Cours Econometrie Finance R1 Part 2

ćonom etrie ´trie de la finance (2008/2009) Arthur CHARPENTIER - e econom e

´ nom´ Eco Econom´ etr ie de la fina etrie finance nce Partie 2 Mod´ eliser les rendem eliser rendements ents bo boursiers ursiers Arthur Charpentier

http ://perso ://perso.univ-ren .univ-rennes1.fr/ nes1.fr/arthur.ch arthur.charpentie arpentier/ r/ blog.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/

Master 1, Université Rennes 1


Plan du cours Manageemnt emnt • Mesurer les risques, une introduction au Risk Manage ◦ Mes Mesure urerr les risques risques ? ◦ Value-at-Risk Contexte xte régelem ege lementai entaire re ◦ Conte elise r des rendem rendements ents bou boursiers rsiers • Modéliser ◦ Que cherche-t-on a` mo mod´ déliser elis er ? ◦ Aspects marginaux, aspects dynamiques ◦ Processus ARCH et GARCH ◦ Processus à volat volatilit´ ilité sto stochast chastique ique ◦ Du rendement d’un titre au rendement d’un portefeuille • Re Reto tour ur ` a la VaR Estimation ion de la Value-a alue-at-Risk, t-Risk, un mot de théorie eorie des extrêmes emes ◦ Estimat ◦ Estimation de la Value-at-Risk pour des processus GARCH


Que doit-on mod´ eliser ? eliser Taussig (1921) notait que le niveau de fixation des prix ne peut peu t se résumer esumer a` une interaction entre l’offre et la demande : les fluctuations des prix sont errati err atique ques, s, imprévisible evis ibles. s. “Is market price price determinate determinate ? ”. ? ”. Sa répone epo ne est non, et il faut introduire de l’incertitude, en tenant aussi compte de la psychologie des acteurs (rumeurs, phases d’euphorie...). Working (1934) et Slutsky (1937) ont ainsi noté une analogie analo gie entre les évolu evolutio tions ns de séries er ies écon econom omiqu iques es et les les série eriess de nombr nombres es aléato eatoir ires es (éventue eventuell llem ement ent cumul´ cumulées ees pour po ur les les pri p rix). x). Working (1934) propose trois types de modèles eles pour les prix, X t = X t−1 + σεt où (εt ) est i.i.d. (0, (0, 1), X t = X t−1 + σt εt où (εt ) est i.i.d. (0, (0, 1), X t = X t−1 + σt ηt o` u (ηt ) est i.i.d., X t = X t−1 + σt ηt o` u (ηt ) est une différence erence de martingale. marti ngale.

• • • •

N N


Que doit-on mod´ eliser ? eliser On peut alors s’intéroger, eroge r, comme Cowles & Jones (1937),


Que doit-on mod´ eliser ? eliser Ce hasa hasard rd semble semble être et re lié a` l’information dont disposent les agents. Pour repr re pren endre dre l’id´ l’i dée ee de Working (1958) (1958),, l’information est à l’origine des fluctuations. Au lieu de travailler sur les prix des actions, Osborne (1959) propose de travailler sur le logarithme des prix.



La modélisation elisation qu’il retient r etient est directement issue des travaux travaux de Gibbs sur les équilibres equilibres des particules. Il propose ainsi que log P t suive un mouvement brownien. En étudi etudiant ant davantage davanta ge de série eries, s, Alexander (1964) note qu’il convient de rajouter une tendance, et donc log P t = µt + W t . Pour être etre enco encore re plus plu s précis, ec is, Houthakker (1961) écrit


Un autre point poi nt noté par Kendall (1953) est qu’en plus de ce hasard observé pour chaques actions, il existe une “d´ “ dépen pendance ” ce ” non négligeable eglige able entre les actions action s (en notant que les prix au sein d’un même eme secteur d’activit´ d’activ ité pouvaient parfois parfoi s évoluer evoluer fortement forte ment ensemble). Il convenait donc d’avoir une modélisation elisat ion mult multiva ivarriée ad´ adéquat qu ate. e.


Prix Pr ix et re rentab ntabili ilit´ t´ e Soit P t le prix d’un actif à la date t. Definition 1. Les incréme em ents des prix entre les dates t ∆t = P t

− 1 et t est

− P t

−1 .

Peut de monde utilise cette grandeur. Pourtant c’est cette grandeur qui a du sens si on suppose que les prix suivent suivent une marche aléatoire. eatoire. ren ntabilité e (nette) entre les dates t Definition 2. La re Rt =

P t

− P t

P t−1

−1

.

− 1 et t est


Prix Pr ix et re rentab ntabili ilit´ t´ e Remark 3. Nous traduirons le terme return par ren enta tabi bili lit´ té, qui est une traduction plus correcte de rendement rendement..

− k + 1 et t est alors Rt (k) = (1 + Rt ) · (1 + Rt 1 ) · ... · (1 + Rt

Le rentabilité entre les dates t

−

−k+1 )

−1

Remark 4. Le plus souvent, une “ renta rentabil bilit´ ité de 20 20% %” correspondra à un ren rentab ta bilité e annuel de 20% 20%..


Prix Pr ix et re rentab ntabili ilit´ t´ e Il est aussi possible d’annualiser d’annualiser les rentabilit´ rentabilités es sur plusieurs années ees afin de les comparer,





k−1

A(Rt(k)) =

1/k

(1 + Rt−i )

i=0

−1∼

1 k

k−1



Rt−j ,

i=0

si les rentabilités es sont faibles faible s (développement evelopp ement de Taylor a` l’ordre 1). Pour un porte po rtefeu feuille ille,, com compo pos´ sé des quantit´ qua ntités es actifs, actif s, a pour rentabilité

α

= (α1 ,...,αn ) dans chacun des

n

Rα,t =

 i=1

αi Ri,t .


Prix Pr ix et re rentab ntabili ilit´ t´ e Remark 5. Nous utiliserons utilise rons dans ce cours cette d´ efinition efinit ion de la rentabilité. e. En r´ ealit´ ealité, e, il convient de prendre prendre en compte les dividendes dividen des versés. es. En effet, le ren rentab ta bilité e Rt doit doit vérifi er ifier er

·

(1 + Rt ) P t−1 = P t + Dt , soit Rt =

P t + Dt P t−1

−1=

P t + P t−1 P t−1

+

Dt P t−1

     

renta ren tabi bili lit´ t´ e ”pure”

taux de dividend dividende e

Mai s puisque Mais puis que la définito efin iton n de la rentabili renta bilit´ té est impact´ impa ctée ee par l’unit´ l’un ité de temps, tem ps, il convient de prendre en compte un taux continu


Prix Pr ix et re rentab ntabili ilit´ t´ e Definition 6. La La log log-re -ren nta tabi bili lit´ té e (ou taux continu) à la date t est le logarithme de la rent rentabi abili lit´ té bru brut, t, 1 + Rt , rt = log(1 + Rt ) = log

  P t P t−1

= log P t

− log P t

−1

= pt

− pt

−1 ,

o` u pt = log P t . u Notons Noton s qu’au q u’au premier premie r ordre (rentabilit´ (rentabili tés es proches pro ches de d e 0), ces deux définitions efinitio ns sont équiva qu ivale lent ntes es



rt = log(1 + Rt ) = log 1 +

P t

− P t

−1

P t−1

∼

P t

− P t

P t−1

−1

= Rt .

Le rentabili renta bilit´ té sur plusieur plus ieurss périod eri odes es s’écrit ecr it alo alors rs simplem simp lement ent rt (k) = =

log(1 + Rt (k)) log Rt + log(1 + Rt−1 ) + ... + log(1 + Rt−k+1 )

= rt + rt−1 + ...rt−k+1


Prix Pr ix et re rentab ntabili ilit´ t´ e Malheureusement, Malheur eusement, le log-rentabilit´ log-r entabilité d’un portefeui por tefeuille lle est plus compliqu´ compliq ué à exprimer (le logarithme d’une somme n’´ etant etant pas la somme des logarithmes), log arithmes), n

 

rα,t =

i=1

αi ri,t .


Mod´ Mo d´ elisati elisation on des march´ es es financier finan ciers, s, les rendem rendements ents


Mod´ Mo d´ elisati elisation on des march´ es es financier finan ciers, s, les rendem rendements ents


Incréments des prix

0 0 5

0 0 0 6

0 0 0 5 0

0 0 0 4

0 0 5 −

0 0 0 3

0 0 0 2 0 0 0 1 −

1990

1995

2000

2005

1990

1995

Rentabilités des prix

2000

2005

Log rendements des prix

1 . 0

1 . 0

0 . 0

0 . 0

1 . 0 −

1 . 0 −

2 . 0 − 2 . 0 −

1990

1995

2000

2005

1990

1995

2000

2005


Portefeuille et indices

• indice CAC40 - Cotati Cot ation on Assist´ Ass istée ee en Continu Conti nu - calcul´ cal culé a` partir par tir d’un échantillo echanti llon n • • • • • • •

de 40 valeurs cotées ees en France, rance , indice SBF120 (voire 250), 25 0), bas´ e sur 120 ou 250 titres indice FTSE 100, 100, regroupant les 100 plus grosses capitalisations de la bourse de Londres indice Nikkei225 , regroupant les 100 plus grosses capitalisations japonaise indice Dax Dax,, indice indi ce de réf´ eférence ere nce en Allemag Alle magne, ne, indice Dow Jones (cré´ eé par Charles Charle s Dow et Edouard Edouar d Jones en 1884 1884)) regroupe regr oupe les 30 plus grosses gro sses capitalisations américaines ericaines en dehors du secteur des nouvelles technologies, indice Nasdaq repr´ rep résente ese nte les valeurs technolo techn ologiq giques ues américai eri caines nes.. Indice Indi ce très es hét´ etérog` ero gène, ene , on peut pe ut y trouver tro uver de très es fortes for tes capita cap italisa lisatio tions ns (Micros (Mic rosoft oft,, Go Googl ogle) e) mais aussi de beaucoup plus modestes indice SP500 calculé par Standard Standar d & Poor’s, porte por te sur 500 valeurs cotées ees au New York Stock Exchange.


Portefeuille et indices Un indice est plus complexe comple xe qu’un simple portefeui por tefeuille lle : les pond´ pon dérations erati ons évoluent evoluent sans cesse dans le temps (indice de Laspeyres Laspeyres). ). La valeur de l’indice à la date t vérifie N t i,t+1 i=1 αi,t P i,t+1 V t+1 = V t , N t i,t i=1 αi,t P i,t

· 

où αi,t est le nombre total d’actions d’acti ons émises emises par la socit´ soc ité i a` la date t, de telle sorte que αi,t P i,t esig es igne ne la ca capi pita tali lisa sati tion on bours oursi` ière er e de la soci´ so ciét´ eté i. i,t d´

·

En cas d’augm d’a ugmentat entation ion de capita cap itall d’une d’un e soci´ so ciét´ eté j , le nombre total d’actions passe de αj,t à αj,t (1 + δ ), ), on crée ee une discontinui disc ontinuit´ té dans la capita cap italisa lisatio tion n boursi` bo ursière. ere . Afin d’éviter eviter cette discontinuité, e, et de garder garde r une condition conditi on d’autofinancem d’autofi nancement ent N t

 i=1

N t

αi,t+ i,t+ε P i,t i,t =

 i=1

αi,t P i,t i,t ,


Portefeuille et indices on effectue un a justement de toutes les capitalisations, ca pitalisations, en consid´ erant, erant, au lieu de αi,t N t i,t i=1 αi,t P i,t αi,t αj,t (1 + δ )P i,t + α P i,t i,t i =j i,t i,t

 

×

Aussi, le poids de j augemente au sein de l’indice, et le poids des autres diminue. Si cette condition d’autofinancement est satisfaite on par le de por orte tefe feui uille lle fe ferm´ rmé (closed end fund ). fund ). Sinon on parle de portefeuille ouvert (open end fund ), fund ), comme le sont la plupart des SICAV. Même em e si le porte or tefe feui uill llee est es t ferm´ fe rmé, e, il peut eu t énor enorm´ mément em ent vari´ varié, e, 21 novembre 2003, Arcelor remplace Orange, 1er octobre 2004, Publicis remplace Aventis, 3 janvier 2003, GdF remplace Casino, 19 décembre ecembre 2005, EdF remplace rempla ce TF1,... Le 1er décembre ece mbre 200 2003, 3, le CAC40 a adopt´ ado pté le système eme de cap capita italisa lisatio tion n bo boursi` ursière ere flottante : un titre ne peut pas dépasser epasser 15% du poids total du CAC 40. Le

