SCC-1013 INVESTIGACION DE OPERACIONES M.C. JESÚS FRANCISCO TEJEDA CASTREJÓN
Ejercicios sobre Programación Lineal
ESTUDIANTE PEDRO BERNABÉ TAPIA TOVAR ING. EN SISTEMAS COMPUTACIONALES EN MODALIDAD MIXTA N° DE CONTROL: 16460308 TERCER SEMESTRE
8-1 (Problema de producción) Winkler Furniture fabrica dos tipos diferentes de vitrinas para porcelana: un modelo Francés Provincial y un modelo Danés Moderno. Cada vitrina producida debe pasar por tres departamentos: carpintería, pintura y terminado. La tabla que sigue contiene toda la información relevante respecto a tiempos de producción por vitrina y capacidades de producción diarias para cada operación, al igual que el ingreso neto por unidad producida. La empresa tiene un contrato con un distribuidor de Indiana para producir un mínimo de 300 de cada tipo de vitrina por semana (o 60 vitrinas por día). El dueño Bob Winkler quiere determinar una mezcla de productos que maximice su ingreso diario.
a) Formule como un problema de PL. b) Resuelva con un software de PL o una hoja de cálculo.
X1=produce 60 números de francés provincial X2=produce 90 números de danés moderno. Los ingresos = $3,930
8-1 (Problema de producción) Winkler Furniture fabrica dos tipos diferentes de vitrinas para porcelana: un modelo Francés Provincial y un modelo Danés Moderno. Cada vitrina producida debe pasar por tres departamentos: carpintería, pintura y terminado. La tabla que sigue contiene toda la información relevante respecto a tiempos de producción por vitrina y capacidades de producción diarias para cada operación, al igual que el ingreso neto por unidad producida. La empresa tiene un contrato con un distribuidor de Indiana para producir un mínimo de 300 de cada tipo de vitrina por semana (o 60 vitrinas por día). El dueño Bob Winkler quiere determinar una mezcla de productos que maximice su ingreso diario.
a) Formule como un problema de PL. b) Resuelva con un software de PL o una hoja de cálculo.
X1=produce 60 números de francés provincial X2=produce 90 números de danés moderno. Los ingresos = $3,930
8-2 (Problema de decisión de inversión) La agencia de correduría Heinlein and Krampf acaba de recibir instrucciones de uno de sus clientes para invertir $250,000 de su dinero obtenido recientemente con la venta de tierras en Ohio. El cliente tiene mucha confianza confi anza en la casa de inversiones, pero también tiene sus propias ideas acerca de la distribución de los fondos a invertir. En particular pide que la agencia seleccione las acciones y los bonos que consideren bien clasificados, aunque dentro de los siguientes lineamientos: a) Los bonos municipales deberían constituir al menos 20% de la inversión. b) Por lo menos 40% de los fondos deben colocarse en una combinación de empresas electrónicas, empresas aeroespaciales y fabricantes de medicamentos. c) No más de 50% de la cantidad invertida en bonos municipales tiene que colocarse en acciones de clínicas privadas de alto riesgo y alto rendimiento. Sujeta a estas restricciones, la meta del cliente es maximizar el rendimiento sobre la inversión proyectado. Los analistas en Heinlein and Krampf, conscientes de dichos lineamientos, preparan una lista de acciones y bonos de alta calidad, así como de sus correspondientes tasas de rendimiento:
a) b)
Formule este problema de selección de portafolios usando PL. Resuelva el problema.
8-2
8-2
8-3 (Problema de programación del trabajo en un restaurante) El famoso restaurante Y. S. Chang está abierto las 24 horas. Los meseros y los ayudantes se reportan a trabajar a las 3 A.M., 7 A.M., 11 A.M., 3 P.M., 7 P.M. u 11 P.M., y cada uno cumple con un turno de 8 horas. La siguiente tabla muestra el número mínimo de trabajadores necesarios durante los seis periodos en que se divide el día. El problema de programación de Chang consiste en determinar cuántos meseros y ayudantes deben reportarse a trabajar al inicio de cada periodo, con la finalidad de minimizar el personal total requerido para un día de operaciones. (Sugerencia: Sea Xi igual al número de meseros y ayudantes que comienzan a trabajar en el periodo i, donde i = 1, 2, 3, 4, 5, 6).
