= = − + = ( ) = − = = √ √ + + + = = = ⁄ = ( ) = − = − 9 25 25 = −⁄ = −+ ++) = ( 0 = (+++) = + − + = − = = √ = + = = √ = √ = = = = = 1 = √ Calcular
si
Calcular
si
, sabiendo que
2 = 2 2 = 2 0 = 0 0 = 1
, sabiendo que
y
y
= −− = − − = − − −6 = 26 = 1 − − = + +√ + + √ + + = 1 = 1 1 = (−) 1 2 2 = −− = +1 3 3 = = ⁄ = + 2 = 6 0 = 1 = −−− − = + +− −+ + + = + ++ = − − − = − − = 2 1 = 1 + = − + = − − = − − − = + = − + = √ −− 2
= = = = = + − = = =
= − = 1 + = − = + = −− − = = +− =
Demostrar todas las derivadas de las Funciones Trigonométricas Demostrar todas las derivadas de las Funciones Trigonométricas Inversa Demostrar las derivadas de las Funciones Algebraicas, Exponenciales y Logarítmicas. Calcular si sabiendo que y
= , = 2 = = √ = √ = = √1 ℎ = 1 = 1 = = + = +
= =
= 22 2 1 √ 1 √ /2 /
2/
0
+ 2 − 3 5
Escribe dentro del paréntesis, el número que corresponde a la derivada de cada función : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
= = = = = = = =
= = (2) = (3) = (4) = (5) = (6) = =
(1)
= + (2) = √−
(1)
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
= = = = = = log = =
= √− (4) = √− (5) = √ − (6) = + (1) = (2) =
(3)
= (4) =
(3)
La relación falsa entre a.
= √ √ = = =
b. c. d.
y
,es:
= = = 1
si y solo si si y solo si
La derivada de la función
a. = − b. = − c. = − d. = 3 1
La derivada de la función
= √1
= − √− b. = 1 −⁄ a.
c.
= 1 −⁄
d. N.A La derivada de a.
= +
= √
, es:
es:
= − + c. = √ (+√ ) d. = √ + b.
e. N.A La derivada de
= 3
, es:
= () √− ()√− b. = c. = 3 3 d. = √− a.
e. N.A
= (√ ) = [(√ )][ √ ] = √ √ = √ √ √ = (√ )( √ ) La derivada de
a.
b.
c.
d.
e. N.A La derivada implícita de
− + + − + − − + −+ −
a. = b. = c. = d. = e. =
4 11 2 = 0
La ecuación de la recta tangente a la curva a.
4 1 = 0 .4 1 = 0 .4 1 = 0
,suponiendo y en función de x es:
= 2 4 1
en el punto
0,1
es:
4 1 = 0 .4 1 = 0 = , += +, + 1 + +1 ⁄ 1 = √ √ , √ (11⁄√ )⁄2 √ (1 √ )⁄2 √ (11⁄√ )⁄ √ (11⁄√ )⁄ ⁄√ )⁄2 √ (11 = 1⁄ 1⁄ (1⁄√ )⁄ d.
Si
entonces, es:
a. b. c. d. e.
Si a. b. c. d. e.
entonces, es:
Si
entonces, es:
a.
b. c.
d. e.
Si a. b. c. d.
entonces, es:
e.
La derivada de a. 1 b .0 c. -3 d.3 e. -1
66.
= = 5 = =
a.
b.
es: 0 es: 1
ℎ = 1
calculada en
=1
es:
= = 3 = = √ √ = = = = 3 = = 2 2 3 5 6 4 3 = = = =
c.
es: 3
d.
es:
e.
es:
f.
es:
g.
es:
h.
es:
i.
es:
67. a. Dada la función Rta:
1,5
= = 13
, cual es el incremento de y si
pasa de 1 a 1,5
= 7002,5
b. En la ecuación de costo , que determina el costo de producir x unidades, cual es el aumento de los costos al incrementar la producción de 50 a 80 unidades? Rta:
75
c. Un fabricante de productos químicos advierte que el costo por semana de producir X toneladas de fertilizante está dado por y el ingreso obtenido por la venta de X toneladas está dado por . La compañía actualmente produce 31 toneladas por semana, pero está considerando incrementar la producción a 32 toneladas por semana. Calcule los incrementos resultantes en el costo, el ingreso y la utilidad. Determine la tasa de cambio promedio de la utilidad por tonelada extra producida.
