EJERCICIOS Y PROBLEMAS DE MECÁNICA CUANTICA Y ESTADÍSTICA RELATIVIDAD ESPECIAL 1.- Un cohete tiene en la tierra una longitud de 100m. Cuando está en vuelo, para un observador sobre la tierra mide 99m. ¿Cuál es su velocidad? 2.- Se proyecta al espacio una varilla de un metro de longitud a una velocidad tan grande que su longitud se contrae hasta 50 cm. ¿A qué velocidad se desplaza la varilla, en km/s? 3.- En el planeta tierra, la estatura de un astronauta es de 1.80 m. El astronauta descansa en posición paralela al eje de la nave espacial que se aleja de la tierra con rapidez de 0.98c. ¿Cuál es la estatura del astronauta cuando la mide un observador en la nave espacial? ¿Cuál es la estatura del astronauta para un observador que se halla en reposo en la tierra? 4.- ¿Con que rapidez debe viajar un cohete en relación a la tierra para que cada día en la nave corresponda a dos días sobre la tierra? 5.- Un avión vuela con rapidez de 300 m/s. ¿Qué tiempo debe transcurrir para que un reloj en el avión y otro en la tierra difieran en 1s? Considere que los dos relojes están sincronizados y son idénticos. 6.- Un cohete espacial se aleja de la tierra con rapidez de 0.98c. En la nave el minutero de un reloj da una revolución completa. ¿Qué tiempo transcurre cuando la medición la realiza un observador en el planeta tierra? 7.- Cierta partícula tiene una vida media de 10 -7s cuando se mide en reposo. ¿Qué distancia recorrerá antes de desintegrarse si su velocidad al crearse es de 0.99c? 8.- ¿A que velocidad se debe mover un electrón para que su masa sea igual a la masa en reposo del protón? Considere que me = 9.11 10-31 kg y mp = 1.67 10-27 kg. 9.- Un hombre tiene masa de 100 kg en la tierra. Cuando se encuentra en un cohete en vuelo, su masa es de 101 kg para un observador en la tierra. ¿Cuál es la velocidad del cohete? 10.- Calcule la cantidad de movimiento lineal de un electrón que se mueve con rapidez de 0.8c. 11.- ¿Cuál es la velocidad que adquiere un electrón cuando se le aplica una diferencia de potencial de 105 v? 12.- Calcule la energía cinética de un electrón que tiene una cantidad de movimiento lineal de 2/c Mev. 13.- La energía total de una partícula es exactamente el doble de su energía en reposo. Obtenga la rapidez con que la partícula se mueve.
14.- La energía cinética de una partícula es el doble de su energía en reposo. Obtenga la rapidez con que la partícula se mueve y exprésela como una fracción de la rapidez de la luz en el vacío. 15.- Calcule la velocidad de un electrón que tiene una energía cinética de 2Mev. 16.- ¿Cuál es la razón de la masa relativista a la masa en reposo de un electrón que tiene una energía cinética de 2 Gev? 17.- ¿Cuánta masa gana un electrón cuando alcanza una velocidad tal que su energía cinética es de 500 Mev? La masa en reposo del electrón es de 9.11 10-31 kg. 18.- a) Un cuerpo con densidad se halla en reposo en un marco de referencia inercial S. ¿Cuál es la densidad de tal cuerpo para un observado inercial O en un marco de referencia inercial S, cuando S se mueve con respecto a S con rapidez constante v, donde v < c y v c? b) Una muestra de oro se encuentra en reposo con respecto a un observador inercial y tiene una densidad de 19.3 g/cm3. ¿Cuál es la densidad del oro cuando la muestra se mueve con rapidez relativa de 0.9c, con respecto al observador? 19.- Una cierta cantidad de hielo a 0C se funde en agua a 0C, por lo que gana 1 kg de masa. ¿Obtenga el valor de la masa inicial? 20.- La dinamita libera aproximadamente 5.4 × 10 6 J/kg cuando explota. ¿Qué fracción de su contenido total en energía representa está cantidad? 21.- Obtenga el incremento de masa de 100 kg de cobre cuando su temperatura se ha incrementado 100 C. El calor específico del cobre es de 93 cal/kgC. 22.- Exprese la forma relativista de la segunda ley del movimiento F = d ( mv )/dt, en función de m, v, c y dv/dt. 23.- Obtenga la velocidad de un electrón de 0.1 Mev según la mecánica clásica y la mecánica relativista. La masa en reposo del electrón es de 9.11 10-31 kg. 24.- Demuestre que E = ( ( Eo )2 + ( pc )2 )1/2, donde p es la magnitud de la cantidad de movimiento lineal relativista. 25.- La energía total de una partícula es de 6 103 Mev y su cantidad de movimiento lineal de 3 103 Mev/c. ¿Cuál es la masa en reposo del electrón? ¿Cuál es la cantidad de movimiento lineal de un electrón que tiene una energía de un 1Mev? 26.- Demuestre que ½ mv2, con m = mo/( 1 – ( v/c )2 )1/2 no es igual a la cinética de una partícula que se mueve con velocidades relativistas ( en el ámbito de la teoría de la relatividad especial). 27.- Un observador que se mueve en el sentido +X (dentro del sistema del laboratorio) con rapidez de 2.9 × 108 m/s encuentra que un objeto se mueve en el sentido -X con rapidez de 2.998 × 108 m/s. ¿Cuál es la rapidez del objeto en el sistema del laboratorio?
