ESTADISTICA DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD PROBABILIDAD
Variable Variable aleatoria.- Una variable aleatoria aleatoria X es una función cuyo cuyo dominio es el espacio muestral muestral S y cuyo cuyo rango es un subconjunto de los números reales reales R, ue tiene asociada a su su conjunto de valores una función de probabilidad. !n general general el result resultad ado o de cada e"peri e"perimen mento to se puede puede relaci relacion onar ar con un número si se especifica una regla de asociación, por ejemplo el peso total del euipaje para una una muestra de #$ pasajeros de de una unidad de de transporte. !sta regla de asociació asociación n recibe recibe el nombre de variable variable aleatoria, aleatoria, variable variable porue son posibles diferentes valores num%ricos y aleatoria porue el valor observado depende de cu&l de los posibles resultados e"perimentales e"perimentales apare'ca. Si el rango X es el conjunto de de los números enteros enteros ( o un subconjunto subconjunto de (, la variable aleatoria de denomina discreta. discreta. )or ejemplo el el número de art*culos defe defect ctuo uoso soss produ produci cido doss en un lote, lote,
núme número ro de alum alumno noss ue
asis asiste ten n
diaria diariamen mente te duran durante te un semes semestre tre,, número número de accide accidente ntess automo automovil vil*st *stico icoss registrados durante una semana, etc. Si el rango X es el conjunto de los números reales reales R o un subconjunto subconjunto de R, la variable aleatoria se denomina continua. )or ejemplo el tiempo de vida de un foco ue e"trae aleatoriamente aleatoriamente de un lote de focos, focos, el tiempo de de espera para completar un trabajo de procesamiento de datos, resistencia +en libras por pulgada pulgada cuadrada cuadrada de una barra barra de acero, etc. etc. as variab variables les aleato aleatoria riass se denota denotan n pro letras letras mayúsc mayúscula ulass X, , etc para para distinguirlas de sus posibles valores dados en minúsculas. /istribución de )robabilidad )robabilidad para una una variable aleatoria discreta a distribuc distribución ión de proba probabilida bilidad d de X nos nos permite permite determinar determinar cómo es es ue la probab probabili ilidad dad total total de 0, se encuent encuentra ra distrib distribuid uida a
entre entre todos todos los posibl posibles es
valores de X. !1!2)3 Se lan'a dos veces una moneda y se observa observa el número número de apariciones apariciones cara. /etermine la distribución de probabilidad para X.
1
ESTADISTICA
Solución !lementos de de S SS 9S S9 99
Valores de X4 X4"i 5 0 0 :
f+"i f+56078 f+06:78 f+:6078
3bservemos ue f+" i es denominada función de distribución de probabilidad de la la variable aleatoria X. ;am ;ambi%n bi%n podemos podemos decir ue, f+"6)+X6" !ntre los reuisitos para una distribución de probabilidad discreta tenemos ue4
0 ≤ f(x) ≤ 1
∑ f(x) = 1 ∀ x
!jemplo Se lan'a dos dados dados y se observa la suma suma de puntos. /etermine la distribución de probabilidad para X. Solución !spacio muestral4
2
ESTADISTICA
S
=
{(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(1,6)(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(2,5)(2,6)(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(3,5)(3,6)(4,1)(4,
(4,3)(4,4)(4,5)(4,6)(5,1)(5,2)(5,3)(5,4)(5,5)(5,6)(6,1)(6,2)(6,3)(6,4)(6,5)(6,6)}
X
f(x)
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
1/36 2/36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 2/36 1/36
Representación gr&fica
!jemplo Seis lotes de dispositivos el%ctricos est&n listos para ser enviados a cierto proveedor. !l número de dispositivos
defectuosos de cada lote se
presenta a continuación4
3
ESTADISTICA ote =
de
0 5
: :
# 5
8 0
$ :
< 5
dispositivos defectuosos
Uno de los lotes se va a seleccionar al a'ar para enviarse a un cliente en particular. 9onstruya la distribución de probabilidad
para el número de
dispositivos defectuosos del lote seleccionado. !jemplo !n una partida de < pie'as >ay 8 est&ndares. Se toman al a'ar : pie'as. 9onstruya la
distribución de probabilidades para el número de pie'as
est&ndares seleccionadas. 9aracter*sticas principales de una variable aleatoria discreta4 Valor !sperado .- Sea X una variable aleatoria discreta con distribución de probabilidad f+", , el valor esperado o medio de X es4 µ
= E ( x) = ∑ xf ( x) ∀ x
Varian'a .- Sea X una variable aleatoria
discreta con
distribución de
probabilidad f+", la varian'a de " es4 σ
2
= E ( x − µ )2 = E ( x 2 ) − µ 2
a desviación est&ndar de " es la ra*' cuadrada de la varian'a !jemplo ;eniendo en cuenta el ejemplo anterior + lan'amiento de monedas, calcule la varian'a y desviación est&ndar. !jemplo !ncontrar c tal ue f+"6 9alcular µ , σ y !+"+0-"
Cx 60
, "65,0,:,#,8, defina una función de probabilidad.