0,01
= 20004
= 100
Rta: 4; 99,37; 95,37 d. Calcule la tasa de cambio instantánea para el costo, el ingreso y la utilidad del ejercicio anterior.
1000,02;960,02
Rta: 4;
e. Encontrar una ecuación de la recta normal a la curva Rta:
= 2 9
= √ 3
que es paralela a la recta
.
EJERCICIOS PROPUESTOS DE DERIVADAS Determinar la derivada
a) b) c) d) e) f)
en cada uno de las funciones, por los teoremas.
= + ( )( ) Rta: = + Rta: = √ √ √ Rta: = Rta: = . Rta: = ( )( ) Rta:
6 3 4 = 0
g) h) i) j) k) l) m) n) o) p)
+ Rta: = +− Rta: = + = √ Rta: = + ++ −− = +− Rta: = − ++− − = + − Rta: = − = Rta: = = ( ) ′ Rta: ++) = ( = = Rta: = +) = (+ = = Rta: = + = = = Rta: ; hallar
Calcular
si
Calcular
si
Calcular
si
, sabiendo que
y
, sabiendo que
y
, sabiendo que
y
18. Determinar la derivada en funciones complicadas por derivación logarítmica:
= −+ − − Rta: = − = Rta: = Rta: = − = Rta: = −+ = + − Rta: = − = ( ) + Rta: − = √ Rta: = √ − = Rta: = + = Rta: = − = Rta: = = = Rta: = Rta: = − Rta: = + Rta:
a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) k) l) m) n)
5. Si
=
es la función definida por
, determinar
=
a) La ecuación de la tangente y de la normal en el punto de abscisa b) El punto sobre la curva donde la recta tangente es paralela al eje .
6. Si
=
, determine el punto en el cual la recta normal a la curva es paralela al eje Y.
7. Determinar todos los valores de entre y que satisfacen
= = = =
+ ´ = − − = − = = − = ´ − ´
8. Determinar los números estrictamente entre y que satisfacen a.
.
y
;
y
Rta:
si
con
, si
y
.
= = = = = , = ; = = = , = ; = = = √ , = √ ; = =
b.
;
y
Rta:
c.
d.
Rta:
Rta:
e.
Rta:
= = = = +− = = = = =
9. Determinar los valores de entre y que satisfacen a. Si b. Si c. Si
10. Si sobre
con
y
´ = − −
.
Rta:
con
Rta:
con
, , y
Rta:
son dos puntos sobre la curva
=
determinar las coordenadas del punto
donde la tangente a la curva es paralela a la recta determinada por y .
Aplica la regla del Hopital en los siguientes límites
− + −+ → + −− → − −⁄ → + → −√ +− → −−− →∞
a) b)
Rta:
Rta:
c)
Rta:
d)
Rta:
e) f)
Rta:
Rta:
APLICACIONES A LA FÍSICA Dadas las siguientes ecuac iones de movimiento rectilíneos, calcular el espacio recorrido, la velocidad y la aceleración en el instante indicado. a) Rta: b) Rta: Rta: c) Rta: d)
= ; = = ; = = ; = = ; =
APLICACIONES ECONÓMICAS
1.