Minimizar= X1 + X2 + X3 + X4 + X5 + X6 Xi= número de trabajadores reportados al comienzo del trabajo en el periodo i. X1 + X2 ≥ 12 X2 + X3 ≥ 16 X3 + X4 ≥ 9 X4 + X5 ≥ 11 X5 + X6 ≥ 4 X1 + X6 ≥ 3 Todas las variables ≥0
8-3
LA SOLUCIÓN ES CONTRATAR A 30 TRABAJADORES
16 QUE COMIENCEN A LAS 7:00 AM. 9 QUE COMIENCEN A LAS 3:00 P.M. 2 QUE COMIENCEN A LAS 7:00 PM 3 QUE COMIENCEN A LAS 11:00 P.M.
8-4 (Problema de mezcla de alimento para animales) El establo Battery Park alimenta y alberga a los caballos que jalan los carruajes, que llevan a turistas por las calles del área histórica del muelle en Charleston. El dueño del establo, un ex entrenador de c aballos de carreras, reconoce la necesidad de tener una dieta nutritiva para los caballos bajo su cuidado. Al mismo tiempo, desea que el costo diario general del alimento sea mínimo. Las mezclas de alimento disponibles para la dieta de los caballos son un producto de avena, un grano enriquecido y un producto mineral. Cada una de las mezclas contiene cierta cantidad de cinco ingredientes que se necesitan diariamente para mantener saludable al caballo promedio. La tabla con el número de este problema muestra los requerimientos mínimos, las unidades de cada ingrediente por libra de mezcla de alimento y los costos de las tres mezclas. Además, el dueño del establo sabe que un caballo sobrealimentado es un mal trabajador. En consecuencia, determina que 6 libras de alimento por día es lo más que cualquier caballo necesita para funcionar bien. Formule este problema y obtenga la mezcla diaria óptima de los tres alimentos.
X1= número de libras de producto de avena por caballo cada día. X2= número de libras de grano enriquecido por caballo cada día. X3= número de libras de producto mineral por caballo cada día. Minimizar costo= 0.09X1 + 0.14X2 + 0.17X3 2X1 + 3X2 + 1X3 ≥ 6 (ingredientes A) 0.5X1 + 1X2 + 0.5X3 ≥ 2 (ingredientes B) 3X1 + 5X2 + 6X3 ≥ 9 (ingredientes C) 1X1 + 1.5X2 + 2X3 ≥ 8 (ingredientes D) 0.5X1 + 0.5X2 + 1.5X3 ≥ 5 (ingredientes E) X1 + X2 + X3 ≤ 6 (máximo comida por día) Todas las variables ≥ 0
8-4
X1=1.3333 X2=0 X3=3.3333 Valor optimo= 0.687
8-5 La corporación Kleenglass fabrica una lavadora de platos que tiene un poder de limpieza excelente. Esta lavadora usa menos agua que la mayoría de la competencia y es muy silenciosa. Las órdenes se reciben de varias tiendas para entregar al final de cada uno de los tres meses siguientes, como se indica a continuación:
8-5
Min Z = 300RT1+300RT2+300RT3+325OT1+325OT1+325OT3+20E1+20E2+20E3 Sujeto a: RT1 ≤ 200 RT2 ≤ 200 RT3 ≤ 200 OT1 ≤ 15 OT2 ≤ 15 OT3 ≤ 15
-E1+RT1+OT1 = 195 -E2+E1+RT2+OT2 = 215 -E3+E2+RT3+0T3 = 205 Xi ≥ 0; i = 1, 9. (no negatividad)
8-6 Eddie Kelly está en la competencia para la reelección como alcalde de un pequeño condado de Alabama. Jessica Martínez, la jefa de campaña de Kelly durante esta elección, está planeando la campaña de marketing y sabe que existe una competencia cerrada. Martínez seleccionó cuatro formas de propaganda: spots de televisión, anuncios de radio, carteles espectaculares e inserciones en periódicos. Los costos, la audiencia expuesta por tipo de medio y el número máximo de cada uno se muestran en la siguiente tabla:
Además, Martínez decidió que debería haber al menos seis anuncios en TV o radio, o alguna combinación de estos. La cantidad gastada en espectaculares y periódicos juntos no debe exceder la cantidad gastada en TV. Aunque la recolección de fondos continúa, el presupuesto mensual para propaganda se estableció en $15,000. ¿Cuántos anuncios de cada tipo debería colocar para maximizar el número de personas expuestas? T= número de anuncios de TV R= número de anuncios de radio. B= número de anuncios por cartelera. N= número de anuncios por comercio. Maximizar total de anuncios= 30,000T + 22,000R + 24,000B + 8,000N Sujeto a: 800T + 400R + 500B + 100N ≤ 15,000 T ≤ 10 R ≤ 10 B ≤ 10 N ≤ 10 T+R≥6 500B + 100N ≤ 800T T, R, B, N ≥ 0