28.- Un hombre en la luna observa dos naves espaciales A y B, las que se dirigen hacia él en sentidos opuestos y con rapidez de 0.8c y 0.9c, respectivamente. a) ¿Cuál es la velocidad con la que la nave A se acerca a la luna medida por un hombre que viaja en esta nave? ¿Cuál es la velocidad con la que se acerca el hombre a la nave B? b) ¿Cuál es la velocidad con la que se acerca la nave B a la luna medida por un hombre que viaja en B? ¿Cuál es la velocidad con la que se acerca el hombre a la nave A? 29.- Un hombre abandona la tierra en un poderoso cohete en el que realiza un recorrido de ida y vuelta a la estrella más próxima, situada a una distancia de 4 años luz, con rapidez de 0.9c. El hombre al regresar a la tierra encuentra que su hermano gemelo es más viejo que él. ¿Cuánto tiempo el hombre es más joven que su hermano gemelo que se quedo en la tierra? Un año luz es la distancia que recorre la luz en un año ( 9.46 × 10 15m ). 30.- S y S son dos marcos de referencia inerciales bidimensionales. S se mueve con respecto a S con velocidad constante V, donde V < c y V c. En S se emite un rayo de luz en dirección perpendicular a la del movimiento relativo. Calcule el valor de la velocidad V de S con respecto de S, cuando un observador inercial O en S ve el rayo de luz: a) Inclinado 45 con respecto a la dirección del movimiento. b) Paralelo a la dirección del movimiento.
PROPIEDADES CORPÚSCULARES DE LA RADIACIÓN EFECTO FOTOELÉCTRICO 1.- El umbral de longitud de onda para la emisión fotoeléctrica en el tungsteno es de 2300 Å. ¿ Qué longitud de onda se debe utilizar para expulsar a los electrones de la superficie con una energía máxima de 1.5 eV? 2.- La función de trabajo del sodio es de 2.3eV. ¿Cuál será la energía cinética máxima de los fotoelectrones, si luz de 2000 Å incide sobre la superficie del sodio? 3.- La función de trabajo del potasio es de 2.2 eV. ¿Cuál es la energía cinética máxima en electrón volts de los fotoelectrones que surgen de la superficie del potasio cuando sobre ella incide radiación ultravioleta de 3500 Å? 4.- El umbral de frecuencia para la emisión fotoeléctrica del cobre es de 1.1 1015hz. Determine la energía máxima de los fotoelectrones (en joules y electrón volts) cuando luz de frecuencia de 1.5 1015hz. incide sobre la superficie de cobre. 5.- Una superficie de potasio se ilumina con radiación ultravioleta monocromática. La longitud de onda de la radiación es de 2500 Å y el potasio tiene una función de trabajo de 2.21 eV. ¿Cuál es la energía cinética de los fotoelectrones? 6.- En una celda fotoeléctrica con cátodo de wolframio, los electrones poseen una energía cinética de 8 10-19 J cuando son arrancados por luz de 1250 Å. Calcule el valor de la máxima longitud de onda que debe tener la luz para que de la celda emerjan electrones. 7.- Al incidir sobre la superficie de un metal radiación de 200 nm, los fotoelectrones se mueven con rapidez máxima de 106 m/s. Calcule lo siguiente: a) La energía mínima necesaria que requiere el electrón para dejar la superficie. b) La frecuencia umbral. 8.- El cesio posee la menor de las energías de ionización de todos los elementos. De la superficie del cesio emergen electrones para una longitud de onda máxima de 579 nm. Calcule la energía cinética de los fotoelectrones cuando la superficie del cesio se ilumina con luz verde de 500 nm. 9.- La función de trabajo de una superficie de sodio es de 2.28 ev. ¿Cuál es la energía cinética máxima y la rapidez máxima de un fotoelectrón que emerge de la superficie cuando sobre ella incide luz de 410nm? 10.- La función de trabajo de una superficie de sodio es de 2.28 ev. ¿Cuál es la energía cinética máxima y la rapidez máxima de un fotoelectrón que emerge de la superficie cuando sobre ella incide luz de 550nm? 11.- En circunstancias favorables, el ojo humano puede detectar electromagnética. ¿Cuántos fotones de 6000 Å contiene tal energía?
