TALLER DE ENERGÍA Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO 1. A una esfera colocada en A se imprime una velocidad inicial hacia abajo Vo y oscila en un círculo vertical de radio l y centro O, determine la Vo Vo más baja para la cual la esfera alcanzaría el punto B cuando gire al entorno en el punto O: a) AO es una cuerda b) AO es una varilla de delgada con masa insignificante
B
A
O Δθ
V0 a) Cuando AO es una cuerda Solución:
=
, el sistema es conservativo
== .. + = , + = , + = , =, = == .. + + = , + + = , =, = , + + ()() = , + +=() = ==,, =
b) Cuando AO es una varilla delgada con masa insignificante
2. Un bloque de 0,7lb descansa sobre la parte superior de un bloque de 0,5lb soportado por, pero no unido a, un resorte cuya constante es 9lb/ft. El bloque superior se retira de manera repentina, determine: a) La velocidad máxima alcanzada por el bloque de 0,5lb. b) La altura máxima alcanzada por el bloque de 0,5lb
El resorte tiene energía potencial elástica debido a la compresión de los bloques, al retirar el bloque superior la energía elástica se transforma en potencial gravitacional.
/ = = = / == ∆, ∆ = , ∆ = (,+, /) , ∆=,. == .. (, ) ∆ = , ∆ = , = , = (,) =, , = +, ∆ = ∆+ ∆ ∆ ∆= , ∆ =
( ) ∆ ∆ ( , ) , )(, ) = , = ,,(,
= (,,, ),, = (,,),, = , =,/
3. Un collarín A de 4kg puede deslizase a lo largo de una varilla vertical y se suelta desde el reposo en la posición mostrada en la figura, los resortes están sin deformar. Si la constante de cada resorte es de 300N/m, determina la velocidad del collarín después de que se ha movido: a) 100mm, b) 190mm.
=, = + + =, = 12 + 12 + 12 2 =+ + 2 ( +) = 2 ( + = ), =0,1 =, = (0,6+0,1) +0,45 0,6 +0,45, =0,082 = 0,6 +0,45 (0,60,1) +0,45,
Como f = 0, el sistema es conservativo E M=cte. La energía mecánica en la parte alta (a) es igual a la energía en la parte baja (b)
a) Calculo de la deformación de los resortes para el caso:
Deformación del resorte superior:
Deformación del resorte inferior:
=0,07 = 2(4)0,1300(0,4 08 +0,07) , =1,055/ =, = (0,6+0,19) +0,45 0,6 +0,45, =0,159 = 0,6 +0,45 (0,60,19) +0,45, =0,141 = 2(4)0,19300(0,4 159 +0,141) , =0,58/
Reemplazando los valores de las deformaciones de los resortes y de Y a en la ecuación de la velocidad:
Calculo de la deformación de los resortes para el caso:
Deformación del resorte superior:
Deformación del resorte inferior:
Reemplazando los valores de las deformaciones de los resortes y de Y a en la ecuación de la velocidad:
4. Un collarín de 500g puede deslizarse sin fricción a lo larga de una varilla semicircular BCD. El resorte tiene una constante de 320N/m y su longitud sin deformar mide 200mm. Si el collarín se suelta desde el reposo, determina: a) su velocidad cuando pasa por C, b) la fuerza que ejerce la varilla sobre el collarín en C,
Como se trata de un sistema conservativo, tanto en la posición alta como en la posicion baja el resorte está deformado, existiendo energía elastica en las dos posiciones:
=, + 12 = 12 + 12 + 12 12 = 12 . =0,15 2 +( 2 +( )= . ) =
= 2 +( ) = (0,3) +0,15 +0,075 , =0,340,2 =0,14 = 0,3 +0,075 , = 0,3 +0,075 0,2 =0,11 0,11) 0 , 1 4 = 2(0,5)(0,15)+320( 0,5 = 7,74, =2,78/
a) Calculo de la deformación de los resortes en la posición A
Deformación del resorte superior:
Deformación del resorte inferior:
Reemplazando los valores de las deformaciones de los resortes y de Y a en la ecuación de la velocidad:
La fuerza que ejerce la varilla sobre el collarín en C:
∑ = , = 2 . =0,5 7,0,7145, ⃗ =25,8
5. Un collarín de 10lb está unido a un resorte y se desliza sin fricción a lo largo de una varilla fija que se encuentra en un plano vertical. El resorte tiene una longitud no deformada de 14in y constante k = 4lb/in. Si el collarín se suelta desde el reposo en la posición mostrada en la figura, determine su velocidad en: a) en el punto A, b) el punto B.