!jemplo ?alle la varian'a y la desviación de la variable aleatoria discreta X, dada por la ley de distribución4 X -$ : # 8 f+" 5,8 5,# 5,0 5,: !jemplo !n una clase de <5 alumnos, sea X el número de estudiantes ue siempre llegan tarde. @9u&l es !+X, si la probabilidad de ue un estudiante seleccionado al a'ar llegue tarde a su clase es 5,05. Anterprete su significado. !jemplo 4
ESTADISTICA
Sea X4 número de neum&ticos de
un automóvil seleccionado al a'ar, ue
tengan baja la presión. a@9u&l de las siguientes tres funciones f+"
es una distribución
de
probabilidad para X y por u% no se permiten las otras dosB " f+" f+" f+"
5 5,# 5,8 5,8
0 : # 8 5,: 5,0 5,5$ 5,5$ 5,0 5,0 5,0 5,# 5,0 5,: 5,0 5,#
b Una ve' identificada la
distribución de
probabilidad de a calcule
p(2 ≤ x ≤ 4), p( x ≤ 2)
csi f+"6c.+$-" para "65,0...8@9u&l es el valor de cB !jemplo Una variable aleatoria discreta X tiene solamente dos valores posibles4"0 y ":C al mismo tiempo ":D"0. a probabilidad de ue X tome el valor "0, es igual a 5,<. 9onstruya la distribución de probabilidad de la variable aleatoria X, si la esperan'a matem&tica y varian'a son 0,8 y 5,:8 respectivamente.
/AS;RAEU9AFG /! )R3EHEAA/H/ )HRH
VHRAHE!
H!H;3RAH
/AS9R!;H /AS;RAEU9AFG /! )R3EHEAA/H/ EAG32AH 2uc>os e"perimentos de la vida real como por ejemplo seleccionar muestras aleatorias de lec>e y anali'arlas para determinar la presencia de cierto tipo de bacteria, seleccionar 0: muestras de 05 po'os de agua, para detectar si presenta la impure'a IHJ, las encuestas de preferencia a una determinada bebida ue genera una de dos respuestas, conocer la probabilidad de ue K de 05 microscopios funcionen durante al menos 0$55 >oras,
conocer la
probabilidad de obtener pie'as perfectas de 0: pie'as producidas por una m&uina, etc. ;odos estos ejemplos son ejemplos particulares de un e"perimento binomial. !ntre sus caracter*sticas, tenemos4
!"isten sólo dos resultados posibles para cada ensayo I%"ito o fracasoJ
a probabilidad de un %"ito es la misma para cada ensayo
!"isten n ensayos donde n es una constante 5
ESTADISTICA
os n ensayos son independientes.
