Estatica - Unidad 01 (Cap2 - Sistema de Fuerzas 2D)

CAPITULO 02

SISTEMASDEFUERZAS BIDIMENSIONALES Siunobjetoestásometidoavariasfuerzasquetienendiferentesmagnitudesyactúanen distintasdirecciones,¿cómopuedendeterminarselamagnitudyladireccióndelafuerzatotal resultantesobreelobjeto?Lasfuerzassonvectoresydebensumarsedeacuerdoconladefinicióndela sumadevectores.Eningenieríasetrataconmuchascantidadesquetienentantomagnitudcomo direcciónyquepuedenexpresarseyanalizarsecomovectores.Enestecapítuloserevisanlas operacionesconvectores,seexpresanlosvectoresentérminosdesuscomponentesysepresentan ejemplosdeaplicacionesdelosvectoresalaingeniería.

Las propiedades de los sistemas de fuerzas deben ser cuidadosamente entendidas por los ingenieros que diseñan estructuras tales como las grúas.

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OBJETIVOS 

Mostrar cómo sumar fuerzas y resolverlas en componentes usando la ley del paralelogramo.



Expresar la fuerza y la posición en forma vectorial cartesiana y explicar cómo determinar la magnitud y el sentido del vector.



Presentar el producto punto para determinar el ángulo entre dos vectores o la proyección de un vector vector en otro.

1.

ESCALARES Y VECTORES Las magnitudes objeto de la Mecánica son de dos tipos: escalares y vectoriales. Una magnitud escalar es la que tiene asociada una única cantidad. Ejemplos de

escalares son el tiempo, el volumen, la densidad, la celeridad (módulo de la velocidad), la energía y la masa. Una magnitud vectorial es la que tiene asociada, además de una cantidad, una dirección y un sentido y obedece a la ley del paralelogramo para la adición. Son ejemplos de magnitudes vectoriales, o vectores, el desplazamiento, la velocidad, la aceleración, la fuerza, el momento y la cantidad de movimiento. Las magnitudes físicas vectoriales pueden pertenecer a uno de los tres tipos siguientes: vectores libres, vectores deslizantes o vectores fijos.

Vector libre es aquel cuya acción no está confinada o asociada a una única recta. Por ejemplo, si un cuerpo se mueve sin rotar, el movimiento o desplazamiento de uno cualquiera de sus puntos puede representarse mediante un vector y éste describirá igualmente bien la dirección, el sentido y el módulo del desplazamiento de todos los puntos del cuerpo. Por tanto, el desplazamiento de ese cuerpo podemos representarlo con un vector libre.

Vector deslizante es aquel para el cual hay que conservar una sola recta en el espacio a lo largo de la cual actúa el vector. Al considerar la acción de una fuerza sobre un cuerpo rígido, ésta puede aplicarse en cualquier punto de su línea de acción, o recta soporte, sin que se altere el efecto que produce sobre el cuerpo cuerpo y, por tanto, puede considerarse considerarse como vector deslizante.











Sesión 2 | Vector Fuerza: Coplanares

no rígido, debe especificarse con un vector fijo situado en el punto de aplicación de la fuerza. En este caso, las fuerzas y movimientos internos serán función del punto de aplicación de la fuerza, así como de su recta soporte s oporte e intensidad.

FIGURA 2

Un vector V se representa con un segmento rectilíneo que tenga la dirección y sentido apropiados, indicando este último con una punta de flecha. La longitud del segmento orientado representa, a una escala convenida, el módulo |V| del vector y se escribe en cursiva V . En las ecuaciones escalares y, muchas veces, en los diagramas en que los vectores se rotulan sólo con su módulo, los símbolos correspondientes a aquellos aparecerán en cursivas. Las negritas se emplean para representar vectores cuando el aspecto direccional de la magnitud sea una parte de su representación. Al escribir ecuaciones vectoriales, debemos siempre asegurarnos de que se preserve la distinción entre vectores y escalares. Para el trabajo manuscrito se recomienda emplear una marca distintiva para los vectores, tal como un subrayado, V, o una flecha encima,

V

, que haga las veces de la negrita de imprenta. La

dirección del vector V puede medirse por un ángulo θ tomado a partir de una dirección de referencia conocida. El opuesto a V es un vector -V cuyo sentido es el contrario al de V, tal como se muestra en la Figura 2

