TINGO MARIA - 2018
Introducción Hasta ahora se ha supuesto que la atracción ejercida por la Tierra sobre un cuerpo rígido podía representarse por una sola fuerza W. Esta fuerza, denominada fuerza de gravedad o peso del cuerpo, debía aplicarse en el centro de gravedad del cuerpo que es el punto de aplicación de la resultante de todas las fuerzas de gravedad que qu e actúan sobre las distintas masas de un cuerpo, de tal forma que el momento respecto a cualquier punto de esta resultante aplicada en el centro de gravedad es el mismo que el producido por los pesos de todas las masas materiales que constituyen dicho cuerpo. En otras palabras, el centro de gravedad de un cuerpo es el punto respecto al cual las fuerzas que la gravedad ejerce sobre los diferentes puntos materiales que constituyen constit uyen el cuerpo producen un momento resultante nulo. De hecho, la Tierra ejerce una fuerza sobre cada una de las partículas que constituyen al cuerpo. En este sentido, la acción de la Tierra sobre un cuerpo rígido debe representarse por un gran número de pequeñas fuerzas distribuidas sobre todo el cuerpo. Sin embargo, la totalidad de dichas fuerzas pequeñas puede ser reemplazada por una sola fuerza equivalente W. Esta fuerza distribuida no es más que un sistema de fuerzas paralelas cuya resultante es la suma de todas las fuerzas elementales que la componen y cuyo punto de aplicación aplicaci ón se calcula mediante la aplicación del Teorema de momentos: la suma de momentos de las fuerzas es igual al momento de la resultante. Un diagrama de carga distribuida en realidad está representando un sistema de fuerzas paralelas. Por tanto, para hallar hall ar su resultante, basta aplicar los conceptos vistos vis tos para este tipo de sistemas. ♦ El centroide es un punto que define el centro geométrico de un
objeto. Su localización puede determinarse a partir de fórmulas semejantes a las utilizadas para determinar el centro de gravedad o el centro de masa del cuerpo. El momento de inercia de un área se origina cuando es necesario calcular el momento de una carga distribuida que varía linealmente desde el eje de momento. Un ejemplo característico de esta clase de carga lo tenemos en la carga de presión debida a un líquido sobre la superficie de una placa sumergida. Cuando las fronteras de un área plana pueden expresarse mediante funciones matemáticas, las ecuaciones pueden integrarse para determinar los momentos de inercia para el área. Si el elemento de área escogido para la integración tiene un
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tamaño diferencial en dos direcciones, debe efectuarse una doble integración para evaluar el momento de inercia.
Fuerza Distribuida Es una fuerza que involucra una porción substancial del área superficial del volumen del cuerpo sobre el que actúa. En las situaciones tratadas hasta el presente, se han considerado fuerzas que tienen un punto de aplicación muy definido, sea porque esto ocurre estrictamente (cable) o, porque esta presunción es permisible hacerla dado que el área de aplicación de la fuerza es muy pequeña comparada con las demás dimensiones involucradas en el problema. Sin embargo, no es cierto que en todos los casos puedan encontrarse puntos definidos de aplicación para las fuerzas actuantes. De hecho, la fuerza ejercida por el agua sobre el fondo de un tanque o sobre sus paredes no actúa sobre puntos específicos sino sobre toda el área. Igual situación ocurre con la presión del viento y de la tierra y con el peso propio de elementos estructurales como vigas, muros y placas.
Comparemos las fuerzas concentradas y las distribuidas.
Fuerzas Concentradas
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Fuerzas Distribuidas
FUERZA DISTRIBUIDA
FUERZA DISTRIBUIDA
SOBRE LA PARED
SOBRE EL FONDO
TANQUE
PESO PROPIO DE LA VIGA
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Fuerzas distribuidas sobre una placa o losa. Los diagramas de fuerza distribuida pueden ser uniformes, linealmente variables o no-linealmente variables.
