Elektromagnetizam Amperov zakon Biot-Savartov zakon
1
Ampereov zakon protjecanja • Još Još se se naz naziv iva: a: Amp Amper erov ov kru kružn žnii zak zakon on,, Zako Zakon n pro protj tjec ecan anja ja,, Zakon cirkulacije vektora magnetske indukcije • 1821. André Marie Ampere je došao do zakona koji kaže da je krivuljni integral vektora B po zatvorenoj krivulji L proporcionalan algebarskoj sumi struja obuhva obuhvaćenih tom petljom: n
∫ B dl = µ ∑ I 0
L
k
k =1
2
Ampereov zakon protjecanja • Još Još se se naz naziv iva: a: Amp Amper erov ov kru kružn žnii zak zakon on,, Zako Zakon n pro protj tjec ecan anja ja,, Zakon cirkulacije vektora magnetske indukcije • 1821. André Marie Ampere je došao do zakona koji kaže da je krivuljni integral vektora B po zatvorenoj krivulji L proporcionalan algebarskoj sumi struja obuhva obuhvaćenih tom petljom: n
∫ B dl = µ ∑ I 0
L
k
k =1
2
• konstanta proporcionalnosti µ0 je permeabilnost permeabilnost vakuuma
µ 0=
1
ε 0 c2
= 4π ⋅10−7 [Vs / Am]
• Ampe Ampere reov ov zako zakon n je jeda jedan n od teme temelj ljni nih h zakona elektromagnetizma koji povezuje električnu struju i magnetsko polje koje ta struja stvara.
3
Polje beskonačno dugog ravnog vodiča protjecanog strujom Polje izvan vodiča, r ≥ a n
∫ B dl = µ ∑ I 0
L1
∫
B dl cos 0 0
k
k =1
= µ 0 I
L1
4
Polje izvan vodiča, r ≥ a
∫ B dl cos 0
0
= µ 0 I
L1
∫
B dl
= µ 0 I
L1
B 2r π
= µ 0 I
µ 0 I B = 2r π 5
Polje unutar vodiča, r < a -gustoća struje u vodi ču neka je konstantna
J =
n
∫ B dl = µ ∑ I
I a
0
π
2
k =1
L2
∫
k
B dl cos 0 0
= µ 0 Jr 2π ,
L1
∫
B dl
= µ0
L1
B 2r π
B = µ 0 I
r 2a 2π
Ir 2π a2 π
= µ0
Ir 2π a2 π 6
Polje beskonačno dugog ravnog vodiča protjecanog strujom
7
Magnetske sile između dva vodiča protjecana strujom B1 µ0
= µ0
I 1 2d π
F 12 = I 2 ⋅ (l 2 B2
= µ0
× B1 )
I 2 2d π
F 21 = I 1 ⋅ (l 1
× B2 ) 8
Magnetske sile između dva vodiča protjecana strujom F 12
= I 2l 2 µ 0
I 1 2d π
sin 900
µ0
F 12 F 12 l 2
= µ0
I 1 I 2l 2
= µ0
2d π I 1 I 2 2d π 9
Superpozicija B I1
r 1
⊗ I2
.
r 2 Brez
B2
B1
= µ0
B1
B2
= µ0
I 1 2r 1π I 2 2r 2π
Brez = B1 + B2
10
Magnetski tok φ • φ je tok vektora
magnetske indukcije B kroz plohu S d φ
= B dS
φ = ∫∫ B dS S
• jedinica za magnetski tok je Weber [Wb] 11
Primjer: Tražimo tok u pravokutnoj konturi
φ = ∫∫ B dS a
S
b
S
c
dS x
I
µ 0 I B = 2 xπ
⊗ B
dx
dS = c dx
µ 0 I d φ = BdS = cdx 2 xπ a +b
φ=
∫ a
µ 0 I µ 0 I c a + b cdx = ln 2 xπ 2π a 12
Magnetski tok u homogenom polju • U homogenom magnetskom polju kroz ravnu plohu S magnetski tok će biti jednak
φ = ∫∫ B dS = ∫∫ B dS cos α S
S
φ = B S cos α φ = B S 13
Zakon o konzervaciji magnetskog toka
∫∫ B dS = 0 S
• Magnetski tok kroz zatvorenu plohu UVIJEK je jednak nuli – magnetske silnice su krivulje ztvorene same u sebe – neprekinute su – magnetski tok nema svoj izvor (za razliku od električnog toka) 14
Biot – Savartov zakon • 1820. francuski istraživači Jean-Baptiste Biot i Felix Savart – utvrdili koliku magnetsku indukciju stvara element vodiča dl, protjecan strujom I, na udaljenosti r od vodiča
15
Biot – Savartov zakon T
dB
.
⊗ dB I
r dl
µ 0 I dl × r 0 dB = ⋅( 2 ) 4π r
r 0
• I jakost struje u vodiču • dl element vodiča • r udaljenost točke T od vodiča 16
Magnetska indukcija ravnog vodiča B
I
α1
.
