérdida de capacidad resistente del suelo. El suelo se comporta como un fluido denso «Arenas movedizas» ’
• Casos en los que se produce sifonamiento – Arenas con flujo de agua ascendente • Otros casos donde u afecta – Cargas de gran intensidad y períodos muy cortos de aplicación (sismos, impactos) • En arcillas no necesariamente se da sifonamiento
Gradiente crítico de sifonamiento (ic)
w
a
w
h h L a ic L L h ic L L a L ic 1
w.a
h
L uf w.h
' w
w
a
a
L L
L
w ic
w
1
w.a+
w
.L
h
0
L ic 1
a
0
0
ic 1 w
ic
1 w
Como
w
ic
a
• Casos de Flujo Bidireccional • Red de Flujo • Ecuación Fundamental del Flujo de agua • Métodos de resolución de la Red de Flujo
CASOS DE FLUJO BIDIRECCIONAL
CASOS DE FLUJO BIDIRECCIONAL
CASOS DE FLUJO BIDIRECCIONAL
El flujo de agua en los casos observados no es unidireccional, podrá suponerse bidireccional No es válida la Ley de Darcy tal como se definió Deberá definirse un modelo general del flujo de
agua en el suelo, generalizando la Ley de Darcy a flujos en dos y tres direcciones El modelo utilizado será la Red de Flujo
RED DE FLUJO PARA FILTRACIÓN UNIDIRECCIONAL Flujo unidireccional vertical en régimen establecido Muestra en tubo de sección transversal cuadrada (a x
a), altura L y pérdida de carga H. a h
h hu
H
L
hz H
L Arena
z=0
L+h
a h
H
L
Número infinito de Líneas de Flujo Sólo se representarán cinco
a h
H
L
Las paredes verticales conforman dos líneas de flujo 2 líneas de flujo conforman un Tubo de Flujo de iguales dimensiones Las Líneas de Flujo son paralelas No existe flujo de un canal a otro Gasto total = gasto en un canal x nº de canales Se tienen 16 canales de flujo
a
Líneas según las cuales la carga total del agua que fluye es constante Líneas Equipotenciales
h
H
Líneas equipotenciales equidistantes la caída de carga entre dos equipotenciales es igual La sección superior de la muestra será una equipotencial
L
a h
H
L
Red de Flujo: Malla compuesta por Líneas de Flujo y Líneas Equipotenciales
a h
H
L
Suelo isótropo: líneas de flujo líneas equipotenciales La red de flujo es un sistema de
mallas ortogonales El sistema más empleado es el de mallas cuadradas
• A partir de Red de Flujo: – Gasto (Q) – Carga total (H) Presión de poros (u) – Gradiente hidráulico (i)
GASTO (Q) A
Gasto a través del cuadrado A:
qA
HA
H nd
l
b
Pérdida de carga en A:
kiAa A
H: Pérdida de carga total nd: número de caídas de carga en la red
Gradiente hidráulico:
aA
qA
kHb nd l
iA
HA l
H nd l
b B b1 Malla cuadrada: b = l
qA
kH nd
Gasto en una sección de lado unitario A
l
normal a la figura:
b
q
Q L
kH nf nd
q An f
nf: número de canales de flujo de la red Factor de forma de la red:
nf nd
Factor de forma: Característica de la qA qA
qA qA
red independiente de k y de H
q
Q L
kH
Carga Hidráulica (H) y Presión de Poros (u) Si H es la pérdida de carga
la pérdida de carga entre dos equipotenciales será:
Hi
H nd
Carga hidráulica en el punto C: C H
HC
H
H n nd
n: número de caídas de carga hasta el punto C En un punto cualquiera que no coincida con una
equipotencial n será un número fraccionado Presión de Poros: ui
w
Hi
zi
RED DE FLUJO PARA FILTRACIÓN BIDIRECCIONAL Flujo bajo un tablaestacado • Condiciones de Contorno
a
b
e
d
Equipotencial
Equipotencial c
Línea de Flujo Línea de Flujo f
g
d Línea de Flujo
Línea Equipotencial