UNIFORME
LINEALMENTE VARIABLE, NO LINEALMENTE VARIABLE DIAGRAMAS DE CARGA DISTRIBUIDA
Carga uniforme Es la acción del líquido en el fondo de un recipiente. También son cargas distribuidas constantes, el peso propio de un elemento estructural.
Carga linealmente variable Son aquellas cuya variación en una dirección mantienen una función lineal. La presión o carga hidrostática sobre las paredes de un recipiente.
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Cargas variable no linealmente diagramas de carga distribuida Es el caso de la presión del viento sobre una gran superficie.
Fuerza Distribuidas sobre una Superficie Si sobre un plano actúa una carga distribuida en forma normal al mismo, se puede suponer como
un
conjunto
de
infinitas
fuerzas
concentradas de intensidades muy pequeñas y paralelas entre sí. “A” es un punto de la superficie y “F” es un entorno muy pequeño del mismo. Q Llamamos “Q” a la resultante de las infinitas fuerza que actúan en el
entorno F.
Definimos:
Intensidad media de carga distribuida.
Si F es cada vez más pequeño hasta confundirse con “A” .
Intensidad de carga distribuida en el punto.
Cuyas unidades se medirá en unidades de fuerza sobre las de superficie:
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Fuerza Distribuidas sobre un Eje
Vemos que, al analizar la Fuerza Distribuidas, no guarda una relación ni constante ni lineal con respecto al eje en que se distribuye. Como la Fuerza Distribuidas es un conjunto de fuerzas infinitamente muy próximas pequeñas y paralelas, necesitamos conocer su resultante y por donde pasa su recta de acción. Si se tratara de cargas finitas, podríamos recurrir a una solución gráfica por medio del polígono funicular o analítica por medio de las ecuaciones generales de la estática. En este caso procedemos: Q = f (x) “Q” es función de “x” Sistema de fuerzas paralelas de intensidad infinitésima. Su resultante también será paralela. Cuando dx es más chico, más nos acercamos a un valor de q(x).
Fuerza elemental: dR = q(x) dx
Momento Respecto de “0”:
Define la abscisa de un punto de la recta de acción de R.
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Momento de Inercia de Fuerza Distribuida
Estas integrales que se conocen como los momentos rectangulares de inercia del área A, pueden calcularse fácilmente si se escoge para dA una franja angosta paralela a uno de los ejes coordenados. Para calcular Ix, escogemos una franja paralela al eje x, tal que todos los puntos que la componen estén a la misma distancia y del eje x; el momento de inercia dIx de la franja se obtiene, entonces, multiplicando el área dA de la franja por y2. Para calcular Iy, la franja se escoge paralela al eje y tal que todos los puntos que la forman estén a la misma distancia x del eje y; el momento de inercia dIy de la franja es x2dA.
Dx
dIy = x2dA
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Ejemplos de Fuerzas Distribuidas 1. Se tiene una viga de concreto (2400kg/m3) de las dimensiones mostradas:
Peso total de la viga= Volumen x Peso unitario W=3x15x25x2400= 270kg Cálculo del peso de la viga por unidad de longitud (peso de un metro de viga). =270kg/3m=90kg/m
Intensidad de la fuerza distribuida.
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El peso de la viga se puede considerar concentrado en su centro de gravedad por tanto:
2. Un DCL para un segmento pequeño de la viga de longitud ∆x se elige en el punto x que no esté sujeto a una fuerza concentrada o a un momento de par. Los resultados obtenidos no
se aplicarán en
puntos de
cargas
concentradas. Las fuerza internas de corte y los momentos flectores se toman en sentido positivo.