FIGURA 3

Los vectores, además de poseer módulo, dirección y sentido, deben cumplir la ley del

paralelogramo. Esta ley establece que dos vectores V1, y V2, tratados como vectores libres (Figura 3a), pueden sustituirse por su equivalente V que es la diagonal del paralelogramo definido por V1, y V2 tal como se muestra en la Figura Fi gura 3b. Esta combinación, o suma vectorial, se representa por la igualdad vectorial











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Donde el signo + utilizado combinadamente con los vectores (en negritas) significa adición vectorial y no escalar . La suma escalar de los módulos, o intensidades, de los dos vectores se escribe del modo usual V 1 + V 2 y de la geometría del paralelogramo resulta inmediato que V ≠ V 1 + V 2 Los dos vectores V1 y V2, tratados otra vez como vectores libres, pueden sumarse también colocando el origen de uno en el extremo del otro, según la ley del triángulo , tal como se indica en la Figura 3c, obteniéndose la misma suma vectorial V. En el diagrama se ve que el orden de adición de los vectores no altera su suma, por lo que V1 + V2 = V2 + V1.

FIGURA 4

La diferencia V1 – V2 entre los dos vectores se obtiene, tal como se muestra en la Figura 4, sin más que sumar – V2 a V1, pudiéndose utilizar indistintamente el método del paralelogramo o el del triángulo. La diferencia V’ entre dos vectores se expresa mediante la igualdad vectorial

V' = V1 - V2 donde el signo - denota sustracción denota sustracción vectorial vectorial .

FIGURA 5

De dos o más vectores cualesquiera cuya suma sea igual a un cierto vector V se dice que son componentes de ese vector. Luego los vectores V1 y V2 de la Figura 5a son las componentes de V en las direcciones 1 y 2, respectivamente. Acostumbra a ser más cómodo












V’. Al emplear componentes rectangulares, la dirección del vector respecto, por ejemplo, al eje x está claramente especificada por:

θ =ta = tann VV Todo vector V puede expresarse matemáticamente multiplicando su módulo V por un vector n de módulo unidad cuya dirección y sentido coincidan con los de V. El vector n se llama vector unitario. unitario. Así,

V = V n De esta manera tanto el módulo como la dirección y el sentido del vector se encierran en una única expresión matemática.

FIGURA 6

En muchos problemas, especialmente en los tridimensionales, conviene expresar las componentes rectangulares de V (Figura 6) en función de los vectores unitarios i, j y k , según las direcciones x, direcciones x, y y z , respectivamente, los cuales tienen módulo unidad. Entonces, la suma vectorial de las componentes se escribe como sigue:

 = V+V+V Ahora empleamos los cosenos directores de l, m y n de V dados por l = cosθ cosθ x

m = cosθ cosθ y

n = cosθ cosθ z

y así podemos expresar como sigue los valores de las componentes de V











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V 2 = V x 2 + V y 2 + V z 2 Observe que esta relación implica que l 2 + m 2 + n 2 = 1

Ejemplo 2-1 Para los vectores V1 y V2 mostrados en la figura: a) determine la magnitud S del vector suma S = V1 + V2 b) determine el ángulo θ entre S y el eje x positivo c) escriba S como un vector en términos de los vectores unitarios i y j, y luego escriba un vector unitario n a lo largo del vector suma S. d) determine el vector diferencia D = V1 – V2

Solución a) Construimos a escala el paralelogramo mostrado en la figura de la izquierda para sumas V 1 y V2. Usando la ley de cosenos: S2 = 32 + 42 – 2(3)(4)cos105

°

S = 5.59 unidades (Resp) b) Usando la ley de senos para el triángulo inferior tenemos:

sen105° = sen sen(α +30°) + 30°) 5.59 4 sen (α + 30 ) = 0.692 °

(α + 30 ) = 43.8 °

°



α = 13.76

°

(Resp)

c) Conocidos S y α podemos escribir el vector S como:

S = S [i cos α + j sen α ] S = 5.59[i cos 13.76 + j sen 13.76 ] °

°

S = 5.73i + 1.328j unidades Entonces

! = #" = 5.435.+51.9 328 = 0.971 + 0.238     ('*) '*) d) El Vector diferencia D es:














2.

FUERZA Antes de que tratemos con conjuntos, o sistemas de fuerzas es necesario que

examinemos, con algún detalle, las propiedades de una fuerza considerada aisladamente. Hemos definido la fuerza como la acción que un cuerpo ejerce sobre otro. Es evidente que la fuerza es una magnitud vectorial, puesto que su efecto depende de la dirección y sentido de la acción tanto como de su intensidad y, además, su suma obedece a la ley del paralelogramo.