• • • •


CAC40 CAC40 a égal eg alem ement ent suppr sup prim´ imé le pr princ incip ipee Mère/ er e/Fi Fill llee, ayant pour vocation d’évit eviter er qu’u qu’une ne soci´ so ciét´ eté co cot´ tée ee déten et enant ant des des filia filiale less co cot´ tées ee s ne trus tr uste tent nt la comp co mpos osit itio ion n du CAC 40 40.. Ai Ainsi nsi,, une soci´ so ciét´ eté dite dit e soci´ so ciét´ eté fille (car (ca r contrl´ contr lée ee par une so ciété dite société mère ) e ) vo voyait yait son poids dans l’indice limité à la part non détenue nue par la so ciété mère. titre

flottant

av avant

apr` es

d´ d´ efinitif

variation

Total

1,00

12,09

15,013

15,00

+2 + 24,09%

BNP Paribas

0,95

5,87

6.931

6.93

+18,00%

Aventis

0,90

5,33

5, 5 ,954

5,96

11,79%

So ci´ et´ e G´ en´ erale

1,00

4.05

5.025

5.03

+24,21%

France Te1ecom

0,50

7,15

4,438

4,44

-37,89%

Sanofi

0.60

3.15

4.270

4.27

+35.51 %

Axa

0,80

3,91

3,888

3,89

-0,63%

L’Or´ eal

0,50

5,79

3,596

3,60

-37,89%

Vivendi Universal

1,00

2,84

3,527

3,53

24,21%

Danone

1,00

2,46

3, 3,054

3,05

24,21%

LVMH

0,55

3,90

2, 2,661

2,66

-31,68%

Alcatel

1,00

1,94

2,404

2,40

+24,21 %

Tab. 1 – Composition du CAC40 au passage à la capitalisatio capita lisation n boursi` bour sière ere flottante. Pour l’indice CAC40, la composition au 13 février evrier et au 15 septembre 2006 2 006 était etait


la suivante, 13/02

15/09

13.61%

13.96%

21

13/02

15/09

Veolia Environ

1.76%

1.71%

1

Total SA

2

Sanofi-Aventis

9.69%

10 1 0.19%

22

Vinci

1.63%

1. 1 .71%

3

BNP Paribas

7.03%

6.56%

23

Perno d-Ricard SA

1.46%

1.39%

4

Societe Generale

5.73%

5.51%

24

Dexia CC

1.44%

1.42%

5

Axa SA

5.22%

5.92%

25

Bouygues SA

1.38%

1.29%

6

Suez SA

4.16%

3.86%

26

Accor SA

1.22%

1.14%

7

France Telecom

3.94%

4.55%

27

EDF

1.17%

1.08%

8

Vivendi Univers

3.42%

3.69%

28

STMicroelectron

1.10%

1.18%

9

Group e Danone

2.77%

2.21%

29

Lagardere

1.07%

1.05%

10

Carrefour SA

2.71%

2.90%

30

Euro Aero Def Sp

1.06%

1.13%

11

LVMH

2.36%

2.46%

31

Peugeot SA

0.96%

0.98%

12

Credit Agricole

2.31%

2.90%

32

Michelin

0.91%

0.81%

13

L’Oreal

2.31%

2.48%

33

Essilor Intl

0.87%

0.86%

14

Saint Gobain

2.27%

2.10%

34

AGF Assurances

0.85%

0.87%

15

Schneider Electr

2.22%

2.07%

35

PPR

0.80%

0.81%

16

Arcelor

2.14%

1.14%

36

Gaz de France

0.61%

0.59%

17

Air Liquide

2.13%

2.17%

37

Publicis Group e

0.57%

0.56%

18

Alcatel

1.98%

1.70%

38

Cap Gemini SA

0.54%

0.52%

19

Renault SA

1.95%

1.63%

39

Thomson

0.46%

0.60%

20

Lafarge

1.80%

1.61%

40

Thales (Alstom)

0.42%

0.87%

Tab. 2 – Composition du CAC40, 13 février evrier et 15 septembre 2006.


Rentabili Renta bilit´ t´ e et tau taux x de change Dans le cas d’indice étranger, etran ger, la rentabilité “réel le ” e ” doit inclure un éventuel eventuel taux de change. Soit et le taux de change au comptant (prix en monnaie domestique euro euro - d’une d’u ne unit´ uni té de devis devisee étra etrang` ngère ere - yen). yen) . Soit Soi t P te est le prix en yens des actifs financiers, le prix en euros est alors P t = et P te . La rentabili renta bilit´ té “réel le ”, e ”, en monnaie domestique (en euros) est alors

×

P t rt = log = P t−1

log

et et−1

      rentabil renta bilit´ it´ e en euros eur os

rentabilit´ rentabil it´ e du taux de change

+

P te log e P t−1

  

rentabil renta bilit´ it´ e en yens


Normalit´ e des rende rendements ments ?

{ · · · , xn }, et notons x1:n 1:n , · · · , xn:n la statistique

Cons Co nsid´ idéron er onss un échant ech antil illo lon n x1 , d’ordr d’o rdree assoc ass oci´ iée, ee, i.e. i.e .

{ · · · , xn } ≤ x2:n 2:n ≤ · · · ≤ xn

x1:n 1:n = min x1 ,

−1:n 1:n

≤ xn:n = max{x1 , · · · , xn}



On peut pe ut définir efini r la fonctio fonction n de répartition eparti tion empiri empirique que F Fn , 1 F Fn (x) = n



n

 i=1

1(xi

≤ x)

Cette fonction est une fonction en escalier,

   F F n (x) =

{ · · · , xn}

0 pour x < x1:n 1:n = min x1 , i n

∈ [xi:n , xi+1:n +1:n ) 1 pour x > xn:n = max{x1 , · · · , xn } pour x


Cette fonction peut être etre utilise pour tester la normalité. e. On peut se demander si L

X = µ + σZ o` u Z

(0, 1). 1). ∼ N (0,

Ceci se formalise sous la forme suivante

   − F ( F (x) = Φ

x

µ

σ

pour tout x

∈ R,

ou de ma mani` nière er e équi eq uivale valente nte



F F −1 (u) = µ + σ Φ−1 (u) pour tout u

∈ [0, [0, 1]. 1].

Ces deux conditions conditi ons peuvent sécrire ecrir e i F ( F (xi:n ) = = Φ n

   

ou de ma mani` nière er e équi eq uivale valente nte F F −1

i n

 −  xi:n µ σ

= X i:n = µ + σ Φ−1

pour i = 1, 2,

i n

· · · , n,

pour i = 1, 2,

· · · , n.


Les nuages de points



 

i ; Φ (xi:n ) n

et

X i:n ; Φ−1

  i n

,

s’appelle respectivement PP plot et QQ plot. plot.

5 5 . 0

2

e u q i r o é h t é t i l i b a b o r P

0 5 . 0

e u q i r o é h t

e l i t n a u Q

5 4 . 0

1

0

1 −

2 −

0 4 . 0

0.0

0.2

0.4

0.6

Probabilité empirique

0.8

1.0

−0.2

−0.1 Quantile empirique

0.0

0.1


De la normalit´ e des rendements rende ments



Comme F Fn est une fonction en escalier, elle n’est pas d´ erivable, erivable, et donc elle ne permet per met pas vraiment vraime nt d’obtenir d’o btenir la densité. e. L’histogramme permet d’obtenir, à partir d’un grille de discr´ L’histogramme etisation etisation de R une estimation estima tion de la densité : soit a = (ai ) une suite strictement croissante, et posons



f f a,n (x) =

1 n(ak+1

n



)), − ak ) i=1 1(X i ∈ [ak , ak+1 )),

∈

o k est tel que x [ak , ak+1 ). Plus Plu s gén´ enéral eralem ement, ent, on peut pe ut co consi nsid´ dérer er er un histogramme glissant, glissant, de pas h > 0, en posant 1 f fh,n h,n (x) = nh



n

 i=1

1(X i

∈ [x − h, x + h)). )).

Enfin, cette technique peut se gén´ enéraliser eralis er en introduisant introdu isant un noyau noyau,, c’est à dire


 

une fonction K telle que

R

K (ω )dω = 1,

  −   → N   

1 f fh,n h,n (x) = nh

→

→∞

n

K

i=1

X i

x

h

.

Notons que si h 0 et nh , alors f fh,n ,n (x) est un estimateur h asymptotiquement convergent, avec

√

 

nh f fh,n ,n (x) h

f (x) − f (

L

K 2 (ω )dω .

0, f ( f (x)

R

Plusie Plu sieurs urs noyaux noyau x peuvent euvent tre tr e co cons nsid´ idér´ erés, es, le noyau rectangulaire rectangulaire,, K (ω ) = 1( ω 1)/ 1)/2, le noyau triangulaire triangulaire,, K (ω) = (1 x )1( ω 1), le noyau Epanechnikov Epanechnikov,, K (ω ) = 3(1 ω 2 )1( ω 1)/ 1)/4, le noyau Gaussien Gaussien,, K (ω ) = exp( ω2 /2)/ 2)/ 2π .

• • • •

| |≤ −| | | |≤ − √ | | ≤ −

plot(density(reg$re plot(density( reg$residuals siduals,kerne ,kernel l = c("rec c("rectangula tangular"))) r"))) plot(density( plot(de nsity(reg$re reg$residuals siduals,kerne ,kernel l = c("triangular c("triangular"))) "))) plot(density( plot(de nsity(reg$re reg$residuals siduals,kerne ,kernel l = c("gau c("gaussian") ssian"))) ))


plot(density( plot(de nsity(reg$re reg$residuals siduals,kerne ,kernel l = c("epa c("epanechnik nechnikov"))) ov")))

• si h est grand, faible variance, mais biais important • si h est petit, faible biais, mais variance importante 6 . 0

6 . 0

5 . 0

5 . 0

4 . 0

4 . 0

3 . 0

3 . 0

2 . 0

2 . 0

1 . 0

1 . 0

0 . 0

0 . 0

−4

−2

0

2

4

−4

−2

0

2

4



8 1 . 0

1 . 0

6

0 . 0

0 . 0 s e l i t n a u Q e l p m a S

y t i s n e 4 D 1 . 0 −

1 . 0 −

2

2 . 0 −

2 . 0 −

0

1 990

1 9 95

20 00

2 005

−0.2

− 0. 1

0.0

0 .1

−3

−2

−1

0

1

2

3

1

2

3

Theoretical Quantiles


8

1 . 0

1 . 0

6

0 . 0

0 . 0

s e l i t n a u Q e l p 1 . m 0 a − S

y t i s n e D 4

1 . 0 −

2 2 . 0 −

2 . 0 −

0

1 990

1 9 95

20 00

2 005

−0.3

−0.2

−0.1

0.0

0.1

−3

−2

−1

0 Theoretical Quantiles


Ajuster une loi aux rendements La méthode ethode du maximum de vraisemblance consiste co nsiste a` chercher

 n

 θ

·

{ L | · · · , xn)} = argmin

= argmin log (θ x1 ,

où f θ ( ) est la densit´ dens ité de X .

i=1



log f θ (xi )

On peut ainsi tenter d’ajuster d’a juster une loi de Student aux rendements rendem ents centr´ c entrés es réduits. eduits. > cac <- read.table(" read.table("http:// http://perso. perso.univ-r univ-rennes1 ennes1.fr/art .fr/arthur.ch hur.charpent arpentier/cac ier/cac-H.csv -H.csv", ", header=TRUE,sep=",") > n <- nr nrow ow(c (cac ac); ); ca cac c <- ca cac[ c[n: n:1, 1,] ] > time <- strpti strptime(as. me(as.charact character(cac er(cac$Date) $Date),"%Y-% ,"%Y-%m-%d") m-%d") > cac <- ca cac$ c$Ad Adj. j.Cl Clos ose e > dcac <- dif diff(l f(log( og(cac cac)) )) > dcac dcac0 0 = (dc (dcac ac - mea mean(dc n(dcac)) ac))/sd /sd(dc (dcac) ac) > res = opt optimi imize( ze(fun functi ction(x on(x){){-sum sum(lo (log(d g(dt(d t(dcac cac0, 0, x))) x)))}, }, low lower er = 2, upp upper er = 50) > res $minimum [1] 15. 15.510 51084 84


$objective [1] 313 313.33 .3353 53

5 1 3 −

e c n a l b m e s i a r v g o L

0 2 3 −

5 2 3 −

0 3 3 −

5 3 3 −

10

20

30

Nombre de degrés de liberté

40


Tes este terr la no norm rmal alit´ ité Le test de Kolmogorov Smirnov permet de tester l’ajustement d’un loi normale (0, (0, 0.062 ) pour po ur les résidus, esi dus,

N

> cac <- read.t read.table(" able("http:// http://perso. perso.univ-r univ-rennes1 ennes1.fr/art .fr/arthur.ch hur.charpent arpentier/cac ier/cac-H.csv -H.csv", ", header=TRUE,sep=",") > n <- nr nrow ow(c (cac ac); ); ca cac c <- ca cac[ c[n: n:1, 1,] ] > time <- strpti strptime(as. me(as.charact character(cac er(cac$Date) $Date),"%Y-% ,"%Y-%m-%d") m-%d") > cac <- dif diff(l f(log( og(cac cac)) )) > dcac <- log(ca log(cac[2:n] c[2:n])-log(c )-log(cac[1:( ac[1:(n-1)]) n-1)]) > sd(d sd(dcac cac) ) [1] 0.0591 0.05912175 2175 > ks.t ks.test est(dc (dcac, ac, "pn "pnorm orm", ", 0,0 0,0.06 .06) ) One-sample One-sa mple Kolmogo Kolmogorov-Sm rov-Smirnov irnov test data da ta: :

dcac dc ac

D = 0. 0.09 0946 46, , pp-va valu lue e = 0.0 0.0371 3711 1 alternative alterna tive hypoth hypothesis: esis: two-sid two-sided ed


Rappelons que le test de Kolmogorov Smirnov est basé sur la statistique D = sup x∈R



F F (x)

  −   F F n (x)

le théor` eorème eme de Glivenko-C Glive nko-Cantel antelli li garantis gar antissant sant que sup

x∈R

lorsque n

→ ∞, si F  est effectivement la vraie loie.

,

F F (x)

  −   −→ F Fn (x)

p.s.

0


Tes este terr la no norm rmal alit´ ité Mais formellement ce n’est pas un test de normalité, e, i.e. la loi des résidus esidus est-elle norma normale le ? > shapiro shapiro.test( .test(dcac) dcac) Shapiro-Wilk Shapir o-Wilk normali normality ty test data: data : dc dcac ac W = 0. 0.96 9605 05, , pp-va valu lue e = 7.6 7.609e 09e-0 -06 6 > library library(norte (nortest) st) > ad.test ad.test(dcac) (dcac)

Anderson-Dar Anders on-Darling ling normal normality ity test data: data : dc dcac ac A = 1. 1.80 8012 12, , pp-va valu lue e = 0.0 0.0001 00128 280 0

Ces tests sont techniques, et sont détaill´ etail lés es dans les livres des statistiques. statist iques.