Las Líneas Equipotenciales siguen siendo normales
a las Líneas de Flujo Punto crítico para el sifonamiento: Punto d
FLUJO BAJO PRESA IMPERMEABLE
a
b
h g
Equipotencial
d
Línea de Flujo
c
e
Equipotencial
f
Línea de Flujo i
j
• En la zona donde las líneas de flujo son horizontales las equipotenciales son verticales
FLUJO A TRAVÉS DE UNA PRESA DE TIERRA
Equipotencial
a
Línea de Flujo
b
c
Línea de Saturación
b
u=0 H=z
a
u (m) c
z
d
z
Caída de carga entre equipotenciales = z entre puntos de intersección de equipotencial con línea
de flujo El flujo en el talud aguas abajo no es ni línea de flujo ni equipotencial
ECUACIÓN FUNDAMENTAL DEL FLUJO DE AGUA EN EL SUELO Base teórica de la Red de Flujo y para otros métodos de
resolución de problemas de filtración Elemento cúbico de suelo a través del cual se produce flujo laminar q con componentes x, y, z Componente vertical del flujo
z y x
x, y, z dz
dx dy
q
qx
qy
qz
En un elemento de suelo las componentes de la línea de flujo
en x, y, z pueden considerarse rectas Vale Ley de Darcy h Flujo entrante al elemento: q z kia k z dxdy z Flujo saliente del elemento:
qz
kia
kz
kz dz z
h z
2
z
h
2
dz dxdy
Donde: kz = Conductividad hidráulica según z, en (x, y, z)
h = Carga total Gasto neto que entra en el elemento debido al flujo vertical: q z qentrante qsaliente qz
kz
h dxdy z
kz
kz dz z
h z
2
h
z
2
dz dxdy
2
qz
h z
kz
2 kz h dz 2 dxdydz z z
kz h z z
Para el caso de conductividad hidráulica constante: 2
qz
kz
h
2
dxdydz
z Análogamente, el gasto en la dirección x es: qx
kx
2
h
x
2
dxdydz
Para flujo bidireccional: qy = 0
q
qx
qz
kx
2
h
x
2
2
kz
z
h
2
dxdydz
kz z
0
Volumen de agua (Vw) en el elemento: Vw
Se dxdydz 1 e
Velocidad de variación del volumen de agua es:
Vw t
q
Se dxdydz t 1 e
Como:
dxdydz dxdydz Vs cte. q 1 e 1 e Igualando las expresiones de q se obtiene:
kx
2
h
x
2
2
kx
h
x2
2
kz
z 2
kz
h
2
h
z2
dxdydz 1 1 e
e
dxdydz 1 e S t
S
e t
Se t
Se t • Ecuación del flujo laminar bidireccional en un suelo
Cuatro tipos de flujo posible considerando e y S: 1. e y S constantes Flujo estacionario 2. e variable; S constante consolidación o dilatación
3. e constante; S variable drenaje o absorción 4. e y S variables compresión o expansión
Para 3 y 4 no hay soluciones satisfactorias Para 1: Flujo estacionario La ecuación básica se
reduce a: 2
kx
x
h
kz
2
2
h
z
2
0
Para suelo homogéneo: kx = kz 2
h
x2
2
h
z2
0
Ecuación de Laplace
La solución de la Ecuación de Laplace es una pareja de familias de curvas ortogonales entre sí Para flujo laminar estacionario en suelo homogéneo las familias de curvas serán: Líneas de Flujo Líneas Equipotenciales Las redes de flujo son soluciones particulares teóricas del problema de filtración
MÉTODOS DE RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE REDES DE FLUJO Dibujo de la Red de Flujo Métodos Analíticos Modelos Métodos Analógicos Métodos Numéricos
DIBUJO DE LA RED DE FLUJO Método primario propuesto por Forchheimer y desarrollado por Casagrande (1937)
La Red de Flujo se dibuja: Fijando las condiciones de contorno Cumpliendo la condición de ortogonalidad entre
líneas de flujo y equipotenciales Ventaja: Da una idea directa de problema Desventaja: Dificultad del dibujo de la red La literatura de Mecánica de Suelos presenta dibujos de redes de flujo para muchos casos prácticos
