Ak. god. 2014./2015.
Riješeni zadaci
Auditorne vježbe vježbe iz Fizike 2: Elektromagnetizam P. Kulišić i dr.: Riješeni zadaci iz elektromagnetskih pojava i strukture tvari Pr im j er i: 3.1.,3.2., 3.1.,3.2., 3.4., 3.4., 3.9.,3.10., 3.9.,3.10., 3.12. 3.12.
1. zadatak: zadatak:
Mlaz nabijenih čestica ubacuje se u prostor u kojem djeluje električno polje E 140.7 MV/m i magnetska indukcija B1 0.5 T i B2 0.16 T , kao što je prikazano na slici. Izračunajte brzinu v1 i predznak naboja čestice koja udara u točku A.
Rješenje:
Kada se naboj giba u magnetskom polju, na njega djeluje magnetska sila: F Q v B . Smjer magnetske sile na naboj definiran je vektorskim produktom brzine i magnetske indukcije i vrijedi:
Iznos sile ovisi o kutu između vektora brzine i magnetske indukcije: F QvB QvB sin . Iz ovog izraza slijedi: ukoliko se naboj giba paralelno silnicama, tada je magnetska sila jednaka nuli, a ukoliko se naboj sila okomito na silnice, magnetska sila je mak simalnog iznosa: F QvB QvB .
U kondenzatoru na naboj djeluju električna i magnetska sila. Da bi bio zadovoljen uvjet pravocrtnog gibanja te dvije sile moraju bit jednakih iznosa. iz nosa.
Fel Fmag
QE Qv1B1
v1
E B1
281.4 106 m/s
Kada naboj prijeđe u područje u kojem djeluje magnetska indukcija B2 , na njega djeluje samo magnetska sila pomoću čijeg smjera se određuje predznak naboja.
Ak. god. 2014./2015.
Riješeni zadaci
Iz slike, nakon usporedbe sa gornjom slikom (odmah ispod „Rješenje“) očito je da vrijedi da je naboj negativnog predznaka, tj. Q< 0.
2. zadatak: zadatak:
Kroz vodič u obliku slova L protječe struja jakosti 50 A. Dimenzije vodiča su prikazane na slici. Izračunajte jakost i smjer magnetske indukcije u točki A.
Ponavljanje:
Promotrimo beskonačno dugi ravni vodič.
Za određivanje magnetske indukcije ili jakosti magnetskog polja u točki P koristi se Biot-Savartov zakon: dB
I ds r0 4
r
2
Ids r0 , gdje je r 0 jedinični vektor ili dH 4 r 2
usmjeren od elementa struje prema točki promatranja.
koji je uzduž vektora položaja po ložaja r
Ak. god. 2014./2015.
Riješeni zadaci
Iznos magnetske indukcije (zbog vektorskog produkta) je: dB Iznos jakosti magnetskog polja je: dH
Ids sin 2
4 r
Ids sin 2
4 r
Prema tome ukupna jakost magnetskog polja može se izračunati iz izraza: H dH .
Iz slike je očito da vrijedi: sin
a
, r
r
H
dH
a s 2
I 4
2
a
r
3
ds
Ia
1
4 a 2 s 2
3/2
ds
Supstitucija: s a tan ds
1 2
cos
d
s tan donja granica je: 2 (i iznosi s tan donja granica je: 1 (i iznosi
2
)
)
2
3/2
a
2
s
2
3/2
3/ 2
a a tan 2
2
2
a (1 tan ) 2
2
3/2
sin 2 cos2 a 2 cos 3
a
3 3
cos
Prema tome, integral koji se treba riješiti je sljedeći: H
I
1
4 a 2
cos d
I 4 a
sin
1 2
I 4 a
sin 1 sin 2
Granice nisu uvrštene u integral (tj. vrijednosti
2
i
2
), budući da je ovaj izvod samo kratko
ponavljanje, ali kao što se vidi, nakon uvrštavanja granica, integral se vrlo jednostavno izračuna. No, da bi se riješio problem u ovom zadatku, nastavit će se upravo od koraka gdje je završio izvod! Zaključak je sljedeći:
Ravni vodič (beskonačno dug ili neke konačne duljine) kroz koji teče struja proizvodi magnetsko polje u svojoj okolini. To magnetsko polje je iznosa: H
I 4 a
sin 1 sin 2 .