Le test de Cr Cram am´ér-vo er -vonn-Mi Mise sess repose sur



∞

2

nW = n

[F ( F (x)

−∞

− F (x)]2dF (x)

soit, en pratique

 n

où F  est la loi théorique eorique que l’on cherche cherche a` tester, i.e. Φ. > cvm.tes cvm.test(dcac t(dcac) ) Cramer Cra mer-vo -von n Mis Mises es nor normal mality ity tes test t data: data : dc dcac ac W = 0. 0.32 3212 12, , pp-va valu lue e = 0.0 0.0001 00187 873 3 > pearson pearson.test( .test(dcac) dcac) Pearso Pea rson n chi chi-sq -square uare nor normal mality ity tes test t data da ta: :

dcac dc ac



− − F (xi:n) 2 ,

1 2i 1 2 T = nW = + 12n 12 n i=1 2n


P = 25 25.2 .206 063, 3, pp-va valu lue e = 0. 0.047 04724 24

Le test de Jarque-Bera repose sur JB =

n 6



S 2 +

(K

2

− 3) 4



,

où n est le nombre nombr e de degr´ deg rés es de libert´ lib ertés, es, S est la skewness empirique, et K la kurtosis empirique, µ3 µ3 S = 3 = = 3/2 2 σ (σ ) µ4 µ4 K = 4 = 2 = 2 σ (σ ) Sous H 0 (no (n orma rm alit´ li té), e) , J B > library library(tseri (tseries) es) > jarque. jarque.bera.t bera.test(dc est(dcac) ac)

∼ χ2(2).

    1 n

1 n

1 n

1 n

− x¯)3 3/2 2 n ¯) i=1 (xi − x n 4 − ( x x ¯ ) i i=1 2 n 2 ¯) i=1 (xi − x n i=1

(xi

 


Jarque Jar que Ber Bera a Tes Test t data: data : dc dcac ac X-squ X-s quar ared ed = 66 66.8 .828 283, 3, df = 2, pp-va valu lue e = 3. 3.10 109e 9e-1 -15 5


Le ren rendem demen entt mo moy yen ? La premi` première ere question question que l’on peut p eut se poser est de savoir savoir si les rendemen rendements ts sont sont de moyenn moyennee nulle nulle,, ou pas ?



On peut utiliser un test de Student pour tester H 0 : µ = 0 contre H 0 : µ = 0. La statistique de test est

 

√ T = nX

V ar( ar (X )

∼ S t(n − 1) sous H 0.


Incréments des prix

0 0 0 6

0 5 0 0 0 5

0 0 0 4

0

0 0 0 3 0 5 − 0 0 0 2

1990

1995

2000

2005

1990

1995


2 0 . 0

1 0 . 0

1 0 . 0

0 0 . 0

0 0 . 0

1 0 . 0 −

1 0 . 0 −

2 0 . 0 −

2 0 . 0 −

1995

2000

2005


2 0 . 0

1990

2000

2005

1990

1995

2000

2005


 ± √ − 

1.97 L’intervalle de confiance à 95% est ici X V ar( ar (X ). ). n 1 On notera que la statistique T est très es proche pro che du ratio de Sharpe. Sharpe. Par exemple un ratio rat io de Sharpe Shar pe estim´ est imé sur une pério eri o de d’un an devra devr a être etr e supérieur eri eur a` 2 pour qu’on puisse dire que l’esp´ erance erance du rendement de la stratégie egie (ou du titre) se distingue significativement du taux sans risque.


La vol volat atil ilit´ ité ? La volatilit´ volat ilité est l’écarteca rt-type type annualis´ annua lisé des rendem ren dements. ents. Cette Cet te mesure mes ure est cens´ cen sé quantifier l’incertitude l’incer titude associ´ asso ciée ee a` l’évolutio evolu tion n des rendem ren dements. ents. Il faut distinguer la vo vola lati tili li´é in inst staant ntan ann´ née ; la vol volat atili´ ilié his histo tori rique que,, observée ee sur une période erio de plus ou moins longue, et la volat vol atil ili´ ié im impli plicit citee. On peut aussi parfois entendre parler de vol volat atil ili´ ié fo forwa rward rd pouva vant nt être inte nterprétée comme la volatilit´ volatilité attendue pour le futur ou encore la volat volatili´ ilié con conditi ditione onelle lle Attention Les volatili volat ilit´ tés es sont calcul´ cal culées ees sur les rendem ren dements ents a` un horizon temporel donné . e . Formelle orm ellement, ment, on consi` con sière ere des volatlili volat lilit´ tés es σh lors que les rendements sont calcul´ cal culés es entre les dates dat es t et t + h. Cett Ce ttee prop pr opri ri´ét´ eté est es t li´ liée ee a` des effets effe ts d’échelle. echel le. En


effet, le log-rendement sur un horizon de h sécrit

       

R(t, t + h) = log = lo g

P t+h P t+h P t+h−1 = log P t P t+h−1 P t+h−2 P t+h P t+h−1 + log + P t+h−1 P t+h−2

· · · P P t+1t

· · · + log

h−1

=

  

R(t + i, t + h + i)

i=0

Aussi, si les rendements sont i.i.d. alors

σh2

=

hσ12 ,

soit σh

√ =σ h 1

P t+1 P t


8 0 . 0

é t i l i t a l o V

6 0 . 0

4 0 . 0

2 0 . 0

Volatlilité glissante Volatlité en 2004

0 0 . 0

0

2

4

6

8

Horizon (jours)

ese de rendements rendem ents i.i.d. ⇒ on peut difficilement croire a` l’hypothèse

=

10




Esti Es timer mer la vola volatil tilit´ it´ e Avant de parler de pro proces cessus sus de volat volatili ilit´ té, on peut eut déj` eja` essayer d’estimer la vola vo lati tili lit´ té a` une date t donnée. RiskMetriocs de JPMorgan a proposé d’utiliser un estimateur de type moy moyenne enne mobile a` poids exponentiels, EWMA - exponential weighted moving average . L’estimatio L’esti mation n de la volatilité a` la date t est σt2+1 = β σt2 + [1

∈

β ]Rt2+1 ,

  −   −  −  − − − ··· −

où β ]0, ]0, 1[ est un coefficient de lissage. Pour l’interprétation etation en terme de moyenne mobile, notons que σt2+1



= β β σt2−1 + [1 = β [1 [1

= β h [1

β ]−1 Rt2 + [1

β ]−1 Rt2 + [1

β ]−1 Rt2+1 + β 2 σt2−1

β ]−1 Rt2−h+1 +

o` u, u, pour rappel, [1

−1

− β ]

β ]−1 Rt2+1

+ β [1 [1

= 1 + β + β + β 2 +

β ]−1 Rt2 + [1

···

− β ]

−1

Rt2+1 + β h+1 σt2−1




Plus β est proche de 0, 0 , plus on attribue a ttribue de poids aux dernières eres observations. observations. RiskMetrics recommande λ = 97% pour les rendements mensuels, et 94% pour les rendements journaliers.



4 1 . 0

80%

2 1 . 0

95% 99%

0 1 . 0

8 0 . 0

6 0 . 0

4 0 . 0

2 0 . 0

1990

1995

2000

2005

1990

1995

2000

2005

1 . 0

0 . 0

1 . 0 −

2 . 0 −


oture le jour t ◦ P t le prix de clôture ◦ M t le prix maximal maxima l observé le jour t, M t = max{P s , s ∈ [t − 1, t]}, ◦ Lt le prix minimal minima l observé le jour t, M t = min{P s , s ∈ [t − 1, t]}, ◦ Ot le prix d’ouverture le jour t,

Pour l’inst l’i nstant ant,, nous nous avions avio ns co consi nsid´ dér´ eré

      − −    •         · · σt =

t

1

h

1

log

n=t−h

P n P n−1

1 où µt désigne esi gne une moyenne glissa gli ssante, nte, µt = h

2

1 2

µt

t

log

n=t−h

,

P n . P n−1

Rogers & Satchell (1991)

σt =

1 h

t

log

n=t−h

• Parkinson (1980)

M n M n log On P n

+ log

Ln Ln log On P n

1 2

,


         − − − σt =

1 4h log2

t

log

n=t−h

M n Ln

 2

1 2

,

• Garman & Klass (1980) σt =

(...etc).

0.51 h 1

t

log

n=t−h

M n Ln

2

0.39 h 1

 t

log

n=t−h

P n P n−1

 2

1 2

,


Esti Es timer mer la vola volatil tilit´ it´ e 0 1 . 0 5 0 . 0 0 0 . 0

0 1 .

0 −

mars

6 . 0

4 . 0

mai

juil.

sept.

nov.

mai

juil.

sept.

nov.

historique Riskmetrics (EWMA) Roger & Satchell Parkinson Garman & Klass

2 . 0

0 . 0

mars


Evolution du cours de l’action AGF

Log−rendement de l’action AGF

0 1 . 0 5 2

5 0 . 0 0 2

0 0 . 0 5 1

5 0 . 0 − 0 1

0 1 . 0 −

2003

s e u q i r i p m e s e l i t n a u Q

2004

2005

2006

2003

2004

2005

2006

Date

Date

QQ plot: test de normalité, log−rendement AGF

Densité du log−rendement de l’action AGF

0 1 . 0

0 4

5 0 . 0

0 3

0 0 . 0

0 2

Volatilité 0.02164 skewness 0.24792

5 0 . 0 −

kurtosis 7.99128

0 1

0 1 . 0 −

0

−3

−2

−1

0

1

Quantiles théoriques

2

3

−0.10

−0.05

0.00

0.05

0.10


Evolution du cours de l’action BNP−Paribas

Log−rendement de l’action BNP−Paribas

0 7 0 1 . 0 0 6 5 0 . 0

0 5

0 0 . 0

5 0 . 0 −

0 4

0 1 . 0 −

0 3

2002

2003

2004

2005

2002

2003

2004

2005

Date

Date

QQ plot: test de normalité, log−rendement BNP

Densité du log−rendement de l’action BNP Paribas

0 1 . 0

5 2

Volatilité 0.02009 skewness −0.05774


5 0 . 0

0 2

kurtosis 8.95401 5 1

0 0 . 0

0 1

5 0 . 0 −

5

0 1 . 0 −

0

−3

−2

−1

0

1


2

3

−0.10

−0.05

0.00

0.05

0.10


Evolution du cours de l’action Société Générale

0 0 1

Log−rendement de l’action Société Générale

0 1 . 0

0 9 5 0 . 0

0 8

0 0 . 0

0 7

0 6

5 0 . 0 −

0 5

0 1 . 0 −

0 4

2002

2003

2004

2005

2002

2003

Date

2004

2005

Date

QQ plot: test de normalité, log−rendement SG

Densité du log−rendement de l’action Société Générale 0 3

0 1 . 0

Volatilité 0.02137 5 2


5 0 . 0

0 2

0 0 . 0

skewness 0.06702 kurtosis 8.15187

5 1

0 1

5 0 . 0 −

5

0 1 . 0 −

0

−3

−2

−1

0

1


2

3

−0.10

−0.05

0.00

0.05

0.10


Evolution du cours de l’action Carrefour

Log−rendement de l’action Carrefour 0 1 . 0

0 6

5 5

5 0 . 0

0 5

0 0 .

5 4

0

0 4 5 0 . 0 −

5 3

0 3

0 1 . 0 −

2002

2003

2004

2005

2002

2003

Date

2004

2005

Date

QQ plot: test de normalité, log−rendement Carrefour 0 1 . 0

Densité du log−rendement de l’action Carrefour 0 3

Volatilité 0.01889


5 2

5 0 . 0

skewness −0.02021

0 2

0 0 . 0

kurtosis 6.84964

5 1

0 1

5 0 . 0 −

5

0 1 . 0 −

0

−3

−2

−1

0

1


2

3

−0.10

−0.05

0.00

0.05

0 . 10


Evolution du cours de l’action Air Liquide

Log−rendement de l’action Air Liquide

0 6 1

5 0 . 0

0 5 1

0 4 1

0 0 . 0

0 3 1

0 2 1

5 0 . 0 −

0 1 1

0 0 1

2002

2003

2004

2005

2002

2003

Date

QQ plot: test de normalité, log−rendement Air Liquide

2005

Densité du log−rendement de l’action Air Liquide

Volatilité 0.01623

0 3

5 0 . 0 s e u q i r i p m e s e l i t n a u Q

2004 Date

skewness −0.19341

5 2

kurtosis 6.6504

0 2

0 0 . 0

5 1

0 1

5 0 . 0 −

5

0

−3

−2

−1

0

1


2

3

−0.10

−0.0 5

0.00

0.05


Evolution du cours de l’action TF1

Log−rendement de l’action TF1 0 1 . 0

5 3

5 0 . 0 0 3

0 0 . 0

5 2

5 0 . 0 −

0 1 . 0 −

0 2

2002

2003

2004

2005

2002

2003

Date

QQ plot: test de normalité, log−rendement TF1

2005

Densité du log−rendement de l’action TF1 5 2

0 1 . 0


2004 Date

Volatilité 0.02201 0 2

5 0 . 0

5 1

skewness 0.1507 kurtosis 5.89332

0 0 . 0 0 1

5 0 . 0 −

5

0 1 . 0 −

0

−3

−2

−1

0

1


2

3

−0.10

−0.05

0.0 0

0.05

0.10


Quelq Que lque uess fai faits ts styl stylis´ is´ es es (1) Les processus ( p ( pt ) sont non-stationnaires : les trajectoires de prix sont gén´ enéralle era llement ment proches pro ches d’une d’un e marche mar che aléatoir eat oiree sans terme ter me consta con stant. nt. Et, en revanche, les séries eries des rentabilités es ont des trajectoi tra jectoires res compatibles compa tibles avec la stationnarit´ statio nnarité au second ordre. ordre . (2) Autocorr´ Auto corrélations elatio ns des carrés es des variations ariat ions des prix : les faibles auto autoco corr´ rrélat elatio ions ns de la série er ie (rt ) la rendent proche d’un bruit blanc (sauf pour des rentabili renta bilit´ tés es définis efini s sur des périod eri odes es très es courte cou rtes, s, de l’ordr l’o rdree d’une d’un e vingtai ving taine ne de minut mi nutes es)) Néanm ea nmoi ois, s, la série er ie rt2 est souvent fortement forte ment corrél´ elée. ee. Ce qui n’est pas compatible compa tible avec une hypothèse ese de bruit blanc.




