UNIVERSITATEA DE VEST DIN TIMI ŞOARA
FACULTATEA DE ECONOMIE ŞI DE ADMINISTRARE A AFACERILOR
CIPRIAN ŞIPOŞ
ECONOMETRIE MANUAL ANUL II
CUPRINS CAPITOLUL 1. PRINCIPII ALE MODELĂRII ECONOMETRICE 1.1. Tipologia legăturilor dintre variabilele economice …………….. …………….. 1.2. Modelul – element fundamental al analizei econometrice …...…
7 7 9
CAPITOLUL 2. MODELE ECONOMETRICE UNIFACTORIALE 2.1. Modelul unifactorial liniar ……………………………….…..… ……………………………….…..….. 2.1.1. Prezentarea modelului .…………………….……….…… .…………………….……….…… 2.1.2. Estimarea parametrilor ………………………………… ………………………………….... 2.1.3. Verificarea statistică a modelului …………………….…. …………………….…. 2.2. Modele unifactoriale neliniare ……………………………..…… ……………………………..…… 2.2.1. Modelul hiperbolic .…………………….………......…… .…………………….………......…… 2.2.2. Modelul parabolic ………………………………........….. ………………………………........….. 2.2.3. Modelul exponenial …………………….…..................... …………………….….....................
15 15 15 17 20 28 29 31 32
CAPITOLUL 3. MODELE ECONOMETRICE MULTIFACTORIALE 35 3.1. Modelul multifactorial liniar …………………………….…..…. …………………………….…..…. 35 3.1.1. Prezentarea modelului şi estimarea parametrilor .………. 35 3.1.2. Verificarea statistică a modelului multifactorial .……….. 39 3.2. Modele unifactoriale neliniare ……………………………...…… ……………………………...…… 44 3.3. Funcii de producie …………………………………..…………. 46 CAPITOLUL 4. MODELE ECONOMETRICE BAZATE PE FACTORUL TIMP 4.1. Analiza econometrică a evoluiei în timp a variabilelor economice 4.2. Funcii de timp ……………………………………… …………………………………………..…..…. …..…..…. 4.2.1. Funcia liniară de timp …………………………..………. 4.2.2. Funcii de timp neliniare .…………………………….….. .…………………………….….. 4.3. Modele econometrice cu time – lag ……………………………. 4.4. Modele autoregresive ………………………………...……… ………………………………...…………. …. 4.4.1. Caracterul autoregresiv al variabilelor economice …...…. 4.4.2. Modelul autoregresiv de ordinul k …………………...…..
51 51 58 59 61 64 68 68 70
APLICAIE ECONOMETRICĂ PE CURSUL VALUTAR ...............
75
5
CUPRINS CAPITOLUL 1. PRINCIPII ALE MODELĂRII ECONOMETRICE 1.1. Tipologia legăturilor dintre variabilele economice …………….. …………….. 1.2. Modelul – element fundamental al analizei econometrice …...…
7 7 9
CAPITOLUL 2. MODELE ECONOMETRICE UNIFACTORIALE 2.1. Modelul unifactorial liniar ……………………………….…..… ……………………………….…..….. 2.1.1. Prezentarea modelului .…………………….……….…… .…………………….……….…… 2.1.2. Estimarea parametrilor ………………………………… ………………………………….... 2.1.3. Verificarea statistică a modelului …………………….…. …………………….…. 2.2. Modele unifactoriale neliniare ……………………………..…… ……………………………..…… 2.2.1. Modelul hiperbolic .…………………….………......…… .…………………….………......…… 2.2.2. Modelul parabolic ………………………………........….. ………………………………........….. 2.2.3. Modelul exponenial …………………….…..................... …………………….….....................
15 15 15 17 20 28 29 31 32
CAPITOLUL 3. MODELE ECONOMETRICE MULTIFACTORIALE 35 3.1. Modelul multifactorial liniar …………………………….…..…. …………………………….…..…. 35 3.1.1. Prezentarea modelului şi estimarea parametrilor .………. 35 3.1.2. Verificarea statistică a modelului multifactorial .……….. 39 3.2. Modele unifactoriale neliniare ……………………………...…… ……………………………...…… 44 3.3. Funcii de producie …………………………………..…………. 46 CAPITOLUL 4. MODELE ECONOMETRICE BAZATE PE FACTORUL TIMP 4.1. Analiza econometrică a evoluiei în timp a variabilelor economice 4.2. Funcii de timp ……………………………………… …………………………………………..…..…. …..…..…. 4.2.1. Funcia liniară de timp …………………………..………. 4.2.2. Funcii de timp neliniare .…………………………….….. .…………………………….….. 4.3. Modele econometrice cu time – lag ……………………………. 4.4. Modele autoregresive ………………………………...……… ………………………………...…………. …. 4.4.1. Caracterul autoregresiv al variabilelor economice …...…. 4.4.2. Modelul autoregresiv de ordinul k …………………...…..
51 51 58 59 61 64 68 68 70
APLICAIE ECONOMETRICĂ PE CURSUL VALUTAR ...............
75
5
OBIECTIVELE DISCIPLINEI ECONOMETRIE
Să argumenteze necesitatea şi posibilitatea utilizării metodelor matematice şi statistice în analiza comportamentului variabilelor economice; Să prezinte modul de elaborare şi de interpretare a principalelor categorii de modele cantitative utilizate în cercetarea economică; Să formeze studenilor deprinderea de a exprima în relaii econometrice fenomenele şi procesele economice; Să pună în evidenă modalităile de utilizare a modelelor econometrice în analiza la nivel microeconomic, având drept variabile endogene şi exogene principalii indicatori ce reflectă activitatea economică la nivel de firmă; Să abordeze problemele legate de elaborarea unor modele de analiză macro–econometrică, la nivel global, care depind în mare măsură de dimensiunile seturilor de date avute la dispoziie şi de posibilităile de definire a variabilelor şi a legăturilor dintre acestea; Să formeze aptitudini în determinarea caracteristicilor parametrilor modelelor econometrice cu ajutorul aparatului matematic şi statistic adecvat;
6
CAPITOLUL 1. PRINCIPII ALE MODEL ĂRII ECONOMETRICE Asupra fenomenelor social – economice acionează un număr mare de factori principali şi secundari, endogeni sau exogeni, care se manifestă de regulă într-un sistem complex de interdependene. Modelarea econometrică, cu ajutorul unei game variate de procedee şi metode, poate studia manifestarea concretă a acestor legături, le poate exprima cantitativ şi poate măsura intensitatea cu care acestea se produc şi, mai departe, se pot face estimări asupra tendinelor în evoluia fenomenului cercetat. Din punct de vedere econometric, variabilele economice sunt privite prin prisma interdependenelor pe care acestea le generează. Varietatea acestor interdependene necesită identificarea, selectarea şi ierarhizarea factorilor de influenă, cu atât mai mult cu cât, în mod curent, sunt întâlnii factori care nu pot fi cuantificai decât cu ajutorul unor metode convenionale. De aceea, este necesară, în primul rând, determinarea tipologiei variabilelor factoriale (de influenă) cu ajutorul unei analize calitative multilaterale. Rezumat:
1.1. Tipologia leg ăturilor dintre variabilele economice Există numeroase varietăi de legături între variabilele economice, iar descrierea lor analitică poate fi f ăcută cu ajutorul analizei de regresie şi a analizei intensităii legăturilor (corelaia). Cunoaşterea lor este condiie esenială a interpretării legăturilor de cauzalitate dintre variabila rezultativă şi factorii săi de influenă (variabilele factoriale). Criteriile avute în vedere sunt numeroase, dar s-au reinut numai cele uzuale, pe baza cărora s-a alcătuit o posibilă tipologie de interdependene între variabilele analizate. În raport cu numărul variabilelor corelate, legăturile pot fi simple (modele unifactoriale), atunci când variaia variabilei rezultative este exprimată în funcie de o singură variabilă factorială, sau multiple (modele multifactoriale), atunci când variaia variabilei rezultative este exprimată în funcie de variaia simultană a mai multor variabile factoriale. În practică, cel mai des întâlnite sunt legăturile multiple, datorită complexităii relaiilor economice internaionale care nu permit, în general, utilizarea unor funcii cu o singură variabilă de influenă.
7
După sensul legăturii, acestea pot fi legături directe, atunci când modificarea variabilei rezultative este în acelaşi sens cu modificarea factorului de influenă analizat, sau legături inverse, atunci când variabila rezultativă se modifică în sens contrar modificării factorului de influenă. În modelele econometrice pot exista situaii în care între aceleaşi variabile pe anumite poriuni să existe legături directe, iar pe alte poriuni să existe legături inverse, în funcie de evoluia factorilor de influenă. În funcie de forma legăturii dintre variabile, folosind clasificarea dihotomică, distingem legături liniare şi legături neliniare. Forma legăturii se determină cel mai adesea intuitiv, prin modul de transpunere a punctelor în planul de reprezentare grafică a variabilelor rezultative şi factoriale. În modele econometrice, legătura liniară ocupă un loc aparte, datorită accesibilităii prezentării şi a posibilităilor numeroase de interpretare, cu toate că în natură şi în evoluia reală a fenomenelor economice este mai puin întâlnită. Identificarea modelelor neliniare (parabolice, exponeniale, hiperbolice, logistice, etc.), uneori mult mai adecvate, ridică probleme mari şi diverse în determinarea şi, mai ales, în interpretarea parametrilor. Există şi situaii în care modele de tip neliniar pot fi liniarizate prin anumite metode (cel mai adesea prin logaritmare) şi interpretate prin prisma legăturilor de tip liniar. După momentul în care se realizează legătura , legăturile pot fi concomitente sau sincrone, caz în care dacă variabila factorială se modifică şi variabila rezultativă se va modifica în acelaşi timp, ori legături asincrone sau cu decalaj, caz în care variaia variabilei rezultative se produce după scurgerea unei perioade de timp de la modificarea variabilei factoriale. După intensitatea conexiunii cauzale distingem independenă totală sau lipsa de legături, legături funcionale sau totale şi legături relative sau statistice. Conexiunea nulă semnifică absena oricărei legături între variabila rezultativă şi factorii de influenă luai în considerare, sau în formulare statistică, absena reciprocă a corelaiilor dintre aceste variabile, în timp ce conexiunea func ională apare atunci când la fiecare valoare posibilă a variabilei rezultative corespunde o singură valoare a factorului de influenă. Această conexiune este una specifică ştiinelor tehnice şi ale naturii, în care pentru o valoare dată a factorului de influenă există o singură valoare posibilă a variabilei rezultative. Aceste conexiuni sunt rar întâlnite în economie, unde practic nu există astfel de dependene totale. Conexiunea relativă sau statistică (stochastică ) este tipul de legătură cel mai des întâlnit în studiul fenomenelor din economie. Interes aparte, prin urmare, îl prezintă acest din urmă tip de legături. Particularitatea lor principală constă în faptul că la o valoare dată a factorului de influenă corespunde o distribuie de valori posibile ale variabilei rezultative.
8
1.2. Modelul – element fundamental al analizei econometrice Modelul econometric reprezintă o imagine simplificată a relaiilor dintre variabilele economice, care se referă atât la definirea variabilelor, cât şi la determinarea intercondiionărilor dintre acestea. El redă ceea ce este esenial în agregatul economiei, descriind global transformarea cauzelor în efecte. Importana modelelor econometrice, ca instrument fundamental de analiză al economistului modern, se afirmă în verificarea consistenei unei teorii economice, în crearea unei legături cantitativ – econometrice de verificare între teorie şi obiectivul pragmatic şi, în final, în descoperirea unor noi relaii şi concepte, imposibil de relevat altfel. Modelul, oricare i-ar fi întrebuinarea este, înainte de toate, reprezentarea unei teorii prin intermediul căreia se reprezintă, apoi, însăşi realitatea avută în vedere. Aici, teoria explicativă inteşte atât fenomenul economic cercetat, cât şi reprezentarea prin model, care întotdeauna este construit pe baza unei teorii (sau cel puin a unui enun cvasiteoretic). Apoi, modelarea econometrică reprezintă o metodă care se defineşte ca instrument de cunoaştere ştiinifică, având drept scop construirea unor asemenea modele care să contribuie la înelegerea şi cunoaşterea segmentului investigat. Principala problemă care se pune cu ocazia elaborării unui model econometric este definirea scopului acestuia, din acest punct de vedere, existând două mari categorii de modele:1 – modele destinate elaborării unei anumite teorii economice, verificării coerenei sale logice şi testării sale empirice; aceste modele pot fi numite modele teoretice sau modele de cercetare; – modele destinate explicării faptelor economice observate şi previzionării desf ăşurării lor viitoare; aceste modele pot fi numite modele funcionale sau modele de aciune şi au la bază, de regulă, metodele de analiză matematico–statistică. Deşi încadrarea precisă a modelelor utilizate în analiza comportamentului diverselor variabile economice în una sau alta din categoriile amintite este destul de dificilă, pot fi totuşi construite o serie de modele econometrice care să se includă în categoria modelelor funcionale. Un model econometric constă, de regulă, dintr-un sistem de ecuaii, care, în condiiile fixate prin ipotezele de pornire şi cu o anumită precizie, exprimă 1
S. Cerna, Banii şi creditul în economiile contemporane. Elemente de analiză monetar ă , Vol. I, Editura Enciclopedică, Bucureşti, 1994, pag. 325 – 338
9
legăturile dintre variabilele exogene şi endogene şi, în modul acesta, permite rezolvarea unei serii de probleme economice. Fără îndoială că, privind lucrurile în mod abstract, modelele econometrice sunt întotdeauna de preferat, conferind o calitate maximă analizei. Din păcate, eficacitatea modelelor econometrice este, uneori, destul de limitată, iar aceasta din mai multe motive. O dependenă statistică, larg utilizată în econometrie, se prezintă sub forma: C i = f(X i) + ε i
unde: C i reprezintă nivelul variabilei rezultative sau explicate la momentul i; X i reprezintă nivelul factorului de influenă (variabila factorială sau independentă) la momentul i; f reprezintă funcia de regresie care cuantifică legătura dintre variabila rezultativă (C i) şi factorul de influenă ( X i); ε i reprezintă variabila aleatoare care ia în considerare aciunea altor factori decât variabila factorială X i , întâmplători în raport cu legătura studiată. Variabila aleatoare este cea care distinge o legătură funcională de una statistică şi, spre deosebire de variabilele rezultative şi factoriale nu este căutată şi introdusă în model într-un mod explicit şi argumentat, ea rezultând dintr-o etapă ulterioară elaborării modelului, în urma comparării valorilor estimate, generate de model, cu valorile empirice, reale. Această variabilă apare datorită unor numeroase cauze, cum ar fi, erorile de specificare a modelului, concretizate prin includerea unui număr prea mic de factori eseniali, erorile de măsurare care presupun aprecieri numerice greşite sau neconcludente, sau erorile de eşantionare datorate accesului limitat şi probabilist la volumul total al informaiei. Construirea şi analiza unui model de regresie care are la bază o legătură de tip stochastic între variabila rezultativă şi factorii de influenă care îl determină presupune parcurgerea următoarelor etape: ◊ stabilirea ipotezelor de pornire şi a variabilelor factoriale, endogene şi exogene; ◊ construirea corelogramei, adică a reprezentării grafice a perechilor de valori ale variabilelor studiate într-un sistem de axe de coordonate; ◊ aproximarea, pe baza reprezentării grafice, a formei legăturii printr-un model teoretic şi scrierea ecuaiei corespunzătoare modelului de regresie; ◊ estimarea parametrilor ecuaiei de regresie, cel mai adesea cu ajutorul metodei celor mai mici pătrate; 10
◊ testarea statistică a semnificaiei parametrilor estimai; ◊ interpretarea rezultatelor obinute în funcie de semnul şi nivelul
parametrilor respectivi; ◊ previzionarea variabilei rezultative pe baza modelului construit. O altă direcie în domeniul analizei cantitative a desf ăşurării proceselor economice o reprezintă studiul, prin metode statistice, a comportamentului seriilor cronologice. Seriile lungi de date oferite de publicaiile statistice scot în evidenă repetabilităi care pot fi descrise de modele adecvate de analiză şi previziune a evoluiei în timp a cursurilor de schimb. În cazul acestor serii cronologice, de timp sau dinamice, cum mai sunt ele denumite, factorii de influenă utilizai în funciile de regresie sunt înlocuii de către factorul timp îneles ca o acumulare de perioade de timp egale, aspect exprimat frecvent prin şirul numerelor naturale (1, 2, 3, ….. , t ). Cea mai utilizată formă de analiză a seriilor cronologice este reprezentată de descompunerea evoluiei seriei pe componente determinate de aciunea diferiilor factori de influenă. Sub aciunea unui complex de factori de influenă, considerai independeni unul faă de celălalt, în cadrul unei serii dinamice se pot identifica următoarele componente:2 ◊ trendul sau tendina centrală (t t) reflectă legitatea specifică de evoluie a variabilei rezultative pe o perioadă lungă de timp (de ordinul anilor), f ăcând abstracie de abaterile faă de nivelul mediu, respectiv, de erorile sau valorile reziduale datorite influenei factorilor aleatori; ◊ variaiile ciclice (ct ) reprezintă oscilaiile interanuale în jurul tendinei centrale cu un caracter mai puin sistematic, în sensul că atât intervalele la care oscilaiile se manifestă, cât şi intensitatea lor, prezintă o relativă inconstană în decursul timpului; ◊ variaiile sezoniere (st ) sunt acea componentă sistematică ce se manifestă prin oscilaii de perioadă mai mică sau cel mult egală cu un an, repetabile în timp. Sezonalitatea se manifestă sub forma unor abateri de la medie care revin regulat de-a lungul unui an şi are un caracter mai mult sau mai puin pregnant în funcie de specificul domeniului studiat; ◊ variaiile aleatoare (ε t) apar datorită unor factori necuantificabili şi cu aciuni imprevizibile. În funcie de proprietăile variabilei aleatoare pot fi aplicate anumite tehnici de estimare şi previziune a seriei cronologice. În măsura în care volumul de date studiat este suficient de mare, în analiza unei serii cronologice se regăsesc mai multe tipuri de scheme de descompunere. 2
T. Andrei, S. Stancu – Statistica. Teorie şi aplica ii, Editura ALL, Bucureşti, 1995, pag. 385
11
O primă schemă o reprezintă schema aditivă în care cele patru componente ale seriei studiate sunt însumabile direct, astfel: C t = t t + ct + st + ε t ,
unde C t reprezintă variabila rezultativă la momentul t . În literatura de specialitate primele două componente, trendul şi variaiile ciclice, se analizează împreună sub forma componentei extrasezoniere (d t ), după relaia: d t = t t + ct
O a doua schemă este cea multiplicativă care are două variante: 1. Atunci când componenta sezonieră este proporională cu componenta extrasezonieră, schema de compunere se prezintă în felul următor: C t = d t + d t ⋅ st + ε t = d t (1 + st ) + ε t
2. Atunci când componenta aleatoare este proporională cu suma celorlalte componente, schema este următoarea: C t = d t (1 + st )(1 + ε t )
Această ultimă schemă, prin logaritmare, poate fi transformată într-o schemă aditivă, având forma: ln C t = ln d t + ln(1 + st ) + ln(1 + ε t)
Seriile cronologice trebuie să ină însă seama de caracteristica fenomenelor economice de a-şi manifesta influena cu o întârziere mai mică sau mai mare în timp. Acest fapt a dus la utilizarea termenului de “time–lag” (decalaj în timp) care evită pericolul falselor corelaii în situaiile în care se analizează serii de date care includ tendine de evoluie. Efectul întârziat manifestat ca urmare a ineriei sau autodeterminării se manifestă frecvent sub forma autocorelării variabilei rezultative, ceea ce infirmă ipoteza independenei factorilor care generează componentele seriei cronologice şi limitează aplicarea metodei schemelor de descompunere. Din acest considerent în studiul seriilor cronologice s-au impus modelele autoregresive, reprezentate sub conform relaiei:
12
C t = f(C t-1 , C t-2 , …… ,C t-k ) + ε t
unde prin k s-a desemnat numărul perioadelor din trecut care acionează asupra valorii prezente a cursului de schimb. Aceste modele econometrice, fie ele regresii sau serii cronologice, nu pot fi utilizate f ără a se ine cont de principiile stabilite de teoriile economice care analizează comportamentul variabilelor economice, fapt pentru care se impune evitarea matematizării lor excesive, care duce de cele mai multe ori la ruperea legăturii cu realităile economice studiate. Desigur, econometria prezintă numeroase avantaje, dar şi destule limite, important fiind ca soluiile noi oferite de către aceasta, care se dovedesc a fi serios argumentate şi rezistente la rigorile practicii economice, să fie preluate în rândul metodelor general acceptate, astfel încât rolul econometriei în cadrul analizei economice să fie consolidat.
ÎNTREBĂRI TEORETICE DE AUTOEVALUARE LA CAPITOLUL 1: 1. Ce tipuri de legături se pot stabili între variabilele economice? 2. Ce reprezintă modelul econometric? 3. Care sunt etapele care trebuie parcurse în elaborarea unui model econometric? 4. Care sunt componentele unei serii dinamice?
13
14
CAPITOLUL 2. MODELE ECONOMETRICE UNIFACTORIALE
Aşa cum s-a arătat anterior, comportamentul variabilelor economice este rezultatul aciunii unui număr mai mare sau mai mic de factori, eseniali sau nesemnificativi, cu un impact determinant sau accidental. În aceste condiii, dependena dintre variabile nu se manifestă individual, pentru fiecare caz în parte, ci numai în general, ca tendină a unui număr suficient de mare de cazuri. Variaiile unei mărimi economice y pot fi mai mari sau mai mici decât cele determinate de un factor oarecare x, sau chiar contrare celor aşteptate. Cu alte cuvinte, între variabilele economice există, de regulă, o dependenă stochastică, caracterizată prin faptul că unei valori oarecare a factorului de influenă x îi corespunde o distribuie de valori posibile ale variabilei rezultative y. Acest tip de dependenă este studiat cu ajutorul modelelor econometrice unifactoriale. Alegerea unui anumit tip de model unifactorial, care să descrie legătura dintre variabilele corelate, depinde în mare măsură de volumul eşantioanelor avute la dispoziie. Cu cât acestea sunt mai mari, cu atât numărul de puncte din cadrul “norului de puncte” este mai mare şi posibilităile de găsire a unei funcii care să exprime corect legătura dintre variabile cresc. Rezumat:
2.1. Modelul unifactorial liniar 2.1.1. Prezentarea modelului Modelul unifactorial liniar studiază legătura dintre variabila factorială x şi variabila rezultativă y cu ajutorul unei funcii stochastice de forma: y = α + β ⋅ x + ε
în care α şi β se numesc parametrii sau coeficien ii modelului şi reprezintă valori necunoscute ce urmează a fi estimate, iar ε este variabila aleatoare (reziduală sau perturbatoare)3. 3
J.H. Stock, M.W. Watson, Introduction to Econometrics, Addison – Wesley, 2003, pag. 93 – 96
15
Parametrul α reprezintă valoarea pe care o ia variabila rezultativă y atunci când variabila factorială are valoarea zero şi poate avea relevană în model sau nu, în funcie de cazul concret analizat. Parametrul β , numit şi coeficient de regresie, reprezintă panta dreptei de regresie, adică valoarea cu care se modifică variabila rezultativă y atunci când variabila factorială x se modifică cu o unitate. Semnul şi valoarea parametrului β prezintă o importană majoră în descrierea interdependenei dintre variabila rezultativă şi cea factorială. Astfel, dacă β > 0, atunci legătura dintre variabila factorială x şi variabila rezultativă y este directă (când x are evoluie crescătoare, creşte şi y, iar când x are evoluie descrescătoare, scade şi y). Când β este pozitiv se pot distinge trei situaii: dacă β < 1, atunci influena variabilei factoriale asupra celei rezultative este mai slabă (la variaia cu o unitate a variabilei factoriale x, variabila rezultativă y variază cu o valoare subunitară); dacă β > 1, atunci influena variabilei factoriale asupra celei rezultative este foarte puternică (la variaia cu o unitate a variabilei factoriale x, variabila rezultativă y variază cu o valoare supraunitară); dacă β = 1, atunci variabila rezultativă y variază direct proporional cu variaia variabilei factoriale x. Dacă β < 0, atunci legătura dintre variabila factorială x şi variabila rezultativă y este inversă, de sens contrar (când x evoluează crescător, y are o evoluie descrescătoare, iar când x evoluează descrescător, y are o evoluie crescătoare). În situaia în care β = 0, variabila rezultativă y este complet independentă în raport cu variabila factorială x. Analiza de regresie în cazul modelului unifactorial liniar constă în ˆ . ˆ şi β estimarea parametrilor α şi β , prin determinarea a doi estimatori α Aceşti estimatori trebuie calculai astfel încât diferena dintre valorile reale ale variabilei rezultative ( yi) şi valorile estimate cu ajutorul parametrilor ˆ ⋅ x ) să fie cât mai mică ( y − y ˆ i = minim). ˆ i = α ˆ + β calculai ( y i i Deoarece funcia de regresie utilizată este de tip stochastic, parametrii α şi β nu sunt valori unice, ci au coninut de medii, care se estimează cu ajutorul metodelor specifice oferite de matematică şi statistică4.