10 -18J
de energía
12.- ¿Cuántos fotones emite por segundo una lámpara amarilla de 10W? Considere que la luz emitida es monocromática con longitud de onda de 6000 Å.
13.- Un transmisor de radio de 1000 W funciona a una frecuencia de 880 kHz. ¿Cuántos fotones emite por segundo? 14.- La luz del sol llega a la tierra a razón de aproximadamente 1400 W/m 2 de área, perpendicular a la dirección de la luz. a) ¿Cuál es la presión máxima que dicha luz puede ejercer sobre la superficie de la tierra (en lb/pulg2? b) Suponga que la luz del sol consta exclusivamente de fotones de 6000 Å. ¿Cuántos fotones por metro cuadrado llegan a la parte de la tierra que está exactamente en frente del sol en cada segundo? c) El radio promedio de la órbita terrestre es de 1.5 × 1011m. ¿Cuál es la potencia de salida del sol en watts y cuántos fotones emite por segundo? d) ¿Cuántos fotones por metro cúbico se encuentran cerca de la tierra? 15.- ¿Cuánta energía debe tener un fotón para que su cantidad de movimiento lineal sea igual al momento lineal de un protón de 10 Mev? 16.- ¿Qué energía tiene un fotón si su cantidad de movimiento lineal es igual al momento lineal de un electrón de 3 Mev? 17.- Luz monocromática con longitud de onda de 3000 Å incide sobre una superficie. El área de la superficie es de 4 cm 2 y la luz presenta incidencia normal. ¿Cuántos fotones por segundo chocan con la superficie cuando la intensidad de la luz es de 15 10-2 W/m2? 18.- ¿Cuántos fotones de luz visible emite por segundo una bombilla de 100W? Suponga que la bombilla tiene una eficiencia típica de aproximadamente el 3% (esto quiere decir que el 97% de la energía se manifiesta en forma de calor). Considere una longitud de onda promedio a la mitad del espectro visible, de 500 nm 19.- Suponga que los 10 19 fotones emitidos por una bombilla de 100 W se enfocan todos sobre un trozo de papel negro que los absorbe. a) ¿Cuál es la cantidad de movimiento lineal de cada fotón? b) ¿Cuál es la fuerza que ejercen los fotones sobre el papel? Considere una longitud de onda promedio a la mitad del espectro visible, de 500 nm. 20.- Demuestre que no es posible que un fotón ceda toda su energía y cantidad de movimiento lineal a un electrón libre, de modo que el efecto fotoeléctrico pueda tener lugar sólo cuando los fotones golpeen electrones ligados.