Quelq Que lque uess fai faits ts styl stylis´ is´ es es (3) Queues de distribution distrib ution épaisses epaisse s : les l es distributions distribu tions empiriques empiri ques des séries eries des rentabili renta bilit´ tés, es, on s’ape s’a per¸ r¸coit coi t que l’hypoth` l’hyp othèse ese de normal nor malit´ ité est rejet´ rej etée. ee. En partic par ticulie ulier, r, au niveau des queues, la décroissance ecrois sance est gén´ enérallement eralle ment plus faible que dans le cas gaussien, i.e. en exp x2 /2 . On parle alors de distribution leptokurtique. leptokurtique.

− 

(4) Volatility clustering (regroupem regroupemen entt des extrˆ extrêmes eme s )) : empiriquement, de fortes valeurs, ou de fortes variations, tendent à être etre suivies par d’autres d’autre s grandes grande s variations. (5) Queues épaisses epaisse s conditionelles conditi onelles : souvent, même eme une fois corrig´ corri gées ees de la volatility clustering (en (en utilisant utilis ant des mod` modèles eles de type GARCH , par exemple ), exemple ), les série er iess ont des des résidu esiduss poss´ po ssédant edant enco encore re des des queue que uess épai epaiss sses es (même eme si cela est est moins important que la distribution non conditionelle, i.e. la distribution des renta ren tabi bili lit´ tés ). es ).


Quelq Que lque uess fa faits its styl stylis´ is´ ese ese


Quelq Que lque uess fai faits ts styl stylis´ is´ es es (6) Effet de levier : cette cet te propri´ pro priét´ eté, e, notée ee par Brock Bro ck en 197 19766 repose rep ose sur l’observation l’obse rvation du fait qu’il existe une asymétrie etrie entre l’impact l’impa ct des valeurs passées ees positives pos itives et des valeurs passées ees négatives. egatives. Les baisses de cours tendent à provoquer un accroisseme accro issement nt de la volatilité supérieure erieur e a` celui induit par une hausse du cours, de même eme amplitude. amplit ude. (7) Sai Sa iso sonn nnal aliit´ e : la volatilit´ volat ilité tend ten d a` augmenter lorsque les marchés es ferment ferme nt (week week end en d ou jour jourss féri´ er iés ). es ). On parle alors d’accumulation d’information. (8) As Asym´ ym´ etri etrie e perte erte/ga /gain in : ormis dans le cas des taux de change, il y a gén´ enéralement erale ment asymétrie etrie de la distribution distribu tion : il y a plus de mouvements forts a` la baisse qu’à la hausse.


Prise en compte de l’aspect dynamique 0 0 6 3

0 0 0 6

0 0 4 3

0 0 0 5

0 0 2 3

0 0 0 3

0 0 0 4

0 0 8 2

0 0 0 3

0 0 6 2

0 0 0 2

0 0 4 2

1990

1995

2000

2005

janv.

mars

mai

juil.

sept.

nov.

janv.


Prise en compte de l’aspect dynamique

0 0 4 3

0 7 3 3

0 5 3 3 0 6 3 3

0 0 3 3

0 5 2 3

0 5 3 3

0 0 2 3 0 4 3 3

0 5 1 3

oct. 05

oct. 10

oct. 15

oct. 20

oct. 25

oct. 30

10:00

12:00

14:00

16:00

18:00


La notion d’efficience Mise en évidenc evid encee dans les annéees eee s 60 par Fama, Fama, prolonge la notion classique de “marché pur et parfait parfait ”” du XI XIX` Xème em e siècle ec le : “un march´ e financi financier er est dit efficient si et seulement si l’ensemble des informations disponibles concernant chaque actif financier ct´ e est imm´ ediatement int´ ediatement egr´ egr´ e dans le prix de cet actif ”. ”. Assumption 7. Le march´ e est efficient, efficient , c’est à dire que l’ensemble des informations pertinentes à l’´ evaluation evaluation des actifs financiers, disponible disponible à la date t, est est reflét´ eté dans dan s le prix pri x ` a la date t. Aussi, tous les év` evènements enements anticipés es sont inclus dans les prix : seuls les év` evènements ene ments impr´ imp révisibl evi sibles es peuvent pe uvent influenc influ encer er les prix. pri x. Autreme Autr ement nt dit “dans les marchés es effici efficient ents, s, les prix des act actifs ifs ctés es ion iont` t` egrent les prix de tel egrent telle le manière ere qu’un investisseur ne n e puisse, en achetant ou ve vedant dant cet actif, en r´ ealiser un pr ealiser profit ofit certain ”. ”.


Roberts(1967) Roberts(1967) a distingu´ e trois notions d’information (efficience faible )l’informatio )l’info rmation n est constitu´ constit uée ee de l’historique l’histo rique de prix passés, es, (efficien efficience ce semif semiforte orte)) l’information est constituée ee de toute l’information connue par n’importe quel acteur (information publique), (efficience forte) forte) l’information est constituée ee de toute l’information connue par au moins un acteur (information (inform ation privée). ee). Plusie Plu sieurs urs hypot hyp oth` hèses eses doivent doivent être et re vérifi´ erifiée ee pour po ur test tester er l’hypo l’hy poth` thèse ese d’effi d’effici cien ence ce : rationalit´ ratio nalité des investisseurs, libre circulation circula tion de l’informatio l’infor mation, n, accessibilit´ access ibilité a` tous, fiabilité, e, absence de cots de transaction, transa ction, pas de problèmes emes liés es au manque de liqu li quid idit it´é... e. ..

• • •


Remark 8. Paradoxe de Grossmann & Stiglitz : parfois un initié ne peut profiter d’un avantage avantag e informationnel informat ionnel,, car alors al ors il r´ ev` evèlerait elerait son information informat ion priv privil´ ilégi´ egiées ees par ses ses inte intent ntion ions. s. Si cett ce ttee hyp hypoth` ot hèse est vérifi er ifi´ée, il impossible imp ossible de prévoir evoir de manière ere certaine certa ine l’évolution evolution des prix, ou des rentabili renta bilit´ tés es de titres, titr es, les prix des actifs ne peuvent s’écarter ecarter de manière ere durable de leur “valeur fondamentale ” En formal for malisa isant, nt, on a la loi des espérance era ncess itér´ erées ees : si I J ,

• •

⊂

|

| |

E(X I ) = E(E(X J ) I )


Pr´ edict ctiibil ilit it´ ´ e et prop oprri´ et´ e de mar arttingal ale e

Les prix des actifs actif s doivent refléter eter les espérances eranc es de revenus futurs auquels ils donnent droit : “les “les prix ne sont fonction que des anticipations rationnelles faites par les investisseurs de leurs revenus futurs ”. futurs ”. Case 9. Une filtration ( t ) est une suite croissante de σ -alg` -algèbre, eb re, i.e. i. e. s t

F

F ∪ F


F

| | ∞ pour

pour tout s < t. Un processus (X t ) est une ( t )-martingale si E X t < tout t, et E(X t s ) = X s .

|F

Cette hypothèse ese d’efficience d’effici ence se traduit tradui t par une hypothèse ese de martingale, martin gale, Definition 10. Le marché est effici efficient ent si (P t ) est une martingale, i.e.

|

E(P t+1 P t , P t−1 , ... ....) = E(P t+1

|F t) = P t.

On notera εt l’erreur l’erre ur de prévision evision (conditionell (condi tionelle), e), i.e. εt = P t+1

− E(P t+1 |P t, P t

...), −1 , ....

|

en notant que E(εt+1 P t , P t−1 , .... ...) = 0. Aussi, le prix à la date t + 1 peut pe ut s’écri ecrire re P t+1 = P t + εt . Example 11. Le cas le plus simple est celui de la ma marche rche aléato eatoire ire , o` u u P t+1 = P t + εt , o` u u (εt ) est une suite de variables i.i.d., i.i.d. ,


o` u u E(εt ) = 0 et V ar( ar (εt ) = σ 2 Example 12. Pour Po ur gén´ enérali era lise serr l’ex l’ exem empl plee pr´ préc´ ecédan ed ant, t, on peut peut consi con sid´ dérer erer le modèles ` a a in incr cr´ émen em ents ts in ind´ dépend epe ndan ants ts ,, o` u u P t+1 = P t + εt , o` u u (εt ) est une suite de variables variabl es indépendantes ependantes , o` u u E(εt ) = 0. Remark 13. Si les prix sont des martingales, il peut y avoir de la d´ ependanc ependance e (dynamique) (dynami que) pour les le s moments d’ordre d’ordre supérieurs erieurs à a 1 : la persistance de la volatilit´ volatil ité est compatible compatible avec la repr´ représentation esentat ion martingales martinga les des prix d’actions. d’actio ns. L’hypoth` L’h ypothèse ese de marche aléatoire eato ire est elle el le plus plu s restricti restri ctive ve et exige exi ge des propriét´ etés es d’in d’ ind´ dépen ependance da nce.. Fama (1965) constatait qu’une forte rentabilité avait souvent tendance à être etre suivie s uivie par une autre forte f orte volailit´ volaili t´ e. e. Mais les signes sont aléatoires. eatoires. Ceci ne permet pas de d e rejeter l’hypoth` ese ese de martingale, marting ale, mais s’oppose a ` l’hypot l’hypoth` hèse ese de marche march e aléatoire. eat oire. En fait, plusieurs formulations de l’efficience sont possibles, par exemple


martingales , c’est à dire • les prix des titres sont des martingales, E(P t |F t 1 ) = P t 1 ou E(P t − P t 1 |F t ee sur les anticipations pures, • une approche basée P t − P t 1 F E = r0,t , t 1 P t 1 −

−



•

−

−

−1 )

= 0.

  −

−

o` u r0,t est le taux d’un placement sans risque à court terme. l’hypothèse ese d’absence d’absenc e d’opportuni d’opp ortunit´ té d’arbitrage d’arbit rage : les prix actualis´ actua lisés es par le taux court sont des martingales, sous une probabilité Q (équi eq uivale valente nte à P la probab pro babilit´ ilité histori hist orique que), ), EQ



P t

− P t

P t−1

• les les log l og-r -rent entab abili ilit´ tés es rt sont i.i.d. i.i.d.,, soit

−1

 F  t−1

= r0,t ,

pt = µ + pt−1 + εt o` u (εt ) est i.i.d. i.i. d. centré, e,

• les innovations εt = rt − E(rt|F t

−1 )

sont indépenda ep endants nts (mais (ma is pas forc´ for cément eme nt


i.d.) (rappelons que cette ind´ i.d.) ependance ependance se traduit par C ov( ov(f ( f (εt ), g (εt−h )) = 0 pour tout h = 0, et pour toutes fonctions f et g). Il est alors possible d’avoir des pério eri o des de fortes for tes et des pérdio erd iode de de faible fai ble volatilit´ volat ilité, e, les innovations εt = rt E(rt t−1 ) sont so nt nonno n-co corrrél´ elées, ee s, C ov( ov(εt , εt−h ) = 0 pour tout h = 0 (ou non autoc auto corrélées). les prix sont des processus de Markov, i.e.



• •



−

|F

(P t

|F t

L

|

−1 ) = (P t P t−1 )


La propri´ eté de stationnarit´ e La premi` pre mière ere notion noti on de st stat atio ionn nnar arit´ ité peut se définir efinir de fa¸con con forte par une stabilité en loi du processus : quel que soit n, t1 ,...,tn et h, on a l’égal eg alit´ ité entre ent re les le s lois jointes L (Y t1 ,...,Y tn ) = (Y t1 +h ,...,Y tn +h ) Cette d´ efinition efinition toutefois peut être etre affaiblie : le processus est dit stationnaire au second ordre si la moyenne du processus est constante : E (Y t ) = m pour tout t Z les autocov auto covarianc ariances es ne dépendent epe ndent que de la différence erence entre les observations : cov (X t , X s ) = γ ( γ ( t s ) Cette Cet te derni` der nière ere propri´ pro priét´ eté implique impl ique en partic par ticulie ulierr que la variance varian ce de Y t est constante : V (Y t ) = σ 2 .