4
R.S. Pindyck, D.L. Rubinfeld, Econometric Models and Economic Forecasts, Fourth Edition, McGraw – Hill, 1998, pag. 57 – 66
16
2.1.2. Estimarea parametrilor Dacă se ia în studiu un set de date reale referitoare la variabila rezultativă, respectiv la variabila factorială, se va observa că reprezentarea grafică a modelului liniar aproximează mai mult sau mai puin exact legătura dintre cele două variabile. Este puin probabil ca cele două variabile să fie legate strict printr-o relaie liniară, de tip funcional. O cuantificare deterministă, exactă a valorilor parametrilor α şi β este imposibil de realizat, deoarece nu se pot cuprinde în model absolut toate influenele existente. Acest lucru a determinat introducerea în model a variabilei aleatoare, perturbatoare ε , care însumează efectul tuturor factorilor rămaşi în afara modelului, fie ei nesemnificativi sau necuantificabili. Variabila aleatoare se presupune că are o repartiie normală de medie nulă şi variană constantă pentru eşantionul de date analizat. Cu cât volumul eşantionului este mai mare, cu atât aceste presupuneri sunt mai apropiate de realitate. În aceste condiii, fiecărei valori date xi a variabilei factoriale îi corespunde o distribuie normală de valori yi ale variabilei rezultative, de medie α + β ⋅ xi şi variană constantă. Aceste ipoteze permit abordarea în condiii de rigurozitate ştiinifică a problematicii estimării parametrilor α şi β . ˆ pot fi ˆ şi β Valorile estimatorilor parametrilor, notate mai sus cu α determinate cu ajutorul mai multor metode matematice şi statistice. Una din metodele care ine seama de restriciile prezentate este metoda celor mai mici pă trate iniiată de matematicianul francez A.M. Legendre şi îmbunătăită de K. Gauss, P.S. Laplace, P.L. Cebî şev şi A.A. Markov.5 Aplicarea ei are la bază câteva ipoteze fundamentale: datele privind variabila rezultativă şi cea factorială sunt obinute f ără erori de observare sau măsurare; variabila aleatoare sau reziduală ε este de distribuie normală, de medie nulă ( E(ε i) = 0) şi de variană constantă şi diferită de zero; variabila aleatoare ε urmează o distribuie independentă de valorile variabilei factoriale x; valorile variabilei aleatoare nu sunt autocorelate. Principiul metodei celor mai mici pătrate constă în minimizarea sumei pătratelor erorilor de estimare, conform relaiei:
5
E. Pecican, Econometrie, Editura ALL, Bucureşti, 1994, pag. 50
17
n
n
n
i=1
i =1
2 ˆ ⋅ x )2 = min ˆ − β ∑ (ε ) = ∑ ( yi − yˆ i ) = ∑ ( yi − α i
i=1
2 i
Condiia necesară pentru îndeplinirea acestei restricii este ca derivatele pariale ale sumei pătratelor erorilor de estimare în raport cu α şi β să fie egale cu zero, deoarece aceasta ne conduce la un extrem al funciei respective, conform teoremei lui Fermat. Se poate demonstra că acest extrem este un minim deoarece pentru ca el să fie un maxim ar trebui ca α şi β să fie egali cu ±∞, iar posibilitatea de a fi un punct de inflexiune este exclusă dată fiind natura pătratică a funciei6. Derivatele pariale ale funciei în raport cu parametrii α şi β se egalează cu zero şi rezultă relaiile: n
(
)
(
)
ˆ ⋅ x (− 1) = 0 ˆ − β 2 ∑ yi − α i i =1 n
ˆ ⋅ x (− x ) = 0 ˆ − β 2 ∑ yi − α i i i =1
Din aceste două relaii se poate ajunge la un sistem de două ecuaii cu ˆ , de forma: ˆ şi β necunoscutele α
n n n ⋅ α ˆ ˆ + β ⋅ ∑ xi = ∑ yi i =1 i =1 n n n 2 ˆ α ˆ ⋅ ∑ xi + β ⋅ ∑ xi = ∑ xi yi i =1 i =1 i =1
Prin rezolvarea acestui sistem de ecuaii se obin valorile estimatorilor ˆ . Estimatorii astfel determinai corespund obiectivului urmărit dacă ˆ şi β α valoarea medie a estimatorului este egală cu valoarea reală a parametrului corespunzător, iar variana fiecărui estimator este relativ mică în raport cu numărul de eşantioane pe baza cărora s-a efectuat analiza. 6
E. Pecican, op. cit., pag. 51
18
Calitatea estimatorilor calculai poate fi apreciată în funcie de îndeplinirea de către aceştia a unor condiii absolut necesare unei analize corecte: să conducă spre un grad înalt de determinare, să fie nedistorsionai, eficieni şi consisteni. Atunci când se utilizează metoda celor mai mici pătrate este necesar să fie cunoscute câteva consideraii privind calitatea estimatorilor rezultai7:
ˆ i ) conduce la pătratele de arie ridicarea la pătrat a abaterilor ( yi − y minimă a erorilor de estimare, ceea ce reprezintă un element pozitiv. Trebuie avut însă în vedere faptul că aceast ă modalitate de calcul atribuie o importană destul de mare abaterilor mari, în sus sau în jos, fa ă de medie, deoarece acestea prin ridicare la pătrat devin extrem de mari, afectând corespunzător estimaiile. De aceea, atunci când se studiază perioadele cu fluctuaii foarte mari ale variabilei rezultative în raport cu media, este indicată minimizarea sumei abaterilor luate în calcul la valoarea lor n
ˆ i = min; absolută: ∑ y i − y i =1
calitatea estimatorilor de a fi nedistorsionai nu implică neapărat egalităile ˆ = β , ci presupune ca media estimatorului, obinută pe ˆ = α şi β α baza unui număr cât mai mare de eşantioane, să fie egală cu valoarea reală a parametrului corespunzător. Din acest punct de vedere, este importantă repartiia valorilor variabilei aleatoare ε , precum şi variana valorilor estimate în jurul mediei. Cu cât această variană este mai mică, cu atât estimatorii sunt mai puin distorsionai; pentru eşantioane mai mici de 30 de valori este dificil să se ajungă la estimatori ai parametrilor modelului care să respecte toate restriciile. Repartiia variabilei aleatoare se modifică, variana estimatorilor creşte, iar distorsiunea devine tot mai mare, pe măsură ce volumul eşantionului scade. De aceea, modelele cu cele mai mari şanse de reuşită sunt cele bazate pe eşantioane de volum mare. Obinerea valorilor estimate ale parametrilor α şi β înseamnă finalizarea analizei de regresie a modelului unifactorial liniar. Analiza corelaiei în cazul modelului unifactorial liniar se realizează cu ajutorul coeficientului de corelaie liniară simplă, a raportului de corelaie simplă şi a coeficientului de determinaie, dacă variabilele sunt cantitative, iar dacă variabilele sunt calitative, se utilizează metodele neparametrice de măsurare a intensităii legăturii.
7
C. Şipoş, C. Preda, Statistică Economică , Editura Mirton, Timişoara, 2004, pag. 129 – 130
19
2.1.3. Verificarea statistică a modelului În urma analizei de regresie şi a analizei corelaiei s-au stabilit forma, sensul şi intensitatea legăturii dintre variabila rezultativă şi variabila factorială. Modelul rezultat în urma parcurgerii acestor etape î şi propune să aproximeze cât mai bine realitatea economică studiată. Gradul de îndeplinire a acestui deziderat se determină printr-un ansamblu de metode şi teste statistice care sunt numite generic verificarea statistică a modelului. Această etapă de verificare a modelelor econometrice pe baza unor teste statistice este absolut necesară, datorită faptului că estimarea parametrilor modelelor se realizează pe baza unor eşantioane de date, mai mult sau mai puin reprezentative. Astfel, luând în considerare un număr destul de redus de valori (uneori sub 30 de date) se doreşte să se ajungă la estimări valabile pentru o colectivitate generală formată din sute sau chiar mii de cazuri. Orice modificare a volumului eşantionului duce, de regulă, la modificarea valorilor estimate, ceea ce înseamnă că aceste valori au un grad ridicat de relativitate.8 În aceste condiii, apar probleme legate de măsura în care soluiile unui model pot fi generalizate, de faptul că estimaiile obinute pot fi semnificative sau doar întâmplătoare, rezultat al unei conjuncturi de valori din cadrul eşantionului, precum şi de limitele între care estimatorii pot varia f ără a influena aprecierile iniiale şi concluziile referitoare la semnificaia lor. Aceste probleme sunt rezolvate, în general, cu ajutorul testelor statistice, care studiază semnificaia parametrilor modelului econometric şi calitatea acestuia de a descrie relaia de dependenă dintre variabila rezultativă şi factorii de influenă luai în considerare. Pentru aceasta, în primul rând, trebuie cunoscută legea de repartiie care caracterizează comportamentul variabilelor studiate – rezultativă, factorială şi aleatoare. Legea de repartiie a unei variabile aleatoare x exprimă probabilitatea P ca variabila respectivă să ia o anumită valoare. Funcia de repartiie F(x) se referă la probabilitatea ca variabila x să ia o valoare mai mică decât un anumit nivel dat xi: x i
F(x) = P(x < xi) =
∫ f ( x )dx
0
sau la probabilitatea ca variabila x să se situeze în intervalul dat de două valori x1 şi x2: 8
C. Şipoş, Modelarea comportamentului cursului de schimb al leului, Editura Universităii de Vest, Timişoara, 2003, pag. 80
20
x 2
F(x) = P(x1 < x < x2) =
∫ f ( x )dx
x 1
unde f(x) este prima derivată a funciei de repartiie şi exprimă densitatea, aglomerarea variabilei în punctul x. De regulă, legea care guvernează variabilele şi frecvena apariiei acestora în economie este legea de repartiie normală, notată cu N(m, σ ). Distribuia normală prezintă importană atât din motive teoretice cât şi practice, reprezentând un model adecvat ori de câte ori o variabilă este dependentă de unul sau mai muli factori care exercită asupra ei influene de intensitate relativ mică şi în diverse sensuri. Dacă x este o variabilă aleatoare continuă care urmează o repartiie normală de medie m şi abatere medie pătratică σ , N(m, σ ), atunci densitatea de probabilitate este:
f ( x ) =
− ( x − m )
1
σ 2π
⋅e
2 σ
2
2
Calculul diferitelor valori ale densităii de repartiie pentru diverse valori ale mediei şi abaterii medii pătratice este destul de dificil şi, din acest motiv, se preferă o transformare a repartiiei normale prin utilizarea variabilei standardizate z:
z =
x − m
σ
Atunci densitatea de probabilitate a variabilei z este:
f ( z ) =
1
σ 2π
−1
⋅e
2
⋅ z 2
şi se numeşte densitatea de probabilitate a variabilei normale de medie nulă şi abatere medie pătratică egală cu unitatea N(0, 1). Funcia de repartiie, care dă ponderea unităilor care au valoarea caracteristicii mai mică decât o valoare x fixată este:
21
x
F ( x) = P( X < x) = ∫ f (t )dt = −∞
1
σ 2π
x
⋅ ∫ e
−(t − m) 2 2σ 2
dt
−∞
Din ecuaia f(x) = 0 se obine x = m şi valoarea maximă a densităii de 1 probabilitate este atinsă în punctul (m, ). 9 σ 2π Această lege de repartiie a fost luată în considerare atunci a fost ˆ i în funcie caracterizată variabila aleatoare şi când au fost apreciate valorile y de un nivel dat al variabilei factoriale xi. Dacă se au în vedere parametrii α şi β din modelul liniar unifactorial, atunci, deoarece variabila ε i urmează o repartiie ˆ şi β ˆ sunt combinaii liniare ale variabilei ε i , înseamnă că normală, iar α aceşti parametri sunt ei înşişi normal distribuii. Media estimatorului fiecărui parametru, în ipoteza unei estimaii nedistorsionate, este mărimea parametrului din colectivitatea generală. Variana estimatorului fiecărui parametru, în cazul unei estimaii eficiente, depinde de împrăştierea variabilei aleatoare şi de împrăştierea valorilor variabilei factoriale. Verificarea statistică este, de fapt, o operaiune de validare a modelului, în funcie de concluziile ei luându-se decizia de confirmare sau de infirmare a posibilităilor acestuia de a reflecta corect situaia reală. Setul de metode statistice care stă la baza verificării unui model econometric unifactorial este compus din mai multe tipuri de teste specifice, prezentate sintetic în cele ce urmează. O primă verificare constă în determinarea şi interpretarea erorilor standard generate de model . Erorile standard reprezintă abateri ale valorilor estimate de la valorile reale şi se împart în două categorii: • prima categorie, calculată ca abatere a valorilor estimate ale variabilei rezultative y$i faă de cele reale yi, se numeşte eroare standard a modelului (sε ) şi se determină cu relaia:
sε =
1
n
2 ∑ ( yi − yˆ i )
(n − 2 ) i = 1
9
C. Chilărescu, O. Ciorîcă, C. Preda, C. Şipoş, N. Surulescu, Bazele statisticii, Editura Universităii de Vest, Timişoara, 2002, pag. 110 – 114
22
În principiu, cu cât această eroare este mai mică în raport cu valorile variabilei rezultative, cu atât modelul aproximează mai corect realitatea economică studiată. Interpretarea calităii modelului în funcie de valoarea erorii standard a modelului este destul de relativă, fapt pentru care utilitatea acesteia constă mai degrabă în a fi folosită în determinarea altor parametri statistici de verificare a modelului; • a doua categorie reprezintă abateri ale valorilor estimate ale parametrilor funciei de regresie de la valorile lor reale şi se numesc erori standard ale parametrilor modelului. Ele se determină pentru fiecare parametru în parte. În cazul modelului unifactorial liniar, cele două erori standard ale parametrilor α şi β , notate cu sα , respectiv, s β sunt: n
∑ xi2
sα = sε
s β = sε
i =1
n n ⋅ ∑ x − ∑ xi i =1 i = 1 n
2
2 i
n n n ⋅ ∑ x − ∑ xi i =1 i =1 n
2
2 i
Cu cât aceste erori ale parametrilor modelului sunt mai mici în raport cu valorile absolute ale parametrilor pe care îi caracterizează, cu atât valorile estimate ale parametrilor respectivi sunt mai apropiate de cele reale. Pentru ca modelul elaborat să fie corect din punct de vedere statistic, el trebuie să îndeplinească condiia de normalitate a variabilei aleatoare ε , prezentată în etapa formulării ipotezelor iniiale10. Aceasta se poate verifica cu ajutorul mai multor teste statistice, dintre care mai des utilizat este testul χ 2, care constă în compararea frecvenelor absolute efective, n ,i ataşate valorilor variabilei aleatoare, cu valorile teoretice, pi. Efectuarea testului χ 2 presupune parcurgerea următoarelor etape: 1. Se formulează ipoteza nulă H 0, prin care se presupune că distribuia variabilei aleatoare este normală; 2. Se calculează valorile standardizate zi, conform relaiei:
10
C. Şipoş, C. Preda, Econometrie, Editura Mirton, Timişoara, 2006
23
zi =
xi − m
σ
3. Se determină din tabelul Laplace valorile ϕ (zi) corespunzătoare; 4. Se calculează valorile teoretice pi = ϕ (zi) – ϕ (zi–1); 5. Se determină o valoare calculată χ 2c , astfel: 2 c
χ =
k
(ni − npi )2
i =1
npi
∑
6. Valoarea calculată a testului χ 2 se compară cu valoarea tabelară corespunzătoare. Dacă valoarea calculată este mai mică sau cel mult egală cu valoarea tabelară, rezultă că ipoteza de normalitate a variabilei aleatoare se acceptă şi modelul este corect, iar dacă valoarea calculată este mai mare decât valoarea tabelară, rezultă că ipoteza de normalitate a variabilei aleatoare se respinge şi modelul nu respectă condiia iniială impusă. În această a doua situaie sunt necesare corecii, fie în sensul suplimentării factorilor de influenă, fie în sensul creşterii volumului eşantionului de date pe care se face analiza. Verificarea unei alte ipoteze iniiale a modelului, cea referitoare la autocorelarea variabilei aleatoare se realizează cu ajutorul testului Durbin – 11 Watson , care presupune parcurgerea urm ătoarelor etape: Se stabileşte ipoteza nulă H 0 conform căreia variabila aleatoare este autocorelată; Se determină valoarea calculată a testului, d , după relaia: n
∑ (ε i − ε i−1 )
d=
2
i =2
n
∑ ε i2 i =1
Se determină din tabelele statistice aferente testului Durbin – Watson două valori tabelare, una inferioară şi alta superioară, notate d L şi d U . Valorile respective se iau din tabele în funcie de nivelul de semnificaie al testului, α , în funcie de numărul de observaii, N, precum şi în raport de numărul de variabile factoriale, k (care în cazul modelului unifactorial este egal cu unu); Se compară d cu valorile tabelare şi pot rezulta trei situaii: 11
C. Chilărescu, Modele econometrice aplicate, Editura Mirton, Timişoara, 1994, pag. 25 – 26
24
– dacă d < d L, înseamnă că ipoteza autocorelării variabilei aleatoare se acceptă, adică valorile variabilei aleatoare sunt dependente una faă de cealaltă, ceea ce implică faptul că şi înregistrările de date în eşantioane sunt dependente unele de altele şi modelul trebuie corectat; – dacă d L ≤ d ≤ dU , testul este neconcludent şi trebuie ref ăcut pe alte eşantioane de date; – dacă d > d U, înseamnă că ipoteza autocorelării variabilei aleatoare se respinge, adică valorile variabilei aleatoare sunt independente între ele, ceea ce implică faptul că şi înregistrările de date în eşantioane au fost independente. În această situaie, modelul este corect din punct de vedere statistic. În practica econometrică, având în vedere faptul că, rareori, valorile tabelare ale acestui test depăşesc valoarea 2 se spune că dacă valoarea calculată d este mai mare decât 2, atunci modelul este corect. Pentru rigurozitate ştiinifică, însă, este de preferat să se tragă concluziile după compararea lui d cu valorile tabelare aferente testului Durbin – Watson.12 În prima situaie, cea în care modelul trebuie corectat, se parcurge un algoritm de corecie, după cum urmează: Având în vedere faptul că variabila aleatoare este autocorelată, înseamnă că între fiecare pereche de valori (ε i; ε i-1 ) există o relaie care poate fi descrisă cu ajutorul unei funcii de regresie de forma: ε i = r ⋅ ε i-1 + ui
unde r este panta dreptei de regresie, iar ui este perturbaia aferentă acestei funcii. Deoarece variabila aleatoare este autocorelată, r va fi un estimator al coeficientului de corelaie ρ care arată intensitatea legăturii între ε i şi ε i-1 13 şi se determină cu relaia: n
∑ ε i ⋅ ε i−1
r =
i =2
n
2
∑ ε i
i =1
Dacă valoarea lui r este cunoscută, se poate ajusta regresia liniară simplă astfel încât parametrii modelului să fie eficieni. Algoritmul de corectare
12
13
C. Şipoş, C. Preda, Econometrie, Editura Mirton, Timişoara, 2006 W.H. Greene, Econometric Analysis, Fifth Edition, Prentice Hall, 2003, pag. 268 – 271
25
implică utilizarea metodei diferen elor generalizate14, care conduce la un model în care valorile variabilei aleatoare sunt independente între ele. Astfel, presupunând că modelul analizat este valabil pentru orice moment luat în considerare, se poate spune că, la momentul i – 1 este valabilă relaia: yi-1 = α + β ⋅ xi-1 + ε i-1
Înmulind ecuaia cu r şi sc ăzând-o din ecuaia iniială a modelului, se obine funcia corectată, cu variabila aleatoare cu o distribuie independentă de medie nulă şi variană constantă, conform relaiei: *
*
yi = α (1 – r)+ β ⋅ xi + ui
unde yi*, xi* şi ui sunt diferenele generalizate ale lui y, x şi ε , definite de relaiile: *
yi = yi – r ⋅ yi-1 *
xi = xi – r ⋅ xi-1 ui = ε i – ε i-1
Aplicând metoda celor mai mici pătrate se obin parametri nedistorsionai şi eficieni, iar parametrul α din ecuaia originală se va obine prin împărirea valorii estimate obinute la 1 – r. O altă modalitate de testare statistică o constituie testul Fisher de verificare a varia iei variabilei rezultative, care stabileşte capacitatea modelului de a reconstitui valorile empirice ale variabilei rezultative yi prin intermediul valorilor estimate y$i . Această verificare se realizează prin parcurgerea mai multor etape: Etapa I. Se stabileşte ipoteza nulă, H 0, conform căreia împrăştierea valorilor ajustate ale variabilei rezultative y$i datorită influenei variabilei factoriale nu diferă semnificativ de împrăştierea aceloraşi valori datorită întâmplării. Această ipoteză presupune, de fapt, că modelul este irelevant, iar etapele următoare ale testului o vor confirma sau o vor infirma; Etapa II. Se alege reparti ia utilizată pentru efectuarea testului şi nivelul de semnificaie α . Repartiia pe baza căreia se realizează acest test este cea cunoscută sub numele de repartiia Fisher – Snedecor; 14
R.S. Pindyck, D.L. Rubinfeld, op. cit., pag. 161 – 162
26
Etapa III. Se determină valoarea calculată (F c) ca raport între estimatorul varianei explicate s2 y/x şi estimatorul varianei reziduale sε 2, după relaia: 2
F c =
s y / x 2
sε
Etapa IV. Se alege valoarea tabelară sau critică (F t) din tabelul repartiiei Fisher – Snedecor în funcie de nivelul de semnificaie α şi de numărul de grade de libertate; Etapa V. Se compară valoarea calculată F c cu valoarea tabelară F t şi pot rezulta două situaii: – dacă F c ≤ F t, ipoteza nulă se acceptă cu probabilitatea p = 1 – α , ceea ce înseamnă că modelul trebuie reconsiderat, fie în sensul alegerii altui factor de influenă, fie în sensul optării pentru o altă formă a funciei de regresie; – dacă F c > F t, ipoteza nulă se respinge cu probabilitatea p = 1 – α , ceea ce înseamnă că modelul a rezistat verificării, adică variabila factorială are o influenă semnificativă asupra variabilei rezultative. Pentru a cerceta dacă parametrii obinui în urma aplicării metodei celor mai mici pătrate sunt consisteni se utilizează testul Student de verificare a semnifica iei parametrilor modelului. Media estimatorului fiecărui parametru, în ipoteza unei estimaii nedistorsionate, este mărimea reală a parametrului. Variana estimatorului fiecărui parametru, în cazul unei estimaii eficiente, depinde de împrăştierea variabilei aleatoare şi de împrăştierea valorilor variabilelor factoriale. Ceea ce interesează în mod deosebit este semnificaia parametrului corespunzător variabilei factoriale, β , dată fiind importana lui în măsurarea influenei acesteia asupra evoluiei variabilei rezultative. Etapele verificării semnificaiei parametrilor cu ajutorul testului Student sunt următoarele: Etapa I. Se stabileşte ipoteza nulă H 0 conform căreia parametrii ˆ şi β ˆ nu diferă semnificativ de zero. Acest lucru înseamnă că se estimai α porneşte de la presupunerea că modelul este irelevant; Etapa II. Se stabileşte nivelul de semnificaie al testului, notat cu α ; Etapa III. Se determină valorile calculate ale testului Student pentru fiecare parametru în parte, ca raport între valoarea absolută a parametrului estimat şi eroarea sa standard, conform relaiilor:
27
t α =
t β =
ˆ α s α
ˆ β s β
Etapa IV. Se determină din tabelul aferent repartiiei Student valoarea tabelară a variabilei standardizate (t critic) în funcie de ν = n – 1 grade de libertate şi de probabilitatea α /2; Etapa V. Se compară valorile calculate cu valoarea tabelară şi, în raport cu mărimea lor, rezultă următoarele situaii: – dacă nivelul calculat al ambilor parametri ai modelului este mai mic sau cel mult egal cu valoarea critică (t α , t β < t critic), ipoteza nulă se acceptă şi se ˆ şi β ˆ nu diferă poate spune cu probabilitatea p = 1 – α că estimatorii α semnificativ de zero. În aceste condiii, datele nu confirmă existena legăturii între variabila factorială şi cea rezultativă, fiind necesară fie alegerea altui factor de influenă, fie găsirea unei noi forme a legăturii; – dacă nivelul calculat al ambilor parametri ai modelului este mai mare decât valoarea critică (t α , t β > t critic ), ipoteza nulă se respinge şi se poate spune ˆ diferă semnificativ de zero, ˆ şi β cu probabilitatea p = 1 – α că estimatorii α adică parametrii estimai sunt semnificativi, iar modelul este corect din punct de vedere statistic. Parcurgerea tuturor acestor etape ale verificării statistice a modelului unifactorial liniar, poate conduce la ideea unei anumite nesigurane privind calitatea rezultatelor obinute. În urma verificărilor, însă, această nesigurană dispare şi, chiar dacă nu există certitudini, există convingerea că, pentru o probabilitate suficient de mare, concluzia la care se ajun ge este cea adevărată.
2.2. Modele unifactoriale neliniare De multe ori, în economie, dependena dintre două variabile nu este de tip liniar, ci urmează diverse funcii analitice neliniare. Linia dreaptă nu poate fi utilizată pentru a descrie orice legătură, deoarece, în multe cazuri, “norul de puncte” sugerează diverse curbe. În aceste situaii trebuie găsite funciile matematice corespunzătoare tipului de curbă sugerată de reprezentarea grafică.
28
Existena sau absena unei legături liniare între variabila rezultativă y şi variabila factorială x se probează cel mai simplu prin verificarea egalităii dintre raportul de corelaie R şi valoarea absolută a coeficientului de corelaie liniară simplă, ρ , astfel: – dacă cei doi parametri ai corelaiei (prezentai în paragraful 3.1.1) sunt egali ( R = ρ ), legătura este liniară; – dacă cei doi parametri sunt diferii ( R ≠ ρ ), legătura este neliniară. În afara acestui procedeu, în alegerea formei funciei de regresie au un rol important, pe lângă cunoştinele teoretice şi procedeele econometrice, şi experiena practică şi rezultatele cercetărilor similare. În principiu, o funcie de regresie neliniară este acea funcie a cărei pantă, dată de parametrul β , nu este constantă pentru orice valoare a lui x. Estimarea parametrilor unei astfel de funcii se realizează fie direct prin metoda celor mai mici pătrate, fie prin diverse transformări care duc la liniarizarea funciei, fie prin utilizarea unor metode numerice de estimare. În econometrie, cele mai cunoscute şi mai des întâlnite modele unifactoriale neliniare sunt: modelul hiperbolic, modelul parabolic şi modelul exponenial.
2.2.1. Modelul hiperbolic Ajustarea cu ajutorul hiperbolei se utilizează atunci când “norul de puncte” urmează o traiectorie de tip hiperbolă. În acest caz, dependena dintre cele două variabile poate fi inversă sau directă, iar reprezentarea grafică este de forma: yi
β > 0 α β < 0
0
xi
Figura 1. Reprezentarea grafic ă a func iei hiperbolice 29
Modelul hiperbolic are la bază următoarea ecuaie:
1 yi = α + β ⋅ + ε i xi Parametrii α şi β ai modelului pot fi estimai cu ajutorul metodei celor 1 mai mici pătrate, prin utilizarea transformării de variabilă: xi' = . xi Modelul devine, astfel: '
yi = α + β ⋅ xi + ε i În aceste condiii, sistemul de ecuaii care conduce la valorile estimate ale parametrilor α şi β , obinut conform algoritmului prezentat în cazul modelului unifactorial liniar, este: n n ' n ⋅ α ˆ ˆ + β ⋅ ∑ xi = ∑ yi i =1 i =1 n 2 n n ' ' ˆ α ˆ ⋅ ∑ xi + β ⋅ ∑ ( xi ) = ∑ ( xi' ⋅ yi ) i = 1 i =1 i =1
Ajustarea prin hiperbolă se recomandă atunci când variabila rezultativă y scade, respectiv, creşte asimptotic către o valoare reală dată de parametrul α , fapt ilustrat şi de figura 1. Analiza de corelaie în cazul modelului hiperbolic se realizează cu ajutorul raportului de corelaie R şi a coeficientului de determinaie simplă R2. Verificarea statistică a modelului şi discuiile referitoare la homoscedasticitatea variabilei aleatoare sunt similare cu cele prezentate la modelul unifactorial liniar. În funcie de reprezentarea grafică a legăturii, pot fi utilizate variante β
ale funciei hiperbolice, care au la bază diverse ecuaii: y = α ⋅ e x ; 1 β y = ; y = etc. 1 α + β ⋅ x α + x 30
2.2.2. Modelul parabolic Acest model, numit şi modelul pătratic, este folosit, de regulă, atunci când ritmul de evoluie al caracteristicii urmează o curbă de tip U, cu vârfurile în jos sau în sus. Pentru exprimarea modelului parabolic se utilizează funcia de gradul doi, după relaia: ⋅ i + β 2⋅ xi2 + ε i yi = α + β 1 x
Reprezentarea grafică a unei funcii parabolice este următoarea: yi 2
> 0
β 2 < 0
0
xi
Figura 2. Reprezentarea grafic ă a func iei parabolice Şi în cazul acestei funcii, pentru estimarea parametrilor α , β 1 şi β 2 se poate aplica metoda celor mai mici pătrate, rezultând următorul sistem de trei ecuaii cu trei necunoscute: n n n n ⋅ α ˆ ⋅ ∑ x + β ˆ ⋅ ∑ x 2 = ∑ y ˆ + β 1 i 2 i i i =1 i =1 i =1 n n n n ˆ ⋅ ∑ x 2 + β ˆ ⋅ ∑ x 3 = ∑ x y ˆ ⋅ ∑ xi + β α 1 i 2 i i i i =1 i =1 i =1 i=1 n n n n α ˆ ⋅ ∑ x 3 + β ˆ ⋅ ∑ x 4 = ∑ x 2 y ˆ ⋅ ∑ xi2 + β 1 i 2 i i i i=1 i =1 i =1 i =1
31
Dacă β 2 > 0, vârful parabolei va fi dat de minimul funciei (parabola este cu ramurile în sus), iar dacă β 2 < 0, vârful parabolei este dat de maximul funciei (parabola este cu ramurile în jos). Analiza de corelaie în cazul modelului parabolic, similar cu modelul hiperbolic, are la bază determinarea şi interpretarea raportului de corelaie R şi a coeficientului de determinaie simplă R2. Verificarea statistică a modelului şi discuiile referitoare la homoscedasticitatea variabilei aleatoare sunt, de asemenea, similare cu cele prezentate la modelul unifactorial liniar. Modelul parabolic are, la rândul său, foarte multe variante de exprimare, cum ar fi: lg y = α + β 1 ⋅ x + β 2 ⋅ x 2 ; y = α + β ⋅ x 2 ; β 1 ⋅ x + β 2 ⋅ x 2
y = α ⋅ e
2
; y = α + β 1 ⋅ lg x + β 2 ⋅ (lg x ) etc.
