Exercícios Resolvidos
Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA
Exercícios Resolvidos: Sentido da Função Contato: Contato:
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Escrito por Diego Oliveira - Publicado em 26/05/2015 - Atualizado em 24/09/2017
Como saber se uma função é crescente ou decrescente? Uma função contínua em um intervalo (a, b) é:
Crescente em (a, b) se ƒ ( )
≥ 0 para todo ∈ ( , b); Decrescente em (a, b) se ƒ ( ) < 0 para todo ∈ ( , b).
Exemplo 1: Determine para quais valores de a função ƒ ( ) = 2 crescente.
− n n( ) é
Solução:
A derivada de ƒ ( ) é ƒ ( ) = 2
−
1
Para que f(x) seja crescente ƒ ( ) deve ser maior ou igual a 0 então. 2
1
− ≥ 0
( 2
−
1
)
· ≥ 0 ·
⇒ 2 2 − 1 ≥ 0 Resolvendo esta última inequação chegamos á:
≥
2
2
e
≤−
2
2
Isso significa que ƒ ( ) será crescente quando:
∈ − ,− ∞
2
2
∪ 2
2
Exemplo 2: Para 2: Para que valores de é decrescente a função ƒ ( ) = 2
,∞
| | | − 4 |.
Solução:
1
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Toda função modular pode ser expressa como uma função por partes. Expressar a função 2 4 dessa forma é o primeiro passo para resolver o problema.
| | | − |
Por definição =
| |
Assim ƒ ( ) =
se 0 se < 0
≥
−
|
2 − 4 | se ≥ 0 | − 2 − 4 | se < 0
(1) (2 )
Aplicando, novamente, a definição a linha (1) acima chega-se ao seguinte sistema:
|2 − 4 | =
2 4 se 2 4 2 se 0 < 2
−
−
≤
≥
Já se aplicada a definição a linha (2) chega-se.
| − 2 − 4 | =
− 2 − 4 se ≤ −2 2 + 4 se − 2 < < 0
Sendo assim, podemos escrever a função ƒ ( ) como uma função de quatro sentenças.
ƒ ( ) =
2 4 se 2 4 2 se 0 < 2 2 4 se 2 2 + 4 se 2 < < 0
− − − −
−
≥ ≤ ≤−
O que graficamente seria:
2
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Derivando ƒ ( ) chegamos à:
ƒ ( ) =
− −
2 se 2 2 se 0 < 2 2 se 2 2 se 2 < < 0
−
≥ ≤ ≤−
Olhando as sentenças acima vemos que ƒ ( ) < 0 somente quando [ 0, 2) e quando ( ∞, 2] . Ou seja, ƒ ( ) é decrescente para [ 0, 2) ( ∞, 2] .
∈ − −
∈
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∈ ∪ − −
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