Exercícios resolvidos: Derivação Implicita

Exercícios Resolvidos

Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA

Exercícios Resolvidos: Derivada de Funções Implícitas Contato: Contato:

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Escrito por Diego Oliveira - Publicado em 14/12/2014 - Atualizado em 08/10/2018

O que eu preciso saber? A regra para a derivação implícita é basicamente a seguinte: d

( ky n ) = nk · y n− 1 ·

d onde k é uma constante qualquer.

dy d

Exemplo 1: Derive 1: Derive a função  2 − 5 y + 3 y 2 = 7 em relação a  . Solução:

Aplicamos a diferenciação a ambos os lados da igualdade. d d

2 − 5 y + 3 y 2 =





d

d d

·

7

d d d 5 y + 3 y 2 = 2 − ·7 d d d d

⇒

A derivada de  2 e de 7 em relação a  são triviais tendo 2  e 0 como resultado.

⇒

2  −

d d

5 y +

d d

3 y 2 = 0

( 1)

Pela regra do produto a derivada de 5 y seria: seria: d d

= 5 y =

d ⇒

d

d

  d

5  y + 5 

= 5 y + 5  5 y =

d

 

dy d

y d

( 2)

Assim, substituindo (2) em (1) 1





2  − 5 y + 5 

dy d



+

d d

3 y 2 = 0

( 3)

Usando a regra de derivação implícita chegamos a mos escrever (3) como:



2  − 5 y + 5  ·

⇒

2  − 5 y − 5 

dy d



d d

dy . Assim, poded

3 y 2 = 6 y

dy + 6 y = 0 d

dy

dy + 6 y = 0 d d

Finalmente, evidenciamos a derivada na solução. dy (6 y − 5 ) = 5 y − 2  d dy ⇒

d

=

5 y − 2  6 y − 5 

Exemplo 2: Dada 2: Dada a função  2 − 5 y + 3 y 2 = 7 derive-a em relação a y . Solução:

A diferença deste exercício em relação ao anterior é que agora a derivada é em relação a y . Observe que:

d

d ( 2 ) = 2  dy dy d

(5 y ) =

d d

3 y 2 = 3

dy d

d

 

5  y + 5 

dy

d

d

d + 5  · 1 = 5 y + 5  y = 5 y dy dy dy

   

d

y 2 = 6 y dy

7 = 0

dy

2

 


Portanto,

2 

d dy

2 − 5 y + 3 y 2 =



d dy




d

−

5 y

dy

−

d

7 implica em:

dy

= 0 5  + 6 y =

Finalmente evidenciamos a derivada. 2 

d dy

d

−

5 y

dy

−

5  + 6 y = = 0

d ⇒

( 2  − 5 y ) = 5  − 6 y dy

d ⇒

dy

=

5  − 6 y 2  − 5 y

Exemplo 3: Derive 3: Derive a expressão  2 − 5 y + 3 y 2 = 7 em relação a z . Solução:

A derivada de cada termo na função é: d

d 2 = 2  dz dz d

( 5 y ) = dz

d

( 3 y 2 ) = 3 dz

d

d

 

5  y + 5 

dz

d

d

dy y = 5 y + 5  1 dz dz dz

   

d

dy y 2 = 6 y dz dz

 

7 = 0

dz

Sendo assim: 2 − 5 y + 3 y 2 = 7

3

 


⇒

d

2 

dz

d ⇒

dz

−

d


  5

y + 5  1

dz

( 2  − 5 y ) −

dy

dy + 6 y = 0 dz dz

 

dy ( 5  − 6 y ) = 0 dz

Normal Normalmen mente te costum costuma a se eviden evidencia ciarr a deriva derivada da na soluç solução ão final, final, mas mas como como neste neste caso temos duas (dx/dz e dy/dz) encerramos por aqui.

Exemplo 4: Derive 4: Derive a expressão sen s en



 y

=

1 2

em relação a  .

Solução:

Primeiro aplicamos a regra da cadeia. d d

sen



 y

= cos



d 

     y

·

d y

= 0

Para a derivada da fração aplicamos a regra do quociente.

d 



d y

d y

 

( ) y − 

d d

( y )



y 2

1 y −  · 1( dy/d)

=

=

=



y 2 y − (dy/d) y 2

Sendo assim: d d

⇒

sen

cos



1



=



y − (dy/d)

y

 y

·

2

y 2

= 0

Finalmente evidenciando a derivada.

4


dy d

=


y 

Exemplo 5: Derive 5: Derive a expressão e cos ( ) + e sn ( y ) =

1 4

em relação a  .

Solução:

Pela regra da função composta a derivada será: ecos ( )

⇒

d



cos (  ) + e sn ( y )



d d

ecos ( ) sn ( ) + e sn ( y ) cos ( y )

esn ( y ) cos ( y )

dy ⇒

d



sn ( y ) = 0

ecos ( ) (− sn ( )) + e sn ( y ) cos ( y )

⇒ −

⇒



d

=

dy d

dy d

dy d

= 0

= 0

= e cos ( ) sen ( )

ecos ( ) sen ( ) esn ( y ) cos ( y )

Exemplo 6: Determine 6: Determine

d 2 y ( d ) 2

dada a equação  6 + y 6 = 1 .

Solução:

Derivando implicitamente a equação  6 + y 6 = 1 temos:

6 5 + 6 y 5

dy ⇒

d

=−

dy d 5 y 5

= 0

( 1)

Derivando a equação (1) novamente encontramos a derivada segunda.

5


d

dy

=

·

d d d 2 y ⇒

( d )2

d 2 y ⇒

( d )2

d 2 y ⇒

( d )2

5

d d

=−

=−

=−


     −

y 5

5

d

d y 5

5 4 y 5 − 5 5 y 4 ( dy/d)

5 4

+

y 5

5 5 dy

y 6 d

Como determinamos que d 2 y ( d ) 2

=−

d 2 y ⇒

( d )2

d 2 y ⇒

( d )2

d 2 y ⇒

( d )2

5 4

y 5

=−

=−

=−

+

y 10



dy d

5

=−

y 5

então:

5 5 dy

5 4

y 5

y 6 d +

5 5

y 6

5

  −

y 5

5 4 y 6 + 5 10

y 11 5 4 ( 6 + y 6 )

y 11

Como por hipótese  6 + y 6 = 1 então: d 2 y ( d ) 2

=−

5 4 ( 1)

y 11

=−

5 4

y 11

Exemplo 7: Use 7: Use a diferenciação implícita para achar Solução:

Derivando implicitamente. dy

8  − 4 y

dy ⇒

d

=

d 2 

= 0

y

6

d 2 y (d )2

se 4 2 − 2 y 2 = 9 .


d ⇒

⇒

⇒

⇒

⇒

dy ·


d

2 

   

=

d d d y 2 d y d 2  = ( d )2 d y d 2 y 2 y − 2 ( dy/d) = ( d )2 y 2 d 2 y 2 2  dy = − ( d )2 y y 2 d 2 2  dy d 2 y = − ( d )2 y y 2 d





   

como determinamos que d 2 y

=

2 

2 −

dy d

=

2 

y

então:

dy

 

( d ) 2 y y 2 d 2 4 2 d 2 y = − ⇒ ( d )2 y y 3 2 y 2 − 4 2 d 2 y = ⇒ ( d )2 y 3 4 2 − 2 y 2 d 2 y = ⇒ − ( d )2 y 3









Como por hipótese 4 2 − 2 y 2 = 9 então: d 2 y ⇒

( d )2

=

9

  −

y 3

que é a equação desejada.

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