EQUILIBRIO DE FUERZAS
I.
OBJETIVOS: comprobar la primera y segunda condición de equilibrio para un sistema de fuerzas
concurrentes en un punto. Analizar y comparar los resultados teóricos – prácticos mediante las tablas propuestas de desarrollo. Determinar el Error Relativo conceptual y absoluto de la experiencia teórico y práctico. II.
FUNDAME DAMEN NTO TEOR EORICO: Primera ley de Newto: a primera ley de !e"ton# conocida tambi$n como ley de inercia# nos dice que# si sobre un cuerpo no act%a ning%n otro# este permanecerá indefinidamente movi$ndose en l&nea recta con velocidad constante 'incluido el estado de reposo# que equivale a velocidad cero(. )omo sabemos# el movimiento es relativo# es decir# depende de cuál sea el observador que describa el movimiento. As&# para un pasa*ero de un tren# mientras que para alguien que ve pasar el tren desde el and$n de una estación# el boletero se está moviendo a una gran velocidad. +e necesita# por tanto# un sistema de referencia al cual referir el movimiento. a primera ley de ne"ton sirve para definir un tipo especial de sistemas de referencia conocidos como ,+istemas de Referencia -nerciales# que son aquellos sistemas de referencia desde los que se observa que un cuerpo sobre el que no act%a ninguna fuerza neta se mueve con velocidad constante. a primera ey de !e"ton se enuncia como sigue/ “Tod “Todo o cuerpo cuerpo perma permanec nece e en su estad estado o de repos reposo o o de movimi movimient ento o rectil rectilíne íneo o uniforme a menos que otros cuerpos actúen sobre el”
)ons )onsid ider eran ando do qu quee la fuer fuerza za es un unaa cant cantid idad ad vect vector oria ial#l# el anál anális isis is expe experirime ment ntal al correspondiente a las fuerzas requiere 0erramienta del algebra vectorial. Ello implica el conocimiento conocimiento de la suma de vectores concurrentes# al cual tambi$n se le denomina vector resultante# dado por/ n
´ F ∑ = i
ᵢ
1
+iendo 1₁# 1₂2# 1ᵤ fuerzas concurrentes concurrentes en el el centro de masa del cuerpo. cuerpo. El producto escalar se realiza entre dos cantidades vectoriales# como resultado de esta operación se determina una una cantidad escalar3 escalar3 definido por/ ´ F
. ´r 4 1r cos5
1# r/ son módulos de los vectores
´ F
#
´r respectivamente. respectivamente.
6ientras tanto# el producto vectorial se opera entre dos vectores# cuyo resultado es otra cantidad vectorial. El módulo de este nuevo vector está dada por/
´ . ´r 7 4 1rsen5 7 F
22.
'8.9(
´ y ´r . :/ es el ángulo entre los vectores F
os vectores se pueden descomponerse en sus componentes ortogonales o en base a los vectores unitarios i# * y ;.
4 Rₓ ᵢ = Rᵧ * = Rz ;
En plano > – ?# ?# las componentes ortogonales se determinan mediante las siguientes ecuaciones de transformación/ transformación/ Rₓ 4 Rcos5 Rcos5 @@@@@@@@@@ @@@@@@@@@@@@@ @@@ '8.a( '8.a( Rᵧ 4 Rsen5 Rsen5 @@@@@@@@@ @@@@@@@@@@@@@ @@@@ '8.b( '8.b( R x + R y @@@@@@@@@@@@@@ '8.c( R 4 √ R 2
2
R y
Bg5 4 R x @@@@@@@@@@@@@@@@ '8.d(
as as con condic dicio iones nes de eq equil uilib ibrio rio## son las las que garan garantiz tizan an a que que los los cue cuerpo rposs pue puedan dan encontrarse en equilibrio de traslación yCo equilibrio de rotación.
∑ F ´ =0 ᵢ
i
+egunda condición de Equilibrio/ 'Equilibrio de Rotación( ,
∑ M ´ = 0 ᵢ
i
El momento de una fuerza tambi$n conocido como torque# es un vector obtenido mediante la operación de producto vectorial# entre los vectores de posición del punto de ´ que ocasiona la rotación al cuerpo con respecto a un punto fuerza za F aplicación r´ y la fuer en espec&fico. na clase de fuerza se denomina# fuerza de gravedad o peso. Esta fuerza se origina por la atracción de la tierra 0acia los cuerpos que se encuentran en superficie.
