Distribución Normal o de Gauss La distribución distribución normal fue reconocida por primera vez por el francés francés Abraham de Moivre Moivre (1667-1754). Posteriormente, Carl Friedrich Friedrich Gauss (1777-1855) elaboró desarrollos desarrollos más profundos y formuló la ecuación de la curva; de ahí que también se le conozca, más comúnmente, como la "campana de Gauss" . Definición Se dice que la v.a continua X es una v.a. normal con parámetros µ y σ ² si su función de densidad es:
f ( x ) =
1
σ
2π
e
−
( x −µ) 2 2 σ2
Se denota X~ N(µ ,σ ²) y se dice X se distribuye d istribuye normal con parámetros µ y σ ² Representación gráfica de la función de densidad normal.
Características de la distribución normal Dom f =ℝ La función siempre es positiva, f(x)>0 para toda x.
El máximo de f se alcanza en µ y su valor es f (µ) =
1 σ
2π
Puntos de inflexión en µ -σ y µ +σ Es simétrica con respecto a la recta x=µ Es creciente en el intervalo ]-∞,µ [ y decreciente en el intervalo ]µ ,+∞[ La función tiende a 0 cuando x tiente a -∞ y a +∞
Gráfica de una distribución normal y significado del área bajo la curva.
Propiedad Si X~N(µ ,σ ²) entonces E(X)= µ y V(X)= σ ²
De lo anterior, cuando X~ N(µ ,σ ²) se dice X se se distribuye normal con media µ y varianza σ ². Por tanto, la desviación estándar de X será σ . La forma de la campana de Gauss depende de los parámetros µ y σ ². La media (µ ) indica la posición de la campana, de modo que para diferentes valores de µ la gráfica es desplazada desplazada a lo largo del eje horizontal. horizontal. Por otra parte, parte, la varianza varianza (σ ²) determina el grado de dispersión dispersión de la curva con respecto respecto a la media µ . Cuanto Cuanto mayor sea el valor valor de σ ² más se dispersarán los datos en torno a la media y la curva será más plana o achatada. Un valor pequeño de σ ² indica, por tanto, una gran probabilidad de obtener datos cercanos al valor medio de la distribución y el gráfico de la curva se concentrará más alrededor de la media (µ ). Como se deduce de lo anterior, no existe una única distribución normal, sino una familia de distribuciones con una forma común, diferenciadas por los valores de su media y su varianza.
Ejemplos de distribuciones normales
con diferentes parámetros
Función de Distribución de la N(
,
y
.
²)
Si X~ N(µ ,σ ²), entonces su función de distribución F será: t
F( t ) = P( X ≤ t ) =
∫ σ
−∞
1 2π
e
−
( x −µ) 2 2 σ2
dx
Propiedades: P(X ≤ a) = F(a) P(a ≤ X ≤ b) = F(b)-F(a) P(X ≥ a) = 1 - P(X ≤ a) = 1-F(a) Distribución normal estándar
Una variable Z se dice que tiene una distribución normal estándar (o típica) cuando su media (µ ) es 0 y la varianza (σ ²) es 1. Se denota Z~ N(0,1) La función de distribución de Z será entonces: t
Φ(t ) = P ( Z ≤ t ) =
∫
−∞
1 2π
e
−
x
2
2
dx
Tabla de la normal estándar
z
0. 0 0
Segunda cifra decimal del valor de z .01 . 02 . 03 . 04 . 05 .06 .07
.08
.09
0.0 0.1
.500 .5000 0
.504 .5040 0
.508 .5080 0
.512 .5120 0
.516 .5160 0
.519 .5199 9
.523 .5239 9