Ak. god. 2014./2015.
Riješeni zadaci
Rješenje: I 50 A a 1.5 m
Budući da su polja od oba vodiča istog smjera, ukupno polje u točki A bit će jednako sumi tih dvaju polja: H A H A1 H A2
Polje H A1 : H A1 H A1 H A1
I 4 a I 4 a
sin 1 sin 2
sin 45 sin 45
I 2
2 I 2 4 a 2 2 4 a
Polje H A 2 : H A2 H A2 H A2
I 4 a I 4 a I
sin 1 sin 2
sin 45 sin 0 2
4 a 2
I 2 8 a
Ukupno polje u točki A iznosi: H A H A1 H A2
I 2 4 a
Magnetska indukcija u točki A iznosi: B A H A
I 2 2 a
3 I 2
3I 2 8 a
5 2 106 T .
8 a Smjer vektora magnetske indukcije je u smjeru vektora magnetskog polja.
Ak. god. 2014./2015.
Riješeni zadaci
3. zadatak:
Struja jakosti I teče kroz žicu prikazanu na slici. Polumjer zakrivljenog dijela žice je R. Odredite magnetsku indukciju u točki P ( R, 0, 0). y
(1)
I
P (R, 0, 0) x
R
(2)
(3)
Rješenje:
Žica se podijeli na tri dijela. Ukupno magnetsko polje u točki P jednako je zbroju doprinosa magnetskih polja svakog dijela žice. B B1 B2 B3
Doprinos 1. dijela žice: y
(1)
d B1
0 I dl r
, B1 = d B1 3 4 r Vektor dl paralelan je vektoru r . Vektorski produkt tada je:
I d l
dl || r dl r 0 d B1 0 B1 0 Doprinos magnetskog polja od prvog dijela žice:
r P (R, 0, 0) x
R
B1 0
(2)
(3)
Doprinos 2. dijela žice: y
(1)
I
d B2 dl r r
(2)
'
P (R, 0, 0) r
''
x
R
(3)
0 I dl r 4
3
r
,
B2 = d B 2
Ak. god. 2014./2015.
Riješeni zadaci
Vektor položaja na zakrivljenom dijelu vodiča prikazuje se pomoću polarnog koordinatnog sustava u kojem su jedinični vektori: r ˆ i ˆ . Pri prijelazu iz polarnog koordinatnog sustava u kartezijev koordinatni sustav koristi se sljedeća tablica: iˆ
jˆ
ˆ r
cos
sin
ˆ
sin
cos
r r r
r Rrˆ R cos iˆ sin ˆj , r Riˆ
r R cos iˆ R sin ˆj Riˆ R R cos iˆ R sin jˆ 2
r
2
R R cos R sin R
2 1 cos
dl Rd ˆ , dl Rd sin iˆ cos ˆj R sin d iˆ R cos d jˆ
Vektorski produkt tada je: iˆ
ˆ k
ˆj
dl r R sin d
R cos d
0
R - R cos
R sin
0
iˆ 0 jˆ 0 kˆ R 2 sin 2 d R cos d R - R cos
R2 1 cos d k ˆ d B2
B2
2 0 I R 1 cos d k ˆ
4 R 2 2 1 cos 3
0 I
1
4 R 2 2
3 / 2
3/ 2
d 1 cos
=
0 I
d
1
1/ 2
4 R 2 2 1 cos
kˆ
,
B2 = d B2
ˆ k
Trigonometrijskom transformacijom kosinusa dvostrukog kuta dobijemo sljedeće: 2 1 cos 1 cos sin 2 cos2 sin 2 cos2 sin2 2sin 2 2 2 2 2 2 2 2 Magnetsko polje tada je: B2
0 I
1
4 R 2 2
3 / 2
/2
d 2sin
I 1 1 kˆ 0 4 R 2 2 2 2 2
3 / 2
/2
3 / 2
I ˆ d ˆ d k 0 k 16 R / 2 sin sin 2 2
sin iˆ cos ˆj | iˆ ˆj 4 0 R 4 0 R 3 / 2
Dobiveni integral je trigonometrijski čije se rješenje može pronaći u Bronsteinu (Matematički priručnik, str. 452.) 1 ax sin ax a ln tg 2 dx
Doprinos električnog polja drugog dijela žice: 0 I ˆ 3 / 2 0 I ˆ 3 B2 k 2ln tg | k ln tg 16 R 4 / 2 8 R 8
ln tg 8
Ak. god. 2014./2015.