• •

∈

|−|

Si l’on considère ere les lois marginales margi nales (à t fixé) e) du proces pro cessus, sus, la statio sta tionna nnarit´ rité (forte (fo rte)) signifie une stabilité de la loi marginale m arginale : la loi de Y t et la loi de Y s sont identiques pour t = s. La stationnarité du second ordre correspond uniquement à une stabilité des deux premiers moments : E (Y t ) = E (Y s ) et V (Y t ) = V (Y s )






pour t = s. Dans ce cas, rien n’empˆ eche eche d’avoir des skewness et des kurtosis variables en fonction du temps. Si l’on considère ere la dépendance epe ndance temporelle temp orelle,, la stationnarit´ statio nnarité du second ordre suppose supp ose uniquement uniqueme nt une stabilit´ stabil ité de la corrélation elatio n (moment (mome nt d’ordre d’ ordre 2) : cov (X t , X t+h ) = cov (X s , X s+h ). La stationnarité au sens fort est beaucoup plus forte que cette condition sur le moment d’ordre 2, puisqu’elle suppose une stabilité de toutes les lois jointes : en particulier, cette ce tte condition implique l’égal egalit´ ité en loi loi des co coupl uples es (X t , X t+h ) et (X (X s , X s+h ). Sur les graphiques préc´ ecédants, eda nts, nous avons consid´ con sidér´ eré deux proces pro cessus sus dont les lois loi s margina mar ginales les reste res te constantes (X (X t (0, (0, 1) pour tout t), av avec ec une stationnarité au sens fort a` gauche (en particulier la loi (X (X t , X t+h ) est égal eg alee a` la loi de (X (X s , X s+h )), et une stationnarit´ statio nnarité au second ordre a` droite (en particulier, partic ulier, on a uniquement uniqueme nt égalit´ egalité des covariances cov (X t , X t+h ) = cov (X s , X s+h ))

∼ N


La propri´ eté de stationnarit´ e Série stationnaire (sens fort),ylim=c(−3,3)

Série stationnaire (sens faible) 3

3

2

2

1

1

0

0

−1

−1

−2

−2

−3

−3

0

0 0 5

0 0 0 1

0 0 5 1

0 0 0 2

0 0 5 2

0.7

0.7

0.7

0.6

0.6

0.6

0.5

0.5

0.5

0.4

0.4

0.4

0.3

0.3

0.3

0.2

0.2

0.2

0.1

0.1

0.1

0.0

0.0 3 −

2 −

1 −

0

1

2

3

0 0 0 3

0

0.0 3 −

2 −

1 −

0

1

2

3

0 0 5

0 0 0 1

2 −

1 −

0

1

2

3

0 0 0 2

0 0 5 2

0.5

0.5

0.5

0.4

0.4

0.4

0.3

0.3

0.3

0.2

0.2

0.2

0.1

0.1

0.1

0.0 3 −

0 0 5 1

0.0 3 −

2 −

1 −

0

1

2

3

0 0 0 3

0.0 3 −

2 −

1 −

0

1

2

3

3 −

2 −

1 −

0

1

2

3


La propri´ eté de stationnarit´ e Série stationnaire (sens faible)

Série stationnaire (sens fort)

3

3

2

2

1

1

0

0

−1

−1

−2

−2

−3

−3 0

0 0 5

0 0 0 1

0 0 5 1

0 0 0 2

0 0 5 2

0 0 0 3

0

0 0 5

0 0 0 1

0 0 5 1

0 0 0 2

0 0 5 2

4

4

4

4

4

4

2

2

2

2

2

2

0

0

0

0

0

0

−2

−2

−2

−2

−2

−2

−4

−4 4 −

2 −

0

2

4

−4 4 −

2 −

0

2

4

−4 4 −

2 −

0

2

4

−4 4 −

2 −

0

2

4

0 0 0 3

−4 4 −

2 −

0

2

4

4 −

2 −

0

2

4


La pr prop opri´ ri´ et´ et´ e de pr pro oce cess ssus us de Mar Markov kov La pr proopr pri´ iété de Ma Marrkov correspond a` l’id´ l’i dée ee que l’on l’o n souha souhait itee résume esu merr l’information contenue contenue dans les variables passées ees du processus pro cessus par un nombre fini de variables (les (les variabl vari ables es d’état eta t ). ). Dans le cas le plus simple, on souhaite que les variables d’état etat soient des valeurs retard´ retar dées ees du processus pro cessus : toute l’informatio l’infor mation n est e st contenue dans les k valeurs les plus récentes ece ntes L

|

|

(X t X t−1 , X t−2 , X t−3 ,...) ,...) = (X t X t−1 ,...,X t−k ) , qui qui peut eut se ré´ eécri ec rire re,, a` l’ordre 1,

|

L

|

(X t X t−1 , X t−2 , X t−3 ,...) ,...) = (X t X t−1 ) . Il est possible de montrer que cette relation est équivalente equivalente à X t = g (X t−1 , εt ) , o` u (εt ) est un bruit blanc.


La pr prop opri´ ri´ et´ et´ e de pr pro oce cess ssus us de Mar Markov kov Toutefois, outefo is, cette théorie, eorie , visant a` chercher une fonction f telle que X t = f ( f (X t−1 , εt ) peut être etre difficile a` im impl´ plément em enter er.. En écon ec onom´ ométri et rie, e, on cherc che rche he une relation du type Y = g (X 1 ,...,X n , ε), permant d’expliquer une variable Y à l’aide l’a ide de variables variab les exog` exo gènes ene s X 1 ,..,X n . Cette fonction g étant etant a priori prior i difficile a` exhib exh iber, er, la méthod eth odee la plus simple sim ple est de consid´ con sidérer ere r le cas linéaire. eai re. De la même eme fa¸con, con, la théori eoriee des mo mod` dèles eles ARIMA vise à expliquer X t en fonction de son passé (et éventuel eventue l lement d’un bruit ), bruit ), de ma mani` nière er e lin´ linéair ea ire. e. Notons que certaines définitions efinitions sont plus fortes que d’autres, prop pr opri´ riét´ eté de ma mart rtin inga gale le = non-cor non- corr´ rélatio ela tion n des rentabili renta bilit´ tés es (mais (ma is la récipro eci proque que n’est n’es t pas vraie, vra ie, cf mo mod` dèles ele s ARCH), ARCH) , E(Rt ) = 0 et rentabilités es i.i.d. = prop pr opri´ riét´ eté de ma mart rtin inga gale le

• •

⇒

⇒


La pr prop opri´ ri´ et´ et´ e de pr pro oce cess ssus us de Mar Markov kov Remark 14. Ne pas confondre confon dre propriét´ eté de marting mart ingale ale et indépendance ependan ce : si rt = εt suit sui t un mod` ele ele ARCH(1) ARCH (1),i. ,i.e. e. E(εt

|F t

−1 )

= 0 et V ar( ar (εt

|F t

−1 )

= α + β εt2−1 ,

alors ( pt ) est une martingale, mais C or( or(rt2 , rt2−1 ) > 0 : les rentabilités es ne sont pas ind´ in dépend epe ndan ante tes. s. Remark 15. A cause de l’in´ l’i négalit´ egal ité de Jensen Jen sen,, on ne peut pas avoir avoi r en mˆ eme eme temps E(P t t−1 ) = P t−1 et E(log P t t−1 ) = log P t−1 .

|F

|F


Mod´ Mo d´ elisatio elisa tion n de dess s´ eriess st erie stati ationn onnai aire ress Definition 16. Pour une série erie stat station ionnaire naire (X t ) , on défini efi nitt la fonction d’autocovariance , pour tout t, par h

→ γ X (h) = cov (X t, X t

−h )

= E (X t X t−h )

− E (X t) .E (X t

−h ) .

Definition 17. Pour une série erie stat station ionnaire naire (X t ) , on défini efi nitt la fonction d’au d’ autocor tocorr´ rélat el atio ion n , pour tout t, par h

→ ρX (h) = corr (X t, X t

−h ) =

cov (X t , X t−h ) γ X (h) = . γ (0) V (X t ) V (X t−h ) X

 

−

Cette fonction ρX (.) est a` valeurs dans [ 1, +1], et ρX (0) = 1. On appelera mat matric ricee d’aut d ’autoo cor corr´ rélatio ela tion n du vecteur (X (X t , X t−1 ,...,X t−h+1 ) la


matrice

R (h)

R (h) =

soit

   

− 1) ρ (h − 2) ρ (h − 3)

1

ρ (1)

ρ (2)

ρ (1 )

1

ρ (1)

ρ (2)

ρ (1 )

1

..

.

..

..

.

..

..

.

1

ρ (1)

ρ (1 )

1

ρ (h

R (h) =

− 1)

  

ρ (h

− 2)

ρ (h

ρ (h

.

− 3)

R (h − 1) ρ (h

− 1) · · ·

ρ (1)



 

ρ (h

.

− 1)

.. .

ρ (1) 1

    

   

Definition 18. U n processus (εt ) sera appe ppel´ lé e bruit blanc (faible) s’il est


stat st atio ionn nnai aire, re, cen centr´ tré et no nonn-au autocor tocorr´ rél´ elé : E (εt ) = 0, V (εt ) = σ 2 et ρε (h) = 0 pour h = 0.



On parlera parler a de bruit blanc fort s’il est indépendant epe ndant et identiquement identiqueme nt distribu´ di stribué (i.i.d.) i.i.d.) : la notion d’indépendance epen dance est plus forte que la nullité des autocorrélations, elations, et le fait que le processus soit identiquement identiquement distribu´ e est plus fort que la stabilité des deux premiers moments. Definition 19. Soit (X t ) un processus stationnaire de fonction d’autocovariance γ X (.), la de dens nsit´ ité spect spectrale rale de (X t ) s’écrit 1 f X (ω ) = 2π



γ X (h)exp( )exp(iωh iωh)) .

h∈Z

Proposition 20. Récip ec iproque roqueme ment nt,, si f X (.) est la den densit´ sité spectr spectrale ale de (X t ) alors



+π

γ X (h) =

−π

f X (ω )exp( )exp(iωh iωh)) dω.


Example 21. Un bruit blanc (εt ) est carac caract´ téris´ ri sé par par

 

γ ε (0) = V (εt ) = σ 2



γ ε (h) = 0, pour h = 0,

Alors sa densit´ dens ité spectrale spectrale est donnée ee par σ2 f ε (ω ) = (= constante). 2π


Les pro proces cessus sus auto autor´ r´ egr essifs egress ifs Definition 22. Un processus (X t ) sera dit auto autor´ régressif egress if à l’ordre 1 si X t = µ + φX t−1 + εt ,

∈ R et (ε)t est un bruit blanc de variance σ2 . • si φ = ±1, le processus (X (X t ) n’est pas stationnaire o` u µ, ϕ u

Par exemple, pour φ = 1, X t = X t−1 + εt peut eu t s’écri ec rire re X t 2

− X t

−h

= εt + εt−1 + ... + εt−h+1 ,

et donc E (X t X t−h ) = hσ 2 . Or pour un processus stationnaire, il est possible 2 de montrer que E (X t X t−h ) 4V (X t ). Puisqu’il est impossible que pour tout h, hσ 2 4V (X t ), le processus n’est pas stationnaire.

−

−

≤

≤ Si |φ|  = 1, il existe un unique processus stationnaire tel que X t − φX t pour tout t ∈ Z, ou (1 − φL) φL) X t = εt . • si |φ| < 1 alors on peut inverser le polynôme. ome.

−1

= εt


Aussi, ∞

X t = (1

−1

φL) − φL)

εt =



φi εt−i (en fonction du pass´ e de (εt ) ).

i=0

ome. • si |φ| < 1 alors on peut inverser le polynôme. X t =

−

− 

1 F 1 φ

1 F φ

∞

−1

εt =

φ−i εt+i (futur de (ε (εt ) ).

i=1

La représentation esentatio n canonique canoniq ue est alors X t

 −

− φ1 X t

−1

= ηt , ∞

ηt = (1

−1

− φF ) φF ) (1 − φL) φL)

εt =

−φεt+1 +

 −  1

φ2

φi εt−i .

i=0

La fonctio fonc tion n d’auto d’a utocor corr´ rélatio ela tion n est donnée ee par ρ (h) = φh .

(1)


Simulated AR(1)

3

2

1

0

1 −

2 −

3 −

0

100

200

300

400

500

AR(1) partial autocorrelations

AR(1) autocorrelati autocorrelations ons 0 . 1

6 . 0

8 . 0

4 . 0

6 . 0

F C A l a i t r a P

F C A 4 . 0

2 . 0 0 . 0 2 . 0 − 4 . 0 −

2 . 0

6 . 0

−

0 . 0

0

10

20

30

40

Lag

Procesus AR(1) - X t = 0.4X t−1 + εt .

0

10

20 Lag

30

40


Simulated AR(1)

2

0

2 −

4 −

0

100

200

300

400

500



6 . 0

8 . 0

4 . 0

6 . 0

F C A l a i t r a P

F C A 4 . 0

2 . 0 0 . 0 2 . 0 − 4 . 0 −

2 . 0

6 . 0

−

0 . 0

0

10

20

30

40

Lag

Procesus AR(1) - X t = 0.7X t−1 + εt .

0

10

20 Lag

30

40


Simulated AR(1) 0 1

5

0

5 −

0 1 −

0

100

200

300

400

500



6 . 0

8 . 0

4 . 0

6 . 0

F C A l a i t r a P

F C A 4 . 0

2 . 0 0 . 0 2 . 0 − 4 . 0 −

2 . 0

6 . 0

−

0 . 0

0

10

20

30

40

Lag

Procesus AR(1) - X t = 0.9

0

10

20 Lag

− X t

−1

+ εt .

30

40


Simulated AR(1) 4

2

0

2 −

0

100

200

300

400

500



6 . 0 4 . 0

5 . 0 F C A l a i t r a P

F C A

0 . 0

2 . 0 0 . 0 2 . 0 − 4 . 0 − 6 . 0

−

5 . 0

−

0

10

20

30

40

Lag

Procesus AR(1) - X t =

0

10

20 Lag

−0.5X t

−1

+ εt .

30

40


Un processus AR (1), X t = φX t−1 + εt sera sera auto auto-c -cor orr´ rél´ elé posit ositivem ivement ent si 0 < φ < 1, et auto au toco corr rr´él´ elé négat eg ative iveme ment nt si 1 < φ < 0. Cette série erie va osciller oscille r autour de 0, en s’en écartant ecartant suivant suivant la valeur εt du processus d’innovation (si 1 < φ < +1). Si φ = +1, on obtient une marche aléatoire, eatoire, et si φ > +1 ou φ < 1 le processus n’est par stationnaire, stationnaire, et on obtient obtient un modèle ele qui explosera explosera (à moyen terme). La valeur φ, dans le cas o` u le processus est stationnaire, est la corr´ cor rélatio ela tion n entre deux dates dat es cons´ con sécutives ecu tives φ = corr (X t , X t−1 ).

