Exercícios Resolvidos
Vetores •
Estes Exercícios estão separados por modelos e cada exemplo refere-se a uma série de exercícios contidos na página pág ina EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO, se possível imprima esta página que certamente te auxiliara na resolução dos exercícios
Dados os modelos dos vetores e
.
| | = a = 3 cm | | = b = 4 cm
MODELO 1 SOMA DE VETORES Represente graficamente o vetor e calcule o seu módulo.
Exemplo I:
Vetores na mesma direção e mesmo sentido
RESOLUÇÃO A regra dos vetores consecutivos, consiste em traçar os vetores na seqüência (Método Poligonal)
A resultante tem origem na origem do vetor e extremidade na extremidade do vetor . módulo: 7 cm Direção: horizontal Sentido: para a direita OBS.: Vetores na mesma direção e mesmo sentido basta somar os valores numéricos para calcular o módulo, a direção e o sentido conserva-se .
Exemplo II: Vetores na mesma direção e sentido contrário.
RESOLUÇÃO Regra dos vetores consecutivos (Método Poligonal)
A resultante é o vetor com origem na origem do vetor e extremidade na extremidade do vetor . Módulo: 1 cm Direção: horizontal Sentido: para a esquerda OBS.: Vetores na mesma direção e sentido contrário: basta subtrair os valores numéricos para calcular o módulo, a direção conserva-se, porém o sentido será o do vetor de valor numérico maior.
Exemplo III: Direções ortogonais
RESOLUÇÃO Regra do Paralelogramo 1. adotar um ponto O (origem);a partir do ponto O traçar os vetores; 2. tracejar retas paralelas aos vetores e a partir da extremidade dos vetores e ; 3. a resultante será a diagonal do paralelogramo partindo do ponto O; 4. Use o teorema de Pitágoras para calcular o módulo da resultante.
S² = a² + b² S² = 3² + 4² S = 5 cm Direção e sentido: conforme a figura
Exemplo IV: Quaisquer direções
Dados: cos 60º = 0,5
RESOLUÇÃO Regra do Paralelogramo Módulo:
S² = a² + b² + 2 · a · b · cos 60º S² = 3² + 4² + 2 · 3 · 4 · 0,5 S² = 9 + 16 + 12 6,1 cm S=
Direção e Sentido: de acordo com a figura
MODELO 2 Representação Gráfica Dados os vetores ,
e , represente graficamente os vetores:
a) + b) + c) + +
RESOLUÇÃO Regra dos Vetores Consecutivos (Método Poligonal) a) A Resultante + tem origem na origem do vetor extremidade do vetor .
e extremidade na
b) A Resultante + tem origem na origem do vetor extremidade do vetor .
e extremidade na
c) A Resultante + + tem origem na origem do vetor e extremidade na extremidade do vetor .
Modelo 3 Produto de um Número Real Por um vetor
Módulo: Direção: a mesma de (com n 0) Sentido: mesmo de , para n > 0
contrário de , para n < 0. Obs.: quando n = 0 temos p = 0
EXEMPLO I: Dados os vetores: ,
e
.
Represente graficamente : 2 , -3 e 2 .
RESOLUÇÃO
Modelo 4 Subtração Vetorial
Dados os vetores e conforme a figura, determine graficamente o vetor diferença - e calcule o seu módulo.
=
Dados: | | = 4 cm
| | = 3 cm cos 60º = 0,5
RESOLUÇÃO 1.
= -
= + (- )
2. Trocar o sentido do vetor 3. Utilizar a regra do paralelogramo
4. Calcular o Módulo
d ² = a ² + b ² - 2·a·b·cos 60º d ² = 4 ² + 3 ² - 2·4·3·0,5 d ² = 16 + 9 -12 d ² = 13 d= 3,7 cm
Modelo 5 Projeção de Vetores Para cada vetor, teremos duas projeções, uma no eixo x (horizontal) e outra no eixo y (vertical). Projetar um vetor é determinar as componentes cartesianas desse vetor. (comprimento da "sombra" no eixo x e y )
EXEMPLO I: Determinar o comprimento da "sombra" do vetor no eixo x, devemos "olhar" o vetor de cima para baixo até o eixo x. Dado: | | = a = 2 cm
RESOLUÇÃO a) Para determinar o comprimento da "sombra" do vetor no eixo x, devemos "olhar" o vetor de cima para baixo até o eixo x . Módulo:
| | = 2 cm
b) Para determinar o comprimento da "sombra" do vetor no eixo y , devemos "olhar" o vetor de frente, da direita para a esquerda até o eixo y . Módulo:
| | = 0 cm Portanto :
= 2 cm = 0 cm
EXEMPLO II: Determinar as projeções do vetor
nos eixos x e y . Considere: |
| = a = 2 cm.
RESOLUÇÃO a) Para determinar o comprimento da "sombra" do vetor no eixo x, devemos "olhar" o vetor de cima para baixo até o eixo x . Módulo:
| | = 0 cm
b) Para determinar o comprimento da "sombra" do vetor no eixo y , devemos "olhar" o vetor de frente, da direita para a esquerda até o eixo y . Módulo:
| | = 2 cm Portanto :
= 0 cm = 2 cm
Obs.: Vetor paralelo ao eixo medida real do vetor Vetor ortogonal ao eixo zero
EXEMPLO III: Determine as projeções do vetor
nos
eixos x e y . Dados: | | = a = 2 cm, cos 60º = 0,5 e sen 60 = 0,87.
RESOLUÇÃO a) Para determinar o comprimento da "sombra" do vetor no eixo x, devemos traçar uma reta paralela ao eixo y , da extremidade do vetor até o eixo x . Módulo:
| | = a · cos 60º | | = 2 · 0,5 = 1 cm | | = 1 cm
b) Para determinar o comprimento da "sombra" do vetor no eixo y , devemos traçar uma reta paralela ao eixo x , da extremidade do vetor até o eixo y . Módulo:
| | = a · sen 60º | | = 2 · 0,87 1,74 cm | | = 1,74 cm Portanto :
= 1 cm = 1,74 cm