.527 .5279 9
.531 .5319 9
.535 .5359 9
.539 .5398 8
.543 .5438 8
.547 .5478 8
.551 .5517 7
.555 .5557 7
.559 .5596 6
.563 .5636 6
.567 .5675 5
.571 .5714 4
.575 .5753 3
0.2 0.3
.579 .5793 3
.583 .5832 2
.587 .5871 1
.591 .5910 0
.594 .5948 8
.598 .5987 7
.602 .6026 6
.606 .6064 4
.610 .6103 3
.614 .6141 1
.617 .6179 9
.621 .6217 7
.625 .6255 5
.629 .6293 3
.633 .6331 1
.636 .6368 8
.640 .6406 6
.644 .6443 3
.648 .6480 0
.651 .6517 7
0.4 0.5
.655 .6554 4
.659 .6591 1
.662 .6628 8
.666 .6664 4
.670 .6700 0
.673 .6736 6
.677 .6772 2
.680 .6808 8
.684 .6844 4
.687 .6879 9
.691 .6915 5
.695 .6950 0
.698 .6985 5
.701 .7019 9
.705 .7054 4
.708 .7088 8
.712 .7123 3
.715 .7157 7
.719 .7190 0
.722 .7224 4
0.6 0.7
.725 .7257 7
.729 .7291 1
.732 .7324 4
.735 .7357 7
.738 .7389 9
.742 .7422 2
.745 .7454 4
.748 .7486 6
.751 .7517 7
.754 .7549 9
.758 .7580 0
.761 .7611 1
.764 .7642 2
.767 .7673 3
.770 .7704 4
.773 .7734 4
.776 .7764 4
.779 .7794 4
.782 .7823 3
.785 .7852 2
0.8 0.9
.788 .7881 1
.791 .7910 0
.793 .7939 9
.796 .7967 7
.799 .7995 5
.802 .8023 3
.805 .8051 1
.807 .8078 8
.810 .8106 6
.813 .8133 3
.815 .8159 9
.818 .8186 6
.821 .8212 2
.823 .8238 8
.826 .8264 4
.828 .8289 9
.831 .8315 5
.834 .8340 0
.836 .8365 5
.838 .8389 9
1.0 1.1
.841 .8413 3
.843 .8438 8
.846 .8461 1
.848 .8485 5
.850 .8508 8
.853 .8531 1
.855 .8554 4
.857 .8577 7
.859 .8599 9
.862 .8621 1
.864 .8643 3
.866 .8665 5
.868 .8686 6
.870 .8708 8
.872 .8729 9
.874 .8749 9
.877 .8770 0
.879 .8790 0
.881 .8810 0
.883 .8830 0
1.2 1.3
.884 .8849 9
.886 .8869 9
.888 .8888 8
.890 .8907 7
.892 .8925 5
.894 .8944 4
.896 .8962 2
.898 .8980 0
.899 .8997 7
.901 .9015 5
.903 .9032 2
.904 .9049 9
.906 .9066 6
.908 .9082 2
.909 .9099 9
.911 .9115 5
.913 .9131 1
.914 .9147 7
.916 .9162 2
.917 .9177 7
1.4 1.5
.919 .9192 2
.920 .9207 7
.922 .9222 2
.923 .9236 6
.925 .9251 1
.926 .9265 5
.927 .9279 9
.929 .9292 2
.930 .9306 6
.931 .9319 9
.933 .9332 2
.934 .9345 5
.935 .9357 7
.937 .9370 0
.938 .9382 2
.939 .9394 4
.940 .9406 6
.941 .9418 8
.942 .9429 9
.944 .9441 1
1.6 1.7
.945 .9452 2
.946 .9463 3
.947 .9474 4
.948 .9484 4
.949 .9495 5
.950 .9505 5
.951 .9515 5
.952 .9525 5
.953 .9535 5
.954 .9545 5
.955 .9554 4
.956 .9564 4
.957 .9573 3
.958 .9582 2
.959 .9591 1
.959 .9599 9
.960 .9608 8
.961 .9616 6
.962 .9625 5
.963 .9633 3
1.8 1.9
.964 .9641 1
.964 .9649 9
.965 .9656 6
.966 .9664 4
.967 .9671 1
.967 .9678 8
.968 .9686 6
.969 .9693 3
.969 .9699 9
.970 .9706 6
.971 .9713 3
.971 .9719 9
.972 .9726 6
.973 .9732 2
.973 .9738 8
.974 .9744 4
.975 .9750 0
.975 .9756 6
.976 .9761 1
.976 .9767 7
2.0 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 3.0 3.1 3.2 3.3 3.4
.977 .9772 2
.977 .9778 8
.978 .9783 3
.978 .9788 8
.979 .9793 3
.979 .9798 8
.980 .9803 3
.980 .9808 8
.981 .9812 2
.981 .9817 7
.982 .9821 1
.982 .9826 6
.983 .9830 0
.983 .9834 4
.983 .9838 8
.984 .9842 2
.984 .9846 6
.985 .9850 0
.985 .9854 4
.985 .9857 7
.986 .9861 1
.986 .9864 4
.986 .9868 8
.987 .9871 1
.987 .9875 5
