Exercícios Resolvidos: Princípio da boa ordenação

Exercícios Resolvidos

Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA

Princípio da Boa Ordenação Contato: Contato:

nibbledi nibblediego@ ego@gmai gmail.co l.com m

Escrito por Diego Oliveira - Publicado em 24/04/2016 - Atualizado em 21/04/2018

O que você precisa saber? Em geral todas as provas que utilizam o princípio da boa ordenação (P.B.O.) são feitas por absurdo.

Exemplo Exemplo 1: Mostre Mostre que não existe existe Exemp Exemplo lo 2: Prove Prove usando usando o P.B.O. .B.O.  8 } um inteiro  m  tal que  0  < m <  1 . que o conjunto S  =  { m  ∈ Z  : 7  < m <  8} é vazio. Solução:

Solução:

Suponha por absurdo que exista um m  que satisfaça essa relação. Assim, existe um conjunto S = {m | 0 < m < 1} não vazio. vazio. Usando Usando o princípio princípio da boa ordenação afirmamos que deve existir um mo  pertencente a S tal que m o  =  mn  m n(S). E como  m o  ∈ S  então:

A reso resoluç lução ão desse desse exer exercíc cício io é bem similar a primeira. =   , enSupondo por absurdo que S  tão pelo principio da boa ordenação existe um mn (S) = mo . E co como mo ∈ S então: 7  < mo  <  8

0  < mo  <  1

⇒  7 −  7  < mo  −  7  <  8 −  7 ⇒  0 · mo  < mo · mo  <  1 · mo

⇒  0  <  ( mo −  7 ) <  1

⇒  0  < m o2  < m o  <  1

⇒  0 · mo  <  ( mo −  7 )mo  <  1 · mo

⇒  0  <  ( mo −  7 )mo  < mo o que é um absurdo, pois assim 2 2 teríamos mo   pertencente a S   (pois mo está entre 0 e 1) e menor que mo   conO que é um absurdo, pois a expressão trariando a minimalidade de  m o . contradiz a minimalidade de  m o .

1

Exercícios Resolvidos

Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA

Este trabalho está licenciado com uma Licença Creative Commons Atribuição-NãoComercialCompartilhaIgual 4.0 Internacional.

Esse documento está sujeito a constante atualização ou mesmo correções, por isso isso,, cert certifi ifiqu que e se que o que que você você têm em mãos mãos é de fato fato a últi última ma vers versão ão do mesmo. mesmo. Para Para saber, bem como ter acesso acesso a vários vários outros outros exercíci exercícios os resolvidos resolvidos de matemática, acesse:   www.number.890m.com E se alguma passagem ficou obscura ou se algum erro foi cometido por favor entre em contato para que possa ser feito a devida correção. .ƒcebook.com/theNmberType

nbbedego@gm.com

.nmber.890m.com

2