Exerc´ıcios Resolvidos
Diego Oliveira - Vit´oria da Conquista / BA
´ Exerc´ıcios Resolvidos: Area Entre Curvas Contato:
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Atualizado em 05/01/2017
O que preciso saber? Dada uma fun¸c˜ ao f (x) definida num intervalo [a, b], como na figura a seguir, y
A a
x b
ent˜ ao a ´ area A limitada pela curva e o eixo x dentro do intervalo [a, b] ´e: b
Z A=
f (x) dx a
Analogamente se tivermos uma fun¸c˜ao f (y) definida num intervalo [a, b] podemos determinar a´ area limitada pela curva e pelo eixo y com a integral A0 =
b
Z
f (y) dy a
Exemplo 1: Calcule a ´ area entre as curvas y = x2 e y = 4x. Solu¸ c˜ ao: N˜ ao ´e exatamente necess´ ario fazer um gr´afico das duas fun¸c˜oes, mas tal pr´atica ajuda muito neste tipo de problema. Abaixo temos o gr´afico das duas fun¸c˜oes que se interceptam nos pontos (0, 0) e (4, 16).
1
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(4, 16)
(0, 0)
Usando a integra¸ c˜ ao em X: Primeiro determinamos a ´ area A1 limitada pela curva y = 4x e o eixo x no intervalo [0, 4]. 4
Z A1 =
(4x)dx 0
(4, 16)
(0, 0)
J´ aa´ area A2 limitada pela curva y = x2 e o eixo x ser´a: 4
Z
(x2 )dx
A2 = 0
(4, 16)
(0, 0)
Assim, a ´ area entre as curvas (A) ser´a a primeira integral menos a segunda (A1 − A2 ).
2
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(4, 16)
(0, 0)
Z A=
A = A1 − A2 Z 4 (4x) dx − x2 dx
4
0
Z A= 0
4
0
32 ua (unidade de ´ area). 4x − x2 dx = 3
Usando a integra¸ c˜ ao em Y: A integra¸c˜ ao em y ´e feita em rela¸ca˜o ao eixo y. Para aplica-la antes temos de determinar as fun¸c˜ oes inversas das curvas. √ y = x2 ⇒ x = y y = 4x ⇒ x =
y 4
√ Na verdade, y = x2 implicaria em x = ± y, mas como as interse¸c˜oes entre as curvas ocorrem apenas no primeiro quadrante usamos o resultado positivo. √ Assim, a ´ area limitada pela curva x = y (em vermelho abaixo) e o eixo y ´e o resultado da integral A1
(4, 16)
(0, 0)
Z
16
A1 =
√ ( y)dy
0
y J´ a a a´rea limitada pela curva x = (em amarelo a seguir) e representada pela integral A2 . 4 3
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(4, 16)
(0, 0)
16
Z A2 =
y 4
0
dy
Assim, a ´ area entre as curvas ser´ a o resultado da primeira integral menos a segunda (A1 −A2 ).
(4, 16)
(0, 0)
A = A1 + A2 Z 16 Z 16 y √ A= dy ( y)dy − 4 0 0 Z AT =
16
√
y−
0
y 32 dy = ua 4 3
Obs.: Note que neste segundo caso (integra¸c˜ao em y) usamos limites de integra¸c˜ao diferentes do primeiro caso (integra¸c˜ ao em x ). Na integra¸c˜ao em x usou-se a abscisa dos pontos de interse¸c˜ ao, enquanto na integra¸c˜ ao em y usa-se as ordenadas.
√ 6 Exemplo 2: Calcule a ´ area limitadas pelas curvas y = 3 x e y = − 3. x Solu¸ c˜ ao: O gr´ afico das fun¸c˜ oes ´e o seguinte:
4
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3
1
2
√ y = 3 x em vermelho e y = (6/x) − 3 em preto
Usando a integra¸ c˜ ao em X: √ 6 Note que a regi˜ ao entre as curvas ora ´e limitada superiormente por y = 3 x ora por y = −3. x Para resolver este problema dividimos a ´area que desejamos calcular em duas (A1 e A2 ), calculamos cada uma individualmente e depois fazemos a soma dos resultados.
3
A1
A2 1
2
√ Note que a ´ area A1 ´e limitada apenas por y = 3 x ent˜ao, ter´a a medida da ´area igual a: 1
Z A1 =
√ (3 x)dx
0
= 2 ua J´ a a a´rea A2 ´e limitada apenas pela curva y =
Z
2
A2 = 1
6 − 3 ent˜ao, ter´a ´area igual a: x
6 − 3 dx x
= 6ln|2| − 3
5
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Finalmente fazendo A = A1 + A2 chegamos ao resultado final A = 6ln|2| − 1. Usando a integra¸ c˜ ao em Y: Primeiro encontramos as fun¸c˜ oes inversas das curvas dadas. √ y2 y=3 x⇒x= 9 y=
6 6 −3⇒x= x y+3
Agora calculamos a ´ area limitada pela curva x =
6 e pelo eixo y. y+3
3
1
2
Chamaremos esse resultado de A1 . Z
3
A1 = 0
6 y+3
dy
Em seguida calculamos a ´ area limitada pela curva x =
3
1
2
6
y2 e o eixo y. 9
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Chamaremos esse resultado de A2 . Z
3
A2 = 0
y2 9
dy
Agora deve ser poss´ıvel perceber que a ´area entre as curvas A ´e a primeira integral menos a segunda.
