DISTRIBUCIÓN GAMMA Es un modelo básico en la teoría estadística.
Definición Una variable aleatoria continua X tiene distribución Gamma si su su densi densida dad d de proba probabi bililidad dad est está á dada por 1 f ( x )
( )
1
x
e
0,
>0,
x/
, x
0
para otro x
>0 son los parámetros para este modelo
Fig. G1. Gráfico de la distribución Gamma para algunos valores de
( ) es la función Gamma:
( )
x
.
,
1
e x dx
0
Si
es un entero positivo, entonces
( )=(
- 1)!
.
Demostración ( )
x
1
e xdx
0 α -1
α u=x ⇒ du = (α -1)x -2 dx dv = e-x dx ⇒ v = -e-x
Para integrar por partes
Se obtiene ( )
(
1) x
2
e x dx
=(
- 1) (
- 1)
0
Sucesivamente ( )=(
-1)( -2)( -3)... (1), pero
(1) = 1 por integración directa.
MEDIA Y VARIANZA DE LA DISTRIBUCIÓN GAMMA = E[X] =
,
2
= V[X] =
2
.
Demostración para =
xf ( x )dx
=
1
x
( )
0
x
1
e
x/
dx
=
1 ( )
x e
x/
dx
0
Mediante la sustitución y = x/ 1
= =
( )
( )
( y) e
y
dy
0
y e ydy 0
Con la definición de la función Gamma:
=
(
1) =
(
)
( )
( )
Ejemplo El tiempo en horas que semanalmente requiere una máquina para mantenimiento es una variable aleatoria con distribución gamma con parámetros =3, =2 a) Encuentre la probabilidad que en alguna semana el tiempo de mantenimiento sea mayor a 8 horas b) Si el costo de mantenimiento en dólares es C = 30X + 2X2, siendo X el tiempo de mantenimiento, encuentre el costo promedio de mantenimiento. Solución Sea X duración del mantenimiento en horas (variable aleatoria) Su densidad de probabilidad es: 1
f(x) =
( )
x
1
e
1
x/ 3
2
(3)
x3 1e
x/2
1 16
x 2e
x/2
a) P(X>8) es el área resaltada en el gráfico
8
P(X>8) = 1 – P(X 8) = 1 -
1 x2e 16 0
x/2
dx
Para integrar se pueden aplicar dos veces la técnica de integración por partes: x 2e
x/2
dx
,
u = x2 ⇒ du = 2x dx dv = e-x/2 dx ⇒ v = -2 e -x/2
= -2x2 e-x/2 + 4 x e
x/2
x e
x/2
dx
dx
u = x ⇒ du = dx dv = e-x/2dx ⇒ v = -2 e -x/2 = -2x e-x/2 + 2
e
x/2
dx
Sustituyendo los resultados intermedios,
P(X>8) = 1 -
1 - 2x 2 e - x/2 16
4(-2x e - x/2
2(-2 e - x/2 ))
8 0
= 0.2381
b) E[C] = E[30X + 2X2] = 30 E[X] + 2 E[X 2] E[X] = α β = 3(2) = 6 E[X2] =
x 2 f ( x )dx
= x2 0
1 2 x e 16
x/2
dx =
1 x 4e 16 0
x/2
dx
sustituya y = x/2 para usar la función Gamma
=
1 (2 y ) 4 e 16 0
y
(2dy ) = 2 y 4 e
y
dy
= 2 (5) = 2(4!) = 48
0
Finalmente se obtiene
E[C] = 30(6) + 2(48) = 276 dólares
DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL Es un caso particular de la distribución gamma y tiene aplicaciones de interés práctico. Se obtiene con = 1 en la distribución Gamma
Definición Una variable aleatoria continua X tiene distribución exponencial su densidad está dada por 1 f ( x )
e
x/
,
x
de probabilidad
0
0, para otro x
>0, es el parámetro para este modelo
.
MEDIA Y VARIANZA DE LA DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL = E[X] =
,
2
= V[X] =
2
Se obtienen directamente de la distribución gamma con
.
=1
Problema Un sistema usa un componente cuya duración en años es una variable aleatoria con distribución exponencial con media de 4 años. Si se instalan 3 de estos componentes y trabajan independientemente, determine la probabilidad que al cabo de 6 años, dos de ellos sigan funcionando.