´ w
4 @mg * @@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@ @@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@ '8.a(
cuyo modulo
es/R F 4 mg @@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@ @@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@ '8.b( Donde# GgH/ aceleración de gravedad del medio. •
•
•
Ley de inercia de Newton Newton:: todo
cuerpo permanece en el estado de estado de reposo o en el estado estado de de movimiento movimiento con con velocidad velocidad constante# constante# siempre que no exista agente externo 'fuerza ' fuerza(( capaz de modificar dic0os estados. Fuerza: es todo aquello capaz de modificar el estado original de los cuerpos. estas fuerzas pueden ser de acción directa 'fuerza externa aplicada directamente sobre un cuerpo( o de acción a distancia 'como por e*emplo las fuerzas gravitacionales# gravitacionales# electromagn$ticas# fuertes y d$biles(. quilibrio: se dice que un cuerpo esta en equilibrio si este permanece en reposo o en movimiento con velocidad constante. n cuerpo se encuentra en equilibrio cuando no sufre cambio cambio ni ni en su estado de reposo ni en su movimiento de traslación ni en el de rotacion. en consecuencia se dice que un cuerpo esta en equilibrio/ 8.@ cuando esta en reposo o se mueve con movimiento uniforme3 y 9.@ cuando no gira o lo 0ace con velocidad constante.
•
!ondiciones de equilibrio:
•
E!"ili#rio de "a $art%&"la/ a condición necesaria y suficiente para que una part&cula
•
permanezca en equilibrio 'en reposo( es que la resultante de las fuerzas que act%an sobre ella sea cero. !aturalmente con esta condición la part&cula podr&a tambi$n moverse )on velocidad constante# pero si está inicialmente en reposo la anterior es una condición necesaria y suficiente. E!"ili#rio de " &"er$o r%'ido: En el desarrollo desarrollo de de la estática consideraremos situaciones de equilibrio de cuerpos r&gidos# es decir que no se deforman. En rigor no existen cuerpo sin deformables# de manera que la aplicación de las leyes de la estática es una aproximación que es buena si las deformaciones son despreciables frente a otras dimensiones del problema. El tema de la estática de cuerpos deformable es el tema t ema de otros cursos. +i el cuerpo r&gido permanece en equilibrio con el sistema sistema de de fuerzas exteriores aplicado# aplicado# entonces para que todas las part&culas est$n en equilibrio es suficiente que tres de sus part&culas no colineales est$n en equilibrio. as demás no pueden moverse por tratarse t ratarse de un cuerpo r&gido. as condiciones ba*o las cuales un cuerpo r&gido permanece en equilibrio son que la fuerza externa resultante y el torque externo resultante respecto a un origen arbitrario son nulos# es decir/ III.
INSTRUMENTOS DE (ABORATORIO: • • • • •
na computadora
• • • •
8 *uego de pesas na escuadra o transportador na regla de 8m )uerdas inextensibles •
IV.
N.
PROCEDIMIENTO ) ACTIVIDAD: A. E!"i E!"ili li#r #rio io de rota&i rota&i* *::
a. Nerifi Nerificar car la conex conexión ión e instal instalació aciónn de la inter interface. face. b. -ngresar al programa programa Data Data +tudio +tudio y seleccionar crear experimento experimento e instalar instalar el sensor de fuerza. c. -nstal -nstalar ar el el equi equipo po 'la figura figura(. (.
N-. correspondientes masas m ᵢ de las pesas que se Registre los valores de las correspondientes
->.
>-.
muestran en la figura3 as& mismo# registre los valores de las distancias de los puntos de aplicación al punto de contacto del cuerpo r&gido con el soporte universal '(. ᵢ N--. Registre tambi$n la lectura observada a trav$s del sensor de fuerza y el ángulo de inclinación del cuerpo r&gido con respecto a la superficie de la masa. N---. procedimiento veces 0aciendo variar los valores de las masas m ᵢ. Repita este procedimiento para cada cuerda que contiene al sensor de fuerza. Bodo este dato anote en la Babla 8 >. B. E!"il E!"ili#r i#rio io de tra+la tra+la&i* &i* Repita los pasos a( y b( de la conexión anterior.
>--. >---. >-N. -nstale el equipo de la figura/ Nerificar que la argolla se encuentre en el punto de equilibrio solo por la acción de las cuerdas con sus respectivas pesas. >N.. >N ´ en el sensor de fuerza os pesos W ´ ? W ´ y la fuerza de tensión t ensión T representan la acción de tres fuerzas concurrentes. os ángulos 5 ₁ # 5₂ y 5₃ ´ ( indican el sentido y la dirección de estas tres 'para la fuerza de tensión T
• •
•
₁
fuerzas concurrentes. >N-.
₂
)uando logra instalar el equipo en la posición mostrada empiece a registrar sus datos. >N--. que la fuerza de tensión t ensión registrado por el sensor de fuerza este en dirección vertical. •
•
XVIII.
TABLA 1
>->. ,,IV. ,,I.
,,. -
m i/ ,,II. ' 0
m 1i/,,III. '0
m2i/' 0
>>>-N. >>>-. 8 K J>>>--. g
,,,.
J Jg>>>---.
8Og
>-N.
>-. 8 9 J >--. g
,(. 1
I Jg > > ---.
8Og
-N.