os ensayos ue satisfacen estos supuestos se llaman ensayos de Eernoulli. a distribución de probabilidad para una variable aleatoria Einomial est& dada por4
n x n x− f x ( ) = b x( ; n p, ) = p (q) x
para "65,0,:....n
/onde4 p4 )robabilidad de %"ito para cada ensayo 6 0-p 4 )robabilidad de fracaso n4 número de pruebas X4 Gúmero de %"itos en n pruebas a media y varian'a la definimos por4 µ np =
σ
2
= npq
!jemplos 0.!n una empresa minera el LK M tiene mas de :5 aNos de e"periencia, >alle la probabilidad de ue en un grupo de 85 personas 05 tengan mas de :5 aNos de e"periencia. Solución4 "4 = de personas con mas de :5 aNos de e"periencia. p 6 LK M 6 5.LK 60- p 6 0 O 5.LK 6 5.:: n 6 85 " 605 ⇒
f + 05 6
40 10
. + 5.LK 05 . + 5.:: 85 - 05
6
ESTADISTICA
f + 05 6
40 10
. + 5.LK 05 . + 5.:: #5
f + 05 6 BB :. !l <5M de los postulantes prefieren las matem&ticas .@9u&l es la probabilidad de ue mas de # postulantes ue forman una muestra de $, elegidas aleatoriamente del total de postulantes, prefieran matem&ticaB S3U9AFG p 6 <5M 6 5,< 6 0-p 6 5,8 2&s de la mitad ser*an # personas, 8 personas o $ personas.
n x n x− p q x
7
ESTADISTICA
5 3 2 5 4 1 5 5 0 (0.6)(0.4) +(0.6) (0.4) +(0.6)(0.4) 3 4 5
6 5,
!jercicios 0. Se dice ue el L$M de los accidentes en una planta se atribuyen a errores >umanos, determine la probabilidad de ue se atribuyan a errores >umanos dos de los cuatro pró"imos accidentes4 Gota.- Si n es grande el c&lculo de las probabilidades puede resultar tedioso pro lo ue softPares estad*sticos como S)SS, S;H;QRH)?A9S, 2AGA;HE o una >oja de c&lculo como 2S-!X9! cuentan con comandos de distribución Einomial. :.Una cooperativa agr*cola asegura ue el 5M de las sand*as embarcadas est&n maduras listas para comerse. /etermine las probabilidades de ue entre 0K sand*as embarcadas4 a as 0K est%n maduras y listas para comerse b Hl menos 0< est%n maduras y listas para comerse c 9uando m&s 08 est%n maduras y listas para comerse d /etermine la media y varian'a #.a undación Gacional de las 9iencias de !stados Unidos, informa ue el L5M de los estudiantes de )ostgrado ue obtienen grados de doctorado en
8
ESTADISTICA
ingenier*a en ese pa*s son ciudadanos de otros pa*ses. considere el número de estudiantes e"tranjeros en una muestra aleatoria de :$ estudiantes de ingenier*a ue recientemente obtuvieron su doctorado. /etermine4 a p+"605 b
p( x ≤ 5)
c 2edia y desviación est&ndar de X 8. Si en una ciudad :8M de la población tienen sangre tipo E y si tomamos una muestra de :5 personas de esa población. @9u&l es la probabilidad de ue4 a!"actamente # tengan sangre tipo E bGinguna o una persona tengan sangre tipo E cHl menos : tengan sangre tipo E /AS;RAEU9AFG 2U;AG32AH a distribución binomial es un caso particular de la distribución multinomial. 2uc>os e"perimentos producen observaciones de una variable cualitativa con m&s
de dos posibles resultados,
por ejemplo supongamos ue cierto
microscopio ; se fabrica en una de cinco l*neas de producción distintas, H, E, 9, / o !. H fin de comparar las proporciones de microscopios defectuosos ue
se pueden atribuir a las cinco
l*neas de producción, todos los
microscopios defectuosos detectados por los ingenieros de control de calidad se clasifican diariamente según la l*nea en la ue se produjeron. 9ada microscopio es una unidad e"perimental y la observación es una letra ue identifica la l*nea de producción en la ue se produjo. !videntemente la l*nea de producción es una variable cualitativa. ! e"perimento ue acabamos de mencionar se denomina e"perimento multinomial. 9aracter*sticas4
!l e"perimento consiste en n pruebas id%nticas
!"isten T resultados posibles de cada prueba
as probabilidades de los T resultados son denotados por p0, p:...pT se mantienen constantes a lo largo de todos las pruebas donde p 0p:...pT60
as pruebas son independientes
as variables aleatorias de inter%s son "0,":,....."T en cada una de las T categor*as de clasificación.