−

−

−

AR (1 (1) ) :

  

Fonction Fonctio n d’auto d’a utocor corr´ r´ elat ion elation

Fonction d’autoc d’autocorr´ orr´ elation partielle elation

  

φ > 0

d´ ecroissance exponentielle ecroissance

φ < 0

sinuso sin uso¨ ¨ ıde amort amortie ie

premi` ere non nulle (signe = signe de ρ) ere toutes tout es nulle nulles s apr` es es

On appelle pro proces cessus sus aut autor´ orégressi egr essif f AR( AR( p) p) un processus stationnaire (X (X t ) vérifiant une relation du type p

X t

 − i=1

φi X t−i = εt pour tout t

∈ Z,

où les φi sont des réels eel s et (εt ) est un bruit blanc de variance σ 2 . (2) est

(2)


équiva qu ivale lent nt à l’écri ec ritu ture re Φ (L) X t = εt o` u Φ (L ) = I Alors

   

ρ (1) ρ (2) ρ (3)

. . . ρ (p − 1) ρ (p)

   

=

      

− φ1 L − ... − φ pL p .

1

ρ (1)

ρ (2)

.

.

ρ (p − 1)

. ρ (1)

1

ρ (1)

. ρ (2)

.

.

ρ (1)

1 .

. .

ρ (p − 1)

.

.

. . .

.

ρ (p − 2)

. . .

ρ (p − 3)

.

.

.

ρ (p − 3)

. . .

ρ (p − 2)

.

.

1

ρ (1)

ρ (1)

1

           

De plus les ρ(h) décroissent ecroi ssent exponentiellem expo nentiellement ent vers 0. La prévisi evi sion on a` l’aide des mo mod` dèles eles AR Le mo mod` dèle ele s’écri ec rit, t, quite qui te a` recentrer le processus, X t = φ1 X t−1 + ... + φ p X t− p + εt ou Φ(L Φ(L) X t = εt La prévision evis ion optima opt imale le a` la date T + 1, faite à la date T est

φ1 φ2 φ3

. . . φp−1 φp

   


∗

T X T +1 T +1

|

= E L (X T +1 ,...). Aussi, T +1 X T T , X T T −1 ,...). ∗

T X T +1 T +1

= φ1 X T T + ... + φ p X T T − p

car (ε (εt ) est l’innovation. De fa¸con con analogue, X T + T +h = φ1 X T + T +h−1 + ... + φ p X T + T +h− p + εT + T +h , et donc ∗ ,...) est donn´ don né, e, de fa¸con con récur ecursi sive ve par par T X T + T +h X T T , X T T −1 ,...) T +h = E L (X T + ∗ T X T + T +h =

 

|

∗ ∗ φ1 .T X T + T + ... + φ p X T + T +h− p pour h T +h−1 + ... + φh−1 .T X T +1 T +1 + φh X T ∗ ∗ φ1 .T X T + T +h−1 + ... + φ p .T X T + T +h− p pour h > p

On supposera là aussi que l’on s’est ramené a` un processus pro cessus centré (X t ), satisfaisant X t = εt + θ1 εt−1 + ... + θq εt−q = Θ (L) εt . La prévision evis ion optima opt imale le a` la date T + 1, faite à la date T est ∗ ,...) = E L (X T +1 ,...) car (εt ) est le T X T +1 T +1 X T T , X T T −1 ,...) T +1 εT , εT −1 ,...) T +1 = E L (X T +1

|

|

≤ p


processus d’innovation. Aussi, ∗

T X T +1 T +1

= 0 + θ1 εT + ... + θq εT +1 T +1−q

De fa¸con con analogue, X T + est esti estim´ mé par par T +h est ∗ ,...) = E L (X T + ,...), et donc T X T + T +h X T T , X T T −1 ,...) T +h εT , εT −1 ,...), T +h = E L (X T +

|

∗

T X T + T +h =

 

|

∗ θh .T X T + ... + θq X T + T +h−q pour h

0 pour h > q.

≤ q

(3)

Toute outefo fois is,, cett ce ttee métho et hode de présente esente le désavantag esavantagee d’est d’e stim imer er X T + ` partir des T +h a résidus esidus passés, es, a priori non observables, et non pas du passé de la variable. ariabl e. L’équa quation ti on X t = Θ (L) εt peut eu t se ré´ eécr ec rire ir e Θ−1 (L) X t = εt , soit ∞

X t =



k=1

∞

ak X t−k + εt et donc X t+h =



k=1

ak X t+h−k + εt+h pour tout h

≥0


∗ Aussi, T X T + eu t être et re écri ec ritt de fa¸ facon ço n itérat er ative ive T +h p eut

h−1 ∗

T X T + T +h

=



∞

∗ ak .T X T + T +h−k +

k=1



ak X t+h−k

k=h

Toutefois, un des probl` emes emes est que les (X t ) ne sont pas observés, es, en pratique, pratiqu e, pour t < 0. On utilise alors l’écriture ecrit ure suivante h−1

∞

X T + T +h =



ak X T + T +h−k + εt+h =

k=1



∞

ak X T + T +h−k +

k=1

    ak X T + T +h−k

+ εT + T +h ,

k=h

Reste d’une s´ erie erie ACV

où le reste de la série erie absolument convergente tend (au sens de L2 ) vers 0 quand T . On peut alors considérer, erer, quand T est suffisement grand que

→∞

h−1 ∗

T X T + T +h

=



k=1

T + T +h ∗ ak .T X T + T +h−k +



k=h

∞

ak X T + T +h−k +



ak X T + T +h−k ,

k=T + T +h+1

   N´ eglige egl igeabl able e (hyp.) (hyp. )


     ∞      − N       − N

∗ ∗ et on approxime T X T + X T + T +h par T X T +h

h−1

∗

X T + T X T +h

T + T +h

∗ ak .T X X T + T +h−k +

=

k=1

ak X T + T +h−k .

k=h

L’intervalle de confiance se fait à l’aide de la forme M A( ), T + T +h

∞

X T + T +h =

bi εT + T +h−i =

i=0

et donc

∞

bi εT + T +h−i +

i=0

bi εT + T +h−i ,

i=T + T +h+1

h

T ∆h

= X t+h

T

X T + X ∗ +h ≈ T

bi εT + T +h−i .

i=0

Sous Sous l’hyp l’hypot oth` hèse ese de norma nor mali lit´ té des des résidu esiduss (εt ), H 0 : εt i.i.d., εt ∼ h

T ∆h

= X t+h

T

∗

XT + X +h ∼ T

0, σ

2

b2i

i=0

,

0, σ 2 , alors


d’o` u l’intervalle de confiance pour X T + T +h au niveau 1

 

     h

∗

X T + T X T +h



−α

± u1

−α/2 α/2 .s

b2i ,

i=0

où les bi sont des estimateurs des coefficients de la forme moyenne mobile, et s est un estimateur de la variance du résidu. esidu. Considérons erons le processus pro cessus stationnaire statio nnaire (X t ), sous so us la form fo rmee gén´ enéral er alee X t = φ1 X t−1 + µ + εt .La .La prévisi evision on a` horizon 1, fait a` la date T , T , s’écrit ∗

T X T +1 T +1

|

= E (X T +1 T +1 X T T , X T T −1 ,...,X 1 ) = φ1 X T T + µ,

et de fa¸con con similaire ∗

T X T +2 T +2

∗ 2 = φ1T X T +1 + µ = φ [φ1 + 1] µ. T + [φ 1 X T T +1

De fa¸con co n plus plu s gén´ enéral erale, e, on obtie obtient nt récur ec ursive siveme ment nt la prévisi evision on a` horizon h, ∗

T X T + T +h

=

φh1 X T T

+



φh1 −1



+ ... + φ1 + 1 µ.

(4)


∗ On peut noter que quand h , T X T + φ1 ), la moyenne du T +h tend vers δ/ (1 processus X t . L’erreur L’err eur de prévision evision a` horizon h est est donn´ donnée ee par par

→∞

T ∆h

=

∗

T X T + T +h

= ... =

∗ T X T + T +h

−

∗

− X T + T +h =T X T + T +h T +h − [φ1 X T + −



−1



+ µ + εT + T +h ]



h−1 h−1 φh1 X T + ... + φ1 + 1 µ + εT + ε T + φ1 T +h + φ1 εT + T +h−1 + ... + φ1

d’o` u, en substituant (4), on obtient u, T ∆h

h−1 = εT + εT +1 T +h + φ1 εT + T +h−1 + ... + φ1 T +1 ,

qui poss` po ssède ede la variance varian ce

 

V V = 1 +

φ21

+

φ41

+ ... +

φ21h−2



σ 2 , où V (εt ) = σ 2 .

La variance de la prévision evision croit av avec ec l’horizon. Considérons erons le processus pro cessus stationnaire statio nnaire (X t ), sous so us la form fo rmee gén´ enéral er alee X t = µ + εt + θ1 εt−1


La prévisio evi sion n a` horizon 1, fait a` la date T , T , s’écrit ∗

T X T +1 T +1

|

= E (X T +1 T +1 X T T , X T T −1 ,...,X 1 ) = µ + θ1 εT

où εT est l’erreur de la derni` ere ere observation, observation, a` la date T . T . De fa¸con plus pl us générale, on obtient obt ient récursive ecu rsivement ment la prévision evis ion a` horizon h, ∗

T X T + T +h

|

= E (X T + T +h X T T , X T T −1 ,...,X 1 ) = E (µ + εT + T +h + θ1 εT + T +h−1 ) = µ

(5)

C’est à dire qu’à partir d’un horizon 2, la meilleure prévision evision est la moy moyenne enne du processus. pro cessus. L’erreur L’err eur de prévision evisio n a` horizon h est est donn´ donnée ee par T ∆h

dont la variance est

∗ =T X T + T +h

− X T + T +h = εT + T +h + θ1 εT + T +h

  

−1

V V = 1 + θ12 σ 2 o` u V (εt ) = σ 2

pour h



≥ 2. Sinon, pour h = 1, la variance est V V = θ12 σ2 .


Less pr Le prix ix,, un pr pro oces cessu suss int´ egr´ egr´ e? Il existe plusieurs formes de non-stationnarité, e, les le s série er iess intégrée, c’est à dire qu’en les différenciant erenc iant Y t = (1 L)X t , on obtient une série eri e statio sta tionna nnaire ire,, les le s série er iess tendance (lin´ (linéair ea ire) e) + série er ie st stat atio ionna nnair iree, X t = ∆t + Y t ,

• •

−


Less pr Le prix ix,, un pr pro oces cessu suss int´ egr´ egr´ e?

0

0

0 1 −

0 1 −

0 2 −

0 2 −

0 3 −

0 3 −

0 4 −

0 4 −

0 5 −

0 5 −

0

50

100

150

200

250

0

50

100

150

200

250


Less pr Le prix ix,, un pr pro oces cessu suss int´ egr´ egr´ e? 0 2

0 2

5 1

5 1

0 1

0 1

5

5

0

0

5 −

5 −

0 1 −

0 1 −

5 1 −

5 1 −

0

50

100

150

200

250

0

50

100

150

200

250


Tes este terr la pr´ esence esen ce d’ d’un une e rac racine ine un unit´ it´ e Le test de Dickey-Fuller (simple) (simple ) permet per met de tester l’hypoth` l’hypot hèse ese H 0 : le processus suit une marche aléatoire eatoi re contre l’hypothèse ese alternative alter native H a : le processus suit un modèle AR (1). Ces tests peuvent peu vent être etre regroup´ regro upés es en 4 cas : (1) Y t = ρY t−1 + εt : on teste H 0 : ρ = 1 (marche marche aléato eatoire ire sans sa ns dériv er ive e )) (2) Y t = α + ρY t−1 + εt : on teste H 0 : α = 0 et ρ = 1 (marche march e aléatoi eatoire re sans san s dérive ) e )



(3) Y t = α + ρY t−1 + εt : on teste H 0 : α = 0 et ρ = 1 (marche march e aléatoi eatoire re avec dérive ) e ) (4) Y t = α + β t + ρY t−1 + εt : on teste H 0 : α = 0, β = 0 et ρ = 1 (marche al´ aléato ea toire ire san sa ns dériv er ive e )) Le test de Dickey & Fuller, dans le cas (1), se construit comme un test de Sutdent Sutd ent de l’hypoth` l’hyp othèse ese ρ = 1, ou plutôt ot ρ 1 = 0. Etant donné l’estimateur l’estim ateur

−


naturel de ρ, on peut noter que

  −  ρ

1=

εt Y t−1 Y t−1

Le test de Dickey & Fuller augmenté permet per met de tester l’hypothèse ese H 0 : est int´ intégr´ eg ré d’or d’ordr dree au mo moin inss 1 H a : le processus pro cessus suit un mo mod` dèle ele AR ( p). p). Ces tests peuvent pe uvent être etr e regrou reg roup´ pés es en 4 cas : (1) Φ (L) Y t = εt : on teste H 0 : Φ (1) = 0 (2) Φ (L) Y t = α + εt : on teste H 0 : α = 0 et Φ(1) = 0



(3) Φ (L) Y t = α + εt : on teste H 0 : α = 0 et Φ(1) = 0 (4) Φ (L) Y t = α + β t + εt : on teste H 0 : α = 0, β = 0 et Φ(1) = 0 Ces 4 cas peuvent pe uvent être etr e ré´ eécrits ecr its en introduis intro duisant ant les notati not ations ons suivantes, suivantes ,

−   p−1

Φ (L) = Φ (1) (1) + (1

∗

− L) Φ

(L) = Φ (1) (1)

αi Li (1

i=0

− L)


où

 −

−1 1 − φi = φi+1 + ... + φ p

α0 = Φ (1)

pour i = 1,...,p. ,...,p. En posant

αi = αi− ρ = 1 Φ (1), on peut ré´ eécrire ecrir e les 4 cas en (1) Y t = ρY t−1 +

    

αi ∆yt−i + εt : on teste H 0 : ρ = 1

(2) Y t = α + ρY t−1 +

αi ∆yt−i + εt : on teste H 0 : α = 0 et ρ = 1

(3) Y t = α + ρY t−1 +

αi ∆yt−i + εt : on teste H 0 : α = 0 et ρ = 1

(4) Y t = α + β t + ρY t−1 +



αi ∆yt−i + εt : on teste H 0 : α = 0, β = 0 et ρ = 1

Pour simplifie simp lifier, r, on écrira ecr ira (1) ∆Y ∆Y t = φY t−1 + (2

αi ∆yt−i + εt , avec φ = ρ

− 3) ∆Y t = α + φY t

−1

+

(4) ∆Y ∆Y t = α + β t + φY t−1 +

− 1 app ap pelé ’M ’Moodèle el e [1]’ [1 ]’

αi ∆yt−i + εt appel pp el´é ’M ’Moo dèle el e [2]’ [2 ]’

αi ∆yt−i + εt appel pp el´é ’M ’Moo dèle el e [3]’ [3 ]’

Les tabl ta bles es ont ont été tabu ta bul´ lées ee s par pa r Dickey & Fuller (1979) (1979),, et sont analogues aux tables du t de Student. Dans le cas ’simple’, le paramètre etre ρ (ou φ) est est estim´ est imé par la méthode ethode des moindres carrés es ordinaires. L’estimation des coefficients et des


écar ec art-ty t-type pess du mo mod` dèle ele four fournit nit un tφ , analogue a` la statistique de Student dans les modèles el es lin´ li néair ea ires es (rapport du coeffic coefficien ientt sur son écart-type ecart-t ype ). ). Si tφ est est sup´ supérie er ieur ur au t tabul´ tabulé, e, on ac acce cepte pte H 0 , hypothèse ese d’existence d’existe nce d’une racine racin e unité, e, et le processus n’est alors pas stationnaire.