8-6
8-7 (Problema de selección de medios) El directo de publicidad de Diversey Paint and Supply, una cadena de cuatro tiendas en el lado norte de Chicago, considera la posibilidad de dos medios de comunicación. Un plan es una serie de anuncios de media página en el Chicago Tribune dominical y la otra es tiempo de comerciales en la televisión de Chicago. Las tiendas están expandiendo sus líneas de herramientas “hágalo usted mismo” y el director de publicidad está interesado en un nivel de exposición de, al menos,
40% dentro de los vecindarios de la ciudad, y 60% en la s áreas suburbanas de noroeste. El horario de televisión en consideración tiene una tasa de exposición de 5% por spot en los hogares de la ciudad y de 3% en los suburbios del noroeste. El periódico dominical tiene tasas correspondientes de exposición de 4% y 3% por anuncio. El costo de media página en el Tribune es de $925; un spot de televisión cuesta $2,000. Diversey Paint quiere seleccionar la estrategia de publicidad de menor costo que satisfaga los niveles de exposición deseados. a) Formule con programación lineal. b) Resuelva el problema. X1= número de anuncios colocados en periódicos. X2= número de spots puestos en TV. Minimizar costo= $925X1 + $2000X2 Sujeto a: 0.04X1 + 0.05X2 ≥ 0.40 0.03X1 + 0.03X2 ≥ 0.60 X1, X2 ≥ 0
X1= comprar 20 anuncios de periódico domingo. X2= comprar 0 anuncios de televisión. El costo es= $18,500
8-8 (Problema de renta de automóviles) Sundown Rent-aCar, un agencia grande de renta de automóviles que opera en el medio oeste, está preparando su estrategia de arrendamiento para los siguientes seis meses. Sundown renta autos de un fabricante de vehículos y, luego, los renta al público por día. En la siguiente tabla se da un pronóstico de demanda para los automóviles de Sundown en los próximos seis meses:
Los autos pueden rentarse al fabricante por tres, cuatro o cinco meses. Se rentan el primer día del mes y se regresan el último día. Cada seis meses Sundown notifica al fabricante el número de automóviles que necesitará durante los siguientes seis meses. El fabricante ha estipulado que al menos 50% de los autos rentados durante los seis meses deben tener un contrato por cinco meses. El costo mensual de cada uno de los tres tipos de renta es de $420 por tres meses, $400 por cuatro meses y $370 por cinco meses. Actualmente, Sundown tiene 390 autos. El contrato sobre 120 autos expira al final de marzo. El contrato sobre otros 140 expira al final de abril y el contrato sobre el resto expira al final de mayo. Utilice PL para determinar cuántos automóviles deberían rentarse cada mes y con qué tipo de contrato, para minimizar el costo de renta para los seis meses. ¿Cuántos vehículos quedarían la final de agosto? Xij= número de nuevos contratos de arrendamiento en el mes de i-j. Minimizar costo = 1260X13 + 1260X23 + 1260X33 + 1260X43 + 840X53 + 420X63 + 1600X14 + 1600X24 + 1600X34 + 1200X44 + 800X54 + 400X64 + 1850X15 + 1850X25 + 1480X35 + 1110X45 + 740X55 + 370X65 Sujeto a: X13 + X14 + X15 ≥ 420 - 390 X13 + X14 + X15 + X23 + X24 + X25 ≥ 400 - 270 X13 + X14 + X15 + X23 + X24 + X25 + X33 + X34 + X35 ≥ 430 - 130 X14 + X15 + X23 + X24 + X25 + X33 + X34 + X35 + X43 + X44 + X45 ≥ 460 X15 + X24 + X25 + X33 + X34 + X35 + X43 + X44 + X45 + X53 + X54 + X55 ≥ 470 X25 + X34 + X35 + X43 + X44 + X45 + X53 + X54 + X55 + X63 + X64 + X65 ≥ 440 X15 + X25 + X35 + X45 + X55 + X65 ≥ 0.50(X13 + X14 + X15 + X23 + X24 + X25 + X33 + X 34 + X35 +
X43 + X44 + X45 + X53 + X54 + X55 + X63 + X64 + X65) Todas las variables ≥ 0
VALOR OPTIMO = $677,100