-. 9 J --. g
(. 2
8 Kg ---.
8Og
>-N.
>-. (,. 3 >>.
I J >--. g
88 Kg > >---.
8Og
( i / & m,,V. 0
8 I . J >c>>N. m 8 I . J c >N. m 8 I . J c N N.. m 8 I . J c >N. m
a long longititud ud '( '( y masa masa 'm( 'm( de la regl regla/ a/ Q.O8mCs9( (,,I.
,,VI.
(1i/ &m0
,(,VII. ( 2 3 i ,i,VIII. / / & & m m 0 0
T i / ,,I,. N 0 Ɵi
>>>N--. >>>N-. Jc m >N-. Jc m N-. Jc m >N-. Jc m
4 8m
>>J>N---. I . . O J 8 c c >>>->. L m m !8KP >N--. >JN---. I . . O J c c >->. O m m ! 8KP N--. JN---. J I . . O J 9 c c K ->. m m ! 8K.9P >N--. J>N---. I . # O J L c c >->. O m m ! Q.LP
m 4 K.9I K.9Inn
'g 4
Ɵ (,i,VIII.
Ɵ1 (i,,I,.
TAB(A 1
>>--. (,,III.
(-,,IV.
m/'(,,V.
m1/'(0,,VI.
T/(N,,VII.
Ɵ2i
ewt o0
0
8>>>-.
JJ>>>--.
>>>---. L.L
>>>N--. >9>>N---.
Lg>>>->.
L.J >).
>>>.
>)-N. )-.
)N---.
>)N.
JJg >)N-.
9Kg )---.
)--.
>)N--. 9J.J )-N.
K.8>J>>-N. ! >)-. K.OJ K.>K)N---. )N. K.LQ
8K>>>N. P 8KK P >)--. >)->. 88KP 8K P )N-.
8>K>>N-. P >)---. QKP 8K ). P )N--. 88KP
89K P 8IK P 89K P 89K P
68# m9/ masa de las pesas# con las cuales se obtiene los pesos# mediante la ecuación
)->.
C,. CUESTIONARIO C,I.
E4UI(IBRIO DE ROTACI5N:
"# $a%a el el dia%rama dia%rama del sistema sistema de fuerza fuerza que que actúan actúan sobre sobre el cuerpo cuerpo rí%ido y formule ecuaciones de equilibrio para el sistema# !onsiderar tambi&n el peso del cuerpo rí%ido 're%la(# CXII.
C,III. C,IV. C,V.
ESCA(ARMENTE:
)>N-. T ´ ₐS"ₐScos5
4
ᵤ
´ₑ T
67 StSsen5 4 ₁S"₁Scos5 = ₂S"₂Scos5 =2=
)>N--. C,VIII.
VECTORIA(MENTE:
)>->.
´ T
)>>.
T ´
)>>-. )>>--. )>>---.
4
4 T ´ 4 B₁ = B₂ = B₃ = Br
ᵤ
ₑ
´ ᵢ 4 T L´₁
´₁ W
´ ´r∗T
´ ᵢ∗W ´ ᵢ L
4 '₁Scos5# ₁Ssen5# K( 4 'K# F₁# K(
T ´
)>>-N.
₁
4
i L ₁ COSθ 0
L ₁ cosθ∗0− 0∗0
j L ₁ senθ W ₁
k
−(−W )∗0 (i–' 4 ' L senθ∗0 −(−
0
₁
0
₁
(*
='
L ₁ cosθ∗(−W ₁ )− L ₁ senθ∗0
(;
)>>N. T ´ ₁
)>>N-.
−W
4 'Ki @K *=
7 T ´
₁
L ₁ cosθ∗¿
(;(
₁
L 7 4 √ L
₁
cosθ∗W ₁
)>>N--. )# !onoci !onociend endo o los valo valores res de los los pesos pesos
´₁ W
´ * W ₂ +
´ ₃ las distancias Li y W
el ,n%ulo de inclinaci-n .* determine analíticamente analíticamente el valor de la fuerza de tenci-n
´ T
vectorialmente# vectorialmente#
)>>N---. ´ T
)>>->. ´₁ W
´ L
/
´ 4'K#"#K( 4 'lcosTi#lsenT*#K;( y W
,
4 @mg * T ´ ₁
)>>>.
4
´ L∗¿ W ´¿
i j L ₁ cosθ L ₁ senθ W ₁ 0
4
k 0 0
4 'lsenT'K(@'@"('K((i – 'lcosT'K(@o'K((* =
'lcosT'@"(@lsenT'K((; )>>>-.
´ T
´ 4 'U'@"(UcosT (; @@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@ 4 L´ S W @@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@
)>>>--.
´ Tt
4t S Bt4 ˀ
'8.8(
>>---. •
C,,,V.
C,,,IV. DEMOSTRACION :
8Ƭᵢ69.