2.2.3. Modelul exponenial Este utilizat atunci când “norul de puncte” are un trend curbiliniu crescător sau descrescător, de tip exponenial. Ecuaia modelului este de forma: xi
yi = α ⋅ β
Reprezentarea grafică a funciei exponeniale este dată de figura 3: yi
β > 1
0 < β < 1
0
xi
Figura 3. Reprezentarea grafic ă a func iei exponen iale
32
În cazul acestei funcii, pentru a estima parametrii α şi β este necesar, în primul rând, să se liniarizeze funcia prin logaritmare, astfel: log yi = log α + xi ⋅ log β
Apoi, se aplică metoda celor mai mici pătrate şi se obine sistemul de ecuaii: n n n ⋅ log α ˆ ⋅ ∑ x = ∑ (log y ) ˆ + log β i i i =1 i =1 n n n ˆ ⋅ ∑ x 2 = ∑ ( x ⋅ log y ) log α ˆ ⋅ ∑ xi + log β i i i i =1 i =1 i =1
Acest model se utilizează, de obicei, atunci când unei variaii în progresie aritmetică a variabilei factoriale x îi corespunde o variaie în progresie geometrică a variabilei rezultative y. Analiza de corelaie în cazul modelului exponenial, similar cu celelalte modele neliniare, se realizează prin determinarea şi interpretarea raportului de corelaie R şi a coeficientului de determinaie simplă R2. Verificarea statistică a modelului şi discuiile referitoare la homoscedasticitatea variabilei aleatoare sunt, ca şi în celelalte cazuri neliniare, similare cu cele prezentate la modelul unifactorial liniar. Modelul exponenial are, la rândul său, numeroase variante de α + β ⋅ x β ⋅ x exprimare, cum ar fi: y = α ⋅ e ; y = e etc. În afara acestor tipuri de modele neliniare simple, pot fi luate în considerare multe altele, în funcie de modul de dispunere a punctelor din reprezentarea grafică. Trebuie observată, însă, importana deosebită a modelului unifactorial liniar, deoarece aproape toate modelele se raportează la acesta într-o formă sau alta. Cu toate acestea, principalul dezavantaj al unui model unifactorial este acela că ia în considerare prea puine variabile factoriale, fapt pentru care este necesar să se apeleze la modele care studiază dependena dintre variabila rezultativă şi mai muli factori de influenă, care acionează simultan.
33
ÎNTREBĂRI TEORETICE DE AUTOEVALUARE LA CAPITOLUL 2: 1. Cum se interpretează valorile parametrilor α şi β ale modelului liniar unifactorial? 2. Ce reprezintă verificarea statistică a modelului econometric? 3. Care sunt etapele testului Durbin-Watson? 4. Care sunt principalele tipuri de modele unifactoriale neliniare?
34
CAPITOLUL 3. MODELE ECONOMETRICE MULTIFACTORIALE Problema fundamentală a modelelor unifactoriale este dată de faptul că, în activitatea socio–economică se întâmplă destul de rar ca o variabilă, de orice natură ar fi ea, să depindă semnificativ de un singur factor de influenă. În marea majoritate a cazurilor, variabilele economice sunt rezultanta îmbinării mai multor factori importani la care se adaugă şi influena unor factori nesemnificativi sau necuantificabili. Astfel, deseori, modelele unifactoriale nu reuşesc să respecte restriciile impuse de metodele de estimare a parametrilor, deoarece sunt omise din analiză variabile factoriale cu impact semnificativ asupra variabilei rezultative. În aceste condiii, variabila aleatoare nu mai are comportamentul presupus de către ipotezele iniiale ale modelului şi, drept urmare, estimatorii obinui nu sunt de calitate (deplasai, neconsisteni, ineficieni). Rezumat:
3.1. Modelul multifactorial liniar 3.1.1. Prezentarea modelului şi estimarea parametrilor Funcia de regresie care stă la baza modelului multifactorial liniar este de forma: yi = α + β 1⋅ x1i + β 2⋅ x2i + … + β k⋅ xk i + ε
în care: yi reprezintă valorile variabilei rezultative; x1 ,i x2 ,i …, xk i sunt valorile variabilelor factoriale luate în considerare; α , β 1 , …, β k sunt parametrii modelului, corespunzători variabilelor factoriale x1 ,i x2 ,i …, xk i; ε i este variabila aleatoare sau reziduală. Estimarea parametrilor regresiei liniare multiple se realizează tot cu metoda celor mai mici pătrate, utilizată şi la modelele unifactoriale. Aplicarea ei porneşte de la aceleaşi ipoteze fundamentale: • datele privind variabila rezultativă şi variabilele factoriale sunt obinute f ără erori de observare sau m ăsurare; • variabila aleatoare sau reziduală ε i este de distribuie normală, de medie nulă ( E(ε i) = 0) şi de variană constantă şi diferită de zero (homoscedastică); 35
variabila aleatoare ε i urmează o distribuie independentă de valorile variabilelor factoriale x1 ,i x2 ,i …, xk i; • variabilele factoriale nu sunt corelate liniar unele faă de celelalte (ipoteza absenei multicoliniarităii); • valorile variabilei aleatoare nu sunt autocorelate. Conform principiului metodei celor mai mici pătrate, valorile variabilei aleatoare ε i prin ridicare la pătrat, urmată de însumarea acestora, conduc la obinerea expresiei: •
n
n
n
i =1
i =1
i =1
2 ˆ ⋅ x1 − ... − β ˆ ⋅ xk ) ˆ − β ∑ ε i2 = ∑ ( yi − yˆ i ) = ∑ ( yi − α 1 i k i
2
în care y$i reprezintă valorile estimate ale variabilei rezultative corespunzătoare ˆ ,..., β ˆ sunt ˆ , β nivelurilor variabilelor factoriale x1 i , x2 i , …, xk i, iar α 1
k
estimatorii parametrilor α , β 1 , …, β k . Obinerea unor valori diferite pentru parametrii estimai ˆ ,..., β ˆ conduce la valori diferite pentru suma pătratelor erorilor de ˆ , β α 1 k estimare. Ceea ce interesează, însă, este obinerea acelui set de estimatori ai parametrilor modelului care determină cea mai mică sumă, adică cele mai mici erori de estimare. Aşadar, obiectivul urmărit este obinerea unei astfel de soluii pentru parametri, încât să fie valabilă următoarea relaie: n
∑ ε i2 = minim i =1
În acest scop, condiia necesară este ca derivatele pariale ale sumei ˆ ,..., β ˆ să fie egale cu zero, deoarece aceasta ne ˆ , β date în raport cu α 1 k conduce la minim (demonstraia afirmaiei este similară cu cazul unifactorial), rezultând relaiile: n
ˆ x1 − β ˆ x 2 − ... − β ˆ xk ) = 0 ˆ − β − 2 ∑ ( yi − α 1 i 2 i k i i =1
n
[ 1i ( yi − α ˆ − β ˆ 1 x1i − β ˆ 2 x2i − ... − β ˆ k xk i )] = 0 − 2 ∑ x i =1
36
n
ˆ x1 − β ˆ x 2 − ... − β ˆ xk )] = 0 ˆ − β − 2 ∑ [ x2i ( yi − α 1 i 2 i k i i =1
M n
ˆ x1 − β ˆ x 2 − ... − β ˆ xk )] = 0 ˆ − β − 2 ∑ [ xk i ( yi − α 1 i 2 i k i i =1
Din relaiile anterioare rezultă sistemul de k + 1 ecuaii cu k + 1 necunoscute: n n n n nα ˆ ∑ x1 + β ˆ ∑ x2 + ...+ β ˆ ∑ xk = ∑ y ˆ + β 1 i 2 i k i i i=1 i=1 i=1 i=1 n n n n n ˆ ∑ x12 + β ˆ ∑ x1 ⋅ x2 + ...+ β ˆ ∑ x1 ⋅ xk = ∑ x1 ⋅ y α ˆ ∑ x1i + β 1 i 2 i i k i i i i i=1 i=1 i=1 i=1 i=1 n n n n n ˆ ∑ x1 ⋅ x2 + β ˆ ∑ x22 + ...+ β ˆ ∑ x2 ⋅ xk = ∑ x2 ⋅ y ˆ x 2 + α β ∑ i 1 i i 2 i k i i i i i=1 i=1 i=1 i=1 i=1 M n n n n n ˆ ∑ x1 ⋅ xk + β ˆ ∑ x2 ⋅ xk + ...+ β ˆ ∑ xk 2 = ∑ xk ⋅ y α ˆ ∑ xk i + β 1 i i 2 i i k i i i i=1 i=1 i=1 i=1 i=1
În urma rezolvării acestui sistem se obin valorile estimate ale ˆ ,..., β ˆ . ˆ , β parametrilor modelului α 1 k Similar cu modelul unifactorial, estimatorii determinai cu metoda celor mai mici pătrate corespund obiectivului urmărit dacă valoarea aşteptată pentru fiecare estimator este egală cu valoarea reală a parametrului, iar variana fiecărui estimator este cea mai mică posibilă în raport cu numărul de eşantioane. Informaiile oferite de parametrii de regresie se referă la cuantificarea efectelor variaiilor variabilelor factoriale luate în considerare asupra variaiei variabilei rezultative. Estimaia termenului liber α , similar cu ceea ce s-a prezentat la modelul unifactorial, arată nivelul variabilei rezultative atunci când toate variabilele de influenă ( x1 ,i x2 ,i …, xk i) au valoarea zero. Din punct de vedere economic, această valoare are relevană numai atunci când variabila rezultativă poate lua valori diferite de zero şi în condiiile în care toate variabilele factoriale sunt nule. Dacă este vorba însă de variabile
37
fundamentale, în absena cărora variabila rezultativă nu există, atunci termenului liber α nu are relevană economică şi trebuie eliminat din funcie. Acest lucru se realizează prin construirea unei ecuaii liniare multiple f ără termen liber, conform relaiei: yi = β 1⋅ x1i + β 2⋅ x2i + … + β k ⋅ xk i + ε i
Estimarea parametrilor β 1 , β 2 , …, β k se realizează tot cu ajutorul metodei celor mai mici pătrate, rezultând următorul sistem de k ecuaii cu k necunoscute: n n n n β ˆ ∑ x12 + β ˆ ∑ x1 ⋅ x2 + ...+ β ˆ ∑ x1 ⋅ xk = ∑ x1 ⋅ y 2 i i k i i i i 1 i=1 i i=1 i=1 i=1 n n n n ˆ ∑ x1 ⋅ x2 + β ˆ ∑ x22 + ...+ β ˆ ∑ x2 ⋅ xk = ∑ x2 ⋅ y β 1 i i 2 i k i i i i i=1 i=1 i=1 i=1 M n n n n ˆ ∑ x1 ⋅ xk + β ˆ ∑ x2 ⋅ xk + ...+ β ˆ ∑ xk 2 = ∑ xk ⋅ y β k i i i 1 i=1 i i 2 i=1 i i i=1 i=1
Estimaiile parametrilor β 1 , β 2 , …, β k, atât în cazul modelului cu termen liber, cât şi în cazul modelului f ără termen liber, arată cu cât variază variabila rezultativă atunci când factorul de influenă corespunzător parametrului respectiv variază cu o unitate, în condiiile în care toi ceilali factori sunt constani. De exemplu, valoarea lui β 1 arată cu cât se modifică variabila rezultativă y atunci când x1 se modifică cu o unitate, iar x2, x3, …, xk sunt constante. Din acest motiv parametrul β 1 mai este numit efectul par ial al aciunii variabilei x1 asupra lui y. Dacă β 1 > 0, atunci legătura dintre variabila factorială x1 şi variabila rezultativă y este directă (când x1 are evoluie crescătoare, creşte şi y, iar când x1 are evoluie descrescătoare, scade şi y). Când β 1 este pozitiv se pot distinge trei situaii: dacă β 1 < 1, atunci influena variabilei factoriale asupra celei rezultative este mai slabă (la variaia cu o unitate a variabilei factoriale x1, variabila rezultativă y variază cu o valoare subunitară); dacă β 1 > 1, atunci influena variabilei factoriale asupra celei rezultative este foarte puternică (la variaia cu o unitate a variabilei factoriale x1, variabila rezultativă y variază cu o valoare supraunitară); dacă β 1 = 1, atunci variabila rezultativă y variază direct proporional cu variaia variabilei factoriale x1. 38
Dacă β 1 < 0, atunci legătura dintre variabila factorială x1 şi variabila rezultativă y este inversă, de sens contrar – când x1 evoluează crescător, y are o evoluie descrescătoare, iar când x1 evoluează descrescător, y are o evoluie crescătoare. În situaia în care β 1 = 0, variabila rezultativă y este complet independentă în raport cu variabila factorială x1. Similar se interpretează şi valorile lui β 2 , β 3 , …, β k. Obinerea valorilor estimate ale parametrilor α , β 1 , β 2 , …, β k înseamnă finalizarea analizei de regresie a modelului multifactorial liniar. Analiza corelaiei în cazul modelului multifactorial liniar cu variabile cantitative se realizează cu ajutorul raportului de corelaie multiplă, a coeficientului de determinaie multiplă, precum şi a coeficienilor de corelaie şi determinaie parială . Dacă modelul multifactorial conine variabile calitative, se utilizează metodele neparametrice de măsurare a intensităii legăturii.
3.1.2. Verificarea statistică a modelului multifactorial Prin analiza de regresie şi corelaie a modelului multifactorial s-au stabilit forma, sensul şi intensitatea legăturii dintre variabila rezultativă şi variabilele factoriale. În principiu, modelul a fost elaborat astfel încât să aproximeze cât mai bine realitatea economică studiată. Măsura în care s-a reu şit acest lucru se determină în cadrul etapei de verificare statistică a modelului multifactorial, care în mare parte se bazează pe metode statistice similare cu cele utilizate în cazul modelului unifactorial. Aşa cum s-a arătat la modelul unifactorial, această etapă de verificare a modelelor de regresie pe baza unor teste statistice este absolut necesară, datorită faptului că estimarea parametrilor modelelor se realizează pe seama unor eşantioane de date, mai mult sau mai puin reprezentative. Setul de metode statistice care stă la baza verificării unui model multifactorial conine mai multe componente, unele dintre ele similare cu modelul unifactorial: Determinarea erorilor standard. Erorile standard reprezintă abateri ale valorilor estimate de la valorile reale şi se determină astfel: 1. Ca abatere a valorilor estimate ale variabilei rezultative y$i faă de cele reale yi, caz în care se numeşte eroare standard a modelului multifactorial, se notează sε şi se determină după relaia:
39
sε =
n
1
( y ( n − k − 1) ∑
i
− y$i )
2
i =1
unde k reprezintă numărul de variabile factoriale. În principiu, se consideră că, cu cât această eroare este mai mică în raport cu valorile variabilei rezultative, cu atât modelul aproximează mai corect realitatea economică studiată. Aşa cum s-a arătat şi în cazul modelului unifactorial, interpretarea calităii modelului în funcie de valoarea erorii standard a regresiei este destul de relativă, fapt pentru care utilitatea acesteia constă mai degrabă în a sta la baza la determinării altor parametri statistici de validare a modelului; 2. Ca abateri ale valorilor estimate ale parametrilor funciei de regresie ˆ , β ˆ ,..., β ˆ de la valorile lor reale α , β 1 , β 2 , …, β k , caz în care se ˆ , β α 1 2 k numesc erori standard ale parametrilor modelului şi se determină pentru fiecare parametru în parte. Pentru modelele multifactoriale, determinarea erorilor standard ale parametrilor α , β 1 , β 2 , …, β k este puin mai dificilă decât în cazul modelului unifactorial. Erorile standard ale parametrilor depind de eroarea standard a funciei de regresie sε şi de varianele variabilelor factoriale x1, x2 , … ,xk . Aceste variane sunt date de elementele de pe diagonala inversei matricei asociate sistemului de ecuaii al modelului. Dacă se notează elementele respective cu c jj, unde j = k + 1, atunci eroarea standard a parametrului β j se determină conform relaiei15:
s β = sε ⋅ c jj j
Cu cât aceste erori sunt mai mici în raport cu valorile absolute ale parametrilor pe care îi caracterizează (| β j|), cu atât valorile estimate ale parametrilor respectivi sunt mai apropiate de cele reale. Condiia de normalitate a variabilei aleatoare ε i, prezentată în etapa formulării ipotezelor iniiale, se poate verifica cu ajutorul testului χ 2, care constă în compararea frecvenelor absolute efective, n ,i ataşate valorilor variabilei aleatoare, cu valorile teoretice, pi. Efectuarea testului χ 2 presupune parcurgerea următoarelor etape: 15
E. Pecican, Econometrie, Editura ALL, Bucureşti, 1994, pag. 75 – 82
40
Etapa 1. Se formulează ipoteza nulă H 0, prin care se presupune că distribuia variabilei aleatoare este normală; Etapa 2. Se calculează valorile standardizate zi, conform relaiei:
zi =
ε i − m σ
Etapa 3. Se determină, din tabelul Laplace, valorile ϕ (zi) corespunzătoare; Etapa 4. Se calculează valorile teoretice pi = ϕ (zi) – ϕ (zi–1); Etapa 5. Se determină o valoare calculată χ 2c , astfel: 2
χ c =
k
(ni − npi )2
i =1
npi
∑
Valoarea calculată a testului χ 2 se compară cu valoarea tabelară corespunzătoare. Dacă valoarea calculată este mai mică sau cel mult egală cu valoarea tabelară, rezultă că ipoteza de normalitate a variabilei aleatoare se acceptă şi modelul este corect, iar dacă valoarea calculată este mai mare decât valoarea tabelară, rezultă că ipoteza de normalitate a variabilei aleatoare se respinge şi modelul nu respectă condiia iniială impusă. În această a doua situaie sunt necesare corecii, fie în sensul suplimentării factorilor de influenă, fie în sensul creşterii volumului eşantionului de date pe care se face analiza. Verificarea unei alte ipoteze iniiale a modelului, cea referitoare la autocorelarea variabilei aleatoare se realizează cu ajutorul testului Durbin – Watson, ale cărui etape au fost prezentate pe larg pe cazul modelului unifactorial. Testul Fisher de analiză a varia iei variabilei rezultative verifică modalitatea în care modelul reuşeşte să conducă la reconstituirea valorilor empirice ale variabilei rezultative yi prin intermediul valorilor estimate y$i . Testarea capacităii modelului de a reconstitui valorile reale ale variabilei rezultative prin intermediul valorilor estimate se realizează astfel: Etapa 1. Se stabileşte ipoteza nulă H 0, conform căreia împrăştierea valorilor ajustate ale variabilei rezultative y$i datorită factorilor de influenă nu diferă semnificativ de împrăştierea aceloraşi valori datorită întâmplării; Etapa 2. Se alege nivelul de semnificaie α ; Etapa 3. Se determină valoarea calculată F ca raport între estimatorul varianei explicate (s2 y/x1, x2, …, xk ) şi estimatorul varianei reziduale (sε 2), astfel: 41
2
F =
s y / x 1 , x 2 ,..., xk 2
sε
Etapa 4. Se alege valoarea critică F critic din tabelul repartiiei Fisher – Snedecor în funcie de nivelul de semnificaie α şi de numărul de grade de libertate; Etapa 5. Se compar ă valoarea calculată F cu valoarea critică F critic şi pot rezulta două situaii: – dacă F < F critic, ipoteza nulă se acceptă cu probabilitatea p = 1 – α , ceea ce înseamnă că modelul trebuie reconsiderat, fie în sensul alegerii altor factori de influenă sau a suplimentării lor, fie în sensul optării pentru o altă formă a modelului; – dacă F > F critic , ipoteza nulă se respinge cu probabilitatea p = 1 – α , ceea ce înseamnă că modelul a rezistat verificării, fiind util analizei şi previzionării variabilei rezultative. O altă ipoteză importantă a metodei celor mai mici pătrate referitoare la modelele multifactoriale este aceea că variabilele factoriale nu sunt corelate liniar între ele. Dacă există o astfel de relaie liniară între două sau mai multe variabile factoriale din cadrul modelului, apare efectul de multicoliniaritate16. În aceste condiii, nu mai poate fi cuantificat efectul unei variabile factoriale xk asupra variabilei rezultative y, deoarece celelalte variabile factoriale nu sunt constante când aceasta variază, fiind corelate între ele. Estimatorii corespunzători variabilelor corelate între ele nu mai pot fi definii şi interpretai. Efectul de multicoliniaritate face practic imposibilă interpretarea estimatorilor parametrilor modelului, chiar dacă ei matematic pot fi calculai pe baza ecuaiilor sistemului rezultat în urma aplicării metodei celor mai mici pătrate, deoarece erorile standard devin foarte mari, ceea ce afectează semnificativ calitatea estimatorilor. Nu s-au elaborat până la ora actuală teste statistice suficient de sigure de determinare a multicoliniarităii. De aceea, efectul se determină, cel mai adesea, prin calcularea coeficienilor de corelaie liniară între variabilele factoriale. Dacă valorile acestor coeficieni sunt nule sau foarte apropiate de zero, multicoliniaritatea nu există sau este foarte slabă. Dacă, însă, valorile coeficienilor de corelaie liniară sunt apropiate de unu, efectul există şi trebuie înlăturat. De asemenea, existena multicoliniarităii într-o măsură semnificativă 16
C. Şipoş, C. Preda, Econometrie, Editura Mirton, Timişoara, 2006
42
este semnalată şi de valorile mari ale erorilor standard ale parametrilor şi de nivelurile de semnificaie mici ale acestora. De obicei, în economie, variabilele factoriale nu sunt complet independente unele de celelalte. Acest lucru înseamnă că, întotdeauna într-un model econometric va exista un anumit efect de multicoliniaritate. Problema care se pune este a gradului de multicoliniaritate peste care modelul devine ineficient. Eliminarea efectelor multicoliniarităii se face cel mai sigur prin eliminarea variabilelor factoriale corelate (eventual, păstrarea uneia dintre ele şi eliminarea celorlalte). Acest lucru este posibil, însă, numai dacă modelul cuprinde suficient de multe variabile factoriale. O altă modalitate de evitare a multicoliniarităii este segmentarea eşantionului de date în mai multe pări şi analizarea separată a fiecărei poriuni, cu condiia ca eşantioanele rezultate în urma segmentării să fie suficient de mari. Un ultim test utilizat în cadrul acestei etape este testul Student de verificare a semnifica iei parametrilor modelului. Calitatea parametrilor corespunzători variabilelor factoriale este foarte importantă, dat fiind rolul lor în măsurarea impactului fiecărei variabile factoriale asupra evoluiei variabilei rezultative. Pentru aceasta se calculează estimatorii varianelor acestor parametri
s β 2ˆ în funcie de variana variabilei aleatoare sε 2 şi de varianele variabilelor k
factoriale. Etapele verificării semnificaiei parametrilor cu ajutorul testului Student sunt următoarele: Etapa 1. Se stabileşte ipoteza nulă H 0 conform căreia parametrii ˆ , β ˆ ,..., β ˆ nu diferă semnificativ de zero; ˆ , β estimai α 1 2 k Etapa 2. Se stabileşte nivelul de semnificaie al testului, α ; Etapa 3. Se determină valorile calculate ale testului Student t β k pentru fiecare parametru în parte, ca raport între valoarea absolută a
ˆ şi eroarea sa standard s , conform relaiei: parametrului estimat β β k k
t β = k
ˆ β k s β
k
43
Etapa 4. Se determină din tabelul aferent repartiiei Student valoarea tabelară a variabilei standardizate t critic în funcie de ν = n – 1 grade de libertate şi de probabilitatea α /2; Etapa 5. Se compară valoarea calculată cu valoarea tabelară şi, în raport cu mărimea lor, pot rezulta trei situaii: – dacă toate valorile calculate sunt mai mari decât nivelul critic ( t β k > t critic ), ipoteza nulă se respinge şi se poate spune cu probabilitatea p = 1 – α
că toi estimatorii determinai cu metoda celor mai mici pătrate diferă semnificativ de zero, adică parametrii estimai sunt semnificativi, iar modelul este corect din punct de vedere statistic; – dacă unele valori calculate sunt mai mari decât nivelul critic, iar altele sunt mai mici, parametrii afereni valorilor calculate mai mari decât nivelul critic sunt semnificativi şi trebuie păstrai în model, în timp ce parametrii aferen i valorilor calculate mai mici decât nivelul critic sunt nesemnificativi şi trebuie eliminai din model. În această situaie, modelul se va reface în raport de variabilele factoriale rămase semnificative; – dacă toate valorile calculate sunt mai mici decât nivelul critic ( t ak < t critic ),
ipoteza nulă se acceptă şi se poate spune cu probabilitatea p = 1 – α că estimatorii nu diferă semnificativ de zero şi rezultatul obinut este întâmplător. În aceste condiii, datele studiate nu confirmă existena legăturii între variabila rezultativă şi factorii de influenă analizai, fiind necesară fie alegerea altor factori, fie găsirea unei noi forme a legăturii.
3.2. Modele multifactoriale neliniare Modelele liniare au o largă aplicabilitate în econometrie datorită relativei uşurine cu care parametrii acestor modele pot fi estimai şi interpretai. O dată, însă, cu dezvoltarea unor programe computerizate specializate, a apărut posibilitatea utilizării unor modele mai complexe, care au la bază diverse tipuri de funcii, liniare sau neliniare, cu variabile cantitative şi calitative. Problema principală care trebuie rezolvată la ora actuală cu privire la utilizarea acestor instrumente computerizate este cea referitoare la alegerea funciei cele mai potrivite în raport cu fenomenul studiat. Astfel, modelele multifactoriale neliniare pot fi de diverse forme, în funcie de curba descrisă de graficul “norului de puncte”. Cel mai des întâlnite modele neliniare multiple care descriu evoluia unor variabile economice sunt func iile exponen iale şi func iile de putere.