8-9 La gerencia de Sundown Renta-a-Car (véase el problema 8-8) ha decidido que tal vez el costo durante los seis meses no es el adecuado para minimizar, ya que la agencia puede quedar con obligaciones de renta durante meses adicionales después de los seis meses. Por ejemplo, si Sundown recibe algunos autos al principio del sexto mes, la agencia estaría obligada por dos meses más en un contrato de tres meses. Utilice PL para determinar cuántos autos debería rentar cada mes en cada tipo de contrato, para minimizar el costo de renta en la vida completa de estos contratos. Minimizar costo 1260(X13 + X23 + X33 + X43 + X53 + X63) + 1600(X14 + X24 + X34 + X44 + X54 + X64) +1850(X15 + X25 + X35 + X45 + X55 + X65)
X15= 30 X25=205 X34=65 X43=170
Total costo= $752,950
8-10 (Problema de transporte de estudiantes de secundaria) El superintendente de educación de Arden County, Maryland, es responsable de asignar estudiantes a tres escuelas secundarias en su condado. Reconoce la necesidad de transportar a cierto número de estudiantes, ya que varios sectores del condado están más allá de una distancia que pueda recorrerse caminando. El superintendente hace una partición del condado en cinco sectores geográficos con la finalidad de intentar establecer un plan que minimice el número total de millas estudiante viajadas en el autobús. También reconoce que si ocurre que un estudiante vive en cierto sector y es asignado a la escuela en ese sector, no hay necesidad de transportar a ese estudiante, ya que puede caminar a la escuela. Las tres escuelas están localizadas en los sectores B, C y E. La siguiente tabla refleja el número de estudiantes en edad de secundaria que viven en cada sector y la distancia en millas de cada sector a cada escuela:
Cada escuela tiene una capacidad para 900 estudiantes. Establezca la función objetivo y las restricciones de este problema con PL, de manera que se minimice el número total de millas- estudiante viajadas en autobús. (Observe el parecido con el problema de transporte ilustrado al inicio del capítulo.) Luego, resuelva el problema. Minimizar = 5XAB + 8XAC + 6XAE + 0XBB + 4XBC + 12XBE + 4XCB + 0XCC +7XCE + 7XDB + 2XDC + 5XDE 12XEB + 7XEC + 0XEE
Sujeto a: XAB + XAC + XAE = 700 (número de estudiantes en el sector A) XBB + XBC + XBE = 500 (número de estudiantes en el sector B) XCB + XCC + XCE = 100 (número de estudiantes en el sector C) XDB + XDC + XDE = 800 (número de estudiantes en el sector D) XEB + XEC + XEE = 400 (número de estudiantes en el sector E) XAB + XBB + XCB + XDB + XEB ≤ 900 (capacidad de escuela B) XAC XBC XCC XDC XEC ≤ 900 (capacidad de escuela C) XAE XBE XCE XDE XEE ≤ 900 (capacidad de escuela E) Todas las variables ≥ 0
8-10
Valor optimo = 5.400 estudiantes
8-11 (Problema de estrategia de marketing y fijación de precios) La tienda I. Kruger Paint and Wallpaper es un distribuidor minorista grande de la marca Supertrex de tapiz de vinil. Kruger mejorará su imagen en toda la ciudad de Miami, si el siguiente año logra vender más que otras tiendas del lugar en cuanto al número total de rollos de Supertrex. Es posible estimar la función de demanda como sigue: Número de rollos de Supertrex vendidos = 20 X dólares gastados en publicidad + 6.8 X dólares gastados en exhibidores para las tiendas + 12 X dólares invertidos en inventario de tapiz disponible – 65,000 X porcentaje de margen de ganancia sobre el costo de venta al mayoreo de un rollo. La tienda tiene un presupuesto total de $17,000 para publicidad, exhibidores en tienda e inventario disponible de Supertrex para el siguiente año. Decide que debe gastar por lo menos $3,000 en publicidad; además, por lo menos 5% de la cantidad invertida en inventario disponible debería dedicarse a exhibidores. El margen de ganancia de Supertrex en otras tiendas locales está entre 20% y 45%. Kruger decide que será mejor que su margen de ganancia también esté en este rango. a) Formule como un problema de programación lineal. b) Resuelva el problema. c) ¿Cuál es la dificultad con la respuesta?