FIGURA 7

La acción de la tensión del cable sobre el soporte de la Figura 7.a se representa en la Figura 7.b mediante el vector fuerza P, de módulo P. El efecto de esta acción sobre el soporte dependerá de la intensidad de P, del ángulo θ y de la posición del punto de aplicación A. Variando cualquiera de estos tres datos se alterará el efecto sobre el soporte, cosa que podría apreciarse, por ejemplo, mediante la fuerza que se ejerce sobre cada uno de los pernos que fijan el soporte a la base, o bien por la deformación o los esfuerzos internos que sufre el material del soporte en un punto cualquiera. Se ve, pues, que la especificación completa de











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material. La relación entre las deformaciones internas y los esfuerzos internos depende de las propiedades del material y se estudia en Resistencia de Materiales, Elasticidad y Plasticidad.

FIGURA 8

Al estudiar la mecánica de los cuerpos rígidos, en donde sólo se tienen en cuenta los efectos exteriores de las fuerzas, la experiencia nos muestra que no es necesario restringir a un punto dado la acción de una fuerza aplicada. Así, la fuerza P que actúa sobre el soporte rígido de la Figura 8 puede considerarse aplicada en A o en B o en cualquier punto de su recta soporte, con lo cual no cambiarán los efectos exteriores netos de P sobre el soporte. Los efectos exteriores son la fuerzas que sobre el s oporte ejercen el apoyo articulado O y el apoyo de rodillo C. De ello da cuenta el llamado principio de transmisibilidad, que afirma que una fuerza puede considerarse aplicada a un punto cualquiera de su recta soporte sin que se alteren sus efectos exteriores sobre el cuerpo en el que actúa. Cuando hay que estudiar únicamente los efectos externos producidos por una fuerza, ésta puede considerarse como vector deslizante y entonces es necesario y suficiente especificar su intensidad o módulo, su dirección y sentido, y su recta soporte o línea de acción. Como en este curso se trata básicamente la mecánica de los cuerpos rígidos, casi todas las fuerzas se considerarán como, vectores deslizantes respecto al cuerpo sobre el que actúen. Las fuerzas se clasifican en fuerzas de contacto y fuerzas másicas. Las fuerzas de contacto se generan mediante el contacto físico directo entre dos cuerpos. Las fuerzas másicas se crean por acción a distancia; tal es el caso de las fuerzas gravitatorias y












tomarse como una fuerza concentrada que actúe en el centro de gravedad. La posición del centro de gravedad es muchas veces obvia por consideraciones de simetría. Si no es así, hay que determinar su posición mediante los cálculos especiales que se revisarán en la tercera unidad. Una fuerza puede medirse comparándola con otras fuerzas conocidas, recurriendo al equilibrio mecánico, o por la deformación calibrada de un resorte elástico. Todas estas comparaciones y calibraciones se basan en un patrón primario. La unidad patrón de fuerza en el Sistema Internacional es el newton (N). Hay que ser muy cuidadoso al tener en cuenta la característica de las fuerzas expresada por la tercera ley de Newton. La acción de una fuerza está siempre acompañada de una reacción igual y opuesta. Es esencial ver claramente qué fuerza de esa pareja es la que se está considerando. La respuesta quedará siempre clara si se aísla el cuerpo en cuestión y se representa la fuerza ejercida sobre el cuerpo (no la ejercida por él). Es muy fácil equivocarse y considerar la fuerza de la pareja que no se debe utilizar, a menos que se establezca una distinción precisa entre toda acción y su reacción.

FIGURA 9

Dos fuerzas concurrentes F1 y F2 pueden sumarse según la regla del paralelogramo para obtener su resultante R contenida en su plano común tal como se representa en la Figura 9a. Si dos fuerzas son coplanarias pero están aplicadas a dos puntos diferentes, como