44
Funciile exponeniale pot fi, la rândul lor, de diverse forme, cele mai utilizate fiind cele care pot fi uşor liniarizate prin diverse transformări. O funcie exponenială multifactorială cunoscută este de forma: y = α ⋅ β 1
x1
⋅ β 2 x2 ⋅ … ⋅ β k xk ⋅ ε
Liniarizarea acestei funcii se realizează prin logaritmare: log y = log α + x1⋅ log β 1 + … + xk ⋅ log β k + log ε
În acest fel, modelul este unul multifactorial liniar cu parametrii log α , log β 1 , …, log β k , care pot fi estimai cu metoda celor mai mici pătrate. O altă funcie exponenială utilizată destul de des în econometrie este de forma: β 1 x1
y = α ⋅ e
⋅ e β x 2 ⋅ ...⋅ e β xk ⋅ ε k
2
Liniarizarea acestei funcii se realizează prin logaritmare cu logaritm natural şi se obine: ln y = ln α + β 1⋅ x1 + β 2⋅ x2 + … + β k⋅ xk + ln ε
Din nou se ajunge la un model multifactorial liniar care poate fi analizat cu metodele cunoscute. A doua categorie de funcii multifactoriale neliniare sunt funciile de putere. Ecuaia cea mai cunoscută care stă la baza unui model de putere este următoarea: y = α ⋅ x1 β 1 ⋅ x2 β 2⋅ …⋅ xk β k ⋅ ε
Liniarizarea unei astfel de funcii se realizează tot prin logaritmare, rezultând o ecuaie de forma: log y = log α + β 1 ⋅ log x1 + … + β k ⋅ log xk + log ε
Similar cu funciile exponeniale, în urma efectuării operaiunii de logaritmare, estimarea parametrilor funciei rezultate se poate realiza tot cu metoda celor mai mici pătrate.
45
Pe lângă funciile liniarizabile există, însă, şi numeroase funcii neliniare care nu se pretează la liniarizare şi ale căror parametri trebuie estimai ca atare. Acest lucru, de obicei, este dificil de realizat cu metode mai simple, fapt pentru care se apelează la metodele computerizate specializate, iar analistul interpretează doar rezultatele obinute. Funciile exponeniale şi cele de putere prezentate au o largă utilizare iile de în econometrie, o aplicaie foarte cunoscută a lor constituind-o func iile produc ie ie.
3.3. Funcii de producie Un caz particular al funciilor multifactoriale de putere îl reprezintă un model bifactorial neliniar, care pune în evidenă legătura la nivel macroeconomic dintre venitul obinut şi factorii de producie fundamentali care concură la realizarea venitului respectiv. Acest model este cunoscut sub numele 17 ia de produc ie ie Cobb – Douglas , după numele autorilor săi şi are la de func ia bază următoarea ecuaie: α
β
Y = L ⋅ K
în care: Y reprezintă venitul realizat la nivelul economiei naionale pe timp de un an, cuantificat iniial de către autori cu ajutorul venitului naional, iar, mai recent, prin produsul naional brut sau produsul intern brut ; L este fora de muncă utilizată în economie în timpul unui an, cuantificată prin cuantumul salariilor; K reprezintă capitalul fix productiv aferent aceleiaşi perioade; α şi β sunt coeficienii de elasticitate ai venitului în raport cu L şi K . Prin logaritmare, rezultă funcia liniară de forma: α ⋅ log L + β ⋅ β ⋅ log K log Y = α ⋅
Estimatorii parametrilor α şi β se obin prin aplicarea metodei celor mai mici pătrate, în urma căreia rezultă sistemul de două ecuaii cu două necunoscute de forma:
17
C. Chilă Chilărescu, Modele econometrice aplicate, Editura Mirton, Timiş Timi şoara, 1994, pag. 81 – 85
46
n n n α ˆ ⋅ ∑ (log L ⋅ log K ) = ∑ (log Y ⋅ log L ) ˆ ⋅ ∑ (log Li )2 + β i i i i i =1 i =1 i =1 n n n ˆ ⋅ ∑ (log K )2 = ∑ (log Y ⋅ log K ) α ˆ ⋅ ∑ (log Li ⋅ log K i ) + β i i i i =1 i =1 i =1
în care Y ,i Li şi K i reprezintă valorile venitului, ale forei de muncă şi ale ˆ sunt estimatorii ˆ şi β capitalului fix aferente perioadei de timp analizate, iar α elasticităilor α şi β . Valoarea estimată pentru elasticitatea α arată, în valoare procentuală, cu cât se modifică venitul Y, atunci când fora de muncă L se modifică cu o unitate. Similar, valoarea estimată a elasticităii β arată, în valoare procentuală, cu cât se modifică venitul Y, atunci când capitalul fix K se modifică cu o unitate. Iniial, autorii au ajuns la concluzia că, pe termen lung, într-o economie deschisă de piaă, suma elasticităilor α şi β tinde către 1, ipoteză infirmată, însă, de cercetări ulterioare18. O altă funcie de producie, care este o completare a funciei Cobb – ia de produc ie ie Solow, care pe lângă fora de muncă Douglas, o reprezintă func ia şi capitalul fix, ia în considerare şi impactul tehnologic (progresul tehnic sau inovarea) ca fiind factor esenial de producie. Această funcie are la bază următoarea ecuaie: α
β
γ t t
Y = L ⋅ K ⋅ e
în care, termenul nou introdus eγ⋅ t t semnifică impactul tehnologic. Liniarizarea funciei se realizează prin logaritmare cu logaritmul natural, astfel: α ⋅ ln L + β ⋅ β ⋅ ln K + γ ⋅ ⋅ t ln Y = α ⋅
unde γ reprezintă elasticitatea venitului Y la modificările tehnologice, iar t cuantifică factorul timp. Estimatorii parametrilor α , β şi γ se se obin prin aplicarea metodei celor mai mici pătrate, în urma căreia rezultă sistemul de trei ecuaii cu trei necunoscute de forma:
18
C. Şipoş ipoş, C. Preda, Econometrie , Editura Mirton, Timiş Timi şoara, 2006
47
n n n n 2 α ˆ ⋅ ∑ (ln L ⋅ ln K ) + γ ˆ ⋅ ∑ (ln Li ) + β ˆ ⋅ ⋅ = ( ) (ln Y i ⋅ ln Li ) t ln L ∑ ∑ i i i i i=1 i=1 i=1 i =1 n n n n 2 ˆ ˆ ˆ ln L ln K ln K t ln K ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ = ( ) ( ) ( ) α β γ ∑ ∑ i ∑ (ln Y i ⋅ ln K i ) ∑ i i i i i =1 i =1 i =1 i =1 n n n n 2 α ˆ ⋅ ∑ (t ⋅ ln K ) + γ ˆ ⋅ ∑ (t i ⋅ ln Li ) + β ˆ (t i ⋅ ln Y i ) t ⋅ = ∑ ∑ i i i i=1 i =1 i =1 i=1
ˆ şi γ ˆ , β ˆ sunt estimatorii elasticităilor α , β şi γ . unde α ia de O altă funcie de producie cunoscută în econometrie este func ia 19 produc ie ie CES, care porneşte de la ipoteza elasticităii constante a substituiei factorilor de producie L şi K. Ecuaia acestei funcii este de forma: ln Y = ln γ −
ν ln[δ K − ρ + (1 − δ ) L− ρ ] + ε ρ
O aproximare de tip serie Taylor a acestei funcii în jurul punctului ρ = 0 este:
1 (ln K − ln L)2 + ε ' 2
ln Y = ln γ + νδ ln K + ν (1 − δ ) ln L + ρνδ (1 − δ )− ’
= β 1 ⋅ x1 + β 2 ⋅ x2 + β 3 ⋅ x3 + β 4 ⋅ x4 + ε
1 unde: x1 = 1; x2 = ln K; x3 = ln L; x 4 = − ln 2 ( K / L ) , iar transformările 2 efectuate sunt: γ = e β 1; δ = β 2 /( β 2 + β 3); ν = β 2 + β 3; ρ = β 4( β 2 + β 3)/ ( β 2 β 3)
Valorile estimate ale parametrilor β 1 , β 2 , β 3 şi β 4 se pot obine cu ajutorul metodei celor mai mici pătrate aplicată funciei liniare. Pe baza acestora se obin valorile estimate ale parametrilor γ , δ , ν şi ρ .
19
W.H. Greene, Econometric Analysis, Fifth Edition, Prentice Hall, 2003, pag. 128 – 130
48
ÎNTREBĂRI TEORETICE DE AUTOEVALUARE LA CAPITOLUL 3: 1. Cum se interpretează valorile parametrilor α , β 1 ,..., β k ale modelului liniar multifactorial? 2. Ce este efectul de multicoliniaritate? 3. Care sunt principalele tipuri de modele multifactoriale neliniare? 4. Ce sunt funciile de producie?
49
50
CAPITOLUL 4. MODELE ECONOMETRICE BAZATE PE FACTORUL TIMP Analiza econometrică a evoluiei în timp a fenomenelor şi proceselor economice reprezintă o latură distinctă a cercetării variabilelor economice cu ajutorul metodelor cantitative. În cazul modelelor care includ factorul timp – serii de timp, cronologice sau dinamice, cum mai sunt ele denumite – variabilele factoriale sunt înlocuite de un şir de valori care exprimă, de regulă, o acumulare de perioade egale de timp. Modelele econometrice bazate pe factorul timp sunt reprezentate, de obicei, prin două şiruri de date paralele, în care primul şir arată variaia caracteristicii de timp, iar cel de-al doilea şir arată variaia caracteristicii studiate de la o unitate de timp la alta. Rezumat:
4.1. Analiza econometrică a evoluiei în timp a variabilelor economice O serie de timp care redă evoluia unei variabile economice Y pe o anumită perioadă de timp t 1 , t 2 , … , t ,i …, t n poate fi reprezentată astfel20:
y1 t 1
y 2 t 2
...
y i
...
... t i ...
y n
t n
Un model econometric bazat pe influena timpului asupra evoluiei unei variabile economice prezintă câteva caracteristici fundamentale: 1. Variabilitatea termenilor unei serii de timp, care este dată de faptul că fiecare termen se obine prin centralizarea unor date individuale cu caracteristici diferite. Cu cât aciunea caracteristicilor individuale este mai pregnantă, cu atât apar diferene mai mari între comportamentele termenilor seriei, ceea ce face ca variaiile, fluctuaiile în cadrul seriei să fie mai puternice. Având în vedere această trăsătură, este necesar ca, în analiza unei serii de timp, să se măsoare atât influena factorilor eseniali, care imprimă fenomenului o anumită tendină specifică de evoluie, cât şi marja de abatere de la această tendină, rezultată din influena factorilor neeseniali; 20
C. Şipoş, C. Preda, Econometrie, Editura Mirton, Timişoara, 2006
51
2. Omogenitatea termenilor , care constă în includerea în cadrul unei serii de timp numai a fenomenelor de acelaşi gen, care sunt rezultatul aciunii aceloraşi cauze eseniale. Pentru a asigura omogenitatea seriei, trebuie păstrată aceeaşi metodologie de culegere a datelor, de calcul a indicatorilor şi evaluare a rezultatelor, precum şi meninerea lungimii intervalelor de grupare şi a unităii de m ăsurare a timpului. Atunci când se analizează o serie de timp, este necesar să se verifice dacă datele provin din aceeaşi sursă, cu acelaşi grad de cuprindere şi dacă au fost folosite aceleaşi principii şi metode de culegere şi prelucrare a datelor; 3. Periodicitatea termenilor , care presupune asigurarea continuităii datelor în raport cu timpul şi reprezintă o caracteristică foarte importantă în utilizarea metodelor analitice de analiză a seriilor dinamice. Variabila timp poate fi înregistrată cu periodicităi diferite, începând de la unităi de timp de ordinul minutelor, orelor sau zilelor şi continuând cu perioade de ordinul anilor, deceniilor sau chiar secolelor, în funcie de specificul variabilelor economice analizate; 4. Interdependen a termenilor seriei de timp, care înseamnă existena unor legături între valorile înregistrate la perioade diferite de timp, adică relevarea unor interdependene între nivelul curent al variabilei şi nivelurile înregistrate în perioadele anterioare. Dacă aceste interdependene sunt foarte puternice, atunci se poate vorbi despre un caracter “autoregresiv” al variabilei analizate, care poate fi studiat cu ajutorul unor modele specifice, cu largă utilizare în econometrie. Un element fundamental al analizei econometrice cu ajutorul seriilor de timp îl reprezintă alegerea lungimii seriei de date, de regulă, fiind necesar un număr suficient de mare de termeni, astfel încât să poată fi aplicate principiile legii numerelor mari şi să poată fi fundamentate corect previziunile pe diferite perioade de timp. Un alt element fundamental îl reprezintă alegerea formei optime de analiză a seriei de date. Din acest punct de vedere, cea mai utilizată modalitate de analiză a seriilor de timp o reprezintă descompunerea evoluiei seriei dinamice pe componente determinate de aciunea diferiilor factori de influenă. Sub aciunea unui sistem complex de variabile factoriale sau aleatoare, considerate independente una faă de cealaltă, în cadrul unei serii dinamice se pot identifica următoarele componente:21 1. Trendul sau tendin a centrală T t , care reflectă legitatea specifică de evoluie a variabilelor economice studiate pe o perioadă lungă de timp, f ăcând abstracie de abaterile faă de nivelul mediu, respectiv, de erorile sau valorile 21
T. Andrei, S. Stancu, Statistica. Teorie şi aplica ii, Editura ALL, Bucureşti, 1995, pag. 385
52
reziduale datorate influenei factorilor aleatori. Identificarea trendului unei serii de timp se realizează cu ajutorul a diverse metode econometrice, cunoscute generic sub numele de “ajustarea seriilor de timp”; 2. Varia iile ciclice C t, care reprezintă oscilaiile interanuale în jurul tendinei centrale cu un caracter nesistematic, în sensul că atât intervalele la care oscilaiile se manifestă, cât şi intensitatea lor, sunt diferite de-a lungul timpului; 3. Varia iile sezoniere St sunt acea componentă sistematică ce se manifestă prin oscilaii de perioadă mai mică sau cel mult egală cu un an, repetabile în timp. Sezonalitatea se manifestă sub forma unor abateri de la medie care apar regulat în timpul unui an şi are un caracter mai mult sau mai puin pregnant în funcie de specificul domeniului studiat; 4. Varia iile aleatoare sau reziduale (perturbatoare) ε t apar datorită unor factori necuantificabili şi cu aciuni absolut imprevizibile. În funcie de proprietăile atribuite variabilei aleatoare pot fi aplicate anumite tehnici de estimare şi previziune a comportamentului seriei de date. În măsura în care volumul de date studiat este suficient de mare, în analiza unei serii de timp se regăsesc mai multe tipuri de scheme de descompunere a influenelor pe cele patru componente22. Schema cea mai simplă şi mai des utilizată este schema aditivă, în care cele patru componente ale seriei se însumează direct, conform relaiei: yt = T t + C t + St + ε t ,
unde yt reprezintă valoarea variabilei studiate la momentul t . Primele două componente, trendul şi variaiile ciclice, se pot analiza împreună sub forma componentei extrasezoniere Dt , după relaia: Dt = T t + C t A doua schemă este cea multiplicativă , cu două variante:
1. Atunci când componenta sezonieră este proporională cu componenta extrasezonieră, schema de compunere se prezintă în felul următor: yt = Dt + Dt ⋅ St + ε t = Dt (1 + St ) + ε t
2. Atunci când componenta aleatoare este proporională cu suma celorlalte componente, schema este următoarea: 22
P. Newbold, W.L. Carlson, Betty Thorne, Statistics for Business and Economics , Fifth Edition, Pearson Prentice Hall, 2003, pag. 668 – 671
53
yt = Dt (1 + St )(1 + ε t )
Această ultimă schemă, prin logaritmare, poate fi transformată într-o schemă aditivă, astfel: ln yt = ln Dt + ln(1 + S t ) + ln(1 + ε t)
Modelele econometrice bazate pe factorul timp trebuie să ină însă seama, între altele, şi de caracteristica fenomenelor economice de a-şi manifesta influena cu o întârziere mai mică sau mai mare în timp. Acest fapt a dus la utilizarea termenului de time – lag (decalaj în timp) care evită pericolul falselor corelaii în situaiile în care se analizează serii de date care includ tendine de evoluie. Având în vedere caracteristicile lor, se poare observa că modelele care include factorul timp sunt diverse, fapt pentru care este necesară o clasificare a lor, în vederea stabilirii metodelor optime de ajustare. Astfel, în raport de perioada de timp la care se refer ă datele, seriile de timp pot fi: • serii de timp de intervale (continue), în cazul cărora fiecare nivel al caracteristicii se referă la o perioadă de timp. Seriile pe intervale se utilizează, de regulă, în cazul variabilelor exprimate în unităi monetare şi au drept trăsătură esenială faptul că termenii lor sunt însumabili (de exemplu, profitul din anul 2005 poate fi adunat cu profitul aceleiaşi firme înregistrat în anii 2004, 2003 ş.a.m.d.) ; • serii de timp de momente (discrete), în cazul cărora fiecare nivel al caracteristicii se referă la un moment dat. În această situaie, termenii seriei nu sunt însumabili, deoarece conin înregistrări repetate (de exemplu, populaia României din anul 2005 nu poate fi însumată cu populaia României din anul 2004, datorită faptului că cele două valori se includ una pe cealaltă). Un alt criteriu important de clasificare este cel în raport cu modul de exprimare a termenilor seriei: • serii de timp bazate pe indicatori absolu i, care reprezintă forma fundamentală de exprimare a unei serii de timp şi pe baza căreia se pot obine indicatori generalizatori afereni întregii perioade studiate; • serii de timp bazate pe indicatori relativi, care arată variaii de la o perioadă la alta, exprimate, de obicei, sub formă procentuală. În cazul acestei modalităi de exprimare este foarte importantă alegerea şi specificarea clară a perioadei luate ca bază de referină; • serii de timp bazate pe indicatori medii, care sunt exprimate sub forma unor indicatori calculai ca medii, folosite îndeosebi atunci când se analizează 54
fenomene care se produc în anumite perioade de timp (media anuală sau lunară a produciei, numărul mediu anual de lucrători etc.) sau în anumite unităi de spaiu (recolta medie la hectar, producia medie a unui utilaj etc.). Scopul principal al analizei econometrice a unei serii de date este acela de a studia evoluia fenomenelor şi proceselor economice pe o perioadă de timp trecută, istorică, în vederea extrapolării rezultatelor pentru fundamentarea unor previziuni pentru perioadele viitoare. Această analiză econometrică se realizează difereniat în funcie de tipul seriei (de intervale sau de momente), de lungimea seriei de date, de periodicitatea şi variaiile acesteia şi de alte elemente specifice variabilei studiate. Ajustarea unei serii de timp constă în determinarea trendului sau a tendinei centrale prin diverse metode, care au la bază principiul înlocuirii termenilor seriei studiate cu termenii unei serii teoretice, obinui prin calcule. Termenii teoretici pot fi determinai prin aplicarea a diverse procedee de cuantificare a legităii specifice de dezvoltare pe termen lung datorată unor factori eseniali şi de eliminare a fluctuaiilor periodice sau aleatoare. Variana totală a termenilor seriei, care semnifică variaia medie produsă de influena tuturor factorilor, atât eseniali, cât şi întâmplători, este compusă din variaia datorată factorului timp, cuantificată cu ajutorul varianei valorilor ajustate faă de medie şi din variaia reziduală, cuantificată prin variana termenilor reali faă de valorile ajustate. Valorile teoretice (ajustate) în funcie de timp se pot determina folosind numeroase metode, unele mai simple, altele mai complexe. O condiie esenială, comună tuturor acestor metode, este aceea că numărul termenilor seriei trebuie să fie suficient de mare pentru a se putea aplica legea numerelor mari şi, astfel, să se asigure caracterul de tendină al analizei. În econometrie, cele mai des utilizate metode de ajustare a seriilor de timp sunt cele de tip analitic, bazate pe funcii matematice care descriu evoluia fenomenului cercetat. Ele pornesc, însă, de la încercarea de a determina forma şi sensul legăturii cu ajutorul unor metode elementare de tipul metodei grafice, a metodei sporului mediu sau a ritmului mediu. O metodă mai elaborată, care ajută semnificativ abordările analitice ulterioare aplicării ei, este ajustarea pe baza mediilor mobile. Metoda grafică este una dintre cele mai simple modalităi de determinare a trendului unei serii de timp. Ea reprezintă o metodă preliminară altor metode de ajustare, servind la alegerea modelului de evoluie care descrie cel mai bine evoluia fenomenului sau procesului economic studiat. Aplicarea acestei metode constă în reprezentarea grafică a seriei de date empirice avute la dispoziie şi în trasarea vizuală a segmentului de dreaptă sau curbă care uneşte punctele extreme ale seriei, astfel încât să existe abateri 55
minime faă de poziia valorilor reale. Ajustarea vizuală porneşte de la premisa că aciunea factorilor de influenă a fost relativ constantă pe toată perioada studiată, imprimând, astfel, termenilor seriei o regulă de variaie comună, care poate fi descrisă de segmentul de dreaptă sau curbă trasat. Reprezentarea grafică poartă numele de cronogram ă şi este prezentată în figura 4:
yn •
yi
•
0
• •
•
• •
•
•
• •
y1
• •
•
• •
•
•
•
• •
t 1
t i
t n
Figura 4. Cronograma Dacă “norul de puncte” sugerează o linie dreaptă, ca în figura 4, se va utiliza o funcie analitică de tip liniar, iar dacă reprezentarea grafică sugerează o curbă, atunci se va utiliza funcia neliniară care ajustează cel mai bine curba respectivă. Metoda sporului mediu se utilizează în cazul în care seria de date evoluează aproximativ după o progresie aritmetică. Termenii seriei ajustate se vor calcula după relaia termenului general al unei progresii aritmetice, astfel: yt = y1 + (t – 1)⋅ ∆
în care, yt reprezintă un termen ajustat al seriei, y1 reprezintă primul termen al seriei empirice, t este factorul timp, iar ∆ este sporul mediu. Metoda, destul de simplă dealtfel, se recomandă numai în cazurile în care variaiile nivelurilor absolute sunt relativ constante pe parcursul perioadei studiate. Dacă fluctuaiile înregistrează valori extreme, ajustarea pe baza
56
sporului mediu va da rezultate eronate, care vor afecta negativ acurateea trendului obinut. Metoda ritmului mediu se utilizează atunci când termenii seriei de timp urmează aproximativ o progresie geometrică. Termenii ajustai rezultă în urma înmulirii primului termen al seriei y1 cu ritmul mediu de variaie I , ridicat la puterea t – 1, conform relaiei: y t = y 1 ⋅ I t −1
Metoda ritmului mediu este similară cu metoda sporului mediu, doar că trendul urmează o progresie geometrică în loc de una aritmetică. Drept urmare, şi această metodă prezintă aceeaşi limită, conform căreia nu poate fi utilizată decât în cazul unui trend relativ stabil. Oricum, ambele metode dau rezultate destul de aproximative, dar prezintă avantajul major al simplităii şi operativităii aplicării lor, reprezentând o bază de pornire pentru utilizarea funciilor analitice de ajustare a trendului. Ajustarea pe baza mediilor mobile este o metodă mai elaborată decât cele anterioare, care se foloseşte atunci când seria de timp prezintă un pronunat caracter ciclic sau sezonier. Prin ajustarea cu medii mobile se înlocuiesc termenii empirici ai seriei de date cu termeni calculai sub formă de medii pariale, astfel încât seria ajustată să aibă o variaie lină, continuă, cu o tendină de evoluie uşor de observat23. Aplicarea metodei mediilor mobile constă în determinarea mediilor aritmetice a unui număr par sau impar de termeni şi în înlocuirea termenilor empirici ai seriei cu mediile astfel obinute. Dacă numărul de termeni luai în considerare la determinarea mediilor mobile este impar, valorile obinute corespund poziiilor valorilor reale şi pot fi înlocuite direct, caz în care avem de-a face cu medii mobile definitive, care se plasează în dreptul termenilor seriei şi cu care se face ajustarea termenilor iniiali. Dacă numărul de termeni luai în calcul la determinarea mediilor mobile este par, valorile obinute vor fi poziionate între două valori reale. În aceste condiii, avem de-a face cu medii mobile provizorii, care se centrează prin calcularea mediei aritmetice simple a două medii provizorii consecutive şi se obin mediile mobile centrate, ce vor înlocui termenii iniiali.24
23
R.S. Pindyck, D.L. Rubinfeld, Econometric Models and Economic Forecasts, Fourth Edition, McGraw–Hill, 1998, pag. 476 – 478 24 C. Şipoş, C. Preda, Econometrie , Editura Mirton, Timişoara, 2006
57
Transpuse grafic, valorile medii mobile corespund liniei tendinei centrale, iar abaterile de la tendina centrală redau fluctuaiile ciclice sau sezoniere. Un inconvenient al acestei metode este acela că, indiferent că se ia un număr par sau impar de termeni, se pierd informaiile referitoare la primii şi la ultimii termeni ai seriei. Toate aceste metode elementare de ajustare a seriilor de timp sunt etape preliminare analizei econometrice propriu-zise, care presupune utilizarea funciilor matematice şi statistice de ajustare a trendului. Cele mai cunoscute modele analitice de ajustare sunt: funciile de timp liniare şi neliniare, modelele cu time – lag şi modelele autoregresive.
4.2. Funcii de timp Prima categorie de metodele care folosesc modele matematice sunt cunoscute sub numele generic de func ii de timp şi au drept caracteristică principală exprimarea trendului unei serii de timp sub forma unei funcii de forma: yt = f(t) + ε t
în care, yt reprezintă valorile seriei de date studiate, considerate variabila rezultativă sau dependentă, t este factorul timp, privit ca variabilă factorială, independentă, f reprezintă funcia matematică (deterministă) care modelează evoluia în timp a fenomenului studiat, iar ε t este variabila aleatoare, care arată influena factorilor aleatori la momentul t . Utilizarea unei funcii analitice de determinare a trendului stabileşte cu o exactitate mai mare sau mai mică legea de dezvoltare pe termen lung a fenomenului sau procesului economic studiat, în funcie de împrăştierea valorilor în jurul tendinei centrale. Pentru a determina forma funciei ce urmează a fi utilizată, se construieşte mai întâi corelograma. În raport de curba relevată de corelogramă, se poate lua în considerare utilizarea unei funcii liniare de timp, dacă reprezentarea grafică sugerează o linie dreaptă sau se poate utiliza o funcie de timp neliniară, dacă reprezentarea grafică sugerează o curbă. După cum se poate observa, tendina de variaie se aproximează, de cele mai multe ori, cu ajutorul funciilor ale căror curbe şi ecuaii de estimare au fost prezentate în capitolul de modele unifactoriale, variabila x din modelele respective devenind acum factorul timp t . Parametrii acestor funcii de timp,
58
similar cu cei ai modelelor de regresie, se estimează în cele mai multe cazuri cu metoda celor mai mici pătrate.