= = =, + 12 = 12 + 12 +, =
12 = 12 + 12 , 12 ( )= 12 () = ( ) ( = = ) = (28) +14 , =14√ 514 =17,30 =√ 14 +14 , =14√ 2 14 =5,80 ( ) 4( 1 7, 3 5, 8 = , = 32,102 ) , =3421,57 =58,49/ =, + 12 = 12 + 12 , =14 1 1 1 2 +( + 2 2 = 2 , 2 +( )= ) = = 2 +( ) =28, =14 =14 2 +( = )
Calculo de la deformación de los resortes en cada posición
Deformación del resorte superior en la posición O:
Deformación del resorte en la posición A:
Reemplazando los valores de las deformaciones de los resortes en la ecuación de la velocidad:
Para la velocidad en el posición B, tenemos:
Deformación del resorte en la posición B:
Reemplazando los valores de las deformaciones de los resortes en la ecuación de la velocidad:
10 2 (14)+4(17, 3 14 ) 32, 2 = 32,102 = 1604,78, =40,06/
6. Un collarín de 6lb puede deslizarse sin fricción por una varilla vertical y descansa en equilibrio sobre un resorte. El collarín es empujado hacia abajo, comprimiendo el resolte en 6in, y entonces se suelta. Si la constante del resorte es k = 15lb/in, determine: a) la altura máxima h que alcanza el collarín sobre su posición de equilibrio, b) la velocidad máxima del collariín. SOLUCIÓN:
En la posición mas baja (0) el sistema tiene energía potencial elástica y en la posición alta (a) tiene energía potencial gravitacional, el sistema es conservativo:
= , 12 =, =ℎ 2 =ℎ, ℎ= 2 15(6 632,) 2, ℎ=45 32,2
El collarín adquiere la máxima velocidad en el instante que abandona el resorte, en esta posición el sistema tiene energía cinética y potencial gravitacional:
=, = + , 12 = 12 +, =6 2= , 2 = ) 2 15( 6 ) 2(6)(6) 1 3( 6 = , = 32,62 , = 6(32,2),
=2511,6, =50,12/
7. Un collarín de 750g puede deslizarse a lo largo de la varilla horizontal mostrada en la figura. El collarín está unido a una cuerda elástica cuya longitud sin deformnar mide 300mm y su constante de resorte es de 150N/m. si el collarín se suelta desde el reposo en A, y no se toma en cuenta la friccoión, determine la velocidad del collarín en a) B, b) E
El sisema tiene movimiento en el plano XZ, por tanto no existe energía potencial gravitacional en las posiciones indicadas, además el sistema es conservativo:
= = , 12 = 12 + 12 = 12 + 12 , = = =0 12 = 12 + 12 = +, = , () =, ( = ),
Consideramos las posiciones (A) y (B)
Calculo de la deformación de los resortes en cada posición
Deformación del resorte superior en la posición A:
= (0,5) +0,35 +0,4 , =0,730,3 =0,43 = (0,4) +0,35 , =0,530,3 =0,23 = 150(0,40,3750,23), =√ 26.4, =5,14/
Deformación del resorte en la posición B:
Reemplazando los valores de las deformaciones de los resortes en la ecuación de la velocidad:
Consideramos las posiciones (A) y (E)
12 = 12 + 12 = +, = , () =, ( = ), = (0,5) +0,35 +0,4 , =0,730,3 =0,43 = (0,5) +0,35 , =0,610,3 =0,31 = (), = 150(0,40,3750,31), = 17,76, =4,214/
Calculo de la deformación de los resortes en cada posición
Deformación del resorte superior en la posición A:
Deformación del resorte en la posición E:
Reemplazando los valores de las deformaciones de los resortes en la ecuación de la velocidad:
8. Un collarín C de peso m se desliza sin fricción en una varilla horizontal entre los resortes A y B. si el collarín se empuja hacia la izquierda hasta comprimir al resorte A en 0,1m y después se suelta, determinar la distancia que recorre y su maxima velocidad alcanzada si a) m = 1kg, b) m = 2,5kg.