)>>>N-. 848.IJm# 94J.Jm# 4I.IJm# 4K.8m# r4 K.. ? F84K.8KJ!# F94K.KJJ!# F4K.K9J!# Fr 48.KK8!. 48.KK8!. )>>>N--. )>>>N---. )>>>->.
T ´ ₁ T ´ ₁
´ Tr
4 l´ U w´ ₁
4 4
l´₁
´ lr
U w´
₁
4 l₁S"₁Scos5
₁
48.IJU '@K.8KJ( Ucos'8P( 4 'K#K#@K.8I( 7Ƭ874K.8I
´ 4K.U '@8.KK8( Ucos'8P( 4 'K#K#@K.O( U wr
7Ƭr74K.O
T ´ ₂
)>.
´ T
3
)>-.
l´₂
4 4
l´₃
U U
w´ ₂ w´ ₃
4J.JU '@8.K( Ucos'8P( 4 'K#K#@J.( 7Ƭ974J. 4I.IJU '@K.J( Ucos'8P( 4 'K#K#@.KL( 7Ƭ74.KL
)>--. •
C,(III. C,(IV.
)>N. CXLVI.
8Ƭᵢ69.
Por lo tato:
Bt4 K.8I=K.O=J.=.KL K.8I=K.O=J.=.KL Tt=9.95N
CXLVII.
C,(VIII. DEMOSTRACION 1: C,(I,.
). 848.IJm# 94J.Jm# 4I.IJm# 4K.8m# r4K.m. y F84K.89J!# F94K.KLJ!# F4K.KJ!# Fr48.KK8!. Fr48.KK8!. )-.
T ´ ₁
)--. )---.
T ´ ₁
)-N. )N. )N-. )N--.
C(VIII.
)->. )>. )>-. CLXII.
4 l´ U w´ ₁
₁
4 l₁S"₁Scos5
4 l´ U w´ 48.IJU '@K.89J( Ucos'8P( 4 'K#K#@K.98( ´ 4 lr ´ ´ 4K.U '@8.KK8( Ucos'8P( 4 'K#K#@K.Q( Tr U wr T ´ 4 l´ U w´ 4J.JU '@K.KLJ( Ucos'8P( 4 'K#K#@K.( T ´ 4 l´ U w´ 4I.IJU '@K.KJ( Ucos'8P( 4 'K#K#@K.( ₁
₁
7Ƭ874K.98 7Ƭr74K.Q
₂
₂
₂
7Ƭ974K.
₃
₃
₃
7Ƭ74K.
Por lo tato:
Bt4 K.98=K.Q=K.=K. K.98=K.Q=K.=K. Tt = 1.26N.
)>---.
C(,IV.
DEMOSTRACION 2
)>N. )>N-. 848.IJm# 94J.Jm# 4I.IJm# 4K.8m# r4K.m. y F84K.K9J!# F94K.KJ!# F4K.KJJ!# Fr48.KK8!. )>N--.
T ´ ₁
4
l´₁
U w´
₁
4 l₁S"₁Scos5
T ´ 4 l´ U w´ 48.IJU'@K.K9J(Ucos'8P( )>N---. 48.IJU'@K.K9J(Ucos'8P( 4 'K#K#@K.K9( 7Ƭ87 4K.K9 ´ 4 lr´ U wr ´ 4K.U'@8.KK8(Ucos'8P( Tr )>->. 4K.U'@8.KK8(Ucos'8P( 4 'K#K#@K.O( 7 Ƭr74K.O T ´ )>>. 4 l´ U w´ 4J.JU'@K.KJ(Ucos'8P( 4J.JU'@K.KJ(Ucos'8P( 4 'K#K#@K.8O( 7 Ƭ97 4K.8O T ´ )>>-. 4 l´ U"₃4I.IJU'@K.KJJ(Ucos'8P( 4I.IJU'@K.KJJ(Ucos'8P( 4 'K#K#@K.8( 7Ƭ74K.8 ₁
₁
₁
₂
₂
₂
₃
₂
)>>--.
C(,,III.
Por lo tato:
)>>-N. )>>N. )>>N-.
Bt4 K.K9=K.O=K.8O=K.8 K.K9=K.O=K.8O=K.8
CLXXVII.
Tt = 1.012N
)>>N---. C(,,I,.
EMOSTRACION 3
)>>>. )>>>-. 848.IJm# 94J.Jm# 4I.IJm# 4K.8m# r4K.m. y F84K.KIJ!# F94K.KJJ!# F4K.KIJ!# Fr48.KK8!.
)>>>N. 4K.9O )>>>N-. 4K.JI )>>>N--. )>>>->.
CXC.
₁
T ´ ₁
)>>>---. 4K.89 )>>>-N.
C(,,,VIII.
4 l´ U w´
T ´ ₁
)>>>--.
