CÁLCULO DE CUBIERTAS Para calcular la longitud de la cubierta a partir de la proyección, se multiplica la proyección por el factor obtenido en la tabla de acuerdo a la inclinación correspondiente.
TEOREMA PRÁCTICO: Se procede a hacer el cálculo de una forma geométricamente geométricamente analítica. Así:
L = Longitud de la cubierta P = Proyección = La inclinación de la cubierta F = Factor obtenido en la tabla Definición de la longitud:
L = (P)(F) Ejemplo:
Inclinación 15° (26,79%) P = 6,05 metros L = (6,05 m)(1,0353) L = 6,26 metros
105
Número de placas en el sentido de la pendiente:
N = Número de placas L = Longitud de la pendiente C = Longitud de la placa S = Longitud del traslapo N = L / C – S Para calcular las placas # 6 que se necesitan en una longitud de 6,26 metros Ahora:
N = 6,26 metros / 1,83 metros-placa – 0,14 metros-placa N = 6,26 metros / 1,69 metros-placa N = 3,70 placas Cálculo de longitud de cada placa:
L1 = (0,70)(1,69 m) L1 = 1,19 metros ≈ 1,20 metros; placa # 4 (aproximadamente). RESPUESTA: Se requieren tres placas # 6 y una # 4. ¿CÓMO CALCULAR LA PENDIENTE O DESNIVEL? PENDIENTE: Es el grado de desnivel por unidad de distancia horizontal; se le llama también inclinación. El conocimiento del valor de la pendiente y la manera de calcularla son parte básica de un buen trabajo. La pendiente en muchos otros caso de la construcción se utiliza para el cálculo de desnivel en tuberías de desagües, construcción de cuestas, etc. Ejemplo1: Se desea averiguar el valor de la pendiente que tiene una distancia de 3,00 metros. Queremos analizar el valor de la pendiente por cada metro y de ese modo establecer matemáticamente la pendiente final. Solución: Este cálculo se hace partiendo del caballete o cumbrera. 106
Datos: Distancia = 3,00 metros P = 27% Altura del pendolón = ? Altura del pendolón = (Distancia)(Pendiente) / 100 Se simboliza de la siguiente manera la ecuación: Para una distancia de un metro:
a = (d)(p)/100 a = (1,00 m)(27%) / 100 a = 27 cm Para una distancia de dos metros:
a = (2,00 m)(27%) / 100 a = 54 cm Para una distancia de tres metros:
a = (3,00 m)(27%) / 100 a = 81 cm
107
FORMAS DE CALCULAR LA LONGITUD DE LA CUBIERTA: Existen varias de hacer el cálculo de la longitud de la cubierta. Así:
Método Geométrico(Teorema de Pitágoras): Se hace mediante la fórmula del teorema de Pitágoras. Así: ___________
L=
(d)² + (a)²
Ejemplo: Hacer el cálculo de la longitud de la pendiente para una culata, cuyo valor de la base es 4,50 metros y la pendiente es el 27%. Hacer el cálculo por los cuatro métodos. Solución: Lo que primero hacemos es calcular calcular la altura del rey:
a = (4,50 m)(0,27) a = 1.215 metros Ahora aplicamos el teorema de Pitágoras: ______________________
L=
(4,50 m)² + (1,215 m)² _______________________
L=
20,25 m² + 1,476225 m² ______________
L=
21,726225 m² 21,726225 m²
L = 4,66 metros RESPUESTA: La longitud de la culata es de 4,6612 metros. Método Trigonométrico(funciones trigonométricas): Se hace aplicando cualquiera de la tres funciones trigométricas trigométricas (seno, coseno y tangente). Así:
Seno
= Altura del rey o pendolón / Longitud de la cubierta
Seno
=a/L
108
L = a / Seno Coseno = Base de la culata / Longitud de la cubierta Coseno = b / L L = b / Coseno Tan
= Altura del rey o pendolón / Base de la culata
Tan
=a/b
a = (b)( Tan ) b = a / Tan Método Trigonométrico(funciones trigonométricas): Lo que primero hacemos es calcular la dirección o ángulo que forma el desnivel:
Tan
=a/b
Tan
= 1,215 metros / 4,50 metros
Tan = 0,27 = 0,27 inv Tan inv ° „ „‟ = 15° 6‟ 34,47‟‟
Ahora calculamos por la función coseno: Coseno15° 6‟ 34,47‟‟ = 4,50 metros / L
L = 4 ,50 metros / Coseno15° 6‟ 34,47‟‟ L = 4,50 metros / 0,96543 L = 4,66 metros OBSERVACIÓN: El cálculo de la longitud también lo podemos hacer por la función trigonométrica Seno. 109
Método por integral definida(longitud): En el problema anterior vemos que podemos hacer el cálculo de la longitud por cálculo integral definido. Así: La altura del rey se simboliza con la letra “Y” para este caso y lo mismo hacemos para la base de la culata con la letra “X”. El valor de la pendiente que le damos es el 27% la asumimos como un coeficiente numérico de la función. Si tomamos como base la ecuación de la altura del rey o pendolón vemos que:
a = (b)(p)/100 Sabemos que la “b” es la base de la culata y la “p” es el porcentaje que le damos a la pendiente. En este caso hemos asumido un porcentaje del 27%. Por lo tanto:
a = (b)(27%)/100 a = (b)(0,27) Hemos dicho que reemplazamos la altura del rey por la letra “Y” y la base de la culata por la letra “X”. Así:
Y = 0,27X Lo cual nos dice que el cálculo de la longitud de la cubierta se hace en función de la altura del rey. Solución:
1. Calculamos la función prima prima de la función función lineal dada. Y = 0,27X Y‟ = (1)(0,27) Y‟ = 0,27
2. Luego efectuamos las operaciones dentro del radical de la fórmula
independientemente. ___ _______
√ 1 + (0,27)² ___________
√ 1 + 0,0729 110
_______
√ 1,0729 3. Posteriormente se extrae la raíz cuadrada y se multiplica por el
resultado de la diferencia del límite superior e inferior.