9
ESTADISTICA
a distribución de probabilidad multinomial est& dada por4
f ( x1 x2 .... xk )
=
n! p1 x1 p x2 2 ....... p xk k x1! x2!..... xk !
/onde4 p1 + p2
n
+ ..... + pk = 1
= x1 + x2 + ..... + xk = número de pruebas
xk : número
a
de ocurrencias del resultado T en n pruebas
media y la varian'a de
la variable aleatoria
multinomial " T son
respectivamente4 = npk
µ k σ k
2
=
npk (1
−
pk )
!jemplos4 0. !l censo en un >ospital determina ue >ay un 0KM de probabilidad ue una persona tenga neumon*a, >ay un #$M de probabilidad ue una persona tenga diabetes, >ay un 8#M de probabilidad ue una persona tenga gripe y un 8M de probabilidad ue una persona tenga VA?. !scogemos 05 personas aleatoriamente de las cuales calcularemos4 /H;3S X 1
6 = de personas ue tengan neumon*a
X 2
6 = de personas ue tengan diabetes
X 3
6 = de personas ue tengan gripe
X 4
6 = de personas ue tengan VA?
P 1
6 )robabilidad de ue una persona tenga neumon*a 6 5.0K
P 2 6 )robabilidad de ue una persona tenga diabetes 6 5,#$ P 3
6 )robabilidad de ue una persona tenga gripe 6 5,8#
P 4 6 )robabilidad de ue una persona tenga VA? 6 5,58
10
ESTADISTICA
a a probabilidad de ue : de ellas tenga gripe, # de ellas neumon*a y 0 VA? X 1 =
3,
X 3 =
2,
X 4 =
1,
X 2 =
4
10 ! (0,18) 3 (0,43) 2 (0,04) 1 (0,35) 4 P ( X 1 , X 3 , X 4 ; N = 10) 6 4 ! 3 ! 2 !1!
6 K.0< X 05-# b la probabilidad de ue : de ellas tengan neumon*a, 0 de ellas tenga diabetes, 0 de ellas tenga gripe y : de ellas tenga VA?. X 1
6:
X 2
60
X 3
60
X 4
6:
10 ! (0,18) 2 (0,35) 1 (0,43) 1 (0,04) 2 ) + X 1 X 2 X 3 X 4 G 6 05 6 2 ! !1! 2 !
6 L,5K c la probabilidad de ue K personas tengan gripe X 3 =
8
X 5 P 5
(
,
P X 3 X 5
)=
6 +resto de personas 6 :
6 +suma de probabilidades del resto de personas 6 5.$L
10! (0,43) 8 (0,57) 2 8! 2!
=
0,017
:. Una f&brica de pinturas env*a a su distribuidor autori'ado 85 galones de pinturas de 8 clases diferentes4 brillante, semibrillante, satinado y mate .!l distribuidor autori'ado estima ue el 05M de los galones de pinturas son brillantes, $5M son semibrillantes, :5M son satinados y otros :5M son mates. a 9alcule la probabilidad en ue 8 galones sean brillantes, :8 sean semibrillantes, 05 sean satinados y : sean mates. b 9alcule el número esperado de galones satinados en la muestra.