VALORES X1= dólares gastados en publicidad X2= dólares gastados en exhibidores para las tiendas X3= dólares invertidos en inventario X4= porcentaje de margen de ganancia Max Z = 20X1 + 6.8X2 + 12X3 – 65000X4 Sujeto a: X1 + X2 + X3 ≤ $17000 Presupuesto X1 ≥ $ 3000 Publicidad X2 ≥ 0.05 X3 Exhibidores X4 ≥ 0.20 Rango de X4 ≤ 0.45 ganancias Xi ≥ 0; i = 1,4t
8-12 (Problema de selección de alimentos en la universidad) Kathy Roniger, la dietista de una universidad pequeña, es responsable de formular un plan de alimentos nutritivos para los estudiantes. Para una comida en la tarde, piensa que deberían cumplirse los siguientes cinco requerimientos de contenido: 1. entre 900 y 1,500 calorías; 2. al menos 4 miligramos de hierro; 3. no más de 50 gramos de grasa; 4. al menos 26 gramos de proteína, y 5. no más de 50 gramos de carbohidratos. En un día dado, el inventario de alimentos de Roniger incluye siete artículos que se pueden preparar y servir de manera que la cena cumpla tales requerimientos. El costo por libra de cada alimento y la contribución de cada uno a los cinco requerimientos nutricionales están dados en la siguiente tabla.
¿Qué combinación y qué cantidades de alimentos proporcionará la nutrición que Roniger requiere por el menor costo total de la comida? a) Formule como un problema de PL. Min Z = 0.60X1+2.35X2+1.15X3+2.25X4+0.58X5+1.17X6+0.33X7 Sujeto a: 295X1+1216X2+394X3+358X4+128X5+118X6+279X7 ≤ 1500 Cal. 295X1+1216X2+394X3+358X4+128X5+118X6+279X7 ≥ 900 min.cal 0.2X1+0.2X2+4.3X3+3.2X4+3.2X5+14.1X6+2.2X7 ≥ 4 Cant. Hierro 16X1+96X2+9X3+0.5X4+0.8X5+1.4X6+0.5X7 ≤ 50 Cant.Grasa 16X1+81X2+74X3+83X4+7X5+14X6+8X7 ≥ 26 Cant.Prot. 22X1+28X5+19X6+63X7 ≤ 50 Cant. C.H. Xi ≥ 0; i=1,2,3,4,5,6,7
b) ¿Cuál es el costo por comida? 0.4991 lb de carne molida x $2.35 = 1.17 0.1728 lb de pollo x $1.15 = 0.20 0.1050 lb de espinaca x $1.17 =0.12 0.7620 lb de papas x $0.33 =0.25 Total: el costo por comida sería de $1.75 c) ¿Es esta una dieta bien balanceada? Es buena y equilibrada, podría afectar la fluctuación de precios.