4
l´₁
U w´
₁
4 l₁S"₁Scos5
₁
48.IJU'@K.KIJ(Ucos'8KP( 48.IJU'@K.KIJ(Ucos'8KP( 4 'K#K#@K.89( 7 Ƭ87
´ 4K.U'@8.KK8(Ucos'8KP( 4 lr´ U wr 4K.U'@8.KK8(Ucos'8KP( 4 'K#K#@K.Q( 7 Ƭr74K.Q T ´ 4 l´ U w´ 4J.JU'@K.KJJ(Ucos'8KP( 4J.JU'@K.KJJ(Ucos'8KP( 4 'K#K#@K.9O( 7 Ƭ97
´ Tr
₂
₂
₂
T ´ ₃
4
l´₃
U w´
₃
4I.IJU'@K.KIJ(Ucos'8KP( 4I.IJU'@K.KIJ(Ucos'8KP( 4 'K#K#@K.JI( 7 Ƭ7
Por lo tato:
Bt4 K.89=K.Q=K.9O=K.JI K.89=K.Q=K.9O=K.JI ¿ T ´ ∨¿ = 1.36N. ₁
C,CI. /# 0eter 0etermin mine e el m-dulo m-dulo de la tensitensi-n n 1allad 1allada a en la pre%unt pre%unta a anterior anterior y compare compare este valor con el valor e2perimental estimando el error relativo porcentual para cada evento# !3!44#
)>)---. )>)-N. )>)N--. )). ))---. ))N-. ))->. ))>.
E*emplo 8
ErV 4
Bi'!( L.9 I.O J.9J L.IO /
l error relativo5:
)>)N. )>)N---. ))-. ))-N. ))N--.
¿ Vt −Ve ∨ ¿
Vt
¿
Bi'!( J.8 L.KI J.OL J.JI
S8KK )>)N-. )>)->. ))--. ))N. ))N---.
error V 8I.J889 9Q.8JQOK9 8K.KQJJL 98.I9J8OQ
Er 4 7 ' J.[email protected]( 7C J.8x 8KKV 4 Er 4 8I.J8 V
))>-.
E*emplo 9
/
Er 4 7 ' [email protected]( 7C L.KIx 8KKV 4 Er 4 9Q.8J V
))>--.
E*emplo
/
Er 4 7 '[email protected]( 7CJ.OL x 8KKV 4 Er 4 8K.K V
))>---.
E*emplo
/
Er 4 7 '[email protected]( 7CJ.JI x 8KKV 4 Er 4 98.I9 V
))>-N. 3. 0etermine tambi&n la fuerza de reacci-n '6( en el punto de apoyo o 'fi%ura "#7(# esta fuerza debe tener una pendiente de inclinaci-n# mplee la si%uiente tabla para resumir sus sus respuestas#
))>N. -. --. ))>N-.VIII. nP IX. ))>N---.
---.
-N. XI.
Bi
X.
BXi
YZ BiY
N. XII. XIX.
N-. Rxi L.9 I9 QQ Q.KO O I
XIII.
N--. Ryi
XIV. XXI.
@ J. XVII. L.9XVIII. K.Q XV.. XVI. XV 8.KI8LO9 8 8 QJ XXVI. XXVII. @ XXII.XXIII. XXVIII. L.XXIV. I.O XXV. 8.I K.IQ899J ))>>---. 9 KI I 8 @ XXXIV. J.XXXI. J.9XXXII. K.LXXXIII. J.9J XXIX. XXX. K.LJO8QJXXXV. OL J 8 9Q8 JK XL. XLI. J.OI8 @ XLII. XXXVI. XXXVII. XXXVIII. XXXIX. J. L.I 8.9 88Q K.JOQ9LI JI O 8 QI9 de# de# Bi y BH/ BH/ fuer fuerza zass de tenc tenció iónn dete determ rmin inad adas as teó teórica rica y en el respectivamente. ))>>-N. 7WT ᵢ747Bᵢ@BHᵢ7/ diferencia diferencia entre dos dos valores. valores. ))>>N. Rᵢ/ módulo de la fuerza fuerza de reacción. reacción. ))>>N-.
CC,,VII.
XX.
Ri ))>N--. J.8I KLKK ))>->. ))>>. ))>>-. O.9Q ))>>--. Don 88L .JQ I8IJ J.9O8 OIQ J labo labora rato toririo# o#
E4UI(IBRIO DE TRAS(ACI5N:
!!338444#
9# labore labore la la equivale equivalencia ncia entre los ,n%ulo ,n%ulos s ;ᵢ y ᵢ represen representado tados s en las fi%uras 9#"< y 9#"b* con estos valores de ᵢ = F';ᵢ( tiene que efectuar efectuar los c,lculos#
))>>->.
sen'5H@5( 4 sen '5H(
))>>>. CC,,,I.
EJEMP(O
))>>>--.