RAYOS X
1.- ¿Cuál es la longitud de onda de los rayos X emitidos cuando electrones de 100 kev golpean un blanco? ¿Cuál es su frecuencia? 2.- Un aparato produce rayos X de 0.1 Å. ¿Qué voltaje acelerador emplea? 3.- ¿Cuál es la frecuencia de un fotón de rayos X con una cantidad de movimiento lineal de 1.1 10-23 kg m/s? 4.- Determine el valor de la constante de Planck, a partir del hecho de que la longitud de onda mínima de rayos X producidos por electrones de 40 kev es de 3.11× 10 -11 m. 5.- Un electrón es acelerado en un tubo de rayos X por un potencial acelerador de 5 × 10 3 v antes de chocar con el anticátodo. Calcule: a) La rapidez con la que el electrón alcanza al anticátodo. b) La longitud de onda de los rayos X emitidos cuando el electrón pierde toda su energía cinética en un solo choque. 6.- La longitud de onda de cierto haz de rayos X varía aproximadamente entre 1 y 10 Ǻ. La energía del enlace C-C es de unos 350 kJ/mol. ¿Estos rayos X serán capaces de romper los enlaces C-C? El número de Avogadro es de 6.022 × 10 23 átomos/mol.
EFECTO COMPTON 1.- Un haz monocromático de rayos X con longitud de onda de 0.558 Å se dispersa 46 . Obtenga la longitud de onda del haz dispersado. 2.- Un haz monocromático de rayos X es dispersado por electrones libres. A 45 de la dirección del haz, los rayos X dispersados tienen una longitud de onda de 0.022 Å. ¿Cuál es la longitud de onda de los rayos X en el haz original? 3.- Un haz monocromático de rayos X con longitud de onda de 0.550 Å se dispersa 40 . Obtenga la longitud de onda del haz dispersado. 4.- Un fotón de rayos X con frecuencia de 1.5 1019 Hz choca con un electrón libre y como consecuencia de la colisión su nueva frecuencia es de 1.2 1019 Hz. ¿Cuánta energía cinética se le transmitió al electrón? 5.- Un fotón de rayos X con longitud de onda de 0.140 nm choca con un electrón libre y como consecuencia de la colisión su nueva longitud de onda es de 0.145 nm. a) Obtenga el valor de las frecuencias de los rayos X incidentes y dispersados. b) ¿Cuál es el valor del corrimiento Compton? c) ¿Cuál es el valor del ángulo de dispersión? d) ¿Cuánta energía cinética se le transmitió al electrón? 6.- Un fotón de rayos X tiene una frecuencia en el haz inicial de 3 1019 Hz. El fotón choca con un electrón libre y se dispersa a 90. Determine su frecuencia nueva. 7.- Determine la energía de un fotón de rayos X que puede ceder una energía máxima de 50 kev a un electrón. 8.- Obtenga la energía y la longitud de onda de un fotón que puede ceder un máximo de energía de 60 kev a un electrón libre. 9.- Un haz monocromático de rayos X tiene una longitud de onda de 0.400 Å y es dispersado por electrones libres. Obtenga la fracción de cambio de la longitud de onda cuando el ángulo de dispersión es de 90. 10.- En el experimento de Compton el fotón de rayos X incidente tienen una energía de 0.500 Mev. Después de la interacción del fotón de rayos X con el electrón libre, esté último se mueve con una energía cinética de 0.100 Mev. a) Obtenga la longitud de onda del fotón dispersado. b) ¿Cuál es la frecuencia del fotón dispersado? El electrón se halla en reposo antes de que el fotón incidente choque con él. 11.- En el efecto Compton el electrón en movimiento se mueve con una energía cinética máxima de 45 kev. ¿Cuál es el valor de la longitud de onda del fotón incidente? ¿Cuál es el valor de la longitud de onda del fotón dispersado? ¿Cuál es el valor del corrimiento Compton? ¿Cuál es el valor del ángulo de dispersión?