 

 

Il est aussi aussi possible possible d’effectu d’effectuer er ce test test en utilisan utilisantt nφn , où φn est l’estimateur de (empirique ) est supérieur eri euree a` φ obtenu à partir de n observations. Si cette valeur (empirique celle cel le tabul´ tab ulée, ee, on accept acc eptee l’hypoth` l’hyp othèse ese H 0 . D’autres tests existent, en particulier le test de Philipps-Perron Philipps-Perron.. Ces tests non param´ par amétrique etr iquess ont ét´ eté introduit intro duitss en 198 1988. 8. La distrib dist ributio ution n théorique eor ique a` la base des tests te sts de Dickey Dicke y & Fuller ull er repo re pose se sur sur l’hyp l’hy poth` othèse ese d’hét´ etéros erosc´ cédas edasti tici cit´ té du bruit bruit.. La gén´ enéral er alis isat atio ion n des de s test te stss DF aux tests ADF se fait fai t en consid´ con sidérant era nt Y t = Dt + ρY t−1 + εt

→

Y t = Dt + ρY t−1 +



αi ∆yt−i + εt ,

où (Dt ) est une tendanc tend ancee détermi ete rminist niste. e. La gén´ enéralis era lisati ation on des tests tes ts DF proposée par Phillips et Perron consiste à ne plus supposer que (ε ( εt ) est un bruit blanc, et à autori aut oriser ser que ce proces pro cessus sus soit soi t autoc aut ocorr´ orrél´ elée. ee. La gén´ enéralisa era lisatio tion n de ces tests tes ts au cas


hét´ etéros er osc´ cédas ed asti tiqu quee a ét´ eté prop pr opos´ osée ee par pa r Phil Philli lips ps et Perro Per ron, n, les le s valeu valeurs rs crit cr itiq ique uess correspondant a` celles des tests ADF . ADF . Ces tests reposent sur des résultats esultats de la théorie eorie de la convergence convergence faible fonctionelle (théor` eorème eme central central limi limite te fonc foncti tione onel l (FCLT) par exemple ). ). L’utili L’u tilisat sation ion du FCLT FCLT pour po ur des tests tes ts de racine rac iness unité a ét´ eté prop propos´ osé dès es 19 1958 58 par par White Whi te.. Si (X t ) est un processus pro cessus stationnaire alors les statistiques sta tistiques calculées ees sur ce ce processus pro cessus vérifiront erifiro nt le FCLT. FCLT. Considérons erons par exemple le cas AR (1), X t = ρX t−1 + εt pour t = 1,...,T , et cherchons à tester ρ = 1 (hypot pothèse H 0 ). En supposons H 0 vérifi´ eri fiée, ee, et consid´ con sidérons ero ns la somme som me partie par tielle lle du proces pro cessus sus d’innovation, t

S t = X t

− X 0 =



εi .

i=1

On prendra comme valeur initiale de (S ( S t ), S 0 = 0, mais pour le choix de X 0 trois possi os sibi bili lit´ tés es sont so nt gén´ enéral er alem ement ent envis env isag ag´ées ee s : (i) X 0 = c (constante ), constante ), (ii) ii) X 0 admet une distrib dist ributio ution n spécifi´ eci fiée ee a priori pri ori,, (iii) iii) X 0 = X T ere ere condition, conditi on, dite T . Cette derni` hypot hyp oth` hèse es e de cicu ci cula lari rit´ té, e, a ét´ eté prop propos´ osé par pa r Ho Hote tell llin ing. g.


Aller plus loin que les bruits blancs Cons Co nsid´ idéron er onss la série er ie suiva suivante nte,,

2

1

0

1 −

2 −

0

200

400

600

800

1000


Autocorrélations Autocorrélations de |Xt|

Autocorrélations de Xt

F C A

Autocorrélations de Xt^2

0 . 1

0 . 1

0 . 1

8 . 0

8 . 0

8 . 0

6 . 0

6 . 0

6 . 0

F C A

4 . 0

F C A

4 . 0

4 . 0

2 . 0

2 . 0

2 . 0

0 . 0

0 . 0

0 . 0

0

5

10

15 Lag

20

25

30

0

5

10

15

20

25

30

Lag

0

5

10

15

20

25

30

Lag

Si on consid` con sidère ere simplem sim plement ent des autoc aut ocorr´ orrélatio ela tions, ns, X t ressemble à un bruit blanc. blanc. Mais ( X t ) ainsi que (X (X t2 ) sont sont très es auto autoco corr´ rrél´ elés. es. On pour po urra rait it tente tenterr

| |

X t2 = β 0 + β 1 X t2−1 + εt , ou X t = mais rien ne garantie que β 0 + β 1 X t2−1 + εt 0, rien ne permet de choisir le signe de X t .

• •

≥

 ±

β 0 + β 1 X t2−1 + εt


Les processus ARCH


Les processus ARCH


Les processus ARCH Definition 23. Le processus (X t ) est un processus ARCH ARCH (1) (1) si X t = εt



α0 +

α1 X t2−1

o` u (εt ) est un bruit blanc gaussien, εt u

not oteera généra rall leme men nt ht = α0 +

α1 X t2−1 ,

√ et donc X = h .ε . t

t

t

Soit (X (X t ) un processus AR (1), tel que X t = αX t−1 + εt o` u εt V (X t ) =

1 1

−

  ∼ N   ∼ N

2 2 σ et V ( X X ) = σ , − 1 t t α2

|

0, σ 2 . On 0, σ 2 , alors

c’est à dire que la variance, et la variance conditionnelle, ne d´ ependent ependent pas du temps. Soit (X (X t ) un processus ARCH (1), ARCH (1), tel que X t = εt εt

  ∼ N

0, σ 2 , alors



 

α0 + α1 X t2−1 o` u

V (X t X t−1 ) = α0 + α1 X t2−1 σ 2 .

|


Les processus ARCH versus bruit blanc 2

1

0

1 −

2 −

0

200

400

600

800

1000

0

200

400

600

800

1000

2

1

0

1 −

2 −



1

0

1 −

2 −

0

200

400

600

800

1000

0

200

400

600

800

1000

2

1

0

1 −

2 −



1

0

1 −

2 −

−2

−1

0

1

2

−2

−1

0

1

2

2

1

0

1 −

2 −


Les processus ARCH versus bruit blanc 0 . 1

8 . 0

y t i s n e D

6 . 0

4 . 0

2 . 0

0 . 0

−2

−1

0

1

2

−2

−1

0

1

2

0 . 1

8 . 0

y t i s n e D

6 . 0

4 . 0

2 . 0

0 . 0


Les processus ARCH versus bruit blanc Normal Q−Q Plot

0 . 1

5 . 0 s e l i t n a u Q e l p m a S

0 . 0

5 . 0 − 0 . 1 − 5 . 1 −

−3

−2

−1

0

1

2

3

1

2

3

Theoretical Quantiles

Normal Q−Q Plot

2

s e l i t n a u Q e l p m a S

1

0

1 −

2 −

−3

−2

−1

0 Theoretical Quantiles


ARCH versus HIS Deux Deux types typ es de mo mod` dèles eles ont ét´ eté utili utilis´ sés es pour our mo mod´ délise eliserr la volatil vola tilit´ ité. e. On supp suppos osee que les (log)rendeme (log)r endements nts vérifient erifient Rt = µ + εt , où εt (0, (0, σt2 ), ou encore εt = ηt σt o` u ηt (0, (0, σt2 ), avec comme dynamique σt2 = α0 + α1 εt2−1 pour les processus ARCH σt = β 0 + β 1 σt−1 + ut pour les processus HIS historical volatility models Le cas le plus simple consiste à considérer erer le cas o` u σt = σt−1 + ut , alors σt+1 = σt .

• •

·

∼ N

∼ N



Cette Cet te quantit´ quant ité est assez ass ez différente ere nte de la moyenne historique

 

σt+1 =

1 (σt + σt−1 + t

· · · + σ1 ) ,

ou bien la moyenne glissante (de longueur h) σt+1 =

1 (σt + σt−1 + h

· · · + σt

−h+1 ) .


On peut pe ut égal eg alem ement ent co consi nsid´ dérer erer du lissage exponentiel, exponentiel, o` u



σt+1 = [1

− β ]σt + β σt



ou encore moyenne glissante à poids exponentiels (EWMA - exponentially weighted moving average ), ), prop propos´ osée ee par par RiskMetrics de JP Morgan, h

  

β i σt−i+1

σt+1 =

i=1

h

i=1

β i


Les processus ARCH Definition 24. On dit que le processus (X t ) suit un processus ARCH ARCH (( p p)) s’il est défini efin i par une équation equa tion de la form forme e X t = εt

p



ht o` u ht = α0 + u



αi X t2−i ,

i=1

o` u (εt ) est un bruit blanc gausien, centr´ u e, de varianc e, variance e σ 2 , soit εt Ceci peut peu t aussi s’écrire ecrir e

  

 

∼ N 0, σ2 .

p

X t2 = εt α0 +

αi X t2−i .

i=1

Ce n’est plus le processus (X (X t ) que l’on cherche à modéliser, eliser , mais le processus pro cessus X t2 .



Dans le cas o` u (εt ) est un bruit blanc fort (ε ( εt i.i.d.) (εt ) peut eut être et re i.i.d.) gaussien, alors (ε vu comme co mme une différence erence de martingale. m artingale. Pour que le processus (X t ) soit stationnaire au second ordre, la variance marginale de (X (X t ) soit soi t être etr e consta con stante. nte.


Or V (X t ) = α0 + α1 V (X t−1 ) , c’est à dire que l’on doit avoir α1 < 1, et donc V (X t ) = α0 / (1 α1 ).

−

Proposition 25. (X t ) est stationnaire au second ordre si α0 > 0 et 0

≥ 1, X t |X t h

≤ α1 < 1.

On peut alors noter que pour tout h

   |    | |   |   |  −− −  | −  −  E

−

puisque E X t X t−h = E E X t X t−1 V X t X t−h

Aussi,

1 = α0 1

V X t X t−h

= 0,

X t−h = E 0 X t−h = 0. De plus,

αh1 α0 + α1 X t2−h et V (X t ) = . α1 1 α1

V (X t ) = αh1 X t2−h

(6)

V (X t−h ) .

Comme nous l’avions vu en introduction, les modèles eles ARCH permettent d’avoir des processus av avec ec des queues de distribution plus épaisses epaisses que les processus


ARMA. La kurtosis conditionnelle est obtenue à l’aide de la relation E



X t4

|X t

−1

et la kurtosis à la date t est E

  X t4

=3

α02

     − = 3 α0 + α1 X t2−1

2α1 α20 + + α12 E X t4−1 1 α1

−

2

,

3α20 (1 + α1 ) = . (1 3α12 ) (1 α1 )

−

La condition d’existence du moment d’ordre 4 est 3α 3α12 < 1, et on en déduit eduit alors l’expression de la kurtosis



E X t4

1 α21 κ= normale ). 2 = 3 2 > 3 (cas de la loi normale ). 2 1 3 α E (X t ) 1

− −

Les queues de la distribution marginale d’un processus ARCH (1) ARCH (1) sont donc plus épaisses epaisses que pour un processus gaussien (on parlera de distribution leptokurtique ). leptokurtique ). Le s mo Les mod` dèles el es ARCH ( ARCH ( p) p) sont des extensions extensi ons des mo mod` dèles eles ARCH (1) ARCH (1) . Le Less mo mod` dèles el es ARCH (1 ARCH (1)) éta et aient ie nt X t = εt ht où

ht2

= α0 +

α1 X t2−1

et εt

  ∼ N

0, σ 2 ,


et les mo mod` dèles eles ARCH ( ARCH ( p) p) font intervenir plusieurs retards, p

X t = εt ht o` u

ht2

= α0 +



αi X t2−i

i=1

et εt

  ∼ N

0, σ 2 .