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La carga distribuida se reemplaza por una fuerza resultante ∆F = w(x) ∆x, que actúa a la distancia fraccional k (∆x), desde el extremo derecho, siendo 0 < k <1
Centroide El centro de gravedad es “La suma de los productos de los pesos de cada partícula multiplicada por sus posiciones respectivas dividida entre el peso total del cuerpo”. También se define como el centro geométrico de un objeto. Su ubicación puede ser determinada a partir de fórmulas similares a las usadas para obtener el centro de masa. En particular si el material que compone un cuerpo es uniforme u homogéneo, la densidad o peso específico será constante en todo el cuerpo, y por tanto este término saldrá de las integrales y se cancelará a partir de los numeradores y denominadores de las ecuaciones anteriores. Las fórmulas resultantes definen el centroide del cuerpo ya que son independientes del peso del cuerpo y dependen sólo de la geometría de éste. Se considerarán tres casos específicos: centroides de líneas, de superficies y de masa.
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Centroides de líneas Si la simetría del objeto es parecida a la de una barra delgada o alambre, la relación sería con respecto a una línea, el equilibrio de las torcas o momentos de los diferenciales dL con respecto a cada uno de los ejes coordenados x, y y z resulta en:
Centroides de superficies o áreas De manera similar el centroide del área superficial de un objeto, como una placa o un cascarón, se puede determinar subdividiendo el área en elementos dA y calculándolos de esos elementos de área con respecto a cada uno de los ejes coordenados, esto es:
Centroides de volúmenes Si un objeto es subdividido en elementos de volumen dV, la ubicación del centroide para el volumen del objeto puede ser determinada calculando los momentos con respecto a cada uno de los ejes coordenados. Las fórmulas resultantes son las siguientes:
NOTA: En todos los casos anteriores la localización del centroide no está necesariamente dentro del objeto. También los centroides de algunas formas pueden especificarse parcialmente o completamente usando condiciones de
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simetría. En los casos en los que la forma tiene un eje de simetría el centroide de la forma estará lo largo del eje.
Aplicación del centroide El centroide nos ayuda a encontrar el punto en el que se concentra las fuerzas que actúan sobre una figura irregular, o figuras geométricas no muy conocidas, por ejemplo el centroide nos ayudaría a encontrar el punto en el que se concentran las fuerzas de un puente.
Relación del centroide con el momento En el caso de los puentes el centroide nos ayuda a ver cómo hacer para que si se rompe un cable que sostenga al puente no cree torque la rotura del cable, es decir nos ayuda a equilibrar un puente o figuras irregulares, para que si afecta algo al sistema no suceda nada, que pueda cambiar la figura. Para localizar el centroide de una figura, se utilizan las tablas de centroide, en donde, detallando cada figura para encontrar sus coordenadas primas para el cálculo general, se desarrolla un procedimiento establecido:
Se obtiene el área total de la figura, encontrando su centroide en base a la tabla del indicado, es decir, sus coordenadas primas.
Se extrae cada figura que obstruye exista un objeto con volumen igual en todos los puntos.
Se obtiene el área de la figura extraída, encontrando su centroide en base a la tabla del indicado, es decir sus coordenadas primas, y así, con todas las figuras que conformen el cuerpo geométrico.
Se procede con la siguiente fórmula:
A1t(x1t) - Af1(xf1) - Af2(xf2)... x= A1t - Af1 - Af2 ... A1t(y1t) - Af1(yf1) - Af2(yf2)... y= A1t - Af1 - Af2 ...
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Centro de simetría El centroide de un objeto o figura también puede definirse como un punto fijo del grupo de isometría de dicha figura. Para un objeto, figura limitada o región finita el grupo de isometría no incluye traslaciones y en ese caso si el grupo de isometría no es trivial, sus simetrías pueden determinar el centroide. Sin embargo si para un objeto tiene alguna simetría traslacional el centroide no está definido, porque una traslación no tiene ningún punto fijo.
Los dos métodos más utilizados para el cálculo del Centroide de una figura geométrica plana son: El Método de las áreas. El Método de integración directa.
Ejemplo Centroide
Método de las áreas 1. Calcular la ubicación del Centroide de la siguiente figura geométrica.
Solución: Como primer paso se fija el sistema de coordenadas rectangulares que nos servirá de referencia:
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Posteriormente dividimos la figura en áreas más simples de centroides conocidos.