12.- Obtenga una expresión para la energía cinética del electrón que rebota al incidir sobre él fotones de rayos X de la radiación incidente, en función del corrimiento Compton. 13.- Demuestre que en la dispersión de Compton la relación entre los ángulos que definen las direcciones del fotón dispersado y del retroceso del electrón está dada por la expresión cot = ( 1 + ) tan /2, donde = h/mec2. 14.- Demuestre que en la dispersión de Compton la relación entre la energía cinética del electrón libre y el ángulo está dada por la expresión E c = h(2cos2 )/[(1+)2 - 2 cos2 ], donde = h/mec2. El ángulo es el que forma la dirección de retroceso del electrón con respecto a la dirección del fotón incidente. 15.- a) En el efecto Compton, el electrón libre se halla inicialmente en reposo. Obtenga una expresión para la energía del fotón incidente en función del ángulo de dispersión y de la energía cinética que adquiere el electrón después de que el fotón chocó con él. b) ¿Cuál es el valor de la energía del fotón incidente cuando = 60 y Ec = 0.1 Mev? 16.- Un haz de rayos X monocromáticos tiene una longitud de onda de 1 Å inciden sobre un bloque de grafito. Los rayos X dispersados por electrones libres se observan a 90 del haz incidente. a) Obtenga la frecuencia de los rayos X incidentes. b) Calcule la energía de cada uno de los fotones que forman a los rayos X incidentes. c) ¿Cuál es el corrimiento Compton? d) Obtenga la frecuencia de los rayos X dispersados. e) Calcule la energía de cada fotón que forma a los rayos X dispersados. f) ¿Qué energía cede el fotón de rayos X incidentes a un electrón después de interactuar con él? g) ¿Qué porcentaje de la energía del fotón incidente se pierde en cada colisión con el electrón libre? 17.- Un positrón choca de frente con un electrón y ambos se anulan. Cada partícula tenía una energía cinética de 1Mev. Obtenga la longitud e onda de los fotones resultantes. 18.- Demuestre que cuando un fotón incide sobre un electrón libre se verifica el efecto Compton, es decir, siempre existe un fotón dispersado y nunca se absorbe totalmente la energía del fotón incidente. 19.- En el experimento de Compton un electrón se mueve con energía cinética de 0.100 Mev después de que un fotón de los rayos X incidentes choco con él. El fotón incidente tiene una energía de 0.500 Mev. Obtenga el valor de la longitud de onda del fotón dispersado por el electrón que inicialmente se halla en reposo. 20.- En el efecto Compton, un haz monocromático de rayos X es dispersado por electrones libres. Al medir la energía cinética de los electrones en movimiento se obtiene que su valor máximo es de 20 kev. Calcule la frecuencia del haz de rayos X incidente.
PROPIEDADES ONDULATORIAS DE LAS PARTÍCULAS 1.- Obtenga el valor de la longitud de onda de De Broglie de un electrón que se mueve con velocidad de 108 m/s. 2.- Obtenga el valor de la longitud de onda de De Broglie de un protón que tiene una energía de 1 Mev. 3.- Las dimensiones del núcleo son del orden de 10 -14 m. a) Obtenga el valor de la energía en eV de un electrón cuya longitud de onda de De Broglie es de 10 -15 m y que es, por lo tanto, capaz de revelar detalles de la estructura nuclear. b) Repita el cálculo para un neutrón. 4.- Los neutrones en equilibrio con la materia a la temperatura ambiente (300K) tienen una energía media de 1/25 ev, aproximadamente (estos neutrones se conocen normalmente con el nombre de “neutrones térmicos). Determine el valor de su longitud de onda de De Broglie. 5.- Calcule la longitud de onda de la onda asociada a un hombre de 80 kg que corre con rapidez de 10 m/s. 6.- Obtenga el valor de la longitud de onda asociada a un electrón que se acelera a través de una diferencia de potencial de 500v. 7.- ¿Qué diferencia de potencial se debe aplicar a un electrón para acelerarlo y lograr una longitud de onda asociada de 0.21 nm? 8.- Un electrón tiene una longitud de onda asociada de 6 ×10 -10 m. ¿Cuál es la cantidad de movimiento lineal del electrón? ¿Cuál es la rapidez con que se mueve el electrón? ¿Qué diferencia de potencial se le aplicó al electrón para alcanzar tal rapidez? 9.- Calcule la longitud de onda de la onda asociada a un protón que se mueve con rapidez de c/2. La masa del protón es de 1.67 × 10-27 kg. 10.- Obtenga la expresión de la energía de un fotón de frecuencia , partiendo de la relación de De Broglie. 11.- Obtenga una expresión para la longitud de onda de De Broglie ( en Å ) de un electrón, en función de la diferencia de potencial V ( en volts ) por medio del cual es acelerado. 12.- Obtenga la longitud de onda de De Broglie asociada a un electrón acelerado por un potencial eléctrico V. El electrón se mueve con rapidez pequeña comparada con la rapidez de la luz en el vacío.