3
1
Z
3
A= 0
6 y2 − y+3 9
2
3 3 y 3 dy = 6ln|y + 3| − = 6ln|2| − 1 27 0 0
Exemplo 3: Ache ´ a´ area limitada pelas curvas y = −x e y =
√
2 − x.
Solu¸ c˜ ao: O gr´ afico das curvas ´e colocado a seguir.
2
-2
(2, 0)
Integrando em X: Primeiro encontramos a integral que nos fornecer´a a ´area limitada pela curva y = o eixo x. 7
√
2−x e
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2
-2
(2, 0)
Z
2
√ ( 2 − x)dx
A1 = −2
e em seguida a integral que nos dar´a a ´area limitada por y = −x e o eixo x.
2
-2
(2, 0)
Z
0
A2 =
(−x)dx −2
Assim, a ´ area entre as duas curvas ser´a a primeira integral menos a segunda (A1 − A2 ).
2
-2
(2,0) A = A1 − A2
8
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Z
2
√
A=
Z
0
( 2 − x)dx − −2
Z
2
A=
(−x)dx −2
√ ( 2 − x)dx +
−2
Z
0
x dx −2
=−
10 3
Como ´ area ´e uma medida positiva o que nos interessa ´e o m´odulo desse resultado. Ou seja, 10 ua 3 Integrando em Y: Neste caso n˜ ao h´ a nenhuma vantagem de usar a integra¸c˜ao em y, mas podemos realiza-la deslocando as fun¸c˜ oes 2 unidades para direita. √ Nesse p caso y = −x se√torna y = −(x − 2) ou y = 2 − x. E a curva y = 2 − x se torna y = 2 − (x − 2) ou y = 4 − x. Os gr´ aficos das fun¸c˜ oes deslocadas ser´a:
(0, 2)
(4, 0)
Note que as curvas ainda tˆem as mesmas formas. Na verdade, apenas as “puxamos” para direita. Agora vamos determinar as inversas das curvas dadas. y =2−x⇒x=2−y √ y = 4 − x ⇒ x = 4 − y2 A integral que fornece a ´ area da curva limitada por x = 4 − y 2 ser´a:
9
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(0, 2)
(4, 0)
Z
2
4 − y 2 dy
A1 = 0
J´ a a integral que nos fornece a ´ area limitada pela curva x = 2 − y e o eixo y ser´a.
(0, 2)
(4, 0)
Z A2 =
2
(2 − y)dy 0
A´ area entre as curva ser´ a ent˜ ao a primeira menos a segunda integral (A1 − A2 ).
(0, 2)
(4, 0)
A = A1 + A2
10
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2
Z
4 − y 2 dy −
A=
2
Z
(2 − y)dy 0
0 2
Z
2 + y − y 2 dy
A= 0
A=
y2 y3 2y − 2 3
A=
2 0
10 ua 3
Coment´ ario: Nesse problema o leitor pode se perguntar, “porquˆe tivemos de mover as fun¸c˜ oes?”. Se tiv´essemos a situa¸c˜ ao inicial e tent´assemos √ aplicar a integra¸c˜ao em y. A regi˜ao limitada pela curva x = 2 − y 2 (que ´e a inversa de y = 2 − x) seria o resultado da integral Z A=
2
2 − y 2 dy
0
O problema ´e que essa integral n˜ ao ´e a medida que desejamos, mas da ´area em vermelho abaixo:
2
-2
(2, 0)
´ necess´ E ario prestar muita aten¸c˜ ao a esse tipo de situa¸c˜ao. E mais uma vez ´e feito um incentivo ao aluno que esboce o gr´ afico das fun¸c˜oes. Caso contr´ario, erros provocados por situa¸c˜oes como esta podem vir a ser cometidos.
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Exemplo 4: Encontre a ´ area entre as curvas y = x3 − 6x2 + 8x e y = x2 − 4x. Solu¸ c˜ ao:
3
2
1
1
2
3
4
5
1
2
3
4
Integrando em X: A´ area situada no intervalo [0, 3] da abscisa ´e igual a: Z
3
3 (x − 6x2 + 8x) − (x2 − 4x) dx
A1 = 0
J´ a no intervalo [3, 4] ´e igual ´ a: Z
4
2 (x − 4x) − (x3 − 6x2 + 8x) dx
A2 = 3
sendo assim: A = A1 + A2 Z 3 Z 3 A= (x − 6x2 + 8x) − (x2 − 4x) dx + 0
Z A= 0
4
2 (x − 4x) − (x3 − 6x2 + 8x) dx
3 3
(x3 − 7x2 + 12x)dx +
Z
4
(−x3 + 7x2 − 12x)dx
3
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A ' 11.25 + 0.583 A ' 11.833 ua. Integrando em Y: Neste caso at´e seria poss´ıvel realizar a integra¸c˜ao na vari´avel y, contudo ter´ıamos um esfor¸co realmente not´ avel. Em alguns casos (como este por exemplo), a integra¸c˜ao em y ´e definitivamente mais trabalhosa e em outras mais pr´ atica. Com a pr´atica ´e poss´ıvel determinar qual das duas utilizar.
Se alguma passagem ficou obscura ou se algum erro foi cometido por favor escreva para
[email protected] para que possa ser feito a devida corre¸c˜ao. Para encontrar esse e outros exerc´ıcios resolvidos de matem´atica acesse: www.number.890m.com 13