11
ESTADISTICA
Solución4 a X0 4 9antidad de galones brillantes
" 0 6 8
p0 6 5.05
X: 4 9antidad de galones semibrillantes
" : 6 :8
p: 6 5,$5
X# 4 9antidad de galones satinados
" # 6 05
p# 6 5,:5
X8 4 9antidad de galones mates
" 8 6 :
p8 6 5,:5
)+"068,":6:8,"#605,"86: 6
40! 4!24!10!2!
+5,058 +5,$5:8+5,:505+5,:5:6
5,5550K8# b !+" 6
6 npT
!+" 6
6 85 " 5,:5
!jercicios 0.os ladrillos defectuosos se clasifican en una f&brica de acuerdo a las roturas, decoloración o ambas cosas. Si las probabilidades respectivas son4 5,$5 5,85 y 5,0. ?allar la probabilidad de ue seis de 05 ladrillos tengan roturas, tres sin color y uno presente ambos defectos. :.os
trabajos presentados a un centro de cómputo universitario pueden
ejecutarse en una de cuatro clases diferentes de prioridad4Urgente, prioridad normal, baja prioridad y espera. !l centro de cómputo estima ue 05M de los trabajos se presentan como urgentes, $5M con prioridad normal, :5M con baja prioridad y :5M en fila de espera. Suponga ue se presentan simult&neamente n6:5 trabajos. a 9alcule la probabilidad de ue : trabajos
se presenten como
urgentes, 0: con prioridad normal, $ con prioridad baja y 0 en fila de espera. b 9alcule
el número esperado de trabajos de baja prioridad en la
muestra /AS;RAEU9AFG ?A)!RQ!32!;RA9H
12
ESTADISTICA
9uando se e"trae una muestra de una población finita, constituida por %"itos y fracasos, tal es el caso de observaciones referentes a un lote de pie'as defectuosas o sin defectos, los supuestos de un e"perimento Einomial se satisfacen siempre
ue el
elemento e"tra*do para ser observado, se
reincorpore a la población antes de >acerse la segunda observación. !ste m%todo de muestreo se denomina muestreo con reempla'o. Sin embargo en la pr&ctica usualmente utili'amos el muestreo sin reempla'o, esto es seleccionar aleatoriamente n elementos diferentes de G elementos de la población. 9onsideremos una población de G unidades, de los cuales IaJ poseen ciertas caracter*sticas y IG-aJ no la poseen. Si se >acen InJ e"tracciones al a'ar, sin reempla'o entre la población, cada e"tracción es subsecuente es dependiente y la probabilidad de %"ito cambia en cada e"tracción. !n estas condiciones si deseamos obtener " unidades del tipo IaJ+ %"itos en la muestra al a'ar de tamaNo InJ, el número de %"itos en este caso se llama variable >ipergeom%trica . a
N-a x
-x
N
a distribución de probabilidad >ipergeom%trica est& dada por4
13
ESTADISTICA
a N −a x n x− f x ( ) = xh n N a,,;( ) = N n !jemplo Se reali'a un e"perimento para seleccionar un catali'ador apropiado para la producción comercial de etilendiamina +!/H, un producto ue se utili'a en jabones. Suponga ue un ingeniero u*mico selecciona al
a'ar tres
catali'adores para probarlos de entre un grupo de 05 catali'adores , seis de los cuales tienen baja acide' y cuatro de los cuales son muy &cidos. a9alcule la probabilidad de ue no se escoger& un catali'ador muy &cido. b9alcule la probabilidad de ue se escoja e"actamente un catali'ador muy &cido. 2edia y varian'a
14
ESTADISTICA
µ
σ
a = n N 2
=
na( N − n)( N − a) 2 N ( N − 1)
Gota4 )uede considerarse como regla general el uso de la distribución Einomial como una apro". /e la /istribución >ipergeom%trica si G es grande y
n N
es pequeño digamos
≤ 0,05