13.- Un electrón libre se halla a una distancia muy grande de un protón. Obtenga la longitud de onda de De Broglie asociada al electrón en función de la distancia. Use el resultado anterior para obtener la longitud de onda de De Broglie del electrón cuando se halla a : i) 1m del protón y ii) 0.5 × 10-10m del protón. El electrón se mueve con rapidez pequeña comparada con la rapidez de la luz en el vacío. 14.- Deduzca una fórmula para la longitud de onda de De Broglie de una partícula en función de su energía cinética Ec y de su energía en reposo E o = mo c2. ¿Compare la longitud de onda de la partícula con la longitud de onda de un fotón de la misma energía, cuando E c moc2. 15.- Demuestre que, si un electrón y un protón tienen la misma energía cinética no relativista, la longitud de onda asociada al protón es más corta que la asociada al electrón. 16.- Considere que las ondas electromagnéticas son un caso especial de las ondas de De Broglie. Demuestre que en estas condiciones los fotones se deben mover con la velocidad de onda c y que la masa en reposo de un fotón es de 0 kg. 17.- Demuestre que el cociente entre las longitud de onda de De Broglie y la de Compton para la misma partícula es igual a ( ( c/v )2 – 1 )1/2. 18.- ¿Cuál es la longitud de onda de De Broglie de neutrones térmicos a la temperatura de 25C? 19.- La rapidez de las ondas en una superficie líquida es ( 2 S/ )1/2 donde S es la tensión superficial y la densidad volumétrica del líquido. Obtenga la magnitud de la velocidad de grupo de estas ondas. 20.- La rapidez de las olas del océano es ( g/2 )1/2 donde g es la aceleración de la gravedad. Obtenga la magnitud de la velocidad de grupo de estas ondas.
PRINCIPIO DE INCERTIDUMBRE O PRINCIPIO DE INDETERMINACIÓN
1.- Se determinan al mismo tiempo la posición y la cantidad de movimiento lineal de un electrón con energía de 1Mev. Considere que la posición se determina con una precisión de 1Å. ¿Cuál es el porcentaje de incertidumbre en su cantidad de movimiento lineal? 2.- Se determinan al mismo tiempo la posición y la cantidad de movimiento lineal de un electrón de 1kev. ¿Cuál es el porcentaje de incertidumbre en la cantidad de movimiento lineal del electrón cuando su posición se determina con una precisión de 1 Å? 3.- Compare las incertidumbres de las velocidades de un electrón y de un protón confinados en una caja de 10 Å. 4.- Un microscopio electrónico utiliza electrones de 40 kev. Determine su poder de resolución, para ello suponga que es igual a la longitud de onda de los electrones. 5.- Las longitudes de onda se pueden determinar con una precisión de 1 en 10 6. ¿Cuál es la incertidumbre en la posición de un fotón de rayos X de 1 Å cuando se mide simultáneamente su longitud de onda? 6.- Suponga que la cantidad de movimiento lineal de un electrón se mide con una aproximación de 1 en 103 . Obtenga la incertidumbre mínima en la posición del electrón cuando se mueve con rapidez de 1.8 ×108 m/s. 7.- Suponga que la incertidumbre en la cantidad de movimiento lineal de una partícula es igual a su momento lineal. Obtenga la relación entre la incertidumbre mínima en la posición de la partícula y su longitud de onda de De Broglie. 8.- Una partícula de masa m está confinada en un segmento de línea recta de longitud L. Use el principio de incertidumbre para estimar el valor menor de la energía que puede tener el cuerpo. 9.- Considere que una partícula de masa m se mueve el línea recta con energía cinética E = ½ mv2. Demuestre que E t h/4, donde t = x/v. 10.- Compruebe que el principio de incertidumbre se puede expresar en la forma L h/2, donde L es la incertidumbre en la cantidad de movimiento angular del cuerpo y es la incertidumbre de la elongación angular. Sugerencia (considere que la partícula se mueve a lo largo de una circunferencia realizando un movimiento circular uniforme. 11.- Se observa un electrón libre localizado en una zona de 10 -10 m. ¿Cuál será la indeterminación de su posición en el transcurso de 1s?
12.- Suponga que una partícula de masa m se mueve en línea recta con rapidez v y tiene una energía cinética E = ( ½ ) mv2. Demuestre que E t h/4, donde t = x/v.