Riješeni zadaci
Doprinos 3. dijela žice: y
(1)
0 I dl r
d B3
3
4
r
B3 = d B 3
,
Vektor položaja jednak je:
I
r a x
a R jˆ
,
x xiˆ r xiˆ R ˆj , r P (R, 0, 0)
a
(2)
r
x
dl
2
2
dl dx Vektorski produkt tada je: ˆ ˆj iˆ k
x
R
x R
(3)
dx r dx
0
x
R
0 iˆ 0 ˆj 0 kˆ Rdx Rdx kˆ 0
Magnetsko polje tada je: I Rdx ˆ dB3 0 k 3/ 2 2 2 4 x R trigonometrijska supstitucija: x R tg dx
R 2
cos
d
x tg 0
IR ˆ dx B3 0 k = 3/ 2 2 2 x tg 4 x R 2
izraz x R 2
2
3/ 2
2
jednak je: 3/ 2
x
2
R
2
3/ 2
= R tg R 2
2
2
3/ 2
2 sin2 2 =R R 2 cos
=
R
3
3
cos
/ 2
/ 2 IR ˆ 0 I ˆ I 1 0 k cos d k sin | 0 kˆ 2 4 R 4 R 2 R / 2 / 2
Doprinos magnetskog polja od trećeg dijela žice:
B3
0 I ˆ k 2 R
Ukupno magnetsko polje u točki P iznosi: B B1 B2 B3
0 I ˆ 3 k ln tg 8 R 8
0 I ˆ 0 I ˆ 1 3 1 ln k k ln tg tg ln tg 1 2 R 4 8 4 8 8 2 R
Ak. god. 2014./2015.
Riješeni zadaci
4. zadatak:
a) Pomoću Biot- Savartovog zakona odredite magnetsku indukciju B u točki T na udaljenosti r od točkastog naboja Q koji se giba brzinom v . Ako se u točki T nalazi točkasti naboj Q koji ima brzinu v
kolika je magnetska sila između ta dva naboja? b) Kolika je magnetska sila ako su naboji elektroni u ravnini xy koordinatnog sustava, prvi u točki A (0, 0), drugi u točki A (1 m, 0), a brzine su im v 2 104 j m/s i v 4 104 j m/s . Koliki je omjer magnetske i električne sile u tom trenutku?
Rješenje:
a) Biot-Savartov zakon glasi: dB
0 Ids r 0 2
4 r Struja nastaje gibanjem naboja Q brzinom v , pa prema tome vrijedi: I dt dQ ds v dt I ds I v dt dQ v
Nakon integriranja dobivamo magnetsko polje točkastog naboja Q brzine v na udaljenosti r : dB
0 dQ v r0 4
r
2
B
0 Q v r0 4
2
r
Sila kojom to magnetsko polje B djeluje na naboj Q` brzine v je: QQ F Qv B F 0 2 v v r 0 , 4 r r 0 je jedinični vektor usmjeren od naboja Q prema naboju Q`. F je magnetska sila kojom naboj Q djeluje na naboj Q`. Sličan izraz vrijedi i za magnetsko polje naboja Q`: B
0 Q v r 0
, 2 r 4 Kao i za magnetsku silu kojom naboj Q` djeluje na naboj Q: QQ QQ F 0 2 v v r0 F 0 2 v v r 0 , 4 r 4 r r 0 je jedinični vektor usmjeren od naboja Q prema naboju Q, a r 0 naboja Q prema naboju Q`
r0 r 0 .
je jedinični vektor usmjeren od
Ak. god. 2014./2015.