L
=
∫
________ 4,50 2 1 +[Y‟ ] 0 _______
dx
L = √ 1,0729 [4,50 – 0] L = (1,0358)(4,50) L = 4,66 metros RESPUESTA: La longitud de la cubierta es de 4,66 metros. Método por factor constante : Se procede a hacer el cálculo de la longitud en la cubierta multiplicando la base de la culata por un factor constante. El cálculo se hace mediante la siguiente fórmula:
L = (base de la culata)(Factor constante) L = (b)(F) Dicho factor se calcula de la siguiente manera: Cuando dividimos 1,00 entre la función trigonométrica coseno solamente y nos da como resultado el factor constante.
NOTA IMPORTANTE: El factor constante no se puede calcular con la funciones trigonométricas de seno y tangente. Ejemplo:
Factor constante = 1,00 / Coseno Factor constante = 1,00 / Coseno15° 6‟ 34,47‟‟ Factor constante = 1,00 / 0,965429083 Factor constante = 1,03580 Ahora calculamos la longitud de la cubierta:
L = (b)(F) L = (4,50 m)(1,03580) 111
L = 4,66 metros RESPUESTA: La longitud de la cubierta es de 4,66 metros Método por tanteo(aumento de 3,50 cm a la base de la culata): En cada metro se le aumenta 3,50 centímetros. Significa multiplicar el valor total de la base de la culata por 3,50 cm y el resultado de la multiplicación se le suma el valor total de la base de la culata. Así:
Aumento = (base de la culata)(3,50 cm / 100 cm) Aumento = (4,50 m)(0,035) Aumento = 0,1575 metros L = Base de la culata + Aumento L = 4,50 m + 0,1575 m L = 4,6575 metros
4,66 metros
RESPUESTA: La longitud de la cubierta es de 4,66 metros CONCLUSIÓN: Los resultados que se dan por medio de los cuatro métodos son los mismos. Por lo tanto, podemos aplicar cualquiera para el cálculo de la longitud de la cubierta.
NOTA IMPORTANTE: Si requiere de que el cálculo sea más rápido se puede hacer consultando una tabla de valores que presentamos a continuación. Ejemplo: Calcular la longitud de la cubierta consultando la tabla siguiente el valor de la pendiente es del 20% y cuya base mide 5,00 metros. Solución: Porcentaje de la pendiente = 20% Base de la culata = 5,00 metros L=? Procedimiento:
L = (5,00 m)(1,0119) L = 5,0595 metros 112
RESPUESTA: La longitud de la cubierta es del 5,0595 metros se aproxima a 5,06 metros Ejemplo2: Resolver la siguiente situación donde se presenta una casa de dos aguas pero con diferentes pendientes. Sus valores respectivos son: 27% del lado derecho y 20% del lado izquierdo por último la base que del triángulo agudo que forma las dos pendientes tiene un valor de 8,00 metros. Calcular la longitud de cada pendiente y la altura del rey.
Solución:
Análisis: No se conoce la altura del rey, por lo tanto debemos tomar cada culata y a 8,00 metros le descontamos 0,20 metros de separación al encontrarse en el caballete. Entonces el valor de la base total es del 7,80 metros. Ver gráfico.