Suponga que la función de consumo de un país está dada por
= √ +,√ −,
, donde
es el
ingreso en millones de dólares. a) Determine la propensión marginal al consumo cuando el ingreso es de 10.000 millones de dólares. b) Determine la propensión marginal al ahorro cuando el ingreso es de 10.000 millones de dólares. c) Determine que la propensión marginal al consumo cuando le ingreso sea cero. 2. La función de costo total de un fabricante está dada por
= +
donde es el número total de
unidades fabricadas y esta dada en miles de dólares. a) Encuentre la función de costo marginal. b) Encuentre el costo marginal cuando . ¿Qué significado tiene?
=
= √ = = = . = .
3. Suponga que es una ecuación de demanda para el producto de un fabricante. a) Encuentre la razón de cambio de respecto a cuando . b) Calcule la razón de cambio de respecto a cuando . 4. Un fabricante produce cierto artículo que vende a 7.500 dólares cada uno. Sus costos de producción están dados por la ecuación .Calcular la utilidad marginal al producir 50 artículos. 5. Dada la ecuación de demanda relaciona el numero de artículos vendidos a un precio p. a. Obtener el ingreso marginal al producir 20 unidades b. A un precio de u$ , calcular el ingreso marginal. Si el costo total está dado por ,calcular c. la utilidad marginal al producir 20 unidades Rta: 6. El ingreso que se obtiene al mes un fabricante de estanterías metálicas es de euros cuando produce y vende x unidades mensuales. Sabe que el fabricante está produciendo y vendiendo 99 unidades mensuales, y planea aumentar la producción a 100 unidade s. A. Utilice el análisis marginal para estimar el ingreso adicional que se generara por la fabricación y venta de la centésima unidad B. Use la función de ingreso para calcular el ingreso real adicional que se generara por la fabricación y venta de la centésima unidad. Rta: 7. Tras un estudio estadístico, un fabricante ha estimado que, cuando se produce x unidades de un
=
.
.
=
determinado producto, el costo será de Sea
=
=
cientos de euros.
el precio unitario de venta, en miles de euros.
a.
Utilice el análisis marginal para hallar, aproximadamente, el costo de producir la undécima unidad y el ingreso obtenido por la venta de d icha unidad b. Determine el costo real de producir la undécima unidad y el ingreso real obtenido por la venta de esta unidad. Rta:
8. El costo promedio de producir q unidades de un producto es
̅ = , , =
función de costo y la función costo marginal. Determine el costo marginal para resultado, sabiendo que el costo viene expresado en cientos de euros. Rta:
halles la
y analícese el
9. Sea el precio unitario de venta de un determinado modelo de mesa de oficina, y x el número de unidades cada mes. Las funciones que representan la demanda y el costo de producción son (en miles de euros):
= − = y
. La fábrica está produciendo y vendiendo mensualmente 100 mesas y estudia
aumentar la producción a 101.Hallese: a. Las funciones que representan el ingreso marginal y el beneficio marginal b. El ingreso y el beneficio adicional, generado por la fabricación de unidad 101, utilizando el cálculo diferencial. c. El ingreso y el beneficio real. Rta: 10. La demanda para un fabricante de muñecas es de
unidades monetarias.
=
unidades, y el costo de producción
=
Actualmente se fabrican y venden 16 unidades. Calcúlese, aproximadamente, el beneficio diario adicional que es generado por la fabricación y venta de la decimoséptima unidad. Rta: 11. la función
= +
representa la oferta semanal de un producto, en donde
es el número
de unidades de ofertadas y x el precio unitario de venta. Cuando la tasa porcentual a la que estaba creciendo la oferta era del 2,5%, cuántas unidades se ofertaban? Rta:9 u
Aplicaciones I
≤ = { >
1. Pruebe que la función
2. Pruebe que la función
= ||
es continua en
es continua en
=
=
, pero no diferenciable en dicho punto.
, pero no diferenciable en dicho punto
=
3. Determine la ecuación de la recta tangente a la curva
≤ > = { = . ≠ = =
4. Dada la función
donde y
en el punto
=
son constantes. Hallar los valores de y
tal que la
función sea diferenciable en 5. Dada la función
calcular
.Es f continuamente diferenciable?