13.- Suponga que la incertidumbre en la cantidad de movimiento lineal de una partícula es igual a su cantidad de movimiento lineal. Obtenga una relación entre la incertidumbre mínima en la posición de la partícula y su longitud de onda de De Broglie asociada.
MODELOS ATÓMICOS 1.- Una partícula alfa de 5 Mev alcanza a un núcleo de oro con un parámetro de impacto de 2.6 10-13m. ¿Bajo qué ángulo será dispersada? 2.- Determine el valor de la mínima distancia de aproximación de los protones de 1 Mev que inciden sobre núcleos de oro. 3.- ¿Qué fracción de un haz de partículas alfa de 7.7 Mev que inciden sobre una lamina de oro de 3 ×10-7 m de espesor se dispersa con un ángulo menor de 1? 4.- Determine el valor de la longitud de onda de la línea espectral correspondiente a la transición en el hidrógeno de los estados excitados ni = 6 al nf = 3. 5.- Determine el valor de la longitud de onda de la línea espectral correspondiente a la transición en el hidrógeno del estado ni = 10 a su estado fundamental. 6.- ¿Qué energía se requiere para extraer a un electrón del átomo de hidrógeno en el estado excitado n = 2? 7.- Un haz de electrones bombardea una muestra de hidrógeno. ¿Cuál es la diferencia de potencial que se debe aplicar a los electrones para que el átomo emita la primera línea de la serie de Balmer? 8.- Un átomo de hidrógeno tiene su electrón en el primer estado excitado. El electrón absorbe la energía de un fotón y es liberado del átomo con una energía cinética de 10 ev. Calcule el valor de la frecuencia del fotón emitido. 9.- Longitud de onda de una de las líneas de la serie de Balmer es de 379.8 nm. ¿Cuál es el número de orden de la línea en la serie? 10.- ¿A qué temperatura, en estado gaseoso, se igualará la energía cinética molecular media con la energía de enlace de un átomo de hidrógeno? 11.- La vida media de un estado atómico excitado es de 10 -8 s. Obtenga la anchura de la línea cuando la longitud de onda de la línea espectral asociada con la desaparición del estado es de 5000 Å. 12.- Calcule la velocidad de retroceso de un átomo de hidrógeno cuando emite un fotón al pasar del estado 4 al estado fundamental. Considere que 1Å -1 0 m, me -31 kg, mH . -27 kg, R 109 7 m-1, h 6.63 1-34 Js, 8.85 10-12 c2 /Nm2 Y 1ev 1.6 10-19J.
13.- ¿Cuántas revoluciones realiza el electrón del átomo de hidrógeno en el estado excitado n = 2 antes de caer al estado fundamental? Considere que la vida media de un estado excitado es de 10-8 s, aproximadamente. 14.- Una mezcla de hidrógeno ordinario y tritio (isótopo del hidrógeno que tiene un núcleo con una masa aproximadamente tres veces mayor que la del hidrógeno ordinario) se excita. ¿Qué separación tendrán las longitudes de onda de las líneas H en los espectros de los dos tipos de hidrógeno? 15.- La masa del electrón es me = 9.11×10-31 kg, mientras que mNH = 1800 me y mND = 3600 me son las masas de los núcleos del hidrógeno y deuterio, respectivamente. a) Obtenga las energías de ionización del hidrógeno y deuterio para el estado fundamental en función de sus masas reducidas. b) ¿Cuál es la diferencia entre las energías de ionización? 16.- Un mesón - (m = 207 me) puede ser capturado por un protón para formar un átomo mesónico. Calcule el valor del radio de la primera órbita de Bohr para este átomo. 17.- Un mesón - (m = 207 me) se encuentra en el estado excitado 2 de un átomo de titanio. Calcule el valor de la energía radiada cuando el átomo mesónico cae a su estado fundamental. 18.- Un positronio es un sistema formado por un positrón (electrón positivo) y un electrón. a) Compare la longitud de onda de un fotón emitido en la transición de los estados excitados del 3 al 2 en el positronio con la línea H. b) Compare la energía de ionización del positronio con la del hidrógeno. 19.- En un ión hidrogenoide la longitud de onda de la segunda línea de la serie de Balmer es de 54.1 nm. ¿De qué ión se trata? ¿Cuál es la energía del electrón en el estado fundamental? 20.- En un ión hidrogenoide la diferencia entre las longitudes de onda mayores de las series de Lyman y Balmer es de 33.5 nm. ¿De qué ión hidrogenoide se trata?