Calculamos las áreas de las tres figuras conocidas:
Área A1 (Triángulo): Base por altura entre dos.
Área A2 (Rectángulo): Base por altura. A2 = (8)(2) = 16
Área A3 (Rectángulo): Base por altura. A3 = (3)(4) = 12 Los ejes centroidales de una figura plana vienen dados por las siguientes formulas:
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Donde “Ai” es el área de la figura simple estudiada, “Xi” es la abscisa del centroide de dicha figura simple y “Yi” la ordenada del centroide de la misma figura simple. Es bueno recordar que el centroide de un triángulo rectángulo está ubicado a un tercio de su base y a un tercio de su altura.
El centroide de un rectángulo está ubicado a un medio de su base y a un medio de su altura.
Luego, resulta más cómodo determinar los valores de “X” y “Y” del centroide de cada una de las figuras simples para incluirlas en la fórmula respectiva, tomando en cuenta el sistema de coordenadas de referencia.
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Figura 1 (Triangulo):
Figura 2 (Rectángulo):
Figura 3 (Rectángulo):
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Con toda esta información el problema se limita a introducir estos valores en las dos fórmulas:
El Centroide de la figura completa estará ubicado en:
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2. Calcular la ubicación del Centroide de la siguiente figura geométrica.
Solución: El área se obtiene con la suma de un rectángulo, un triángulo y un semicírculo y después se resta un circulo (se sobre entiende que la figura tiene un hueco en forma de circulo).
Área A1 (Rectángulo): Base por altura. A1 = (120)(80) = 9.600 mm2
Área A1 (Triangulo):
Área A4 (Semicírculo):
Área A4 (Circulo): A4=πr2=π(40)2=5.026,55mm2
Área Total= A1 + A2 + A3 – A4 = 13.828,32 mm2 Determinar los valores de “X” y “Y” del centroide de cada una de las figuras simples para incluirlas en la fórmula respectiva, tomando en cuenta el sistema de coordenadas de referencia.
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Figura 1 (Rectángulo):
X1=60 mm Y1=40 mm
Figura 2 (Triangulo):
X2=40 mm Y2= -20 mm Nótese que la coordenada “Y” del centroide del triángulo es negativa para el sistema de coordenadas rectangulares tomado como referencia.
Figura 3 (Semicírculo):
X3=60 mm Y3=105,46 mm
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Figura 4 (Circulo):
X4=60 mm Y4=80 mm Con toda esta información el problema se limita a introducir estos valores en las dos fórmulas:
Debiendo tomar en cuenta que el valor del área del círculo (A4) tendrá signo negativo y el valor de la coordenada “Y” del centroide del triángulo (Y2) también tendrá signo negativo.
Ycentroide = 36,6 mm El Centroide de la figura completa estará ubicado en:
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Método de integración directa: 3. Calcular la ubicación del Centroide de la región acotada por “Y=X2” y “Y=X”
Solución: El primer paso consiste en graficar las dos funciones para determinar cuál queda ubicada arriba y cuál debajo. Igualmente se deben calcular los puntos de intersección de las dos funciones para conocer los índices superior e inferior de la integral definida.
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Una vez hecha la gráfica podemos decir que: f(x) = “Y = X” g(x) = “Y = X2” a=0 b=1 Calculando el área de la región acotada:
Calculando las coordenadas del centroide:
El centroide estará ubicado en el punto (0.5, 0.4)
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4. Localiza el centroide del arco parabólico que forma la estructura de la fachada del edificio mostrado:
Solución Área y brazos de momento La longitud diferencial del elemento dL puede ser expresada en términos de las diferenciales dx y dy usando el Teorema de Pitágoras.
Como x= y2, entonces dx /dy = 2y. Por lo tanto, expresando dL en términos de y y dy, tienes:
El centroide está localizado en x y y.
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Integraciones Aplicando las ecuaciones e integrando con respecto a y mediante las fórmulas anteriores, tienes que:
0.6063/1.479 = 0.410 m 0.8484/1.479 = 0.574 m
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