Ejercicios de Distribucion de La Varianza

1. Si

X X

2

con 15 grados de libertad, hallar:

a)

P( X >27.5)

b)

P(7.26 ≤ X ≤ 25.0)

c)

P( X ≤ 23.5)

d) Hallar a y b tal que

P ( X
y

P ( a ≤ X ≤ b ) =0.95

Solución Para obtener las probabilidades solicitadas, en la fila de 15 g.l de la tabla 2 se buscan los valores dados para X y se leen las probabilidades (acumuladas menores que) correspondientes en el encabezamiento de las columnas así: a)

P [ X> 27.5 ] =1−P ( X ≤ 27.5 )=1−P [ X < x 0.9752 ]=1−0.975=0.025

b)

P [ 7.26 ≤ X ≤25.0 ] =P [ X ≤ 25.0 ] −P [ X ≤7.26 ] =¿ P [ X < x 0.9752 ]−P [ X < x 0.052 ]=0.95−0.05=0.9 0 P ( X ≤ 23.5 ) =p

c)

Como en la tabla 2, de chi cuadrado, para 15 grados de libertad, no se encuentra el valor 23.5, pero este se encuentra entre los valores 22.3 (con probabilidad 0.90) y 25.0 (con probabilidad 0.95) para hallar p interpolamos de la siguiente manera:

X α2

P

22.3

0.90

23.5

p

25.0

0.95

Luego: d)

⇒

25.0−22.3 23.5−22.3 = 0.95−0.90 p−0.90

⇒ 54=

1.2 ⟹ 54 p−48.6=1.2⟹ p=0.9222 p−0.90

P ( X ≤ 23.5 ) =0.9222 P ( X ≤ a )=0.025

Para r = 15 g.l

a=X 0.025 ,152=6.26

0.95=P [ a ≤ X ≤b ] =P [ X ≤ b ] −P [ X ≤ a ] =P [ X ≤ b ] −0.025

2

P [ X ≤ b ]=0.975∴ b=X 0.975 ,15 =27.5

Luego:

2.De una población X: N (u, 18), se extrae una muestra aleatoria de tamaño n= 21. Calcule e interprete :

[ 3.291<( ´x −μ )2 <5.683 ]

a) P

b) ¿Entre que valores se encontrara el 90% central de las varianzas muestrales? Solución n

a) Se sabe que

X´ =

∑ XI

~

i=1

n

es N (0,1) entonces,

Z 2=

N (μ ,

σ2 ) y por lo tanto n

Z=

( ´x −μ ) √ n σ

( ´x −μ )2 n ( ´x −μ )2∗21 = X 12 . 2 18 σ

Para obtener la probabilidad solicitada se multiplica dentro de la desigualdad por 21/18 y se construye una

P

[ 3.291<( ´x −μ )2 <5.683 ]

[ 3.84< X 12< 6.63 ]

=P

X 12

así:

=P

[

2

3.291∗21 ( ´x −μ ) ∗21 5.683∗21 < < 18 18 18

[ X 12 ≤6.63 ]

-P

[ X 12 ≤3.84 ]

]

=P

= 0.99-0.95 = 0.04.

Interpretación. En el 4% de las muestras de tamaño 21, de una población X: N (u, 18), las desviaciones al cuadrado, de las medias muestrales

´x

con respecto a la media poblacional

encuentran entre 3.291 y 5.683.

μ

, se

b) Sean a y b los valores centrales dentro de los cuales se encuentra el 90% de la varianza muestrales (S2), con el 5% hasta a y 95% hasta, es

0.90=P ( a≤ S2 ≤b ) , con

decir:

(n−1)S 2 → X n−12 2 σ

Se sabe que:

P ( S 2 ≤ a ) =0.05

y

P ( S 2 ≤ b ) =0.95

2

entonces,

(21−1) S 20 S 2 2 = → X 20 18 18

Multiplicando en la probabilidad anterior por 20/18 se tiene una

0.05=P

(

2

) (

X 20

2

así:

20 S 20 a 20 a 20 a ≤ =P X 202 ≤ → =X 20, 0.052=10.9 18 18 18 18

)

Luego: a =9.81. Además:

0.95=P

(

20 S2 20 b 20 b 20 b ≤ =P X 202 ≤ → =X 20, 0.9 52=31.4 18 18 18 18

) (

)

Luego: b =28.26. Entonces:

0.90=P ( 9.81≤ S 2 ≤ 28.26 )

Interpretación. En las muestras de tamaño 21, de una población X: N (u, 2 18), el 90% central de las varianzas muestrales ( S ¿ se encuentran entre 9.81 y 28.26.