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R = F1 + F2 Además de la necesidad de componer fuerzas para obtener su resultante, en otros muchos casos es necesario sustituir una fuerza por sus componentes según direcciones conocidos. Por definición, la suma de las dos o más componentes de un vector debe ser igual a éste. Así, la fuerza R de la Figura 9a puede remplazarse por, o descomponerse en, las dos componentes F1 y F2 según las direcciones especificadas sin más que construir el paralelogramo paralelogramo tal como se muestra para obtener los módulos de F1 y F2. La relación entre una fuerza y sus componentes según unos ejes dados no debe confundirse con la relación entre una fuerza y sus proyecciones ortogonales ortogonales sobre los mismos ejes. Así, en la Figura 9c se representan las proyecciones F1 y F2 de la fuerza dada F sobre los ejes a y b, paralelos a las componentes F1 y F2 de la Figura 9a. Deja claro la figura que, en general, las componentes de un vector no son iguales a las proyecciones del vector sobre los mismos ejes. Además, la suma vectorial de las proyecciones F1 y F2 no es la fuerza R, pues la suma debe realizarse siguiendo la regla del paralelogramo. Las componentes y las proyecciones de R son iguales sólo cuando a y b son perpendiculares. En la Figura 10 se presenta el caso particular de suma de dos fuerzas paralelas F1 y F2. Estas pueden componerse sumándoles primero dos fuerzas F y - F colineales, de la misma intensidad, convenientemente elegidas, y opuestas, las cuales tomadas juntas no ocasionarán ningún efecto exterior sobre el cuerpo. Sumando primero F1 y F para obtener R y componiendo ésta con la suma R2 de F2 y -F se obtendrá la resultante R de intensidad, sentido y recta soporte correctos. Este procedimiento resulta asimismo muy útil cuando hay que sumar gráficamente dos fuerzas casi paralelas y que, por ello, se cortan en un punto muy alejado












Acostumbra a ser provechoso dominar el análisis de los sistemas de fuerzas bidimensionales antes de acometer el de los sis temas tridimensionales.

3.

COMPONENTES RECTANGULARES La descomposición bidimensional más corriente de una fuerza se hace mediante

componentes rectangulares.

FIGURA 11

De la regla del paralelogramo aplicada a la fuerza F de la Figura 11resulta que

F = Fx + Fy donde Fx y Fy son componentes vectoriales de F. Cada una de estas componentes vectoriales puede a su vez escribirse como producto de un escalar por el vector unitario adecuado. Así, en función de los vectores i y j de la Figura 11, podemos escribir

F = F x i + F y j donde F x y F y son las componentes escalares x e y del vector F. Obsérvese que estas componentes escalares pueden en general ser positivas o negativas, según cual sea el cuadrante al que apunte F. En el caso de la Figura 11, las dos componentes escalares x escalares x e e y son y son positivas y se relacionan con el módulo y la dirección de F mediante:













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componentes escalares, éstas se representarán también con letras cursivas, símbolos que en tal caso incluirán también la información acerca del signo. Cuando en un diagrama aparece tanto una fuerza como sus componentes vectoriales, es recomendable representar éstas con trazo discontinuo, como en la Figura 11, y la fuerza con trazo lleno o viceversa. Con cualquiera de estos acuerdos se tendrá siempre presente que se representa una fuerza y sus componentes y sus tres fuerzas aparte cómo implicarían tres sectores de trazo continuo. En la realidad, los problemas no se presentan acompañados de ejes de referencia, por lo que su asignación es una cuestión de comodidad y su elección dependerá a menudo del criterio del alumno. La elección lógica suele estar indicada por la forma en que se especifica la geometría del problema. Por ejemplo, cuando las dimensiones principales de un cuerpo se encuentren en las direcciones de la horizontal y la vertical, lo más cómodo generalmente será asignar dichas direcciones a los ejes de referencia. Sin embargo, las dimensiones no siempre están alineadas con la horizontal y la vertical ni es necesario medir los ángulos en sentido antihorario a partir del eje x ni que el origen de coordenadas esté en la recta soporte de una fuerza; por consiguiente es fundamental que podamos determinar las componentes de una fuerza cualesquiera que sean la orientación de los ejes o el origen de la medida de ángulos.












extremo de F1 de acuerdo con la regla del triángulo expuesta en la Figura 13. Al sumar las fuerzas F1 y F2 podemos escribir (F 1x (F 2x R = F1 + F2 = (F 1xi + F 1y 1yj) + (F 2xi + F 2y 2yj) o sea R x i + R y j = (F (F 1x (F 1y 1x + F 2x )i + (F 1y + F 2y )j de donde concluimos que R x = F 1x ΣF x 1x + F 2x = ΣF R y = F 1y ΣF y 1y + F 2y = ΣF Un término del tipo ΣF Σ F x debe leerse y considerarse como " suma algebraica de las componentes escalares x ". ". Para el ejemplo representado en la Figura 13 adviértase que la componente escalar F 2y sería negativa.











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Solución De la figura (a) obtenemos los componentes escalares de F1 F 1x 1x = 600 cos 35 = 491 N (Resp) °

F 1y 1y = 600 sen 35 = 344 N (Resp) °

Los componentes escalares de F2 los obtenemos de la figura (b) F 2x = -500 (4/5) = -400 N (Resp) F 2y = 500(3/5) = 300 N (Resp) Observe que no hace nunca falta calcular el ángulo que forma F2 con el eje x . El seno y el coseno de ese ángulo se deducen por inspección del triángulo 3-4-5. Por inspección se ve también que la componente escalar x escalar x de de F2 es negativa. Las componentes escalares de F3 pueden obtenerse calculando primero el ángulo α en la figura (c).