P
.
a
r r 0
α
α2
dl
µ 0 I dl × r 0 dB = ⋅( 2 ) 4π r µ 0 I dl sin α dB = ⋅( 2 ) 4π r
17
Magnetska indukcija ravnog vodiča B
I
. a
α1 1
P
.
r
θ x
2
r 0 dx
α dl
α2 2
2
µ 0 I dl sin α µ 0 I sin α B = ∫ dl ⋅( 2 ) = 2 ∫ 4π r 4π 1 r 1 dl = dx,
x a
= ctg θ ⇒ x = a ctg θ , dx = −
a d θ
sin 2 θ 18
Magnetska indukcija ravnog vodiča B
I
. a
α1 1
P
.
r
θ x
d θ
= −d α ,
a r
r 0 dx
α
α2 2
dl
= sin θ ⇒ r =
a sin θ
α2
α2
1
1
,
a µ 0 I sin α µ 0 I B = sin α d α ⋅ 2 d α = 2 ∫ ∫ 4π α a sin α 4aπ α sin 2 α
19
Magnetska indukcija ravnog vodiča α2
µ 0 I µ 0 I α B = sin α d α = (− cos α ) α ∫ 4aπ α 4aπ
2 1
1
µ 0 I B = (cos α1 − cos α 2 ) 4aπ • Za beskonačno dugi vodič
α1 ⇒ 00 ,α 2 ⇒ 1800
µ 0 I µ 0 I µ 0 I 0 0 B = (cos 0 − cos180 ) = (1 − (−1)) = 4 aπ 4aπ 2 aπ 20
Magnetska indukcija ravnog vodiča B
I
α1
.
P
.
a
1
α2 2
µ 0 I B = (cos α1 − cos α 2 ) 4 aπ 21
Magnetska indukcija u središtu kružnog zavoja NI R B B
⊗
R
r 0 dl
µ 0 NI dl × r 0 B = ⋅∫( 2 ) 4π r l
22
Magnetska indukcija u središtu kružnog zavoja
µ 0 NI 0 B = ⋅ ∫ dl sin 90 2 4π R l µ 0 NI ⋅ 2 Rπ B = 2 4π R B =
µ 0 NI 2 R
NI
B
⊗
R
r 0 dl
⋅ 23
Magnetska indukcija na osi kružnog zavoja
µ 0 NI dl × r 0 dB = ⋅( 2 ) 4π r µ 0 NI 0 ⋅ dB = dl sin 90 4π r 2 µ 0 NI ⋅ dl sin β dB x = dB sin β = 2 4π r
• dBY= -dBY poništavaju se
24
Magnetska indukcija na osi kružnog zavoja B = ∫ dB x l
µ 0 NI ⋅ dl sin β B = ∫ 2 4π r l µ 0 NI ⋅ sin β ∫ dl B = 2 4π r l µ 0 NI B = ⋅ sin β ⋅ 2 Rπ 2 4π r
2
r
= R + x , sin β = 2
2
R r
25
Magnetska indukcija na osi kružnog zavoja
B =
B =
µ 0 NI 2 R
µ 0 NI 2
⋅
R 2 ( R
2
+x )
2 3/ 2
ili
⋅ sin β 3
26
Magnetska indukcija na osi svitka (solenoida) R B
• polje u točki M na osi svitka izračunat ćemo kao sumu doprinosa ukupnom polju svih kružnih zavoja širine dx • po jedinici duljine ima n=N/l zavoja • na duljini dx imamo n.dx zavoja 27
Magnetska indukcija na osi svitka R B
dB =
µ 0 (ndx) I
x = Rctg β
2 R
⋅ sin β
⇒ dx = −
3
B =
∫
µ 0 ndx I 2R
l
R d β
sin
2
β
β2
B = −
∫
β1
µ 0 n I 2
⋅ sin 3 β ⋅ sin βd β 28
Magnetska indukcija na osi svitka R B
β2
B = −
∫
β1
µ 0 n I 2 B =
⋅ sin βd β = −
µ 0 N I 2 l
µ 0 n I 2
β2
(− cos β ) β
1
(cos β 2 − cos β1 ) 29
R B
Primjer: N=100, l=10cm, I=1 A, R=1cm, tražimo indukciju u središtu svitka tg β 2
1
= ⇒ β 2 = 11.30 5
B =
=
µ 0 N I 2 l
β1 = 1800 − β 2 = 169.7 0
(cos β 2 − cos β1 ) =
4π 10 −7 ⋅100 ⋅1 2 ⋅ 0.1
(cos11.30 − cos168.7 0 ) = 1.23 mT 30
Magnetska indukcija u središtu dugog tankog svitka
R B
β1 ≅ 1800 , β 2 ≅ 00 B =
µ 0 N I 2 l
(cos 0
0
− cos180 ) = 0
µ 0 N I l 31
Magnetska indukcija na rubu dugog tankog svitka
R B
β1 ≅ 900 , β 2 ≅ 00 B =
µ 0 N I 2 l
(cos 0
0
− cos 90 ) = 0
µ 0 N I 2l 32