6. Hallar la ecuación de las rectas tangentes a la circunferencia
.
7. Encontrar los puntos sobre la curva 8. Dos puntos sobre la curva
= +−
= +
=
en el punto
=
en los que la tangente a la curva es paralela al eje x.
tienen la propiedad de que la recta que une a cada uno de ellos con el
origen, es tangente a la curva en el punto. Hallar dichos puntos.
EJERCICIOS DE APLICACIONES A LA GEOMETRÍA Aplicaciones I
=
1. Una partícula se mueve a lo largo de una línea horizontal de acuerdo con la ecuación donde , en metros, representa la posición segundos después de partir de un punto inicial O. Calcule
la velocidad y la aceleración en =
2. Una partícula se mueve a lo largo de una línea horizontal de acuerdo con la ecuación
=
donde , en metros, representa la posición segundos después de partir de un punto inicial O. Determine a. La velocidad y la aceleración en
= .
b. Los intervalos de tiempo donde la partícula se mueve a la derecha.
= .
3. Se estima que dentro de t años la población de un cierto pueblo será de . Expresase la razón porcentual de cambio de la población como una función de . ¿Qué le sucederá a la larga a la razón porcentual de cambio de la población?
= ,
4. El ingreso mensual total de un fabricante es de dólares cuando se producen unidades durante el mes. Habitualmente, el fabricante está produciendo 80 unidades por mes y planea aumentar la producción mensual en una unidad. Use el análisis marginal para estimar el ingreso adicional que será generado por la producción de la octogésima primera unidad.
5. El perímetro de un cuadrilátero es 20m.Cuales deben ser su largo y ancho que dan el área máxima.
6. Un rectángulo tiene 24cm de perímetro. Hallar el largo y el ancho que hacen su área máxima.
7. Halla las dimensiones de un rectángulo que tiene 20cms cuadrados de área y su perímetro es mínimo.
8. Halla dos números cuya suma sea 24 y su producto sea máximo.
9. Halla un número que exceda a su cubo en la mayor cantidad. 10. Halla dos números cuya diferencia sea 20 y su producto sea mínimo.
. − = .
11. El costo de producir x artículo por semana es pueden venderse por semana esta dado por la ecuación de demanda y volumen de ventas cuando la utilidad es máxima.
, el precio en que x artículos .Determine el precio
12. Se ha de construir un tanque con base cuadrada horizontal y lados rectangulares verticales, sin tapa, con capacidad de 4m 3 de agua. El material con que se construirá tiene un costo de $10 por m2. ¿Qué dimensiones del tanque minimizan el coste del material? 13. La ecuación de demanda para el producto de un mayorista es ingreso? 14. El costo promedio de fabricar cierto artículo es
̅
producidos. Encontrar el valor mínimo de .
=
̅ =
. ¿En qué precio maximiza su
, donde x es el número de artículos
= − = .
≤≤
para 15. La función de demanda para cierto bien está dado por donde es el precio por unidad, el número de unidades pedidas. Determinar el precio y la cantidad para las cuales el ingreso es máximo.
16. Para cierto artículo, la ecuación de demanda es . ¿Cuál valor de maximiza el ingreso? Si la función de costo es , encuentra el valor de que maximiza la utilidad. Asimismo calcule la utilidad máxima.
17. Se necesita cortar y doblar un pedazo cuadrado de cartón de 1m por cada lado para formar una caja que no tenga parte superior. Hallar las dimensiones de la caja que contenga el mayor volumen. 18. Un cartel deberá contener un área impresa de 150 cm cuadrados; con márgenes de 3cms en la parte superior e inferior, y 2cms a cada lado. Hallar el área mínima total. 19. Se necesita cortar un alambre de 100pulgadas de longitud en dos pedazos. Un pedazo deberá doblarse para formar un cuadrado, mientras que el otro formara un círculo. En donde deberá hacerse el corte si la suma de las dos áreas debe ser mínima? 20. Cuál es el área máxima posible de un rectángulo cuya base reposa sobre el eje x, con sus dos vértices superiores sobre la gráfica de ?