Riješeni zadaci
b)
U ovom primjeru, prema slici, za magnetsko polje koje uzrokuje prvi elektron na mjestu udaljenom za r=x, gdje se nalazi drugi elektron dobije se vrijednost: Q v i 22 B 0 =3.2 10 k T 2 4 x Magnetska sila kojom prvi elektron djeluje na drugi iz nosi: 0e2 F v v i 2 10 36 i N 2 4 x Sila kojom drugi elektron djeluje na prvi je: 0e2 36 F v v i 2 10 i N 2 4 x Kao što se i vi di u ovom primjeru su te dvije sile jednakog iznosa i suprotnog smjera. Omjer magnetske
i električne sile je: 0e2 F m
2
4 x2 e F e
vv
4 0 x
2
v
vv
0 0
8.9 109
5. zadatak:
Kroz tri ravna duha vodiča protječu struje jakosti I 1 100 A , I 2 150 A i I 3 75 A . a)Izračunajte smjer i iznos magnetske indukcije koju vodiči 1 i 2 stvaraju na mjestu vodiča 3. b) Izračunajte smjer i iznos sile koja djeluje na element dužine l=80 cm vodiča 3. Udaljenosti između vodiča dane su na slici i iznose: a=3 cm, b=4 cm i c=5 cm.
Rješenje:
a) Sila na vodič kojim teče struja i koji se nalazi u magnetskom polju: F I l B .
Smjer sile određuje se pravilom desne ruke:
Ak. god. 2014./2015.
Riješeni zadaci
Smjer struje pokazuju prsti, smjer sile pokazuje palac, a iz dlana izlaze silnice magnetskog polja. Iznos sile je: F BIl sin .
Na slici su prikazani smjerovi polja koja stvaraju vodiči 1 i 2 na mjestu vodiča 3:
Iznosi jakosti magnetskih polja su: I H 1 1 4 A/cm 2 b I H 2 1 8 A/cm 2 a Ukupno magnetsko polje na mjestu vodiča 3 jednako je vektorskom zbroju magnetskih polja H1 i H 2 : H H1 H 2 .
Budući da kut između vektora H1 i H 2 iznosi 90° slijedi: H sin =
H1 H 2 9 A/cm 2
H 2 H 1
2
63
B 0 H 1.13 mT
Smjer sile na vodič 3 određuje se pravilom desne ruke:
Budući da je kut između vodiča i smjera magnetskog polja 90° slijedi: F BI3l 68 mN
Ak. god. 2014./2015.
Riješeni zadaci
6. zadatak:
Četiri duge međusobno paralelne žice smještene su tako da presjeci žica s na njih okomitom ravninom leže u vrhovima kvadrata stranice a 1 m . Kroz svaku žicu teku istosmjerne struje jakosti I 1 1 A , I 2 2 A , I 3 3 A , I 4 4 A . Smjerovi su dani na slici. Kolika sila djeluje na jediničnu duljinu gornjeg desnog vodiča? Koliko iznosi magnetska indukcija u točki označenoj s 2?
Rješenje:
Amperova sila: F l I B
Magnetska indukcija na položaju 2. vodi ča jednaka je sumi doprinosa magnetskih indukcija vodiča 1, 3 i 4. B B1 B3 B4
, B1 B1 jˆ , B3 B3 cos 45iˆ B3 sin 45 jˆ , B4 B4iˆ
B iˆ B3 cos 45 B4 jˆ B1 B3 sin 45 iˆ B3
B4 2 2
jˆ B1 B3
2
2
ˆ I I 2k
F l
iˆ
ˆj
ˆ k
I B 0
0
0
B3
2 2
B4
B1 B3
2 2
0
I 3 2 ˆ 2 I I I 2 B1 B3 B4 jˆ , B1 1 , B3 , B4 4 i I 2 B3 l 2 2 2 a 2 a 2 a 2
F
Ak. god. 2014./2015.
Riješeni zadaci
7. zadatak:
Dugačak ravni vodič i metalni okvir postavljeni su kao što je prikazano na slici. Težina okvira je 0.5 N, struja koja teče kroz okvir je 15 A. Dimenzije okvira su: b=10 cm i c=50 cm. Udaljenost od ravnog vodiča do okvira iznosi 1 cm. Izračunajte iznos i sm jer struje I 1 za koji će okvir zadržati svoj položaj.
Rješenje: I 2 15 A a 1 cm b 10 cm c 50 cm G 0.5 N
Vodič kojim teče struja stvara magnetsko polje oko sebe. U ovisnosti o smjeru struje kroz vodič, magnetsko polje djeluje na okvir silama F1 i F 2 .