8-13 (Problema de producción de alta tecnología) Quitmeyer Electronics Inc. fabrica los siguientes seis dispositivos periféricos para microcomputadoras: módems internos, módems externos, tarjeta de gráficos, lectores de CD, discos duros y tarjetas de expansión de memoria. Cada uno de estos productos técnicos requiere tiempo, en minutos, sobre tres tipos de equipo electrónico de pruebas, como se indica en la tabla correspondiente.
Los primeros dos dispositivos de prueba están disponibles 120 horas por semana. El tercero (dispositivo 3) requiere más mantenimiento preventivo y puede usarse tan solo 100 horas semanales. El mercado para los seis componentes de computadora es enorme y Quitmeyer Electronics cree que puede vender todas las unidades de cada producto que pueda fabricar. La tabla que sigue resume los ingresos y costos de materiales para cada producto:
Además, los costos variables de mano de obra son de $15 por hora del dispositivo de prueba 1, $12 por hora del dispositivo de prueba 2 y $18 por hora del dispositivo de prueba 3. Quitmeyer Electronics desea maximizar sus ganancias. a) Formule este problema como un modelo de PL. b) Resuelva el problema por computadora. ¿Cuál es la mejor mezcla de productos? c) ¿Cuál es el valor de un minuto adicional de tiempo por semana para el dispositivo 1? ¿Para el dispositivo 2? ¿Y para el dispositivo 3? ¿Debería Quitmeyer Electronics agregar más tiempo de dispositivo de prueba? Si es así, ¿de qué equipo?
FUNCIÓN OBJETIVO: Max. 63X1 + 44X2 + 22X3 Sujeto a: 1.75X1 + 0.40X2 + 1.50X3 >= 165 costos total mano de obra variable 0.75X1 + X2 + 0.30X3 >= 95 costos total mano de obra variable 3X1 + 0.60X2 + 0.90X3 >= 140 costos total mano de obra variable 1.5X1 + 0.40X2 + 0.60X3 >= 85 costos total mano de obra variable 4.50X1 + 3X2 + 2.70X3 >= 260 costos total mano de obra variable 4.25X1 + 3.40X2 + 0.60X3 >= 200 costos total mano de obra variable X1, X2, X3 >= 0
8-14 (Problema de dotación de personal de un planta nuclear) South Central Utilities acaba de anunciar la inauguración el 1 de agosto del segundo generador a su planta nuclear de Baton Rouge, Louisiana. Su departamento de personal está dirigido a determinar cuántos técnicos nucleares necesita contratar y capacitar durante lo que resta del año. La planta actualmente emplea 350 técnicos completamente capacitados y proyecta las siguientes necesidades de personal:
Según la ley de Louisiana, un empleado en un reactor de hecho no puede trabajar más de 130 horas por mes. (Un poco más de una hora por día se usa para entrar y salir, actualización de registros y análisis médico diario por la radiación). La política de South Central Utilities también dicta que no son aceptables los despidos en los meses en que la planta nuclear tiene más personal del necesario. Entonces, si se dispone de más personal capacitado del necesario en cualquier mes, cada trabajador recibe su paga completa, aunque no haya sido requerido para trabajar las 130 horas. La capacitación de los nuevos empleados es un procedimiento importante y costoso. Toma un mes de instrucción uno a uno en el salón de clases, antes de que se permita a un nuevo técnico trabajar solo en la instalación del reactor. Por lo tanto, South Central debe contratar a los técnicos aprendices un mes antes de que se necesiten. Cada aprendiz hace equipo con un técnico nuclear experimentado y requiere 90 horas del tiempo de ese empleado, lo cual significa que ese mes se dispone de 90 horas menos del tiempo del técnico para trabajar en el reactor. Los registros del departamento de personal indican una tasa de rotación de técnicos capacitados de 5% al mes. En otras palabras, cerca de 5% de los empleados experimentados al inicio de cualquier mes renuncian al final de ese mes. Un técnico capacitado gana un salario promedio mensual de $2,000 (sin importar el número de horas que trabajó, como ya se dijo). Quienes están en capacitación ganan $900 durante el mes de instrucción.
a) Formule este problema de dotación de personal con PL.