=
21. Una bodega rectangular tendrá dos cuartos rectangulares separados por una pared interior y el piso deberá tener 5.000 metros cuadrados de área. El costo de las paredes exteriores es de $150 por metro lineal, y el costo de las paredes interiores es de $90 por metro lineal. Hallar las dimensiones de la bodega menos costosa. 22. Determine las dimensiones del rectángulo de área mayor que se pueda inscribir en un semicírculo de radio 2. 23. Una caja abierta tiene que ser hecha a partir de una pieza cuadrada de cartón de 18 por 18 pulgadas, quitando un pequeño cuadrado de cada esquina y plegando las alas para formar los lados. Cuáles son las dimensiones de la caja de mayor volumen que puede construirse de este modo? 24. Una caja cerrada con base cuadrada debe tener un mayor volumen de 250 m 3; el material para el suelo y la tapa de la caja cuesta m 2y el material para los lados cuestan . Cuál es el costo mínimo de la caja?
/
$/
25. Hallar las dimensiones del cilindro circular recto de máximo volumen que puede inscribirse en un cono circular recto de radio R y altura H. 26. Se planea utilizar un alambre de100m de longitud en la construcción de una circunferencia y un cuadrado, de tal forma que el área combinada sea máxima. Como debe distribuirse el alambre? 27. De una pieza rectangular de cartón se construye una caja de base rectangular, sin tapa, recortando cuadrados en sus esquinas y doblando los lados. Si las dimensiones de la pieza a utilizar son 80 cm x 60 cm, cuál debe ser la longitud de los lados de los cuadrados recortados para que la caja construida tenga el máximo volumen posible? 28. Un trozo de alambre de 10m de longitud se corta en dos partes. Una parte será doblada en forma de triángulo equilátero y la otra en forma cuadrada. Como deberá ser cortada el alambre para que la suma de las áreas sea: a) mínima? b) máxima? 29. Un fabricante puede elaborar un cierto producto a un costo de 40 euros unidad, estimando que, si vende cada unidad a euros, los consumidores compraran unidades por semana, aproximadamente. Para que valores de es la función cóncava? Para cuales es convexa? Téngase en cuenta que las soluciones que se den han de tener sentido económico. Rta:
= −,
30. Para una empresa los costos fijos son de 1200 euros, los variables de 2 euros por unidad, y la ecuación de la demanda . Para qué nivel de producción, que tenga sentido económico, es la función beneficio cóncava? Para cual es convexa? Téngase en cuent a lo que representa. Rta:
= −⁄
31. El costo total de producción x unidades de un producto es
=
euros
Hállese: a. la función que representa el costo medio b. la función costo marginal c. la función costo medio marginal. Compruébese que el costo medio y el costo marginal son iguales para , valor para el cual el costo medio alcanza su valor mínimo. Rta:
=
32. Un fabricante de cromos ha estimado que su d emanda es
=
Si el costo de producir x cromos es de optimiza el beneficio. Rta:
=
, donde p es el precio unitario de venta.
unidades monetarias, hállese el precio unitario que
Aplicaciones II 1. Use el criterio de la primera derivada para los máximos y mínimos relativos y después haga la gráfica
a) b) c)
= √ = + =
2. Determine los extremos absolutos en las funciones siguientes en los intervalos indicados
a) b) c)
= ≤ ≤ = +− ≤ ≤ = ≤ ≤
. Encuentre:
a) Los intervalos de longitud. b) Los puntos de inflexión c) Los máximos y mínimos relativos utilizando al criterio de la segunda derivada.