3. De una población X: N (u, 18), se extrae una muestra aleatoria de tamaño n=21. Calcule e interprete:

[

21

a)

P 208.7< ∑ ( X i−μ )2 <638.7

b)

P ( 9.77< S2 <30.78 )

i=1

]

Solución a) Se sabe que para muestras de una población normal se cumple que: n

∑ ( X i−μ )2 i=1

σ

2

n

∑ ( X i−μ ) 2

→ X n2 ∴ i=1

18

→ X 212

Para obtener la probabilidad solicitada se divide dentro de la desigualdad por 18 y se construye una

[

21

X 212 así:

]

P 208.7< ∑ ( X i−μ )2 <638.7 = P i=1

[

]

n

∑ ( X i−μ ) 2

208.7 i=1 < 18 18

<

638.7 =¿ 18

P [ 11.6< X 212 <35.5 ] =P [ X 212 ≤ 35.5 ]−P [ X 212 ≤11.6 ]=0.975−0.05=0.925 Interpretación. En el 92.5% de las muestras de tamaño 21, de una población X: N (u, 18), las sumas de desviaciones al cuadrado, de los valores observados con respecto a la media proporcional

b) Se sabe que:

(n−1) S 2 → X n−12 2 σ

μ , se encuentran entre 208.7 y 638.7 2

entonces,

(21−1) S 20 S 2 = → X 20 2 18 18


P ( 9.77< S2 <30.78 ) =P

(

2

X 20

2

así:

)

20∗9.77 20 S 20∗30.78 < < =¿ 18 18 18

P [ 10.9< X 202< 34.2 ]=P [ X 202 <34.2 ]−P [ X 202 <10.9 ] =0.975−0.05=0.925 Interpretación. En el 92.5% de las muestras de tamaño 21, de una 2 población X: N (u, 18), las varianzas muestrales ( S ¿ se encuentran entre 9.77 y 30.78.

4. Suponga el número de horas semanales que las amas de casa ven TV tiene distribución normal con una varianza de 3. Al escoger una muestra

de 17 amas de casa y registrar el número de horas a la semana que ven TV, calcule e interprete la probabilidad de que la varianza muestral obtenidos sea mayor que 5.4 (horas)2. Solución Sean X= número de horas semanales que las amas de casa ven TV, n = 2 17 y σ =3 2

Se sabe que:

(n−1) S → X n−12 2 σ

(17−1) S 2 16 S2 = → X 16 2 3 3

entonces,


X 162

así: P ( S 2> 5.4 ) =1−P ( S 2 ≤ 5.4 )=1−P

(

2

)

16 S 16∗5.4 < =¿ 3 3

1−P [ X 162 <28.8 ] =1−0.975=0.025 Interpretación. En el 92.5% de las muestras de 17 amas de casa, las varianzas 2

muestrales ( S ¿ del número de horas semanales que ven TV es mayor que 5.4 (horas)2.

5. La duración de los transistores fabricados por una compañía tienen una media de 2000 horas y una desviación típica de 60 horas. Se selecciona 10 transistores al azar. Calcule e interprete la probabilidad que la desviación típica muestral se encuentra entre 50 y 70 horas. Solución Sean X= duración de los transistores,

μ=2000

2

Se sabe que:

(n−1)S → X n−12 2 σ

,

σ 2= ( 60 )2=3600

y n=10.

2

(10−1)S S2 2 = → X9 3 600 400

entonces,

Dividiendo en la probabilidad solicitada entre 400 se tiene una

P (50 ≤ S ≤70 ) =P ( 2500 ≤ S 2 ≤ 4900 )=P

(

2

2500 S 4900 ≤ ≤ 400 400 400

)

X9

2

así:

¿ P [ 6.25≤ X 92 ≤12.25 ]=P [ X 92 ≤12.25 ]−P [ X 92 ≤6.25 ]=0.80−p Como en la tabla 2. De chi-cuadrado, para 9 grados de libertad, no está el valor 6.25, pero este se encuentra entre los valores 5.38 (con probabilidad 0,20) y 6.39 (con probabilidad 0.30) para hallar p interpolamos así:

Xα

2

P

5.38

0.20

6.25

P

6.39

0.30

⇒

6.39−5.38 6.25−5.38 = 0.30−0.20 p−0.20

⇒ 10.1=

0.87 ⇒10.1 p−2.02=0.87⇒ p=0.2861 p−0.20

Reemplazando p=0.2861 en la última expresión se tiene que:

P (50 ≤ S ≤70 ) =0.80−0.02861=0.5139 Interpretaciones el 51.4% de las muestras de 10 transistores, la desviación estándar muestral de la duración de dichos transistores se encuentran entre 50 y 70 horas. 6. De una población X: N (0,1) se extrae una muestra aleatoria de tamaño n=15. Calcule e interprete:

[

21

2 a) P 7.26 ≤ ∑ X i ≤ 27.5

b) )

i=1

]

P ( 0.4693
Solución a) Se sabe que las observaciones muestrales tienen la misma distribución que la población, luego 15

∑ X i2 i=1

X 152

.

X i N (0,1) , entonces

Xi

2

X1

2

y por tanto

La probabilidad solicitada es: 21

(

P 7.26 ≤ ∑ X i2 ≤ 27.5 i=1

)

(7.26 ≤ X 152 ≤ 27.5 )

=P

=P

[ X 152 ≤27.5 ] −P [ X 152 ≤ 7.26 ]

= 0.975 -0.05=0.925. Interpretacion.En el 92.5% de las muestras de 15 observaciones de la distribución normal estándar, la suma de los valores observados al cuadrado se encuentra entre 7.26 y 27.5.

b) Dado que:

(n−1) S 2 → X n−12 2 σ

2

entonces,

(15−1) S 2 2 =14 S → X 14 1

Para obtener la probabilidad solicitada se multiplica dentro de la desigualdad

X 142

por 14 y se construye una

así:

P ( 0.4693
Interpretación. En el 92.5% de las muestras de 15 observaciones de la distribución normal estándar, la varianza muestral se encuentra entre 0.4693 y 1.964. 7. De una población

X : N ( μ , 10 )

n=9 y de una población

se extrae una muestra aleatoria de tamaño

Y : N ( μ , 12 )

se extrae una muestra aleatoria de

tamaño m=4. Calcule e interprete: a) P

b) P

( (

9

2 21.8 ≤ ∑ ( X i − X´ ) ≤175 i=1

4

)

5.81 ≤ ∑ ( Y i−μ )2 ≤133.2 i=1

)

Solución n

a) Si

X 2=

2

(n−1) S i=1 = σ2 σ2

9

2

∑ ( X i− X´ )

→ X n−12

entonces

2

∑ ( X i− X´ ) i=1

10

→ X 82

Para obtener la probabilidad solicitada se divide dentro de la desigualdad entre 10 y se construye una

P

(

9

2

X 82 asi:

)

21.8 ≤ ∑ ( X i − X´ ) ≤175 =P i=1

(

9

∑ ( X i− X´ ) 2

21.8 i=1 ≤ 10 10

≤

)

175 =¿ 10

P ( 2.18 ≤ X 82 ≤ 17.5 ) =P [ X 82 ≤ 17.5 ]−P [ X 82 ≤ 2.18 ]=0.975−0.025=0.955

Interpretación. En el 92.5% de las muestras de 9 observaciones de la población

X : N ( μ , 10 )

, la suma de las desviaciones al cuadrado de los valores

observados respecto a la media muestral, se encuentra entre 21.8 y 175.

b) Para una muestra de una población normal, se sabe que: m

∑ ( Y i−μ ) i=1

σ

4

2

2

→ Xm2

∑ ( Y i−μ )2

entonces:

i=1

12

→ X 42 . Para obtener la

probabilidad solicitada se divide dentro de la desigualdad por 12 y se

X 4 2 así:

construye

P

(

4

)

5.81 ≤ ∑ ( Y i−μ )2 ≤133.2 =P i=1

(

4

∑ ( Y i−μ )2 2

5.81 i=1 ≤ 12 12

≤

)

133.2 =¿ 12

P [ 0.484 ≤ X 42 ≤11.1 ]=P [ X 42 ≤ 11.1 ] −P [ X 42 ≤0.484 ]=0.975−0.025=0.95 Interpretación. En el92.5% de las muestras de 4 observaciones de la distribución normal

Y : N ( μ , 12 )

, la suma de las desviaciones al

cuadrado de los valores observados respecto a la media poblacional , se encuentra entre 5.81 y 133.2

μ

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