DEFINICIÓN DE VARIABLES. Xi= Técnicas Yi= Aprendices
F.O MIN Z= 2000 (X1,X2,X3,X4,X5) + 900 (Y1+Y2+Y3+Y4+Y5)
RESTRICCIONES 130X1-90Y1≥ 40 000 130X2- 90Y2≥ 45 000 130X3- 90Y3≥ 35 000 130X4- 90Y4≥ 50 000 130X5- 90Y5≥ 45 000 X1=350 X2=X1+Y1 - 0.05X1 X3=X2+Y2 – 0.05X2 X4=X3+Y3 – 0.05X3 X5=X4+Y4 – 0.05X4
NO NEGATIVIDAD Xi,Yi≥0 b) b) Resuelva el problema, ¿cuántos aprendices deben iniciar cada mes?
8-15 (Problema de planeación de la producción agrícola) La familia de Margaret Black es dueña de cinco parcelas de tierra de cultivo dividida en los sectores sureste, norte, noroeste, oeste y suroeste. Margaret interviene principalmente en el cultivo de trigo, alfalfa y cebada, y está preparando su plan de producción para el siguiente año. Las autoridades del agua de Pensilvania acaban de publicar su asignación anual de agua, donde el rancho Black recibirá 7,400 pies-acre. Cada parcela puede tolerar una cantidad especificada de irrigación por temporada de cultivo que se indica en la siguiente tabla:
Cada una de las cosechas de Margaret necesita una cantidad mínima de agua por acre, y existe un límite proyectado sobre las ventas de cada cosecha. Los datos de la cosecha son:
La mejor estimación de Margaret es que puede vender trigo con una ganancia neta de $2 por bushel, alfalfa a $40 por tonelada y cebada a $50 por tonelada. Un acre de tierra da un promedio de 1.5 toneladas de alfalfa y 2.2 toneladas de cebada. La cosecha de trigo es aproximadamente de 50 busheles por acre.
a) Formule el plan de producción de Margaret.
DEFINICIÓN DE VARIABLES Xij= Zona u área de cultivo I= trigo (1), alfalfa (2), Cebada (3) i= Parcela: SE (1), N (2), NO (3), O (4), SO (5).
RESTRICCIONES 1.6X11+2.9X21+3.5X31≤ 3200 1.6X12+2.9X22+3.5X32≤ 3400 1.6X13+2.9X23+3.5X33≤ 800 1.6X14+2.9X24+3.5X34≤ 500 1.6X15+2.9X25+3.5X35≤ 600 X11+X12+X13+X14+X15≤ 2200 (Trigo) X11+X12+X13+X14+X15≤ 1200 (Alfalfa) X11+X12+X13+X14+X15≤ 1000 (Cebada) X11+X21+X31≤ 2000 Áreas de parcela SE X12+X22+X32≤ 2300 Áreas de parcela N X13+X23+X33≤ 600
Áreas de parcela NO
X14+X24+X34≤ 1100 Áreas de parcela O X15+X25+X35≤ 500
Áreas de parcela SO
NO NEGATIVIDAD Xij ≥0 para i= 1,2,3 j= 1,2…5
8-16 (Problema de mezcla de materiales) Amalgamated Products acaba de recibir un contrato para construir bastidores de carrocería de acero para automóviles que deben producirse en una nueva fábrica japonesa en Tennessee. El fabricante de autos nipones tiene estándares estrictos de control de calidad para todos sus contratistas de componentes y ha informado a Amalgamated que el acero de cada bastidor debe tener el siguiente contenido:
Amalgamated mezcla lotes de ocho materiales disponibles diferentes para producir una tonelada de acero que se usa en los bastidores. La tabla correspondiente da los detalles de los materiales. Formule y resuelva el modelo de PL que indicará cuánto de cada uno de los ocho materiales debería mezclarse en una carga de 1 tonelada de acero, de manera que Amalgamated cumpla con los requisitos a un costo mínimo.
