Propiedades de la varianza Si X es una variable aleatoria con función de probabilidad o densidad f(x), la varianza de una función de la variable X , m(x) , se calcula según la expresión:
Casos concretos: 1.
Cuando a todos los valores valores de una variable variable se les suma suma una constante, la varianza de la
variable conserva el mismo valor (ver imagen en las propiedades de la media)
2.
Cuando a todos los valores valores de una variable se les multiplica multiplica por una constante, constante, la varianza de
la variable queda multiplicada por el valor de la constante elevado al c uadrado (ver imagen en las propiedades de la media)
3.
Si X e Y son dos dos variables variables aleatorias con función función de densidad o probabilidad probabilidad conjunta conjunta f(x,y), la
varianza de la función m(x,y) = a X ± b Y, donde a y b son constantes reales se calcula como:
En el caso de que a = b = 1 Si además ocurre que X e Y sean independientes σ xy = 0 , luego
Varianza
Definición 3.13 Se llama varianza de aleatoria
, si esta existe.
y se denota por
, a la esperanza de la variable
Se demuestra que la existencia de la varianza implica la existencia de la esperanza. Por e l contrario, una variable aleatoria puede tener una esperanza pero no tener varianza. Es el caso, por ejemplo, si
tiene por densidad:
El cálculo de las varianzas se simplifica, con frecuencia, gracias al siguiente resultado.
Proposición 3.14 La varianza de
existe si y sólo si
existe y se tiene:
Demostración : Para pasar de la definición a la formula anter ior, basta desarrollar el cuadrado y emplear la linealidad de la integral.
La varianza mide cuanto se alejan del valor medio, no es homogénea: si
, los valores que toma
es una longitud expresada en metros,
. La varianza
está expresada en
metros cuadrados. Esto se corrige introduciendo la desviación estándar que es la raíz cuadrada de la varianza. Las propiedades principales de la varianza son las siguientes. Proposición 3.15
Para todo
:
.
Para todo
:
.
Si
e
son independientes, entonces:
Demostración : Las dos primeras propiedades son consecuencia directa de la definición. Para la tercera, si
e
son independientes, entonces
son. Tenemos por tanto:
y
también lo
La desigualdad de Bienaymé-Tchebichev que presentamos a continuación traduce la idea intuitiva que los valores que toma
se separan menos de
según
es más pequeña. El
caso extremo es el de una variable aleatoria de varianza nula, la cual solamente puede tomar un valor. Teorema 3.16 Sea todo
una variable aleatoria que admite una varianza. Entonces, para
:
Demostración : Demostraremos este resultado para las variables continuas, el razonamiento para las variables discretas es análogo. Pongamos
Presentamos algunos ejemplos de cálculos de la varianza.
Ley de Bernoulli :
. Se tiene:
por tanto:
Ley binomial :
suma de Bernoullis independientes
Ley geométrica
por tanto:
:
Ley de Poisson
:
por tanto:
Ley uniforme
:
por tanto:
Si
sigue la ley
,
sigue la ley
.
Ley exponencial
:
por partes por tanto:
Ley normal
:
por tanto:
Si
sigue la ley
,
sigue la ley
.
La tabla que presentamos a continuación da las varianzas de las leyes usuales, discretas y continuas. Propiedades de la varianza Algunas propiedades de la varianza son:
siendo a y b números reales cualesquiera. De esta
propiedad se deduce que la varianza de una constante es cero, es decir, , donde Cov( X ,Y ) es
la covarianza de X e Y . , donde Cov( X ,Y ) es
la covarianza de X e Y . [editar]Varianza muestral En muchas situaciones es preciso estimar la varianza de una población a partir de una muestra. Si se toma una muestra con reemplazamiento
de n valores de ella, de entre todos
los estimadores posibles de la varianza de la población de partida, existen dos de uso corriente:
y
Cuando los datos están agrupados:
A los dos (cuando está dividido por n y cuando lo está por n-1) se los denomina varianza muestral. Difieren ligeramente y, para valores grandes de n, la diferencia es irrelevante. El primero tr aslada directamente la varianza de la muestra al de la población y el segundo es un estimador insesgado de la varianza de la población. De hecho,
mientras que
[editar]Propiedades de la varianza muestral Como consecuencia de la igualdad
2
, s es un estadístico insesgado de
. Además,
2
si se cumplen las condiciones necesarias para la ley de los grandes números, s es un estimador consistente de
.
Más aún, cuando las muestras siguen una distribución normal, por el teorema de Cochran,
tiene la distribución chi-cuadrado:
2
a cantidad S se llama varianza muestral y tiene un valor fundamental en el análisis estadístico, su interpretación es como sigue: es e l promedio de las desviaciones cuadráticas respecto de la media.