!jemplos4 0. !n una urna >ay L fic>as blancas y $ negras. Se sacan 8 fic>as @9u&l es la probabilidad de ue # sean blancasB X4 9antidad de fic>as blancas blancas
negras $
L #
0
8
0:
7 5 3 1 =0.35 12 4 x
f+# 6
15
ESTADISTICA
:. !n una fiesta >ay :5 personas 08 casadas y < solteras. Se eligen # personas al a'ar @9u&l es la probabilidad de ue las # sean solterasB X4 9antidad de personas solteras casadas
solteras <
08 5
#
#
:5
146 0 3 =0.175 20 3 x
f+# 6
!jercicios Un embarue de 0:5 alarmas contra robo contiene $ defectuosas. Si tres de estas alarmas se seleccionan aleatoriamente y se le env*an a un cliente. /etermine la probabilidad de ue el cliente reciba una en mal estado. !jemplo
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ESTADISTICA
Si un ingeniero de control de calidad inspecciona una muestra aleatoria de tres bater*as de cada lote de :8 bater*as para automóvil listos para ser embarcados. Si uno de estos lotes contiene seis bater*as con ligeros defectos a @u% probabilidad >ay de ue la muestra del inspector contenga ninguna bater*a con defectosB b @u% probabilidad >ay de ue la muestra contenga solo una bater*a con defectosB
/AS;RAEU9AFG /! )3ASS3G )roporciona un modelo para la frecuencia relativa del número de Ieventos poco comunesJ ue ocurren en una unidad de tiempo, &rea, volumen, etc. 9omo por ejemplo el ejemplo el número de accidentes fatales por mes en una planta de producción, el número de defectos visibles en un diamante, etc. !ntre otras caracter*sticas tenemos4
a probabilidad de un evento ue ocurra en una unidad de tiempo, &rea o volumen es la misma para todas las unidades
!l número de eventos ue ocurren en una unidad de tiempo, &rea o volumen es
independiente
del número de los ue ocurren en otras
unidades.
!l número medio +o esperado de eventos en cada unidad se denota por la letra griega lambda , λ.
a distribución de probabilidad para una variable aleatoria e )oisson est& dada por4 f ( x) =
λ x e− λ x!
, "65,0,:,#,.....
/onde λ4
es el número medio de eventos en una unidad de tiempo, &rea o volumen
6:.L0K:K......
a media y la varian'a de una variable aleatoria de )oisson son, respectivamente µ = λ
17
ESTADISTICA σ 2
=
λ
!jemplos 0.Suponga ue llegan en forma aleatoria una serie de llamadas a la central de pedidos de una empresa de cemento con un promedio de tr es llamadas por minuto. 9alcular la probabilidad de ue en el periodo de un minuto a) no ocurra llamada alguna b) ocurran al menos 8 llamadas X 4 Gúmero de llamadas ue ocurren en el periodo de un minuto. W 6 # es el promedio del número de llamadas por minuto. a probabilidad de ue se ocurran T llamadas en el periodo de un minuto es4 )+X 6 T 6
e
− λ
(λ ) k
k !
6
e −3 (3) k
, T 6 5, 0, :, ., etc.
k !
a) a probabilidad de ue no ocurra llamada alguna en el periodo de un minuto
es4 P ( X = 0) =
e −3 (3) 0 0!
= 0,0498
b) a probabilidad de ue ocurran al menos 8 llamadas en el periodo de un
minuto es4 P ( X ≥ 4)
3
= 1 − P ( X ≤ 3) = 1 − ∑ k = 0
−3
k
e 3 k !
= 1 − 0.64723 = 0.35277
:.!n la inspección reali'ada a una industria, se identificó 5,: imperfecciones en promedio por minuto. /etermine las siguientes probabilidades4 a al menos : imperfecciones en $ minutos X6 número de imperfecciones por cada $ minutos 65,0,:,#..etc 65,:"$60 imperfecciones en promedio por cada $ minutos p( x
2)
0- Y)+X65 )+X60Z65.:<80<
b) 9uando m&s una imperfección en 0$ minutos .