DEFINICIÓN DE VARIABLES Xi= Libras de cada uno de los 8 materiales
F.O Min Z= 0.12X1+0.13X2+0.15X3+0.09X4+0.07X5+0.10X6+0.12X7+0.09X8
RESTRICCIONES 0.70X1+0.55X2+0.12X3+0.01X4+0.05X5≥42 0.70X1+0.55X2+0.12X3+0.01X4+0.05X5≤46
0.15X1+0.30X2+0.26X3+0.10X4+0.025X5+0.24X6+0.25X7+0.23X8 ≥86 0.15X1+0.30X2+0.26X3+0.10X4+0.025X5+0.24X6+0.25X7+0.23X8 ≤92 0.03X1+0.01X2+0.03X4+0.15X6+X0.20X7+0.25X8≥106 0.03X1+0.01X2+0.03X4+0.15X6+X0.20X7+0.25X8≤107
LIBRAS DISPONIBLES X2= 300 X6=50 X7=200 X8=100 X1+X2+X3+X4+X5+X6+X7+X8= 2000 LIBRAS
NO NEGATIVIDAD xi≥0 i= 1,2…..8
8-18 (Problema de expansión de un hospital) El hospital Mt. Sinai en Nueva Orleans es una instalación privada grande con 600 camas, equipada con laboratorios, quiró- fanos y dispositivos de rayos X. En busca de mayores ingresos, la gerencia de Mt. Sinai ha decidido hacer un anexo de 90 camas en una parte de terreno adyacente que, por lo pronto, se usa para estacionamiento del personal. Los gerentes piensan que los laboratorios, los quirófanos y el departamento de rayos X no se utilizan totalmente en la actualidad y no necesitan expandirse para manejar pacientes adicionales. Sin embargo, agregar 90 camas implican decidir cuántas deberían asignarse al personal médico para los pacientes médicos y cuántas al personal de cirugía para pacientes quirúrgicos. La contabilidad del hospital y los departamentos de registros médicos ofrecen la siguiente información pertinente. El promedio de estancia en el hospital para un paciente médico es de 8 días y el paciente médico promedio genera $2,280 en ingresos. La estancia promedio para pacientes quirúrgicos es de 5 días y recibe una cuenta de $1,515. El laboratorio es capaz de manejar anualmente 15,000 pruebas más que las que manejaba. El paciente médico promedio requiere 3.1 pruebas de laboratorio, y el quirúrgico promedio necesita 2.6 pruebas. Más aún, el paciente médico promedio necesita una placa de rayos X, en tanto que el paciente quirúrgico promedio requiere de dos. Si se expande el hospital en 90 camas, el departamento de rayos X podría manejar hasta 7,000 r ayos X sin costo adicional significativo. Por último, la gerencia estima que se pueden realizar hasta 2,800 operaciones adicionales en los quirófanos existentes. Los pacientes médicos, desde luego, no requieren cirugía, mientras que los pacientes quirúrgicos generalmente se operan una vez.
Formule este problema para determinar cuántas camas médicas y cuántas camas quirúrgicas deberían agregarse, con la finalidad de maximizar los ingresos. Suponga que el hospital está abierto 365 días al año. Luego, resuelva el problema. X1= Paciente médicos X2= Pacientes de cirugía
MAX ingresos Z = 2280X1+1515X2 S.A. 8X1+5X2≤ 32850 (Disposición de pacientes x días= 365x90). 3.1X1+2.6X2≤15000 ´Pruebas de laboratorio. X1+2X2≤7000 Rayos X X2≤2800 Operaciones/Cirugías X1, X2≥0
7.16 DEFINICIÓN DE VARIABLES X1= Radio X2= Televisión
F.O MX Z= 3000X1+1000X2 RESTRICCIONES 200X1+500X2≤4000 X1≥10 X2≥10 NO NEGATIVIDAD X1,X2≥0
8-22 Definición de variables Xij=Charolas de comida
i= 1,2,3
j= 1,2,3
F.O Min Z = 12X11+11X12+8X13+9X14+6X15+6X16+6X21+12X22+7X23+7X24+5X25+8X 26+8X31+9X32+6X33+6X34+7X35+9X36
RESTRICCIONES X11+X12+X12+X14+X15+X16≤200 X21+X22+X23+X24+X25+X26≤225 X31+X32+X33+X34+X35+X36≤275 X11+X21+X31≥80 X12+X22+X32≥120 X13+X23+X33≥150 X14+X24+X34≥210 X15+X25+X35≥60 X16+X26+X36≥80
NO NEGATIVIDAD Xij ≥0