Da bi uvjet zadatka bio ispunjen, tj. da se položaj okvira ne promijeni, zbroj sila koje djeluju mora biti jednak nuli: F1 F2 G 0 .
Budući da je iznos sile F 1 veći od iznosa sile F 2
struja I 1 teče s lijeva na desno (prvi slučaj na
gornjoj slici!) Prema tome, iz uvjeta ravnoteže vrijedi sljedeće: F1 F2 G F1 B11 I2 c , B11 0 F1 B12 I2 c , B12 0
0
I1 2 a
I 1
I 2c 0
I1
F1 0
2 a I1
2 a b I 1 2 a b
2 G 1 1 0 I 2c a ab
I 1 2 a
I2 c
F1 0
I 2c G
3.7 kA
I 1 2 a
I2 c
0 I1 I 2 c 1
1 G 2 a a b
Ak. god. 2014./2015.
Riješeni zadaci
8. zadatak:
Izračunajte jakost struje koja teče kroz vodiče koaksijalnog kabela u suprotnim smjerovima, ako jakost magnetskog polja na udaljenosti 2.25 cm iznosi 78.8 A/m.
Rješenje: d 2.55 cm, Hd 78.8 A/m, R1 0.5 cm, R2 2.5 cm, R3 2.6 cm
Ampereov zakon, ili zakon protjecanja glasi:
H dl I
i
i
Ovisno na kojoj udaljenosti r se promatra magnetsko polje mijenja se i iznos magnetskog polja. Slučaj 1: r R1 obuhvaćen je samo dio unutarnjeg vodiča H 2r I 1
Vrijednost struje I 1 može se odrediti iz gustoće struje, za koju vrijedi da je u svakoj točki jednaka: 2
J
I 2
R1
I1 2
r
I1 r
2
I 2
R1
H
I1 2r
r
I 2
R1
2r
I
r 2
2R1
Slučaj 2: R1 r R2 obuhvaćen je dio vodiča kojim teče struja jakosti I Magnetsko polje iznosi:
H 2r I
H
I 2r
Slučaj 3: R2 r R3 obuhvaćen je unutrašnji vodič i dio vanjskog vodiča
Ak. god. 2014./2015.
Riješeni zadaci
Budući da su smjerovi struja suprotni, struje se oduzimaju.
H 2r I I 2
Kao i u slučaju 1, vrijednost struje I 2 može se odrediti iz gustoće struje, za koju vrijedi da je u svakoj točki jednaka: r R2 2
J
I R3 R2
H
2
2
r R2 2
2
I2 I
I
2 2 r R2
I R3 r
2r
R3 R2
2r R3 R2
1
2
2
r R2 2
I 2
2
2
2
R3 R2 2
2
H
I I 2 2 r
2
I I 2 2 R3 R2 2 r
2 2
Slučaj 4: r R3 obuhvaćen je unutrašnji vodič i dio vanjskog vodiča:
H 2r I I
H 0
Pošto je vrijednost magnetskog polja poznata i na udaljenosti d=2.25 cm iznosi 78.8 A/m R2 d R3
Slučaj 2!
I R3 d 2
H d
2
2 2 2d R3 R2
I
2 2 2d H d R3 R2 2 2 R3 d
25 A
9. zadatak:
Kroz dugi metalni štap promjera 1 cm, teče struja jakosti 10 A. Kako se mijenja jakost magnetskog polja unutar vodiča? Kolika je jakost magnetskog polja na površini vodiča i na udaljenosti 1 m od vodiča? Rješenje: 2 R 1 cm, I 10 A, r 1 m
Ako pretpostavimo da je gustoća struje konstantna u svim točkama presjeka vodiča, silnice magnetskog polja koncentrične su kružnice Sa središtem na osi vodiča, kao što je prikazano na slici:
Ak. god. 2014./2015.
Riješeni zadaci
Primijenimo li Ampereov zakon i izaberemo li kao krivulju integracije silnicu (kružnicu) polum jera r, dobivamo jakost magnetskog polja unutar vodiča:
H ds I K
H 2r H
I 2
R
I 2
2 R
2
r 2
r R
2
I
r
Na površino vodiča (r=R) jakost polja je: H
I
H
I 2r
R
I
318.5 A/m 2 R 2R Jakost polja na udaljenosti r=1 m od vodiča je : H 2r I 2
1.6 A/m
10. zadatak
Izračunajte magnetski tok koji se zatvara kroz zatvorenu petlju prikazanu na slici. Kroz vodič protječe struja jakosti 10 A. Dimenzije petlje prikazane su na slici.