3. Haga una gráfica de la curva
= = = +
a) b) c)
Aplicaciones III
1. Un hombre de pies de altura está alejándose de un farol de segundo. ¿A qué ritmo está creciendo la longitud de su sombra?
pies de altura a un ritmo de pies por
2. Un tanque de agua tiene la forma de cono invertido de 20 pies de altura con una base circular de 5 pies de radio. El agua está saliendo por el fondo del tanque a un ritmo constante de pies cúbicos por minuto. ¿Qué tan rápido está bajando al nivel del agua, cuando el agua tiene 8 pies de profundidad?
3. Una escalera de 20 travesaños está apoyada contra un muro. El pie de la escalera está resbalando desde el muro a un ritmo de 2 pies por segundo. ¿A qué ritmo se está moviendo hacia abajo del muro al extremo de la escalera cuando la base está a 12 pies de la base del muro?
4. El volumen de un globo esférico está creciendo a un ritmo de pulgadas cubicas por segundo. ¿A qué ritmo
= = .
está creciendo el radio del globo cuando el radio e s de pulgadas?
).
5. Se estima que el ingreso anual de cierto periódico por publicidad será de miles de dólares cuando esa circulación sea x miles. La circulación del periódico es actualmente de 10.000 y está creciendo a un ritmo de 2.000 por año. ¿A qué ritmo está creciendo el ingreso anual por publicidad? 6. En un instante dado los catetos de un triángulo rectángulo miden 8 y 6 cm respectivamente; el primer cateto decrece a razón de 1cm/seg y el segundo crece a razón de cms/seg, con qué rapidez está creciendo el área?
7. El lado del triángulo equilátero mide 2.5 cm; si aumenta a razón de 2cms/seg, con qué rapidez está aumentando el área? 8. Si se infla un globo de forma esférica a razón de es de cms?
⁄
; con que velocidad crece el radio cuando este
9. La arista de un cubo crece a razón de 3 cm/seg. Con que rapidez varia el volumen, cuando la arista es 10cm? 10. Un tanque cónico tiene10dm de diámetro y 16dm de altura. Si le está entrando agua a razón de , calcular la razón de cambio del radio de la superficie cuando este es de 3 dm.
⁄
11. Un reflector está en el suelo a 40m de un edificio. Un hombre de 2m de altura camina desde la luz hacia el edificio a 3m/seg. Calcular a qué velocidad está disminuyendo su sombra en el edificio, en el instante en que el hombre está a 20 m del edificio.
= ,
12. Las ganancias anuales brutas de una cierta compañía eran miles de dólares t años después de su constitución en 1975. ¿A qué ritmo estaban creciendo las ganancias anuales brutas de la compañía en1979? ¿A qué razón porcentual estaban creciendo las ganancias anuales brutas en1979. 13. Una librería 100.000 revistas semanalmente a 50 euros cada revista. Si el librero quiere aumentar las ventas debe rebajar 1euro en cada revista para conseguir 1000 compradores más. Cuál debe ser el máximo descuento en el precio de cada revista, para obtener un mayor ingreso?
EJERCICIOS PROPUESTOS DE DIFERENCIALES 1.
= = =
Encontrar el cambio aproximado en la ganancia si euros y cambia de a unidades de producción. Sugerencia . 2. Una compañía encuentra que la oferta de unidades de su producto está determinada por la función de precio euros. Si cambia de 10 a 11 unidades, encontrar el cambio en porcentaje correspondiente en el precio. 3. El costo total de fabricación de unidades del producto está definido por la función de costo
= ()
. Aproximar el cambio en porcentaje en el costo (cuando
cambia de 20 a 22 unidades).
4. Se mide el radio de una bola de un cojinete y se encu entra que es igual a 0.7 pulgadas. Si la medición no tiene un error mayor a 0.001 pulgadas estimar el error propagado en el volumen de la bola del cojinete. (error propagado es la diferencia entre el valor exacto y el valor medido ). 5. La formula define la temperatura en Fahrenheit es la función de la temperatura en centígrados. Si la temperatura en Fahrenheit puede leerse con de aproximación, con qué grado de exactitud puede encontrarse la temperatura en centígrados?
∆ = ⁄℃
∆ ℃
∆