MECÁNICA CUÁNTICA CLÁSICA
1.- Verifique que todas las soluciones de la ecuación de onda unidimensional 2 ( x, t )
2 ( x, t ) = v2
t2
deben ser de la forma ( x, t ) = F ( t - x/v ). x2
2.- Las funciones de onda 1( x, t ) y 2( x, t ) son soluciones de la ecuación de Schrödinger para un potencial dado V( x ). Demuestre que la combinación lineal ( x, t ) = a1 1( x, t ) + a2 2( x, t ) también es solución de la ecuación de Schrödinger, donde a 1 y a2 son constantes arbitrarias. (Este resultado concuerda con la observación empírica de la interferencia de ondas de De Broglie, por ejemplo, en el experimento de Davisson – Germer). 3.- ¿Cuáles son los valores de los tres niveles de energía inferiores para un electrón confinado en una caja unidimensional 1×10-10 m de ancho? 4.- Obtenga la energía más baja de un neutrón confinado en una caja unidimensional de 10 -14 m de ancho. El tamaño del núcleo es de este orden de magnitud. 5.- ¿Los operadores hermitianos de la energía cinética y la cantidad de movimiento lineal se pueden medir con la misma precisión en un mismo aparato de medida? 6.- ¿Los operadores hermitianos de la energía cinética y la posición se pueden medir con la misma precisión en un mismo aparato de medida. 7.- Obtenga el valor de expectación de la energía cinética para la partícula en una caja unidimensional en el estado fundamental. 8.- Obtenga el valor de expectación de la cantidad de movimiento lineal para la partícula en una caja unidimensional en el estado fundamental. 9.- Un electrón se encuentra en el estado fundamental de una caja unidimensional de longitud L. Obtenga la probabilidad de encontrar al electrón en la región formada por la cuarta parte izquierda de la caja, es decir, entre 0 y L/4. 10.- Una partícula se encuentra en el estado fundamental de una caja unidimensional de longitud L. Obtenga la probabilidad de encontrar a la partícula en la región central de la caja, es decir, entre L/4 y 3L/4. 11.- Un electrón se encuentra en el estado excitado n = 2 de una caja unidimensional de longitud 1×10-10 m. ¿Cuál es la posición más probable que presenta el electrón? ¿Cuál es la posición promedio o valor de expectación para la posición del electrón?
12.- De acuerdo con el principio de correspondencia, la teoría cuántica da en el límite superior los mismos resultados que la física clásica, lo cual ocurre cuando los números cuánticos son lo suficientemente grandes. Demuestre que, cuando n , la probabilidad de encontrar una partícula atrapada en una caja unidimensional entre x y x + dx es independiente de x, que es lo que daría la teoría clásica 13.- Una propiedad importante de las eigenfunciones o funciones características de un sistema es que son ortogonales entre si, lo cual significa que n( x ) m( x ) dV = 0 para n m. Verifique esta relación para las eigenfunciones o funciones - características de una partícula en una caja unidimensional, con la ayuda de la relación sen = ( ei - e-i )/2i. 14.- Obtenga la energía del punto cero en ev de un péndulo simple cuyo periodo es de 1s 15.- De acuerdo con la física clásica elemental, la energía total de un oscilador armónico de masa m, frecuencia y amplitud o está dada por la expresión E = 22 2 m (o)2. Use el principio de incertidumbre o indeterminación para comprobar que la mínima energía posible del oscilador es h/2, considerando que x = o. . 16.- Demuestre que los valores esperados de las energías cinética y potencial de un oscilador armónico simple están dados por la expresión Ec Ep E / 2 cuando se D 1,1Å -1 0 m, me -31kg, h 6.63 10-34 Js, 8.85 10-12 c2 /Nm2 ,1ev 1.6 10-19J. 17.- Demuestre que las tres primeras funciones características de un oscilador armónico son soluciones normalizadas de la ecuación de Schrödinger. 18.- Demuestre que H3( y ) = 8y3 – 12y. 19.- Demuestre que H2( y ) = 4y2 – 2.