4.2.1. Funcia liniară de timp Funcia liniară de timp studiază legătura dintre factorul timp t şi variabila rezultativă yt cu ajutorul unei funcii de forma: yt = α + β ⋅ t + ε t
în care α şi β sunt parametrii sau coeficien ii func iei de timp şi reprezintă valori necunoscute ce urmează a fi estimate, iar ε t este variabila aleatoare, reziduală sau perturbatoare care acionează la momentul t . Factorul timp t este reprezentat, de obicei, în cadrul acestor funcii de şirul numerelor naturale (0, 1, 2, …, n). Parametrul α al funciei liniare de timp reprezintă valoarea pe care o ia variabila rezultativă yt la momentul zero ( y0 = α ) şi poate avea relevană în model sau nu, în funcie de cazul concret analizat. Parametrul β , reprezintă panta dreptei de regresie, adică valoarea cu care se modifică variabila rezultativă yt în perioada dintre două momente consecutive t – 1 şi t . Semnul şi valoarea parametrului β prezintă o importană deosebită în descrierea evoluiei în timp a variabilei studiate. Astfel, dacă β > 0, atunci variabila rezultativă yt are o evoluie crescătoare în timp ( y0 < y1 < … < yn). Pot fi distinse trei situaii: dacă β < 1, creşterea de la o perioadă la alta este mai puin accentuată; dacă β > 1, creşterea variabilei rezultative este mai puternică, iar dacă β = 1, creşterea este direct proporională cu timpul. Dacă β < 0, atunci variabila rezultativă yt are o evoluie descrescătoare în timp ( y0 > y1 > … > yn), iar dacă β = 0, variabila rezultativă yt se menine constantă în timp ( y0 = y1 = … = yn). Estimarea valorilor parametrilor α şi β , se face, similar cu modelul ˆ . Aceşti estimatori ˆ şi β unifactorial liniar, prin determinarea a doi estimatori α trebuie calculai astfel încât diferena dintre valorile reale ale variabilei rezultative yt şi valorile estimate cu ajutorul parametrilor calculai ˆ ⋅ t să fie cât mai mică ( y − y ˆ t = min im ). ˆ t = α ˆ + β y t Dacă se ia în studiu un set de date istorice referitoare la variabila rezultativă, se va observa că reprezentarea grafică a funciei liniare de timp aproximează mai mult sau mai puin exact evoluia în timp a variabilei studiate. Este puin probabil ca variabila rezultativă să evolueze în timp strict liniar. În 59
aceste condiii, este uşor de îneles că o cuantificare deterministă, exactă a valorilor parametrilor α şi β este imposibil de realizat, deoarece nu se pot cuprinde în model absolut toate influenele existente. Acest lucru a determinat introducerea în model a variabilei aleatoare, perturbatoare ε t, care însumează efectul tuturor factorilor rămaşi în afara modelului, fie ei nesemnificativi sau necuantificabili. Cu cât volumul seriei de date este mai mare, cu atât estimările sunt mai apropiate de realitate. În aceste condiii, fiecărui moment dat t îi corespunde o distribuie normală de valori yt ale variabilei rezultative, de medie α + β ⋅ t şi variană constantă. ˆ , pot fi ˆ şi β Valorile estimatorilor parametrilor, notate cu α determinate cu ajutorul mai multor metode matematice şi statistice, dintre care mai des utilizată, ca şi în cazul modelului unifactorial liniar, este metoda celor mai mici pătrate. În principiu, aplicarea metodei presupune respectarea aceloraşi restricii: • datele privind variabila rezultativă sunt obinute f ără erori de observare sau măsurare; • variabila aleatoare ε t este de distribuie normală, de medie nulă ( E(ε t) = 0) şi de variană constantă şi diferită de zero în timp; • variabila aleatoare ε t urmează o distribuie independentă faă de timp; • valorile variabilei aleatoare nu sunt autocorelate. În urma aplicării metodei se ajunge la un sistem de două ecuaii cu ˆ , de forma: ˆ şi β necunoscutele α n n n ⋅ α ˆ ⋅ ∑ t = ∑ y ˆ + β t t = 1 t = 1 n n n ˆ ⋅ ∑ t 2 = ∑ t ⋅ y α ˆ ⋅ ∑ t + β t t = 1 t = 1 t = 1
Prin rezolvarea acestui sistem de ecuaii se obin valorile estimatorilor ˆ . Aşa cum s-a mai ar ătat, estimatorii determinai cu această metodă ˆ şi β α corespund obiectivului urmărit dacă valoarea medie a estimatorului este egală cu valoarea reală a parametrului corespunzător, iar variana fiecărui estimator este relativ mică în raport cu numărul de date pe baza cărora s-a efectuat analiza.
60
Analiza corelaiei în cazul funciei liniare de timp are un caracter aparte, deoarece toate variabilele economice sunt influenate de timp, mai mul sau mai puin. Dacă în cazul modelelor unifactoriale sau multifactoriale se poate înregistra corelaie nulă, în cadrul funciilor de timp acest lucru este practic imposibil, deoarece nici o variabilă economică nu este constantă în timp, decât, eventual, pe perioade foarte scurte. Se pot calcula şi aici valorile coeficientului de corelaie liniară (pentru a verifica existena evoluiei liniare în timp), a raportului de corelaie şi a coeficientului de determinaie, care, în principiu, au aceeaşi interpretare: dacă valorile lor sunt apropiate de 1, variabila studiată are o evoluie stabilă în timp şi se poate determina un trend liniar, iar dacă valorile acestor coeficieni sunt apropiate de 0, evoluia este haotică, instabilă şi nu poate fi ajustată cu un trend liniar. Şi în cazul funciilor de timp este necesară parcurgerea etapelor de verificarea statistică a modelului. În general, acestea sunt similare cu cele parcurse în cazul modelului unifactorial.
4.2.2. Funcii de timp neliniare Atunci când corelograma evoluiei în timp a fenomenului studiat sugerează o curbă, înseamnă că modelarea econometrică trebuie să utilizeze diverse funcii analitice neliniare. Aşa cum s-a mai ar ătat, linia dreaptă nu poate fi utilizată pentru a descrie orice legătură, deoarece, în multe cazuri, “norul de puncte” sugerează diverse curbe. În aceste situaii trebuie găsite funciile matematice corespunzătoare tipului de curbă sugerată de reprezentarea grafică. Existena sau absena unei evoluii liniare a variabilei rezultativă yt se probează prin verificarea egalităii dintre raportul de corelaie R şi valoarea absolută a coeficientului de corelaie liniară simplă, ρ , astfel: dacă cei doi parametri ai corelaiei sunt egali ( R = ρ ), evoluia este liniară, iar dacă cei doi parametri sunt diferii ( R ≠ ρ ), evoluia este neliniară. În afara acestui procedeu, ca şi în cazul modelelor unifactoriale neliniare, în alegerea formei funciei de timp au un rol important, pe lângă cunoştinele teoretice, şi experiena practică şi rezultatele cercetărilor similare. În principiu, o funcie de timp neliniară este acea funcie a cărei pantă, dată de parametrul β , nu este constantă pentru orice valoare a lui t . Estimarea parametrilor unei astfel de funcii se realizează fie direct prin metoda celor mai mici pătrate, fie prin diverse transformări care duc la liniarizarea funciei, fie prin utilizarea unor metode numerice de estimare. În econometrie, cele mai cunoscute şi mai des întâlnite funcii de timp neliniare sunt: funcia hiperbolică, funcia parabolică şi funcia exponenială. 61
se utilizează atunci când “norul de puncte” urmează o traiectorie de tip hiperbolă. Funcia hiperbolică are la bază următoarea ecuaie: Func ia de timp hiperbolică
1 yt = α + β ⋅ + ε t t Parametrii α şi β ai modelului pot fi estimai cu ajutorul metodei celor 1 mai mici pătrate, prin utilizarea transformării de variabilă: t ' = . t Modelul devine, astfel: '
yt = α + β ⋅ t + ε t În aceste condiii, sistemul de ecuaii care conduce la valorile estimate ale parametrilor α şi β este: n n n ⋅ α ˆ ⋅ ∑ t ' = ∑ y ˆ + β t t = 1 t = 1 2 n n n ' ' ˆ α ˆ ⋅ ∑ t + β ⋅ ∑ (t ) = ∑ (t ' ⋅ yt ) t = 1 t = 1 t = 1
Ajustarea prin hiperbolă se recomandă atunci când variabila rezultativă yt scade, respectiv, creşte asimptotic către o valoare reală dată de parametrul α al funciei. Analiza de corelaie în cazul modelului hiperbolic se realizează cu ajutorul raportului de corelaie R şi a coeficientului de determinaie simplă R2, a căror interpretare este similară cu cele prezentate la funcia de timp liniară. De asemenea, verificarea statistică a funciei este aceeaşi cu verificarea modelului unifactorial liniar. În funcie de reprezentarea grafică a legăturii, pot fi utilizate variante β
ale funciei hiperbolice, care au la bază diverse ecuaii: yt = α ⋅ e t ; yt =
β α +
1
; yt =
1
α + β ⋅ t
etc.
t 62
sau pă tratică , este folosită, de regulă, atunci când ritmul de evoluie al variabilei studiate urmează o curbă de tip U, cu vârfurile în jos sau în sus. Pentru exprimarea funciei de timp parabolică se utilizează funcia de gradul doi, după relaia: Func ia de timp parabolică ,
2
yt = α + β 1⋅ t + β 2⋅ t + ε t
Şi în cazul acestei funcii, pentru estimarea parametrilor α , β 1 şi β 2 se poate aplica metoda celor mai mici pătrate, rezultând următorul sistem de trei ecuaii cu trei necunoscute: n n n n ⋅ α ˆ ⋅ ∑ t + β ˆ ⋅ ∑ t 2 = ∑ y ˆ + β 1 2 t t =1 t = 1 t = 1 n n n n ˆ ⋅ ∑ t 2 + β ˆ ⋅ ∑ t 3 = ∑ (t ⋅ y ) ˆ ⋅ ∑ t + β α 1 2 t t = 1 t =1 t = 1 t = 1 n n n n α ˆ ⋅ ∑ t 3 + β ˆ ⋅ ∑ t 4 = ∑ (t 2 ⋅ y ) ˆ ⋅ ∑ t 2 + β 1 2 t t = 1 t = 1 t = 1 t = 1
Dacă β 2 > 0, vârful parabolei va fi dat de minimul funciei (parabola este cu ramurile în sus), iar dacă β 2 < 0, vârful parabolei este dat de maximul funciei (parabola este cu ramurile în jos). Analiza de corelaie în cazul funciei de timp parabolică, similar cu funcia hiperbolică, are la bază determinarea şi interpretarea raportului de corelaie R şi a coeficientului de determinaie simplă R2. Verificarea statistică a funciei este, de asemenea, similară cu cele prezentate la modelul unifactorial liniar. Funcia parabolică are, la rândul său, foarte multe variante de exprimare, cum ar fi: lg yt = α + β 1 ⋅ t + β 2 ⋅ t 2 ; yt = α + β ⋅ t 2 ; β 1 ⋅t + β 2 ⋅t 2
yt = α ⋅ e
2
; yt = α + β 1 ⋅ lg t + β 2 ⋅ (lg t ) etc.
este utilizată atunci când “norul de puncte” are un trend curbiliniu crescător sau descrescător, de tip exponenial. Ecuaia funciei este de forma: Func ia de timp exponen ială
t
yt = α ⋅ β
63
În cazul acestei funcii, pentru a estima parametrii α şi β este necesar, în primul rând, să se liniarizeze funcia prin logaritmare, astfel: log yt = log α + t ⋅ log β
Pe ecuaia dată de relaia 6.18 se aplică metoda celor mai mici pătrate şi se obine sistemul de ecuaii: n n n ⋅ log α ˆ ⋅ ∑ t = ∑ (log y ) ˆ + log β t t =1 t =1 n n n ˆ ⋅ ∑ t 2 = ∑ (t ⋅ log y ) log α ˆ ⋅ ∑ t + log β t t =1 t =1 t =1
Acest model se utilizează, de obicei, atunci când variabila rezultativă yt prezintă o evoluie în timp de tip progresie geometrică. Analiza de corelaie în cazul funciei exponenial, similar cu celelalte funcii de timp neliniare, se realizează prin determinarea şi interpretarea raportului de corelaie R şi a coeficientului de determinaie simplă R2. Verificarea statistică a modelului este, ca şi în celelalte cazuri neliniare, similară cu cele prezentate la modelul unifactorial liniar. Funcia de timp exponenială are, şi ea, numeroase variante de α + β ⋅t β ⋅t exprimare, după cum urmează: yt = α ⋅ e ; yt = e etc. În afara acestor tipuri de funcii de timp neliniare, pot fi luate în considerare multe altele, în funcie de modul de dispunere a punctelor din reprezentarea grafică.
4.3. Modele econometrice cu time – lag Modelele prezentate până acum au presupus o transmitere instantanee a influenei dinspre variabilele factoriale spre variabila rezultativă. De multe ori, însă, în economie, efectele se transmit cu o oarecare întârziere, fapt care duce la un decalaj mai mare sau mai mic între momentul modificării variabilei factoriale şi momentul modificării corespunzătoare a variabilei factoriale. Modelele care studiază astfel de legături cu efecte decalate în timp sunt cunoscute în econometrie sub numele de modele cu time – lag. Aceste modele trebuie utilizate atunci când decalajul, lag-ul, este suficient de mare încât să influeneze semnificativ analiza (de exemplu, un
64
decalaj de câteva zile nu are nici o importană pentru variabilele înregistrate anual, dar este foarte important pentru variabile înregistrate zilnic). Cea mai generală formă a unui model cu time – lag porneşte de la premisa că efectele aciunii unei variabile factoriale sunt distribuite în timp, unele cu efect mai rapid, altele cu efecte mai îndepărtate în timp. Acest model are la bază o ecuaie de forma: yt = α + β 0⋅ xt + β 1⋅ xt-1 + β 2⋅ xt-2 + … + β k ⋅ xt-k + ε t
unde: yt este variabila rezultativă la momentul t ; α , β 0 , β 1 , …, β k sunt parametrii modelului; xt , xt-1 , …, xt-k sunt valorile înregistrate momentele t, t – 1, …, t – k ;
de către variabila factorială la
ε t reprezintă variabila reziduală la momentul t.
Relaia poate fi scrisă pe scurt astfel: t
yt = α + ∑ β k ⋅ xt −k + ε t k =0
Dacă numărul de perioade k pe care se manifest ă în urmă influenele este suficient de mic25, atunci estimarea parametrilor modelului se poate face cu metoda celor mai mici pătrate. În această situaie, ipotezele de pornire ale modelului sunt date de restriciile metodei celor mai mici pătrate, în care variabila aleatoare este de repartiie normală, de medie nulă şi homoscedastică, iar variabila factorială şi cea aleatoare nu sunt autocorelate (nivelurile anterioare nu au nici o influenă asupra nivelului prezent). Valorile estimate ale parametrilor se obin şi se interpretează similar cu modelele multifactoriale. Probleme apar în momentul în care influenele sunt decalate cu multe perioade în urmă, iar informaiile deinute despre ceea ce s-a întâmplat în trecut sunt insuficiente. În aceste condiii, aplicarea directă a metodei celor mai mici pătrate poate genera estimatori deplasai şi neconsisteni, datorită posibilităii apariiei fenomenului de multicoliniaritate. Deficienele aplicării metodei celor mai mici pătrate pot fi eliminate prin specificarea unor restricii referitoare la distribuia decalajelor. Există mai multe variante de atingere a acestui deziderat. 25
C. Şipoş, C. Preda, Econometrie , Editura Mirton, Timişoara, 2006
65
O primă modalitate este cea care porneşte de la presupunerea că parametrii modelului afereni variabilelor decalate sunt pozitivi subunitari (0 < η < 1) şi descresc în progresie geometrică. Modelul, numit al decalajului în progresie geometric ă , este de forma: yt = α + β ⋅ ( xt + η ⋅ xt −1 + η 2 ⋅ xt −2 + ... + η k ⋅ xt −k ) + ε t
Forma scurtă a modelului este: t
yt = α + β ⋅ ∑ η k ⋅ xt −k + ε t k =0
Deoarece valorile parametrilor descresc pe măsură ce ne îndepărtăm în timp, dar nu devin niciodată nule, înseamnă că influena în timp este luată în considerare pentru perioade foarte lungi, dar de la un moment dat devine nesemnificativă. Astfel, modelul ia în considerare influenele din perioade considerate rezonabil de îndepărtate în timp, dar după aceea efectele decalate sunt neglijabile. Este util să fie descrisă structura influenelor modelului sub forma comportamentului pe termen lung a variabilei rezultative în urma modificării influenelor suferite. Acest lucru se realizează prin calcularea decalajului mediu al influenelor d , după relaia: t
t
∑ k ⋅ β ⋅ η k d =
k =0 t
= k
∑ β ⋅ η
k =0
β ⋅ ∑ k ⋅ η k k =0 t
k
∑ η
2
η / (1 − η ) η = = 1 / (1 − η ) 1 − η
k =0
Astfel, dacă, de exemplu, η = 0,5 ⇒ d = 1, ceea ce înseamnă că jumătate din efectul total resimit de către yt se datorează momentului t, iar restul se datorează perioadelor mai vechi de timp. Pentru a estima parametrii acestui model se apelează la o formă simplificată a acestuia. Din ecuaia iniială a modelului se poate scrie ecuaia aferentă momentului t – 1, astfel: yt −1 = α + β ⋅ ( xt −1 + η ⋅ xt − 2 + ... + η k ⋅ xt −k −1 ) + ε t −1
66
Apoi, dacă se calculează efectul ponderat al variaiei lui y de la un moment la altul, se obine: yt – η⋅ yt-1 = α⋅ (1 – η ) + β⋅ xt + ut
unde ut = ε t – η⋅ε t-1. Din relaia anterioară se poate deduce că: yt = α⋅ (1 – η ) + η⋅ yt-1 + β⋅ xt + ut
Această ultimă ecuaie face uşor de măsurat efectul modificărilor anterioare asupra nivelului curent, printr-un model combinat. O altă modalitate de a uşura estimarea parametrilor modelului cu time – lag este apelarea la modelul a ştept ăr ilor adaptive. Acest model presupune că modificările variabilei rezultative y se datorează modificărilor în nivelul aşteptat (sau dorit) al variabilei factoriale x, notat cu xt *. Ecuaia modelului este de forma: *
yt = α + β ⋅ xt + ε t
Nivelul aşteptat al lui x se defineşte printr-o relaie care porneşte de la presupunerea că aşteptările se modifică de la o perioadă la alta sub forma unei permanente ajustări între valoarea curentă reală a lui x şi valoarea anterioară aşteptată a lui x, astfel: *
*
*
xt – xt-1 = λ⋅ ( xt – xt-1 )
unde 0 < λ ≤ 1. Ecuaia poate fi rescrisă sub forma: *
*
*
xt = λ⋅ ( xt – xt-1 ) + xt-1 = λ⋅ xt + (1 –λ )⋅ xt-1
*
Astfel, nivelul aşteptat al lui x este o medie ponderată dintre nivelul prezent al lui x şi nivelul anterior aşteptat al lui x. În acest mod, nivelurile aşteptate ale lui x se ajustează permanent, luând în considerare valorile reale ale lui x. Prin inducie matematică, se poate obine forma generalizată a modelului, scrisă scurt: 67
t
k
x*t = λ ⋅ ∑ (1 − λ ) ⋅ xt −k k =0
În acest model, valoarea aşteptată a lui x este media ponderată a tuturor valorilor prezente şi trecute ale lui x. Înlocuind valoarea lui xt * din relaia de mai sus în ecuaia iniială a modelul aşteptărilor adaptive, se obine: yt = α + β⋅ λ ⋅
t
k ∑ (1 − λ ) ⋅ xt −k + ε t
k =0
Parametrii modelului astfel obinut pot fi estimai cu metoda celor mai mici pătrate. Aceste modele cu time – lag pot fi diversificate prin introducerea în model a unor variabile factoriale cu influenă instantanee, care să acioneze în paralel cu variabilele cu influenă decalată.
4.4. Modele autoregresive 4.4.1. Caracterul autoregresiv al variabilelor economice De obicei, în practica economică, variabilele economice, pe lângă influenele importante pe care le suferă din partea unor variabile factoriale, au şi un caracter autoregresiv, de memorare a comportamentului anterior. Din punct de vedere econometric, termenul de autoregresiv defineşte măsura în care o variabilă economică prezintă caracteristica de a se autocorela, în sensul ăc nivelul curent al acesteia este determinat într-o măsură semnificativă de nivelurile sale anterioare, decalate cu una sau mai multe perioade în urmă.26 În această situaie, efectul asupra variabilei rezultative nu este cauzat de influena directă a unor variabile factoriale, ci este unul retroactiv, indus de încărcătura informaională a variabilei studiate. În principal, efectul autoregresiv se concretizează în modul mai mult sau mai puin pregnant în care nivelul actual al cursului este influenat de nivelurile sale anterioare, decalajul în timp a influenelor putând avea diferite valori. În general, cu cât acest decalaj este mai mare, adică deplasarea în urmă faă de 26
C. Şipoş, Modelarea comportamentului cursului de schimb al leului , Editura Universităii de Vest, Timişoara, 2003, pag. 133 – 135
68
momentul prezent este mai accentuată, cu atât influenele sunt mai slabe, problema care apare fiind cea a determinării momentului când acestea devin nesemnificative, pentru a fi eliminate din model, similar cu cele prezentate la modelele cu time – lag. Această caracteristică ine de capacitatea mediului înconjurător de a reine comportamentele anterioare ale variabilei studiate şi de a aciona în funcie de acestea în formarea anticipaiilor pentru perioadele următoare. Mecanismul de formare al anticipaiilor în condiii de informare incompletă, are, de regulă, o natură mixtă, anticipaiile fiind atât adaptive, în sens friedmanian, cât şi raionale, adică bazate pe cunoaşterea, fie şi parială, a situaiei actuale. În lipsa unor informaii actuale complete, agenii economici acionează inând cont şi de informaiile din perioadele precedente, fiind, de asemenea, capabili să învee din erorile de anticipaie comise în aceste perioade. Volatilitatea crescută şi, uneori, imprevizibilă a anticipaiilor din economie fac din acestea o categorie specifică, pseudo–adaptivă, ceea ce înseamnă că principiul de formare poate fi de tip bulgăre de zăpadă, viteza de propagare fiind foarte mare, iar sensul de evoluie contrar teoriei. O problemă importantă este aceea că între diversele categorii de ageni economici există o importantă asimetrie informaională, ceea ce echivalează cu forme diferite ale funciilor ce descriu formal mecanismele lor anticipaionale. Această asimetrie poate fi însă atenuată prin realizarea estimaiilor pe perioade de timp distincte. Totuşi, se pot distinge cel puin două mari categorii de operatori. Comportamentul operatorilor din prima categorie se consideră că are impact cu precădere pe termen mediu şi lung, iar efectul anticipaiilor este indirect pus în evidenă, prin intermediul variabilelor factoriale luate în considerare. Această categorie de anticipaii este înglobată de informaia dată de variabilele factoriale incluse într-un model multifactorial şi nu necesită un studiu aparte a fenomenului anticipaiilor. Subiecii economici din a doua categorie, interesai în formularea unor anticipaii cu grad sporit de acuratee – mai precis, interesai de aspectul cantitativ al modificărilor survenite în variabila studiată – urmăresc de o manieră sistematică această evoluie, orientându-se în estimarea nivelului anticipat al variabilei în funcie de nivelul său din perioadele precedente. Desigur, această formulare reprezintă o particularizare a celor enunate anterior, subiecii economici tinzând să-şi formuleze anticipaiile prin extrapolarea cvasi– mecanică a situaiei curente, introducând, eventual, o anumită corecie în raport de evoluiile precedente. Această afirmaie echivalează cu adoptarea ipotezei existenei unei relaii de dependenă liniară între nivelul estimat al variabilei studiate şi nivelurile sale 69
anterioare. O astfel de relaie poate fi studiată cu ajutorul modelelor autoregresive de diverse ordine.
6.4.2. Modelul autoregresiv de ordinul k Un model autoregresiv este un model econometric care presupune că între nivelul curent al variabilei studiate şi comportamentul său anterior există o legătură liniară sau neliniară. În funcie de numărul de perioade cu care analiza este decalată în urmă există mai multe tipuri de modele, începând cu modelul autoregresiv de ordinul întâi – în cazul căruia efectul în timp este analizat pe o perioadă în urmă – şi continuând cu modelele de ordine superioare – doi, trei, etc. – în cazul cărora efectul în timp este studiat pe k perioade în urmă. Cel mai simplu model care pune în evidenă caracterul autoregresiv al unei variabile economice este cel care ia în considerare influenele liniare pe care le exercită nivelul precedent yt–1 asupra nivelului curent al variabilei yt , după relaia: yt = α + β 1⋅ yt–1 + ε t
unde α şi β 1 sunt parametrii modelului, iar ε t este variabila reziduală. Acest model este cunoscut sub numele de model autoregresiv de ordinul întâi AR(1), deoarece pune în evidenă memoria operatorilor referitoare la o singură perioadă din urmă. El se bazează pe o capacitate de memorare şi asimilare a informaiilor pe termen foarte scurt, f ără a ine seama de ceea ce s-a întâmplat cu mai multe perioade în urmă. În funcie de condiiile existente în economie, anticipaiile operatorilor pot să se bazeze nu numai pe nivelul imediat anterior al variabilei, evideniat de modelul de ordinul întâi, ci şi pe comportamentul mai vechi al acesteia, decalat cu două sau mai multe perioade în urmă. În modul acesta, se pot construi modele autoregresive de ordine superioare. Astfel, următorul model este modelul autoregresiv de ordinul doi AR(2), care are la baz ă următoarea ecuaie: yt = α + β 1⋅ yt–1 + β 2⋅ yt–2 + ε t
Acest model evideniază memoria operatorilor decalată cu două perioade în urmă, deci, practic, se bazează pe o capacitate de memorare şi asimilare a informaiilor pe termen mai lung decât modelul de ordinul întâi. Relaia presupusă între nivelul curent şi nivelurile anterioare este de tip liniar.
