2.1 PRODUCTO CARTESIANO
El producto cartesiano tiene como eje central el trabajo de conjuntos, ya sea de números o de otras entidades. Para esto debemos tener claro además, cuales son los conjuntos de los números y sus propiedades. (Figura 2.1) Figura 2.1 Conjuntos Numéricos
Naturales o Positivos Enteros
Negativos
Racionales Números Reales Irracionales
Naturales y el cero
Decimales exactos Fraccionarios
Puros Decimales periodicos Mixtos
Un conjunto es una lista, colección o agrupación de objetos bien definidos, los que se llaman elementos, y se escriben entre llaves separados por comas. Un conjunto puede ser descrito de dos formas:
i) Por Extensión: Cuando se indican todos los elementos que lo forman. ii) Por Comprensión: Cuando se indican sus elementos por medio de una propiedad precisa, que permita identificarlos a todos ellos y sólo a ellos. El concepto de relación implica la idea de correspondencia entre los elementos de dos conjuntos que forman parejas ordenadas.
Cuando se formula una expresión que liga dos o más objetos entre sí, postulamos una relación (no necesariamente matemática) Por ejemplo: Podemos definir la relación como La correspondencia que hay entre TODOS o
ALGUNOS elementos del primer conjunto con UNO o MÁS elementos del segundo conjunto. Cuando hablamos de relaciones en las matemáticas no es un concepto tan lejano a lo que se conoce como una relación entre otros entes (personas, objetos, etc.); hablamos de la relación que existe entre Chile y Argentina, una relación que los “estar dentro del mismo continente” ; o tal vez hablar de la relación que une, es “estar dentro
existe entre un colegio y un grupo de adolescentes que pertenecen al establecimiento, la relación es “ser estudiante del Colegio” . Ahora bien, en matemática, el concepto no es tan lejano a lo que se ha comentado. Una relación matemática debe tener presente el Plano Cartesiano, (Figura 2.2). Que está compuesto por el eje
(eje de las abscisas) y el eje (eje de las ordenadas).
Cuando se trabaja con el plano cartesiano, se está trabajando con pares ordenados, , donde
es la primera componente e es la segunda
componente. En el plano cartesiano se ubican puntos mediante mediante pares ordenados
, representa un punto donde es la posición del eje de las abscisas e , es la posición del eje de las ordenas, estas se grafican como se muestran en la (Figura 2.3). El par ordenado
, representa un único punto en el plano
cartesiano, y un punto está representado por un único par ordenado.
Figura 2.3 Puntos en el Plano Cartesiano
Figura 2.2 Plano Cartesiano
Y
Y
5
4
4
3
I Cuadrante
II Cuadrante
(3,5)
3
2
2 1
1
X
-4
-3 -3
-2 -2
-1 -1
1
2
3
4
X
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
-1
-1 -2
IIICuadrante
-2
IV Cuadrante -3
(-2,-3) -4
-3 -4
El plano cartesiano, es un sistema de
Puntos localizados en el plano
referencia respecto a dos ejes que se
cartesiano.
cortan en un punto llamado origen de coordenadas.
En
coordenadas
el
plano,
cartesianas
las (o
rectangulares) son las abscisas y las ordenadas abscisas
respectivamente. son
las
Las
primeras
componentes del par ordenado y las ordenadas las segundas componentes.
Para poder entender las funciones, debemos comprender el
“Producto
Cartesiano”, su definición, sus propiedades y la importancia de ésta en la ciencia
de las matemáticas.
Definición Nº1: Producto Cartesiano Dado dos conjuntos , se llama Producto Cartesiano de en ese orden simbolizado por , al conjunto de todos los pares ordenados cuyas primeras componentes pertenecen al conjunto al conjunto
y las segundas componentes pertenecen
.
Por comprensión:
EJEMPLO Nº1: Si
entonces:
Luego, notemos que
y .
Observación:
EJEMPLO Nº2: Si Por extensión:
Por compresión:
Se representa gráficamente como lo muestra la figura 2.4.
Figura 2.4 Producto Cartesiano de
Y
2
1
(0,0) -2
-1
(0,-1)
(1,0)
(2,0)
1
2
(1,-1)
(2,-1)
X
-1
-2
Si el conjunto tiene elementos y el conjunto
tiene elementos, entonces la cantidad de pares ordenados que existe en el producto cartesiano es ( ). Es decir, si es la cardinalidad (cantidad de elementos) de y la de tenemos que si y entonces Del ejemplo anterior, notemos que:
Observación: Si
o bien entonces
EJEMPLO Nº3: Si
(números naturales múltiplos de 2) y
Entonces,
Por comprensión: Por extensión:
Notemos que:
Luego
2.1.1 REPRESENTACIÓN GRÁFICA DEL PRODUCTO CARTESIANO La representación grafica del producto cartesiano puede darse de dos maneras, a través del plano cartesiano o a través de la representación del diagrama sagital. Al graficar en el plano cartesiano, debemos considerar los conjuntos en los cuales estamos trabajando. El producto cartesiano pueden resultar ser: puntos, segmentos, rectas, rayos o regiones rectangulares. EJEMPLO Nº4: Sea
Notemos que
Figura 2.5 Representación Gráfica de y
3
(-1,2)
(0,2)
(1,2)
(-1,1)
(0,1)
(1,1)
(-1,0)
(0,0)
(1,0)
-1
2
1
1
Y
EJEMPLO Nº5: Si
y Figura 2.6 Representación Gráfica en el plano de la región Y
3
2
1 X
-3
-2
-1
1
2
3
-1
Sea
Luego el producto cartesiano
.La representación sagital viene dada por la figura 2.7 Figura 2.7 Representación Sagital
A
B
Producto Cartesiano de El producto cartesiano definido sobre , significa tomar como primera componente un elemento del conjunto A y como segunda componente también un elemento del conjunto A. Esto es:
EJEMPLO Nº5: El producto cartesiano definido en el conjunto Escrito por Comprensión:
viene dado por
Escrito por Extensión:
2.1.2 PROPIEDADES DEL PRODUCTO CARTESIA CART ESIANO NO Sean (a)
y , conjuntos no vacíos, se cumple que:
El producto cartesiano de dos conjuntos
, es vacio si, y sólo si uno de los
conjuntos es vacio. (b)
El producto cartesiano de dos conjuntos
es conmutativo si, y sólo si uno de
los conjuntos es vacío. (c)
Distributividad Distributivida d del producto cartesiano respecto a: i.
(La unión)
ii.
(La intersección)
iii.
(La diferencia)