PARA LA CULATA NÚMERO1:
113
La pendiente es del 27% (15° 6’ 34,47’’)
La base de la culata es X metros. La altura del rey no conocemos su valor. Por lo tanto, hay dos incógnitas. Se hace el cálculo con la función tangente. Así: Tan15° 6‟ 34,47‟‟ = a / X a = Xtan15° 6‟ 34,47‟‟ (1)
PARA LA CULATA NÚMERO2:
La pendiente es del 20% (11° 11’ 32,20’’)
La base de la culata es 7,80 - X metros. Tan11° 11‟ 32,20‟‟ = a / 7,80 -
X
a = Tan11° 11‟ 32,20‟‟(7,80 – X)
a = (7,80)Tan11°
11‟ 32,20‟‟
- XTan11°
11‟ 32,20‟‟ (2)
La altura de la ecuación (1) es la misma a la ecuación (2). Por tanto, tenemos un sistema de ecuaciones.
a = XTan15° 6‟ 34,47‟‟ (1) a = (7,80)(Tan11° 11‟ 32,20‟‟)
- XTan11°
Para resolverlo elegimos el método de igualación:
a=a 114
11‟ 32,20‟‟ (2)
XTan15° 6‟ 34,47‟‟ = bTan11° 11‟ 32,20‟‟ - XTan11° 11‟ 32,20‟‟ 7,80Tan11° 11‟ 32,20‟‟ = XTan15° 6‟ 34,47‟‟ + XTan11° 11‟ 32,20‟‟ 7,80Tan11° 11‟ 32,20‟‟ = X(Tan15° 6‟ 34,47‟‟ + Tan11°
11‟ 32,20‟‟)
X = 7,80Tan11° 11‟ 32,20‟‟ / Tan15° 6‟ 34,47‟‟ + Tan11° 11‟ 32,20‟‟
X = (7,80)(0,19787) / 0,27 + 0,19787 X = 1,5405 / 0,46787 X = 3,29878 metros
≈
3,30 metros
Se procede a calcular la base para el segunda culata:
b – X 7,80 m
–
3,30 m = 4,50 metros
Ahora calculamos calculamos la altura del rey en la culata1: a = XTan15° 6‟ 34,47‟‟
a = (3,30)(0,27) a = 0,90 metros Ahora calculamos calculamos la altura del rey en la culata2: a = (7,80)(Tan11° 11‟ 32,20‟‟)
- XTan11°
11‟ 32,20‟‟
a = (7,80)(0,1979) - (3,30)(0,1979) a = 1,54335 m - 0,6530 m a = 0,90 metros RESPUESTA: La altura del rey o pendolón es de 0,890 metros. Ahora calculamos la longitud de la cubierta, se elige el método por cálculo integral definido(longitud): definido(longitud): PARA LA CULATA NÚMERO 1:
Y = 0,27X
115
Y‟ = (1)(0,27) Y‟ = 0,27
___ _______
√ 1 + (0,27)² ___________
√ 1 + 0,0729 _______
√ 1,0729 L=∫
________ 3,30 2 1 +[Y‟ ] dx 0 _______
L = √ 1,0729 [3,30 – 0] L = (1,0358)(3,30) L = 3,418 metros PARA LA CULATA NÚMERO 2:
Y = 0,20X Y‟ = (1)(0,20) Y‟ = 0,20
___ _______
√ 1 + (0,20)² ___________
√ 1 + 0,04 ____
√ 1,04 L = ∫0
4,50
________ 2 1 +[Y‟ ] dx
____
L = √ 1,04 [4,50 – 0]
116
L = (1,0198)(4,50) L = 4,5891 metros CÁLCULO DE CUBIERTA: Al iniciar la construcción de una vivienda, se define el tipo de material que se utilizará. Para calcular el material de cubierta(placa de asbesto cemento) que se requiere según el siguiente plano.
117
OBSERVACIÓN: Debe dársele un volado a la cubierta de 24,00 centímetros sobre las culatas. De la misma forma la gotera sale 80,00 centímetros de las fachadas para evitar humedad en los muros.
Longitud frontal = 6,80 m + 0,24 m + 0,24 m Longitud frontal = 7,28 metros Observación: La fachada sólo tiene 6,80 metros de longitud. Los 7,28 metros salen de sumarle el volado derecho e izquierdo. Ya sabemos que el ancho útil de la placa es 0,873 metros, procedemos a calcular las placas que se requiere para el primer tendido de la fachada. La ecuación del cálculo la deducimos así:
Número de placas = Longitud frontal / ancho útil de placa N=L/a N = 7,28 m / 0,873 m-placa N = 8,34 placas Se le hace una aproximación de 9 placas.