70
În anumite situaii s-ar putea ca modelul de ordinul doi să poată fi utilizat pentru previzionarea variabilei studiate în condiii mai bune decât modelul anterior. Anticipaiile operatorilor pot avea o memorie mai lungă decât perioada imediat anterioară, ei luând în considerare şi ceea ce s-a întâmplat cu două perioade în urmă, realizând o anticipaie bazată pe informaiile aferente ambelor perioade. Pentru a studia dacă memoria operatorilor se întinde şi mai mult în trecut, se pot elabora modele autoregresive de diverse ordine, care analizează evoluia variabilei studiate în funcie de ceea ce s-a întâmplat în perioadele t – 1, t – 2, …, t – k. Modelul general care studiază caracterul autoregresiv al unei variabile economice se numeşte model autoregresiv de ordinul k AR(k) şi are la bază următoarea ecuaie: yt = α + β 1⋅ yt–1 + β 2⋅ yt–2 + … + β k ⋅ yt–k + ε t
în care: yt reprezintă nivelul curent al variabilei rezultative; yt–1 , yt–2 , …, yt–k sunt nivelurile decalate cu una, două, respectiv, k perioade în urmă ale variabilei studiate; α , β 1 , …, β k sunt parametrii modelului autoregresiv de ordinul k ; ε t este variabila aleatoare. Cu cât influena nivelurilor anterioare asupra nivelului curent al variabilei studiate este mai mare, cu atât sunt mai importante anticipaiile operatorilor în determinarea comportamentului variabilei respective. Dacă modelul autoregresiv arată o legătură puternică între nivelurile anterioare şi nivelul curent, înseamnă că o proporie semnificativă a evoluiei variabilei studiate se bazează pe anticipaii şi mai puin pe influenele obiective pe care aceasta le suferă din partea celorlalte variabile factoriale. Un modelul autoregresiv semnificativ evideniază importana sporită a factorilor subiectivi în determinarea evoluiei variabilelor economice în detrimentul factorilor obiectivi. Parametrii unui model autoregresiv de ordin k se estimează direct cu metoda celor mai mici pătrate, dacă valoarea lui k este suficient de mică încât să existe informaii despre perioadele anterioare analizate. Dacă valoarea lui k este mai mare, se utilizează metodele de estimare prezentate la modelele cu time – lag, unde în locul valorilor variabilei factoriale cu influenă decalată în timp xt-1 , xt-2 , …, xt-k se introduc valorile anterioare ale variabilei rezultative yt-1 , yt-2 , …, yt-k . Estimarea corectă a parametrilor unui model autoregresiv se poate realiza numai dacă acesta îndeplineşte condi ia de sta ionaritate. Această condiie 71
înseamnă că media variabilei rezultative este considerată constantă, iar variana este nulă de-a lungul timpului, conform relaiei: E(yt ) = E(yt-1) = E(yt-2) = … = E(yt-k ) = m
De aici rezultă că modelul autoregresiv de ordinul k poate fi scris sub forma: m = α + β 1⋅ m + β 2⋅ m + … + β k ⋅ m
Din relaia 6.37 rezultă media m: m=
α 1 − β 1 − β 2 − ... − β k
Dacă media m calculată pentru modelul autoregresiv analizat verifică această relaie, înseamnă că modelul îndeplineşte condiia de staionaritate şi estimatorii parametrilor α , β 1 , β 2 , …, β k sunt consisteni şi nedeplasai. Totodată, este necesar ca valoarea mediei m să fie finită, altfel procesul evoluează tot mai departe de punctul de referină (în formă de spirală) şi nu mai este staionar. Dacă media m este finită, înseamnă că numitorul relaiei anterioare trebuie să fie nenul, adică: β 1 + β 2 + … + β k ≠ 1
Analiza de corelaie în cazul modelelor autoregresive se realizează cu ajutorul a doi coeficieni similari cu cei utilizai în cazul modelelor multifactoriale, raportul de autocorela ie şi coeficientul de autodetermina ie. Coninutul acestor coeficieni este similar cu cel al raportului de corelaie, respectiv, al coeficientului de determinaie, numai că, în locul variabilelor factoriale x1, x2, …, xk se introduc valorile anterioare ale variabilei rezultative yt-1 , yt-2 , …, yt-k .
72
ÎNTREBĂRI TEORETICE DE AUTOEVALUARE LA CAPITOLUL 4: 1. Care sunt caracteristicile fundamentale ale unui model econometric bazat pe influena factorului timp? 2. Care sunt componentele unei serii dinamice ? 3. Cum se interpretează valorile parametrilor α şi β ale funciei liniare de timp? 4. Ce reprezintă un model econometric cu time–lag? 5. Ce înseamnă „caracter autoregresiv” al unei variabile economice?
BIBLIOGRAFIE PARTE TEORETIC Ă 1. Andrei T., Stancu S., Statistica. Teorie şi aplica ii, Editura ALL, Bucureşti, 1995 2. Baron T., Anghelache C., ian E., Statistică , Editura Economică, Bucureşti, 1996 3. Chilărescu C., Modele econometrice aplicate, Editura Mirton, Timişoara, 1994 4. Chilărescu C., Ciorîcă O., Preda C., Şipoş C., Surulescu N., Bazele statisticii, Editura Universităii de Vest, Timişoara, 2002 5. Greene W.H., Econometric Analysis, Fifth Edition, Prentice Hall, 2003 6. Levine D.M., Stephan D., Krehbiel T.C., Berenson M.L., Statistics for Managers using Microsoft Excel, Third Edition, Prentice Hall, 2002 7. Newbold P., Carlson W.L., Thorne B., Statistics for Business and Economics, Fifth Edition, Pearson Prentice Hall, 2003 8. Pecican E., Econometrie, Editura ALL, Bucureşti, 1994
73
9. Pecican E., Macroeconometrie – Politici economice guvernamentale şi econometrice, Editura Economică, Bucureşti, 1994 10. Pindyck R.S., Rubinfeld D.L., Econometric Models and Economic Forecasts, McGraw–Hill, Fourth Edition, 1998 11. Şipoş C., Modelarea comportamentului cursului de schimb al leului, Editura Universităii de Vest, Timişoara, 2003 12. Şipoş C., Preda C., Statistică Economic ă , Editura Mirton, Timişoara, 2004 13. Şipoş C., Preda C., Econometrie, Editura Mirton, Timişoara, 2006 14. ian E., Statistică macroeconomic ă , A.S.E., Bucureşti, 1996
74
APLICAIE ECONOMETRICĂ PE CURSUL VALUTAR
1. Premisele modelării econometrice a cursului valutar Abordarea cursurilor valutare prin perspectiva modelării econometrice poate găsi o puternică relevană atât în analiza comportamentului acestora, cât şi în previzionarea lor pentru perioadele următoare. Pentru a se putea analiza în detaliu evoluia cursului valutar în raport cu factorii de influenă cei mai semnificativi, s-a luat în considerare cazul României, în perioada 2003 – 2005. Alegerea acestei perioade de analiză a avut la bază, în principal, faptul că o dată cu ajustarea structurală începută în anul 2000 şi consolidată în ultimii ani, regimul valutar şi, implicit, evoluia cursului leului au devenit mult mai echilibrate, mai predictibile. Perioadele anterioare, caracterizate prin multiple intervenii administrative, mai mult sau mai puin justificate, se pretează într-o măsură redusă la abordări de tip econometric. Insuficienta legitimitate a guvernelor din perioadele respective, unele imixtiuni ale factorilor politici în deciziile macroeconomice, precum şi rigiditatea instituională a administraiei, inconsistena mecanismelor de guvernare de ansamblu şi inadaptabilitatea unor manageri şi întreprinderi la mediul economic au creat o divergenă semnificativă între obiectivele politicii economice şi rezultatele concrete ale acesteia, fapt explicat adesea prin comportamente necooperante ale agenilor economici şi prin ineficiena pârghiilor de transmitere a deciziilor macroeconomice. Datorită acestor stări de lucruri, evoluia cursului leului a fost caracterizată de numeroase puncte de inflexiune, greu de explicat economic şi, astfel, dificil de analizat cu ajutorul metodelor econometrice.27 În aceste condiii, ca şi alte mecanisme vitale ale economiei naionale, regimul valutar nu a putut fi reorientat dintr-o dată, etapele parcurse conformându-se, în esenă, concepiei reformei economice din România, în condiiile concrete determinate de schimbările politice. Reglementarea parială şi treptată a regimului valutar şi imposibilitatea adoptării unei legi a gestionării 27
C. Şipoş, Modelarea comportamentului cursului de schimb al leului, Editura Universităii de Vest, Timişoara, 2003, pag. 89 – 101
75
valutelor au fost determinate de condiiile impuse de evoluia parametrilor economiei naionale şi de schimbările instituionale apărute de-a lungul timpului. Astfel, o dată cu cristalizarea opiunilor şi strategiei de reformă economică, s-a putut contura regimul valutar, ca un proces desf ăşurat de-a lungul mai multor etape, cu evoluii oscilante, modificări abrupte şi, în unele cazuri, cu decizii ineficiente.28 Economia românească a evoluat pozitiv în ultima perioadă, ceea ce a avut ca rezultat îmbunătăirea substanială a poziiei externe şi a pus bazele revenirii la o creştere economică pozitivă începând cu anul 2001, după o perioadă destul de lungă de scădere a produsului intern brut. Cu toate progresele în procesul de stabilizare şi reformă din ultimii ani, performanele economice ale României continuă să fie nefavorabile comparativ cu alte economii din Europa centrală şi de est, candidate la integrarea europeană. Creşterea produsului intern brut în aceşti ani şi accentuarea deficitului balanei comerciale reflectă creşterea rapidă a cererii interne, în special pe seama creşterilor salariale în sectorul public şi a slabelor performane financiare din întreprinderile de stat. Meninerea la acest nivel ridicat, ar putea pune în pericol obiectivele de dezinflaie şi echilibrul extern. Leul se apreciază gradual, în termeni nominali şi reali, faă de moneda europeană, iar prin ajustarea susinută a preurilor relative se va reduce treptat decalajul României faă de Uniunea Europeană. Acest lucru va conduce la atingerea concomitentă a celui mai important criteriu al convergenei nominale – reducerea ratei inflaiei – şi a celui mai important criteriu al convergenei reale – creşterea PIB/locuitor (la paritatea puterii de cumpărare). Respectivele criterii pot fi îndeplinite, însă, numai cu condiia ca problema competitivităii externe să fie rezolvată printr-un set coerent de politici macroeconomice (politica salarială, politica ocupării forei de muncă) şi microeconomice (creşterea productivităii muncii, reducerea costurilor de regie etc.). Luând ca punct de pornire aceste considerente, se pune problema construirii unor modele econometrice care să reflecte cât mai corect evoluia cursului leului. Abordarea econometrică a cursului leului se înscrie în tentativa modernă de explicare mai riguroasă, mai exactă a efectelor pe care acesta le are asupra celorlalte variabile micro sau macroeconomice şi, mai ales, în ce măsură este el influenat de mediul în care se manifestă. Lansarea economiei pe un trend crescător, cu toate efectele pozitive implicate, precum şi consecvena mixului de politici economice aplicate, au condus spre o relativă stabilitate a politicii monetare şi valutare, ceea ce oferă
28
Rapoartele anuale ale Băncii Naionale a României, anii 1991 – 2005
76
toate premisele efectuării unei analize econometrice consistente a comportamentului cursului de schimb al leului. Din acest punct de vedere, există o multitudine de posibilităi de abordare, posibilităi cărora le corespund diverse tipuri de modele, unele mai simple, altele mai complexe, în funcie de variabilele luate în considerare.
2. Model multifactorial al cursului leului Modelul multifactorial care poate fi utilizat cu rezultate optime în studiul evoluiei cursului leului este modelul de regresie liniar, în care cursul valutar este variabila rezultativă sau explicată, iar factorii de influenă ai acestuia reprezintă variabilele factoriale sau independente. Variabila aleatoare a modelului ia în considerare aciunea altor factori decât variabilele factoriale , întâmplători în raport cu legătura studiată. Elaborarea şi utilizarea unui model econometric al cursului leului presupune, în primul rând, parcurgerea unei etape preliminare de formulare a ipotezelor de lucru şi a restriciilor care vor sta la baza elaborării modelului.
2.1. Ipotezele iniiale ale modelului Aşa cum s-a arătat în partea teoretică, metoda care ine seama de majoritatea condiiilor implicate este metoda celor mai mici pătrate, aplicarea ei în cazul datelor statistice privind variabilitatea cursului de schimb şi a factorilor săi de influenă pornind de la următoarele ipoteze: Ipoteza 1. Datele privind variabilele rezultative şi cele factoriale sunt obinute f ără erori de observare sau măsurare. O importană deosebită din acest punct de vedere o prezintă omogenitatea datelor, în sensul că obinerea lor trebuie să aibă o singură sursă sau surse similare din punct de vedere calitativ. Neomogenitatea pune sub semnul întrebării comparabilitatea datelor şi, în ultimă instană, calitatea concluziilor. De aceea, datele aferente cursului leului, precum şi cele aferente celorlali parametri ai economiei româneşti sunt culese dintr-o singură sursă, rapoartele anuale ale Băncii Naionale a României, ceea ce face ca ele să îndeplinească această restricie. Un alt aspect legat de calitatea datelor este cel de natură cantitativă în sensul că se referă la volumul eşantionului studiat, care trebuie să fie suficient de mare, astfel încât legea numerelor mari să se manifeste nedistorsionat, iar indicatorii sintetici obinui să prezinte stabilitate. Şi din acest punct de vedere ipoteza de lucru este îndeplinită, deoarece volumul eşantionului analizat este satisf ăcător: 30 de date lunare, aferente unei perioade de aproape 3 ani: ianuarie 2003 – iunie 2005. 77
Ipoteza 2. Variabilele factoriale sunt independente unele de celelalte, exercitându-şi influena numai asupra variabilei rezultative. Dacă nu se acordă importană acestei ipoteze, analiza are toate şansele să devină irelevantă, având în vedere că pot apărea mari erori şi distorsiuni în estimarea parametrilor modelului şi, implicit, în interpretarea valorilor acestora. Dacă variabilele factoriale fac parte dintr-un sistem complex de interdependene, ne aflăm în situaia de multicoliniaritate, studiată în cadrul capitolului cinci. Aşa cum s-a arătat, semnalele referitoare la fenomenul de multicoliniaritate sunt date de valorile apropiate de ± 1 ale coeficienilor de corelaie calculai pentru legăturile dintre variabilele factoriale sau de valorile apropiate de 100% ale coeficientului de determinare multiplă, în condiiile în care estimatorii parametrilor de regresie sunt nesemnificativi din punct de vedere statistic. Multicoliniaritatea, alături de erorile de sondaj şi de inconstana în timp a relaiilor dintre variabile, reprezintă principalele surse de instabilitate ale estimaiilor parametrilor de regresie. Atenuarea sau chiar eliminarea multicoliniarităii s-a realizat prin utilizarea unor eşantioane de dimensiuni cât mai mari, pentru a evita riscul corelării datelor, şi prin înlocuirea, acolo unde a fost necesar, a datelor exprimate în unităi naturale sau valorice cu variabile rezultate în urma unor prelucrări simple (ritmuri de creştere, sporuri sau indici). Totodată, s-au eliminat unele variabile corelate strâns cu altele, rămânând în analiză doar factorii de influenă reprezentativi. Ipoteza 3. Variabila aleatoare sau reziduală (ε i) este de distribuie normală, de medie nulă ( E(ε i) = 0) şi de dispersie constantă şi diferită de zero. Verificarea acestei ipoteze se realizează prin determinarea mediei şi a varianei valorilor reziduale şi prin efectuarea unui test fundamentat pe presupunerea că variabila aleatoare (ε i) urmează o lege normală, Gauss-Laplace. Normalitatea repartiiei variabilei aleatoare este confirmată atunci când valorile acesteia se situează între limitele (± zα /2 ⋅ s(ε i)). Această ipoteză se va testa în seciunea de verificare statistică a modelului şi normalitatea repartiiei variabilei aleatoare se va confirma, datorită volumului suficient de mare de date studiat (un număr mai mare de unităi poate pune mai pregnant în evidenă caracterul normal al repartiiei), precum şi datorită gradului ridicat de omogenitate şi comparabilitate a datelor analizate. Ipoteza 4. Variabila reziduală (ε i) urmează o distribuie independentă de valorile variabilelor factoriale, adică este homoscedastică. Prin urmare, variana variabilei aleatoare (σ 2(ε i)) nu diferă semnificativ în raport cu segmentele de valori ale variabilelor factoriale, ceea ce denotă o relativă stabilitate a legăturii dintre cursul valutar şi factorii de influenă luai în considerare. Această ipoteză se va verifica în etapa de testare statistică a modelului final. 78
Ipoteza 5. Valorile variabilei aleatoare nu sunt autocorelate. Acest lucru înseamnă că valorile respective sunt independente între ele, ceea ce implică faptul că şi înregistrările de date în eşantioane au fost independente. Autocorelarea poate apare în condiiile în care s-a omis introducerea în model a unei variabile factoriale importante, cu influenă puternică asupra cursului valutar. Efectele negative ale unei eventuale autocorelări a variabilei aleatoare se r ăsfrâng asupra calităii parametrilor de a fi nedistorsionai şi asupra testării semnificaiei acestora. Verificarea ipotezei autocorelării variabilei aleatoare se va realiza, cu ajutorul testului Durbin – Watson, tot în seciunea de verificare statistică a modelului final.
2.2. Alegerea variabilelor factoriale În cadrul acestei etape sunt selectai şi definii factorii de influenă ai cursului valutar sau variabilele factoriale. În acest sens, se analizează dependena cursului valutar în raport cu posibilii factori de influenă, inând seama de ceea ce admite teoria domeniului, de aspectele scoase în evidenă de practica economică în perioada şi spaiul avute în vedere, precum şi de volumul şi structura datelor disponibile sau posibil de a fi obinute. Apoi, se verifică premisele teoretice prin prisma comportamentului variabilelor luate în considerare, aşa cum este el relevat de către datele analizate, ceea ce implică utilizarea unor metode statistice specifice.29 Aciunea variabilelor factoriale asupra cursului leului va fi studiată pe baza unui set de 30 de date lunare ajustate, aferente perioadei ianuarie 2003 – iunie 2005. Cursul valutar considerat variabilă rezultativă este cursul real al leului în raport cu euro, deflatat cu indicele preurilor industriale (PPI). În cele ce urmează, vor fi elaborate modele unifactoriale care analizează, pe rând, influena variabilelor considerate semnificative. Astfel, un prim parametru al economiei naionale, care influenează decisiv comportamentul cursului de schimb al leului, îl reprezintă balan a de plă i externe a României. În condiiile actuale ale dezvoltării relaiilor economice externe ale României, componenta fundamentală a balanei de plăi externe o constituie contul curent al acesteia, care se exprimă cu ajutorul unor parametri ca: volumul exporturilor, volumul importurilor, gradul de acoperire al importurilor prin exporturi şi soldul comerului exterior. Cel mai semnificativ parametru s-a dovedit a fi soldul comerului exterior (SCE ), fapt pentru care se va încerca ilustrarea influenei condiiilor comerului exterior românesc asupra cursului valutar al leului cu ajutorul acestui indicator, 29
C. Şipoş, C. Preda , Econometrie, Editura Mirton, Timişoara, 2006
79
determinat ca diferenă între nivelul lunar al exportului şi nivelul importului aferent aceleiaşi luni şi exprimat în milioane EUR.. Ecuaia pe care se fundamentează acest model este următoarea: C i = a0 + a1 ⋅ SCEi + ε i
Pe baza unei analize statistice preliminare, s-a ajuns la concluzia că influena soldului comerului exterior asupra cursului de schimb prezintă un time–lag de o lună. Pe baza eşantionului format din cele 30 valori lunare ajustate ale cursului leului şi ale soldului comerului exterior, modelul este următorul: Tabelul 1 Variabila dependentă: CURS LEU/EUR Metoda celor mai mici pătrate Eşantionul: 30 Nr. de observaii: 29 după ajustare CURS LEU/EUR = a 0 + a1 * SCE(-1)
Coeficieni aˆ 0 aˆ 1
Coef. de determinaie Eroarea standard Durbin – Watson
36424,689 6,7010391 0,196 2510,819 2,248
Eroarea t-Statistic Probabilitatea standard 1141,991 31,89576 0,000 2,610693 2,566766 0,016 Curs mediu 33.749 F-statistic 6,588 F-critic 1,882
Se observă că valoarea coeficientului de determinaie este destul de mică, ceea ce înseamnă că influena soldului comerului exterior asupra cursului de schimb real nu este foarte puternică la ora actuală, ceea ce arat ă că există ali factori mai semnificativi, care in, mai ales, de politica monetară a statului. Eroarea standard a regresiei este, îns ă, relativ mică în raport cu media cursului de schimb, deci, distorsiunile de estimare ale parametrilor modelului sunt destul de mici. Nivelurile de semnificaie ale parametrilor estimai aˆ 0 şi aˆ 1 (coloana tStatistic), luate în mărime absolută, se compară cu valorile tabelate aferente repartiiei Student, conform cărora pentru n – 1 = 28 grade de libertate şi pentru
80
o probabilitate P (t ≤ t 0)= 0,05 nivelul critic (minim acceptat) este de 2,048 30. Se observă că ambele valori ale nivelurilor de semnificaie sunt peste valoarea critică, ceea ce înseamnă că parametrii aˆ 0 şi aˆ 1 sunt coreci. Probabilităile ca parametrii aˆ 0 şi aˆ 1 să fie incorect estimai (coloana Probabilitatea) sunt foarte mici, iar valoarea F-statistic este mai mare decât Fcritic, ceea ce înseamnă că modelul este semnificativ din toate punctele de vedere, soldul comerului exterior reprezentând, deci, un factor important de influenă al cursului de schimb al leului. O altă variabilă cu impact semnificativ asupra cursului leului o reprezintă masa monetar ă (M2). În ipoteza că oferta de monedă naională va creşte, aceasta va face ca agenii economici care ajung, pe diverse căi, în posesia acestei cantităi suplimentare de monedă, să-şi modifice cererea pentru diferite active, reale şi financiare, în scopul realizării unei structuri optimale a patrimoniului lor. Dacă randamentul altor active financiare sau reale este inferior randamentului activelor financiar-valutare, atunci agenii economici vor încerca să procedeze la substituirea acestor genuri de active financiare sau reale cu deinerile de mijloace de plată străine, ceea ce va conduce la creşterea cererii pentru astfel de mijloace pe piaa valutară internă şi la modificarea nivelului cursului de schimb al monedei naionale. 31 Masa monetară în sens larg, M2, este formată, după cum se ştie, din masa monetară în sens restrâns M1 (care include numerarul din afara sistemului bancar şi disponibilităile la vedere) şi cvasi-banii (care includ economiile populaiei, depozitele în lei la termen şi condiionate), exprimate în miliarde lei, la sfârşitul perioadei. Se precizează că nu sunt luate în calculul masei monetare M2 depozitele în valută ale rezidenilor, deoarece s-a considerat că includerea acestora poate distorsiona concluziile analizei. Acest lucru se datorează faptului că depozitele în valută reprezintă o componentă exprimată indirect în moneda naională, prin înmulirea valorii lor, exprimate în valută, cu cursul de schimb oficial. Ecuaia pe care se fundamentează acest model este următoarea: C i = a0 + a1 ⋅ M2i + ε i
Pe baza eşantionului format din cele 30 valori lunare ale cursului real al leului şi ale masei monetare în sens larg, modelul este de forma:
30
R.L. Iman, W.J. Conover, Modern Business Statistics, John Wiley & Sons, Second Edition, 1989, pag. 788 – 789 31 C. Şipoş, C. Preda , Econometrie, Editura Mirton, Timişoara, 2006
81
Tabelul 2 Variabila dependentă: CURS LEU/EUR Metoda celor mai mici pătrate Eşantionul: 30 Nr. de observaii: 30 după ajustare CURS LEU/EUR = a 0 + a1 * M2
Coeficieni aˆ 0 aˆ 1
Coef. de determinaie Eroarea standard Durbin – Watson
44711,54 -21,53359 0,850 1074,075 2,536
Eroarea t-Statistic Probabilitatea standard 885,046 50,5188 0,000 1,70621 -12,6206 0,000 Curs mediu 33.819 F-statistic 159,282 F-critic 1,860
Masa monetară are o puternică influenă asupra cursului leului. Valoarea coeficientului de determinaie este foarte mare (0,850), ceea ce conduce la concluzia că variaia cursului de schimb al leului este influenată foarte puternic de variaia masei monetare. Erorile standard sunt mici în raport cu valorile parametrilor aˆ 0 şi aˆ 1 , nivelurile de semnificaie t-Statistic, luate în valoare absolută sunt mari, peste nivelul critic , iar probabilităile ca parametrii aˆ 0 şi ˆ 1 să fie incorect estimai sunt nule, ceea ce arată că acest model este foarte a corect. Valoarea F-statistic este mult mai mare decât F-critic, ceea ce înseamnă că modelul este semnificativ din toate punctele de vedere. Masa monetară constituie, aşadar, un factor de influenă esenial în determinarea comportamentului cursului de schimb al leului şi va reprezenta o componentă de bază a modelului final. În continuare, o altă variabilă care influenează semnificativ cursul de schimb al leului o constituie rata dobânzii (d), exprimată procentual, conform următoarei ecuaii: C i = a0 + a1 ⋅ d i + ε i
Influena ratei dobânzii asupra cursului leului, conform analizei preliminare, nu are time–lag, de unde rezultă, pe baza eşantionului format din cele 30 valori lunare ale cursului leului şi ale ratei medii a dobânzii, că modelul este următorul:
82
Tabelul 3 Variabila dependentă: CURS LEU/EUR Metoda celor mai mici pătrate Eşantionul: 30 Nr. de observaii: 30 după ajustare CURS LEU/EUR = a 0 + a1 * d
Coeficieni aˆ 0 aˆ 1
Coef. de determinaie Eroarea standard Durbin – Watson
23501,6 575,9124 0,686 1555,84 2,321
Eroarea t-Statistic Probabilitatea standard 1348,537 17,4274 0,000 73,58392 7,82660 0,000 Curs mediu 33.819 F-statistic 61,255 F-critic 1,860
Se observă că valoarea coeficientului de determinaie este cu ceva mai mică decât în cazul masei monetare, ceea ce înseamnă că influena ratei dobânzii asupra cursului valutar al leului este puin mai slabă decât cea exercitată de către masa monetară. Cu toate acestea, dobânda rămâne un factor semnificativ de influenă, având în vedere faptul că, din punct de vedere statistic, modelul acesta este mai bun decât cel al soldului comerului exterior. Erorile standard sunt mici, nivelurile de semnificaie ale parametrilor aˆ 0 şi ˆ 1 sunt mult peste nivelul critic, iar probabilităile ca parametrii a ˆ 0 şi a ˆ 1 să fie a incorect estimai sunt nule, ceea ce înseamnă că modelul este corect. Valoarea F-statistic este destul de mare în raport cu F-critic, ceea ce înseamnă că modelul este semnificativ din toate punctele de vedere. Valoarea parametrului aˆ 1 este pozitivă, ceea ce înseamnă că între cursul valutar şi rata dobânzii există o legătură directă, ambele variază în acelaşi sens. Drept urmare, se poate spune că rata dobânzii este un factor de influenă semnificativ al cursului de schimb al leului, chiar dacă are un impact ceva mai mic decât cel al masei monetare. Un alt parametru utilizat în modelarea cursului de schimb al leului îl constituie rezervele interna ionale brute ale BNR (RIB), care includ aurul, valutele convertibile (efective şi cecuri, disponibil la BRI, FED şi la bănci străine), bonurile de tezaur SUA, disponibilul libelat în DST la Fondul Monetar Internaional şi alte active externe convertibile (bonuri de tezaur pe termen mediu şi lung) exprimate în milioane EUR, la sfârşitul perioadei. Ecuaia este următoarea:
83
C i = a0 + a1 ⋅ RIBi + ε i
Pe baza eşantionului format din cele 30 valori lunare ale cursului leului şi ale rezervelor internaionale brute şi având în vedere faptul că, în urma analizei preliminare, s-a ajuns la concluzia că nu există time–lag în transmiterea influenei, modelul este următorul: Tabelul 4 Variabila dependentă: CURS LEU/EUR Metoda celor mai mici pătrate Eşantionul: 30 Nr. de observaii: 30 după ajustare CURS LEU/EUR = a 0 + a1 * RIB
Coeficieni aˆ 0 aˆ 1
Coef. de determinaie Eroarea standard Durbin – Watson
43176,098 -0,898894 0,941 670,598 2,985
Eroarea t-Statistic Probabilitatea standard 456,61391 94,5571 0,000 0,0422597 -21,2706 0,000 Curs mediu 33.819 F-statistic 452,442 F-critic 1,860