Solución Sea Y: variable aleatoria continua (duración de un componente en años) = =4 Su densidad de probabilidad es 1 e y / 4 , y 4
f ( y)
0
La probabilidad que un componente siga funcionando al cabo de 6 años:
P(Y 6) = 1 – P(Y<6) =
6
1
1 y / 4 e dy 4 0
= 0.2231
Sea X: variable aleatoria discreta (cantidad de componentes que siguen funcionando luego de 6 años) X tiene distribución binomial con n=3, p=0.2231 n
f(x) =
x
p x (1 p)n x
P(X=2) = f(2) =
3 2
3 x
0.2231 x 0.7769 3 x
0.2231 20.7769 3 2 =
0.1160 = 11.6%
UNA APLICACIÓN DE LA DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL La distribución exponencial tiene aplicaciones importantes. Por ejemplo, puede demostrarse que si una variable aleatoria tiene distribución de Poisson con parámetro λ , entonces, el tiempo de espera entre dos ‘exitos’ consecutivos es una variable aleatoria con distribución exponencial y parámetro β = 1/λ Ejemplo La llegada de los camiones a una bodega tiene distribución de Poisson con media de 4 por hora. Calcule la probabilidad que el tiempo transcurrido entre la llegada de dos camiones consecutivos sea menor a 10 minutos. Solución Sea X el tiempo transcurrido entre dos llegadas consecutivas (horas) Es una variable aleatoria continua con distribución exponencial con parámetro 1/ = 1/4 f(x) =
1
e
x/
=
= λ e-λ x = 4e-4x, x>0
1/ 6
P(X<1/6) =
4e
4x
dx
= 0.4866 = 48.66%
0
DISTRIBUCIÓN DE WEIBULL Este modelo se utiliza en estudios de confiabilidad de ciertos tipos de sistemas. Definición Una variable aleatoria continua X tiene distribución de Weibull si su densidad de probabilidad está dada por
f (x )
x
1
e
x
x
,
0,
0
para otro x
α >0, β >0 son los parámetros para este modelo
Si Si
= 1, este modelo se reduce al modelo de distribución exponencial. > 1, el modelo tiene forma acampanada con sesgo positivo
Fig. 28.1 Gráficos de la distribución de Weibull MEDIA Y VARIANZA DE LA DISTRIBUCIÓN DE WEIBULL
Si X es una variable aleatoria continua con distribución de Weibull, entonces β
µ = E[X] = α -1/ Γ (1+1/β ) β σ 2 = V[X] = α -2/ [Γ (1+2/β ) – (Γ (1+1/β ))2]
.
Demostración de la media Con la definición µ = E[X] =
xf (x )dx
x
x
1
e
x
dx
0
Mediante la sustitución y = α xβ ⇒ dy = α β xβ -1dx = β yx-1dx = β y(y/α )-1/β dx se obtiene y1/ e
µ =α
y
dy
-1/β 0
comparando con la función gamma β µ = α -1/ Γ (1+1/β ) Ejemplo Suponga que la vida útil en horas de un componente electrónico tiene distribución de Weibull con α =0.1, β =0.5 a) Calcule la vida útil promedio b) Calcule la probabilidad que dure mas de 300 horas Solución Sea X: vida útil en horas (variable aleatoria continua) su densidad de probabilidad:
f(x)= a) µ = α
= 0.05 x 0.5 e 0.1x -1/β Γ (1+1/β ) = (0.1) -1/0.5Γ (1+1/0.5) = 0.1 -2Γ (3) = 200 horas 1
x
e
b) P(X>300) =
0.5
x
0.05 x
0.5
e
0.1x 0.5
dx
300
mediante la sustitución y=x0.5 se obtiene P(X>300) =
0.05 300
1 e y
0.1y
dy = 0.5x-0.5dx = 0.5(1/y)dy
y dy 0.5
0.1
e
0.1
dy
300
300
= 1 – P(X ≤ 300) = 1 – 0.1
e
0.1
= 0.177
dy
0
DISTRIBUCIÓN BETA Este modelo tiene actualmente aplicaciones importantes por la variedad de formas diferentes que puede tomar su función de densidad para diferentes valores de sus parámetros. El dominio es el intervalo [0, 1], pero mediante alguna sustitución, otros intervalos finitos pueden llevarse a [0, 1] Definición Una variable aleatoria continua X tiene distribución beta si su densidad de está dada por f ( x )
( ) x ( ) ( ) 0,
-1
(1 - x)
-1
, 0
x
1
para otro x
α >0, β >0 son los parámetros para este modelo
Fig. 28.2 Gráficos de la distribución beta MEDIA Y VARIANZA DE LA DISTRIBUCIÓN BETA
Si X es una variable aleatoria continua con distribución beta, entonces µ = E[X] =
probabilidad
σ
2
= V[X] = (
)2 (
1)
.
La demostración de se fundamenta en la definición de la función beta cuyo análisis se encuentra en los libros de cálculo. Con la definición de valor esperado y la sustitución respectiva, se encuentra Ejemplo Un distribuidor de gasolina llena los tanques del depósito cada lunes. Se ha observado que la cantidad que vende cada semana se puede modelar con la distribución beta con α =4, β =2 a) Encuentre el valor esperado de la venta semanal b) Encuentre la probabilidad que en alguna semana venda al menos 90% Solución Sea X: proporción de combustible que vende semanalmente (variable aleatoria continua con valor entre 0 y 1) Su densidad de probabilidad es 2) 4 1 2 1 x (1 x ) = 20x3(1-x), 0
f(x) =
a)
(4
cada semana) 1
b) P(x>0.9) =
20
3 x (1
x )dx
= 0.082 = 8.2%
0.9
Es el área marcada en el siguiente gráfico
del tanque
