El Producto Vectorial o Producto Cruz

El producto vectorial o producto cruz El producto vectorial

( por eso también llamado producto cruz) está

definido únicamente para vectores de

Definición: Sean y

. El resultado será también

y

un vector

de

. El producto cruz de los vectores

se define como:

Nota: una Nota:  una manera sencilla de obtener el producto es: coloque el que va primero en el orden del producto encima encima del del que va de seundo ( por eso eso el vector deba!o).

está encima y el vector

"ara calcular la primera componente# se calculará un determinante por cofactores. Se omite la primera componente tanto del vector

como del vector

.Se calcula el

determinante $e la misma manera para la seunda se omiten

determinante

y as% para la tercera calculando el determinante $e esta manera se puede usar la notaci&n:

y

Se calcula el

'o que se puede observar inmediatamente# por propiedades de los determinantes es que

pero que "ara la direcci&n de dereca

y de

Ejemplo 1: Siendo

Teorema: Sean ) *)

se aplica lo que se aplica en un sistema de mano

y

#

y

vectores de

y es paralelo a

calcular el vector

(escalar)

(El vector

es ortoonal tanto a

como a

si y s&lo si

+)

,) -)

( identidad de 'arane) siendo

el ánulo entre los vectores

y

)

/) 'as demostraciones de cada uno de los numerales son básicamente comprob aciones por esa raz&n no se arán sino ) y *) para ilustrar.

)

)

*) Si "or lo tanto

Si

# se tiene que e0iste

tal que

.

# es porque se a producido un determinante con dos iuales & múltiplos# por

lo tanto

"ara la propiedad ,) lo más sencillo es calcular cada uno de los lados de la iualdad por separado y lueo comprobar que ellos son iuales . 'a propiedad -) es consecuencia de la ,) utilizando que

INTERPRETACIÓN E!"#TRICA DE$ PR!D%CT! TRIP$E E&CA$AR 

1onsiderando el paraleloramo cuyos lados están conformados por los vectores es:

base por altura 2

. "ero

. 3emplazando

4rea del paraleloramo2

Area del paralelo'ramo cu(o) lado) e)t*n conformado) por lo) vectore) ( Ejemplo +: Encontrar el área del triánulo cuyos vértices son los puntos

y

# el área

5ormamos los vectores con estos puntos)

y

( podr%an ser cualquiera dos formados

 ser%a el área del paraleloramo

 es entonces el área del triánulo

INTERPRETACIÓN E!"#TRICA Sean

tres vectores de

que conforman los lados de un paralelep%pedo o ca!a.

El volumen de un paralelep%pedo es área de la base por altura. El área de la base es que es el área del paraleloramo. 4l proyectar proyecci&n se encontrará la altura. altura 6olumen los vectores

sobre

y tomar la manitud de la

pro( 

entonces

Si se tomara como base la cara conformada por y

el volumen es

7 si se toma como base la cara conformada

por los vectores y el volumen es "ero para evitar el problema que podr%a surir de que de una cantidad neativa dependiendo de que producto vectorial se aa se toma el valor absoluto y la combinaci&n puede ser entonces cualquiera.

 ,olumen de un paralelep-pedo de lado) conformado) por lo)

vectore) Ejemplo .:Encontrar el volumen del paralelep%pedo cuyos lados están conformados po r los vectores combinaci&n nos dará el volumen

El producto triple escalar en valor absoluto#en cualquier

6olu men

8tilizando desarrollo de determinantes por cofactores de la primera fila es fácil ver que: con los vectores