´ T
4 'tScos'8OKP@ 8KKP(# tSsen'8OKP@ tSsen'8OKP@ 8KKP(( 3
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'"₁Scos'9IKP@ 9KP(# " ₁Ssen'9IKP@ 9KP(( 3
t 4 K.98 "₁ 4 K.JJ
´ ₁ 4 '"₁S'@cos'KP((# "₁S'@sen'KP((( W
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´₂ W
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"₂ 4 K.J
´ 4 '"₂Scos'KP(# "₂S'@sen'KP((( W ))>>>N--. ₓᵢ ))>>>N---. R 4 f ₓᵢ ))>>>->. R 4 'K.98S'@cosOKP( 'K.98S'@co sOKP( = K.JJS'@cosKP( K.JJS'@cos KP( = K.JScosKP(i K.JScosKP( i ))>. R 4 @ K.K ))>-. RH 4 f ᵧ ))>--. RH 4 'K.98senOKP = K.JJ'@senKP( = K.J'@senKP((* K.J'@senKP ((* ))>---. RH 4 @K.Q ))>-N. ₂
CC,(V.
EJEMP(O 1
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4 '"₂S'cos'9KP((# S'cos'9KP((# "₂S'@sen'9KP((( ₓᵢ R 4 f ₓᵢ R 4 'K.8J'@cos'KP(( 'K.8J'@cos'KP(( = K.J'@cos9KP( = K.Jcos9KP(i R 4 @ K.88J RH 4 f ᵧ RH 4 'K.8JsenKP = K.J'@sen9KP( K.J'@sen9KP( = K.J'@sen'9KP((* K.J'@sen'9KP((* RH 4 @K.9I
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"₁ 4 K.8Q
4 '"₁S'@cos'JKP((# "₁S'@sen'JKP((( 4 '"₂Scos'LKP @ 9KP(# " ₂Ssen'LKP @ 9KP(( 3
"₂ 4 K.98
4 '"₂S'cos'KP((# S'cos'KP((# "₂S'@sen'KP(((
R 4 f ₓᵢ ₓᵢ R 4 'K.98cosQKP 'K.98cosQKP = K.8Q'@cosJKP( = K.98cosKP(i R 4 K.K.Q RH 4 f ᵧ RH 4 'K.98senQKP = K.8Q'@senJKP( = K.98'@senKP((* RH 4 @ K.KIK
))>>--. CC(,,III.
))>>-N.
EJEMP(O 3
´ T
4 'tScos'8OKP 'tScos'8O KP @ 88KP(# tSsen'8OKP @ 88KP(( 88KP(( 3
t 4 K.8J
´ T
))>>N.
4 'tS'@cos'IKP((# 'tS'@cos'IKP((# tS'sen'IKP(((
´ ₁ W
))>>N-.
4 '"₁Scos'9IKP@ Scos'9IKP@ 99KP(# "₁Ssen9IKP@ 99K(( 3
))>>N--.
´ T
4 '"₁S'@cos'JKP((# "₁S'@sen'JKP(((
))>>N---.
´ ₂ W
4 '"₂Scos'LK @ KP(# " ₂Ssen'LKP @ KP(( 3
))>>->. ))>>>. ))>>>-. ))>>>--. ))>>>---. ))>>>-N. ))>>>N.
´₂ W
"₁ 4 K.9L
"₂ 4 K.J
4 '"₂S'cos'9KP((# ₂₁S'@sen'9KP(((
ₓᵢ R 4 f ₓᵢ R 4 'K.8J'@cos'IKP( 'K.8J'@cos'IKP( = K.9L'@cosJKP( = K.Jcos9KP(i R 4 K.88K RH 4 f ᵧi RH 4 'K.8JsenIKP = K.9L'@senJKP( = K.J'@sen9KP((* RH 4 @K.8IO
># 0escompo 0escomponer ner a las fuerza fuerzas s ?"* ?) y T en sus compone componentes ntes orto%on orto%onales ales del plano cartesiano 3 @ +# +# las componentes componentes en direcci-n 1orizontal 1orizontal y vertical de estas se determinan median iante las ecuacion iones '"#/a #/a( y '"#/b( respectivamente#
))>>>N-. ))>>>N--. ´ ᵢ 4 'tcos5# tsen5( T
))>>>N---.
´ ₁ 4 ' "₁cosT# "₁senT( W
))>>>->.
´ ₂4 W
))>).
'"₂cos[# "₂sen[(
))>)-. R 4 fₓᵢ ))>)--.
´ R
4 'tcos5 = "₁cosT = "₂cos[(i
))>)---. RH 4 f ᵧ ))>)-N.
´ R
H 4 'tsen5 = "₁senT = "₂sen[(*
))>)N. CC,CVI.
EJEMP(O
))>)N--.
´ T
))>)N---.
´ ₁ 4 '"cos9KP# "sen9KP( 3 " 4 K.JJ W ´ W
))>)->. ))).