RESPUESTA: Las placas que necesitamos para la fachada principal son 9 y la fachada posterior es igual a la principal. Por lo tanto, no tiene problema en su cálculo. De acuerdo al plano en planta ilustramos gráficamente la culata derecha y la izquierda
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Los 10,10 metros es resultado de sumarle los 0,80 metros de volado por cada gotera. A los 10,10 metros se le restan 0,20 metros de separación entre las placas al encontrarse encontrarse en el caballete. Ver detalle.
Calcular la longitud de la cubierta y la cantidad de hojas de eternit que se requieren. Hacerlo por el método de cálculo integral definido(longitud). El porcentaje de la pendiente es del 25%. Solución:
Y = 0,25X Y‟ = (1)(0,25) Y‟ = 0,25
___ _______
√ 1 + (0,25)² ___________
√ 1 + 0,0625 ______
√ 1,0625 L=∫
________ 5,50 2 1 +[Y‟ ] dx 0 ______
L = √ 1,0625 [5,50 – 0] L = (1,031)(5,50) 119
L = 5,670 metros Ahora haremos el cálculo de la cubierta: Datos:
N = ? L = 5,670 metros C = 1,83 metros S = 0,14 metros-placa N = L / C – S N = 5,670 m / 1,83 m-placa – 0,14 m-placa N = 5,670 m / 1,69 m-placa N = 3,3550 placas Le descontamos 3 placas a 3,3550 placas:
3,3550 placas – 3,00 placas = 0,3550 placas p lacas multiplicamos por 1,69 m: (1,69 m)(0,3550) = 0,59995 metros
≈
0,60 metros
CONCLUSIÓN DEL CÁLCULO: Como ambas culatas son iguales, entonces multiplicamos la cantidad por dos:
Cantidad de cubierta # 6 = (9,00)(3,00)(2,00) = 54,00 placas Cantidad de cubierta # 4 = (9,00)(1,00)(2,00) = 18,00 placas NOTA IMPORTANTE: Cuando se trata de dos aguas iguales la cantidad de cubierta según el número se multiplica por dos (2) y si son dos aguas diferentes se hace el cálculo en forma separada.
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La siguiente tabla indica las placas que se pueden utilizar para la cubierta de la vivienda. Además le facilita el cálculo de la cantidad de placas, el número de correas, la cantidad de ganchos y amarras.
TABLA 1. CUBIERTAS Ejemplo: Calcular la cantidad de placas para la casa que posee dos aguas. Se toma el ejemplo anterior, donde las longitudes de las culatas miden 3,418 metros y 4,5891 metros respectivamente. La fachada frontal mide 7,00 metros. Solución: Lo primero que haremos es calcular la longitud de la fachada:
Longitud frontal = 7,00 m + 0,24 m + 0,24 m Longitud frontal = 7,48 metros Ahora calculamos la cantidad de placas en la fachada:
Número de placas = Longitud frontal / ancho útil de placa N=L/a N = 7,48 m / 0,873 m-placa N = 8,56 placas
≈
9,00 placas
121
Utilizaremos hoja # 6 para el cálculo en la culata número 1:
N = 3,418 m / 1,83 m-placa – 0,14 m-placa N = 3,418 m / 1,69 m-placa N = 2,0225 placas Le descontamos dos placas:
Descuento = 2,0225 placas – 2,0000 placas Descuento = 0,0225 placas La multiplicamos por 1,69 m:
Longitud sobrante = (1,69 m)(0,0225) = 0,038025 m CONCLUSIÓN DEL CÁLCULO PARA LA PRIMERA CULATA: Cantidad de cubierta # 6 = (9,00)(2,00)(1,00) = 18,00 placas Lo mismo hacemos en la culata número 2:
N = 4,5891 m / 1,83 m-placa – 0,14 m-placa N = 4,5891 m / 1,69 m-placa N = 2,71545 placas Le descontamos dos placas:
Descuento = 2,71545 placas – 2,0000 placas Descuento = 0,71545 placas La multiplicamos por 1,69 m:
Longitud sobrante = (1,69 m)( 0,71545) = 1,2091 m
≈
1,21 m
CONCLUSIÓN DEL CÁLCULO PARA LA SEGUNDA CULATA: Cantidad de cubierta # 6 = (9,00)(2,00)(1,00) = 18,00 placas Cantidad de cubierta cubierta # 4 = (9,00)(1,00)(1,00) = 9,00 placas Cantidad total de placas # 6: 18,00 + 18,00 = 36,00 placas Cantidad total de placas # 4: 9,00 + 0,00 = 9,00 placas 122
Por último, relacionamos el valor de la pendiente con el ángulo de elevación de la cubierta y su factor constante en la siguiente tabla:
TABLA 2. La tabla tiene el objetivo de ayudarle amigo lector, al cálculo de la longitud de la culata y cantidad de cubierta apoyándose apoyándose en la tabla número 1 de cubiertas. 123
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