Valoarea coeficientului de determinaie este foarte mare, cea mai mare de până acum, ceea ce înseamnă că influena rezervelor internaionale brute ale BNR asupra cursului de schimb al leului este substanială. Acest lucru se datorează faptului că, la ora actuală, politica monetară şi valutară a băncii naionale este foarte importantă în determinarea cursului valutar şi a ratei inflaiei, existând o implicare semnificativă a autorităilor în acest domeniu. Erorile standard sunt mai mici decât în majoritatea cazurilor anterioare, deci distorsiunile de estimare ale parametrilor modelului sunt suficient de mici. Nivelurile de semnificaie ale parametrilor aˆ 0 şi aˆ 1 , luate în valoare absolută, sunt mari, mult peste nivelul critic, iar probabilităile ca parametrii aˆ 0 şi aˆ 1 să fie incorect estimai sunt nule, ceea ce înseamnă că modelul este, la rândul său, corect din punct de vedere statistic. Valoarea lui F-statistic este foarte mare în raport cu F-critic, ceea ce arată o legătură foarte puternică între cursul leului şi rezervele internaionale brute ale BNR, fapt pentru care acestea vor fi incluse în modelul final. Se observă valoarea negativă a parametrului aˆ 1 , care arată faptul că între cursul valutar şi rezervele internaionale brute există o corelaie inversă. Acest 84
lucru înseamnă că atunci când rezervele internaionale brute cresc, cursul valutar va scădea, ceea ce înseamnă o apreciere a cursului şi, invers, dacă rezervele internaionale brute scad, cursul va creşte, adică se va deprecia. Pe lângă influenele majore pe care cursul de schimb le suferă din partea unor variabile economice de tipul celor studiate până acum, prin natura sa, cursul valutar are şi o puternică latură autoregresivă, de memorare a comportamentului său istoric. Din punct de vedere tehnic, termenul de autoregresiv defineşte măsura în care o variabilă economică, în speă cursul valutar al leului, prezintă caracteristica de a se autocorela, în sensul că nivelul curent al acesteia este determinat într-o măsură semnificativă de nivelurile sale anterioare, decalate cu una sau mai multe perioade în urmă. Întocmai ca şi în cazul altor preuri, aici efectul nu este cauzat de influena directă a unei variabile factoriale, ci este unul retroactiv, indus de încărcătura informaională a cursului de schimb asupra comportamentului operatorilor de pe piaa valutară, care, pe această bază, formulează anticipaii. În principal, efectul autoregresiv se concretizează în modul mai mult sau mai puin pregnant în care nivelul actual al cursului este influenat de nivelurile sale anterioare, time-lag-ul (decalajul în timp a influenelor) putând avea diferite valori. În general, cu cât acest time-lag este mai mare, adică deplasarea în urmă faă de momentul prezent este mai accentuată, cu atât influenele sunt mai slabe, problema care apare fiind cea a determinării momentului când acestea devin nesemnificative, pentru a fi eliminate din model. Această caracteristică ine de capacitatea operatorilor de pe piaa valutară de a reine comportamentele anterioare ale cursului de schimb şi de a aciona în funcie de acestea în formarea anticipaiilor lor pentru perioadele următoare, determinând astfel modificări importante în cererea şi oferta de monedă naională, respectiv de valută.32 În interpretarea capacităii de memorare de către operatori a comportamentului din trecut, trebuie delimitate diversele categorii de ageni economici şi motivaiile specifice acestora. Astfel, dacă ne referim în mod specific la participanii pe piaa valutară, din punctul de vedere al termenelor de formare a anticipaiilor, se poate distinge între operatori care intervin în mod frecvent pe această piaă şi care, în consecină, formulează anticipaii pe termen scurt şi foarte scurt, şi operatorii care intervin, direct sau indirect, mult mai rar şi care sunt interesai în formularea de anticipaii pe termen mediu şi lung. Pentru România, volatilitatea crescută a pieei valutare, gama relativ redusă a activelor monetar – financiare libelate în valută, fragilitatea la diversele 32
C. Şipoş, C. Preda , Econometrie, Editura Mirton, Timişoara, 2006
85
categorii de şocuri, în condiiile unor cursuri de schimb flotante, distorsionează semnificativ acurateea prediciilor şi, deci, valoarea lor decizională. În aceste condiii, se poate afirma că agenii economici din prima categorie, interesai în formularea unor anticipaii cu grad sporit de acuratee – mai precis, interesai de aspectul cantitativ al modificărilor survenite în cursul de schimb – urmăresc de o manieră sistematică această evoluie, orientându-se în estimarea nivelului anticipat al cursului de schimb în funcie de nivelul său din perioadele precedente. Desigur, această formulare reprezintă o particularizare a celor enunate anterior, agenii economici tinzând să-şi formuleze anticipaiile prin extrapolarea cvasi–mecanică a situaiei curente, introducând, eventual, o anumită corecie în raport de evoluiile precedente. Introducerea anticipaiilor în modelul de determinare a cursului leului are la bază modelul autoregresiv de ordinul întâi (AR1), de forma: C t = a0 + a1C t–1 + ε t
Modelul pune în evidenă memoria operatorilor referitoare la o singură perioadă din urmă, deci, practic, se bazează pe o capacitate de memorare şi asimilare a informaiilor pe termen foarte scurt, f ără a ine seama de ceea ce s-a întâmplat cu mai multe perioade în urmă. Pe baza eşantionului format din cele 30 de valori lunare ale cursului leului, modelul autoregresiv de ordinul întâi este: Tabelul 5 Variabila dependentă: CURS LEU/EUR Metoda celor mai mici pătrate Eşantionul: 30 Nr. de observaii: 29 după ajustare CURS LEU/EUR = a 0 + a1 * C t-1
Coeficieni aˆ 0 aˆ 1
Coef. de autocorelaie Coef. de autodeterminaie Eroarea standard
0 0,9924 0,963 0,929 732,5082
Eroarea standard
t-Statistic Probabilitatea
0 0 0,003987 248,848 Curs mediu F-statistic F-critic
0,000 0,000 33.749 366,633 1,882
Se observă că valorile coeficienilor de autocorelaie, respectiv, de autodeterminaie sunt foarte mari (0,963, respectiv, 0,929), ceea ce înseamnă că 86
evoluia cursului valutar al leului este puternic autoregresivă, nivelul anterior având o influenă extrem de mare asupra nivelului curent al cursului. Eroarea standard este mică în comparaie cu valorile cursului, fapt care ne arată că modelul autoregresiv de ordinul întâi are distorsiuni minime. Se observă valoarea foarte mare a nivelului de semnificaie al parametrului aˆ 1 , comparativ cu nivelul minim acceptat şi valoarea nulă a probabilităii ca parametrul să fie incorect estimat. Parametrul aˆ 0 s-a dovedit a fi nesemnificativ, fapt pentru care a fost anulat. Influena puternică pe care o exercită nivelul anterior al cursului asupra a ceea ce se întâmplă în prezent, dă măsura importanei anticipaiilor operatorilor pe piaa valutară din România. Acest lucru înseamnă că o proporie importantă a evoluiei monedei noastre naionale se bazează încă pe anticipaii şi mai puin pe influenele obiective pe care cursul le suferă din partea celorlalte variabile macroeconomice. Anticipaiile sunt extrem de importante într-o economie de piaă liberă, fapt pentru care este necesar ca banca centrală şi celelalte autorităi să acorde o atenie maximă semnalelor pe care le transmit spre piaa valutară, care este foarte sensibilă la informaii referitoare la eventuale şocuri sau deprecieri bruşte. Aşa cum s-a putut constata, modelele unifactoriale, elaborate până acum, pun în evidenă influena mai mare sau mai mică pe care fiecare dintre variabilele luate în considerare o exercită asupra cursului de schimb al leului. Ele oferă informaii utile despre comportamentul cursului de schimb al leului, putând servi la înelegerea acestuia. Influenele ce se manifestă asupra cursului de schimb al leului sunt, însă, integrate într-un sistem mai larg şi nu pot fi reflectate decât cu ajutorul modelului multifactorial, care ia în considerare aciunea simultană a acestor variabile factoriale.
2.3. Estimarea parametrilor modelului În urma selectării variabilelor factoriale semnificative, se poate trece la elaborarea modelului final, care ia în considerare toi factorii de influenă considerai importani în determinarea comportamentului cursului valutar al leului. Modelul final este construit, prin urmare, pe baza influenei simultane exercitate de balana de plăi externe (reprezentată de soldul comerului exterior, SCE ), de masa monetară ( M2), de rata dobânzii (d ), de rezervele internaionale brute ( RIB) şi de cursul de schimb din perioada anterioară (C t-1), conform ecuaiei generale: C t = a1 ⋅ SCE t-1 + a2 ⋅ M2t + a3 ⋅ d t + a4 ⋅ RIBt + a5 ⋅ C t-1 + ε t
87
Utilizând eşantionul format din cele 30 valori lunare ale cursului leului, ale soldului comerului exterior, ale masei monetare, ale ratei dobânzii şi ale rezervelor internaionale brute, se determină valorile estimate ale parametrilor modelului multifactorial, care pune în evidenă influena simultană a celor cinci variabile factoriale asupra comportamentului cursului de schimb al leului, respectiv: Tabelul 6 Variabila dependentă: CURS LEU/EUR Metoda celor mai mici pătrate Eşantionul: 30 Nr. de observaii: 29 după ajustare CURS LEU/EUR = a 1 ⋅ SCE t-1 + a2 ⋅ M2t + a3 ⋅ d t + a4 ⋅ RIBt + a5 ⋅ C t-1
Coeficieni
Eroarea standard
t-Statistic Probabilitatea
aˆ 1
0,92207
0,95368
0,9668
0,34325
aˆ 2
10,8304
7,79124
1,3900
0,17726
aˆ 3
-121,501
81,3515
-1,4935
0,14832
aˆ 4
-0,52145
0,33257
-1,568
0,12998
aˆ 5
1,06487 0,9414 718,629 1,971
0,04735 Curs mediu F-statistic F-critic
22,489
0,00000 33.749 77,204 1,882
Coef. de determinaie Eroarea standard Durbin – Watson
Se observă că valoarea coeficientului de determinaie (0,9414) este foarte mare, ceea ce arată că, practic, peste 94% din variaia cursului de schimb al leului se datorează influenei cumulate a variaiei soldului comerului exterior, a masei monetare, a ratei dobânzii, a rezervelor internaionale brute şi ale cursului din perioada anterioară. Aceasta înseamnă că legătura dintre cele cinci variabile factoriale şi cursul valutar al leului este foarte puternică. Erorile standard sunt destul de mici, adică distorsiunile de estimare ale parametrilor sunt acceptabile, ceea ce înseamnă că modelul multifactorial care include cele cinci variabile factoriale este semnificativ. Valoarea F-statistic este destul de mare în raport cu F-critic, ceea ce înseamnă că influena celor cinci variabile factoriale asupra cursului leului este puternică. Din aceste interpretări, rezultă capacitatea relativ bună a modelului multifactorial de a anticipa evoluia monedei naionale, el reuşind să se adapteze 88
destul de bine condiiilor existente. Trebuie reinut totuşi faptul că modelul este construit pe valori lunare, perioadele aşa-zis scurte fiind, de fapt, de ordinul săptămânilor sau chiar al lunilor. Alte încercări de ameliorare a modelului, în sensul completării sale cu alte variabile de influenă, nu au dat rezultate, dovedind-se că modelul care ia în considerare influena simultană a soldului comerului exterior, masei monetare, ratei dobânzii, rezervelor internaional brute şi a cursului din perioada anterioară este cel mai ilustrativ pentru comportamentul cursului valutar al leului în perioada studiată. Analiza modelului econometric nu se încheie însă aici, urmând o etapă importantă de verificare a rezultatelor obinute cu ajutorul testelor statistice, în vederea validării sau invalidării acestora, în funcie de concluziile la care ne conduce verificarea statistică.
2.4. Verificarea statistică a modelului Etapa de verificare a modelului econometric pe baza unor teste statistice este absolut necesară, datorită faptului că estimarea parametrilor săi se realizează pe seama unor eşantioane de date mai mult sau mai puin reprezentative. Astfel, pe baza unui număr relativ redus de valori (în cazul nostru, 30 de valori lunare), se doreşte să se ajungă la estimări valabile pentru o colectivitate generală formată din sute de valori. Orice modificare a volumului eşantionului duce, de regulă, la modificarea valorilor estimate, ceea ce înseamnă că aceste valori au un grad ridicat de relativitate. În aceste condiii, apar probleme legate de măsura în care soluiile modelului propus pot fi generalizate, de faptul că estimaiile obinute pot fi semnificative sau doar întâmplătoare, rezultat al unei conjuncturi de valori din cadrul eşantionului, precum şi de limitele între care estimatorii pot varia f ără a influena aprecierile iniiale şi concluziile referitoare la semnificaia lor. Aceste probleme sunt rezolvate în general cu ajutorul testelor statistice , care studiază semnificaia parametrilor modelului econometric şi calitatea acestuia de a descrie relaia de dependenă dintre cursul de schimb şi variabilele factoriale luate în considerare. Pentru ca modelul elaborat să fie corect din punct de vedere statistic, trebuie să îndeplinească, în primul rând, condiia de normalitate a variabilei aleatoare ε i, prezentată în etapa formulării ipotezelor de lucru. Aceasta se poate verifica cu ajutorul mai multor teste statistice, dintre care s-a utilizat testul Helmert33, bazat pe repartiia χ 2, care constă în compararea frecvenelor absolute efective, n ,i ataşate valorilor variabilei aleatoare, cu valorile teoretice, pi. 33
Elisabeta Jaba, Statistica , Editura Sedcom Libris, Iaşi, 1996, pag. 223 – 224
89
Efectuarea testului χ 2 presupune parcurgerea următoarelor etape: 7. Se formulează ipoteza nulă H 0, prin care se admite normalitatea distribuiei variabilei aleatoare; 8. Se calculează valorile standardizate zi; 9. Se determină, din tabelul Gauss–Laplace34, valorile ϕ (zi) corespunzătoare; 10. Se calculează valorile teoretice pi = ϕ (zi) – ϕ (zi–1); 11. Se determină o valoare calculată χ 2c: 2
χ c =
k
(ni − npi )2
i =1
npi
∑
= 7,42
12. Valorile calculate ale testului χ 2 se compară cu valoarea tabelată a acestuia, χ 20,05;4 = 9,487 , luată din anexa 3. Se observă că valoarea calculată este mai mică decât valoarea tabelată, de unde rezultă că ipoteza de normalitate a variabilei aleatoare se acceptă. În vederea verificării modului în care este confirmată ipoteza homoscedasticităii de către comportamentul variabilei aleatoare – prezentată în etapa formulării ipotezelor de lucru – se realizează un test Fisher (F). În acest sens, s-a secionat şirul valorilor variabilei aleatoare în trei segmente a câte 10 valori şi s-au determinat două valori calculate, F1calculat = 1,856 şi F2calculat = 1,942.
Aceste valori calculate se compară cu valoarea tabelară, F tabelar (9; 9; 0,05) = 3,178, corespunzătoare distribuiei Fisher – Snedecor (anexa 4) şi rezultă că ambele valori F calculat < F tabelar , ceea ce înseamnă că nu există deosebiri semnificative între variane, adică variabila aleatoare este homoscedastică. Verificarea ipotezei autocorelării variabilei aleatoare se realizează cu ajutorul testului Durbin – Watson35, care presupune parcurgerea următoarelor etape: 1. Se stabileşte ipoteza nulă ( H 0) conform căreia variabila aleatoare este autocorelată; 2. Se determină valoarea d calculat , după relaia:
34 35
C. Şipoş, C. Preda , Econometrie, Editura Mirton, Timişoara, 2006 C. Chilărescu, Modele econometrice aplicate, Editura Mirton, Timişoara, 1994, pag. 25 – 28
90
n
∑ (ε i − ε i−1 )
d calculat =
2
i=2
= 1,971
n
∑ ε i =1
2 i
3. Se determină din tabelele Durbin – Watson, pentru nivelul de semnificaie α = 0,05, numărul de grade de libertate n – 1 = 28 şi numărul de variabile factoriale k = 5, valorile tabelare d inferior = 1,03 şi d superior = 1,85; 4. Se compară d calculat cu valorile tabelare şi rezultă că d calculat > d superior , ceea ce înseamnă că ipoteza autocorelării variabilei aleatoare se respinge, adică valorile variabilei aleatoare sunt independente între ele, ceea ce implică faptul că şi înregistrările de date în eşantioane au fost independente. Verificarea capacităii modelului de a reconstitui valorile empirice ale ˆ se realizează prin cursului de schimb C t prin intermediul valorilor estimate C t ˆ , precum şi a compararea valorilor empirice C t cu valorile generate de model C t
ˆ cu media acestora, pentru a pune în evidenă două tipuri valorilor estimate C t de abateri. ˆ în raport cu Prima dintre acestea este abaterea valorilor estimate C t media, abateri care se consideră că apar datorită modificării factorilor de ˆ se situează fie sub medie, influenă. Valorile estimate ale cursului de schimb C t fie peste medie, în funcie de valorile variabilelor factoriale X1 i , X2 i , …, Xk i . Existena acestor abateri este sintetizată de varianele cursului valutar datorate variabilelor factoriale (s x12 , s x22 , …, s xk 2). A doua categorie o constituie abaterea valorilor empirice C t de la ˆ , ca urmare a aciunii variabilei aleatoare. Variana valorilor valorile estimate C t empirice în raport cu dreapta de regresie exprimă, de fapt, împrăştierea variabilelor aleatoare ( sε 2i ).
Testarea capacităii modelului de a reconstitui valorile empirice ale ˆ se realizează prin cursului de schimb C t prin intermediul valorilor estimate C t parcurgerea următoarelor etape: 1. Se stabileşte ipoteza nulă ( H 0), conform căreia împrăştierea valorilor ˆ datorită factorilor de influenă nu diferă estimate ale cursului valutar C t semnificativ de împrăştierea aceloraşi valori datorită întâmplării; 2. Repartiia pe baza căreia se realizează acest test este Fisher – Snedecor, iar nivelul de semnificaie este α = 0,05; 91
3. Se determină valoarea calculată F-statistic = 77,204 4. Se determină valoarea tabelară, F-critic = 1,882, din tabelul repartiiei Fisher – Snedecor (anexa 4) în func ie de nivelul de semnificaie α = 0,05 şi de n1 – 1 = 28 şi n2 – 1 = 28 grade de libertate; 5. Se compară valoarea calculată cu valoarea tabelară şi se observă că Fstatistic > F-critic, deci, ipoteza nulă se respinge, ceea ce înseamnă că modelul a rezistat verificării, fiind util analizei şi previzionării cursului de schimb. Parcurgerea tuturor acestor etape ale verificării statistice a modelului econometric, precum şi ale celor referitoare la verificarea parametrilor modelului, duc la ideea unei anumite nesigurane privind calitatea rezultatelor obinute. În urma acestor multiple verificări, bazate pe ipoteza repartiiei normale a variabilelor analizate (rezultativă, factoriale, aleatoare), această nesigurană dispare şi, chiar dacă nu există certitudini, există convingerea că, pentru o probabilitate suficient de mare, concluzia la care se ajunge este cea adevărată.
2.5. Previzionarea cursului de schimb al leului pe baza modelului econometric multifactorial Previziunea evoluiei fenomenelor economice, în general, şi a cursurilor valutare, în special, reprezintă de cele mai multe ori obiectivul final al modelării econometrice, constituind elementul central al verificării validităii modelului elaborat. Previziunile generate de modelele econometrice urmăresc să prefigureze comportamentul viitor al cursului valutar în raport cu influenele directe şi indirecte exercitate asupra lor de către variabilele factoriale. Deoarece previziunea se bazează pe un număr relativ mare de elemente, abordate în interaciune, şi în contextul relaiilor cauzale dintre cursul de schimb şi factorii de influenă, se poate afirma că modelele econometrice reprezintă o modalitate superioară de cunoaştere anticipativă în economie. Este adevărat, însă, că şi această variantă de analiză implică riscul comiterii de erori semnificative, în ciuda aparatului statistic destul de co mplex pe care se bazează. Un element extrem de important al previzionării cursului valutar îl reprezintă orizontul de timp care trebuie avut în vedere, care poate fi scurt, mediu sau lung. Nu există o unitate de păreri în ceea ce priveşte definirea exactă a orizontului de timp, dar, în mod convenional, se poate spune că o previziune pe termen foarte scurt nu depăşeşte şapte zile, una pe termen scurt este cuprinsă între şapte zile şi trei luni, o previziune pe termen mediu vizează un orizont de
92
timp cu o durată cuprinsă între trei luni şi trei ani, iar peste trei ani previziunea este considerată ca fiind pe termen lung.36 Există mai multe metode de previzionare a cursului valutar. Unele se bazează pe o analiză economică care porneşte de la premisa existenei unor relaii stabile între cursul valutar şi alte variabile economice. Aceste metode permit elaborarea unor previziuni pe termen mediu şi lung. Altele, se fundamentează pe formularea unor previziuni pe termen foarte scurt pe seama comportamentului din trecut al cursului de schimb al leului, cu ajutorul modelelor autoregresive. Previziunile bazate pe modelul multifactorial al cursului valutar al leului se realizează astfel: se atribuie variabilelor factoriale (masa monetară, rata dobânzii, soldul comerului exterior şi rezervele internaionale brute) valori preconizate – rezultate din aplicarea modelului pe perioade de timp cunoscute şi apoi se determină viitoarele valori ale cursului valutar pe baza modelului. Corectitudinea acestor previziuni depinde de următoarele condiii: – valorile atribuite variabilelor factoriale sunt reale; – comportamentul constatat în trecut în ceea ce priveşte relaiile dintre variabilele modelului, nu se va modifica semnificativ, astfel încât structura exprimată prin parametrii de regresie va rămâne neschimbată; – nu vor interveni noi factori semnificativi şi nici situaii excepionale care să modifice esenial comportamentul cursului valutar al leului. O modalitate importantă de îmbunătăire a performanelor modelelor econometrice constă în depăşirea cadrului strict matematic sau statistic al analizei, ceea ce presupune: – luarea în considerare a soluiilor previzionate deja pentru cele mai recente perioade de timp, în sensul reevaluării şi ajustării prediciilor; – utilizarea informaiilor de natură calitativă în vederea ajustării previziunilor şi apropierii lor cât mai mult de realitate; – asigurarea unui anumit rol experienei şi intuiiei în analiza rezultatelor obinute. În ceea ce priveşte modalitatea de obinere a valorilor estimate ale cursului de schimb, dacă procedeul în sine nu ridică probleme, în schimb asigurarea acurateei previziunii presupune parcurgerea unei serii de etape care include analize, verificări, reevaluări care au drept scop final diminuarea erorilor de previzionare.
36
C. Şipoş, C. Preda, Econometrie , Editura Mirton, Timişoara, 2006
93
Astfel, eroarea de previziune ( ε t ′ ) reprezintă abaterea valorii previzionate ˆ în raport cu valoarea reală C t , obinută sub formă de diferenă C t ˆ − C ) şi apariia ei poate fi atribuită următoarelor cauze: ( ε ′ = C t
t
t
– aciunea factorilor întâmplători, care determină abateri aleatoare de distribuie normală; – distorsionarea parametrilor estimai ca urmare a faptului că datele utilizate provin de multe ori din eşantioane de volum redus, ceea ce le face neconforme cu ipotezele metodei celor mai mici pătrate sau ale altor metode de estimare; – omiterea unor factori importani de influenă (unii de natură calitativă) sau alegerea unor funcii neadecvate; – determinarea unor valori eronate, sub sau supraevaluate, ale variabilelor factoriale prevăzute pentru perioadele de predicie. În acest fel, pentru a verifica dacă modelul final al leului a fost corect elaborat, neafectat de distorsiuni sistematice, trebuie să se determine dacă erorile de previzionare sunt minime şi dacă sunt datorate exclusiv unor factori aleatori. Pentru a putea atinge acest deziderat, se parcurg următoarele etape: 1. Pregă tirea elabor ăr ii previziunii. În cadrul acestei etape, se verifică datele, în sensul eliminării erorilor de observare sistematice, se asigură omogenitatea datelor, prin utilizarea unei singure surse de provenienă, se verifică statistic modelul şi se procedează la stabilirea valorilor cunoscute ale variabilelor factoriale. ială . Se realizează prin 2. Elaborarea previziunii în varianta ini estimarea parametrilor de regresie pentru perioada cunoscută t şi se obin aˆ 1 , valorile estimate ale parametrilor modelului: aˆ 2 , aˆ 3 , aˆ 4 , aˆ 5 conform tabelului 7.6. 3. Analiza erorilor de previzionare rezultate. În această etapă, se studiază abaterile dintre valorile estimate şi cele reale, atât prin prisma dimensiunii şi a capacităii lor de a reflecta modificările semnificative ale tendinei de evoluie, cât şi din punctul de vedere al calităii acestor abateri de a fi conforme cu ipotezele metodei celor mai mici pătrate. Pentru a obine previziuni cât mai precise, se poate verifica modelul şi cu ajutorul previziunilor ex–post. Aceste previziuni se referă la perioade de timp pentru care se cunosc date reale, existând posibilitatea testării preciziei prognozei. Posibilele distorsiuni aferente previzionării cursului leului cu ajutorul modelului multifactorial se datorează faptului că datele utilizate au fost
94
prezentate sub forma valorilor lunare – deoarece aceasta este perioada de timp minimă pentru care pot fi înregistrate masa monetară, rata dobânzii, comerul exterior şi rezervele internaionale brute – date lunare care implică prelucrări suplimentare pentru analiza unei variabile de tipul cursului valutar, care evoluează zilnic. Acest lucru este, însă, în mare măsură compensat de influena majoră pe care o au respectivele variabile asupra cursului de schimb al leului. Ca urmare, modelul multifactorial poate fi utilizat cu o probabilitate suficient de mare de acuratee pentru estimări ale comportamentului cursului de schimb al leului pe termen mediu (pe perioade de până la un an), cu condiia completării lui permanente cu datele noi care apar pe parcurs şi, mai ales, cu condiia ca piaa valutară să nu fie influenată în mod semnificativ de factori exogeni, care nu au fundament economic, de tip instituional sau politic. 4. Analiza calitativă a valorilor previzionate ale cursului valutar. Această etapă este una de apreciere a concordanei evoluiei previzionate a cursului valutar cu ceea ce se cunoaşte din teoria economică de specialitate sau din experiena practică. Pentru a putea aprecia corect concordana valorilor previzionate pe baza modelului multifactorial cu evoluia reală a cursului de schimb al leului, este necesar să inem seama de faptul că politica valutară în România se află într-o perioadă de schimbări radicale. Această schombare este rezultatul opiunii de reducere a subordonării politicii cursului de schimb obiectivului privind echilibrul extern şi de valorificare a tendinei de apreciere în termeni reali a leului în scopul accelerării dezinflaiei, prin adoptarea strategiei inflation targeting. În aceste condiii, regimul cursului de schimb al leului î şi păstrează, în anumite limite, caracteristicile flotării controlate, managed floating, trăsătură care însă se estompează, pe măsura creşterii aportului productivităii la susinerea productivităii externe, ceea ce va permite trecerea, în final, la o flotare liberă a cursului de schimb. Totodată, trebuie să ină seama şi de faptul că obiectivul major pe termen mediu şi lung al României este integrarea în Uniunea Europeană, care presupune legarea mecanismului cursului de schimb al leului de ERM2 şi, ulterior, când vor fi îndeplinite criteriile necesare, adoptarea euro drept monedă naională. 5. Actualizarea modelului. Deoarece modelul transpune condiii trecute în previzionarea evoluiei viitoare a comportamentului cursului de schimb al leului, orizontul său de predicie este relativ restrâns, apărând necesitatea obiectivă a actualizării sale permanente. Acest lucru se realizează prin introducerea de noi date, pe măsură ce acestea apar, prin verificarea periodică şi modificarea, dacă este cazul, a valabilităii relaiilor descrise de ecuaiile 95
modelelor, precum şi prin introducerea unor noi variabile factoriale atunci când se consideră că este necesar. Din prezentarea etapelor de elaborare a modelului econometric, ce caracterizează evoluia cursului valutar al leului, rezultă că previziunile realizate pe baza acestuia se fundamentează în mare măsură pe ştiina modelării cantitative, dar şi pe arta de a aprecia şi corecta rezultatele obinute cu ajutorul unor analize calitative, răspunzând, în acelaşi timp, necesităilor activităii practice.