X6número de imperfecciones por cada 0$ minutos 65,0,:,#,etc. 6 5,:"0$6# imperfeciones en promedio por cada 0$ minutos. p( x 1 ) Y)+X65 )+X60Z6 5,0:05< !jercicios 0.!l número de aver*as semanales de una computadora es una v.a ue tiene una distribución de )oisson con λ65.8 @9u&l es la probabillidad de ue la computadora trabaje sin aver*as durante dos sesiones consecutivas. :.Suponga ue el número de grietas por esp%cimen de concreto con cierto tipo de me'cla de cemento tiene una distribución de probabilidad de poisson
18
ESTADISTICA
apro"imada. Hdem&s suponga ue el número de grietas por esp%cimen es de :,$. a9alcule la media y desviación est&ndar de ". b9alcule la probabilidad de ue un esp%cimen de concreto escogido al a'ar tenga dos o m&s grietas. /AS;RAEU9AFG EAG32AH G!QH;AVH !n muc>os casos nos interesar& medir el tiempo transcurrido antes de ue ocurra un evento, por ejemplo el tiempo ue un cliente debe esperar en una cola para ser atendido , el tiempo ue tarda en fallar un euipo, etc. )ara esta aplicación consideramos cada unidad de tiempo como una prueba de bernoulli ue puede tener como resultado un %"ito o un fracaso. H diferencia de los e"perimentos binomiales en los ue " es el total de %"itos, la variable de inter%s a>ora es el número de pruebas +unidades de tiempo >asta ue se observa el a-%simo %"ito. a distribución de probabilidad para la variable aleatoria " est& dada por4
x −1 a x−a f x ( ) = p q a−1
"6a,a0,a:....
/onde4 p4)robabilidad de %"ito 40-p "4Gúmero de pruebas >asta ue se observa el "-%simo %"ito 2edia y varian'a µ =
a p
σ
2
=
aq p 2
!jemplo /e un lote de discos usados ue contienen trabajos para su revisión, se estima ue apro". !l ay de ue antes de e"aminar el s%ptimo disco ya se >aya detectado uno con virus. Rpta. 5,#050#
19
ESTADISTICA !jemplo !n una m&uina fotocopiadora, el $M de las copias con defectuosas. Si un cliente fotocopia un trabajo de cientos de p&ginas determine la probabilidad de ue antes de la d%cimo se"ta copia >aya resultado la primera defectuosa.
Rpta. 5,$#
/AS;RAEU9AFG Q!32\;RA9H !s un caso especial de la distribución de probabilidad negativa, cuando IaJ es igual a 0. a distribución de probabilidad para una variable aleatoria geom%trica est& dada por4 f ( x) = g ( x; p) = pq
x −1
+"60,:.....
/onde " número de ensayos >asta ue se observa el primer %"ito 2edia y varian'a µ =
q 2 , σ = p 2
1 p
?emos visto ue una variable aleatoria discreta es auella cuyos posibles valores constituyen un conjunto finito o se pueden enumerar en una secuencia infinita +una lista en la ue >ay un primer elemento, un segundo elemento, etc. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
1.
C"D#A %A&"A, &a'. *ESTAD+STICA. EDIT"IA I"E"+A &S/E"A. INTA EDICIN. 2003.
2.
A. DE#"E. *"AIIDAD ESTAD+STICA A"A INENIE"IA CIENCIAS INTE"NATINA T/&SN EDIT"ES, S.A C.# . 1998.
3.
"IC/A"D A /NSN. * "AIIDAD ESTADISTICA A"A INENIE"S DE &IE" "END. E. "ENTICE /A /ISANA&E"ICANAS. SA. 1997 &E:IC.
4.
&ENDEN/A , IIAN. "AIIDAD ESTADISTICAS A"A INENIE"IA CIENCIAS. 4< E.
5.
&A"ES DE CANT, &a=>a ?@.
*"AIIDAD
ESTADISTICA
A"A
CIENCIAS
I&IC-
IICAS.E. &C "A/I .1990.&B:IC.
20