SOLUCIÓN: El sisema tiene movimiento en el eje X, por tanto no existe energía potencial gravitacional en las posiciones indicadas, además el sistema es conservativo:
= , 12 = 12 , =, 1600(0,1) =2800, 4(07,1) =,, = 4(07,1) , =0,076, = +0,5 + , =0,1+0,5+0,076=0,676 =, =(0,6760,15)
La distancia total entre la compresión del resorte A y la compresión del resorte B es:
Distancia recorrida por el cilindro será igual a la distancia total menos el tamaño del cilindro:
=,
=, =0,526
La velocidad del cilindro es máxima cuando abandona el resorte:
Para el caso de m = 1kg
1 1 =, 2 = 2 , =, = , = 1600(0,1) = 1600(10,1), =4/
Para el caso de m = 2,5kg
= 1600(2,50,1), =2,53/
9. el péndulo mostrado en la figura se suelta desde el reposo en A y oscila 90° antes de que la cuerda toque la clavija fija B. determinar el valor mínimo de para el cual la esfera del péndulo describe una circunferencia alrededor de la clavija.
SOLUCIÓN:
= = = = = ; = =, =( )+ , =( )+ , = =( )+
El sistem es conservativo por tanto
:
La energía en la parte (A) es potencial gravitacional y en la parta mas baja (b) es cinética:
Considerando la posición baja (b) y la posición alta (a) alrededor de la clavija se tiene:
Como se tratra de un movimiento circunferenciao de la esfera del péndulo, en la posición alta (a) la temsión del cable es nula para, existiendo aceleración centrípeta:
En la ecuación
=(), = , =() =( )+ = ( ) =( )+ ( ) =+ =, = reeplazamos el valor de
10. Un paquete se empuja suavemente desde la parte alta de un muro en el punto A y oscila en un plano vertical, unido al extremo de una cuerda de longitud L. Determine el ángulo Ɵ
para el cual la cuerda se romperá, si se puede soportar una tensión máxima igual a dos veces el peso del paquete. SOLUCION:
L
DCL
⃗ +={.=(1) =(2)
=
= . = . =
∫=∫ = =√2 =+ + +(2)=3 =2=3 =sin−(23)=41.81 μ =
=
11. En el sistema de la figura en todas las superficies en contacto existe un coeficiente de rozamiento . Determinar el valor de la aceleración cuando se aplica una fuerza F en el bloque m2.
0≤≤1= =.
+ += ( +) 2 + = = = = =( = =( ++)) ∆= = = 2((() +() +) = 2(()+) = 3( +) +=. =. = +. = + Bloque 2
Bloque 1
12. Una pesa de 8kg se suelta desde el reposo en la posición que se indica en la figura y se detiene por medio de dos resortes anidados. La constante elástica del resorte exterior es k1=3kN/m y la del resorte interior es k 2= 100kN/m, si se observa que la deflexión máxima del resorte exterior es 150mm. Determinar la altura h, desde la que fue soltada la pesa. Datos:
=8 = 1= =3000 2=10 =1000 / =150=0,15
Solución:
=0 →= = = = = = + =1+ + =′ (0,15+ℎ) = 2 +1 8(9,8)(0,15+ℎ)= 12 (3000)(0,15) + 12 (1000)(0,06) ℎ=510
