Exercícios Resolvidos: Grau da função homogênea

Exercícios Resolvidos

Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA

Exercícios Resolvidos: Grau de uma função homogênea Contato: Contato:

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Escrito por Diego Oliveira - Publicado em 09/12/2016 - Atualizado em 31/03/2017

Como saber se uma função ƒ ( , y ) é homogênea? E como determinar seu grau? Grosseiramente falando basta seguir dois passos:

Passo 1: Substituímos  e y por λ λ  e λy λ y respectivamente; Passo 2: após a substituição no passo 1 manipulamos a função algebricamente de forma a obtermos: ƒ ( λ, λy ) = λ n ƒ ( , y ).

Se obtivermos sucesso nos passos 1 e 2 então a função será homogênea de grau n.

Exemplo 1: Verifique se as funções são homogêneas e em caso afirmativo determine o grau. a) ƒ ( , y ) =  · sen b) ƒ ( , y ) = cos



2







+ y y  + 4 y



c) ƒ ( , y ) =  · n ( y ) + ye 



d) ƒ ( , y ) =  2 + 2 y 2 e) ƒ ( , y ) =

 3

2 + y 2

Solução de A:

Passo 1: Substituindo  por λ λ  e y por λy λ y . Sendo assim: ƒ ( , y ) =  · sen

⇒



 y

+

2 y

ƒ ( λ, λy ) = λ · sen



λ

  λy

+

( λ )2

λy

1

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Passo 2: Feita a substituição tentamos manipular a função a fim de obtermos uma igualdade na forma ƒ ( λ, λy ) = λ n ƒ ( , y ).

ƒ ( λ, λy ) = λ · sen

⇒

⇒

λ

( λ )2

       +

λy



ƒ ( λ, λy ) = λ · sen

+

y 

ƒ ( λ, λy ) = λ · sen

+

y

⇒

ƒ ( λ, λy ) = λ  · sen

⇒

ƒ ( λ, λy ) = λ 1 · ƒ ( , y ).

λy



y

λ2 2 λy

λ 2 y

+

2 y

Conclusão: A Conclusão: A equação é homogênea e seu grau é igual a 1.

Solução de B:

Passo 1: ƒ ( , y ) = cos ⇒

 + 4 y







ƒ ( λ, λy ) = cos

λ + 4 ( λy )



λ



Passo 2: ƒ ( λ, λy ) = cos

⇒

⇒

λ + 4 ( λy )



ƒ ( λ, λy ) = cos

ƒ ( λ, λy ) = cos

λ

 

λ(  + 4 y )

 

λ

 + 4 y 



 + 4 y



⇒

ƒ ( λ, λy ) = λ 0 · cos

⇒

ƒ ( λ, λy ) = λ 0 · ƒ ( , y )









Conclusão: A Conclusão: A equação é homogênea de grau zero.

Solução de C:

Impossíve Impossívell chegar chegar a forma forma apresent apresentada ada no passo passo 2. Logo Logo não é uma função homogênea.

Solução de D:

Passo 1: ƒ ( , y ) =  2 + 2 y 2 ⇒

ƒ ( λ, λy ) = ( λ )2 + 2 ( λy ) 2

Passo 2: ƒ ( λ, λy ) = ( λ ) 2 + 2 ( λy )2 ⇒

ƒ ( λ, λy ) = λ 2 2 + 2 ( λ2 · y 2 )

⇒

ƒ ( λ, λy ) = λ 2 ( 2 + 2 y 2 )

⇒

ƒ ( λ, λy ) = λ 2 ƒ ( , y ).

Conclusão: A Conclusão: A equação é homogênea de grau 2.

Solução de E:

Passo 1:

  3

ƒ ( , y ) = 2 + y 2 3 ( λ )2 + ( λy ) 2 ⇒ ƒ ( λ, λy ) = Passo 2: ⇒

ƒ ( λ, λy ) =

⇒

ƒ ( λ, λy ) =

  3

3

( λ )2 + ( λy ) 2

λ2 · 2 + λ 2 · y 2





3

  λ2

3

2 + y 2

⇒

ƒ ( λ, λy ) =

⇒

ƒ ( λ, λy ) = λ 3 ƒ ( , y ).

2

Conclusão: A Conclusão: A equação é homogênea de grau igual 2 / 3.





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