4 'tsen8KKP# tcos8KKP( 3 t 4 K.98
4 '"sen9KP# "cos9KP( 3 " 4 K.J R 4 f ₓᵢ ₓᵢ
)))-.
R 4 'K.98sen8KKP = K.JJcos9KP = K.Jsen9KP(i K.Jsen9KP( i
)))--.
R 4 'K.8 'K.888O = '@K.J '@K.J( ( = '@K. '@K.I(( I(( / R 4 @ K.JO K.JO99
)))---.
RH 4 f ᵧ
)))-N.
RH 4 'K.98cos8KKP 'K.98cos8KK P = K.JJsen9KP = K.Jcos9KP(* K.Jcos9KP( *
)))N.
RH 4 '@K.KL – K.98 – K.I( / RH 4 @ K.OK
)))N-. CCCVII.
EJEMP(O 1
)))N---. )))->. )))>.
´ T
4 'tsen8KP# 'tsen8KP# tcos8KP( tcos8KP( 3 t 4 K.8J K.8J
´₁ W
´ W
)))>-.
4 '"cos9JKP# "sen9JKP( 3 " 4 K.J 4 '"senKP# "cosKP( 3 " 4 K.J ₓᵢ R 4 f ₓᵢ
)))>--.
R 4 'K.8Jsen8KP = K.Jcos9JKP = K.JsenKP(i
)))>---.
R 4 @K.QO
)))>-N.
RH 4 f ᵧ
)))>N.
RH 4 'K.8Jcos8KP = K.Jsen9JKP = K.JcosKP(*
)))>N-.
RH 4 '@ K.88 – K.JKI = K.JKI( / RH 4 @ K.88
)))>N--. CCC,VIII.
EJEMP(O 2 CCCXIX.
´ = (tcos90°, tsen90°) ; t = 0.21 T
)))>>.
´₁ W
)))>>-.
´ W
)))>>--.
4 '"cos99KP# "sen99KP( 3 " 4 K.8Q 4 '"sen9KP# "cos9KP( 3 " 4 K.98 ₓᵢ R 4 f ₓᵢ
)))>>---.
R 4 'K.98cosQKP = K.8Qcos99KP = K.98sen9KP(i K.98sen9KP(i
)))>>-N.
R 4 'K – K.8J – K.8( / R 4 @K.9IQ
)))>>N.
RH 4 f ᵧ
)))>>N-.
RH 4 'K.98senQKP = K.8Qsen99KP = K.98cos9KP(* K.98cos9KP( *
)))>>N--. )))>>N---. )))>>->.
RH 4 'K.98 – K.899 = K.8LK(
/ RH 4 K.9O
EJEMP(O 3
)))>>>.
´ T
4 'tsen88KP# tcos88KP( 3 t 4 K.8J
)))>>>-. )))>>>--.
´₁ W
´ W
)))>>>---.
4 '"cos99KP# "sen99KP( 3 " 4 K.9L 4 '"senKP# '"senKP# "cosKP( "cosKP( 3 " 4 K.J ₓᵢ R 4 f ₓᵢ
)))>>>-N.
R 4 'K.8Jsen88KP = K.9Lcos99KP = K.JsenKP(i
)))>>>N.
R 4 'K.8K – K.8QQ – K.88Q(
)))>>>N-.
R 4 @ K.8IO
)))>>>N--.
RH 4 f ᵧ
)))>>>N---.
/
RH 4 'K.8Jcos88KP = K.9Lsen99KP = K.JcosKP(* K.JcosKP( *
)))>>>->.
RH 4 '@K.KJ8 – K.8LI = K.9O( )))>.
/
RH 4 K.88
)))>-. A# !alcule !alcule la suma suma de los compon componente entes s en el eBe 3 y en el el eBe + por por separado* separado* e2pliq e2plique ue cada cada uno de estos estos resul resultad tados os obteni obtenidos dos## labor labore e una tabla tabla de resumen* para ello considere el si%uiente modelo:
CCC,(II. !!!3L444#
Ta#la .2
CCC,(VI. CCC(. CCC(II. SUM CCC,(IV. CCC,(V. CCC 1 ,(VII. T CCC,(I,. 1 ATO ATO N; ; CCC;,(VIII. y CyCC(I. Ty RIA )))N. @ )))->. @)))>. @ )))-N. @ )K.))N-. K. )))N---. @ K. K. K.8 8Q ) 8O))N--. @ K.9 JK 8K )))>-. @ KI O8 8K K. K8I 8O L K.OK )))---. K I9 OL 89 IJ8 O L QQJK 8 99 K QL LJ LI IO L9 )))>-N. )@))>N. ))@ )>N-. @ )))>N---. @ )))>---. @ K. K. )K. ))>N--. @ ))K.)>->. K. K.K J K9 JQ K.J K9 8 )))>>. @ 9 QK QL 9J QK O IK K.8 )))>--. OI 98 I9 L 98L I8 J JOJL 9 88 LO K OJ O 8 QJ OI )))>>---. ))) @ >>-N. @ )))>>N--. @ )))>>--. K.8 K. ))K. )>>N. ))K). >>N-. @ )))K. >>N---. K. O9 KI KQ K8 K.K 8Q 8O)))>>->. @ IK JL K 9Q LO 8L II K.K )))>>-. LO LJ QJ J IK 88 Q KI9 I LQ L I9 I9 8 )))>>>--) . ))@>>>---) . ))@ >>>-N. @ )))>>>N)-.))@>>>N--. @ )))>>>-. K.9 K. K. ))K. )>>>N. @ K. K. JK 89 8 K9 K.K K8 )KK ))>>>N---. @ K8 QI QO QJ JK JL LL K.KI )))>>>. QQ 89 J J J 9 L 9I8J L8 89 O I O 3
)))>>>->.