La volatilit´ volat ilité de la date t est alors fonction fonctio n des carrés es des écarts ecar ts a` la moyenne observés es dans le passé proche. pro che. Si les co coefficients efficients αi sont tous positifs (et (et assez grands ), ), il y a une persistance des niveaux de volatilit´ volatilité : on observe des périodes eriodes de forte for te volatilit´ volat ilité suivies suiv ies de pério eri o de de faible fai ble volatilit´ volat ilité. e. On peut pe ut alo alors rs écrire ecr ire

| 

E X t X t−1





p

= 0, et E X t2 X t−1 = ht2 = α0 +

|



αi X t2−i .

i=1

Ces Ce s mo mod` dèles eles ont ét´ eté intro intr oduits dui ts par par Bo Boll ller ersl slev ev en 19 1986 86,, inspir´ ins pirés es de la démar emarche che de Box et e t Jenkins, avec une dynamique dynamiqu e autorégressive, egre ssive, p

X t = εt ht o` u

ht2

= α0 +

 i=1

q

αi X t2−i

+

 j =1

β j ht2−j

et εt

  ∼ N

0, σ 2 .

(7)

On peut noter tout d’abord que, sous cette forme, les coefficients p et q ne sont


pas analogues à ceux ceu x des mo mod` dèles ele s ARMA : en particulier, q correspond au caract` car actère ere autor´ aut orégress egr essif if du proces pro cessus sus ht2 . On a alors

| 

E X t X t−1

 | 

= 0 et E X t2 X t−1 = ht2 = α0 +

p

 i=1

q

αi X t2−i +

 i=1

β j ht2−j .


Les processus GARCH(1,1) Definition 26. On dit que le processus (X t ) suit un processus GARCH GARCH (1 (1,, 1) s’il est défini efin i par une équatio equ ation n de la form forme e X t = εt



ht o` u h2t = α0 + α1 X t2−i + β 1 h2t−1 , u

o` u (εt ) est un bruit blanc gausien, centr´ u e, de varianc e, variance e σ 2 , soit εt

(0,, 1) 1).. ∼ N (0

Si (X t ) est stationnaire au second ordre, alors V ar( ar(X t ) = E(X t2 ) = E(E(X t2 X t−1 , X t−2 ,

|

)+β 1 E(ht2 · · · )) = E(ht2) = α0+α1 E(ht2)+β

aussi (1

− α1 − β 1)E(ht2 = α0 .

Il convient donc d’avoir α1 + β 1 < 1.

−1 ),


Les processus processus GARCH( p, q ) Proposition 27. Si le processus GAR GARC C H H (( p, q ) est stationnaire au second ordre, alor al orss nécessa eces saireme irement nt p

q

   −   αi +

i=1

β j < 1,

(8)

j =1

et dans ce cas, la variance de X t est V (X t ) =

1

α0 p i=1 αi +

q j =1

β j

.

Dans le cas o` u (8) est saturée, ee, i.e. pi=1 αi + jq=1 β j = 1, on dira alors que le processus GARCH ( GARCH ( p, q ) est intégr´ egré, e, et on parler par leraa de proces pro cessus sus IGARCH ( IGARCH ( p, q ). ). Cette d´ enomination enomination peut se justifier par l’existance d’une racine unit´ e dans la composante autorégressive egressive de (7). Toutefois, cette analogie av avec ec l’extention des modèle ARMA aux au x mo mod` dèles el es ARIMA peut être etre trompeuse : un processus ARIMA n’est pas stationnaire (au (au second ordre ou au sens fort ) fort ) alors qu’il existe une solution stationnaire (au (au sens fort ) d’un d’un mo mod` dèle ele IGARCH (qui


admet admettra tra une varia var iance nce infin infinie ie d’apr` d’a près es la propri´ propr iét´ eté ci-de ci-dess ssus us ). ).


Les processus GARCH(1,1) Dans le cas d’un processus GARCH (1 GARCH (1,, 1), il est possible de montrer que la kurtosis de X t est de la forme 2 (α1 + β 1 ) − κ (X t ) = κ (εt ) où µ4 = E 2 2 1 − (α1 + β 1 ) − α1 (µ4 − 1)

1



εt4 .

L’estimation peut se faire en utilisant des techniques inspirées ees du maximum de vraissemblance. La log-vraissemblance à la date t est de la forme

Lt = constante − 12 log ht2 − 12 εt2 ht 2 , −

et la log-vraissemblan log-vr aissemblance ce totale du mo mod` dèle ele s’écrit ecrit

L = constante −

1 2

n

 t=1

log ht2

−

1 2

n



2 εt2 h− t .

t=1

La méthode etho de pour estimer estime r les paramètres etres est alors la suivante suivante



(1) calcul cal cul des résidus/ esi dus/err erreur eurss du mo mod` dèles ele s de régressi egr ession on : εt ,


(2) calcul du carré des erreurs erreur s εt2 , et on effectu effe ctuee la régress egr ession ion linéaire eai re de εt2 sur son pass pa ss´é εt2−1 ,..., εt2− p :

 





p

εt2 = α0 +



 

αi εt2−i + ut ,

i=1

(3) on considère ere que la variance arian ce de l’erreur l’erre ur peut être etre approch´ appro ch´ ee ee par ht2 , et on esti es time me de nouve no uveau au les les para pa ram` mètre et ress du mo mod` dèle el e par pa r mo moin indr dres es ca carr rr´és es gén´ enéral er alis´ isés, es , avec comme c omme facteur facte ur de pond´ pon dération erati on ω = 1/ht et Ω = diag ht2 :

      α = ε Ω−1 ε

−1



ε Ωh et p

   

ht2 = α0 +

αi εt2−i + ut .

i=1

Par rapport rapp ort aux mo mod` dèles eles linéaire, eaire, on a une grande différence erenc e quant a` la variance de l’erre l’e rreur ur du mo mod` dèle, ele , qui va être etr e foncti fon ction on de la variance varianc e résiduel esi duelle le σ , alors que pour po ur les mo mod` dèles ele s ARCH , elle sera fonction de ht2 : la variance de l’erreur n’est alors plus constante (ce (ce qui va influencer, par exemple, les intervalles de




confiance confian ce lors l ors des prévison evi sons s ). ). Plus rigoureuseme rigour eusement, nt, l’estimation l’estim ation des paramètre etre dans les modèles eles ARCH se fait en utilisant l’estimateur du pseudo maximum de vraisemblance, sous l’hypoth` l’hypothèse ese de loi conditionelle normale.Aussi, so lt (y, θ) désigne esigne la vraisemblance vraise mblance de Y t , conditionelle condit ionelle au passé, e, la vraisemblance vraise mblance de Y 1 ,...,Y T a Y 0 est alors T , conditionelle ` T

L (y, θ) =



t=1



lt (y, θ) et on pose θ = arg arg ma max x log log L (y, θ) .

En fait, cet estimateur est convergent, convergent, même eme si la loi conditionelle c onditionelle n’est pas normale. Cet estimateur est également egalement asymptotiquement normal.


Etude des auto autocorr´ corr´ elations (empir elations (empiriques) iques)

√ nρ(h) → N (0,  0. (0, 1) pour tout h = √ Si (X t ) est un processus GARCH ( p, q ), alors nρ(h) → N (0, (0, γ (0) (0) 2 E(X t2 X t2 h )) pour tout h =  0. Si (X t ) est un bruit blanc, blanc, alors

 

L

 

L

−

E.g., si (X (X t ) est un processus ARCH (1), (1), alors (1 α)(1 + αµ4 ) L 4 E nρ(1) 0, pour tout h = 0, o µ = ( X ). 4 t (1 µ4 α2 )

   → N

√

−

−





⇒ il ne faut pas se fier aux bornes de confiance “classiques”.

=

−


Series X 3 . 0

2 . 0

1 . 0

F C A

0 . 0

1 . 0 −

2 . 0 −

3 . 0 −

0

5

10

15 Lag

20


Autr Au tres es mo mod` d` el es no eles nonn-li lin´ n´ ea ires eair es ? Les mo mod` dèles el es au auto tor´ régre eg ress ssif ifss a` seuils ont ét´ eté introduit intro duitss par Tong en 197 1978, 8, sous le nom de threshold autoregressive , ou T AR. AR. On suppose, dans le cas d’un seuil unique, uniq ue, qu’il qu’i l existe exis te deux régimes egi mes différents, ere nts, Y t =

 

(1)

(1)

(1)

(2)

(2)

(2)

φ1 X t−1 + φ2 X t−2 + ... + φ p1 X t− p1 + εt si X t

≤s

φ1 X t−1 + φ2 X t−2 + ... + φ p2 X t− p1 + ηt si X t > αs,

où (X t ) est soit une variable exogène, ene, soit une variable (Y t ) reta re tard´ rdée ee (Y t−d ). Dans ce dernier cas, on parlera parler a éventuellement eventuellement de modèle ele SETAR, SETAR, self excited threshold AR. AR. Il est d’aille d’a illeurs urs poissi po issible ble de gén´ enéralise era liserr davantage en consid´ con sidérant era nt des des soussous-mo mod` dèles eles ARMA au lieu de mo mod` dèles ele s AR. AR. Il est à noter que les bruit (ε ( εt ) et (ηt ) sont indépend ep endants, ants, et peuvent pe uvent être etr e de variance varian ce différente. ere nte. Example 28. Cons Co nsid´ idérons eron s le cas de modèles el es AR (1) avec un seuil unique X t =

 

φ1 X t−1 + εt si X t−1

≤s

φ2 X t−1 + εt si X t−1 > s,


avec le mˆ eme eme bruit. Une condition n´ ecessaire ecessaire et sufficante d’existence d’exis tence d’une solution stationnaire et φ1 < 1, φ2 < 1 et φ1 φ2 < 1. La série eri e ci-dess ci- dessous ous correspond à une simulation simulat ion de la s´ erie erie X t =

 − 

0.2.X t−1 + εt si X t−1

≤1

0.9.X t−1 + εt si X t−1 > 1,

avec un bruit brui t blanc bla nc gaussie gaus sien, n, centré réduit, edui t, Ce type de processus, là aussi, permet d’avoir des queues de distribution plus épaisses epaisses (en l’occurenc l’occurencee ici pour les fortes valeurs de Y t - queue à droite). Une Un e écri ec ritu ture re équi equival valent entee du mo mod` dèle ele a` seuil à deux régimes, egimes , avec un seul reatard, reata rd,


ou une seule variable exogène ene (X t ou Y t−1 ), est la suivante Y t =

 

≤s

α1 + φ1 X t + εt

si X t

α2 + φ2 X t + ηt

si X t > s,

(9)



Y t = (α1 + φ1 X t ) IXt ≤s + (α (α2 + φ2 X t ) IXt >s + ut , où (ut ) est une séquence equence de bruits ind´ ependants, ependants, dont la variance est de la forme V (ut ) = σε2 IXt ≤s + ση2 IXt >s . Il sera possible de se reporter a` l’article de Ben Salem et Perraudin (2001) (2001 ) ’Tests ’Tests de linéarit´ earité, e, spécification ecifica tion et estimation estima tion des modèles el es a` seuil : une analyse comparée ee des méthodes ethodes de Tsay et Hansen’ pour des compléments ements d’informatio d’infor mation n sur s ur le sujet.


Less pr Le pro oce cess ssus us ` a vola volatil tilit´ it´ e st sto ochas chasti tiqu que e Pour les mo mod` dèles ele s ARCH, nous nou s avions avion s suppos´ supp osé que les (log)r (lo g)rende endements ments vérifient eri fient Rt = µ + εt , où εt = zt ht où zt (0, (0, 1), avec comme dynamique

·

∼ N

ht2 = α0 + α1 εt2−1 .

·

Ici, Ic i, le mo mod` dèle el e va sécri ec rire re Rt = µ + εt , o` u εt = zt exp( exp(ht /2) o` u zt comme dynamique

∼ N (0, (0, 1), avec

ht = α0 + α1 ht−1 + ηt . Le fait d’avoir considér´ eré une exponentielle exp onentielle permet per met d’avoir des ht

≤ 0.

Le soucis est que les ht sont des volatilités es conditionnelle conditi onnelless non-observ´ non-obs ervées, ees, et dont la vraisemblance vraise mblance est compliqu´ compli quée ee a` écrire ecr ire.. Aussi, Auss i, les méthod eth odes es usuelles usue lles d’estimation (maximum de vraisemblance) ne marche pas...


Extensions des processus ARCH Dans Dans un mo mod` dèle ele ARCH (q ), ), t = σt zt , où zt are modeled by

(0, 1) and where the series σt2 ∼ N (0, q

σt2 = α0 + α1 t2−1 + and where α0 > 0 and αi

· · · + αq t2

−q

= α0 +



αi t2−i

i=1

≥ 0, i > 0.

Dans Dans un mo mod` dèle ele GARCH ( p, q ) q

σt2 = α0 + α1 t2−1 +

· · · + αq t2

2

−q + β 1 σt−1 +

· · · +β pσt2 p = α0 + −

p

  αi t2−i +

i=1

β i σt2−i

i=1

Dans Dan s un mo mod` dèle ele EGARCH, EGA RCH, exponential general autoregressive conditional heteroskedastic introduit par Nelson (1991) is another form of the GARCH


model. Formally : ∞

log σt2 = ωt +



∞

β k g (Z t−k ) +

k=1



αk log σt2−k

k=1

)), | | − E(|Z t|)),

where g (Z t) = θZ t + λ( Z t

The Quadratic GARCH (QGARCH) model by Sentana (1995) is used to model asymmetric effects of positive and negative shocks. In the example of a GARCH(1,1) model, the residual process σt is t = σt zt where zt is i.i.d. and σt2 = K + K + α t2−1 + β σt2−1 + φ t−1 Finally, the Threshold GARCH (TGARCH) model by Zakoian (1994) is similar, and the specification is one on conditional standard deviation instead of


conditional variance : − σt = K + K + δ σt−1 + α1+ t+−1 + α− 1 t−1

where t+−1 = t−1 if t−1 > 0 , and t+−1 = 0 if  if t−1 if t−1 > 0. t−1 0 , and − t−1 = 0 if 

≤

− −1

≤ 0 . Likewise, t

= t−1 if

Cours Econometrie Finance R1 Part 2

Recommend Documents