.487 .4878 8
.988 .9881 1
.988 .9884 4
.988 .9887 7
.989 .9890 0
.989 .9893 3
.989 .9896 6
.989 .9898 8
.990 .9901 1
.990 .9904 4
.990 .9906 6
.990 .9909 9
.991 .9911 1
.991 .9913 3
.991 .9916 6
.991 .9918 8
.992 .9920 0
.992 .9922 2
.992 .9925 5
.992 .9927 7
.992 .9929 9
.993 .9931 1
.993 .9932 2
.993 .9934 4
.993 .9936 6
.993 .9938 8
.994 .9940 0
.994 .9941 1
.994 .9943 3
.994 .9945 5
.994 .9946 6
.994 .9948 8
.994 .9949 9
.995 .9951 1
.995 .9952 2
.995 .9953 3
.995 .9955 5
.995 .9956 6
.995 .9957 7
.995 .9959 9
.996 .9960 0
.996 .9961 1
.996 .9962 2
.996 .9963 3
.996 .9964 4
.996 .9965 5
.996 .9966 6
.996 .9967 7
.996 .9968 8
.996 .9969 9
.997 .9970 0
.997 .9971 1
.997 .9972 2
.997 .9973 3
.997 .9974 4
.997 .9974 4
.997 .9975 5
.997 .9976 6
.997 .9977 7
.997 .9977 7
.997 .9978 8
.997 .9979 9
.997 .9979 9
.998 .9980 0
.998 .9981 1
.998 .9981 1
.998 .9982 2
.998 .9982 2
.998 .9983 3
.998 .9984 4
.998 .9984 4
.998 .9985 5
.998 .9985 5
.998 .9986 6
.998 .9986 6
.998 .9987 7
.998 .9987 7
.998 .9987 7
.998 .9988 8
.998 .9988 8
.998 .9989 9
.998 .9989 9
.998 .9989 9
.999 .9990 0
.999 .9990 0
.999 .9990 0
.999 .9991 1
.999 .9991 1
.999 .9991 1
.999 .9992 2
.999 .9992 2
.999 .9992 2
.999 .9992 2
.999 .9993 3
.999 .9993 3
.999 .9993 3
.999 .9993 3
.999 .9994 4
.999 .9994 4
.999 .9994 4
.999 .9994 4
.999 .9994 4
.999 .9995 5
.999 .9995 5
.999 .9995 5
.999 .9995 5
.999 .9995 5
.999 .9995 5
.999 .9996 6
.999 .9996 6
.999 .9996 6
.999 .9996 6
.999 .9996 6
.999 .9996 6
.999 .9997 7
.999 .9997 7
.999 .9997 7
.999 .9997 7
.999 .9997 7
.999 .9997 7
.999 .9997 7
.999 .9997 7
.999 .9997 7
.999 .9997 7
.999 .9998 8
Ejemplos de los casos más frecuentes del cálculo de probabilidades de intervalos.
Estandarización o Tipificación
Si a una variable X~N(µ ,σ ²) se le resta la media y se divide d ivide por la desviación estándar se obtiene un v.a. normal con media 0 y varianza 1. O sea, si Z =
X −µ
σ
, entonces Z~N(0,1). A la variable v ariable Z se le llama variable estandarizada
o tipificada de X. Las probabilidades de una variable X~N(µ ,σ ²) se calculan a partir de la tabla de la N(0,1) de la forma siguiente:
X − µ ≤ a − µ = P Z ≤ a − µ = φ a − µ σ σ σ σ
P(X ≤ a) = P
a − µ σ
P(X ≥ a) = 1 − φ
P(a ≤ X ≤ b) =
b − µ a − µ φ − φ σ σ
Percentil de la distribución N(0,1) Definición Sea Z~N(0,1), se define el percentil α de la distribución N(0,1), que se denota por Zα, al valor que cumple que: P(Z< Zα) = α
Ejemplos: El percentil 0,99 (o percentil 99) de la N(0,1) es 2,33. Ya que P(Z<2,33) = 0,99. O sea, Z0,99=2,33. El percentil 0,50 (o percentil 50) de d e la N(0,1) es 0. Ya que P(Z<0) = 0,5. O sea, Z0,5=0. Propiedad
Z1-α = - Zα
Definición Sea X~N(μ,σ2), se define el percentil α de la distribución N(μ,σ2), que se denota por Xα, al valor que cumple que: P(X< Xα) = α. Propiedad
Si X~N(μ,σ2) entonces Xα = μ + σ Zα
Propiedad
Si X~N(μ,σ2) entonces X1-α = 2μ - Xα
Ejemplo: Si X~N(5,9), entonces: X0,99 = 5 + 3 Z0,99 = 5 + 3(2,33)=5+6,99=11,99 X0,01 = 2(5) - X0,99 = 10-11,99 = -1,99