α=tan 0.0.24 = 26.6° Entonces, F 3x 3x = F 3 sen α = 800 sen 26.6 = 358 N (Resp) °

F 3y 3y = F 3 cos α = -800 cos 26.6 = -716N (Resp) °












Un vector unitario puede formarse dividiendo cualquier vector tal como el vector de

 >?

posición

por su longitud o módulo. Aquí se emplea la flecha encima para designar a un

vector que va de A a B y la barra encima para representar la distancia entre los puntos A y B.

Ejemplo 2-3 Combinar las dos fuerzas P y T, que actúan sobre el punto B de la estructura fija, para obtener una fuerza única R.

Solución Solución gráfica. En la figura (a) se muestra la construcción del paralelogramo representante de la suma de las fuerzas T y P. Se emplea la escala 1 cm = 400 N; para un papel de tamaño normal, habría sido mejor la escala 1 cm = 50 N y así se obtendría una precisión mayor. Téngase en cuenta que el ángulo θ se tiene que determinar antes de construir el paralelogramo. Según la











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600 = 524 senθ sen40.9° sen θ = 0.750

θ = 48.6

°

(Resp)

Solución algebraica. Empleando el sistema de coordenadas x-y sobre x-y sobre la figura dada, podemos escribir: R x = ΣF ΣF x = 800 – 600 cos40.9° = 346 lb R y = ΣF ΣF y = -600 sen40.9° = -393 lb El módulo y la dirección de la resultante R, representada en la figura (c) serán

R =  R/ + R/ = < (346) (346)/ +(−393)/ = 524lb θ =ta = tann R|R| =tan 393 346 = 48.6°     (Resp)

(Resp)

La resultante R también se puede expresar en notación vectorial como:

R = R x i + R y j = 346i – 393j Ejemplo 2-4

(Resp)














componentes vectoriales son Fx = 250i N y Fy = - 433j N.

Parte (b). En la figura (b), se ve que F = 500i' N, por lo que las componentes escalares pedidas son Fx’ = Fx’ = 500 N

Fy’ = Fy’ = 0

(Resp)

Parte (c). Las componentes de F en las direcciones x’ e y' no son rectangulares y se obtienen construyendo el paralelogramo que se muestra en la figura (c). Los valores de estas componentes pueden calcularse mediante el teorema de los senos, o sea:

|F| = 500   ⇒    |F| = 1000N sen90° sen30°











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Nota: Téngase presente que, en general, las componentes de un vector no son iguales a sus proyecciones sobre los mismos ejes. Si el eje a fuera perpendicular al b las componentes y las proyecciones de R serían iguales.

4.

ACTIVIDADES 4.1. EJERCICIOS DE AULA (45 MIN) Formando equipos de 3 alumnos desarrollen los problemas mostrados a continuación,

siguiendo las indicaciones del profesor.

EJERCICIO 01 La fuerza F de 1800-N es aplicada en el extremo de la barra en I. Expresar F como un vector usando












EJERCICIO 02 Los dos miembros estructurales, uno de las cuales está en tensión y el otro en compresión, ejercen las fuerzas indicadas en en la unión

O. Determinar la

magnitud de la resultante R de las dos fuerzas y el ángulo θ que R forma con el eje x positivo.

Solución











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EJERCICIO 03 La recta soporte de la fuerza F de 3000 lb pasa por los puntos A y B tal como se muestra en la figura. Hallar las componentes escalares x escalares x e e y de y de F.

Solución

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4.2. EJERCICIOS DE CASA Desarrollar los siguientes ejercicios y presentarlos la próxima clase. 1.

La línea de acción de la fuerza de 34 kN va del punto A al punto B como se muestra en la figura. Determine las componentes escalares x escalares x e e y de y de F













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fuerza por su equivalente de dos fuerzas en A, Ft y Ft y Fn paralela y perpendicular al eje de la viga, respectivamente. Calcule Calcule Ft y Ft y Fn .












5.

RESUMEN Escalares y Vectores: 

Un escalar es un número positivo o negativo.



Un vector es una cantidad que tiene magnitud, dirección y sentido.



La multiplicación o la división de un vector por, o entre, un escalar cambiará la magnitud del vector. El sentido del vector cambiará si el escalar es negativo.

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