Ponavljanje:
Određivanje magnetskog toka kroz zatvorenu petlju. B S
B dS S dB S
S
x2
B x dS B x adx S
x1
x2
x1
0
I 0
2 x
Ia 2
ln
adx 0
x2 x1
Ia
x2
2 x1
dx x
0
Ia 2
ln x
x2 x1
Ak. god. 2014./2015.
Riješeni zadaci
Rješenje: I=10 A a=1cm
Ukoliko znamo smjer struje kroz vodič, pravilom desne ruke možemo odrediti smjer magnetskog polja.
Prema gornjem izvodu, za tok magnetskog polja dobije se izraz: Ia x2 , gdje je (iz slike): x2 3a, x1 a 0 ln 2 x1
0
Ia 2
ln
3a a
44 nVs
11. zadatak:
Vodič kojim teče struja i1 t A t postavljen je duž osi x, a drugi vodič postavljen je duž osi y i njime teče struja i2 t B t . U xy ravnini postavljena je kvadratna petlja duljine L, polumjera R. Odredite iznos i smjer inducirane struje ako struja u žicama teče u smjeru pozitivne osi.
Konstante su zadane i iznose: A
B 2
10 A/s, L 2b 4a 10 cm, R 0.1 Ω
Rješenje:
Faradayev zakon elektromagnetske indukcije: i
d dt
Ak. god. 2014./2015.
Riješeni zadaci
Ukupan magnetski tok jednak je: 1 2
1 B1dS , 2 B2dS , 1
i1
L a
2
2 i i i
L
a
i2
dx
L ln y
2
L x b
d
i
,
dt
R dt
i1
y
L b
2
1 d
dy
i
R 2
2
R
1 2
1 L
i2
B H L a a
i1 2
L ln
L ln x Lb b
i2 2
I
, B1
2r
i1 2 y
, B2 H
i2 2 x
La a
L ln
Lb b
(negativan predznak zbog smjera magnetske indukcije)
d Rdt
1 d i1
R dt 2
L ln
L a a
i2 2
L ln
L b b
Aln 5 2ln 3
12. zadatak:
U dugoj cilindričnoj zavojnici polumjera 1 cm struja raste po zakonu I 0.5t 2 . Broj zavoja je 1 2000 m . Odredite električno polje i struju pomaka. a) na osi solenoida i b) na površini zavojnice. Rješenje:
Za rješavanje ovog problema primijenit će se treća Maxwellova jednadžba: E ds K
d dt
B dS S
Krivulja K bit će kružnica polumjera r sa središtem na osi zavojnice, okomita na tu os, a površina S bit
će površina te kružnice:
E ds 2r E K
B dS Br
NI
2
0
S
l
2
r
Iz treće Maxwellove jednadžbe slijedi: 2r E 2r E
d
NI 2 r 0 dt l d dt
2r E 0
2
0
N 0.5t
Nt l
l 2
r
2
r N
E 0r t
2l RN
Ako je r=0, E=0. Za r=R, E 0
2l
t 1.256 10
5
1 1
Vm s t
Struja pomaka nastaje u prostoru gdje se vremenski mijenja električno polje:
Ak. god. 2014./2015.
I pomaka
d d dt
Riješeni zadaci
d dt
0 E dS r 2 0
S
E N r 2 0 0r t 2l
Ako je r=0, I pomaka =0. Za r=R, I pomaka R2 0 0 J pomaka 0 0
RN 2l
1.11016
RN 2l
, a gustoća struje pomaka je :
A m
2
El ektr omagnetski valovi P. Kulišić i dr.: Riješeni zadaci iz elektromagnetskih pojava i strukture tvari Pri mj er i: 5.3., 5.4.