3. Model econometric de evaluare a riscului valutar În general, riscul este un concept aplicabil fenomenelor sociale, economice, politice sau naturale, originea sa aflându-se în incertitudinea care poate sau nu să genereze o pagubă, în funcie de o evoluie viitoare necunoscută. În fapt, riscul este un element de incertitudine care poate genera o pagubă. Pentru înelegerea noiunii de risc, se porneşte de la termenul de incertitudine, termen ce exprimă o stare de nesigurană cu privire la viitor, o necunoaştere a ceea ce urmează să se întâmple în legătură cu rezultatele unei decizii luate într-un anumit domeniu. Astfel, o aciune este considerată incertă atunci când este posibilă obinerea mai multor rezultate, f ără să se cunoască probabilitatea de apariie a unuia sau altuia dintre ele. Spre deosebire de incertitudine, riscul se caracterizează prin posibilitatea determinării unei legi de probabilitate pentru rezultatele scontate, indicând posibilitatea cunoaşterii acestei legi de către decideni. Riscul şi incertitudinea se combină în diverse proporii, deoarece, în realitate, incertitudinea, nesigurana nu pot fi eliminate în totalitate, existând în permanenă posibilitatea apariiei unor evenimente imprevizibile, care pot provoca abateri de natură să modifice fundamental condiiile iniiale şi care generează pierderi. Deasemenea, riscul poate fi asimilat cu probabilitatea ca un anumit eveniment nefavorabil să aibă loc, măsurarea lui fiind realizată cu ajutorul unor metode de evaluare bazate pe teoria probabilităilor. Trebuie subliniat însă faptul că, pe de o parte, probabilitatea şi riscul sunt fenomene ce se însoesc pe o anumită arie de manifestare, dar, pe de altă parte, sunt concepte diferite. Probabilitatea ne indică în ce măsură este posibilă producerea unui anumit eveniment în condiii bine determinate, pentru fiecare eveniment posibil existând o anumită probabilitate de apariie. Riscul este o caracteristică specifică întregii distribuii de probabilităi, el fiind asociat unei probabilităi de apariie a unor evenimente nedorite.
96
În contextul economiei mondiale contemporane, atitudinea faă de riscul valutar poate varia de la indiferenă faă de acesta, cu suportarea consecinelor financiare ale acestui risc, care uneori sunt dezastruoase pentru o firmă şi până la o atitudine de conştientizare riguroasă a posibilelor efecte ale acestui risc şi administrarea lui în mod profesional prin intermediul a diverse metode de acoperire. Această gestionare a riscului valutar are ca scop reducerea la minimum a costurilor cu diferenele de schimb valutar care la un moment dat pot avea un impact negativ serios asupra patrimoniului sau veniturilor firmei, având atât o componentă pe termen scurt, cât şi una pe termen lung. Pe termen scurt, administrarea riscului valutar are drept scop realizarea unor cheltuieli de evitare a riscului cât mai mici, astfel încât ele să se situeze sub cuantumul sumelor care s-ar pierde în absena proteciei, în timp ce pe termen lung se urmăreşte ca aceste cheltuieli de protejare împotriva riscului valutar să nu reprezinte decât o proporie redusă din valoarea pierderilor poteniale. Pentru exportator există riscul ca, în perioada de derulare a contractului – scursă între data încheierii contractului şi data efectuării plăii – cursul de schimb al valutei în care este libelată creana să scadă în raport cu moneda naională (aceasta din urmă se repreciază) şi, astfel, preul pe care îl obine pentru prestaia sa, pre exprimat în unităi monetare naionale, să fie mai mic decât cel previzionat, înregistrându-se o pierdere. De cealaltă parte, pentru importator există riscul ca, în perioada de derulare a contractului, cursul de schimb al valutei în care este libelată datoria să crească în raport cu moneda naională (aceasta din urmă se depreciază), majorându-se astfel, preul de cumpărare, exprimat în unităi monetare naionale, ceea ce provoacă, de asemenea, o pierdere. Aceste două ipoteze se referă la evoluiile nefavorabile ale cursului de schimb pentru importator şi pentru exportator, însă trebuie avut în vedere şi faptul că evoluiile cursului de schimb se pot petrece şi în sens invers celui prezentat anterior, ceea ce poate aduce profituri suplimentare, atât importatorului, cât şi exportatorului. Singura posibilitate de protecie împotriva riscului valutar este o evaluare cât mai riguroasă a acestuia şi utilizarea selectivă a metodelor de acoperire cele mai indicate la un moment dat. Această selecie trebuie să aibă ca obiectiv minimizarea pierderilor din diferenele nefavorabile de curs sau chiar obinerea unui profit de pe urma acestor diferen e, dacă gestionarea riscului este corect realizată. În teoria economică s-au cristalizat, la ora actuală, o serie de modele statistico-matematice care formalizează un obiectiv complex al gestiunii financiare, şi anume, cel al optimizării corelaiei dintre randamentul unei activităi şi riscul implicat de realizarea acesteia, în vederea obinerii unei gestionări eficiente a capitalului deinut. Această problematică înregistrează o 97
preocupare tot mai evidentă din partea specialiştilor, în condiiile în care pieele valutare şi financiare înregistrează volatilităi sporite, determinând o relaie directă între randamentul obinut şi riscul aferent. De regulă, realizarea unui profit mare într-o perioadă scurtă de timp este însoită de un risc maxim, care se poate concretiza fie în obinerea unui profit mai mic decât cel scontat, fie în pierderea totală a sumei investite sau chiar în falimentul firmei care a riscat. Dimpotrivă, dezideratul obinerii unor profituri mai mici şi pe o perioadă mai lungă de timp este însoit de cele mai multe ori de un risc minim, existând toate şansele ca activitatea în care s-a investit să aibă rezultatele aşteptate. Dacă în activitatea financiară în general discutăm despre o anumită rentabilitate a unei investiii, fie ea direct productivă sau de plasare de capital, pe piaa valutară putem vorbi despre randamentul cursului de schimb. Astfel, din perspectiva unui exportator autohton care efectuează cheltuieli de obinere a unui produs exprimate în monedă naională, iar apoi vinde acest produs în exterior primind un pre în valută, orice devalorizare a monedei naionale pe parcursul derulării contractului reprezintă o diferenă favorabilă care poate fi interpretată ca un profit suplimentar. Acest profit profi t suplimentar care a fost realizat datorită variaiei cursului de schimb al monedei naionale faă de valuta în care a fost libelată creana, poate fi interpretat ca un randament al cursului de schimb. Cu alte cuvinte, dacă variaia cursului de schimb este în sensul deprecierii monedei naionale se înregistrează un randament pozitiv al cursului, şi el produce un profit pentru exportator, iar dacă cursul de schimb se apreciază, vom înregistra un randament negativ, adică o pierdere pentru exportator. Bineîneles că din punctul de vedere al unui importator lucrurile stau exact invers, acestuia fiindu-i favorabilă aprecierea cursului şi înregistrând pierderi în cazul deprecierii acestuia, însă noiunea de randament al cursului de schimb rămâne neschimbată. Pentru evaluarea riscului valutar, teoria probabilităilor a reinut ca relevani următorii parametri statistici: 1. Valoarea medie r a randamentelor r i ponderate cu probabilităile de apariie pi: n
r =
∑ r ⋅ p i
i =1
98
i
2. Variana (dispersia) randamentelor faă de valoarea medie σ 2, calculată ca sumă a pătratelor diferenelor dintre randamentele r i şi media acestora r ponderate cu probabilităile de apariie pi: n
2
σ =
∑ (r − r )
2
i
⋅ pi
i =1
3. Abaterea medie pătratică sau abaterea standard σ , calculată ca rădăcină pătrată a varianei:
σ = σ 2 Din perspectiva evaluării riscului valutar, parametrii respectivi au o importană deosebită, având în vedere faptul că toate studiile sunt efectuate pe baza valorilor pe care le iau aceştia. Media poate fi asimilată cu randamentul (deprecierea) scontată a cursului de schimb pentru perioada viitoare, respectiv deprecierea care are cea mai mare probabilitate de a se realiza. Variana se poate asimila cu riscul ca deprecierea reală să se abată de la valoarea medie, având în vedere faptul că ea este determinată ca o sumă a abaterilor faă de medie înregistrate anterior. Deoarece variana, prin relaia ei de calcul, este de ordinul pătratului valorilor analizate, fapt care îngreunează cercetarea, în practica statistică riscul este evaluat de obicei prin intermediul abaterii medii pătratice (standard) care, reprezentând rădăcina pătrată a varianei, este de ordinul valorilor luate în studiu. Astfel, se poate admite că riscul este măsurabil prin intermediul valorilor negative ale abaterii standard, care înseamnă pierderi de randament, în timp ce valorile pozitive ale abaterii standard reprezintă creşteri de randament, adică prima de risc. Pe baza parametrilor statistici prezentai, care formalizează variabilele economice implicate de analiza riscului valutar, se pot construi diverse modele de evaluare ale acestui risc, luând în considerare datele oferite de evoluia cursului de schimb pe anumite perioade de timp. Riscul valutar aferent unor operaiuni de comer internaional ce presupune utilizarea mai multor monede naionale este cuantificat şi în principal ajutorul varianei. Variana sau dispersia (σ 2) valorilor cursului de schimb faă de cursul mediu este un parametru statistic determinat ca sumă a pătratelor diferenelor dintre valorile cursului de schimb şi media acestora.
99
Relaia respectivă arat ă că variana se poate asimila cu riscul ca deprecierea reală să se abată de la valoarea medie, având în vedere faptul că ea este determinată ca o sumă a abaterilor faă de medie înregistrate anterior. Din acest motiv, analiza dinamicii riscului valutar propusă în continuare se va baza pe analiza dinamicii şi a factorilor de influenă ce determină apariia varianei (a fluctuaiilor) cursului valutar. Acestea pot fi analizate cu ajutorul unei tehnici cunoscute sub numele de analiză dispersională sau ANOVA.37 Tehnica respectivă reprezintă un procedeu de studiere a varianei unei variabile – în cazul nostru cursul valutar al leului – în raport cu factorii de influenă ai acesteia. Procedeul constă în descompunerea variaiei totale a unui ansamblu de date înregistrate pentru variabila studiată în componente ale variaiei, definite după sursele acesteia, precum şi compararea componentelor respective pentru a stabili dacă factorii considerai cauză au influenă semnificativă asupra cursului. În funcie de cauzele care determină variaia, componentele acesteia pot fi grupate în două categorii: – componenta explicativă sau efect , ce reprezintă variaia determinată de factorii de influenă luai în considerare; – componenta reziduală , care nu poate fi pusă pe seama unui anumit factor de influenă, fiind efectul cumulat al tuturor factorilor aleatori ce acionează asupra cursului valutar. În funcie de numărul factorilor de influenă incluşi în analiză, ANOVA poate fi aplicată fie ca o analiză unifactorială, fie ca una multifactorială. Pentru studiul de faă, s-a ales varianta bifactorială, cu interaciune între factori, în scopul separării influenelor asupra varianei cursului valutar pe trei componente: una pe termen scurt, una pe termen mediu şi una pe termen lung. Având în vedere faptul că varianele sunt în principiu neaditive, pentru descompunerea variaiei se poate recurge la suma pătratelor abaterilor valorilor cursului de schimb de la media acestuia, sumă cunoscută sub numele de variaie. În vederea aplicării modelului ANOVA bifactorial pe datele aferente cursului valutar al leului, au fost înregistrate 30 de valori lunare în perioada 2002 – 2005, iar apoi valorile respective au fost separate pe trei eşantioane a câte zece valori consecutive. Fluctuaiile (variana) cursului de schimb al leului au fost analizate ca şi dinamică şi factori de influenă pentru o perioadă formată din cele trei perioade rezultate din acest mod de eşantionare, considerându-se că variaiile pe coloane (date de variaiile lunare ale cursului) reprezintă factorul de influenă pe termen 37
T. Baron, C. Anghelache, Emilia ian, Statistică , Editura Economică, Bucureşti, 1996, pag. 127 – 137; Elisabeta Jaba, op. cit., pag. 303 – 320
100
scurt, iar variaiile pe linii (date de variaiile de la un an la altul ale randamentului) reprezintă factorul de influenă pe termen lung. Interaciunea dintre acestea reprezintă factorul de influenă pe termen mediu. Pentru a putea realiza analiza varianei, se efectuează următoarele notaii: se presupune că factorii pe termen scurt se manifest ă în nS nivele independente, iar factorii pe termen lung se manifest ă în n L nivele independente, în timp ce interaciunea dintre cele două categorii de factori se manifest ă pentru nSL observaii. Numărul total de observaii va fi: n = nS + n L + nSL + nε
Pentru nivelurile factorilor de influenă, vom avea următorii indecşi de variaie: – în raport cu factorul de influenă pe termen scurt: i = 1, 2, … , n S; – în raport cu factorul de influenă pe termen lung: j = 1, 2, … , n L; – în raport cu interaciunea dintre factorii de influenă (termen mediu): k = 1, 2, … , nSL; Sursele variaiei cursului valutar sunt sistematizate într-un tablou de tip şah (tabelul 7), în care sunt reprezentate nivelurile independente nS şi n L ale celor doi factori de influenă, respectiv cele nSL niveluri ale interaciunii dintre aceştia: Tabelul 7 Nivelul factorilor de influen ă pe termen lung 1 j n L ..… ..…
Nivelul factorilor de influen ă pe termen scurt 1
c11k
M i
M ci1k
M nS
M
Medii pentru fiecare nivel al factorului pe termen lung
..…
c1jk
..…
M cijk
..… ..…
M
Medii pentru fiecare nivel al factorului pe termen scurt
c1nLk
c1
M
M
cinLk
ci
M
M
cnS1k
..…
cnSjk
..…
cnSnLk
cnS
c1
..…
c j
..…
cn L
c
101
În ultima coloană şi ultima linie a tabelului şah sunt reprezentate mediile cursului de schimb corespunzătoare fiecărui nivel al celor doi factori de influenă luai independent, calculate pentru cele k eşantioane a câte nSL observaii. Cu c s-a notat media cursului de schimb aferentă tuturor celor n observaii, care se determină după relaia: c =
1 n
nS
n SL
n L
∑ ∑ ∑
i = 1 j = 1 k = 1
c ijk
Cu cij s-a notat media cursului de schimb corespunzătoare fiecărui eşantion k , determinată după relaia: cij =
1
n SL
n SL
k = 1
∑ c ijk
Cu ci s-a notat media cursului de schimb corespunzătoare tuturor grupelor asupra cărora acionează nivelul i al factorului pe termen scurt, care se determină astfel: ci =
1 n S n SL
n L n SL
∑ ∑ c ijk
j = 1 k = 1
Cu c j s-a notat media cursului de schimb corespunzătoare tuturor grupelor asupra cărora acionează nivelul j al factorului pe termen lung, care se determină după relaia: c j =
1 n L n SL
n S n SL
∑ ∑ c ijk
i = 1 k = 1
După ce se determină aceste medii ale cursului de schimb al leului, aferente eşantioanelor respective, pentru a trece la analiza bifactorială, se descompune variaia totală astfel: V T = V TS + V TL + V TS+TL + V ε
102
unde V T – variaia totală a cursului de schimb; V TS – variaia cursului de schimb datorită influenei factorilor ce acionează pe termen scurt, numită şi variaie intergrupe; V TL – variaia cursului de schimb datorită influenei factorilor ce acionează pe termen lung, numită şi variaie intergrupe; V TS+TL – variaia cursului de schimb datorită interaciunii dintre cei doi factori; V ε – variaia reziduală datorită factorilor aleatori, numită şi variaie intragrupă, deoarece exprimă variaia din interiorul fiecărei grupe sau eşantion. Variaia totală (V T), este definită ca sumă a p ătratelor abaterilor valorilor cursului de schimb de la medie şi se determină astfel: V T =
nS
n L n SL
2 ∑ ∑ ∑ (c ijk − c )
i = 1 j = 1 k = 1
Estimatorul varianei (dispersiei) totale se determină împărind variaia totală la numărul gradelor de libertate asociat, care este n – 1: V T
2
sT =
n −1
Variaia cursului de schimb datorită influenei factorilor ce acionează pe termen scurt (V TS) se determină după relaia: V TS = n L n SL
nS
2 ∑ (c i − c )
i=1
Estimatorul varianei pe termen scurt se determină împărind variaia pe termen scurt la numărul gradelor de libertate asociat, care este nS – 1: 2
sTS =
V TS nS − 1
Variaia cursului de schimb datorită influenei factorilor ce acionează pe termen lung (V TL) se determină astfel:
103
n L
2 ∑ (c j − c )
V TL = n S n SL
j = 1
Estimatorul varianei pe termen lung se determină împărind variaia pe termen lung la numărul gradelor de libertate asociat, care este n L – 1: V TL
2
sTL =
n L − 1
Variaia cursului de schimb datorită interaciunii factorilor pe termen scurt şi pe termen lung (V TS+TL) se determină astfel: V TS + TL = n SL
nS
nL
∑ ∑ (c ij
− c i − c j + c )
2
i = 1 j = 1
Estimatorul varianei interaciunii factorilor pe termen scurt şi pe termen lung se determină împărind variaia TS+TL la numărul gradelor de libertate asociat, care este (nS – 1) (n L – 1): 2
sTS +TL =
V TS +TL
(nS − 1)(n L − 1)
Variaia reziduală (V ε), ce cuantifică influena factorilor aleatori asupra cursului de schimb, se calculează astfel: V ε =
nS
n L n SL
∑ ∑ ∑ (c ijk
− c ij )
2
i = 1 j = 1 k = 1
Estimatorul varianei reziduale se determină împărind variaia reziduală la numărul gradelor de libertate asociat, care este nS + n L + (nSL – 1): 2
sε =
V ε nS + n L + (nSL − 1)
Valorile variaiilor şi ale estimatorilor, calculate pe baza celor trei eşantioane de date sunt date în tabelul 7.8:
104
Sursa variaiei
Componentele variaiei totale
Tabelul 8 Estimatorii varianelor
Grade de libertate
Factorul pe termen V TS = 64865730 scurt Factorul pe termen V TL = 3179174 lung Interaciunea dintre V TS+TL = 42947881 factori V ε = 3160300 Variaia reziduală V T = 114153085 Variaia totală
s 2TS = 32432865
2 4
S
2 TL
= 794793
8
s2TS+TL = 5368485
15 29
s 2ε = 210686 2 S T = 3936313
Pornind de la valorile variaiilor şi ale estimatorilor varianelor aferente, se trece la formularea şi testarea ipotezelor din cadrul analizei bifactoriale cu interaciune între factori. Ipotezele pentru ANOVA bifactorială cu interaciune între factori sunt în număr de trei, şi anume: 1. Ipoteza nulă conform căreia toate mediile de tip ci sunt egale, cu ipoteza contrară că cel puin o medie de acest tip este diferită de celelalte: H 0: c1 = … = ci = … = cn
S
2. Ipoteza nulă conform căreia toate mediile de tip c j sunt egale, cu ipoteza contrară că cel puin o medie de acest tip este diferită de celelalte: H 0: c1 = … = c j = … = cn
L
3. Ipoteza nulă conform căreia toate mediile de tip cij sunt egale, cu ipoteza contrară că cel puin o medie de acest tip este diferită de celelalte: H 0: c11 = c12 = … = c1n = c21 = c22 = … = cn
S n L
L
Primele două ipoteze se testează cu ajutorul testului Fisher, considerând la numărătorul raportului F al acestui test o estimaie a variaiei explicată pe
105
seama factorului pe termen scurt, respectiv, pe termen lung, iar la numitor estimatorul varianei intragrupe (sε 2). Pentru cea de-a treia ipoteză, se foloseşte valoarea testului F , calculată ca raport între estimatorul varianei interaciunii dintre factorii pe termen scurt şi pe termen lung, şi estimatorul varianei intragrupe (sε 2). Pentru prima ipoteză nulă, calculul valorii F a testului Fisher se face cu relaia: F TS =
2 sTS 2
sε
Valoarea obinută este F TS = 153,938. Această valoare calculată se compară cu valoarea tabelară (critică) F critic = 3,682 care a fost aleasă din tabelele repartiiei Fisher. În urma comparaiei, rezultă că F TS este mult mai mare decât F critic, adică ipoteza nulă se respinge şi se trage concluzia că factorul pe termen scurt influenează semnificativ fluctuaiile cursului de schimb. Pentru a doua ipoteză nulă, valoarea F a testului Fisher se determină cu relaia: 2
F TL =
sTL 2
sε
Valoarea obinută este F TL = 3,772. Această valoare calculată se compară cu valoarea tabelară F critic = 3,055 care a fost aleasă din tabelele repartiiei Fisher. În urma comparaiei, se observă că F TL este cu puin mai mare decât F critic , deci ipoteza nulă se respinge şi spunem că şi factorul pe termen lung influenează semnificativ fluctuaiile cursului de schimb. Se poate vedea, însă că pe termen lung, fluctuaiile cursului sunt mult mai slabe, deci riscul aferent este mult mai mic decât pe termen scurt. Pentru a treia ipoteză nulă, valoarea F a testului Fisher se calculează astfel: 2
F TS +TL =
sTS +TL 2
sε
106
Valoarea calculată este F TS+TL = 25,480 şi se compară cu valoarea tabelară F critic = 2,640. În urma comparaiei, rezultă că F TS+TL este mai mare decât F critic, deci ipoteza nulă se respinge şi se trage concluzia că interaciunea dintre factorii pe termen scurt şi termen lung influenează semnificativ fluctuaiile cursului de schimb. O primă concluzie care se poate trage din rezultatele testării celor trei ipoteze este aceea că toi factorii de influenă, atât pe termen scurt, cât şi pe termen lung, precum şi interaciunea dintre aceştia au influene semnificative asupra fluctuaiilor cursului de schimb al leului, ceea ce înseamnă că acesta prezintă un grad destul de mare de volatilitate pentru fiecare factor temporal analizat. În al doilea rând, se observă că pentru factorul pe termen scurt apare cea mai mare diferenă între valoarea calculată şi cea critică, ceea ce înseamnă că pe termen scurt fluctuaiile şi, în consecină, riscul sunt cele mai mari. Altfel spus, volatilitatea pe termen scurt a cursului leului este relativ ridicată. A treia concluzie este că pe termen lung, această volatilitate se atenuează foarte mult, diferena dintre valoarea calculată şi cea tabelară fiind practic nesemnificativă. Înseamnă că, pe termen lung, operaiunile valutare care implică leul românesc au un risc redus şi că operatorii de pe piaa valutară trebuie să aibă încredere pe termen lung în moneda noastră naională. În fine, interaciunea dintre factorii pe termen scurt şi pe termen lung are şi ea o oarecare influenă, aceasta fiind însă şi ea destul de slabă, diferena dintre F calculat şi F critic fiind destul de mică, ceea ce înseamnă că influenele pe termen scurt şi cele pe termen lung se intercondiionează într-o măsură destul de scăzută. În principiu, se poate, deci, spune că, în perioada studiată, a existat un anumit grad de risc valutar aferent tranzaciilor internaionale care au implicat utilizarea leului, care a acionat atât pe termen scurt, cât şi pe termen mediu şi lung. De aceea, riscul valutar constituie, încă, un factor perturbator al activităii exportatorilor şi importatorilor români. Acest lucru se întâmplă, însă, într-o măsură mult mai mică decât în anii anteriori, ceea ce arată o stabilizare semnificativă a pieei valutare din România. Concluzia finală este că variaiile cursului de schimb al leului generează un risc valutar moderat, îndeosebi pe termen scurt. Acest risc este datorat în cea mai mare măsură condiiilor interne, ceea ce face ca tranzaciile internaionale ce implică utilizarea leului să aibă un anumit grad de nesigurană, atât pentru operatorii români, cât şi pentru cei străini. Trebuie, totuşi, subliniat că aceeaşi evoluie arată foarte limpede că aprecierea continuă a leului, controlată într-o anumită măsură de Banca Naională a României, nu este suficientă. Este necesară finalizarea restructurării economiei româneşti şi orientarea acesteia şi 107
mai pregnant spre economia mondială. Cursul de schimb al leului reprezintă o pârghie importantă de reglare a comerului exterior românesc, care trebuie însă completată şi cu alte elemente stimulatoare, care să integreze armonios spaiul economico–social românesc în cel european şi mondial. Elementele specifice ale modelelor construite de-a lungul acestui capitol fac ca utilizarea lor în modelarea dinamicii cursului de schimb al leului să fie diferită. Modelele bazate pe influena parametrilor economiei româneşti sunt mai eficiente pentru perioadele normale, caracterizate de o evoluie a cursului lipsită de fluctuaii majore, în timp ce modelele de cuantificare a efectului în timp sunt mai indicate pentru perioadele de criză, de fluctuaii accentuate ale cursului. Oricare ar fi însă mărimea decalajului în timp a analizei, modelele respective trebuie utilizate pentru previziuni pe termen relativ scurt, având în vedere că ele, de fapt, extrapolează anumite concluzii bazate pe evoluia anterioară, ceea ce înseamnă că orice modificare semnificativă în condiiile iniiale duce la distorsionarea modelului. Faă de alte metode de cercetare a cursurilor valutare, metodele cantitative, bazate pe instrumente matematice şi statistice, aduc elemente noi de caracterizare, care altfel nu ar fi putut fi puse în eviden ă, fapt care a constituit motivaia principală a orientării studiului întreprins spre utilizarea modelelor econometrice ale cursului valutar al leului. Problematica modelării variabilelor economice este extrem de complexă, elementele specifice procesului de tranziie adăugându-i noi dimensiuni, neputându-se astfel formula concluzii cu caracter definitiv. Se poate, însă, aprecia că modelele econometrice aduc un aport ştiinific, teoretic şi operaional semnificativ în vederea susinerii unor decizii atât la nivel micro, cât şi la nivel macroeconomic.
108