Si las observaciones están distribuidas en las clases c 1, c2, ... ck entonces
Se puede demostrar fácilmente que
. Propiedades de la varianza. Supongamos que tenemos las siguientes observaciones x1, ..., xi, ..., xn, cuya varianza la denotaremos por
. Supongamos que sobre cada una de estas observaciones realizamos la
siguiente transformación
Entonces para estas nuevas observaciones transformadas linealmente calcularemos su varianza, esto es
Resultado muy lógico a pesar de lo e xtraordinario. Notemos lo siguiente, que si tenemos una serie de observaciones, a saber
, entonces si hacemos un "traslado" de todas estas
observaciones a una distancia que nos interesa, como por eje mplo
entonces lo que nos dice la propiedad anterior, que la varianza es la misma que las obse rvaciones anteriores. Es decir que si trasladamos "conjuntamente" las observaciones a otro sitio, las observaciones siguen manteniendo el mismo grado de dispersión.
Finalmente, si hacemos un cambio de escala, es decir multiplicamos cada una de las observaciones por una cantidad constante, entonces la varianza de este cambio de escala será proporcional a la anterior en un factor cuadrático de la cantidad constante. La siguiente propiedad es de suma importancia. Supongamos que tenemos los siguientes datos estadísticos distribuidos de la siguiente manera:
Supongamos que cada fila tiene media
y varianza
todas observaciones que son
Veamos su demostración. La varianza total de las ;
es
, con
. Entonces la varianza de
satisfacen la siguiente relación
observaciones, con
Medidas de variabilidad La varianza muestral Se puede definir como el "casi promedio" de los cuadrados de las desviaciones de los datos con respecto a la media muestral. Su formula matemática para el caso de datos referentes a una muestra es:
Y para el caso de datos de una población es dada por
Propiedades de la varianza Dos propiedades importantes de la varianza son: 1.
La varianza de una constante es cero
2.
Otra propiedad importante es que si se tiene la varianza a cada observación se multiplica por una constante
de de un conjunto de datos y
, entonces la nueva varianza de los
datos se obtiene multiplicando a la varianza de los datos por
.
Ejemplo La varianza muestral para los datos del ejemplo 1 de la clase 04, se determina de la siguiente manera
Ejemplo propiedades de la varianza Retomando el ejemplo 4 de la c lase 04 y suponiendo que la varianza de los salarios del año 2000 fué 100.000, se tiene que la varianza para los salarios del año 2001 es
a varianza muestral Si S
es la varianza de una muestra aleatoria de tamaño n que se toma de una población normal
que tiene varianza
la distribución de S
puede ser derivada a partir de una distribución chi-
cuadrado. Teorema 2. Si se tiene una muestra aleatoria varianza
y
tomada de una población normal con es la varianza muestral
entonces
Se dice entonces que X
tiene una distribución
chi-cuadrado con n-1 grados de libertad. Observaciones. 1.La expresión grados de libertad se puede interpretar como el número de térm inos independientes en la suma. Por ejemplo, en la expresión hay
solo
términos cuadrados independientes ya que como
podemos calcular cualquiera de los desvíos
entonces
en términos de los
restantes.
2.La distribución chi-cuadrada es sesgada a la derecha. Los g rados de libertad indicarán diferentes formas de la curva de la densidad. El gráfico 1 presenta dichas curvas. FALTA!!11------------------Gráfico 1. Distribución chi cuadrado para diferentes grados de libertad.--------------Tomado de Probabilidad y estadística aplicadas a la ingeniería, Douglas C. Montgomery y George C. Runger 3.El gráfico 2 presenta el área sombreada que indica la probabilidad de que una muestra aleatoria produzca un valor
mayor que un valor específico
área a la derecha de encontramos un área de
, esta probabilidad se calcula como el
. Se acostumbra representar con
el valor
por arriba del que
-----------------------Gráfico 2. Valores tabulados para la distribución c hi cuadrado.---------------Tomado de Probabilidad y estadística aplicadas a la ingeniería, Douglas C. Montgomery y George C. Runger El cociente de dos variazas muestrales
Sean
y
las varianzas muestrales obtenidas a partir de muestras aleatorias independientes
de tamaño m y n tomadas de poblaciones normales con varianzas
distribución de
se puede obtener a partir de una distribución F.
Teorema 3. Sean
y
sea
y
respectivamente. La
variables aleatorias independientes tales que
y
y
entonces
Teorema 4. Sea sea
una muestra aleatoria tal que una muestra aleatoria tal que
y ; si las muestras son
independientes,
Nota 1. Si
entonces
La distribución F es no negativa, tiene sesgo hacia la derecha y se encuentra centrada en 1. La pareja de valores u y v proporcionan formas diferentes en la distribución. Ver gráfico 3. ------------------------Gráfico 3. Formas diferentes de la distribución F.--------------------Tomado de Probabilidad y Estadística para Ingenieros. Walpole, Myers, Myers.
Los puntos críticos de la distribución F están dados en la tabla del final. Sea
el punto crítico
de la distribución F con u grados de libertad en el numerador y v grados de libertad en el denominador, tal que la probabilidad de que la variable aleatoria F sea mayor que este valor es:
Esto se ilustra en el gráfico 4. Gráfico 4. Valores tabulados para la distribución F. Tomado de Probabilidad y Estadística para Ingenieros. Walpole, Myers, Myers. Por ejemplo, si
y
entonces, de la tabla F se tiene que.