)))>).
Donde Donde 1ₓᵢ y 1ᵧᵢ / repres represent entan an a las las compo componen nentes tes 0ori 0orizon zontal tal y vert vertica icall de las las fuerza fuerzass que act%an sobre el sistema.
)))>)-. C# 0etermine 0etermine el error error absoluto absoluto de las las sumator sumatorias ias para para el eBe D3; D3; y D+; D+; !!!3!44#
CCC,CIII.
E( ERROR ABSO(UTO <,= y <)=
)))>)-N.
7N˕ @ Nₑ7 / Error absoluto
CCC,CV.
)))>)->. )D---. )DN--. )D>-. )D>N.
EJE , CCC,CVI.
@K.JO9 @K.QO @K.9IQ @K.8IO
EJE C )CC,CVII.
)D. @K.OK )D-N. @K.88 )DN---. K.9O )D>--. K.88
)D-. )DN. )D->. )D>---.
>V˕ ? Vₑ> e@e ; CCC,CVIII.
>V˕ ? Vₑ>e@e y
@K.JIL89LQ )D--. K.KKJQJKL8J K.KQOILOJ )DN-. K.K8OJLOLO @K.9Q8QJI9 )D>. K.9OOI9 @K.8OJ9 )D>-N. K.8O9I8JIL
E# scriba scriba cuantitat cuantitativam ivamente ente las coordena coordenadas das del vector vector resultant resultante e y el vector tensi-n para el movimiento rotacional#
)D>N-.
En este caso se 0izo la descomposición de vectores para 0allar la resultante/
)D>N--. De los e*emplos de E!"ili#rio de tra+la&i* 0allando los valores en un cálculo teórico se 0alló lo siguiente/ CD,VIII.
RESU(T CD,I,. ANTE
R6
CD,,I.
R 6 )D>>--.
)D>>---. K.JQI9IIKJ
CD,,IV.
R 6 )D>>N.
CD,,VII.
R 6 )D>>N---.
CD,,,.
R 6 )D>>>-.
)D>>>---.
/ , CD,,.
)0
K.88I K )D>>N-. @ K.IKQQ9OII K.OJ IOJ8 )D>>->. @ K.8L99KQ K.8L9 II8 )D>>>--. @ K.KJQ9LI K.J9Q O8
"# !ite al%unos eBemplos sobre sobre la aplicaci-n de vectores vectores en el espacio espacio tridimensional#
)D>>>-N.
M*d"lo del e&tor:
)D>>>N. )D>>>N-.
´ L
4 'lcosTi#lsenT*#K;( 'lcosTi#lsenT*#K;( T ´ ₁
4 L´ S
´ W
y
´ W
4'K#"#K(
)D>>>N--.
T ´
₁
4
L ₁ cosθ∗0− 0∗0
i L ₁ COSθ 0
(* ='
j L ₁ senθ W ₁
k 0 0
−(−W )∗0 (i–' 4 ' L senθ∗0 −(− ₁
L ₁ cosθ∗(−W ₁ )− L ₁ senθ∗0
₁
(;
)D>>>N---. CD,,,I,.
CD,(. CD,(I.
)D>--.
CONC(USIONES: En conclusión podemos decir que el equilibrio# que en todo cuerpo y en todo
momento y a cada momento están interactuando interactuando diferentes tipos tipos de fuerza# las cuales ayudan a los cuerpos a realizar determinados movimientos a mantenerse en estado de equilibrio# ya sea estático o dinámico. dinámico. Despu$s de 0aber estudiado y analizado diferentes e*emplos reales de equilibrio# podemos llegar a la conclusión de que en todo cuerpo y en todo momento y a cada momento están interactuando diferentes tipos de fuerza# las cuales ayudan a los cuerpos a realizar determinados determinados movimientos o# a mantenerse en estado de equilibrio# ya sea estático o dinámico. dinámico. BIB(IORAFIA • • •
CDXLIII.
Humberto Leyva “Fisica 1” Ranymond Serway “Fisica vol 1” J.GOM! F.