V. Henč - Brtolić: Riješeni zadaci iz valova i optike Pr im j er i: 4.3., 4.4., 4.5., 4.6.
12. zadatak:
Ravni linearno polarizirani elektromagnetski val frekvencije 5 1014 Hz putuje u vakuumu. Odaberite
koordinatni sustav tako da se val širi u pozitivnom smjeru osi z, a električno polje titra u smjeru osi x. Srednja vrijednost intenziteta vala je 1 W/m2 . Napišite jednadžbe električnog i magnetskog polja ovog elektromagnetskog vala (vektorski i po komponentama!). Rješenje:
Ak. god. 2014./2015.
Riješeni zadaci
Jednadžbe titranja električnog i magnetskog polja:
E E0 sin t k r
B B0 sin t k r
,
Prema uvjetu zadatka, elektromagnetski val širi se duž pozitivne osi z, stoga vr ijedi: 2 ˆ k kkˆ k , a vek tor položaja čestice vala koja titra dan je relacijom: r xiˆ yjˆ zkˆ Prema tome, skalarni produkt valnog vektora i vektora položaja jednostavno se može izra čunati:
k r kkˆ xiˆ yjˆ zkˆ kz
Ostale fizikalne veličine koje se spomin ju u jednadžbi titranja električnog i magnetskog polja određuju se pomoću poznatih relacija: 2 f 10 s 15
1
, k
2
, v c f
E E0iˆ sin t kz E0 iˆ sin t
c f
=
c 2 c = =1.88 10 6 m 2
k 10.5 106 m 1
2 z ,
Amplituda titranja električnog polja može se odrediti iz relacije za srednju vrijednost intenziteta vala: P
1 2
E0 H 0
1 2
E0 B0
E0 c B0 P
E0 2 cP 27.27 V/m , B0 =
1 2
E 0
E0 c
=
E 0 2 2 c
E 0
92 nT c Vektorski zapis jednadžbe titranja električnog i magnetskog polja glasi:
E 27.27 V/m iˆ sin 1015 s 1t 10.5 106 m 1 z
B 92 nT j sin 1015 s 1t 10.5 106 m 1 z Zapis jednadžbe titranja električnog i magnetskog polja po komponentama glasi:
E x 27.27 V/m sin 1015 s 1t 10.5 106 m 1 z E y 0 E z 0 B x 0 B y 92 nT sin 1015 s 1t 10.5 106 m 1 z B z 0
Ak. god. 2014./2015.
Riješeni zadaci
13. zadatak:
Ravni elektromagnetski val frekvencije 6 1014 Hz koji se širi u pozitivnom smjeru osi Ox u vakuumu
ima amplitudu električnog polja 42.42 V/m. Val je linearno polariziran tako da vektor električnog polja leži pod kutem 45° u yz ravnini. Odredite komponente električnog i magnetskog polja ovog elektromagnetskog vala. Rješenje: Komponente električnog polja:
E x 0 ; E y E0 y sin t k r
; Ez E0 z sin t k r
Buduću da je vektor električnog polja postavljen u ravnini yz, tako da zatvara neki kut sa osi y, postoje dvije komponente električnog polja, komponenta y i komponenta z. Amplituda titranja elektri čnog polja duž osi y označena je s E0 y i iznosi: E0 y E 0 cos45 Amplituda titranja elektri čnog polja duž osi z označena je s E 0 z i iznosi: E0 z E 0 sin 45 Skalarni produkt valnog vektora i vektor a položaja može se izra čunati jednostavno budući da je poznat smjer širenja EMvala.
EM val širi se u pozitivnom smjeru osi x , stoga vrijedi za valni vektor: k ki
k r ki xiˆ yjˆ zkˆ kx
2 f 12 1014 s 1 , k
2
, v c f , k 4 106 m 1
Komponente titranja elektri čnog polja:
E x 0 E y 30 V/m s in 12 1014 s 1 t 4 10 6 m1 x E z
30 V/m s in 12 10
s 1 t 4 10 6
14
m x 1
Komponente titranja magnetskog polja odre đuju se slično: B x 0
sin t k r
B y B0 y sin t k r B z B0 z
B0 y B0 cos 45 ; B0 z B0 sin 45 ; B0
E 0 c
107 T
B x 0 B y 7 108 T s in 12 1014 s 1 t 4 10 6 m 1 x B z 7 10
8
T
s in 12 10
14
1
s t 4 10 m 6
1
, x
